Formules gebruiken

WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
4 – Karakteristieken
Verkennen
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en
grafieken  Karakteristieken  Inleiding  Verkennen
Probeer de drie vragen te beantwoorden.
Uitleg
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en
grafieken  Karakteristieken  Uitleg
Opgave 1
Bekijk de Uitleg en vooral het begrip asymptoot.
Van een bepaald type kopieerapparaat worden de maandelijkse kosten per kopie
200
gegeven door K(a) =
+ 0,075
a
Hierin is a het aantal kopieën per maand en K zijn de kosten in euro.
a) Bereken de kosten per kopie als er 10000 kopieën per maand met deze
machine worden gemaakt.
b) Welke waarde benaderen de kosten per kopie als het aantal kopieën heel
erg groot is?
c) Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van K?
d) Als er een bepaalde maand geen kopieën worden gemaakt, kun je niet
spreken van de kosten per kopie. Het minimale aantal kopieën waarbij dit
nog wel kan is 1. Hoeveel bedragen de kosten per kopie maximaal?
Theorie en voorbeelden
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en
grafieken  Karakteristieken  Theorie
In de Theorie en in Voorbeeld 1 kun je zien hoe je de asymptoten van een
functie berekent. Beweeg in Voorbeeld 1 punt P over de x-as.
Opgave 2
4
+ 2.
x
Maak de grafiek van f met je grafische rekenmachine. Gebruik de
standaardinstellingen van het venster.
Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? Hoe zie je dat aan de tabel
van f?
Welk getal naderen de functiewaarden als x heel groot wordt?
Welk getal naderen de functiewaarden als x heel klein wordt?
Wat is de vergelijking van de horizontale asymptoot?
Schrijf domein en bereik van f op.
Gegeven is de functie f met f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
1
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Opgave 3
Dit is een grafiek van de functie f met
4
f(x) =
.
x+ 2
a) Welke verticale asymptoot heeft
deze grafiek?
b) Welk getal naderen de
functiewaarden als x heel groot
wordt?
c) Welk getal naderen de
functiewaarden als x heel klein
wordt?
d) Wat is de vergelijking van de
horizontale asymptoot?
e) Schrijf domein en bereik van f op.
Opgave 4
In Voorbeeld 2 gaat het over een parabolische baan met h(x) = −0,005x2 + x.
In de applet zie je de grafiek ontstaan.
a) Als je de grafiek met de GR wilt maken zijn de standaardinstellingen van
het venster niet geschikt. Waarom niet?
b) Om het hoogste punt te kunnen bepalen moet je de grafiek goed in beeld
hebben. Waarom bereken je nu eerst de nulpunten?
c) Maak vervolgens met je GR een geschikte tabel om te bekijken welke
functiewaarden er allemaal voorkomen.
d) Bij welke vensterinstellingen komt de hele baan in beeld?
Opgave 5
Gegeven is de functie f met f(x) = 100x(x − 10)(x − 20)2.
a) Welke nulpunten heeft de grafiek van f?
b) Waarom heeft de grafiek van f geen verticale asymptoot?
Je kunt de x-waarden van het venster instellen, de nulpunten moeten zichtbaar
worden en asymptoten zijn er niet. Met de tabel bekijk je de grootte van de
functiewaarden.
c) Welke vensterinstellingen laten alle karakteristieken zien?
d) Bepaal de extremen van deze functie in gehele getallen nauwkeurig.
e) Welke bereik heeft deze functie?
Opgave 6
Bestudeer Voorbeeld 3.
4x
.
1 + x2
Waarom heeft deze functie geen verticale asymptoot?
a) Welk nulpunt heeft de grafiek van g?
b) Onderzoek of g een horizontale asymptoot heeft.
c) Schrijf domein en bereik van g op.
Gegeven is de functie g met g(x) =
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
2
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Verwerken
Opgave 7
Schrijf bij de volgende functies de asymptoten en het domein en het bereik op.
4
x
a) f(x) = 4 −
c) h(x) = 2
x
x − 4
4− x
x2
b) g(x) =
d) k(x) = 2
x
x + 4
Opgave 8
De hoogte van geluid wordt bepaald door de frequentie. Hoe hoger de frequentie
hoe kleiner de golflengte wordt. De frequentie wordt uitgedrukt in Hertz (Hz) en
geeft het aantal trillingen per seconde aan. Weet je de frequentie f dan kun je de
golflengte W berekenen:
330
W=
f
Een geluidsinstallatie kan geluiden van 15 Hz tot 30000 Hz produceren.
a) Als je [15;30000] als domein kiest, welk bereik heeft W dan?
b) Vleermuizen kunnen hoogfrequentie geluiden horen, soms wel geluiden met
een frequentie van 120000 Hz. Is dit een hoog of juist laag geluid? Welke
golflengte heeft het?
c) Mensen kunnen geluiden onder de 20 Hz nauwelijks horen. Gaat het dan om
bassen of hoge tonen? Welke golflengte heeft zo’n geluid?
d) Welke waarde benadert W als f heel groot wordt?
Opgave 9
10 x 2
Gegeven is de functie f(x) =
( x − 20)2
a) Bereken de nulpunten van deze functie.
b) Welke asymptoten heeft deze functie?
c) Bij welke vensterinstellingen is de grafiek van f goed in beeld met alle
karakteristieken zichtbaar?
d) Bepaal het bereik van f. (Benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.)
Opgave 10
Voor de totale kosten (TK) bij de productie van een bepaald artikel geldt:
TK = 100 + 0,1q2
waarin q het aantal exemplaren voorstelt.
a) Bereken de gemiddelde kosten per exemplaar bij een productie van 120
stuks in twee decimalen nauwkeurig.
b) Leg uit, waarom de gemiddelde kosten het hellingsgetal zijn van de lijn door
(0,0) en (q,TK).
c) Stel een voorschrift op voor de gemiddelde kosten per exemplaar (GTK) als
functie van q.
d) Welke asymptoot heeft de functie GTK?
e) Schrijf domein en bereik van f op.
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
3
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Testen
Opgave 11
4 + 2x
.
x− 1
Bereken f(100) en f(−100) in vier decimalen nauwkeurig.
Bereken de nulpunten van de grafiek van f.
Breng de grafiek van f in beeld.
Schrijf de vergelijkingen van de asymptoten op.
Schrijf domein en bereik van f op.
Gegeven is de functie f met f(x) =
a)
b)
c)
d)
e)
Opgave 12
x2
.
x 4 + 10
Bereken de nulpunten van de grafiek van deze functie.
Welke asymptoten heeft deze functie?
Bij welke vensterinstellingen is de grafiek van f goed in beeld met alle
karakteristieken zichtbaar?
Bepaal het bereik van f. (Benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.)
Gegeven is de functie f met f(x) =
a)
b)
c)
d)
Opgave 13
In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die zaden nodig
hebben om voor 50% te ontkiemen. Proefondervindelijk is een verband tussen
temperatuur en kiemtijd gebleken. De kiemtijd K is geteld in dagen en de
temperatuur T is gemeten in °C.
89
Dit verband wordt gegeven door: K =
.
T − 2
a) Boven welke temperatuur is de helft van de zaden al binnen 10 dagen
ontkiemd?
b) Wat is een zinvol domein voor K als functie van T?
c) Welke asymptoten heeft de grafiek van deze functie?
d) Welk bereik hoort bij het gekozen domein?
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
4
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Antwoorden
1a)
b)
c)
d)
2a)
b)
c)
d)
e)
3a)
b)
c)
d)
e)
4a)
b)
c)
d)
5a)
b)
c)
d)
e)
6a)
b)
c)
d)
7a)
b)
c)
9,5 cent per kopie
7,7 cent per kopie
K = 0,075
200,075 euro
x = 0; bij X=0 staat ERROR o.i.d.
functiewaarden in de buurt van 2
functiewaarden in de buurt van 2
D = ⟨←,0⟩ ∪ ⟨0,→⟩
B = ⟨←,2⟩ ∪ ⟨2,→⟩
x = −2
functiewaarden in de buurt van 0
functiewaarden in de buurt van 0
D = ⟨←,−2⟩ ∪ ⟨−2,→⟩
B = ⟨←,0⟩ ∪ ⟨0,→⟩
[0,200]x[0,50]
(0,0), (10,0) en (20,0)
Geen breuk met x in de noemer.
B.v. [−10,30]x[−750000,250000]
min.f(3,6) ≈ −619684
max.f(13,9) ≈ 201716
min.f(20) = 0
B = [−619684,→⟩
1 + x2 > 0
(0,0)
y=0
D =  en B = [−2,2]
v.a.: x = 0 en h.a.: y = 4
Df = ⟨←,0⟩ ∪ ⟨0,→⟩
Bf = ⟨←,4⟩ ∪ ⟨4,→⟩
v.a.: x = 0 en h.a.: y = −1
Dg = ⟨←,0⟩ ∪ ⟨0,→⟩
Bg = ⟨←,−1⟩ ∪ ⟨−1,→⟩
v.a.: x = −2 en x = 2 en
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
d)
8a)
b)
c)
d)
9a)
b)
c)
d)
10a)
b)
c)
d)
e)
11a)
b)
c)
d)
e)
12a)
b)
c)
d)
13a)
b)
b)
c)
h.a.: y = 0
Dh = ⟨←,−2⟩ ∪ ⟨−2,→⟩
Bh = ⟨←,0⟩ ∪ ⟨0,→⟩
v.a.: geen en h.a.: y = 1
Dg = 
Bg = ⟨←,1⟩ ∪ ⟨1,→⟩
B = [0,011;22]
Hoog, golflengte 0,00275 m
Bassen, golflengte langer dan
16,5 m
W nadert tot 0 m.
(0,0)
v.a.: x = 20 en h.a.: y = 10
−200 ≤ x ≤ 200 en 0 ≤ y ≤ 50
B = [0,→⟩
12,83
GTK = TK/q
100
GTK =
+ 0,1q
q
v.a.: q = 0
B = [6,32;→⟩
f(100) ≈ 2,0606
f(−100) ≈ 1,9406
(−2,0)
x = 1 en y = 2
Df = ⟨←,1⟩ ∪ ⟨1,→⟩
Bf = ⟨←,2⟩ ∪ ⟨2,→⟩
(0,0)
y=0
B.v. [−10,10]x[−0,1;0,2]
B = [0;0,16]
10,9 °C
D = ⟨2,→⟩
T = 2 en K = 0
B = ⟨0,→⟩
5