7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7
College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss
Berekening van electrische flux
Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We
definieren de electrische flux als volgt:
Z
~ · dA
~
ΦE = E
• ΦE is de netto lading
~ is het electrisch veld in het opperlvlakte-elementje dA.
~
• E
~ is een vector die in grootte gelijk is aan het oppervlakelementje dA, en waarvan de
• dA
richting per definitie loodrecht staat op het oppervlak.
• Het inproduct zorgt er dus voor dat de bijdrage aan de integraal uitsluitend bepaald
~ die loodrecht staat op het oppervlakelementje dA.
wordt door de component van E
• De integraal
H is over een gesloten oppervlak rond de lading ΦE . Vaak wordt dit aangegeven
met een symbool:
I
~ · dA
~
ΦE = E
Deze vergelijking legt een kwantitatief verband tussen de flux en de electrische veldsterkte.
Maar hoe staat de flux in verband met de grootte van de lading binnen het gesloten oppervlak?
puntlading
We weten dat voor een puntlading geldt dat
E=
1 q
.
4π◦ R2
ALs we de puntlading in het middelpunt van een denkbeeldige bol plaatsen met straal R, dan
~ loodrecht op het oppervlak van de pol in elk punt van het oppervlak. Bovendien is E
~
staat E
in elk punt van het boloppervlak even groot. Onder deze condities geldt de wet van Gauss:
I
I
I
1 q
q
~
~
ΦE = E · dA = E dA = E dA =
(4πR2 ) =
2
4π◦ R
◦
Dit is de wet van Gauss voor een puntlading:
I
~ · dA
~= q
ΦE = E
◦
• De flux wordt uitsluitend bepaald door de lading q binnen de bol.
• De flux is onafhankelijk van de straal van de bol. (Want: E ∝ 1/r2 , en A ∝ r2 , dus het
product van E en A is constant).
In feite geldt de wet van Gauss niet alleen voor een bolvormig oppervlak, maar voor elk
gesloten oppervlak onafhankelijk van de vorm.
Bovendien geldt de wet van Gauss niet alleen voor een puntlading, maar voor een willekeurige
ladingsverdeling binnen het ingesloten volume. We kunnen nl. de totale lading Qencl altijd
1
P
schrijven als de som van puntladingen: Qencl =
i qi . Het totale veld is de som van de
velden van alle puntladingen, en dus:
I
I X
XI
X qi
Qencl
~
~
~
~
~ i · dA
~=
ΦE = E · dA =
Ei · dA =
=
E
◦
◦
i
i
i
Meer algemeen luidt de wet van Gauss dus:
I
~ · dA
~ = Qencl
ΦE = E
◦
Toepassingen.
een geleidende bol met electrische lading q:
~ < R) = 0 (als de ladingsverdeling in evenwicht is wordt
• Het veld in de bol is nul: E(r
er geen netto kracht uitgeoefend, er is dus geen netto verplaatsing van lading).
• De bolvormige symmetrie impliceert dat extra lading homogeen over het oppervlak van
de bol is verdeeld. Bovendien is daarom het veld radiaal gericht: als de bol gedraaid
wordt blijft het patroon van het electrisch veld onveranderd. Voor r > R is het veld dus
gelijk aan dat van een puntlading q
E(r ≥ R) =
1 q
4π◦ R2
een lange geleidende draad met lading:
Voor een lange, rechte draad (r << lengte) staat de richting van het el. veld loodrecht op de
draad (zie onderstaande figuur). In een vlak loodrecht op de draad is het veld op de omtrek
van een circel met straal r rond de draad overal even sterk.
Beschouw een cilinder met lengte l en straal r rond de draad, met Qencl = λ/l:
ΦE = E (2πrl) =
en dus:
E=
Qencl
λl
= ,
◦
◦
1 λ
2π◦ r
2
lading op een grote, geleidende plaat:
Het veld staat ook hier loodrecht op het vlak. Positieve lading: het veld is naar buiten gericht,
negatieve lading: het veld is naar de plaat toe gericht. Beschouw een denkbeeldige cilinder
met straal die door het platte vlak steekt met de as loodrecht op het vlak. Het product E⊥ ∆A
is alleen nul voor de boven en onderkant van de cilinder.
σA
◦
A is het oppervlak van de loodrechte doorsnede van de cilinder, σ is de lading per eenheid
oppervlak (de ladingsdichtheid, C/m2 ), σA is de ingesloten lading.
2E⊥ A =
σ
2◦
Twee evenwijdige platen met tegengestelde lading, onderlinge afstand klein t.o.v. de afmetingen van de platen: buiten de plaat compenseren de velden van de negatieve en positieve plaat
elkaar. Tussen de platen tellen ze op:
σ
E=
◦
E=
Veld van een uniform geladen bol:
Uniform wil zeggen dat de ladingsdichtheid ρ (= lading per volumeëenheid) overal in de bol
(straal R) hetzelfde is.
Q
ρ=
4πR3 /3
Voor r < R:
Qencl = ρVencl =
Q
4πR3 /3
4 3
πr
3
=Q
r3
R3
Binnen de bol is het veld evenredig met r, de afstand tot het middelpunt:
E=
1 Qr3 1
Q r
=
2
3
4πr R ◦
4πR3 ◦
Ladingen in geleiders
Extra ladingen in een geleider bevinden zich altijd aan het oppervlak. Als de geleider bolvormig
(straal R) is volgt dat binnen in de bol (r < R) de sterkte van het veld gelijk is aan nul, ook
als de bol hol is
Electrische potentiaal
Z
Arbeid verricht door een kracht:
Wa→b =
a
b
F~ · d~s =
Z
b
F cos θ ds
a
Wa→b = Ua − Ub = −∆U
∆U is de verandering in potentiële energie als de kracht F~ arbeid verricht over de verplaatsing
van a naar b.
Als de kracht in dezelfde richting is als de verplaatsing is de verrichte arbeid positief, en dus
neemt de potentiële energie af. Vergelijk een voorwerp dat onder invloed van de zwaartekracht
naar het aardoppervlak valt: de verrichte arbeid is positief, de potentële energie (= mgh)
Voor een conservatieve kracht:
3
neemt af en de kinetische energie (= 12 mv 2 )neemt toe. Omdat de kracht conservatief is blijft
ook de totale energie (= kinetisch + potentiëel) behouden:
Ka + Ua = Kb + Ub
Coulombkrachten zijn ook conservatief. Voorbeeld: een positief geladen deeltje in een uniform electrisch veld.
~
F~ = q◦ E
Wa→b = F (yb − ya ) = q◦ E(yb − ya )
−∆U = q◦ E(yb − ya )
U = q◦ Ey
Wa→b is positief als q◦ positief is, en dus neemt de potentiële energie af, de kinetische energie
zal toenemen. Merk op dat in dat geval de verplaatsing in dezelfde richting is als de op de
lading uitgeoefende kracht.
Als de lading van het deeltje negatief zou zijn ondervindt het een kracht die tegengesteld is
aan de richting van het veld. Bij de verplaatsing van a naar b beweegt het deeltje dus in een
richting tegengesteld aan die van de kracht: de potentiële energie neemt nu toe.
Voorbeelden van beweging van geladen deeltjes in el. veld
• kathodestraalbuis,
• geigerteller (meten van radioactiviteit)
• electronenspectroscopie
• LCD (liquid crystal display)
Potentiële energie van twee puntladingen
Kracht tussen twee puntladingen q en q◦ :
Fr =
1 qq◦
4π◦ r2
Als de afstand toeneemt van ra naar rb langs de verbindingslijn (dus radiëel) wordt arbeid
verricht door de kracht:
Z rb
Z rb
Z rb
1 qq◦
qq◦
1
qq◦
1
1
Wa→b =
=
=
−
Fr dr =
2
4π◦ ra r2
4π◦ ra rb
ra
ra 4π◦ r
Wa→b is alleen afhankelijk van begin en eindpunt, en dus onafhankelijk van de gevolgde weg.
Consistent als we de potentiële energie definiëren als volgt:
U=
qq◦ 1
4π◦ r
Dit is dus de electrische potentiële energie van twee ladingen q en q◦ . De uitdrukking geldt
zowel voor positieve als negatieve ladingen, of voor een combinatie daarvan. Wanneer we
4
te maken hebben met een systeem van meerdere puntladingen kunnen we het superpositieprincipe toepassen (het veld in een bepaald punt is de vector som van de velden van alle
individuele ladingen), en dan volgt:
q◦ X qi
U=
4π◦ i ri
Dit is de potentiële energie van een lading q◦ in het veld van de ladingen {qi }.
We kunnen het nulpunt van potentiële energie vrij kiezen. Een handige keus voor electrostatische problemen is U = 0 als de afstand tussen geladen deeltjes oneindig is. Een bepaalde
ladingsverdeling {qi } heeft dus een intrinsieke potentiële energie, en wel gelijk aan de arbeid
die moet worden verricht om de ladingen {qi } bij elkaar te brengen. Dat kunnen we één voor
één doen, en dan de potentiële energie van elk geladen deeltje optellen bij het totaal. Dat
levert:
1 X qi qj
U=
4π◦ i<j rij
rij is de afstand tussen ladingen qi en qj , en de som gaat over termen met i < j zodat we niet
elk paar dubbel tellen.
7.1
Electrische potentiaal
We definiëerden een electrische veld als de kracht per eenheid lading, en we kunnen zo’n veld
beschouwen als een (ruimtelijke) eigenschap van een geladen voorwerp. Zoals we hebben
gezien is met een conservatieve kracht, en dus ook met een electrisch veld, altijd een potentiële energie geassociëerd. Analoog aan het begrip electrisch veld definiëren we nu de
electrische potentiaal als de potentiële energie per eenheid van lading:
U
q◦
Eenheid van U is J, van V is volt (V), en dus
Per definitie: V =
1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb
De electrische potentiaal is gedefiniëerd als de potentiële energie per ladingseenheid. Het
potentiaalverschil tussen twee punten a en b is dus gelijk aan de hoeveelheid arbeid die verricht
moet worden om één eenheid lading van a naar b te verplaatsen:
∆U
Ub Ua
Wa→b
=−
=−
−
= −(Vb − Va ) = Va − Vb
q◦
q◦
q◦
q◦
De verandering van de energie van een deeltje met de lading van een electron tussen twee
punten met een potentiaalverschil van 1 V is gelijk aan
Ua − Ub = (1.602 × 10−19 C)(1 V) = 1.602 × 10−19 J
Deze hoeveelheid energie is gedefiëerd als 1 electron volt (eV):
1 eV = 1.602 × 10−19 J
Voorbeeld 1:
5
q1 = +7.50µC: vast
q2 = +3.00µC: massa 2 g, beweegt in de richting van q2 , v = 22.0 m/s op een afstand van
0.80 m.
Verwaarloos de zwaartekracht
a. Wat is de snelheid van q2 op een afstand van 0.50 m?
b. Wat is de kortste afstand tussen q1 en q2 ?
a. Energiebehoud gebruiken.
1
(3.00 × 10−6 C)(7.50 × 10−6 C)
Ei = Ki +Ui = (0.002 kg)(22.0 m/s)2 +(9×109 )
= 0.737 J
2
0.80m
s
1 2
q1 q 2
2(0.737 J − 0.405 J)
Ef = mv + k 2
= 18.2 m/s
→
v=
2
r
0.002 kg
b. Op de kortste afstand is de snelheid nul:
k
q1 q2
= 0.737 J
r2
r = (9 × 109 )
→
(3.00 × 10−6 C)(7.50 × 10−6 C)
= 0.275 m
0.737 J
Voorbeeld 2:
• Potentiaal V◦ in de oorsprong?
• laat zien dat op een punt langs de x-as
V =
1
2q
√
2
4π◦ a + x2
• Teken een grafiek van V rond de oorsprong
• Wat is de potentiaal als x a?
b. V =
1 q
4π◦ a
c. Volgens de tekening: V =
d.
e. Als x >> a, dan is V =
1 q
1
2q
√
=
4π◦ r
2π◦ a2 + x2
1 2q
4π◦ x
Voorbeeld 3:
• Potentiaal als functie van x?
• Grafiek van V (x)?
• Wat als de ladingen verwisseld worden?
1
q −q
a. Potentiaal = 0 overal op de x-as: V (x) =
+
4π◦ r
r
6
b. V (x) = 0
c. Zelfde resultaat als ladingen verwisseld worden.
Voorbeeld 4:
Zelfde als bij voorbeeld 3, maar nu voor de potentiaal op de y-as.
1
q
−q
1
2qy
|y| < a: V =
+
=
2
4π◦ a + y a − y
4π◦ (y − a2 )
1
q
−q
1
−2qa
y > a: V =
+
=
4π◦ a + y y − a
4π◦ (y 2 − a2 )
q
−q
1
2qa
1
+
=
y < −a: V =
2
4π◦ −y − a −y + a
4π◦ (y − a2 )
q
−q
1 −2qa
1
+
=
y >> a: V =
4π◦ y + a y − a
4π◦ y 2
7