Coördinatiseringen

Coördinatiseringen
Het rekenen met vectoren in Rn gaat erg gemakkelijk. De coördinaten bieden de mogelijkheid
om handig te rekenen (vegen). Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor
vectoren in algemenere vectorruimten (anders dan Rn ). Er geldt :
Stelling 1. Stel dat B = {b1 , . . . , bn } een basis is van een vectorruimte V . Dan geldt voor
iedere vector v ∈ V :
v = x1 b1 + . . . + xn bn , x1 , . . . , xn ∈ R.
Deze schrijfwijze is bovendien uniek.
Bewijs. Er geldt dat V = Span{b1 , . . . , bn }, want B is een basis van V . Dat betekent
dat elke vector v ∈ V geschreven kan worden als lineaire combinatie van de vectoren in B :
v = x1 b1 + . . . + xn bn . Om in te zien dat deze schrijfwijze uniek is nemen we aan dat ook
v = y1 b1 + . . . + yn bn . Dan geldt :
o = v − v = (x1 − y1 )b1 + . . . + (xn − yn )bn .
Nu is {b1 , . . . , bn } lineair onafhankelijk, want B is een basis van V . Hieruit volgt :
x1 − y1 = 0, . . . , xn − yn = 0
⇐⇒
x1 = y1 , . . . , xn = yn .
Dit toont aan dat de schrijfwijze v = x1 b1 + . . . + xn bn uniek is.
Dit geeft de mogelijkheid om coördinaten in te voeren :
Definitie 1. Stel dat B = {b1 , . . . , bn } een basis is van een vectorruimte V en dat v ∈ V .
Dan noemen we de gewichten van de lineaire combinatie
 v =x1 b1 +. . .+xn bn de coördinaten
x1
 .. 
van v ten opzichte van de basis B. Notatie : [v]B =  . .
xn


x1
 .. 
De vector x =  .  ∈ Rn heet de coördinaatvector van v ten opzichte van de basis B.
xn
De (lineaire) afbeelding F : V → Rn met F(v) = [v]B heet de coördinaatafbeelding bepaald
door de basis B.
Voorbeeld 1. We hebben gezien dat
1 0
0 1
0 0
B={
,
,
}
0 0
1 0
0 1
een basis is van
van alle symmetrische (2 × 2)-matrices.
S2×2 , de deelruimte
2 −1
Stel dat M =
, dan geldt : M ∈ S2×2 . Verder geldt :
−1
3
2 −1
1 0
0 1
0 0
M=
=2·
−1·
+3·
.
−1
3
0 0
1 0
0 1
1


2
Dit betekent dat [M ]B =  −1 .
3
De matrix M kunnen we dus representeren door een vector in R3 .
Voorbeeld 2. Ook hebben we gezien dat C = {1, t, t2 } een basis is van de vectorruimte P2
van alle polynomen van de graad ≤ 2.


5
Stel p(t) = 5 + 2t − 3t2 , dan geldt : p ∈ P2 . Nu is : [p(t)]C =  2 .
−3
We kunnen dus ook het polynoom p(t) representeren door een vector in R3 .
Bij een gegeven basis wordt door een coördinaatvector ten opzichte van die basis dus precies
één vector uit de betreffende vectorruimte gerepresenteerd.
De coördinaatafbeelding F : V → Rn is een isomorfisme. Dit betekent dat bij elke vector v
in V precies één coördinaatvector x in Rn hoort en omgekeerd dat elke vector x in Rn precies
één vector v in V beschrijft :
Als B = {b1 , . . . , bn } een basis van V is, dan geldt :


x1


[v]B = x =  ...  ⇐⇒ v = x1 b1 + . . . + xn bn .
xn
De vectorruimten V en Rn heten dan wel isomorf. Ze hebben min of meer dezelfde (’iso’)
vorm, gedaante of structuur (’morf’).
We kunnen dit nu alsvolgt gebruiken :
Voorbeeld 3. Om uit te zoeken of {1 + t, 1 − t2 , t(1 + t)} in P2 lineair (on)afhankelijk is
gebruiken we de coördinaatvectoren ten opzichte van de standaardbasis E = {1, t, t2 } van P2 :
 


 
1
1
0
2





1 , [1 − t ]E =
0
1 .
[1 + t]E =
en [t(1 + t)]E =
0
−1
1
Dan volgt door vegen :

 
 

1
1 0
1
1 0
1
1 0
 1
0 1  ∼  0 −1 1  ∼  0 −1 1  .
0 −1 1
0 −1 1
0
0 0

    
  
 
1
1
1
0
0
1
Dus : { 1  ,  0  ,  1 } is lineair afhankelijk en  1  =  1  −  0 .
−1
0
−1
1
1
0

Dit betekent dat {1+t, 1−t2 , t(1+t)} ook lineair afhankelijk is en dat t(1+t) = (1+t)−(1−t2 ).
2
Coördinaten in Rn

x1


Een vector x =  ...  in Rn wordt aangeduid met de coördinaten ten opzichte van de
xn
standaardbasis E = {e1 , e2 , . . . , en } met
 
 
 
1
0
0
 0 
 1 
 0 
 
 
 
 0 
 0 
 
e1 =   , e2 =   , . . . , en =  ...  .
 .. 
 .. 
 
 . 
 . 
 0 

0
0
1
Dat wil zeggen :


x1


[x]E =  ...  = x.
xn
We kunnen echter ook een andere basis B kiezen en vervolgens coördinaatvectoren ten opzichte
van die basis B gebruiken.
Voorbeeld 4. Stel dat b1 =
1
−1
, b2 =
1
2
∼
en x =
4
5
. Dan is B = {b1 , b2 } een
basis van R2 , want :
1 1
−1 2
1 1
0 3
.
Omdat er in elke kolom een pivot ontstaat is {b1 , b2 } lineair onafhankelijk. En omdat er ook
in elke rij een pivot ontstaat geldt ook dat R2 = Span{b1 , b2 }. Dus : B is een basis van R2 .
Vraag : Wat is nu [x]B , de coördinaatvector van x ten opzichte van basis B ?
c1
Oplossing : [x]B =
⇐⇒ x = c1 b1 + c2 b2 . Dus :
c2
c1
1
−1
+ c2
Vegen geeft nu :
1 1 4
1 1
∼
−1 2 5
0 3
1
2
=
4
5
⇐⇒
4
1 1
9 ∼
0 1
1 1
−1 2
4
1 0
3 ∼
0 1
3
=
4
5
.
1
1
=⇒ [x]B =
.
3
3
In het algemeen geldt : als B = {b1 , . . . , bn } een basis van Rn is en


PB =  b1 . . . bn  ,
c1
c2
dan geldt


x = c1 b1 + . . . + cn bn =  b1 . . . bn  


c1
..  = P [x] .
B
B
. 
cn
De matrix PB heet de overgangsmatrix of coördinatentransformatiematrix bij de overgang van basis B naar de standaardbasis E van Rn .
Deze matrix PB is vierkant en de kolommen zijn lineair onafhankelijk (die vormen immers een
basis van Rn ). De matrix PB heeft dus in elke kolom en in elke rij een pivotpositie en is dus
inverteerbaar. Er geldt dus : [x]B = PB−1 x.
De dimensie van een vectorruimte
Hoewel het mogelijk is om verschillende bases van een vectorruimte te kiezen, is het aantal
vectoren in zo’n basis altijd gelijk. Dit aantal noemen we de dimensie van de vectorruimte.
Stelling 2. Als B = {b1 , . . . , bn } een basis is van een vectorruimte V , dan is elke verzameling
in V met meer dan n vectoren lineair afhankelijk.
Bewijs. Stel dat {u1 , . . . , up } zo’n verzameling in V is met meer dan n vectoren (p > n).
Dan vormen de coördinaatvectoren [u1 ]B , . . . , [up ]B een lineair afhankelijke verzameling in Rn
omdat de matrix


 [u1 ]B . . . up 
B
meer kolommen (p) dan rijen (n) heeft. Er kan dus niet in elke kolom een pivotpositie bestaan.
Dus is {[u1 ]B , . . . , [up ]B } lineair afhankelijk. Maar dan is ook {u1 , . . . , up } lineair afhankelijk.
Stelling 3. Als B = {b1 , . . . , bn } een basis is van een vectorruimte V , dan heeft elke basis
van V precies n vectoren.
Bewijs. Stel dat C = {c1 , . . . , cp } een andere basis van V is met p vectoren. Volgens de vorige
stelling kan deze basis niet meer vectoren bevatten dan basis B. Dus : p ≤ n. Omgekeerd
kan basis B ook niet meer vectoren bevatten dan basis C. Dus ook : n ≤ p. Hieruit volgt dat
p = n. Basis C bevat dus evenveel vectoren als basis B.
Dit leidt tot de volgende definitie :
Definitie 2. Als een vectorruimte V wordt opgespannen door eindig veel vectoren, dan heet
V eindig-dimensionaal. Het aantal vectoren van een basis heet dan de dimensie van V .
Notatie : dim V . Hierbij spreken we af dat dim {o} = 0.
Als V niet wordt opgespannen door eindig veel vetoren, dan heet V oneindig-dimensionaal
(dim V = ∞).
4
Enkele voorbeelden :
1. dim Rn = n, want de standaardbasis {e1 , . . . , en } bevat n vectoren.
2. dim Pn = n + 1, want de standaardbasis {1, t, t2 , . . . , tn } bevat n + 1 vectoren.
1 0
0 1
0 0
3. dim S2×2 = 3, want de basis {
,
,
} bevat 3 vectoren.
0 0
1 0
0 1
4. dim C[0, 1] = ∞.
5. Een lijn door O in R3 is een 1-dimensionale deelruimte van R3 .
6. Een vlak door O in R3 is een 2-dimensionale deelruimte van R3 .
Er geldt nu :
Stelling 4. Als V een vectorruimte is met dim V = n, dan is elke lineair onafhankelijke
verzameling met precies n vectoren een basis van V .
Het bewijs van deze stelling laten we buiten beschouwing.
De rang van een matrix
Definitie 3. De rang van een matrix A is de dimensie van de kolomruimte.
Notatie : rank A = dim(Col A).
Aangezien de pivotkolommen van A een basis vormen van de kolomruimte van A geldt dat
de rang van A gelijk is aan het aantal pivotposities.
Verder is eenvoudig in te zien dat dim(Nul A) gelijk is aan het aantal vrije variabelen in het
stelsel vergelijkingen voorgesteld door Ax = o. Dit leidt tot de volgende dimensiestelling :
Stelling 5. Als A een (m × n)-matrix is, dan geldt : rank A + dim(Nul A) = n.
We weten dat Row A = Col AT . Omdat bij het vegen van een matrix het opspansel van
de rijen (de rijruimte) niet verandert, geldt dus ook dat dim(Row A) = rank A, het aantal
pivotposities. Stelling 5 toegepast op AT in plaats van A levert dan :
Stelling 6. Als A een (m × n)-matrix is, dan geldt : rank A + dim(Nul AT ) = m.
Voor de vier fundamentele deelruimten behorende bij een matrix A geldt dus :
Stelling 7. Als A een (m×n)-matrix is, dan zijn Row A en Nul A deelruimten van Rn en zijn
Col A en Nul AT deelruimten van Rm . Verder is (Row A)⊥ = Nul A en (Col A)⊥ = Nul AT en
geldt dat
dim(Row A) + dim(Nul A) = n
en
5
dim(Col A) + dim(Nul AT ) = m.
Overgangsmatrices
Stel dat B = {b1 , . . . , bn } en C = {c1 , . . . , cn } twee verschillende bases zijn van een vectorruimte V . Als v een vector in V is, wat is dan het verband tussen de coördinaatvectoren
[v]B en [v]C ? Dat er een verband tussen deze vectoren moet bestaan is duidelijk, want beide
coördinaatvectoren stellen immers dezelfde vector v in V voor.


x1


Stel dat [v]B =  ... , dan geldt : v = x1 b1 + . . . + xn bn . Nu volgt :
xn
[v]C = [x1 b1 + . . . + xn bn ]C = x1 [b1 ]C + . . . + xn [bn ]C ,
aangezien de coördinaatafbeelding een lineaire afbeelding is. Definieer nu de matrix


P =  [b1 ]C . . . [bn ]C  ,
C←B
dan volgt


[v]C = x1 [b1 ]C + . . . + xn [bn ]C =  [b1 ]C . . . [bn ]C  

Dit is het gezochte verband tussen [v]B en [v]C . De matrix P
C←B

x1
..  = P [v] .
.  C←B B
xn
heet de overgangsmatrix
of basistransformatiematrix bij de overgang van basis B naar basis C. De kolommen van
P zijn de coördinaatvectoren van de basisvectoren van B ten opzichte van de basis C.
C←B
Als we de rol van de bases B en C verwisselen vinden we dat [v]B = P [v]C .
B←C
Zo’n overgangsmatrix is vierkant en heeft lineair onafhankelijke kolommen. De kolommen
zijn immers de coördinaatvectoren van een basis. Dit betekent dat een overgangsmatrix altijd
inverteerbaar is. Verder geldt dat
−1
P
= P .
C←B
B←C
Voorbeeld 5. Ga na dat E = {1, t, t2 } en B = {1, 1 + t, 1 + t + t2 } beide bases zijn van P2 .
Merk op, dat
 
 
 
1
1
1
2





0 , [1 + t]E =
1
1 .
[1]E =
en [1 + t + t ]E =
0
0
1
Hieruit volgt dat


1 1 1
P = 0 1 1 
E←B
0 0 1
en (na vegen)
−1 

1 1 1
1 −1
0
1 −1  .
P = 0 1 1  = 0
B←E
0 0 1
0
0
1

6