8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]

8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]
Willem-Jan van der Zanden
1
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]
Twee evenwijdige lijnen worden
gesneden door een derde lijn.
De twee rode hoeken (F-hoeken)
zijn gelijk.
Twee evenwijdige lijnen worden
gesneden door een derde lijn. De
twee rode hoeken (Z-hoeken) zijn
gelijk.
Willem-Jan van der Zanden
2
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]
Voorbeeld 1:
Toon aan dat ΔAPQ gelijkvormig is met ΔABC
PAQ = BAC
APQ = ABC (F-hoeken)
Via (hh) volgt nu dat ΔAPQ en ΔABC gelijkvormig zijn.
Willem-Jan van der Zanden
3
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]
Voorbeeld 2:
Bereken PQ en CQ
Vanwege de gelijkvormigheid van Δ APQ en Δ ABC geldt:
PQ AP
PQ 10
5



 14PQ  10  8  PQ  5
BC AB
8 14
7
AQ AP
9 10
3



 10 AC  9  14  AC  12
AC AB
AC 14
5
3
3
CQ  AC  AQ  12  9  3
5
5Willem-Jan van der Zanden
4
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1]
Voorbeeld 3:
De lijnen PC en BQ snijden elkaar in het punt R.
Bereken de verhouding PR : CR
QPR = BCR (Z-hoeken)
PQR = CBR (Z-hoeken)
Uit (hh) volgt dat ΔPQR en ΔCBR gelijkvormig zijn.
Op basis hiervan geldt er nu:
5
PR PQ
PR
PR 5


 7 

CR BC
CR 8
CR 7
5
Willem-Jan van der Zanden
5
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [2]
Let op:
Congruente driehoeken zijn niet alleen gelijkvormig maar ook even groot.
Willem-Jan van der Zanden
6
8.2 Stellingen bewijzen [1]
Definitie = Een afspraak, die dus niet bewezen hoeft te worden.
Voorbeeld definitie:
• Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden;
• Een gestrekte hoek is een hoek van 180˚.
• Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide paren overstaande zijden
evenwijdig zijn;
• Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
Stelling = Een eigenschap, die bewezen moet worden. Voor het bewijs kun je alle
bekende definities en eerder bewezen stellingen gebruiken.
Willem-Jan van der Zanden
7
8.2 Stellingen bewijzen [1]
Stelling gelijkbenige driehoek (1):
Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende
hoeken ook gelijk.
Stelling gelijkbenige driehoek (2):
Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden
ook gelijk.
Stelling van overstaande hoeken:
De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.
Stelling van hoekensom driehoek:
De som van de hoeken van een driehoek is 180 graden.
Willem-Jan van der Zanden
8
8.2 Stellingen bewijzen [1]
Voorbeeld:
Bewijs de stelling van de overstaande hoeken.
Gegeven:
Twee lijnen die elkaar snijden in A.
Te bewijzen:
A1 = A3 en A2 = A4
Bewijs:
A1 + A2 = 180˚ (gestrekte ∠)
A3 + A2 = 180˚ (gestrekte ∠)
Hieruit volgt: A1 = A3
Op dezelfde manier kan bewezen worden: A2 = A4
Let op:
• Schrijf eerst op wat gegeven is;
• Noteer dan wat je moet bewijzen;
• Geef dan het bewijs en licht elke stap toe.
Willem-Jan van der Zanden
9
8.2 Stellingen bewijzen [2]
Een vermoeden is juist als je het kunt bewijzen.
Een vermoeden is niet juist als je een tegenvoorbeeld kunt geven.
Equivalente definities en eigenschappen van een parallellogram:
Er zijn twee paren evenwijdige zijden;
Er zijn twee paren gelijke overstaande zijden;
Twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig;
De diagonalen delen elkaar middendoor.
Equivalente definities en eigenschappen van een ruit:
Het is een vierhoek met vier gelijke zijden;
Het is een parallellogram waarin een diagonaal een hoek middendoor deelt;
Het is een parallellogram waarin de diagonale elkaar loodrecht snijden.
Equivalente definities en eigenschappen van een rechthoek:
Het is een vierhoek met vier rechte hoeken;
Het is een parallellogram met rechte hoek;
Het is een parallellogram met gelijke diagonalen.
Kies je één van deze eigenschappen als definitie, dan zijn de andere te bewijzen.
Willem-Jan
van der Zanden
Een omkeerbare stelling is een stelling
waarvan
de omkering ook waar is;
10
8.2 Stellingen bewijzen [2]
Definitie middelloodlijn:
De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die
loodrecht op dat lijnstuk staat.
Definitie bissectrice:
De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt.
Willem-Jan van der Zanden
11
8.2 Stellingen bewijzen [3]
Definitie hoogtelijn:
Een hoogtelijn in een driehoek is de loodlijn vanuit een hoekpunt op de
overstaande zijde.
Definitie zwaartelijn:
Een zwaartelijn in een driehoek is de lijn die gaat door een hoekpunt en het
midden van de overstaande zijde.
Willem-Jan van der Zanden
12
8.4 Het bewijzen van vermoedens [1]
Voorbeeld:
Bewijs het vermoeden dat de drie zwaartelijnen in een driehoek door één punt gaan.
Gegeven:
ΔABC met de zwaartelijnen AD, BE en CF
Te bewijzen:
AD, BE en CF gaan door één punt S.
Willem-Jan van der Zanden
13
8.4 Het bewijzen van vermoedens [1]
Voorbeeld:
Bewijs het vermoeden dat de drie zwaartelijnen in een driehoek door één punt gaan.
Bewijs:
AD en CF snijden elkaar in S.
AB : FB = 2 : 1 (F is het midden van AB)
BC : BD = 2 : 1 (D is het midden van BC)
∠B = ∠B
Via zhz volgt nu dat ΔABC en ΔFBD
gelijkvormig zijn.
Doordat ΔABC en ΔFBD gelijkvormig zijn geldt: AC : FD = 2 : 1 en ∠CAB = ∠DFB.
Via Z-hoeken volgt nu AC // FD
∠ACS = ∠DFS (Z-hoeken)
∠ASC = ∠DSF (overstaande hoeken)
Via hh volgt nu dat ΔACS en ΔDFS gelijkvormig zijn.
AC : FD = 2 : 1 en dus ook AS : DS =Willem-Jan
2 : 1 van der Zanden
14
8.4 Het bewijzen van vermoedens [1]
Voorbeeld:
Bewijs het vermoeden dat de drie zwaartelijnen in een driehoek door één punt gaan.
Op dezelfde manier zoals zojuist is nu
Te bewijzen dat AT : DT = 2 : 1
Er zijn nu twee zaken bewezen:
AS : DS = 2 : 1
AT : DT = 2 : 1
Op AD kan slechts één punt P liggen met AP : DP = 2 : 1
Dus S en T zijn hetzelfde punt.
Het snijpunt S van AD en CF valt dus samen met het snijpunt T van AD en BE.
De zwaartelijnen AD, BE en CF gaan dus door één punt.
Willem-Jan van der Zanden
15
8.4 Het bewijzen van vermoedens [1]
Definitie omgeschreven cirkel:
De omgeschreven cirkel van een driehoek is
de cirkel die door de drie hoekpunten
van de driehoek gaat.
Definitie ingeschreven cirkel:
De ingeschreven cirkel van een driehoek is
de cirkel die door de drie hoekpunten van
de driehoek gaat.
Willem-Jan van der Zanden
16
8.4 Het bewijzen van vermoedens [1]
Stelling van Thales:
Als ∆ABC rechthoekig is in B,
dan ligt B op de cirkel met middellijn AC.
Omgekeerde stelling van Thales:
Als van ∆ABC de zijde AC middellijn
van een cirkel is en punt B op die cirkel ligt,
dan is de ∆ rechthoekig in C.
Willem-Jan van der Zanden
17
8.4 Het bewijzen van vermoedens [2]
Definitie koordenvierhoek:
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op één
cirkel liggen.
Koordenvierhoekstelling:
Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande
hoeken 180 graden.
Omgekeerde koordenvierhoekstelling:
Als in een vierhoek de som van een paar overstaande hoeken 180 graden is,
dan is het een koordenvierhoek.
Willem-Jan van der Zanden
18