LH hd - Syneratio

3NCB0 – Tussentoets 1 van 26 november 2015
Maximale score is 15 punten; de punten per onderdeel staan (tussen haakjes) bij ieder onderdeel.
Een sonde hangt midden in zee, onder een met lucht gevulde boei. De boei heeft de vorm van een holle kubus
(ribbe Lb ) en heeft massa mb ; boven- en ondervlak liggen
parallel aan het wateroppervlak. De sonde is bolvormig,
met diameter ds en dichtheid ρs . De dichtheid van zeewater is ρw , en ρs > ρw . Het middelpunt van de sonde
hangt op diepte H onder het wateroppervlak, en van de
boei steekt een diepte hb in het water. De zwaartekracht
g werkt verticaal en de massa van de kabel tussen boei en
sonde is verwaarloosbaar.
Aan het begin van deze opgave hangt het hele systeem in
rust en mag je wrijving verwaarlozen.
Werk bij de hieronder gevraagde berekeningen met symbolen, vul geen getallen in.
Lb
boei
hb
H
ρs
ds
sonde
ρw
1. (2) Bereken de opwaartse kracht op het hele systeem.
2. (3) Geef een formule voor hb (in termen van de andere parameters van de opgave).
3. (3) Om de boei een stukje z dieper het water in te duwen, is een extra kracht Fex nodig.
Laat zien dat je die kunt schrijven als Fex = k ∗ z en geef een uitdrukking voor de constante
k ∗ . Is k ∗ positief of negatief, en waarom?
4. (1) Als je de boei aldus dieper het water in duwt, en daarna weer loslaat, dan zal hij
harmonisch op en neer gaan dansen. Bereken de periode van die trilling. (Je mag hier k ∗
laten staan, en hoeft niet de uitkomst van het vorige onderdeel te substitueren.)
Een dikke haai bijt de kabel tussen boei en sonde doormidden, waardoor de sonde zinkt en de
boei omhoog plopt. We kijken eerst naar de boei.
5. (1) De boei zal weer harmonisch op en neer gaan dansen. Beredeneer (zonder iets uit
te rekenen) of de periode nu groter dan, kleiner dan of gelijk zal zijn aan de zojuist
uitgerekende periode. (Ga er van uit dat de bodem van de boei nooit boven het water
uitkomt.)
We gaan nu het zinken van de sonde bekijken. Wrijving met het zeewater mag je nu niet langer
verwaarlozen. Neem aan dat de Wet van Stokes geldt, en noem de viscositeit van zeewater η.
We willen de (constante) sedimentatiesnelheid vT van de sonde weten.
6. (3) Stel de bewegingsvergelijking op voor de sonde. Wat zijn de randvoorwaarden?
7. (2) Bereken de sedimentatiesnelheid vT die de sonde uiteindelijk bereikt.
Zie ommezijde voor formules!
Stromingsleer
Dichtheid: ρ = m/V
Relatieve dichtheid: σ = ρ/ρwater
Druk (op een wand): p = F/A
dp
Hydrostatische druk: dy
= −ρg
Druk in de atmosfeer: p(y) = p0 exp(−ρ0 gy/p0 )
Opwaartse kracht: Fb = ρf gV ′
Oppervlaktespanning: γ = F/L
Druppel: ∆p = 2γ/R
Wet van Stokes: Fw = 6πηRvrel
Golven & Trillingen
Bewegingsvergelijking: F⃗ = m⃗a
Wet van Hooke: F = −k ∗ ∆L
(Hoek)frequentie en periode: ω = 2πf = 2π/T
√
Harmonische oscillator: x(t) = A cos(ωt + ϕ0 ) met ω = k ∗ /m
Energie: E = K + U = 12 mv 2 + 12 k ∗ x2
3NCB0 – Uitwerking Tussentoets 1 van 26 november 2015
We verwaarlozen het gewicht van de lucht in de boei.
1. FB = ρw gV ′ , met V ′ het verplaatste volume (1). V ′ = π6 d3s + hb L2b (1).
2. Evenwicht, dus FB = Fg , met Fg = M g met M de totale massa, M = π6 d3s ρs + mb (1).
Invullen: ( π6 d3s + hb L2b )ρw g = ( π6 d3s ρs + mb )g (1), dus hb = [ π6 d3s (ρs − ρw ) + mb ]/(ρw L2b ) (1).
3. De tegenkracht wordt geleverd door de extra opwaartse kracht: Fex = ρw g∆V = ρw gzL2b
(1), dus k ∗ = ρw gL2b (1). De benodigde kracht staat met z mee (1).
√
√
4. ω0 = 2π/T = k ∗ /M , dus T = 2π M/k ∗ (1).
5. Opwaartse kracht is identiek, maar M wordt kleiner, dus T wordt ook kleiner (1).
6. Bewegingsvergelijking: mz̈ = F , met F de totale kracht die op de sonde werkt (1). F =
FB + Fg + Fw = π6 d3s (ρs − ρw )g − 6πη( 12 ds )ż (1). Randvoorwaarden: z(0) = H en ż(0) = 0
( 12 + 12 ).
7. Sedimentatie als F = 0 (of z̈ = 0) (1), dus vT = (ρs − ρw )gd2s /(18η) (1).