Lege verzameling

Niets te melden:
0
Inleiding tot het niets
0
Probleem: hoeveelheidaanduiding
0
De maya’s: De duistere kant van het rekenen
0
De achterstand van de westerse wereld
0
Nul als getal?
0 Gerelateerde betekenissen en begrippen van
tegenwoordig ivm
nul
0 Het vraagstuk van het niet-zijn: Een
verwevenheid van het
iets en het niets
-0-
Inleiding tot het niets
Dit geschrift vertelt u over het niets. De filosofie en metafysica van het niets en
over de meest besproken vorm van het niets: het getal nul.
Wanneer u in het basis onderwijs geleidelijk aan meer meester van de telkunde
werd, moet het u zijn opgevallen hoe gemakkelijk wij met 10 cijfers eender
welke hoeveelheid kunnen uitdrukken. Hoewel deze gemakkelijke telwijze over
het algemeen logisch en vanzelfsprekend wordt geacht is dit het resultaat van
een eeuwenlange zoektocht naar een oplossing voor het probleem
hoeveelheidaanduiding. Het getal nul heeft hier een uitermate belangrijke rol in
gespeeld. Het heeft lange tijd geduurd voor de westerse wereld deze handigheid
erkende.
Hoe dan ook het getal nul is net als de uitvinding van het wiel een van de
triomfen der menselijke verbeeldingskracht.
Waarom zou nul, dat vormloze rondje, zoals Shakespeare hem noemde, een
dergelijk cruciale rol spelen in het reusachtige weefsel van uitdrukkingen dat
wiskunde wordt genoemd? Waarom geven de meeste wiskundigen hem een
ereplaats in de lijst van belangrijkste getallen? Hoe kan iemand hebben beweerd
dat aanaangezien 0 x 0 = 0 , getallen echt bestaan?
Het getal nul is een voorvader van het raadsel der raadselen.
En daarmee het boegbeeld van het niets.
-1-
Probleem: Hoeveelheidaanduiding
We beginnen ons verhaal met twee herders. De twee herders zien nog een
duidelijk verschil tussen vier en vijf schapen en zullen ook al vlug op merken
dat er ‘n schaap is verloren gelopen. Als men nu een hele hoop schapen heeft
zal men niet meteen opmerken dat men er eentje te weinig heeft. Daarom kwam
men op het idee hoeveelheden te benoemen en voor te stellen door symbolen.
Maar als je voor iedere hoeveelheid een geheel nieuwe naam en een nieuw
symbool voor elk stapeltje van een andere grootte wilt, raakt je fantasie uitgeput
en je geheugen overbelast. Probeer maar eens verschillende symbolen te
bedenken voor de eerste twintig getallen, bijvoorbeeld als volgt:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, §, $, , @, , ξ, ‫ﻼ‬, ß, Ψ, , 
Stel je nu eens de vraag: hoeveel is 4 + 8? Even kijken, het antwoord is .
En  min §? Door § plaatsen terug te tellen van  komen we uit op 3.
Of  plus  ? Helaas hebben we hier nog geen symbool voor bedacht, en als
we dat zouden doen moesten we er eerst nog twaalf anderen bedenken.
De oplossing van dit probleem ligt voor de hand en moet al zeer vroeg in iedere
cultuur bedacht zijn, zoals ook kinderen dat doen:
Groepeer de objecten die je wilt tellen in stapeltjes van eenzelfde hanteerbare
en benoemde grootte en tel dan hoeveel stapeltjes je hebt.
bijvoorbeeld:
 is  stuks
 is stuks van het 
het onaantrekkelijke  +  wordt
   +  
Dus  stuks van het  en nog  extra
dat maakt stuks van  en nog 
De basis stapeltjes hebben 5 turven, doordat we 5 vingers hebben, maar iedere
hoeveelheid die in 1 oogopslag te tellen is voldoet.
-2-
De Oude Babyloniërs werkten met hoeveelheden van 10 en van 60.
Hun getallen werden aanvankelijk als volgt geschreven:
Zoals u opmerkt keert de notatie bij 60 weer terug. Alleen
worden de wiggen dan iets groter. De verschillende
getallen werden gewoon achter elkaar weergegeven en het
totale getal was dan de som van die 2 cijfers. Zo is 61 dus
een grote en een kleine wig.
Maar u kunt u wel indenken
dat onder bepaalde
omstandigheden wanneer
men vb snel een inventaris
moest maken dat het
mogelijk was dat het verschil tussen een kleine en een
grote wig onduidelijk was. In eerste instantie loste men dit
probleem op door de cijfers een specifieke plaatst te geven.
De grootste getallen werden voorop geplaatst (60 > 10 >1).
Hierdoor kon het getal 72
niet meer gelezen worden
als 131.
Hiermee was het probleem
met het getal 61 dat
evengoed als 2 gelezen
kon worden niet meteen
opgelost. Daardoor
bedacht een teken om aan
te geven dat die “kolom” leeg was van cijfers. De grote en
de kleine wig in het getal 61 werd dus gescheiden door een
teken dat aangaf dat er geen tientallen
waren. Hun scheidingsteken, de voorloper
van het getal nul, bestond uit twee schuine
wiggen.
Deze noodzaak omstreeks 450 V.C. was
het prille begin van het getal nul. En het
getal nul is niet het enige wat we aan die Oude Babyloniërs
te danken hebben. Ons 60tallig stelsel in tijdsaanduiding:60
seconden in 1 minuut, 60 minuten in 1 uur komt van hen.
Ook de notatie van groot naar klein hebben we aan hen te danken.
-3-
De Maya’s: De duistere kant van het Rekenen
Waren het niet de Babyloniërs geweest die het getal nul bedacht hadden dan
was het wel door een ander volk gebeurd. De Maya’s bijvoorbeeld, een cultuur
die zich volledig afgezonderd van ander culturen heeft ontwikkeld kenden ook
het getal nul. Ze hadden er zelfs een aparte Godheid, Zero, voor.
Het symbool van de Maya’s voor nul was een getatoeëerde man met een
achterovergeworpen hoofd. Althans dat was er een uit hun talloze collectie van
symbolen die ze hadden voor het getal nul.
De Maya’s rekenden alsof hun leven er
van afhing. Ze rekenden met de tijd. Hun
begindatum voor het heelal is in onze
kalender 13 augustus 3114 voor Christus.
Dit was dag nul. Hun tijdrekening is de
enigste die begint met het getal nul.
Ze verdeelden de tijd in jaren van 18
maanden (uinal), van ieder 20 dagen (kin).
Een jaar (tun) telde dus 360 dagen. Die
een van de vele maya tempels
jaren werden weer per 20 gegroepeerd en
telde dus 7200 dagen (katun). 20 katun vormden 1 baktun (144 000 dagen) en
zo verder werd alles opgedeeld in steeds grotere eenheden zoals een alautun van
64 000 000 dagen. En vanzelfsprekend schreven ze het getal nul als er een
eenheid ontbrak. Deze telling noemen archeologen de Lange Telling
Hun jaar met 360 dagen moet misschien wel gemakkelijk geweest zijn om mee
te rekenen maar het komt niet overeen met de werkelijke lengte.
Waarschijnlijk om die reden hadden de maya’s ook nog een andere kalender
een “burgerlijk” jaar (Haab), ook van 18 maanden, maar met vijf
“zonderdagen” (“nul”dagen), die er aan het eind
bijhingen, zodat het jaar nog maar een kwart dag
korter was dan het zonnejaar.
Aangezien nul belangrijk was bij het vastleggen van
de Lange Telling, kreeg het een nieuwe en bijzondere
betekenis in de Haab. De eerste dag van iedere
twintigdaagse maand kreeg niet het nummer 1, maar
0, de tweede 1, enzovoorts en de twintigste dag 19. Bij de Haab-kalender legde
de god van de vorige maand op de nulde dag zijn last aan tijd neer en nam de
god van de huidige maand zitting en nam hem op. Voor ons gebeurt dit in een
ogenblik, als oude Janus, bewaker van de in- en uitgang, zijn weken overdraagt
-4-
aan Februus van de zuivering. Voor de maya’s moeten deze overdrachten nog
spannender zijn geweest, Als Zip volgde op Zotz of Zotz of Zec. De God die
deze gebeurtenissen overzag, was Zero.
Een hele dag voor de overdracht! Ik vraag me af wat de mensen deden terwijl
die zich voortsleepte. We weten dat gedurende de vijf zonderdagen of
“nutteloze” dagen aan het eind van het jaar mannen en vrouwen zich niet
wasten en hun haar niet kamden en ook geen
werk deden, uit angst dat het mis zou gaan.
Je kunt nu denken dat het met die 2 kalenders
wel goed was, maar de obsessie van de
Maya’s in cycli is duidelijk te merken als ik u
vertel dat er nog een derde was. Een heilig
jaar, de Tzolkin met 260 dagen. Bij deze
derde kalender kunnen we niet zo zeer
spreken van maanden, maar van twee cycli, een van twintig dagnamen (Imix,
Ik, Akbal, ...) en een met de getallen 1 tot en met 13.
U zult begrijpen waarom de maya’s hun wiskundigen zo hoog achtten, als u
weet dat de getallen samenvallen met de eerste dertien namen, waarna ze bij de
veertiende opnieuw begonnen, zodat de dagnamen 14 tot en met 20 hand in
hand gingen met de getallen 1 tot en met 7. Dan verscheen de dagnaam Imix
opnieuw en deze correspondeerde nu met het getal 8, enzovoort, tot de zesde
dagnaam (Cimi), die met 13 verbonden was. Manik, de zevende dag, was nu
gekoppeld aan het getal 1. Dit wankele, onconventionele ritme ging door tot 13
x 20 = 260 dagen na het
begin, wanneer Imix voor
het eerst weer samen ging
met het getal 1 en er een
nieuw heilig jaar begon.
Een combinatie van getal
en naam vertelde precies
voor welke dag van het jaar
zij stond. Als je er
tenminste het inzicht voor
had of er ijverig op had
geoefend.
Waarom een dergelijk
bizarre kalender?
Misschien omdat de Maya’s dertien goden voor de bovenwereld hadden en
twintig het getal van de mens was (niet ongebruikelijk, gezien de tien vingers
-5-
en tien tenen). Dit verweven van twee cycli kan daarom bedoeld zijn om het
wereldlijke en het goddelijke in harmonie te brengen.
Er waren in het mayapantheon negen goden. Ze hadden een skeletachtige
onderkaak en werden geregeerd door de God van de Dood. Dus is het niet
verbazingwekkend dat ze nog een vierde kalender hadden, een cyclus van
negen tekens die de Heren van de Nacht vertegenwoordigen die om de beurt
een dag regeerden. En ook nog een maankalender met maanden van 29 tot 30
dagen, en een kalender gebaseerd op de 584-daagse synodische cyclus van
Venus (zijn schijnbare schommeling van de ene kan van de zon naar de andere).
We kunnen ons niet van de Maya’s afmaken als lijdend aan een soort
collectieve rekenmanie, aangezien niet zozeer het rekenen als wel de uitkomst
hen interesseerde. En hier moeten we opnieuw hun wiskundige kennis
bewonderen. Als de 365- daagse Haab en de 260 daagse Tzolkin tegelijk
begonnen, wanneer zou de eerst dag van beide dan weer samenvallen? Hiervoor
moeten we uiteraard hun kleinste gemene veelvoud berekenen. De Maya’s
begrepen dat aangezien 5 de grootste gemene deler van 260 en 365 was de
Haab en de Tzolkin om de 260 x 365 /5 =18
960 dagen samenvielen, wat overeenkwam met
52 Haab- of 73 Tzolkin-jaren. Deze periode
wordt de kalenderronde genoemd, en het schijnt
dat iedere nieuwe ronde regelrechte
wreedheden met zich meebracht.
Al deze cycli en rekenen met de tijd kwam
voort uit hun grootste angst dat de tijd tot
stilstand zou komen. om dit te voorkomen
zetten ze de periodiciteit die ze in de hemelen
zagen om in lineaire tijd, die daardoor niet
midden in een cyclus kon stoppen, maar
maya masker
mogelijk wel aan het eind. Goed, begin dan
maar een andere cylcus die niet gelijk met de eerste loopt. Nu kon de tijd niet
meer stoppen behalve op die zeldzame tijdstippen waarop beide cycli tegelijk
ten einde kwamen. Op zulke onheilsmomenten ( om de 52 jaar ) offerden ze aan
de goden de essentie van het leven: bloed, maagden, harten die uit levende
slachtoffers werden gesneden, zodat de goden zich hiermee weer tot leven
konden wekken en bereid zouden zijn de last van het moeizaam maanden
aftellen weer op te nemen. Om de 5 jaar bracht de koning zichzelf spectaculaire
verwondingen toe om de goden aan het werk te houden.
Uiteindelijk lijken de Maya’s in 600 V.C zelf in rook zijn opgegaan, in het niets
te zijn verdwenen.
-6-
De achterstand van de westerse wereld
Door de jaren heen verhuisde het getal nul van de Babyloniërs naar India om
daar verder ontwikkeld te worden en over genomen te worden door de
Arabieren. Door de handel in de westerse wereld brachten zij het getal nul naar
hier wat niet vlug en slechts met veel moeite werd aanvaard.
Alles wat geïntroduceerd werd in het Westen, dat
nog steeds een agrarische cultuur had, werd met
argwaan bekeken en vooral alles wat uit het
Oosten kwam was gevaarlijk.
Het Oosten was dan ook een zetel
van oude en steeds machtige
ketterijen. (als ik deze laatste twee
zinnen lees merk ik dat aan ons
negatief beeld over het oosten
weinig veranderd is).
Bovendien werd de leegte geassocieerd met het kwaad en konden de kwalen en
geesten van die leegte opgeroepen worden door alleen al de naam van de leegte
te noemen. Het getal was in eerste instantie een benoeming van het “niets” en
de leegte.
Ook was er door de afwezigheid van het getal nul een gewoonte om de eerste
positie als 1 te benoemen. De lengte graden bijvoorbeeld werden altijd gemeten
van het nachteveningspunt dat in het sterrenbeeld
Ram staat. Dit zou nul graden zijn. Het werd
echter algemeen “de eerste graad genoemd” door
de afwezigheid van het getal nul. Dit schopte de
berekening van velen in de war. Het komt hier op
neer: als je vier tekens op de grond zet en je van
het eerste naar het laatste stapt, hoeveel stappen
heb je dan genomen? 3 natuurlijk! Het helpt om
die reden om het startpunt nul te noemen. Kijk
Het sterrenbeeld “Ram”
maar eens hoeveel moeite men heeft met de
huidige tijdsrekening omdat die begint met het jaar 1. Hoeveel mensen hebben
niet de eeuwwisseling van 1999 naar 2000 gevierd in plaats van 2000 naar
2001?
-7-
Zelf voor diegenen die niet geloofden en immuun waren voor bijgeloof was nul
het getal donnant ombre et omcombre, zoals een vijftiende-eeuwse Franse
schrijver het stelde “een schaduwachtig, tegenwerkend getal”. Want alles met
een naam, bestond: niet alleen manicheïsten geloofden dat namen echte dingen
aanwezen. Hoe kon dan wat niet bestond, bestaan?
Misschien kunt u zich de verwarring en achterdochtigheid wat beter inbeelden
als ik u een stukje tekst citeer uit The Crafte of Numbrynge, de vroegst bekende
engelse tekst over dit onderwerp, uit ongeveer 1300:
“Ieder van deze cijfers betekent zichzelf en niets
meer, als gij op de eerste plaats van de regel
staat (...). Als hij op de tweede plaats van de
regel staat, betekent hij tienmaal zichzelf, als dit
cijfer 2 (hier 20) tienmaal zichzelf wordt, dat is
twintig, want hijzelf betekent twee, en tienmaal
twee is twintig. En omdat hij aan de linkerkant
staat en op de tweede plaats, betekent hij
tienmaal zichzelf. En ga zo voort (...)
Een nul betekent niets, maar hij maakt dat het
cijfer dat na hem komt meer betekent dan het
zou doen als hij er niet was, dus 10. Het teken
van één betekent hier tien, en als de nul weg
was en er geen getal voor hem stond, zou hij
maar één betekenen, want hij zou op de eerste
plaats staan (...)
Het getal nul, een handig concept dat door weinigen begrepen werd en even
mysterieus als handig is deed er om die redenen enkele eeuwen over om de
bekrompenheid van de toenmalige westerlingen te overwinnen.
-8-
Dirac en de negatieve getallen
Het duurde zelfs tot de 20ste eeuw vooraleer negatieve getallen in de
natuurkunde volwaardig aanvaard werden. Daar zit De fysicus Paul Dirac voor
iets tussen
Over die fysicus en negatieve gehele getallen bestaat nog een mooie anekdote:
De fysicus Paul Dirac werd in 1917 in de lagere school
een raadsel voorgeschoteld, die zijn briljante vondst van
20 jaar later al voorspiegelde
(u mag gerust meerekenen)
Er waren drie vissers. Ze hadden een berg vissen
gevangen. Hoeveel? Genoeg! 's Nachts werd één van de
vissers bang wakker en wilde er met zijn rechtmatig deel
tussen uit gaan. Hij sloop naar de stapel, maar zag dat de
buit niet eerlijk door drie te delen was. Dat lukte wel als hij één vis in de
Amazone teruggooide. Vervolgens werd de tweede visser wakker. Ook hij
moest eerst een vis weggooien voordat hij met een derde deel kon wegsluipen.
Tenslotte herhaalde ook de derde visser deze handelingen.
Vraag: wat is het kleinste aantal vissen waarvoor dit verhaal klopt?
Dirac antwoordde zelfzeker en zonder haperen: Min twee.
-9-
Gerelateerde begrippen en betekenissen van tegenwoordig ivm
nul
Nul in de taal
In de Nederlandse taal wordt gesproken van één appel, twee appelen, drie
appelen enz. Er wordt ook gesproken over nul appelen en niet over nul appel.
Na een hoofdtelwoord wordt een zelfstandig naamwoord altijd als meervoud
uitgedrukt. Niet nul is dus de uitzondering, maar het getal een. In een
breukgetal wordt echter ook het enkelvoud gebruikt... hij heeft dus anderhalve
appel.








Hij is een echte nul - de persoon is onbeduidend.
Van nul en generlei waarde - het is niets waard.
Hij heeft nul op het rekest gekregen - op zijn verzoek kreeg hij een
negatief antwoord.
Je verstand op nul zetten - het niet begrijpen en er verder dan ook maar
niet over nadenken.
Verstand op nul, blik op oneindig - variant op bovenstaande.
Dit dateert echt uit het jaar nul - dit is bijzonder ouderwets.
Nul komma nul - echt helemaal niets.
Een nul of nuldejaars is iemand die deelneemt aan de introductie- of
kennismakingsweek of ontgroening van een universiteit of
studentenvereniging;.
Lege verzameling
In de verzamelingenleer is de lege verzameling de verzameling zonder
elementen.
Notatie
De lege verzameling wordt geschreven als "Ø" (wat afgeleid is van de Noorse
letter "Ø" ) of gewoonweg als "{}".
Eigenschappen

Elke verzameling A heeft de lege verzameling als deelverzameling:

Voor elke verzameling A geldt: de vereniging van A met de lege
verzameling is A:
- 10 -

Voor elke verzameling A geldt: de doorsnede van A met de lege
verzameling is de lege verzameling:

De enige deelverzameling van de lege verzameling is de lege
verzameling:

De cardinaliteit van de lege verzameling is nul; de lege verzameling is
ook eindig:
|{}| = 0

De lege verzameling is zowel open als gesloten voor een topologie.
Veel voorkomende misvattingen
De lege verzameling is niet hetzelfde als niets; het is een verzameling waar
niets in zit, en een verzameling is iets. Het begrip lege verzameling precies
toepassen kan je helpen bij het begrijpen van de verschillende betekenissen van
"niets" als een woord in de natuurlijke taal.
Bijvoorbeeld, beschouw deze klassieke mop:



Niets is beter dan eeuwige gelukzaligheid
Maar een broodje ham is beter dan niets.
Daarom, een broodje ham is beter dan eeuwige gelukzaligheid.
Iedereen ziet dat de logica in deze mop onzinnig is, maar het is wellicht niet
duidelijk hoe dit overeenkomt met de twee betekenissen van "niets".
De eerste stelling beweert:
De verzameling van dingen die beter zijn dan eeuwige gelukzaligheid is
{}.
De tweede stelling beweert:
De verzameling {broodje ham} is beter dan de verzameling {}.
- 11 -
Nu is wel te zien dat de twee zinnen ongerelateerd zijn: de eerste gaat over
individuele dingen, maar de tweede vergelijkt hele verzamelingen van dingen,
waarbij {} ("De verzameling van niets) hele verschillende rollen speelt.
Ironisch genoeg kan de lege verzameling goed gebruikt worden om het
intuïtieve concept "niets" te analyseren, maar zorgt diezelfde lege verzameling
voor een hoop verwarring bij de meeste mensen als ze haar voor het eerst zien.
We kunnen bijvoorbeeld wel spreken over een "verzameling met nul
elementen", maar we zijn niet heel erg geneigd om over een "stapel van nul
pennen" te spreken.
NaN
NaN (Eng Not a Number) is binnen de informatica een speciaal resultaat van
een wiskundige berekening waarbij getallen met een komma verwerkt worden.
Het is binnen deze context het resultaat van:


0 gedeeld door 0 (ieder ander getal gedeeld door 0 geeft oneindig, ∞);
de wortel van een negatief getal.
NaN is echter niet hetzelfde als 0 of oneindig.
verdere betekenissen
In de meetkunde is de dimensie van een punt gelijk aan 0. In de kansrekening is
de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis gelijk aan 0, als er geen kans op
bestaat.
In de natuurkunde komt de waarde nul veel voor. Bijvoorbeeld bij de
temperatuurschaal in Celsius is nul de temperatuur van smeltend ijs. 0 Kelvin is
het absolute nulpunt. Vrijwel alle natuurkundige grootheden kunnen de waarde
nul aannemen, behalve diverse kwantummechanische grootheden, zoals de
nulpuntsenergie.
In de RGB kleurcodering komt de waarde nul overeen met de kleur zwart.
In de economie betekent het getal nul dat er bijvoorbeeld geen vermogen is, of
geen groei optreedt.
In scenariostudies betekent de nul-situatie de huidige situatie, of de situatie
zonder verdere ingrepen.
In de tijd is het uur nul midden in de nacht en komt het één minuut na 23 uur
59.
- 12 -
Nul als getal?
Met de komst van nul, begonnen dan ook de speculaties in hoeverre nul een
getal was. Hoe het zich gedraagt in bewerkingen als optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing en worteltrekking. In eerste
instantie was het getal nul slechts een leesteken dat door verbeelding uit
noodzaak bedacht is geworden om de notatie van getallen zo simpel mogelijk te
maken.
Brahmagupta kon in 600 aan de ene kant bondig zeggen dat een getal min
zichzelf gelijk is aan nul, en aan de andere kant worstelen met een algemene
regel voor wat er gebeurt als er nul bij een getal wordt opgeteld:
“De som van nul en negatief is negatief, die van bevestigend
en niets is positief, die van twee nullen is nul”
Brahmagupta zag er duidelijk geen been in meerdere
woorden voor hetzelfde ding te gebruiken
Vijf eeuwen later haalde Bhãskara Brahmagupta aan met
elegante bondigheid:
“Bij het optellen van nul of het aftrekken
daarvan blijft de hoeveelheid, positief of
negatief, gelijk. Afgetrokken van nul echter,
wordt zij haar omgekeerde”
Hij schreef dit toen hij 36 was.
Mahãvïrã leefde ongeveer tussen deze
twee in rond 830, en zag nul als iets wat de
schutkleur van zijn omgeving aannam. Hij
vervolgt dat:
“Een getal vermenigvuldigd met nul is nul, en
het getal blijft onveranderd als het (...) met
nul verminderd wordt”
Brahmagupta voor en Bhãskara na hem waren het met hem eens.
De drie puntjes staan voor een niet weergegeven stuk dat handelt over een
onderwerpt waar de drie het ernstig over oneens waren: delen door nul.
Mahãvïrã zegt hierover:
“Een getal blijft onveranderd als het door nul wordt gedeeld”
- 13 -
Zijn vertaler probeert hem voor deze foute bewering te verontschuldigen door te
zeggen dat Mahãvïrã duidelijk denkt dat delen door nul helemaal geen deling is.
Hij moet waarschijnlijk zo geredeneerd hebben: Aangezien een
vermenigvuldiging kan worden gezien als een gestroomlijnde optelling ( 4x5 is
op te vatten als het optellen van vier vijven), kan een deling ook geschouwd
worden als een aftrekking (20:5 betekent dat er viermaal 5 van 20 moet worden
afgetrokken). Als dat zo is, betekent een getal delen door 0 dat er 0 van dat
getal moet worden afgetrokken, waardoor het getal intact blijft en delen door
nul dus geen deling is.
Natuurlijk zou deze analogie hem moeten doen afvragen hoeveel keer 0 van 20
kan worden afgetrokken. Maar achteruitdenken bij een aftrekking vertroebelt de
geest.
Brahmagupta is zoals gewoonlijk voorzichtig:
“Positief of negatief, gedeeld door nul, is een breuk met nul als noemer. Nul gedeeld
door negatief of bevestigend is nul of wordt uitgedrukt door een breuk met als teller
nul en de eindige hoeveelheid als noemer (...) nul gedeeld door nul is niets (...).”
Hij heeft gelijk wat 0/a betreft dat is 0,
waarin a een positief getal is. Zeggen
dat a gedeeld door 0 gelijk is aan a/0 is
niet meer dan de ene notatie door de
andere vervangen om je niet te hoeven
uit te spreken over de uitkomst. Wat is
het toch ook zo moeilijk om de zin “ik
weet het niet” op papier te zetten. Wat
hij over 0/0 = 0 zegt is onzin.
Nu naar Bhãskara. In het begin houdt hij
zijn kaarten net zoals Brahmagupta zo
dicht mogelijk bij zijn borst:
“een hoeveelheid, gedeeld door nul, wordt
een breuk waarvan de noemer nul is. Deze breuk wordt een oneindige hoeveelheid
genoemd. In deze hoeveelheid, die bestaat uit dat wat nul als deler heeft, is geen
verandering, hoewel veel eraan kan worden toegevoegd of van worden afgetrokken;
zoals er in de oneindige en onschendbare God geen verandering optreedt wanneer
werelden worden geschapen en vernietigd, hoewel talloze orden van schepselen
worden verzwolgen of voortgebracht”
Het raadsel van de blauwe kater , Eduard Frieser
Deze belangrijke passage heeft sterk de aandacht van commentatoren
getrokken. Een van hen, aan het eind van de zestiende eeuw, probeerde
- 14 -
Bhãskara’s opvatting te illustreren door het beeld van een zonnewijzer op te
roepen:
“De schaduw van de verticale stijl bij zonsopkomst en zonsondergang is oneindig
lang, en het maakt niet uit wat de straal van de zonnewijze of de hoogte van de
verticale stijl is.
Toch komt het nog steeds voor dat
mensen denken dat a/0 gelijk is aan
∞. Wat betekent deze vergelijking?
20/5 = 4 heeft zin want het is een
vergelijking tussen getallen.
Oneindigheid is geen getal. Dus wat
we met a/0 aanvangen?
Het antwoord zegt ons veel over de
kracht van de wiskunde.
Het zou zeer tegennatuurlijk zijn te
geloven dat alle getallen hetzelfde
zijn. De verschillende getallen zijn
juist uitgevonden en “gedefinieerd”
om verschillende hoeveelheden te
kunnen aanduiden.
Nu luidt volgende stelling: Als het mogelijk zou zijn om door nul te delen, dan
zouden alle getallen hetzelfde zijn.
Ieder getal maal nul is immers nul. Zo geldt:
16 x 0 = 0 en 7 x 0 = 0
Dus
16 x 0 = 7 x 0
Als je kon delen door 0
16 x 0 / 0 = 7 x 0 / 0
en Dus
16 = 7
Deze stelling geldt voor elke twee verschillende natuurlijke getallen a en b.
Je kunt dus niet delen door 0 en a/0 betekent dus niets.
We hebben nu vastgesteld dat a/0 niets betekent omdat het te veel betekent: het
kan elk willekeurig getal zijn. Maar geldt dat ook als a ook 0 is? Is 0/0 altijd
even betekenisloos als bijvoorbeeld 4/0 of -81/0? Zouden er omstandigheden
kunnen zijn waaronder andere getallen gluren door de spleten van het masker
waar 0/0 op zijn kant op lijkt?
Laten we dit hersenspinsel even laten bezinken.
Laten we een kijkje nemen naar het gedrag van nul in de wereld van de
exponenten. Zouden deze bewerkingen met nul evengoed mogelijk zijn als met
ieder ander getal?
- 15 -
57 betekent 5*5*5*5*5*5*5 of 78 125 en 75 betekent 7*7*7*7*7 of 16 807.
Machtsverheffen is een bijzonder soort vermenigvuldigen zoals
vermenigvuldigen een bijzonder soort optellen is.
Er is geen probleem als we nul tot
een macht verheffen: 05 betekent
0*0*0*0*0 wat natuurlijk 0 is. Maar
draai de rol eens om en vraag wat 50
betekent. Als we over deze vraag
proberen te filosoferen, krijgen we
een ingewikkeld verbaal probleem: is
het geen een keer vijf keer zichzelf,
en als dat zo is, is dat nul of heeft het
geen betekenis?, Aangezien 51 = 5, is
50 vijf minder, dus weer 0? Maar wat
zou 5-1 dan betekenen: weer 5 minder
en dus -5? Dat klinkt niet
waarschijnlijk. Of betekent 50 dat je 5
helemaal niet tot een macht verheft
en is het gewoon 5? Aangezien 51 =
5, zou dat leiden tot de
onmogelijkheid 1 = 0 !
Laten we even alles op een rijtje
zetten. We begrijpen wat 57 betekent.
We begrijpen wat 54 betekent.
Begrijpen we 57 * 54 ? Natuurlijk, dat is 7 + 4 = 11 vijven met elkaar
vermenigvuldigd. En 57 / 54 ? Schrijf het maar uit:
57 / 54 = 5*5*5*5*5*5*5/5*5*5*5
Is er een manier om deze breuk te vereenvoudigen in plaats van eerst alles te
vermenigvuldigen en dan door elkaar te delen? Ja. Aangezien 5/5 gelijk is aan
1, hebben we hier vier paar 5/5, dus 1*1*1*1 en blijft er nog 5*5*5 over. Met
andere woorden, 57 / 54 = 53
Het is dus heel eenvoudig bij 57 * 54 kun je de exponenten bij elkaar optellen en
krijg je 511 , bij 57 / 54 trek je ze af en krijg je 53
Dit was de hint die we nodig hadden en we keren terug naar de minotaurus 5 0 in
het hart van het doolhof. 0 is een willekeurig getal min zichzelf.
Dus 57 / 57 = 57-7 = 50 , en 57 / 57 = 1 dus 50 = 1. Aangezien er niets bijzonders
aan 5 is, moet deze regel algemeen geldig zij: a0 = 1 voor iedere a. Dit resultaat
kan er vreemd uitzien en onverwachts maar er is geen twijfel aan de juistheid er
van.
- 16 -
Nu hoor ik u al zeggen: “Voor iedere a? En als a = 0 : is 0 ook gelijk aan 1?
Helaas kunnen we ons trucje hier niet toepassen omdat 03 / 03 = 0*0*0 / 0*0*0
en dus 0/0 wat ons weer brengt bij het onderwerp wat we nu net wachtzaal
hadden geplaatst.
Laten we de exponenten die ons terug in de problemen hebben gebracht
gebruiken om ons er terug uit te helpen. Daarvoor moeten we eerst onze kennis
over exponenten uitbreiden naar de rationele getallen. We weten dan we bij een
vermenigvuldiging van machten met dezelfde grondtallen we de exponenten
moeten optellen en bij delen ze moeten aftrekken. 52 / 53 = 52-3 = 5-1 eveneens is
52 / 53 gelijk aan 5*5/5*5*5 wat 1/5 oplevert 5-1 is dus 1/5 en om diezelfde
reden is 5-2 gelijk aan 1/52 . Ook geldt 51/2 * 51/2 = 51/2+1/2 = 5 ! Dat betekent dat
51/2 een getal is dat mits met zichzelf vermenigvuldigd gelijk is aan 5. Het enige
getal dat hier aan voldoet is √5 . Dus 51/2 = √5 enzovoort.
Laten we nu 00 eens bekijken:
03 = 0 aangezien 03 = 0*0*0, en 02 = 0 en 01 = 0. Nu hebben zonet gezien dat
01/2 = √0 en √0 = 0 . Evenzo is 01/3 = 3√0, net als 01/4 en 01/5 enzovoort. Als we
de redenering omlaag voortzetten, wat zou dan meer overtuigend zijn dan de
bewering 00 = 0 ?
Even overtuigend is ook het volgende: 50, zo
hebben we bewezen, is 1. Dat geldt ook voor
40, 30 en 20. Dus moet (1/2)0 gelijk zijn aan 1,
evenals (1/3)0, (1/4)0 enzovoort. Als je dus op
deze manier naar nul kruipt, dus de exponent
houdt en het grondtal naar nul laat naderen, is
het pijnlijk duidelijk dat 00 =1.
Maar hoe kan 00 nu tegelijk 0 en 1 zijn dat zou
weer leiden tot de paradox 0=1! Het niets dat
we proberen te vatten door het iets dat ons
wegleidt met het dwaallicht stralend door de
kracht van de leegte.
- 17 -
Het vraagstuk van het niet-zijn: een verwevenheid van het iets en
het niets
Een vraag uit de metafysica en de filosofie en ja! Ook uit de fysica.
‘Het zijn’ en ‘het niet zijn’,’ het iets’ en ’het niets’, evenzeer onware
substantieven. Het Boeddhisme geeft u de keuze uit 2 tegengestelde beelden die
even waar zijn als onwaar en met elkaar
verweven zijn. De leegte en de volheid.
De volheid oppert hoe vol alles is. De
wereld is vol van wezens die en geheel
vormen. Elk blad vormt een nieuwe tuin.
Men kan het vergelijken met een doek. Het
beeld van de volheid ziet het doek als een
volheid met talloze draden die weer
bestaan uit kleinere draden en dingen die
op hun beur vol van zichzelf zijn. Het
beeld van de leegte ziet de ruimte tussen
de draden en verwevingen in. Het
kolossale niets de openheid van alles.
Het bestaan van een niets, in de fysische
betekenis van een absolute ledigheid, is
lang een onderwerp van discussie geweest. Tot ver na de Middeleeuwen dacht
men dat de natuur een afkeer had van een niets en deze "niets" weer
samenperste tot het gevuld was. Dit staat ook wel bekend onder het begrip
Horror vacui.
Naarmate het inzicht vorderde leek het erop dat een vacuüm wel degelijk kan
bestaan, en dat de ruimte tussen de sterren vrijwel leeg was. Tussen de
individuele gasatomen zou er niets zijn.
Echter de komst van de kwantummechanica heeft dat beeld weer doorbroken.
Een elementair begrip uit de kwantummechanica is het onzekerheidsprincipe
van Heisenberg. Dit stelt dat van een deeltje nooit de energie en positie tegelijk
precies bekend kan zijn. Dit betekent ook dat de energie van het vacuüm niet
nul kan zijn, met andere woorden, er kan altijd een deeltje aanwezig zijn. Uit
het niets ontstaan spontaan deeltjes en deze vernietigen elkaar weer.
Uit experimenten is het bestaan van deze vacuümenergie inderdaad aangetoond.
Het lijkt er op dat het absolute niets niet bestaat, in ieder geval niet in ons
heelal. Of er "daarbuiten" niets bestaat is een vraag voor filosofen en
metafysici, daar kan de wetenschap geen uitspraak over doen.
- 18 -
Ook bestaat er de eeuwige vraag van het zijn en de waarschijnlijkheid van zijn.
Hoe zeker zijn we van ons bestaan?
Als men de fysica bekijkt is het uiterst zeer onwaarschijnlijk dat we bestaan. De
talloze constanten en consistente verbanden tussen de grootheden die allen zo
onwaarschijnlijk zijn dat het lijkt op een galactisch lottobiljet met een 1 kans op
oneindig. De fysica wimpelt deze vraag en dit probleem op een zeer elegante
manier af, dat het zeker een bespreking waard is in dit eindwerk.
Het Antropisch Principe
Things are as they are because we are
Het is een antwoord op de vraag: “Waarom zijn de dingen zoals ze zijn?”
De dingen zijn zoals ze zijn om de simpele reden dat als ze anders waren wij die
vraag niet eens konden stellen. Het antwoord zit dus in de vraag zelf vervat
De dingen zijn zoals ze zijn omdat we de vraag kunnen stellen waarom ze zo zijn.
Omdat wij er zijn!
Het niets. Het probleem van het niets is dat het niet te vatten is.
Vragen als “wat was er voor de oerknal” waarop de fysicus ons antwoordt dat
de vraag even zinnig is als “wat is er ten noorden van de noordpool”
Steven Hawking bedacht ooit een theorie met een imaginaire tijd, loodrecht op
de reële tijd, waarbij de reële tijd zo gekromd zou zijn dat ze in het verlengde
zou liggen van de imaginaire tijd en het heelal dus helemaal geen begin heeft.
Maar dat het gewoon zo lijkt net als men zou kunnen zeggen dat de aarde in de
noordpool begint. Het is duidelijk dat hawking met die gedachte een
voorstander is van het volle beeld van de boeddhisten.
Het probleem dat we hebben met het niets blijkt ook in onze omgang met de
dood. We geloven in godsdiensten die een leven na de dood voorzien omdat we
er niet bij kunnen dat we na de dood ophouden te bestaan en naar het eeuwige
niets. Het eeuwige niets! Is dat goed of is dat slecht?
Hoe goed of slecht is het niet-bestaan?
Een zekere eugeneticus Julian Huxly sprak in 1937 over mensen met een
geestelijke handicap en zei dat we ze weliswaar de best mogelijk zorg moesten
geven, maar dat het beter voor ons en henzelf zou zijn geweest als ze nooit
waren geboren. Voor ons kan u afgaan op de last die we er van ondervinden die
u dan weer kan verwerpen met de liefde die van hen uitgaat. Maar voor
henzelf???? Hoe kan men nu weten dat het bestaan beter of slechter is als het
niet-bestaan. Ook al is het bestaan lijden waarom zou het dan slechter zijn dan
het niet-bestaan.
- 19 -
De dood, het eeuwige niets, heeft niets te maken met het leven zei een filosoof
ooit. als wij er zijn is de dood er niet. En als de dood er is zijn wij er niet.
Dat eeuwige niets is goed noch slecht.
Zoals de dieren in de natuur goed nog
slecht zijn alleen maar omdat het
natuurlijk is. Dat onderscheid tussen
goed en slecht en zonde is een
uitvinding van de mens.
Het eeuwige niets is goed noch slecht.
En de enige reden waarom je er niet
zelf voor zou mogen kiezen is omdat
het On-Way ticket is. Uitstel is geen
afstel en doodgaan doe je toch
Uit het niets zijn wij ontstaan en in het niets zullen wij verdwijnen.
“Het grootste mysterie is niet dat wij willekeurig tussen de overvloed aan materie en
sterren zijn gegooid, maar dat binnen deze gevangenis wij ons beelden voor de geest
kunnen halen die krachtige genoeg zijn om onze nietigheid te ontkennen.”
André Malraux
fans auteur (1901 - 1976)
- 20 -
Bibliografie
Internet
http://nl.wikipedia.org/wiki/Nul
http://www.heinpragt.com/symbols/getallen1.php
http://www.bop.vgc.be/tijdschriften/kits/000115/millennium.html
http://staff.science.uva.nl/~rhd/piraha.html
http://www.egoproject.nl/star/star1.htm
http://www.hawking.org.uk/
Literatuur:
De wereld van Sophie
Einstein’s droom
Het paradoxale niets “Een geschiedenis van het getal nul”
- 21 -
Jostein Gaarder
Stephen Hawking
Robert Kaplan