tentamen uit 2001

Tentamen Statistische Mechanica I. Maandag 3 december 2001.
enige nuttige gegevens:
Boltzmann-constante: kB = 1.38 · 10−23 J/K
Gasconstante: R = 8.31 J/K mol
Getal van Avogadro 6.02 · 1023
Warmtegeleidingscoefficient van aluminium: kt = 160 W m−1 K−1
Opgave I. Begrippen en definities
a) Formuleer de eerste en de tweede hoofdwet van de thermodynamica.
b) Wat is de thermodynamische definitie van temperatuur?
c) Welke van de volgende grootheden zijn extensief en welke intensief? Volume, Gibbs-vrije energie, chemische potentiaal, entropie, elektrische veldsterkte, soortelijke warmte, bruto nationaal
product en inflatiecijfer (in de financiële betekenis).
d) Hoe luidt de equipartitiewet?
e) Geef een variant van de thermodynamische identiteit voor de Gibbs-vrije energie.
Opgave II. Cyclische warmtemotor.
a) Schets een Carnot-cyclus werkend als motor, in the p − V vlak. Geef met pijlen de richting
aan in welke de cyclus wordt doorlopen en geef aan in welke takken de warmte in- of uitstroomt.
b) Geef de algemene definities van de efficiëntie η van een cyclische motor en van de koelefficiëntie COP van een koelmachine.
In de onderstaande figuur is een cyclisch proces aangegeven van een motor werkend tussen een
warm reservoir op temperatuur Th en een koud reservoir op Tl . De hoogste temperatuur Th0 van
de werkstof van de motor blijft net iets onder Th hangen. De laagste werkstoftemperatuur Tl0
blijft net boven Tl .
de figuur is in een aparte file te vinden.
1
c) De kleine temperatuurverschillen ∆Tl en ∆Th zijn kenmerkend voor realistische warmtemotoren. Geef een mogelijke verklaring voor dit verschijnsel.
d) Is de motor uit de figuur reversibel? Verklaar je antwoord.
e) Geef een uitdrukking voor de efficiëntie van de motor uitgedrukt in de gegeven temperaturen.
Neem nu het volgende aan: Tl = 300K en Th = 500K. Het temperatuurverschil ∆Th = Th − Th0
tussen de werkstof en het reservoir op Th langs de hoge-temperatuursisotherm is 10K. Langs de
hoge-temperatuursisotherm is de werkstof aan het warme bad gekoppeld middels een aluminium
plaat met een dikte van 2 mm en een oppervlak van 0.01 m2 . Langs de lage temperatuursisotherm
is de werkstof gekoppeld aan het koude bad met net zo’n plaat aluminium. Neem verder aan dat
de adiabatische takken verwaarloosbaar weinig tijd in beslag nemen en dat de isotherme takken
elk dezelfde (maar eindige) tijd vergen.
f) Bepaal uit de gegevens hoe groot het temperatuurverschil ∆Tl = Tl0 − Tl is.
g) Hoe groot is het vermogen (hoeveel arbeid geleverd per seconde) van de motor? Ter vergelijking: 1pk komt overeen met 0.75 KW.
h) Druk het toerental van de motor (aantal cycli per seconde) uit in de in gegeven grootheden.
Opgave III. Multipliciteit en entropie.
a) Iemand gooit twee dobbelstenen. De uitkomst van de worp is 7. Wat is de entropie van een
worp met uitkomst 7? Leg uit hoe je tot je antwoord komt.
b) Je gooit 500 dobbelstenen. Wat is de multipliciteit van een worp met uitkomst 2999?
c) Beschouw twee Einstein-vaste stoffen samen als een systeem. Een heeft entropie S0 de andere
3S0 . Druk de multipliciteit van het totale systeem uit in S0 (binnen de geldigheid van de Stirling
benadering).
d) Leid formule (13) op het formuleblad uit met behulp van (12), in de limiet dat N en q zeer
groot zijn en q >> N .
e) Geef een expliciete uitdrukking voor de vrije energie van een ideaal gas in termen van de
natuurlijke variabelen van F .
f) Beschouw een systeem in thermisch en mechanisch (middels een zuiger) contact met een
reservoir op temperatuur Tr en met druk Pr . Welke karakteristieke functie (thermodynamische
potentiaal) ligt voor de hand om dit systeem mee te beschijven?
g) Laat zien dat het toenemen van de entropie van het systeem en reservoir samen, equivalent
is met het afnemen van de bij f) gevonden karakteristieke functie voor het systeem alleen.
Opgave IV. cv en cp .
a) Hoe luidt de definitie de warmtecapaciteiten cv en cp ?
b) Leid uitdrukkingen af voor cv en cp voor een ideaal gas.
c) Een mol van een of ander gas bevindt zich aanvankelijk op een temperatuur van 100K (bij 1bar
≈ 1atm). We koelen nu het gas tot 73K waar het een gedeelte van het gas vloeibaar wordt. Boven
73K mag het gas een als monoatomair ideaal gas beschouwd worden. De condensatiewarmte
L van het gas bedraagt L = 2800J/mol. Hoeveel warmte moet in totaal aan het gas worden
ontrokken om de helft van het gas vloeibaar te maken?
d) Schets de Gibbs-vrije energie van het gas uit het vorige onderdeel als functie van T voor het
temperatuurbereik van 50 tot 100 K. Beschrijf waarom je de grafiek zo tekent, lettend b.v. op op
helling, continuiteit, (tweede) afgeleide. Hint: bij een gas-vloeistof overgang zijn de chemische
potentialen van gas en vloeistof gelijk.
2