Inhoudsopgave

Inhoudsopgave
1 Geluid en echografie
1.1 Geluidsgolven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Intensiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definitie en berekening van de intensiteit . . . . . .
1.2.2 Geluidsniveau en luidheid . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dopplerverschuiving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Echografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Basisprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Weerkaatste intensiteit . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Resolutie en attenuatie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Rijen van transducers . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Gebruik van het Doppler effect voor ultrasone beeldvorming
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
6
6
8
11
11
11
13
15
16
17
Hoofdstuk 1
Geluid en echografie
1.1
Geluidsgolven
Geluidsgolven zijn longitudinale golven. Om zich voort te planten is een
medium nodig. Geluidsgolven bestaan niet in vacuüm. Geluidsgolven zijn
gekenmerkt door plaatselijke veranderingen van druk en dichtheid van dit
medium. We onderscheiden drie grote kategorieën van geluidsgolven
• het infrasoon gebied, waarvan de frequentie lager is dan 20 Hz
• het voor het menselijk oor waarneembare gebied, van 20 Hz tot 20 kHz
• ultrasone geluidsgolven waarvan de frequentie groter is dan 20 kHz.
We kunnen het ontstaan van een geluidsgolf als volgt voorstellen. Een lange
cilinder is gevuld met een gas en heeft aan een zijde een zuiger (figuur 1.1).
We stellen enkele luchtlagen voor door verticale streepjes. Door de zuiger
heen en weer te bewegen ontstaat een opeenvolging van verdichtingen en verdunningen. Deze storing verplaatst zich door het medium met de golfsnelheid of de geluidssnelheid c. Elke luchtlaag trilt rond een evenwichtspositie,
de snelheid waarmee dit gebeurt is de deeltjessnelheid. Deze deeltjessnelheid
is een functie van de tijd, en mag niet verward worden met de golfsnelheid.
2
Een onderhouden golf is dus een trilling die zich voortplant in het medium. Als de trillingsbron harmonische trillingen genereert, is de golf een
sinusoı̈dale of harmonische golf. Voor een periodische golf is de golflengte
de afstand die de trilling aflegt in een periode T .
rr
r
rrrrrrrr
rr
r
rr
r
rrrrrrrr
rr
r
rr
r
rrrrrrrrr
rr
r
rr
r
rrrrrrrrr
rr
r
rr
r
rrrrrrrr
rr
r
c-
Figuur 1.1: Het opwekken van een geluidsgolf in een cilinder. Bovenaan : door de zuiger
naar rechts te schuiven ontstaat een lokale verdichting, die toeneemt naarmate de zuiger
verder naar rechts beweegt. Midden : door de zuiger naar links te trekken ontstaat een
verdunning. Onderaan : als we de zuiger periodiek heen en weer bewegen ontstaat een
opeenvolging van verdunningen en verdichtingen die opschuiven door het medium.
λ = cT =
3
c
f
(1.1)
substantie
Helium (0◦ C)
Lucht (0◦ C)
Lucht (25◦ C)
Water (25◦ C)
Water (37◦ C)
Bloed (37◦ C)
Lever
Nier
Zacht weefsel
Vet
Ijzer
Koper
Lood
c in m/s
972
343
331
1493
1480
1570
1550
1560
1540
1450
5950
5010
1960
Tabel 1.1: Geluidssnelheid van enkele materialen.
Hierin is f de frequentie van de trilling. De geluidssnelheid is afhankelijk
van het medium en wordt gegeven door
s
K
c=
(1.2)
ρ
ρ is de dichtheid van het medium en K is de elasticiteitsmodulus (compressiemodulus voor een fluı̈dum, modulus van Young voor een vaste stof). In
tabel 1.1 geven we de geluidsnelheid van enkele materialen.
We bespreken eerst vlakke golven, en stellen de uitwijking van een laag van
het medium ten opzichte van de evenwichtsstand van deze laag voor door y
(figuur 1.2). Als de golf zich voortplant volgens de x-richting is y een functie
van de plaats x en de tijd t : y(x, t). Voor een harmonische golf is
y(x, t) = ymax sin(2π
t
x
− 2π + φ)
T
λ
(1.3)
Andere vormen voor deze uitdrukking zijn
x
) + φ)
c
sin(ωt − kx + φ)
y(x, t) = ymax sin(2πf (t −
y(x, t) = ymax
ω
waarin ω = 2πf de pulsatie is en k = 2π
λ het golfgetal met k = c . Als we
de tijd vast kiezen dan geeft de vergelijking van de golf (1.3) de uitwijking
4
evenwichtsstanden
...
.
....
..
.
....
...
uitwijking
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
y
y6
...................................................................................................
...................
......................
..................
...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
........
.............................
...............................................................
λ
2
-
y
-
x
x
-
Figuur 1.2: Voorstelling van een vlakke golf. De luchtlagen trillen in een richting evenwijdig aan de x-as. De afwijking van de evenwichtsstand wordt gegeven door y.
als functie van de plaats, waarvan een voorstelling in figuur 1.2. Voor elke
plaats x stelt (1.3) een trilling voor.
Een geluidsgolf is ook een drukgolf. De uitdrukking voor de vergelijking van
deze golf vinden we als volgt. De compressiemodulus K wordt gedefinieerd
door de uitdrukking
∆V
(1.4)
∆p = −K
V
∆p is de overdruk die zorgt voor de volumeverandering ∆V . Nemen we een
klein stukje met lengte ∆x voor een cilindervormige buis met doorsnede A.
Door de trillingen van de verschillende lagen zal er een volumeverandering
optreden. Als de totale verandering van de lengte ∆y is dan geldt
∆p = −K
∆yA
∆xA
In de limiet ∆x → 0 wordt deze uitdrukking
∆p = −K
∂y
∂x
∂
Waarin ∂x
de partiële afgeleide voorstelt (y is een functie van x en t en we
leiden af naar x, terwijl we t als constante beschouwen). Gebruikmakend
van vergelijking (1.3)
∂(ymax sin(ωt − kx + φ))
∂x
= Kymax k cos(ωt − kx + φ) = ρc2 kymax cos(ωt − kx + φ)
∆p = −K
5
π
)
(1.5)
2
De druk loopt π2 voor op de verplaatsing. Uit (1.3) kunnen ook de uitdrukking voor de deeltjessnelheid afleiden.
∆p = ρcωymax sin(ωt − kx + φ +
vy =
(∂ymax sin(ωt − kx + φ))
= ymax ω cos(ωt − kx + φ)
∂t
Het verband tussen de drukggolf en de deeltjesnelheid is bijgevolg :
∆p = ρcvy
(1.6)
Merk de analogie met de wet van Ohm U = RI op, met de overdruk in
de rol van U en de deeltjessnelheid in de rol van I. De grootheid ρc wordt
de akoestische impedantie genoemd. Merk ook op dat voor een golf die
tegengesteld aan de x-as beweegt het verband tussen druk en deeltjessnelheid
gegeven wordt door
∆p = −ρcvy
(golf beweegt tegengesteld aan de x-as)
(1.7)
Voor lucht bij kamertemperatuur is ρc = 410 kg/(m2 s). Bij de gehoordrempel is ∆p = 30 µPa. De deeltjessnelheid heeft dus een amplitude van
vy,max = (∆p)ρcmax = 7, 3 × 10−8 m/s. De amplitude van de uitwijking voor
−8
v
een toon van 1 kHz is dan ymax = y,max
= 7,3×10
= 1, 1 × 10−11 m. Dit
ω
6,28×103
is ongeveer een vijfde van de diameter van een waterstofatoom. Het oor is
bijgevolg een van de gevoeligste detectoren voor geluidsgolven.
1.2
1.2.1
Intensiteit
Definitie en berekening van de intensiteit
Een golf is een trilling die zich voortplant in een medium. Met een golf wordt
energie getransporteerd van een plaats naar een andere. We berekenen dit
energietransport voor geluidsgolven. De gemiddelde trillingsenergie van een
voorwerp met massa ∆m dat een trilling met amplitude ymax en pulsatie ω
uitvoert, is
1
2
ω2
(1.8)
∆E = ∆m ymax
2
6
Neem in het gebied van de geluidsgolf een kleine volume met basisoppervlak
A en hoogte ∆x. Dan is ∆m = ρA∆x. Het vermogen kan dan uitgedrukt
worden als
P =
De verhouding
heid, zodat
∆x
∆t
∆E
∆t
=
1 ∆x 2
ρA
y
ω2
2
∆t max
is de verplaatsing van de trilling per tijd, dus de golfsnel-
1
2
P = ρAc ymax
ω2
(1.9)
2
De intensiteit I van een golf in een punt is gelijk aan het vermogen dat
door een oppervlak, loodrecht op de golfsnelheid stroomt, gedeeld door de
grootte van dit oppervlak1 . Met het model voor ogen van een geluidsgolf
door een staaf of een met gas gevulde cilinder met doorsnede A, kunnen we
dus schrijven :
1
2
I = ρc ymax
ω2
(1.10)
2
Het rechterlid is de energiedichtheid van de golf (energie per volume) vermenigvuldigd met de golfsnelheid. De amplitude van de deeltjessnelheid is
vy,max = ymax ω = (∆p)ρcmax , zodat voor de intensiteit ook volgende uitdrukkingen gelden
I =
I =
1 2
ρv
c
2 y,max
(∆p)2max
2ρc
(1.11)
(1.12)
Als er geen energieoverdracht naar het medium is, is de intensiteit van een
vlakke golf is constant. Voor een vlakke golf is de intensiteit onafhankelijk
van de afstand die deze golf heeft afgelegd. Indien een golf ontstaat uit een
puntvormige, sferische of cilindervormige trillingsbron, zijn de golffronten
niet vlak. Hierdoor zal de intensiteit afnemen met de afstand die de golf
doorlopen heeft.
1
We gebruiken in deze tekst de gemiddelde intensiteit. De ogenblikkelijke intensiteit
wordt op dezelfde manier gedefinieerd. Omdat het vermogen gelijk is aan kracht verme2
nigvuldigd met snelheid, is I = dP
= cdF
= c∆p = (∆p)
. Van deze uitdrukking moeten
dA
dA
ρc
we nog het gemiddelde over een periode uitrekenen om (1.12) te vinden.
7
.......................................................................
...............
bron .............
.........
.
.
..........................................
.
.
....
............
....
...
..
......
....
..
...
...... .................................r..............r
........1
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
6 ..........r2..............................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
...................... ..
.
.
.....................................................................................
...
...
..
.
.
...
...
..
.
.
...
.
.P
...
h
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.....................
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
. ...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.......
.
.
.....
... .................................................... ...
....
.......
.....
....
.
.....
.
..
.
.
.
.
.
?...
r.
....
.
.
.
.
..........
.
.....
.
.
...
.
.
.........................................
.
.
........
.
.
.............
.......
................................................................................
Figuur 1.3: Uitbreiding van een cilindrische golf.
Bij een cilindervormige trillingsbron zijn
de golffronten cilindervlakken. Als de
bron een vermogen P genereert, zal dit
vermogen na een bepaalde tijd over het
oppervlak van de cilinder met straal r1
uitgesmeerd zijn, en even later over het
cilinderoppervlak met straal r2 : P =
I1 2πr1 h = I2 2πr2 h. Bijgevolg is II12 = rr21 .
Hoe groter de straal hoe kleiner de intensiteit. De intensiteit is omgekeerd evenredig
met de straal. Voor de amplitude van de
uitwijking geldt bijgevolg ymax ∝ √1r
Voor een puntvormige trillingsbron in een homogene omgeving zullen de
golffronten bolvormig zijn. Als de intensiteit op het golffront met straal r1
gelijk is aan I1 en de intensiteit op het golffront met straal r2 gelijk is aan
I2 dan is I1 4πr12 = I2 4πr22 ; De intensiteit is omgekeerd evenredig met het
kwadraat van de straal : I ∝ r12 . Dit betekent dat de amplitude van de
uitwijking omgekeerd evenredig is met de straal.
1.2.2
Geluidsniveau en luidheid
Het menselijk oor kan geluidsgolven waarnemen waarvan de intensiteit varieert tussen 10−12 W/m2 en 1 W/m2 . Dit is een ruim gebied. Daarbij
komt dat het gehoor een speciale eigenschap heeft : als we eerst de intensiteit doen toenemen met een factor 10 (tot 10I) en daarna nog eens met
een factor 10 tot 100I, ervaren we beide verhogingen als gelijke toenamen.
Daarom wordt de grootheid intensiteitsniveau β gebruikt. Als we als referentiewaarde I0 = 10−12 W/m2 nemen, de gehoordrempel bij 1 kHz dan
is
I
β = 10 log
(1.13)
I0
De eenheid van β is een decibel, 1 dB. 0 dB komt dus overeen met de gehoordrempel bij 1 kHz. Lager dan 0 dB kan men realiseren in een akoestische
dode kamer, en geeft een angstaanjagend gevoel. Geluidsniveaus tussen 60
dB en 80 dB leiden tot vermoeidheid en geheugen- en concentratiestoornissen. Bij 80 dB ligt de schadedrempel : lange blootstelling aan geluid met dit
geluidsniveau leidt tot blijvende oorletsels. In dancings of bij popconcerten
8
bron
jumbojet
rock concert
pijndrempel
drilboor
druk verkeer
schadedrempel
stofzuiger
gewoon gesprek
zoemende mug
fluisteren
geritsel van bladeren
gehoordrempel
afgeleverd
vermogen (W)
105
103
103
10
10−1
10−1
10−2
−4
10 tot 10−3
10−5
10−6
10−7
10−9
intensiteit
op 9 m (W/m2 )
102
1
1
10−2
10−4
10−4
10−5
−7
10 tot 10−6
10−8
10−9
10−10
10−12
geluidsniveau
in dB
140
120
120
100
80
80
70
50 tot 60
40
30
20
0
Tabel 1.2: Vermogen van enkele bronnen, de intensiteiten op 9 m afstand en het geluidsniveau in dB
ondervindt men dikwijls geluidsniveaus tussen 80 dB en 120 dB. Dit kan
exciterend werken en een gevoel van onvermoeibaarheid geven, we speken
dan van dB-doping. In tabel 1.2 geven we een overzicht van vermogen ontwikkeld door enkele bronnen, de intensiteiten en het geluidsniveau in dB op
9 m afstand (voor sferische golven is dan A = 1000 m2 ).
Het geluidsniveau is een fysisch meetbare grootheid. Komt deze overeen met
de geluidswaarneming door personen, een fysiologisch proces ? Experimenteel meet men de gevoeligheid van het oor door voor een groep proefpersonen
de kleinste, nog net hoorbare intensiteitstoenamen van een geluidsbron op
te nemen. We noemen de waargenomen sterkte de luidheid L. Men vindt
dat bij een minimale toename ∆L van de luidheid de intensiteit toeneemt
met een factor 1,3I. Dit is de wet van Fechner : de waarneming van het
geluid neemt logaritmisch toe met de intenstiteit
L = k log
I
I0
(1.14)
Hierin is I0 een referentiewaarde. Hiervoor kan men de gehoordrempel nemen. Nu blijkt de gehoordrempel af te hangen van de frequentie. Zo moet
bij 100 Hz het geluidsniveau 30 dB zijn om een waarneembaar te zijn.
Daarom maakt men de afspraak dat de referentieintensiteit gelijk is aan
I0 = 10−12 W/m2 bij 1000 Hz. Bovendien kiest men k=10. De eenheid voor
9
de luidheid is de foon (1 F). Dit betekent dat bij 1000 Hz het fysich gemeten
geluidsniveau gelijk is aan de luidheid. Bij 1000Hz is 60 dB gelijk aan 60 F.
Die gelijkheid geldt niet voor alle frequenties, zoals blijkt uit de isofoonkrommen in figuur 1.4. De ....perceptie van de intensiteit
van het geluid
hangt
...
...
.
.
...
...
...
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
..
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
..
.
.
.
...
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
..
.
.
.
...
.
.
..... ..... ..... ..... ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ............. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..
...
..
...
...
...
..
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ............ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..
...
...
...
...
.
.
...
.
...
.
...
.
...
..
..
...
.
.
.
...
...
...
...
... ...
....
....
... ..
...
.
... ...
...
.
...
...
...
......
.
.
.
.
. ...
...
... ......
...
...
.
.
...
.
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........... ..... ........ ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ..... ..
...
....
...
.
.
...
.
...
...
.
.
....
.
...
.
...
.
...
.. ....
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
.......
... ... .... .
...
...
. ... ......
.......
...
...
...
..
.
.
.......
.
. ...
...
.
...
...
.........
.
...
.
.
...... ........ ...
.
...
...
. ..
....... ..
............ ........ ..
.
.
....
...... ..... ..
.
.
.
...
.....
.......
...
...
...
...
..
.
...
...
...
.
.
....
.
.
.
.
.
..
...
....
.
...... ....
....
6
β dB
120
100
80
60
40
20
....
....
.....
.... ........
.... .......
...........
.......
.
.
.
.............
100
F
.... .......
.
.
.
.............................. ................
..
.... .....
.
.
.
............
... .... .......
.
.
.
... ... ......
........ .
80
F
... ..... ..... ................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................
... ... ....
...... .. ......
...........
... .... .....
.
... .... ......
.
.
... ... .......
......F......
.. ......... .
............... ..........60
... ....
.
......... .. .....
.........
... ....
...........
... ......
.......
.... .......
.
.
.
40
F
.
.
....
............... ................
. .....
.
.........
.........
....
.
................
.....
......
..... ....
.
.
.............
.. ....
.
........................20
F
.
..............
.
.......... .....
..
5000
100
1000
f Hz
-
10000
Figuur 1.4: Isofoonkrommen.
af van de frequentie. In figuur 1.4 worden de krommen van gelijke luidheid
weergegeven voor 20 F, 40 F, 60 F, 80 F en 100 F. De stippellijn geeft de
gehoordrempel weer. Bij 1000 Hz wordt een fysisch geluidsniveau van 20 dB
waargenomen als 20 F. Maar bij 100 Hz moeten we een geluidsniveau van
bijna 40 dB realiseren om dezelfde luidheid van 20 F te ervaren. Het oor
is minder gevoelig voor tonen van 100 Hz dan voor tonen van 1000 Hz. De
gevoeligheid van het oor is het grootst in het gebied van 3 tot 4 kHz.
10
1.3
Dopplerverschuiving
1.4
Echografie
1.4.1
Basisprincipe
Echografie maakt gebruik van de bepaling van de afstand tussen een ultrasone geluidsbron en het oppervlak dat de geluidsgolf weerkaatst. Als de
snelheid van het geluid c is en de afstand tussen bron en oppervlak L is dan
is het tijdsinterval tussen de uitzenden van een geluidssignaal en opvangen
van de echo van dit geluidssignaal ∆t = 2L
c (figuur 1.5).
detector
bron
..........
.........
...
...
c
.. ..
................... .
...
. .
.... ....
.. ........ ........
... ... c
-...
..
L
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
detector
bron
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..........
.........
Figuur 1.5: Principe van een sonar voor de
bepaling van een afstand.
-
c
....
..
.
.
.
.
.
YH ....
H
H..
...
...
...
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
...... ...... ......
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ......
..... ..... ..... ..... ..... ..
...
...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ......
..... ..... ..... .....
..... ..... ..... .....
Figuur 1.6: Weerkaatste golven kunnen
verschillende richting uitgaan.
De ultrasone golven worden opgewekt door transducers die elektrische pulsen omzetten in mechanische trillingen en omgekeerd. Hiervoor maakt men
meestal gebruik van het piëzo-elektrisch effect. Een piëzo-elektrische stof,
bijvoorbeeld een kwartskristal of een polykristallijne stof zoals loodzirconaat of lood-titaanzirconaat (LTZ), kan uitzetten onder invloed van een
elektrisch veld en inkrimpen als het veld van richting verandert. Als we
een sinusoı̈odale spanning aanleggen zal een kristal in alle richtingen een
harmonische trilling uitvoeren. De omzetting van elektrische energie in mechanische is optimaal als die opgelegde frequentie de resonantiefrequentie
van de staaf is. Daarom is de dikte van een transducer een halve golflengte,
wat in praktijk neerkomt op een dikte van ongeveer 2 mm voor geluid met
frequentie 1 MHz. In figuur 1.7 geven we een schematische voorstelling van
een ultrasone transducer. We gebruiken deze kristallen om ultrasone golven
op te wekken. Daartoe brengen een wisselspanning aan op de elektroden.
Het ’backing material’ dient om de goede frequentie te houden en de trillingen in achterwaartse richting op te vangen. Het piëzo-elektrisch effect is
11
omkeerbaar : als het kristal aan een mechanische trilling wordt onderworpen, zal er een elektrische spannning over dit kristal ontstaan. We kunnen
het kristal ook gebruiken als registratieapparaat. De drukgolven die invallen
op het kristal, zullen het doen trillen en zo een elektrische spanning induceren die we opmeten. De transducer kan een korte puls uitzenden, meestal
een golf waarvan de amplitude als functie van de tijd Gaussisch varieert
(t−t0 )2
ymax (t) ∝ e− 2σ2 . De geluidsgolf heeft een diameter van enkele millimeter en kan over grote afstand parallel gehouden worden, wat een behoorlijk
goede oriëntatie toelaat.
........................................................................................................... impedantieaanpassing
...
...
en lens
... ... *
.. ’backing
.
... material’
HH.....
...
..j
Q.....H
piëzoelektrisch kristal
H
...........................................................................................H
.. Q
..........H
H
Q
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..
...
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
.... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . .... . ....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..
...
omhulsel
?
geluidsisolatie
HQ
j
s
elektroden
Figuur 1.7: Vereenvoudigde doorsnede van een ultrasone transducer.
Als een golf invalt op een scheidingsoppervlak dat niet volkomen vlak is,
zal de de weerkaatsing in verschillende richtingen gebeuren (figuur 1.6). Er
wordt slechts een kleine fractie van de invallende golf teruggezonden naar de
detector. Bovendien gaat een deel van de golf door naar het tweede medium,
en zal daar aan aan scheidingsvlak met een volgend medium weerkaatst
worden enz. Aan elk grensoppervlak ontstaat een weerkaatste golf. Als
het tijdsinterval tussen het uitzenden van de puls en het opvangen van de
weerkaatste golf van oppervlak i gelijk is aan ∆ti dan ligt dit oppervlak op
i
een afstand ∆xi = c∆t
2 . We kunnen de grensvlakken lokaliseren door de
tijdsintervallen te meten.
Een goede beeldkwaliteit wordt bepaald door de juiste berekening van de
afstanden van de scheidingsoppervlakken. Een kleine fout in de snelheid van
het geluid leidt tot foutieve lokalisatie van deze scheidingsvlakken. Een fout
van 5 % (vet in de plaats van zacht weefsel, tabel 1.1) voor de snelheid levert
voor een weefsel met dikte 40 mm een verschil van 2 mm voor de afstand.
12
1.4.2
Weerkaatste intensiteit
We beperken ons tot het uitwerken van een uitdrukking voor de weerkaatste
intensiteit bij loodrechte inval. We gebruiken de indices i voor invallende, w
...
...
...
...
...
...
...
...
.
ρ1 c1
midden 1
ρ2 c2
midden 2
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
c1 (w)
c2 (t)
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
-
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
(i) c1
-
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
-
y
x-
Figuur 1.8: Weerkaatsing en transmissie van een geluidsgolf aan een grensvlak.
voor weerkaatste en t voor doorgelaten geluidsgolf. In het gemeenschappelijk
grensvlak geldt voor de algebraı̈sche som van de snelheden van de trillende
vlakken
vy,i + vy,w = vy,t
(1.15)
De som van de overdruk van de invallende en de weerkaatste golf is gelijk
aan de druk van de doorgelaten golf.
∆pi + ∆pw = ∆pt
(1.16)
Maar het verband tussen de drukgolf en de snelheidsgolf is (zie vergelijking (1.6))
∆pi = ρ1 c1 vy,i
∆pw = −ρ1 c1 vy,w
∆pt = ρ2 c2 vy,t
Dit voeren we in vergelijking (1.15)
∆pi
∆pw
−
ρ1 c1
ρ1 c1
=
∆pt
ρ2 c2
Uit deze uitdrukking en (1.16) berekenen we de verhouding van de weerkaatste druk tot de invallende druk.
∆pw
=
∆pi
ρ2 c 2
ρ1 c 1
ρ2 c 2
ρ1 c 1
13
−1
+1
(1.17)
materiaal
lucht
water (20◦ C
zacht weefsel
spierweefsel
beenderen
vet
hersenen
bloed
ρc in 106 kg/(m2 .s)
0,0004
1,48
1,63
1,70
7,80
1,38
1,58
1,61
Tabel 1.3: Akoestische impedantie ρc in 106 kg/(m2 .s) van enkele stoffen.
De intensiteit is evenredig met het kwadraat van de overdruk (vgl 1.12),
zodat
( ρρ21 cc21 − 1)2
Iw
= ρ2 c 2
(1.18)
Ii
( ρ1 c1 + 1)2
Als de akoestische impedantie ρc van het eerste midden gelijk is aan de
akoestische impedantie van het tweede, dan is de weerkaatste intensiteit
nul. Er is geen weerkaatste golf. De energie in de golf stroomt volledig door
naar het tweede midden. Als ρ2 c2 ρ1 c1 of ρ2 c2 ρ1 c1 dan is is er volledige weerkaatsing. Het onderscheid tussen beiden ligt in het gedrag van de
weerkaatste drukgolf. In het eerste geval is pw = −pi en is de weerkaatste
drukgolf 180◦ in fase verschoven ten opzichte van de invallende golf. In het
grensvlak is de druk nul. In het tweede geval is de weerkaatste drukgolf in
fase met de invallende en hebben we een maximale druk in het grensvlak. In
tabel 1.3 geven we de akoestische impedanties van enkele materialen Hieruit
leiden we af dat voor een grensvlak lucht-huid de verhouding weerkaatste
intensiteit gelijk is aan de invallende intenstiteit, omdat de verhouding van
(ρc)
de akoestische impedanties (ρc)weefsel ≈ 4 × 1010 . De ultrasone golf wordt
lucht
volledig weerkaatst. Daarom zorgen we dat er geen luchtlaag is tussen de
bron en het deel van het lichaam dat we in beeld willen brengen. Daartoe
brengen we een laagje gel aan tussen de lens en de huid. Door het verschil
in akoestische impedantie zal bij elke scheidingsoppervlak een deel van de
geluidsgolf teruggekaatst worden. Zo kan men een bloedvat (als de diameter
groot genoeg is) zien : bij de overgang van spier(vaatwand) naar bloed is
(ρc)
de verhouding van akoestische impedanties (ρc)bloed = 0, 95, zodat 0,07 %
spier
van de intensiteit weerkaatst wordt. Typisch is de echo voor een abdominale
scan 70 dB lager dan het uitgestuurde signaal (I = 10−7 I0 ). Om het weer14
kaatste signaal in beeld te brengen is zeker versterking nodig. Het grootste
deel van de geluidsgolf dringt verder door in het lichaam, en kan zo helpen bij het in beeld brengen van de onderliggende delen. Bij het grensvlak
tussen beenderweefsel en zacht weefsel is de verhouding van de impedanties
0,2, zodat de helft van de energie teruggekaatst wordt. Bovendien worden
geluidsgolven veel sterker (tot 200 keer) geabsorbeerd door beenderweefsel.
Beenderen kunnen met ultrasone golven niet in beeld gebracht worden.
1.4.3
Resolutie en attenuatie
De resolutie is de kleinste afstand tussen tussen twee punten die nog net
onderscheiden kunnen worden. De resolutie voor waarneming met golven
is van de grootte-orde van de golflengte. Voor geluidsgolven met frequentie
1 MHz in water is λ = 1, 5 mm. Voorwerpen waarvan de lineaire afmetingen
kleiner zijn dan 1,5 mm kunnen we niet waarnemen met ultrasone golven
met deze frequentie. Hogere frequenties zouden een betere resolutie geven,
maar die golven worden sterker geabsorbeerd door weefsel, en kunnen dus
niet zo diep doordringen.
De longitudinale resolutie is het onderscheidingsvermogen in de richting
van de bundel van de ultrasone golf. Die is ruwweg gelijk aan het dubbele
van de golflengte en voor 1 MHz-signalen is dit 3 mm. Deze resolutie kan
verbeterd worden door de frequentie te verhogen, maar dan reikt de bundel
minder diep. Ant de absorptie van de geluidsgolf neemt toe me de frequentie.
De transversale of laterale resolutie is het onderscheidingsvermogen in
de richting loodrecht op de bundel en is gelijk aan de diameter van de bundel.
Dit is voor de meeste praktische toepassingen ook enkele millimeter.
De attenuatie van de bundel gebeurd door absorptie van de energie van de
geluidsgolf door de moleculen. De energie van de geluidsgolf wordt omgezet
in warmte. De intensiteit neemt exponentieel af
I(x) = I0 e−µx
(1.19)
In eerste benadering is α evenredig met de frequentie, wat maakt dat ultrasone golven van hoge frequentie minder diep doordringen. Dit leidt tot
beperkingen voor de frequenties : voor abdominaal onderzoek is het maxi-
15
mum 2 tot 3 MHz, voor het onderzoek van het oog is het maximum 5 tot
10 MHz.
1.4.4
Rijen van transducers
Met een transducer kan men op één plaats in de diepte kijken door het
uitzenden van een puls en het opvangen van de echo’s van de opeenvolgende
scheidingsvlakken. Dit wordt een A-scan genoemd. De repetition rate is
de frequentie waarmee deze pulsen worden herhaald. Deze moet voldoende
klein zijn zodat er voldoende tijd is om alle echo’s op te vangen. Kiezen we
een repetition rate van 1 kHz, dan kan de puls een heen-en-weer afstand van
c
1000 ≈ 1, 5 m tussen twee pulsen afleggen, en kunnen we 75 cm diep kijken.
Dit is ruim voldoende voor een abdominale scan. Met een repetition rate
van 10 kHz kunnen we slechts 7,5 cm diep kijken wat zeker niet volstaat voor
een abdominale scan. Door de transducer manueel of met een mechanische
arm te verplaatsen en naar verschillende richtingen te oriënteren, kunnen we
met de verschillende A-scans een beeld genereren. Hiervoor moet voor elke
positie en richting van de bundel zoals vorige als volgende posities gekend
zijn.
Tegenwoordig gebruiken we rijen van transducers. De meest eenvoudig vorm
is een lineaire opstelling van transducers. Door de pulsen op de verschillende
transducers op het gepaste moment te doen starten, kunnen verschillende
vormen van golffronten gerealiseerd worden. Als we alle transducers in fase
doen trillen, krijgen we vlakke golven (figuur 1.9). We kunnen ook bepaalde
faseverschuivingen opleggen aan de verschillende transducers. Door bijvoorbeeld eerst de puls in de uiterste transducers op te wekken en met de juiste
fase de volgende transducers naar het midden toe aan te slaan, kunnen we
sferische golven realiseren. De energie van de golven wordt dan naar het
centrum van dit golffront gefocuseerd.
We kunnen de transducers ook met gelijke tijdsintervallen na elkaar aanslaan, en zo stap voor stap een voorwerp scannen. Het snel opvolgen van de
pulsen laat toe om de beweging van de grensvlakken in beeld te brengen, en
zo de werking van organen na te gaan. Dit wordt functionele echografie genoemd. Een voorbeeld hiervan is de myocardiografie, waarbij de werking van
de hartspier in beeld wordt gebracht. De transducerrijen worden gebruikt
voor ultrasone tomografie. Hierbij wordt een rij van transducers gebruikt om
16
een dieptebeeld van een bepaald vlak te maken, door de transducers op te
schuiven kan men verschillende vlakke doorsneden maken. Als men dit voor
drie onderling loodrechte vlakken kan men nauwkeurige driedimensionale
beelden maken.
rrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrr r..rrrrrrrrr.r.rr r..rrrrrrrrr.r.rr rrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrr
... ....... ........................ ...
...... ........ ... .....
........ ... ........................................
.........................
.......................
.
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
.
.
.
.................................
.... ......................
.
.
.....
.
.
.
....
.
.
.
....
...
.
....
....
rrrrrrrrrrrrr.rrrrrrrrrrrrr.rrrrrrrrrrrrr.rrrrrrrrrrrrr.rrrrrrrrrrrrr.rrrrrrrrrrrrr
.
............ .......... ............ .......... ............ .......... ............ .......... ............ .......... ............ ..........
......
......
......
......
......
......
.............................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......
Figuur 1.10: Door de juist faseverschillen te kiezen voor de verschillende transducers kunnen sferisch golven gerealiseerd
worden.
Figuur 1.9: Een rechte rij van transducers
in fase genereert een vlakke golf.
1.5
Gebruik van het Doppler effect voor ultrasone
beeldvorming
In plaats van pulsen wordt nu een onderhouden golf gebruikt.
17