PLANETENSTELSELS IN ONZE MELKWEG Opgaven

VOLKSSTERRENWACHT
BEISBROEK VZW
Zeeweg 96, 8200 Brugge
- Tel. 050 39 05 66
www.beisbroek.be - E-mail: [email protected]
PLANETENSTELSELS
IN ONZE MELKWEG
Opgaven
Frank Tamsin en Jelle Dhaene
De ster HR 8799 met zijn bijbehorend planetenstelsel, één van de weinige
planetenstelsels die we kunnen waarnemen via imaging.
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 2
Nuttige gegevens
Massa van de Zon: 1 M = 1.9891
108 m = 109 R
Straal van de Zon: 1 R = 6.96
Massa van de Aarde: 1 M = 5.98
1024 kg
106 m
Straal van de Aarde: 1 R = 6.38
Massa van Jupiter: 1 MJ = 1.8986
Straal van Jupiter: 1 RJ = 6.9911
1030 kg = 333000 M
1027 kg = 317.8 M = 1/1047 M
107 m (gemiddeld)
Astronomische eenheid: 1 AU = 149597870 km
Parsec: 1 pc = 3.26 ly = 3.086
1016 m
Universele gravitatieconstante: G = 6.67
10–11 m3 kg–1 s–2
Snelheid van het licht in vacuüm: c = 2.99792458
108 m
3
108 m
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 3
Dynamica van planetenstelsels
Oefening 1
Bereken de perihelium- en apheliumafstand voor de planeet Mercurius als je weet dat de halve grote
as van haar baan 57909100 km is en de excentriciteit 0.206 bedraagt.
Oefening 2
Bereken de excentriciteit en de lengte van de halve grote as van de baan van de Aarde als je weet dat
de perihelium- en apheliumafstand repectievelijk 147098290 km en 152098232 km bedragen.
Oefening 3
a) Bereken de snelheid in het aphelium van de komeet Halley als je weet dat de snelheid in het
perihelium 54 km/s bedraagt. Verder weet je dat de afstand van het perihelium 0.586 AU bedraagt en
dat de excentriciteit van de baan 0.967 is.
b) Wat is de periode van Halley?
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 4
Detectie van exoplaneten
Oefening 4
Beschouw de figuur hiernaast en
kijk naar de exoplaneten die met
behulp van de drie hier besproken
methodes waargenomen zijn (dus
transit, radiale snelheid en directe
waarneming).
a) Wat valt hieraan op?
b) Verklaar het antwoord op
bovenstaande vraag.
Oefening 5
Bekijk opnieuw de figuur hiernaast.
a) Wat is ongeveer de massa van
het grootste deel van de ontdekte
exoplaneten?
b) Betekent dit dat dit soort
planeten veel meer aanwezig is in
het universum dan andere? Indien
niet, verklaar dan waarom we dit
toch waarnemen.
De ontdekte exoplaneten (stand van zaken oktober 2010) en de manier
waarop ze ontdekt zijn. Op de verticale as staat de logaritme van de massa
van de planeten uitgedrukt in Jupitermassa’s en op de horizontale as staat
de logaritme van de afstand tot de moederster uitgedrukt in astronomische
eenheden. © Aldaron.
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 5
Radiale snelheidsmethode
Oefening 6
De figuur hieronder stelt de radiale snelheidscurve van 51 Pegasi voor. De gemeten radiale snelheid
(vrad) is uitgezet in functie van de tijd (dagen). Deze informatie werd bekomen uit de analyse van de
dopplerverschuiving van de absorptielijnen in het spectrum van de sterren. Een spectrale lijn die
normaal voorkomt bij een golflengte wordt verschoven naar een golflengte +
waarbij
v rad
.
c
a) Wat is de minimale en maximale
radiale snelheid die de ster
bereikt?
b) Zijn deze gelijk? Zoniet, verklaar
waarom.
c) Kan je hieruit de snelheid berekenen waarmee het planetenstelsel van ons weg beweegt? Wat
is de dopplerverschuiving bij deze
radiale snelheid?
d) Een belangrijke absorptielijn in
het spectrum van een ster als de
Zon is die van neutraal natrium die
bestaat uit een doublet bij 589 en
589.6 nm. Bereken voor de ster 51
Pegasi naar welke golflengte deze
lijnen verschoven worden.
Radiale snelheidscurve van 51 Pegasi, de eerste exoplaneet die bij een
Oefening 7
hoofdreeksster is ontdekt. © Marcy en Butler.
Uit de periode P van de curve kan
met behulp van de derde wet van Kepler de afstand rP van de planeet tot de ster bepaald worden:
rP3
G ( M * M P) 2
P
4 2
GM * 2
P
4 2
waarbij M* en MP respectievelijk de massa van de ster en van de planeet voorstellen.
Verder weten we dat de middelpuntzoekende kracht gegeven wordt door
F
M P v P2
rP
waarbij vP de snelheid van de planeet rond de ster voorstelt.
Samen met de gravitatiewet van Newton
F
G
M *M P
rP2
leidt tot de snelheid van de planeet rond haar ster:
vP
G
M*
rP
Uit de definitie van massamiddelpunt (de impuls van het massamiddelpunt van het systeem sterplaneet is nul) kunnen we ook nog afleiden dat
M P vP
M *v*
Neem opnieuw de figuur rechtsboven.
a) Op welk punt in de curve staat 51 Pegasi het dichtst bij ons? En wanneer het verst?
b) Wat is de periode van de radiale snelheidscurve?
c) Wat is de semi-amplitude van de curve?
d) Bepaal de afstand van de planeet tot de ster. Daarbij mag aangenomen worden dat 51 Pegasi
ongeveer dezelfde massa heeft als onze Zon.
e) Wat is de minimale massa van de planeet?
f) Wat valt op aan de resultaten (de massa en de afstand)?
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 6
g) Toon algemeen aan dat deze methode leidt tot het bepalen van m sin i, waarbij m de massa van de
exoplaneet is en i de inclinatie (dit is de hoek tussen het baanvlak van de exoplaneet en het raakvlak
aan de hemelsfeer).
Oefening 8
De resultaten van de vorige twee oefeningen geven nog aanleiding tot enkele bijkomende vragen.
a) Vergelijk de bekomen informatie met deze van de planeten in ons zonnestelsel. Wat is verschillend
aan deze nieuwe planeten?
b) Verklaar waarom het moeilijk wordt om een planeet op dezelfde afstand en van dezelfde grootte als
Saturnus te detecteren met deze techniek van de radiale snelheid.
c) De beste spectrometer kan radiale snelheden meten tot 1 m/s. Gebruik deze waarde als limietamplitude om de massa te bepalen van de kleinste planeet die theoretische detecteerbaar is rond een
zonachtige ster en op de afstand van de Aarde (1 AU). Vergelijk deze waarden met deze van de
Aarde.
d) Hoe zou een grafiek van de radiale snelheid van een ster verschillen met deze van 51 Pegasi in het
geval van een zeer excentrische planeet (zeer elliptische baan)?
e) Hoe zou een grafiek van de radiale snelheid van een ster met meerdere exoplaneten verschillen
met deze van 51 Pegasi?
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 7
Transitmethode
Oefening 9
De eerste ontdekking van een
exoplaneet via de transitmethode
werd gedaan in 1999 door de
astronomen Tim Brown en David
Charbonneau bij de ster HD
209458. De figuur rechts is een
plot van de meetgegevens van de
fotometer STIS op de Hubble
Space Telescope. Er zijn duidelijk
vier transits van een planeet voor
de ster te zien.
Op de X-as hebben staat de tijd in
dagen afgebeeld en op de Y-as
staat de relatieve helderheid uitgezet. Een waarde 1.0 komt overeen
met een ster die niet bedekt wordt
door de planeet.
a) Schat de omloopperiode van de
exoplaneet rond de ster HD
209458. Hebben de astronomen
data voor iedere transit gedurende hun waarnemingscampagne van 18.67 dagen? Welke reden kan je
bedenken waardoor het niet mogelijk was elke transit waar te nemen?
b) De onderstaande vier grafieken zijn een uitvergroting van de vier transits die zichtbaar zijn in de
voorgaande figuur. Hoewel de volledige transit nooit is waargenomen, zijn er toch voldoende data om
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 8
het tijdstip van het midden van de transit te bepalen.
c) Probeer de vorm van de grafieken van de transits bij HD 209458 te verklaren. Waarom zijn de
zijkanten schuin? Waarom is de bodem niet vlak? Wat kun je, behalve de grootte van de planeet, nog
meer uit de grafiek bepalen?
d) Bepaal voor elk van deze vier grafieken het tijdstip waarop het minimum van de overgang plaatsvond. Bereken voor transit 2, 3 en 4 de tijd die verstreken is tussen de transits. Gebruik deze waarden
en de eerder bekomen informatie om een schatting te maken van de periode voor elke transit.
e) Maak een schatting van de foutmarge. Wat zijn de mogelijke oorzaken van de fouten? Brown en
Charbonneau hadden een periode gevonden van P = 3.52474 ± 0.00007 dagen.
f) Gebruik de metingen van de relatieve flux om de verhouding van de straal van de exoplaneet ten
opzichte van de centrale ster af te leiden.
g) De ster HD 209458 is goed vergelijkbaar met onze Zon. Gebruik deze informatie om een schatting
te maken van de straal van de exoplaneet in kilometer. De ster HD 209458 staat op een afstand van
150 lichtjaar van de Aarde. Maakt het voor de bepaling van de straal van de exoplaneet uit hoe groot
de afstand tussen de exoplaneet en de ster is? Leg uit waarom wel of niet.
h) Maak op basis van de eerder bepaalde periode van de overgang een schatting van de afstand van
de exoplaneet ten opzichte van de ster.
i) Hoe zou de vorm van de lichtcurves wijzigen als
de exoplaneet groter zou zijn;
de ster groter zou zijn;
de planeet sneller zou bewegen;
de ster meer licht zou geven.
Oefening 10
Stel je voor dat een buitenaardse beschaving, die zich op een afstand van 20 lichtjaar van ons
bevindt, naar onze Zon kijkt en de transit van Jupiter kan waarnemen.
a) Hoeveel procent zal de helderheid van de Zon dalen als Jupiter (met een straal die ruwweg tien
keer kleiner is dan de straal van de Zon) zich op de gezichtslijn tussen hen en de Zon in bevindt.
b) Hoevel procent zal de helderheid van de Zon dalen als de Aarde zich op de gezichtslijn tussen hen
en de Zon in bevindt.
c) Hoe lang kan een transit van de Aarde vóór de Zon duren, waarbij gebruik mag gemaakt worden
van de gekende straal van de Zon (1 R ), de gekende straal van de aardbaan (1 AU) en de gekende
duur van een jaar. Is de waarde die op deze manier wordt bekomen een boven- of ondergrens?
d) Omgekeerd is het mogelijk om de tijd gedurende dewelke een exoplaneet zich voor de ster bevindt
te gebruiken om een limiet te plaatsen op deze afstand tussen de exoplaneet en de centrale ster. Is dit
een boven- of ondergrens?
e) Zal een beschaving die zich op 40 lichtjaar van ons bevindt een groter, hetzelfde of een kleiner
effect meten op de heldereheid van de Zon bij een transit van Jupiter en de Aarde? Leg je antwoord
uit.
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 9
Directe waarnemingen
Oefening 11
De resolutie van de HST (Hubble Space Telescope) is 0.05 boogseconden. Dit wil zeggen dat als 2
objecten zich op 0.05 boogseconden van elkaar bevinden aan de hemel, dat we ze als 2 verschillende
objecten zullen waarnemen. (Technisch gezien dient ook nog rekening gehouden te worden met de
Point Spread Function van het optisch systeem van de telescoop, dat ervoor zal zorgen dat we enkel
objecten die meer dan 0.2 boogseconden van elkaar verwijderd zijn als verschillende objecten kunnen
waarnemen. Dit effect komt door het golfkarakter van licht dat ervoor zorgt dat er in ieder optisch
systeem een diffractiepatroon zal aanwezig zijn. Hiervoor kunnen echter correcties doorgevoerd
worden, dus jullie kunnen er van uit gaan dat de resolutie 0.05 boogseconden bedraagt.)
Ga na of we met de HST volgende planeten in onderstaande systemen direct kunnen waarnemen.
a) Een planeet op 1 AU rondom een ster op 20 lichtjaar afstand.
b) Een planeet op 1 AU rondom een ster op 1000 lichtjaar afstand.
c) Een planeet op 30 AU rondom een ster op 1000 lichtjaar afstand.
Planetenstelsels in onze Melkweg – opgaven – 10
Extra oefeningen
Oefening 12
Er is een klein aantal exoplaneten dat zowel met de transitmethode als door middel van radiale
snelheid is waargenomen.
Beschouw een planetenstelsel – met zonachtige ster – waarvan een radiale snelheidscurve
opgemeten werd. Hiervoor werd een semi-amplitude van 326 m/s opgemeten met een periode van
18.2 dagen.
a) Bereken de afstand van de planeet tot de ster en bepaal de minimale massa.
b) Bereken de dichtheid van de planeet als bij een transit de lichtcurve 2 % daalt.
c) Wat wordt de dichtheid als bij een transit de lichtcurve 4 % daalt?
d) Waarom zouden we de gemiddelde dichtheid van een exoplaneet willen kennen?
Oefening 13
In deze oefening werken we met meetgegevens van twee sterren, 51 Pegasi (een ster in het sterrenbeeld Pegasus) en HD195019 (een ster in het sterrenbeeld Dolfijn). Onderstaande tabellen geven de
gemeten radiale snelheid (vrad) in functie van de tijd (dagen) van de twee sterren. Dit werd bekomen
uit de analyse van de dopplerverschuiving van de absorptielijnen in het spectrum van de sterren.
Dag
vrad
Radiale snelheid van 51 Pegasi
vrad
vrad
Dag
Dag
0.6
0.7
0.8
1.6
1.7
3.6
3.7
4.6
m/s
–20
–8
6
56
67
–35
–43
–34
4.7
4.8
5.6
5.7
5.8
6.6
6.7
7.7
m/s
–28
–23
45
48
56
65
63
–23
7.8
8.6
8.7
8.8
9.6
9.7
9.8
10.6
m/s
–32
–44
–37
–35
25
36
41
61
Dag
vrad
10.7
10.8
11.7
11.8
12.6
12.7
13.6
13.7
m/s
57
51
–3
–5
–39
–49
3
18
Radiale snelheid van HD 195019
vrad
vrad
Dag
Dag
m/s
m/s
1.0
–223
8.9
326
2.0
–186
10.0
262
3.1
–107
10.9
258
4.0
0
12.0
175
5.0
92
13.8
–3
7.0
244
14.8
–80
8.0
292
a) Zet voor de twee sterren de data uit in een grafiek. Plaats de waargenomen radiale snelheid (in
m/s) op de Y-as en de dag van observatie op de X-as.
b) Fit het volgende model aan de waarnemingen:
vrad = v0 + k sin ( (t–t0))
Dit gebeurt aan de hand van een kleinste kwadratenmethode. Bedenk zelf hoe je aan goede beginschattingen komt voor de parameters. Bepaal ook de periode P (merk op dat = 2 /P).
c) In hoeverre kunnen we dit antwoord nu vertrouwen? Dergelijke vragen komen in de sterrenkunde
vaak voor. Een principiële kwestie is dat we nooit helemaal zeker weten of het model wel het goede is.
Wat zijn de beperkingen van dit model (met andere woorden aan welke voorwaarden moet het
exoplanetenstelsel voldoen opdat het model goede resultaten zou opleveren)? Op welke manier zou
je kunnen nagaan of het model met succes toepasbaar is?
d) Kun je een betere en meer algemeen toepasbare werkwijze bedenken om de periode te bepalen?
(Tip: maak gebruik van de gereduceerde fase.)
Oefening 14
Beschouw een dubbelstersysteem van 2 sterren met verschillende massa die veel groter is dan de
massa van een planeet die zich in een baan rondom deze 2 sterren bevindt. Dit probleem is gekend
als het drielichamenvraagstuk.
a) Probeer de bewegingsvergelijking op te stellen voor dit probleem.
b) Het is aangetoond dat deze bewegingsvergelijkingen niet analytisch opgelost kunnen worden. Kun
je een vereenvoudiging doorvoeren zodat je dit toch kan doen? (Tip: hou er rekening mee dat de
massa van de planeet veel kleiner is dan die van de sterren.)