.IQM Werkcollege 7: Uitwerkingen Let weer op de N.B.`s! 17. (a) 7H

.IQM
Werkcollege 7: Uitwerkingen
Let weer op de N.B.’s!
b
b P∞ cn |en i = E P∞ cn |en i ⇔ P∞ cn H|e
b n i = P∞ cn E|en i.
17. (a) H|ψi
= E|ψi ⇔ H
n=1
n=1
n=1
n=1
b een lineaire operator is. We nemen nu
Deze manipulaties zijn toegestaan, aangezien H
links en rechts van het “=” teken het inproduct met een willekeurige basisfunctie |em i:
P∞
b n i = P∞ cn Ehem |en i =
b n i = hem | P∞ cn E|en i ⇔ P∞ cn hem |H|e
he
|
c
H|e
m
n
n=1
n=1
n=1
n=1
P∞
c
Eδ
=
c
E.
Deze
manipulaties
zijn
toegestaan
vanwege
de lineaire eigenn
mn
m
n=1
schappen van het inproduct. De laatste stap kan omdat de basisfuncties orthonormaal
b n i is gewoon een andere schrijfwijze voor hem |He
b n i, dus met de definities
zijn. hem |H|e
P∞
gegeven in de som hebben wedan n=1 Hmn cn = Ecm . Voor iedere m = 1, 2, . . . hebben
we zo’n vgl.
⎛
⎛
⎞
⎞
c1
H11 H12 · · ·
⎜
⎜
⎟
⎟
(b) Is evident als we definiëren c = ⎝ c2 ⎠ en H = ⎝ H21 H22 · · · ⎠. Dan zijn de vgl.
..
..
..
...
.
.
.
in (a) de matrix-vgl. Hc = Ec uitgeschreven in componenten, i.e.
⎞
⎛
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎞⎛
H11 c1 + H12 c2 + · · ·
H11 H12 · · ·
Ec1
c1
⎟
⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟⎜
Hc = ⎝ H21 H22 · · · ⎠ ⎝ c2 ⎠ = ⎝ H21 c1 + H22 c2 + · · · ⎠ = Ec = ⎝ Ec2 ⎠
..
..
..
..
..
...
.
.
.
.
.
b † = H,
b dan geldt hem |He
b n i = hH
b † em |en i = hHe
b m |en i. Voor het inproduct
(c) Als geldt H
∗
∗
b m |en i = hen |He
b m i . Hieruit, met de definitie Hmn = hem |He
b n i, en dus Hnm
geldt hHe
=
∗
∗
b m i , volgt ddan Hmn = Hnm .
hen |He
∗
b n i = hHe
b m |en i voor
voor alle m, n dan geldt hem |He
Omgekeerd: als geldt Hmn = Hnm
alle
n als we de weg terug
redenering. Maar dan ook
P∞ m,P
Pvolgen
P∞van ∗de voorgaande
∞
∞
∗
b
b
b c hHe |e i voor willekeurige bm , cn , en dus
n hem |Hen i =
n=1 bm cP
m=1
Pm=1
P∞ n=1 m nP∞ m n
∞
∞
b
b
b
h m=1 bm em |H n=1 cn en i = hH m=1 bP
de lineariteit van H
m em |
n=1 cn en i, vanwege
P∞
∞
en het inproduct. Definiëren we |φi = m=1 bm |em i en |ψi = n=1 cn |en i dan geldt
b = hHφ|ψi.
b
dus hφ|Hψi
Aangezien alle functies |φi en |ψi uitgedrukt kunnen worden als
lineaire combinaties van de basisfuncties (want de basis is compleet), geldt dit dus voor
b † = H.
b
alle functies. Dan moet gelden H
P
(d) Schrijf c = ∞
i=1 ai xi . Merk op dat dit mogelijk is: de eigenvectoren van een Hermitische
matrix (in dit geval H) kunnen als basis gebruikt worden, d.w.z. alle vectoren zijn te
schrijven als een lineaire combinatie van die eigenvectoren.1 De coëfficiënten aj kunnen
gevonden
door links en rechts
P∞ worden P
P∞het inproduct te nemen met xj , i.e. hxj |ci =
∞
hxj | i=1 ai xi i = i=1 ai hxj |xi i = i=1 ai δ ji = aj (voor de notatie zie beneden). De
laatste stap kan, omdat eigenvectoren van Hermistische matrices orthogonaal zijn. We
zorgen er natuurlijk voor dat ze ook genormeerd zijn, i.e. hxi |xi i = 1. De kans Pj om
¯
¯2
energie Ej te vinden in een meting wordt dan gegeven door |aj |2 , dus door ¯hxj |ci¯ .
N.B. Af en toe wordt er een beetje slordig omgesprongen met de notatie (typisch voor fysici ben
ik bang). We gaan uit van de zg. Dirac-notatie.
1
Ik citeer uit de lineaire algebra. Raadpleeg een wiskundige voor bewijzen van dit soort stellingen.
1
• Daarin zijn |ψi, |en i, etc. functies. Je mag ze ook beschouwen als vectoren uit een abstracte
vectorruimte, waarmee je de gebruikelijke lineaire algebra kunt doen. Dirac noemt zo’n vector
een ket. Als er geen verwarring kan ontstaan worden ze ook wel zonder “haakjes” genoteerd
als ψ, en , etc.. De coördinaten worden weggelaten, maar de tijdsafhankelijkheid wordt explicit
genoteerd. Een functie |ψi is dus tijdsonafhankelijk, maar de functie |Ψ(t)i is tijdsafhankelijk.
De coëfficiënten bm , cn , zie de som hierboven, zijn gewone complexe getallen.
R∞
• Het inproduct wordt altijd met haakjes genoteerd als hφ|ψi = −∞ φ(x)∗ ψ(x)dx. Dirac noemt
dat inproduct een bra-ket naar het engelse woord “bracket”. Een ket |ψi heeft voor ons de
betekenis zoals uitgelegd in het vorige punt, maar een “bra” hφ| apart heeft geen betekenis
voor ons (wel voor mathematen en gevorderde quantum-mechaniekers).
h
i
R∞
∗ b
b
• Een operator in een inproduct werkt altijd op 1 van beide leden, dus hφ|Hψi = −∞ φ(x) Hψ(x) dx
i∗
R∞ h
b
b
en hHφ|ψi
= −∞ Hφ(x)
ψ(x)dx. Alleen als de operator Hermitisch is, zijn de twee voorgaande uitdrukkingen aan elkaar gelijk.
h
i
i∗
R∞
R∞ h †
∗ b
b
• Wel geldt altijd −∞ φ(x) Aψ(x) dx = −∞ A φ(x) ψ(x)dx, aangezien dit gewoon de
b† is. Soms vind je ook de notatie hφ|A|ψi;
b
definitie van de Hermitisch toegevoegde operator A
b
b
b
dit is identiek aan hφ|Aψi.
Nooit zou je de notaties hA|φ|ψi
of hφA|ψi
moeten vinden; dat is
onzin.
Naast Dirac notatie is er ook nog een notatie voor “gewone” kolom-vectoren en matrices. Griffiths
gebruikt “bold face” kleine letters hiervoor: c, maar ik gebruik liggende streepjes onder de letters:
c, omdat dat makkelijker met de hand te schrijven is. Voor matrices gebruikt Griffiths “bold face”
hoofdletters: H, en ik gebruik hoofdletters met twee streepjes: H. Als je je basisfuncties gedefinieerd
hebt, kun je een representatie van functies en operatoren maken in termen van kolom-vectoren en
matrices. Die kun je vervolgens gebruiken zoals in de lineaire algebra. Computers zijn erg goed in
lineaire algebra, dus in praktische berekeningen is dit vaak de route die gekozen wordt.
• c is een kolom-vector. Uit voorgaande som blijkt dat die een representatie vormt van de
functie |ψi in de basis |en i; n = 1, 2, . . . (hetgeen uiteraard alleen zin heeft als je zo’n set van
basisfuncties gedefinieerd hebt).
b
• In dezelfde basis vormt de matrix A een representatie van de operator A.
⎛
⎞
c1
¡
¢⎜
P
⎟
• De notatie hb|ci = n b∗n cn = b∗1 b∗2 · · · ⎝ c2 ⎠ kun je gebruiken voor het inproduct
..
.
tussen dit soort vectoren. Merk
tussen dit P
inproduct en het
P∞op dat er een
P∞triviale relatie
P bestaat
∗
bra-ket inproduct: hφ|ψi = h m=1 bm em | n=1 cn en i = m,n bm cn hem |en i = m,n b∗m cn δ mn =
P
∗
n bn cn = hb|ci.
Vectoren c en matrices H worden de representatie in de basis |en i; n = 1, 2, ... genoemd. Denk
aan de analogie met vectoren in de 3-dimensionale ruimte. De basis wordt dan gevormd door
eenheidsvectoren, en als je er 3 kiest langs de x, y en z-as van een “normaal” assenstelsel, dan
vormen die een “nette”, orthonormale basis. Iedere vector “|ψi” wordt dan gerepresenteerd door
b (een rotatie bv.) door
een kolom-vector “c” met drie componenten en iedere lineaire operatie “A”
2
een 3 × 3 matrix A. Als je een ander assenstelsel kiest, verandert de basis. De vectoren (en
de operaties) blijven uiteraard onveranderd, maar de getallen in de kolom-vector “c” veranderen,
m.a.w. de representatie verandert.
In praktische berekeningen aan quantum-mechanische systemen (analytisch of op de computer)
wordt vrijwel altijd met representaties gewerkt. Het is zinvol een geschikte basisset te vinden,
zodanig dat je kolom-vectoren van lengte N kunt nemen, en N × N matrices, en alle componenten
met m, n > N numeriek mag verwaarlozen, waarbij N een zo klein mogelijk getal is.. Alhoewel de
keuze van zo’n geschikte basisset een kunst op zich is, is (zeker numeriek) de matrix-eigenwaarde
vgl. i.h.a. makkelijker op te lossen dan de Schr. vgl. als differentiaalvgl..
3