T w eede ronde 2017 - Vlaamse Wiskunde Olympiade

Vlaamse Wiskunde Olympiade
Wiskunde uitdagend? Reken maar!
Tweede ronde 2017
BELANGRIJK
pagina 1 van 8
Noteer hier zeker je deelnemersnummer:
Vul hieronder jouw antwoorden in en bereken op www.vwo.be
vanaf woensdag 8 maart om 18.00 uur jouw score!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Volg ons op Facebook!
www.facebook.com/vlaamsewiskundeolympiade
Open deze bundel NIET alvorens
hiertoe het sein gegeven wordt!
Aan alle VWO-deelnemers en hun leerkrachten:
succes en veel plezier!
TWEEDE
RONDE
VWO
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Tweede ronde 2017
Juist antwoord
5 punten
pagina 2 van 8
Geen antwoord
1 punt
Fout antwoord
0 punten
Wedstrijdduur
120 minuten
Rekentoestel
niet toegelaten
1. Wim heeft een erlenmeyer gevuld met vier lagen zand
van gelijke hoogtes (zoals in de figuur). Claudia schept
het zand laag per laag over in een identieke erlenmeyer.
Hoe ziet die er dan uit?
A
B
D
E
C
2. De hoek α ligt tussen 0◦ en 30◦ . Welke bewering is dan waar?
A sin α < cos α < tan α
B cos α < sin α < tan α
C sin α < tan α < cos α
D cos α < tan α < sin α
E tan α < sin α < cos α
3. Het getal 1611 − 239 is deelbaar door
A 31
B 33
C 35
D 37
E 39
D 4a + 3
E 5a + 3
4. Als a2 − a − 3 = 0, dan is a3 gelijk aan
A a+1
B 2a + 1
C 4a + 1
5. De reële getallen x, y en z voldoen aan het volgende stelsel van ongelijkheden:


 x + y + 3z


> 13
x + 2y > 4
x > 1
Wat is de kleinst mogelijke waarde van x + y + z ?
Tweede ronde 2017
A 5
pagina 3 van 8
B 6
C 7
D 8
E 9
6. Bart en Stijn trekken aan de uiteinden van een touw met zes knopen A, B, C,
D, E en F . Er liggen juist drie knopen tussen knoop B en knoop C. Knoop
D ligt dichter bij Stijn dan knoop B en dichter bij Bart dan knoop F . Naast
F ligt maar één knoop. Welke?
Bart
A A
•
B B
•
•
C C
•
• •
D D
Stijn
E E
7. Vijf jaar geleden was de verhouding van de leeftijden van Kaat en Kees gelijk
5
4
aan . Over vijf jaar zal die verhouding gelijk zijn aan . Wat is de som van
5
6
hun huidige leeftijden?
A 40
B 55
C 70
D 85
E 100
8. An en Michiel spelen een spel. Elk om beurt mogen de spelers het getal op
het bord vervangen door het dubbele of de helft ervan. Bij het begin van het
spel staat het getal 16 op het bord. An begint. Welk van de onderstaande
getallen kan nooit op het bord staan wanneer An aan de beurt is?
A 1
B 4
C 16
D 32
E 64
9. Stel a, b, p en q zijn strikt positieve gehele getallen. Het punt C(p, q) ligt
op het lijnstuk dat de punten A(a, 0) en B(0, b) verbindt. Wat kunnen we
hieruit besluiten?
A a is een veelvoud van b
B b is een veelvoud van a
C p is een veelvoud van q
D q is een veelvoud van p
E ggd(a, b) 6= 1
10. Het product van drie opeenvolgende natuurlijke getallen is 23 · 33 · 7 · 13. Wat
is het laatste cijfer van het grootste getal?
Tweede ronde 2017
A 4
pagina 4 van 8
B 5
C 6
D 7
11. In een cirkel met straal 5 neemt men een punt P
op afstand 2 van het middelpunt O. De kleine
cirkel raakt de rechte OP in P en raakt ook
de grote cirkel. Wat is de straal van de kleine
cirkel?
A 2
B 2,1
C
√
5
E 8
2
•
P
D 2,4
5
•
O
E 2,5
12. De cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 worden in deze volgorde vervangen door
opeenvolgende letters van het alfabet. Als je weet dat uspmru het kwadraat
van een natuurlijk getal is, wat is dan dat natuurlijk getal?
A pmr
B uts
C qop
D upm
E rrn
13. Op een lange tak zitten 51 kraaien naast elkaar. Als een kraai krast, vliegen
zijn linkerbuur en zijn rechterbuur weg (indien deze buren bestaan). Een kraai
die wegvliegt, komt na precies 1 minuut weer terug naar dezelfde plaats op
de tak en krast onmiddellijk. De uiterst linkse kraai krast als eerste. Hoe vaak
zal de uiterst rechtse kraai wegvliegen in een tijdspanne van 1 uur?
A 6
B 7
C 9
D 11
E 26
14. De politie ondervraagt vijf leden van een Chinese dievenbende: Pang, Peng,
Ping, Pong en Pung. Eén van hen pleegde een diefstal. Om elkaar te
beschermen spreken de dieven af dat precies één van hen zal liegen.
• Pang zegt: “Peng heeft het niet gedaan.”
• Peng zegt: “Ping heeft het niet gedaan.”
• Ping zegt: “Pong liegt.”
• Pong zegt: “Ik heb het gedaan.”
• Pung zegt: “Het was Pang of Peng.”
Wie heeft de diefstal gepleegd?
A Pang
B Peng
C Ping
D Pong
E Pung
<
<
15. In onderstaande futoshiki moet in elk vakje het getal 1, 2, 3, 4 of 5 geplaatst
worden, zodat op elke rij en op elke kolom ieder getal juist één keer voorkomt.
De aangegeven ongelijkheden moeten kloppen.
3
<
Tweede ronde 2017
<
<
pagina 5 van 8
<
<
<
>
Welk getal hoort in het gekleurde vakje?
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
16. Wat is de som van de coëfficiënten van de veelterm (2 − x)2017 (3 − 2x)2018 ?
A 1
B 2
C 3
D 2017
E 2018
17. De hoek α tussen twee aangrenzende
opstaande zijvlakken van een regelmatige
zeszijdige piramide voldoet aan
A α < 90◦
B α = 90◦
D α = 120◦
E 120◦ < α < 180◦
√
3
3+3
√
18. Het getal 3
is gelijk aan
9+1
√
3
9−3
B 0
C 1
A
2
C 90◦ < α < 120◦
D
√
3
3
E
3
2
19. Vijf jongens die deelnemen aan VWO beantwoorden elk 20, 21 of 22 vragen.
Elke jongen weet van de anderen hoeveel vragen ze hebben ingevuld. Na
afloop van de tweede ronde vraagt een leerkracht hoeveel vragen ze in totaal
hebben beantwoord. De antwoorden zijn: 105, 106, 107, 108 en 109. De
jongens die 20 of 22 vragen hebben ingevuld, spreken de waarheid. De jongens
die 21 vragen hebben ingevuld, liegen. Hoeveel vragen zijn er in totaal ingevuld
door de vijf jongens?
Tweede ronde 2017
A 104
pagina 6 van 8
B 105
C 106
D 107
E 108
20. Een trapezium met kleine basis 2 en grote basis 5 wordt door zijn diagonalen
in vier driehoeken verdeeld. De driehoek aan de kleine basis heeft oppervlakte
4. Wat is de oppervlakte van dit trapezium?
A 32
B 40
C 45
D 49
E 50
21. Twee identieke urnen staan op een tafel. De ene bevat 14 witte knikkers,
de andere bevat 14 zwarte knikkers. De kans om blindelings een zwarte
1
knikker te trekken uit één van de urnen is dus gelijk aan . Samuel haalt
2
een aantal zwarte knikkers uit de kast en voegt die toe aan de urne met witte
knikkers. Hierdoor wordt de kans om een zwarte knikker te trekken gelijk aan
2
. Hoeveel zwarte knikkers werden toegevoegd?
3
A 6
B 7
C 9
D 13
E 14
D 10
E 100
22. In een klooster in Ho Chi Minhstad
plaatsen de monniken elke dag een
aantal ringen op 6 palen. Ze doen dat
elke dag op een andere manier. Op elke
paal komen geen, één of twee ringen.
Het totaal aantal ringen op de palen
is even (en mogelijk gelijk aan 0). In
de figuur zie je een mogelijke plaatsing
van de ringen. Hoeveel jaar kunnen
de monniken dit volhouden zonder in
herhaling te vallen?
A 1
B 2
C 5
23. Hoeveel gehele oplossingen heeft de vergelijking |x − 3|3x +3 = |x − 3|4x −8?
A 1
B 2
D 4
E Meer dan 4
C 3
24. Met n! bedoelen we het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en
met n. Bijvoorbeeld: 4! = 4 · 3 · 2 · 1. Als a, b, c natuurlijke getallen zijn met
2 6 a 6 b 6 c en 16! = a!b!c!, dan is b gelijk aan
Tweede ronde 2017
A 4
pagina 7 van 8
B 5
C 6
D 7
E 8
25. In een icosaëder (regelmatig twintigvlak)
hebben alle diagonalen die geen middellijn
zijn van de omgeschreven bol dezelfde
lengte. Noem die lengte d, noem de
lengte van elke ribbe r en de straal van
de omgeschreven bol R. Welke van de
volgende gelijkheden is correct?
A r 2 + d 2 = R2
B r 2 + d 2 = 4R2
D r 2 + R2 = 2d 2
E R2 + d 2 = 4r 2
C r 2 + R2 = d 2
26. In de rechthoek ABCD is |AB| = 7 en |BC| = 1. De deellijn van Ab snijdt de
omgeschreven cirkel van ABCD in het punt E 6= A. Bepaal |BE|.
A 5
√
B 3 3
√
C 2 7
27. De functie f wordt gegeven door de
grafiek hiernaast. Hoeveel oplossingen
heeft de vergelijking f (f (f (x))) = 0 ?
√
D 4 2
E 6
y
1
1
A geen
B precies 1
C precies 2
D precies 3
x
E precies 4
28. Stel f een strikt stijgende functie van R naar R+
0 zodat voor alle x ∈ R geldt
5
dat f (x + 1) + f (x − 1) = f (x) en f (x − 1) · f (x + 1) = (f (x))2 . Hoeveel
2
f (2017)
is
?
f (2016)
Tweede ronde 2017
A 2
pagina 8 van 8
B 2016
D 22016
C 2017
E 22017
29. Aan elke kant van het lijnstuk [AB] met lengte 5 construeren we een
rechthoekige driehoek. De eerste driehoek △ABC is rechthoekig in C en
gelijkbenig. De tweede driehoek △ABD is rechthoekig in D met |AD| = 3.
Waaraan is |CD| gelijk?
√
√
√
5 2
7 2
A 4
D 5
E 3 2
B
C
2
2
30. Gegeven de functie met voorschrift f (x) =
x3
1
. Bepaal
+1
f (tan 1◦ ) + f (tan 2◦ ) + f (tan 3◦ ) + · · · + f (tan 89◦ ).
A 0
B 43,5
C 44,5
D 87
E 89
VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Kulak, de Universiteit
Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch
Wiskundig Genootschap, die Keure, Eureka!, New Scientist, Rhombus, Uitgeverij Plantyn, de
Vlaamse Vereniging WiskundeLeraars, Wetenschap in Beeld.