Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit Nijmegen

10 januari 2002
Keuzecollege Hoge EnergieFysica
Katholieke Universiteit Nijmegen
(4 sp)
Keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes
Technische Universiteit Eindhoven
(2 sp)
Prof. dr S. J. de Jong
Dr F.Filthaut
Drs M. Sanders
Bij het gebruik van deze syllabus:
KUN
TUE
1
1
In de kantlijn staan soms kleine blokjes, zoals
. Deze geven aan voor de KUN en TUE
respectievelijk op welk college de stof nominaal wordt behandeld. Dit is vooral bedoeld als steuntje voor de docent, en als het niet altijd uit lijkt te komen is er geen reden voor paniek bij de
student (misschien wel bij de docent.)
Verder staan in de kantlijn soms balken zoals
wordt behandeld en niet op de TUE.
. Dit is stof die wel op het college op de KUN
Algemene bibliografie:
• D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, 1987,J.Wiley & Sons Inc., ISBN 0-47160386-4(hardcover).
• F. Halzen and A.D. Martin, Quarks & Leptons: An Introductpry Course in Modern Particle
Physics, J. Wiley & Sons Inc., ISBN 0-471-88741-2 (hardcover).
• Particle Data Group, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1,
http://www-pdg.lbl.gov/.
• SPIRES HEP database, http://www.slac.stanford.edu/spires/hep/.
• De preprint server: http://arXiv.org/.
INHOUD
INHOUD
HOOFDSTUK 1
................................................................................................................ i
Inleiding ................................................................................................. 1
Het Standaard Model van de elementaire deeltjesfysica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1
Relativistische kinematica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2
Quantummechanica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5
Natuurlijke eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5
Experimentele technieken en observabelen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6
Verval van deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Botsingen van deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10
HOOFDSTUK 2
Elektronen, positronen en fotonen: QED..............................................11
De ontdekking van het elektron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11
De ontdekking van het positron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12
Het foton- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
Interacties van geladen deeltjes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -14
Quantumveldentheorie voor vrije scalaire deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Interacties in een scalaire quantumveldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Grafische representatie: Feynmandiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Feynmanregels voor een theorie met geladen spin 0 deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
De gouden regel: de formule voor werkzame doorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Eerste poging om elektronverstrooiing te berekenen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21
Veldentheorie voor deeltjes met spin 1/2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -22
Quantumelectrodynamica (QED) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -27
Møller verstrooiing: elektron-elektron verstrooiing in QED- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 29
Het magnetisch moment van het elektron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -32
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35
HOOFDSTUK 3
Leptonen: Muonen, tau-leptonen, neutrino’s en de zwakke interacties 37
De “ontdekking” van het muon- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -37
De neutrino hypothese en het behoud van leptongetal- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -37
SU(2) symmetrie en de zwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38
Het muon verval- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -42
Productie van Z bosonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -45
Productie van W bosonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -46
De ontdekking van het tau-lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -47
Samenvatting van de lepton sector - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -48
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 49
Collegedictaat Hoge Energiefysica
i
HOOFDSTUK 4
Van hadronen tot quarks ...................................................................... 51
Het proton, het neutron en isospin symmetrie: up en down quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -51
Clebsch-Gordan coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Het spectroscopische model van lichte quarks: het strange quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -54
Het quantumgetal kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -56
Diep inelastische elektron-proton verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -57
De sterke wisselwerking als SU(3) ijktheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 63
Scaling violation en energieafhankelijk van de sterke koppeling - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -66
Confinement, asymptotische vrijheid, jets en hadronisatie- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -69
Quarks en de elektrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -73
De ontdekking van de J/ en charm quarks- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74
De bottom en top quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74
De Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -76
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 78
HOOFDSTUK 5
Pariteit, ladingsconjugatie en tijdomkeer............................................ 81
Pariteit: P - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -81
Ladingsconjugatie: C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82
Tijdomkeer: T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82
Tabulering van deeltjeseigenschappen door de Particle Data Group - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -83
Schending van ladingsconjugatie en pariteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84
Het neutrale Kaon systeem- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84
Het CPT theorema - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
CP schending in andere systemen dan de kaonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
Kosmologische implicatie van CP schending - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91
HOOFDSTUK 6
Massa en het Standaard Model: Het Higgs mechanisme .................... 93
Lagrangianen- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -93
Nog eens U(1)xSU(2) ijktheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95
Eigenschappen van het Higgs boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -98
Zoeken naar het Higgs boson bij LEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Zoeken naar het Higgs boson bij het Tevatron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Status van het Standaard Model en de Higgs massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 102
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104
HOOFDSTUK 7
Voorbij het Standaard Model: Supersymmetrie ................................. 105
Renormaliseerbaarheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105
Het hiërarchieprobleem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
Supersymmetrie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Het Minimale Supersymmetrische Standaard Model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 108
Het deeltjesspectrum van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 108
De Higgs sector van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 109
Experimentele informatie over het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 110
Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 113
ii
Collegedictaat Hoge Energiefysica
HOOFDSTUK 8
Het huidige en toekomstige Experimentele Hoge Energiefysica
programma..........................................................................................115
e+e- botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115
Hadron botsers- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116
Lepton-hadron botsers- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117
Zware ionen botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118
Versneller neutrino experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118
Niet-versneller experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 119
Organisatie van de Experimentele Hoge Energiefysica in Nederland- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
De Nijmeegse EHEF groep - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121
De toekomst - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121
APPENDIX A
Detectoren in de Experimentele Hoge Energiefysica ........................ 123
Interacties van deeltjes met materie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 123
Electro-magnetische interacties: dE/dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Electro-magnetische interacties: showers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Nucleaire interacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Geladen spoor detectie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 127
Electro-magnetische calorimeters - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 127
Hadron calorimeters - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128
Deeltjes identificatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128
Electronen en positronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Fotonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Muonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Neutrino’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
APPENDIX B
Transformatiegroepen: minimale inleiding ....................................... 131
Groepsaxioma’s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131
Unitaire transformaties - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131
Rotaties in het twee dimensionale reële vlak: SO(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131
Complexe fasetransformaties: U(1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 132
Rotaties in twee complexe dimensies: SU(2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 132
Rotaties in drie complexe dimensies: SU(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 133
APPENDIX C
Formuleblad voor gebruik bij het tentamen ...................................... 135
APPENDIX D
Uitwerkingen van opgaven ................................................................ 141
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 1
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 2
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 3
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 4
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 5
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 6
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 7
Collegedictaat Hoge Energiefysica
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 141
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 143
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 147
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 149
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 152
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 153
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 155
iii
APPENDIX E
Oefententamen KUN .......................................................................... 157
APPENDIX F
Oefententamen TUE........................................................................... 167
INDEX
iv
........................................................................................................... 175
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
TUE
1
1
HOOFDSTUK 1 Inleiding
In deze inleiding wordt een overzicht van de Hoge Energiefysica gegeven. Het Standaard Model voor
de elementaire deeltjesfysica wordt geïntroduceerd. De motivatie en de uitwerking van het Standaard Model zijn centrale thema’s in dit college. Er wordt een overzicht gegeven van de experimentele
en theoretische ingrediënten die nodig zijn om het Standaard Model te begrijpen. Enige universele
basisbegrippen worden herhaald en uitgelegd.
1.1 Het Standaard Model van de elementaire deeltjesfysica
In dit college wordt een inventarisatie gegeven van de actuele stand van zaken in de Hoge Energiefysica. Laten we om te beginnen de term “Hoge Energiefysica” uitleggen. Meestal wordt een
vakgebied aangegeven met hetgeen bestudeerd wordt. In de Hoge Energiefysica bestuderen we echter niet hoge energie. Wat we bestuderen zijn elementaire deeltjes en hun onderlinge krachten. De
term Hoge Energiefysica slaat veeleer op de methodes van bestuderen van de elementaire deeltjes,
namelijk met gebruikmaking van hoge energie. Dat elementaire deeltjes en hoge energie met elkaar
te maken hebben is makkelijk te begrijpen uit het feit dat hoge energie correspondeert met een groot
ruimtelijk oplossend vermogen. In de quantummechanica correspondeert een hoge energie met een
korte golflengte en die korte golflengte stelt ons in staat om kleine structuren te kunnen onderscheiden. Met elementaire deeltjes worden in het algemeen ook de kleinste deeltjes bedoeld, we kennen
geen objecten met macroscopische afmetingen die niet verder kunnen worden ontleed.
Elektrische
Lading
2⁄
3
– 1⁄ 3
0
–1
Fermionen












ur 

ug 

ub 

d r 

dg 

db 
ν
 e
 e












cr 

cg 

cb 

s r 

sg 

sb 
ν
 µ
 µ
Bosonen












tr 

tg 

tb 

b r 

bg 

bb 
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
ν
 τ
 τ
g8
γ W
W
TABEL 1.1. De
+
-
H
Z
elementaire deeltjes volgens het Standaard Model
Collegedictaat Hoge Energiefysica
1
Laten we, dit gezegd hebbende, met de deur in huis vallen en de elementaire deeltjes zoals we die nu
kennen introduceren. In Tabel 1.1 staan de elementaire deeltjes van het Standaard Model. Linksboven staan drie groepjes van twee quarks: up(u), down(d), charm (c), strange (s), top (t) en bottom
(b).
Elk quark komt voor in drie kleuren, rood ( r ), groen ( g ) en blauw ( b ). Deze kleur is een waarde van
een quantumgetal en heeft niets met de visuele kleur te maken. We komen hier uitgebreid op terug.
Linksonder staan drie groepjes van twee leptonen: elektron (e), elektron-neutrino (νe), muon (µ),
muon-neutrino (νµ), tau (τ) en tau-neutrino (ντ). De electrische lading van de quarks en leptonen
staat ook in de tabel aangegeven. Het up, charm en top quark hebben lading +2/3, het down, strange
en bottom quark hebben lading -1/3, het elektron, muon en tau hebben lading -1 en de neutrino’s (de
naam zegt het al) zijn neutraal.
In het midden staan de ijkbosonen, dat zijn de deeltjes die de electromagnetische kracht en de
zwakke en sterke kernkracht overbrengen. Zoals we later zullen zien zijn de electromagnetische en
zwakke kernkracht verenigd in de electrozwakke kracht en horen de W en Z bosonen en het foton (γ)
bij elkaar. De sterke kernkracht wordt overgebracht door gluonen (g). Hier zijn acht verschillende
typen van die ieder met een bepaalde combinatie van kleuren corresponderen, waarbij kleuren de
waarden van een quantumgetal zijn, zoals we ook al voor de quarks hebben gezien. Rechts onderin
staat het buitenbeentje van het Standaard Model: het Higgs boson. De W bosonen hebben een elektrische lading van ±1, de overige elementaire bosonen, foton, Z en Higgs zijn neutraal.
Al deze elementaire deeltjes hebben ook anti-deeltjes. Sommige deeltjes, zoals het foton en het Zboson zijn hun eigen anti-deeltje. Een noodzakelijke voorwaarde voor een deeltje om zijn eigen antideeltje te zijn is dat het neutraal is. Niet alle neutrale deeltjes zijn echter noodzakelijkerwijs hun
eigen anti-deeltjes.
Al deze deeltjes zijn in experimenten waargenomen en hun eigenschappen in meer of mindere mate
vastgesteld, behalve het Higgs boson dat nog niet is waargenomen. Het experimenteel bewijs voor de
verschillende deeltjes zal in de volgende hoofdstukken worden besproken.
Behalve het elektron, is de detectie van al deze deeltjes gebasseerd op botsingen en/of vervallen van
instabiele deeltjes. De technieken en de theorie van botsingen (ook wel verstrooiing) en vervallen
zullen in het vervolg worden besproken.
De manier waarop de verschillende deeltjes zijn gegroepeerd is niet toevallig, maar reflecteert de
symmetrieën van het Standaard Model. In feite kunnen we het Standaard Model identificeren met
die symmetrieën. Het Standaard Model als wiskundig model zal ook worden besproken.
In het Standaard Model worden drie verschillende krachten beschreven: de electromagnetische
kracht, de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht. We zullen zien dat de eerste twee onderdelen
zijn van een geünificeerde kracht, de electrozwakke kracht. De enige overgebleven kracht die we
kennen is de zwaartekracht. Op het niveau van elementaire deeltjes interactie speelt deze kracht geen
rol, omdat ondanks de kleine afstanden waar we mee werken de massa’s van de deeltjes zo klein zijn
dat de zwaartekracht tot op vele orden van grootte verwaarloosbaar is ten opzichte van de andere drie
krachten.
1.2 Relativistische kinematica
In dit hele college werken we met relativistische kinematica. Eerste definiëren we de notatie zoals
we die in dit college zullen gebruiken.
De plaats in de ruimte wordt aangegeven met de vier-vector:
x µ = ct, – x, – y, – z ,
2
(1.1)
Collegedictaat Hoge Energiefysica
met x =
x ,y ,z de plaats in de drie-dimensionale ruimte, en t de tijd. De lichtsnelheid is gegeven
door c . Hoewel x µ conventioneel vier-vector wordt genoemd is het eigenlijk een tensor. Dit type
tensor met de index beneden wordt covariant genoemd. De index µ neemt waarden van 0 tot 3 aan,
waarbij index 0 de tijd dimensie is en de indices 1 t/m 3 voor de plaatsdimensies staan. Als de index
boven staat in plaats van onder wordt de contravariante tensor bedoeld:
ct
µ
x = x .
y
z
(1.2)
Op dezelfde manier is de covariante vierimpuls gedefinieerd als:
p µ = E ⁄ c, – p x, – p y, – p z ,
p x, p y, p z is de drie-impuls.
met E de energie en p =
De metriek wordt gegeven door de metrische tensor g
dan gegeven door:
2
µ
(1.3)
µ
s = x x µ = x g µν x
ν
1 0
ct
= x • 0 –1
0 0
y
0 0
z
µν
0
0
–1
0
. De lengte s van een viervector x µ wordt
0 ct
0 x = c 2 t2 – x2 – y 2 – z2 .
0 y
–1 z
(1.4)
Hier is meteen de Einstein sommatie conventie ingevoerd: Over herhaalde indices die een keer onder
en een keer boven voorkomen wordt gesommeerd. Ook is hier te zien hoe een covariante tensor x µ
µ
naar zijn contravariante alter-ego x kan worden getransformeerd met:
µ
µν
x = g xv
(1.5)
µv
µ
Bij het inprodukt tussen twee vier-vectoren x µ x wordt als metriek de metrische tensor g gebruikt.
In dit college werken we alleen in de context van de speciale relativiteitstheorie. In dat geval is de
metrische tensor precies de diagonale tensor met +1 en -1 die we hebben opgeschreven. In de algemene relativiteitstheorie kan de metrische tensor een meer gecompliceerde vorm hebben en van de
plaats afhangen. Als dat op een niet triviale manier is, is de ruimte gekromd. Wij zullen hier alleen in
een vlakke ruimte werken.
Vier-vector en vier-impuls kunnen worden getransformeerd van een inertiaal systeem naar een ander
met behulp van Lorentz-Poincaré transformaties. Deze transformatie reflecteert dat de lichtsnelheid
de maximale snelheid is in elk inertiaal systeem.
Als voor een waarnemer een plaats is gegeven door x µ dan is voor een andere waarnemer met relatieve snelheid v = βc de plaats in ruimte-tijd gegeven door:
x ′µ = Λµ x ν + yµ ,
v
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(1.6)
3
waarbij y µ een ruimtelijk plaatsverschil is tussen de waarnemers. Als we deze translatie y µ even
buiten beschouwing laten en het simplistische geval beschouwen waarin alleen β x = β ≠ 0 , kunnen
we de Lorentztransformatie uitschrijven als:
ct ′
x′
y′
z′
γ – γβ 0 0 ct
γ ( c t – βx )
– γβ γ 0 0 x
=
= γ ( x – βct ) .
0 0 1 0 y
y
z
0 0 0 1 z
(1.7)
Hier is de Lorentzcontractie factor γ ingevoerd:
1
γ = ------------------ .
(1.8)
2
1–β
De lengte van een vier-vector is een belangrijke invariant onder Lorentz transformaties. De lengte
van een vier-impuls is ook zo’n invariant. Voor deeltjes die vrij in de ruimte bewegen is de lengte van
de vier-impuls evenredig met de massa:
2
2
E
-----2- – p .
c
Deze vergelijking kan ook worden geschreven als:
mc =
2
2 2
(1.9)
2 4
(1.10)
E = p c +m c .
In dit geval heet het de relativistische bewegingsvergelijking en deze zal een centrale rol spelen in dit
college.
Vaak is het interessant om naar de hoek te kijken van een deeltje met een bepaalde impuls ten opzichte van een bepaalde as. Voor verschillende waarnemers die met verschillende snelheid over de as
bewegen verandert de hoek met de as. Dit komt omdat de impulscomponent loodrecht op de as niet
verandert tussen de verschillende waarnemers, maar de impulscomponent in de richting van de as
wel. Kiezen we de as in de z-richting en schrijven we de impuls loodrecht op de as voor een
waarnemer als p T dan geldt voor die waarnemer voor de hoek die het deeltje met de as maakt:
pT
tan θ = ----- .
pz
(1.11)
Voor een andere waarnemer die in de richting van de z-as met een snelheid βc ten opzichte van de
eerste waarnemer beweegt is de hoek dan:
p
pT
tan θ' = -----T- = ------------------------.
p' z
γ ( p z – βE )
(1.12)
Met de oorsponkelijke snelheid voor het deeltje gedefinieerd als:
p
β̂ = --- ,
E
(1.13)
pT ⁄ p
sin θ
= -----------------------------------tan θ' = -------------------------------------------γ ( pz ⁄ p – β ( E ⁄ p ) )
γ ( cos θ – β ⁄ β̂ )
(1.14)
kunnen we dit ook schrijven als:
4
Collegedictaat Hoge Energiefysica
en we zien ook meteen dat als we de rol van waarnemer een en twee omdraaien we krijgen:
sin θ'
tan θ = -------------------------------------ˆ)
γ ( cos θ' + β ⁄ β'
(1.15)
en dus alleen het teken van de relatieve snelheid in de formule verandert.
Een vergelijking wordt covariant genoemd als na contractie van alle herhaalde indices volgens de
Einstein sommatieconventie er aan beide kanten van de vergelijking dezelfde indices over zijn. In dat
geval transformeren beiden kanten van de vergelijking identiek onder Lorentz transformaties.
1.3 Quantummechanica
Een quantummechanische toestand wordt beschreven door een bra <p| of een ket |p> . De amplitude
voor de waarden van een bepaalde observabele worden gegeven door de projectie van de quantumtoestand op die observabele. Bijvoorbeeld de amplitude voor de plaats wordt gegeven door:
ψ ( x ) = <x|p> .
De waarschijnlijkheidsverdeling over de ruimte voor de plaats wordt dan gegeven door:
(1.16)
2
ψ ( x ) = ψ∗ ( x )ψ ( x ) = <p|x><x|p>
(1.17)
Een fundamenteel resultaat van de quantummechanica is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg:
h
∆x∆p ≥ -----2π
(1.18)
Hier duikt de gereduceerde constante van Planck op, h ⁄ ( 2π ) .
De niet relativistische quantummechanische bewegingsvergelijking is de Schrödinger vergelijking:
2
ih ∂
h 2∇
------ |p> = H|p> =  –  ------ ------- + V |p> ,
  2π 2m

2π ∂ t
(1.19)
waarin H de Hamiltoniaan is en V de potentiële energie. De Schrödinger vergelijking kunnen we
makkelijk verkrijgen door in de klassieke (niet-relativistische) bewegingsvergelijking,
2
p
E = ------- + V ,
2m
(1.20)
de substituties:
ih ∂
E → -----2π ∂ t
ih
ih ∂
p → – -----= – ------ ∇
2π
2π ∂ x
(1.21)
te doen.
Een unitaire transformatie ( U† U = 1 ), die met de Hamiltoniaan commuteert
( [ U, H ] = UH – HU = 0 ) geeft een constante van beweging, een behouden quantumgetal.
1.4 Natuurlijke eenheden
Om het meeslepen van de juiste aantal c en h ⁄ ( 2π ) factoren drastisch te beperken, werken we in de
Hoge Energiefysica over het algemeen met natuurlijke eenheden. Deze eenheden zijn zo bepaald dat
c en h ⁄ ( 2π ) de numerieke waarden 1 hebben.
Als gevolg worden massa, energie en impuls allemaal losjes in GeV uitgedrukt. De eenheid GeV
staat voor Giga-elektronvolt, de energie die correspondeert met de kinetische energie die een elektron krijgt als het een potentiaalverschil van een miljard Volt doorloopt. De voorvoegsels gaan ver-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
5
der net als bij het SI eenheden stelsel, dus keV voor duizend elektronvolt, MeV voor een miljoen
elektron volt, met als grootste gangbare eenheid op dit moment de TeV, Tera-elektronvolt, 10
ktronvolt
12
ele-
15
(hoewel er al een artikel is over het meten van de impuls voor PeV ( 10 eV) deeltjes.)
De meV (milli-elektronvolt) eenheden zijn van belang voor sommige atomaire processen, zoals
energieën van los gebonden elektronen.
Een belangrijke omrekening van natuurlijke eenheden naar SI eenheden blijkt de oppervlakte maat te
–2
zijn. Die wordt in natuurlijke eenheden in GeV uitgedrukt. De conversiefactor om dit naar SI eenheden om te rekenen kunnen we afleiden uit het feit dat (met dimensies in []):
hc
------ = 1 [(energie*tijd)*(afstand/tijd)=energie*afstand] .
2π
In SI eenheden is dat:
– 22
8
hc
------ = 6.5821 ×10 [MeV s] × 2.9979 ×10 [m/s] =
2π
197 × 10
– 15
(1.22)
(1.23)
[MeV m] = 197 [MeV fm],
– 15
waarbij een femtometer (fm) 10
m is.
De oppervlakte eenheden waar wij mee te maken zullen krijgen worden uitgedrukt in barn (b), waarbij één barn 10
– 28
2
m is. Dus
1 GeV
–2
2
2
= ( 0.197 fm ) = 0.0388 fm = 0.388 mb .
(1.24)
1.5 Experimentele technieken en observabelen
Behalve experimenten die kunnen worden uitgevoerd met elektronen komt al onze kennis van elementaire deeltjes ofwel van het (radioactieve) verval van instabiele deeltjes, ofwel van botsingsproeven. Hier geven we een korte inleiding, verderop zal aan deze twee experimentele technieken en aan
de theoretische definitie en berekening van vervalsbreedte en werkzame doorsnede ruime aandacht
worden besteed.
1.5.1 Verval van deeltjes
In het algemeen kunnen we vervallen beschrijven door uit te gaan van een deeltje in rust. Dit deeltje
hoeft niet per sé elementair te zijn, maar kan dat wel zijn. Sommige elementaire deeltjes vervallen
ook vanzelf.
Na een verval kunnen er veel deeltjes in de eindtoestand zijn, maar veel interessante vervallen hebben maar twee of drie deeltjes in de eindtoestand.
De waarschijnlijkheid waarmee een verval gebeurt wordt gegeven door de vervalsbreedte, Γ . Deze
breedte wordt in natuurlijke eenheden in GeV uitgedrukt. Een andere manier om naar de vervalsbreedte te kijken is niet om naar de vervalskansen van één deeltje te kijken, maar in plaats daarvan
naar de fracties die vervallen in een hele grote groep. Als we op een tijdstip t een groot aantal
dezelfde deeltjes N ( t ) hebben die kunnen vervallen, dan vervallen er N ( t )Γdt in een kleine tijd dt
en verandert het oorspronkelijke aantal met dN = –NΓdt . Deze differentiaalvergelijking is makkelijk op te lossen en geeft:
N ( t ) = N ( 0 )e
6
– Γt
(1.25)
Collegedictaat Hoge Energiefysica
De vervalsbreedte en de levensduur van een deeltje zijn dan duidelijk gerelateerd door:
1
τ = --- ,
Γ
(1.26)
waarbij de levensduur, τ , is gedefinieerd als de tijd is waarna de kans 1 ⁄ e is dat het deeltje nog niet
is vervallen. De relatie tussen de levensduur, τ , en de halfwaardetijd, t ½ , is gegeven door:
t ½ = τ ln2
(1.27)
Als een deeltje kan vervallen in meerdere verschillende eindtoestanden kennen we aan al die eindtoestanden een partiële breedte toe. De som van de partiële breedtes is de totale vervalsbreedte. Deze
regel werkt alleen als de eindtoestanden werkelijk verschillend zijn, omdat er dan geen quantummechanische interferentie tussen de verschillende eindtoestanden optreedt.
+ -
Als voorbeeld geven we het Λ baryon dat in de eindtoestanden proton plus pion, p π , en neutron
0
plus pion, nπ , uiteen kan vallen. Hierbij geldt:
ΓΛ = Γ
Λ→p π
+ -
+Γ
Λ → nπ
0
.
(1.28)
Interessante informatie kan vaak nog worden verkregen door te kijken naar de impulsverdeling van
de vervalsproducten. De waarschijnlijkheidsdichtheid van die verdelingen wordt beschreven door de
differentiële breedte. Als voorbeeld kunnen we de differentiële breedte van een verval van een
deeltje in twee andere deeltjes als functie van de energie van elk van de uitgaande deeltjes beschrijven met:
dΓ
------------------- .
dE 1 dE2
(1.29)
Als we de differentiële breedte integreren over alle mogelijkheden voor de energie voor de uitgaande
deeltjes krijgen we de totale vervalsbreedte weer terug:
Γ =
------------------- dE 1 dE 2 .
∫ ∫ dE
1 dE 2
dΓ
(1.30)
2
(Let op het losse gebruik van dΓ . In dit geval zou er beter kunnen staan d Γ . Het weglaten van de
macht is een wijdverbreide slechte gewoonte, waar wij ons in dit college ook aan zullen conformeren.)
1.5.2 Botsingen van deeltjes
In dit college zullen we alleen botsingen tussen twee deeltjes beschouwen. Deze deeltjes hoeven
weer niet elementair te zijn, maar soms zijn één of beide botsende deeltjes dat wel.
Ook hier kunnen weer veel deeltjes in de eindtoestand zijn en bij de interessante botsingsproeven is
dat eerder regel dan uitzondering. De grootheid die botsingen beschrijft heet werkzame doorsnede en
komt vrij aardig overeen met wat de meeste mensen er intuïtief bij denken.
Het makkelijkst kunnen we het begrip werkzame doorsnede definiëren met een experiment waarin
twee harde bollen elastisch botsen, dat wil zeggen de twee bollen die botsen gaan na de botsing in
een andere baan weer verder, maar zonder schade aan de bollen zelf.
Een bol zetten we in rust in ons waarnemingssysteem. Deze bol heeft een straal R . De andere bol is
een puntdeeltje en heeft geen ruimtelijke afmeting. Het puntdeeltje wordt in de richting van de bol in
rust geschoten met een snelheid die niet nul is, maar verder irrelevant. De totale werkzame doorsnede van deze reactie is precies gelijk aan het oppervlak van de bol geprojecteerd op het vlak loodrecht op de richting van de baan van het inkomende deeltje:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
7
2
σ tot = πR .
(1.31)
Als we naar de kans kijken dat van een grote hoeveelheid inkomende puntdeeltjes er een aantal aan
de harde bol wordt verstrooid hebben we nog een gegeven nodig. De kans om verstrooid te worden
hangt natuurlijk ook af van het feit hoe dicht een puntdeeltje bij de bol komt. Als voorbeeld gaan we
uit van een groot aantal inkomende deeltjes die alle in dezelfde richting gaan en die homogeen zijn
verdeeld over een oppervlakte A . De fractie van de inkomende puntdeeltjes die de bol raken wordt
dan gegeven door:
N in
N verstrooid = -------σ tot .
A
(1.32)
Deze vergelijking kan nog algemener worden gemaakt door het geval te beschouwen dat er N doel
harde bollen zijn waaraan wordt verstrooid en die in een gebied liggen dat door de oppervlakte A
van de inkomende deeltjesflux wordt bestreken.
verstrooid deeltje
θ
α
α
inkomend deeltje
b
2R
FIGUUR 1.1: Verstrooiing
van een puntdeeltje aan een harde bol.
Vergelijking (1.32) wordt dan:
∞
N verstrooid
N in N doel
= -------------------- σ tot =
A
∫Ldt
σ tot ,
(1.33)
–∞
waar we een nieuwe variabele invoeren, de luminositeit, L .
De luminositeit is een zeer belangrijke parameter voor experimenten en de definitie is in het algemeen het aantal deeltjes per tijdseenheid in de inkomende bundel maal het aantal deeltjes in het doel
(kan ook een inkomende bundel uit een andere richting zijn, dan is het aantal deeltjes ook per tijdseenheid) gedeeld door het oppervlak dat inkomende deeltjes en doel overlappend bestrijken op het
moment dat ze het dichtst bij elkaar zijn.
In vergelijking (1.33) is de luminositeit over de tijd geïntegreerd en is N in het totaal aantal inkomende deeltjes (bijvoorbeeld gedurende een experiment.)
8
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Uit de tekening in Figuur 1.1 is duidelijk dat niet alle inkomende puntdeeltjes die de harde bol raken
op dezelfde manier zullen worden verstrooid. In feite is de manier waarop deeltjes worden verstrooid
een belangrijke manier om te weten te komen hoe het doel er uit ziet. In dit geval is het een bol en
worden deeltjes verschillend verstrooid als functie van de botsingsparameter b , de kortste afstand
tussen het middelpunt van de bol in rust met de baan die het inkomende projectiel zou volgen als die
niet aan de bol in rust zou verstrooien (zie Figuur 1.1). Als het doel een vlakke schijf zou zijn zouden
alle deeltjes die de schijf raakten worden teruggekaatst in de richting waar ze vandaan kwamen en is
het verdeling van de de verstrooide deeltjes over de ruimte nogal verschillend van het geval van een
harde bol. Laten we het geval van de harde bol uitwerken als instructief voorbeeld.
We definiëren de differentiële werkzame doorsnede als functie van de verstrooiingshoek θ als het
oppervlak dσ dat correspondeert met inkomende deeltjes die verstrooid worden met een hoek tussen
θ en θ + dθ . Of het verstrooide deeltje een verstrooiingshoek in dit interval krijgt hangt in dit geval
alleen af van de botsingsparameter en we nemen het corresponderende interval in botingsparameter
tussen b en b + db . Uit Figuur 1.1 zien we:
b = R sin α
en
2α + θ = π ,
waaruit we de relatie tussen b en θ kunnen afleiden:
θ
b = R cos  ---
 2
of
(1.34)
b
θ = 2 acos  --- .
 R
(1.35)
De differentiële werkzame doorsnede waar we naar op zoek zijn is als functie van b (we integreren
over een cirkel, dit geeft de factor 2π ):
dσ = 2π bdb .
(1.36)
Als functie van θ wordt de differentiële werkzame doorsnede dan:
θ
dσ db
R
dσ
= 2πb --- sin  --- .
------ = ------ ----
2
db
2
dθ
dθ
(1.37)
In plaats van alleen de verstrooiingshoek θ te beschouwen hadden we ook de differentiële werkzame doorsnede als functie van de ruimtehoek Ω kunnen nemen. Als φ de hoek in het vlak loodrecht op de inkomende bundel is dan geldt dΩ = sin θdθdφ . Het probleem van de verstrooiing
aan de harde bol is symmetrisch in φ en we kunnen dan ook over φ integreren zodat we een factor
2π krijgen.
De differentiële werkzame doorsnede als functie van Ω wordt dan:
2
2
R
R cos ( θ ⁄ 2 ) sin ( θ ⁄ 2 )
2πbR sin ( θ ⁄ 2 )
dσ
dσ
------- = ------------------------ = ------------------------------------- = ----------------------------------------------------- = ------ .
(1.38)
4
2 sin θ
2 ⋅ 2π sin θ
2π sin θ dθ
dΩ
Dus bij een homogene inkomende flux puntdeeltjes die elastisch verstrooid worden aan een harde
bol zijn er in elk stukje van de ruimtehoek Ω evenveel verstrooide deeltjes.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
9
1.6 Opgaven
1.1
1.2
1.3
Een interessante proef is het laten botsen van een elektron op een proton. Een manier om dat te
doen is een vat met vloeibaar waterstof te nemen (waterstof bestaat uit een proton waaromheen
een elektron cirkelt) en daar een elektronenbundel op af te schieten. Neem aan dat het proton in
dat geval in rust is en het elektron een impuls p heeft. Wat is de invariante massa van het elektron proton systeem ?
Bovenstaande proef wordt bij de HERA versneller gedaan door zowel protonen als elektronen
te versnellen. De proton en elektronbundel worden dan in tegengestelde richting op elkaar
gebotst. In dit geval heeft het proton een impuls van 820 GeV en het elektron een impuls van
30 GeV. Wat is in dit geval de invariante massa van het elektron-proton systeem ? Hoe groot
zou de impuls van het elektron moeten zijn om dezelfde invariante massa te halen als het proton in rust is ? (De proton massa, 0.938 GeV, en de elektron massa, 0.51 MeV, mogen worden
verwaarloosd ten opzichte van de grote impulsen in het geval van HERA.)
Als een elektron een impuls heeft van 1 GeV, hoeveel energie heeft het dan in Joule ? (De lad– 19
1.4
ing van een elektron is e = 1.6022 × 10
C .)
In natuurlijke eenheden is het antwoord van een berekening voor een werkzame doorsnede in
GeV-2. De praktische uitdrukking van een werkzame doorsnede voor experimentele fysici is in
de eenheid barn (b), waarbij 1 b = 10-24 cm2. Hoeveel barn is 1 GeV-2 ? (Tip: gebruik het feit
hc 2
– 34
Js en
dat  ------ = 1 in natuurlijke eenheden en verder dat h ⁄ ( 2π ) = 1.055 × 10
 2π
8
1.5
1.6
c = 2.998 × 10 m/s in SI eenheden.)
Een Λ baryon vervalt in een proton, p, en een pion, π. Het Λ heeft een massa van 1116 MeV,
het proton 938 MeV, en het pion 140 MeV. Wat is de snelheid van het proton na het verval in
het rustframe van het Λ ?
In de LEP versneller en opslagring worden elektronen op positronen gebotst. De omtrek van
deze versneller stellen we op 27 km. De stroom die op een punt in de versneller wordt gemeten
ten gevolge van de steeds langskomende bundel deeltjes is routinematig voor zowel elektronen
als positronen 2 mA. De elektronen en positronen hebben de lichtsnelheid. Op de punten waar
2
1.7
de bundels botsen hebben ze een afmeting van 0.005 × 0.15 mm in de richting loodrecht op
de bundels. Zowel de elektron als positron bundel zijn verdeeld in vier “bunches” (groepjes).
We nemen aan dat de bundels perfect op elkaar zijn gericht. Wat is de luminositeit van deze
machine in eenheden van cm-2s-1 en hoeveel is dat in pb-1s-1, waarbij pb staat voor picobarn ?
Als we in plaats van verstrooiing aan een harde bol, verstrooiing aan een puntlading beschouwen heet dat Rutherford verstrooiing. Een inkomend deeltje van lading q 1 verstrooit aan een
deeltje in rust met lading q 2 . De relatie tussen de botsingsparameter en de verstrooiingshoek is
q1 q2
gegeven door b = ----------- cot ( θ ⁄ 2 ) , met E de kinetische energie van het inkomende deeltje.
2E
Wat is de formule voor de differentiële werkzame doorsnede ( dσ ) ⁄ ( dΩ ) als functie van de
verstrooiingshoek θ en wat is de totale werkzame doorsnede ?
10
Collegedictaat Hoge Energiefysica
TUE
2
HOOFDSTUK 2 Elektronen, positronen en fotonen:
QED
Eerst wordt het bestaan en wat eigenschappen van elektronen, positronen en fotonen aannemelijk
gemaakt. Met deze drie deeltjes kan een complete quantumveldentheorie worden opgezet: Quantum
Electro-Dynamica, ook wel QED genoemd. Als introductie op QED wordt een quantumveldentheorie
van deeltjes zonder spin besproken. Hiertoe wordt de Klein-Gordon vergelijking ingevoerd. De verstrooiing van elektronen aan fotonen wordt met deze theorie berekend en met een experiment vergeleken. De discrepantie wordt aan spin toegeschreven en een quantumveldentheorie voor fermionen
wordt ingevoerd met de Dirac vergelijking.
2.1 De ontdekking van het elektron
Het elektron als vrij deeltje is voor het eerst overtuigend aangetoond door J. J. Thomson in 1897. Het
experiment dat Thomson hiervoor deed is geschetst in Figuur 2.1. Uit een gloeidraad worden elektronen verdampt, die worden versneld door een potentiaalverschil tussen de gloeidraad en een electrode met een gat. De elektronen vliegen door het gat naar het einde van de vacuumbuis waarin dit
alles is gemonteerd en laten het glas van die buis oplichten. De afbeelding van de straal kan worden
verschoven door een magneetveld aan te leggen rond de straal of een electrisch veld. We nemen nu
aan dat wat er uit de gloeidraad komt en afgebeeld wordt op het glas deeltjes zijn. Door het magneetveld te compenseren met een electrisch veld, zodat de afbuiging nul is kan de snelheid van de
deeltjes worden bepaald, v = E ⁄ B . Door de afbuiging in het electrostatisch veld kan de verhouding
2
2
tussen de lading en de massa van de deeltjes worden bepaald, q ⁄ m = ( 2yv ) ⁄ ( Ed ) , waarbij y de
verplaatsing is in het electrisch veld en het electrisch veld zich over een lengte d uitstrekt.
electrostatische
afbuiging
+
versnellingspotentiaal
+
gloeidraad
magnetische
afbuiging
-
afbeelding
op glas
Schematische voorstelling van het experiment van Thomson. In de rechter bovenhoek een
tekening van het apparaat dat Thomson gebruikte.
FIGUUR 2.1.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
11
2.2 De ontdekking van het positron
Het positron is het anti-deeltje van het elektron. Wat dat in theoretische of mathematische termen wil
zeggen wordt later besproken. In dit geval komt het erop neer dat het positron alle eigenschappen
hetzelfde heeft als het elektron, behalve de electrische lading. Het positron is ontdekt door Anderson
in 1932 bij de bestudering van kosmische stralen. Hiertoe had Anderson een nevelkamer met een
plaat lood erin. In de nevelkamer wordt gas zo geconditioneerd dat als er een geladen deeltje doorgaat er kleine vloeistofbelletjes worden gemaakt op de plaats waar het deeltje langs komt. Dit kan
alleen maar voor een klein tijdje door adiabatische compressie en op hetzelfde tijdstip dat dit gebeurt
wordt een foto genomen. In Figuur 2.2 is de beroemde foto van Anderson te zien. Loodrecht op het
vlak van de foto staat een magnetisch veld. Het deeltje dat de loodplaat passeert verliest daar energie
en dus snelheid. De kromtestraal van het spoor onder de plaat is groter dan boven de plaat, waaruit
wordt geconcludeerd dat het deeltje omhoog beweegt. Uit de richting van de kromming is dan af te
leiden dat het om een positief geladen deeltje gaat. Uit bestudering van de afmeting en hoeveelheid
van de druppeltjes kon Anderson zien dat de massa van het deeltje ongeveer die van het elektron
moest zijn.
FIGUUR 2.2. Nevelkamer foto van Anderson waarop het positron is te zien als spoor van onder naar
boven (versprongen ingetekend met de zwarte krommen). Rechtsboven Anderson met de nevelkamer.
Het spoor en een stukje van de loden plaat zijn aan de rechterkant overgetekend.
12
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2.3 Het foton
In eerste instantie was het foton een theoretische constructie van Planck. Planck kon het lichtspectrum van een zwarte straler van een bepaalde temperatuur goed verklaren, als hij aannam dat de energie die met het licht wordt uitgestraald gequantiseerd was. De pakketjes moesten dan komen met een
energie die evenredig is met de frequentie van het licht, E = hν , waarbij de evenredigheidsfactor de
– 34
constante van Planck is, h = 6.626 × 10
Js , die te vinden is uit de fit van Plancks formule voor
een zwarte straler.
Door inderdaad aan te nemen dat het electromagnetisch veld is gequantiseerd volgens de formule
van Planck kon Einstein het fotoëlectrisch effect verklaren. Als licht op een metaal wordt geschenen
kunnen daaruit elektronen ontsnappen. De elektronen die uit het metaal komen hebben een energieverdeling. De maximum energie van de elektronen blijkt afhankelijk te zijn van golflengte van het
licht en onafhankelijk van de intensiteit van het licht. Dit laat zich makkelijk verklaren uit het beeld
(van Einstein) dat licht een stroom fotonen is en dat de golflengte (of frequentie) van het licht wordt
bepaald door de energie van de fotonen en dat de intensiteit wordt bepaald door het aantal fotonen.
Het beslissende bewijs kwam van Compton die liet zien dat licht dat aan deeltjes in rust wordt verstrooid in golflengte wordt verschoven volgens λ' = λ + λ c ( 1 – cos θ ) , waarin θ de hoek van verstrooi is en λ c = h ⁄ ( mc ) de Compton golflengte, die dus alleen van de massa van het deeltje
afhangt. Deze formule is af te leiden als we het foton met energie E = hc ⁄ λ elastisch laten botsen
met een deeltje in rust van massa m . Uit behoud van energie en impuls volgt:
E γ'
m
0
0 + 0 =
+
Eγ' sin θ
0
0
Eγ
0
E γ' cos θ
Eγ
2
2
2
m + E γ + E γ' – 2E γ E γ' cos θ
0
– E γ' sin θ
.
(2.1)
E γ – E γ' cos θ
Voor de drie-impuls is de gelijkheid manifest. Voor de energie geldt de gelijkheid alleen als:
mE γ
2
2
2
2
( E γ + m – Eγ' ) = m + E γ + Eγ' – 2E γ E γ' cos ( θ ) ⇒ E γ' = ------------------------------------------ .
Eγ ( 1 – cos θ ) + m
(2.2)
Als we dit vertalen in golflengtes ( E = 2π ⁄ λ in natuurlijke eenheden) wordt dat precies:
2π ( 1 – cos θ )
λ' = λ + -------------------------------- = λ + λ c ( 1 – cos θ )
m
2π
λ c = ------ ,
m
(2.3)
waarbij de factor 2π een artefact is van de natuurlijke eenheden.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
13
KUN
2
2.4 Interacties van geladen deeltjes
Nu we elektronen, positronen en fotonen hebben kunnen we een theorie opstellen die de interacties
tussen deze deeltjes beschrijft op een manier die zowel de relativistische kinematica alsook de quantummechanica recht doet. Deze theorie heet Quantum Electro-Dynamica, kortweg QED.
QED is een quantumveldentheorie en voordat we QED uitleggen zullen we eerst een iets eenvoudiger quantumveldentheorie uitleggen.
2.4.1 Quantumveldentheorie voor vrije scalaire deeltjes
De Schrödinger vergelijking beschrijft een quantummechanisch systeem met niet-relativistische kinematica. We kunnen de Schrödingervergelijking afleiden door in de klassieke relatie tussen energie
en impuls
2
p
E = ------2m
(2.4)
de volgende substituties te doen:
∂
p → – i∇ ,
∂t
en die op een golffunctie te laten werken, zodat we krijgen:
E→i
(2.5)
2
∂
–∇
(2.6)
i φ = ---------φ .
∂t
2m
Als we nu relativistische kinematica willen inbouwen is het natuurlijk te starten met de vergelijking
2
2
2
(2.7)
E = p +m
en daarin de substituties van formule (2.5) te doen. We krijgen dan:
2
2
2
2
  ∂  –  ∂  –  ∂  –  ∂  + m 2 φ = (
  ∂ t

 ∂ z
 ∂ y
 ∂ x
µ
2
+ m )φ = 0 ,
= ∂ µ ∂ , met ∂ µ =
waarbij we en passant de d’Alembert operator,
(2.8)
∂
hebben ingevoerd.
µ
∂x
Vergelijking (2.8) heet de Klein-Gordon vergelijking. Dit is de bewegingsvergelijking voor deeltjes
met spin 0, ook wel scalaire deeltjes geheten. De oplossingen van deze vergelijking zijn de vlakke
golven:
– ipx
,
φ ( x ) = Ne
waarbij de p voldoet aan de eigenwaarde vergelijking:
2
(2.9)
2
(2.10)
E = ± p +m .
Wat nu op het eerste gezicht storend is, maar op het tweede gezicht juist een doorbraak blijkt, is de
oplossing met negatieve energie. Als de positieve oplossing correspondeert met een deeltje, dan correspondeert de negatieve energieoplossing met het anti-deeltje. Dit is te zien door een deeltje te
beschouwen dat aan de positieve energieoplossing voldoet. Als we nu voor dat deeltje de richting
van de tijd en plaats omdraaien, x → – x , en tegelijkertijd de impuls omdraaien, p → –p , dan is
makkelijk te zien dat in deze nieuwe situatie we nog steeds een oplossing hebben van de Klein-Gordon vergelijking.
Als een deeltje lading heeft kunnen we de electrische stroomdichtheid definiëren als:
14
Collegedictaat Hoge Energiefysica
j µ = ie ( φ∗ ∂ µ φ – ( ∂ µ φ∗ )φ ) .
(2.11)
Door de Klein-Gordon vergelijking met φ∗ van links te vermenigvuldigen en de complex geconjugeerde Klein-Gordon vergelijking met φ van rechts, en vervolgens de twee vergelijkingen op te
tellen en het geheel met de electrische lading e te vermenigvuldigen krijgen we een continuïteitsvergelijking (“wet van Gauss”) die luidt:
µ
∂ µj = 0 .
(2.12)
Dus deze stroom is behouden. Stel dat voor een deeltje met lading e , energie E en impuls p de
stroomdichtheid gelijk is aan (de normalisatiefactor N is van vergelijking (2.9)):
2
j µ ( e ) = 2e N ( E ,– p ) ,
(2.13)
dan is de stroomdichtheid voor een anti-deeltje met lading – e , energie E en impuls p :
2
2
j µ ( – e ) = – 2 e N ( E ,– p ) = 2e N ( – E ,p ) ,
(2.14)
hetgeen de oplossing is voor een deeltje met lading e , energie – E en impuls –p .
Dit betekent dat een deeltje dat met impuls p door de ruimte beweegt fysisch hetzelfde is als een
anti-deeltje dat met impuls – p door de ruimte beweegt in tegengestelde richting, maar ook teruggaand in de tijd.
Een belangrijk en onontkoombaar gevolg van het feit dat we een relativistisch kinematische bewegingsvergelijking als grondslag voor de quantummechanische bewegingsvergelijking hebben
genomen is dat elk deeltje ook een anti-deeltje heeft gekregen.
2.4.2 Interacties in een scalaire quantumveldentheorie
Als we een golffunctie met een complexe fase vermenigvuldigen verandert er niets aan de fysica:
iϕ
(2.15)
φ → φ' = e φ .
Deze transformatie is de U ( 1 ) transformatie. Deze transformatie werkt alleen maar als invariant
voor de fysica als de fase ϕ niet van de plaats afhangt. Maar een dergelijke transformatie van de hele
ruimte op dezelfde manier is niet zo zinvol, we zouden er nooit wat van merken, omdat alle fysica er
invariant onder is. Het uitvoeren van een dergelijke transformatie op de hele ruimte tart het begrip
van causaliteit en een maximale snelheid voor informatie overdracht. Laten we dus eens kijken wat
er gebeurt als deze transformatie wel van de plaats afhangt ϕ = ϕ ( x ) .
We vullen de lokaal getransformeerde golffunctie in in de Klein-Gordon vergelijking:
(
2
iϕ
+ m )φ' = e { (
µ
2
µ
+ m )φ + i [ ( ∂ µ ϕ ) ( ∂ φ ) + ( ∂ ϕ ) ( ∂ µ φ ) ] +
[i
(2.16)
µ
ϕ – ( ∂ ϕ ) ( ∂ µ ϕ ) ]φ }
iϕ
De globale factor e is natuurlijk niet terzake doende als we die gelijk aan nul stellen. Uit het stuk
tussen de accolades is de eerste term precies de Klein-Gordon vergelijking voor φ . Maar we blijven
met een hoop termen zitten die we niet een twee drie kunnen thuisbrengen en de vergelijking is dus
duidelijk niet invariant. Dit is natuurlijk het gevolg van het nemen van de afgeleiden.
We kunnen dit ongewenste effect laten verdwijnen als we de covariante afgeleide invoeren:
∂ µ → D µ = ∂ µ – ieAµ
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(2.17)
15
en eisen dat het nieuwe veld A µ onder de transformatie (2.15) meetransformeert als1:
eA µ → eA'µ = eA µ + ∂ µ ϕ
(2.18)
De Klein-Gordon vergelijking wordt dan:
µ
2
D Dµ φ + m φ =
µ
2
µ
2 2
φ + m φ – ie ( A ∂ µ φ + ∂ ( φA µ ) ) – e A φ = 0 ,
(2.19)
waarin het onderstreepte deel nieuw is. De evenredigheidsconstante e suggereert terecht een lading.
µ
Het veld A kan worden geïnterpreteerd als het foton veld. Nu we dat fotonveld hebben ingevoerd
moeten we volledigheidshalve ook nog een bewegingsvergelijking toevoegen voor het vrije fotonveld:
ν
∂ F µν = 0 ,
(2.20)
met F µν = ∂ µ A ν – ∂ ν A µ volgens de normale definitie van de electromagnetische tensor. Dit zijn
de (vier) homogene Maxwell vergelijkingen. In aanwezigheid van het electrisch geladen veld φ
moeten de homogene Maxwell vergelijkingen worden vervangen door:
ν
∂ F µν = j µ ,
(2.21)
met j µ zoals gedefinieerd in (2.11). Later zullen we zien hoe dit kan worden afgeleid (in hoofdstuk
6).
µ
Het deel van de bewegingsvergelijkingen waarin de velden φ en A ongemengd voorkomen beschrijft de vrije deeltjes. De termen waarin de velden gemengd zijn beschrijven de interacties tussen de
deeltjes.
2 2
De term e A in vergelijking (2.19) zullen we verwaarlozen (dat kan omdat de waarde van de electrische lading e in natuurlijke eenheden typisch minder dan 0.1 is.) Dan houden we voor het interactiestuk over:
µ
µ
Vφ = – ie ( A ∂ µ φ + ∂ ( φA µ ) ) .
(2.22)
De overgangsamplitude tussen een begintoestand φ i en een eindtoestand φ f wordt dan gegeven door
de projectie van φ i na verstrooiing V op φ f :
∫
µ
µ
T fi = i φ f∗ ie ( A ∂ µ φ i + ∂ ( Aµ φ i ) )d x ,
∫
4
µ
(2.23)
∫
µ
Door partiële integratie is dat uit te werken ( φ f∗ ∂ ( A µ φ i )d x = – ( ∂ φ f∗ ) A µ φ i d x , de bijdrage
4
4
van de potentiaal op oneindig is nul verondersteld) tot:
∫
µ
µ
4
T fi = i ie ( φ f∗ ( ∂ φ i ) – ( ∂ φ f∗ )φi )A µ d x .
µ
(2.24)
µ
µ
Als we de stroomdichtheid volgens vergelijking (2.11), j fi = ie ( φf∗ ∂ φ i – ( ∂ φf∗ )φ i ) , gebruiken
wordt dit eenvoudig:
1. Later in hoofstuk 3 zullen we zien dat deze transformatie-eigenschap eigenlijk is af te leiden en deze simpele gedaante aanneemt
voor Abelse (commutatieve) symmetriegroepen, zoals de U(1) fase-transformatie die we hier beschouwen.
16
Collegedictaat Hoge Energiefysica
∫
µ
4
T fi = i j fi A µ d x .
(2.25)
Deze formule geeft de overgangsamplitude voor een geladen spinloos deeltje in een electromagnetisch veld.
Laten we nu twee geladen deeltjes beschouwen. We kunnen dan een deeltje zien als veroorzaker van
het electromagnetisch veld waarin het andere deeltje een interactie ondervindt.
Voor het electromagnetisch veld dat het deeltje (1) opwekt geldt volgens de Maxwell vergelijkingen:
µ
µ
A = j( 1 ) .
(2.26)
i
f
Als deeltje (1) voor de interactie een impuls p ( 1 ) heeft en na de interactie impuls p ( 1 ) , dan is na te
µ
gaan dat de oplossing voor A is gegeven door:
µ
–j(1 )
A = ------------------------------.
2
i
f
( p( 1 ) – p ( 1 ) )
µ
f
(2.27)
i
We definiëren nu de vierimpulsoverdracht als q ≡ p ( 1 ) – p ( 1 ) , waardoor de overgangsamplitude
wordt:
– g µν ν 4
µ
- j(2 ) d x .
(2.28)
T fi = i j ( 1 ) ---------2
q
Het is duidelijk dat de situatie symmetrisch is onder het verwisselen van de deeltjes (1) en (2), hetgeen is gereflecteerd in formule (2.28).
∫
2.4.3 Grafische representatie: Feynmandiagrammen
Het bewegen van vrije deeltjes in de ruimte en hun interacties zijn heel mooi voor te stellen met Feynman diagrammen. In een Feynmandiagram wordt een deeltje dat van een punt A naar een punt B
reist gerepresenteerd door een lijn die begint in A en eindigt in B. Dit is getekend in Figuur 2.3(a). In
dit figuur is ook schematisch de tijd en een ruimtedimensie aangegeven. Zoals we al zagen kunnen
we een anti-deeltje voorstellen als een deeltje dat zich met tegengestelde impuls en in tegengestelde
richting door de ruimte beweegt (en met tegengestelde lading als het deeltje geladen is.) Dit is in een
Feynmandiagram voorgesteld in Figuur 2.3(b). We kunnen nu ook interacties voorstellen met een
Feynmandiagram en dat is gedaan in Figuur 2.3(c). We kunnen dit beeld nog een beetje verder abstraheren en de pijlen voor tijd en ruimterichting weglaten.
Als we naar de interactie in Figuur 2.3(c) kijken en naar de formule van de overgangsamplitude
(2.28) kunnen we een zekere correspondentie vast stellen. Dit is geïllustreerd in Figuur 2.4, waar het
Feynman diagram is getekend voor verstrooiing van twee geladen scalaire deeltjes in elkaars electromagnetisch veld. Onder het Feynman diagram staan de corresponderende factoren in de overgangsamplitude. Deze overgangsamplitude is verder uitgewerkt voor het geval de verstrooide deeltjes
voor en na de interactie vrij zijn.
Wat we hier hebben uitgewerkt is volgens een quasi-klassiek recept. Als de quantumveldentheorie
meer precies wordt toegepast blijkt de overgangsamplitude in een machtreeks te zijn ontwikkelen
waarvan de hier beschreven term de eerste en meestal ook de dominante bijdrage is. Hoe dominant
hangt af van de koppelingsconstante, in dit geval gaan we uit van deeltjes met een lading van het elektron e waarbij in natuurlijke eenheden geldt:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
17
tijd
B
B
A
A
(a)
(b)
(c)
ruimte
FIGUUR 2.3. Feynman
diagrammen voor (a) een vrij spin 0 deeltje; (b) een vrij spin 0 anti-deeltje;
(c) een interactie tussen twee geladen spin 0 deeltjes
f
p(2 )
f
p( 1 )
i
i
p(2 )
p(1 )
T fi =
–i
∫
µ
j(1 )
– g µν
---------2
q
ν
j(2 )
4
d x
T fi =
µ – g µν
ν 4
4
f
f
i
i
i
f
i
f
i
i
f
f
–i ( 2π ) δ ( p ( 1 ) + p( 2 ) – p ( 1 ) – p ( 2 ) )N ( 1 ) N ( 1 ) N ( 2 ) N ( 2 ) ( ie ( p ( 1 ) + p ( 1 ) ) ) ---------ie
p
p
(
(
+
)
)d x
(
2
)
(
2
)
2
q
∫
FIGUUR 2.4. Een Feynmandiagram voor de verstrooiing van twee spin 0 deeltjes in elkaars
electromagnetisch veld. Eronder zijn de formules voor de overgangsamplitude gegeven. De
correspondentie van de delen van het Feynmandiagram met delen van de formule zijn aangegeven
met de streep-stippellijn.
2
1
e
α = ------ ≈ --------- .
4π 137
(2.29)
Dit definieert meteen de electromagnetische fijnstructuurcontante α . We zien dat aan de voorwaarde
van een voldoende kleine koppelingsconstante is voldaan en de overgangsamplitude die we hebben
TUE 3
afgeleid geeft een tamelijk goede quantitatieve voorspelling van het beschreven verstrooiingsproces.
2.4.4 Feynmanregels voor een theorie met geladen spin 0 deeltjes
Allereerst voeren we nog een kleine vereenvoudiging in. We definiëren het matrixelement M als:
18
Collegedictaat Hoge Energiefysica
4
f
f
f
i
f
i
i
i
T fi = – i ( 2π ) δ ( p ( 1 ) + p ( 2 ) – p ( 1 ) – p( 2 ) )N ( 1 ) N ( 1 ) N ( 2 ) N ( 2 ) M .
(2.30)
We zullen later zien dat de normeringsfactoren van de golffuncties en de delta functie die impulsbehoud impliceert wegvallen in de berekening van grootheden zoals vervalsbreedtes en werkzame
doorsneden.
Laten we nu de Feynmanregels voor een theorie met geladen spin 0 deeltjes formuleren:
1 Teken alle mogelijke Feynman diagrammen voor het proces dat berekend moet worden. Dus de
ingaande en uitgaande deeltjes tekenen en dan alle mogelijke interne configuraties die van de
inkomende deeltjes kunnen resulteren in de uitgaande deeltjes.
µ
2 Voor elke vertex schrijven we een factor iep , waarbij e de koppeling van het electromagnetisch
µ
veld aan de eenheidslading (elektron lading) is en p de viervectorimpulssom van het ingaande
en uitgaande spin 0 deeltje dat aan de vertex koppelt. Verder schrijven we voor elke vertex een
4
factor ( 2π ) δ ( k 1 + k 2 + k 3 ) die behoud van vierimpuls forceert.
2
3 Voor elke interne lijn, propagator, schrijven we een factor – g µν ⁄ q j , waarbij q j de vierimpuls van
het uitgewisselde quantum is. Over de vierimpuls van elke interne lijn wordt geïntegreerd, dus
4
4
voor elke interne lijn schrijven we ook een factor ( d q j ) ⁄ ( 2π ) .
4 Integreer over alle interne vierimpulsen. Het resultaat bevat een delta functie voor het totale
vierimpulsbehoud, ( 2π ) δ 

4
∑ pi , met de vierimpulsen voorzien van een + teken als ze corre-
sponderen met inkomende deeltjes en een - teken als het uitgaande deeltjes betreft. Deze delta
4
functie (inclusief de ( 2π ) ) gooien we weg.
2.4.5 De gouden regel: de formule voor werkzame doorsnede
De werkzame doorsnede voor twee botsende deeltjes A en B is gegeven door:
W fi
werkzame doorsnede = ----------------------------------------- × (aantal eindtoestanden) .
(inkomende flux)
(2.31)
De overgangswaarschijnlijkheid per tijdseenheid en per volumeëenheid W fi is gegeven door:
2
T fi
W fi = ----------- ,
TV
(2.32)
met T de tijdseenheid en V de volumeeenheid.
De inkomende flux is het aantal deeltjes A dat per tijdseenheid door een oppervlakteeenheid gaat
maal het aantal deeltjes B per volumeeenheid in het doelwit voor het Lorentzframe waarin de
deeltjes B stilstaan. Voor precies dit geval is de flux in variabelen in het laboratorium systeem:
2E A 2E B
flux = v A ---------- ---------- ,
V V
en meer algemeen in manifest Lorentz invariante notatie:
2
2
(2.33)
2
4 ( pA ⋅ p B ) – mA mB
.
flux = ----------------------------------------------------2
V
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(2.34)
19
Het aantal eindtoestanden wordt gegeven door het aantal deeltjes in een gegeven volume V maal het
aantal toestanden per deeltje voor dit volume. Het aantal toestanden dat een deeltje met impuls p kan
innemen in een bepaald volume is eindig. Als we het volume als een doos met zijden van lengte l x ,
l y . l z zien en periodieke randvoorwaarden nemen, dan is het aantal toestanden in elke richting
gegeven door n x = l x p x ⁄ ( 2π ) , n y = l y p y ⁄ ( 2π ) en n z = l z p z ⁄ ( 2π ) . In drie dimensies geeft dat
voor het volume V
lx px ly p y l z p z
n x n y n z = --------- --------- -------- .
2π 2π 2π
(2.35)
Het aantal toestanden voor een impulsinterval tussen ( p x ,p y ,p z ) en ( p x + dp x ,p y + dp y ,p z + dp z )
voor het volume V = l x l y l z is dan:
V
dn = dn x dn y dn z = -------------dp
x dp y dp z .
3
( 2π )
(2.36)
Dit geldt voor elk deeltje in het volume V . Het aantal deeltjes in het volume V volgt uit de waarschijnlijkheidsdichtheid:
∫ ρdV = ∫ 2 N
V
2
2
EdV = 2 N EV
(2.37)
V
en de normering van de golffunctie:
∫ φ∗ φdV = 1 ,
(2.38)
1
N = ------V
(2.39)
zodat:
en het aantal deeltjes in volume V gelijk is aan 2E . De faseruimte voor één deeltje in volume V
wordt dan gegeven door de toestandsdichtheid voor het deeltje gedeeld door het aantal deeltjes in het
volume:
n
∏
i=1
3
Vd p i
---------------------.
3
( 2π ) 2Ei
(2.40)
De Lorentzinvariante faseruimte (LIPS) wordt verkregen door met de normeringsfactor van de golffunctie van de deeltjes in het kwadraat, N
2
= 1 ⁄ V te vermenigvuldigen:
n
dLIPS =
∏
i=1
3
d pi
---------------------3
( 2π ) 2E i
(2.41)
De formule voor de werkzame doorsnede van twee botsende deeltjes, A en B, met N deeltjes in de
eindtoestand, die we zo krijgen wordt de gouden regel van Fermi genoemd:
20
Collegedictaat Hoge Energiefysica
n
n
∑
∏
3


d pi
1
2
4 

pi – pA – pB
---------------------dσ = ----------------------------------------------------- M ( 2π ) δ 
.
3

2 2
2
(
2π
)
2E
4 ( pA ⋅ pB ) – mA mB
i
i = 1
i = 1
(2.42)
2.5 Eerste poging om elektronverstrooiing te berekenen
We berekenen nu de differentiële werkzame doorsnede voor elektron-elektron verstrooiing. Het
matrixelement hebben we al bijna in sectie 2.4.4 gezien. We volgen de Feynman regels voor het Feynman diagram:
f
f
p(2 )
f
p(1 )
p( 2 )
f
p(1 )
+
i
i
p(2 )
p(1 )
i
i
p(2 )
p(1 )
Er zit nu nog een addertje onder het gras: er zijn twee elektronen in de eindtoestand en we kunnen
niet zeggen of een van de twee uitgaande elektronen nu van het ene of het andere inkomend elektron
is. En dus zijn er twee mogelijke Feynmandiagrammen die tot dezelfde eindtoestand kunnen leiden.
We moeten de overgangsamplitudes corresponderend met deze twee mogelijkheden optellen om de
totale overgangsamplitude te krijgen. De twee Feynmandiagrammen zijn hierboven getekend. Het
totale matrixelement wordt:
f
M = e
2
i
f
µ
i
f
i
f
i
µ
( p( 1 ) + p( 1 ) )µ ( p( 2 ) + p( 2 ) )
2 ( p( 2 ) + p( 1 ) )µ ( p( 1 ) + p( 2) )
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
e
2
2
f
i
f
i
( p(1 ) – p(2 ) )
( p(2 ) – p(2 ) )
(2.43)
Als we dit proces in het zwaartepuntssysteem berekenen kunnen we omdat het een elastische verstrooiing is stellen dat:
f
i
f
i
(2.44)
p( 1 ) = p( 1 ) = p ( 2 ) = p ( 2 ) = p
en
i
2
2
f
i
2
f
2
2
2
( E(1 ) ) = ( E( 1 ) ) = ( E(2 ) ) = ( E(2 ) ) = p + m .
(2.45)
Als we θ de hoek tussen het ingaande deeltje (1) en het uitgaande deeltje (2) noemen in het
zwaartepuntssysteem dan vereenvoudigt de eerste term in formule (2.43) tot:
2
2
( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ
(2.46)
e ---------------------------------------------------- .
cos θ – 1
De tweede term is identiek, maar heeft de uitgaande deeltjes (1) en (2) verwisseld, hetgeen betekent
dat cos θ → – cos θ , zodat de hele uitdrukking voor het matrix element wordt:
2
Collegedictaat Hoge Energiefysica
21
2
2
2
2
2 ( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ ( 2m ⁄ p ) + 3 – cos θ
M = e  ---------------------------------------------------- – ----------------------------------------------------
cos θ + 1
cos θ – 1
(2.47)
2
2
2
2  ( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ
-
= 2e  ----------------------------------------------------2


– sin θ
De differentiële werkzame doorsnede voor dit proces is in het zwaartepuntssysteem te schrijven als:
f
1 p(1 )
1
dσ
2
2
- ----------- M = -------------------- = ------------M .
2
i
2
dΩ
64π s p ( 1 )
64π s
(2.48)
Vullen we M in dan krijgen we:
4
2
2
2
e  3 + 2m ⁄ p + cos θ
dσ
-  ------------------------------------------------
------- = ------------2
2
dΩ

16π s 
sin θ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α  3 + cos θ
α  3 + 2m ⁄ p + cos θ
- ,
- ≈ ------  ---------------------= ------  -----------------------------------------------2
s  sin 2 θ 
s 

sin θ
(2.49)
waarbij de laatste gelijkheid geldt voor het geval dat de impuls van de inkomende deeltjes veel groter
is dan hun massa.
Het experiment van de Møller verstrooiing, elektronen aan elektronen, is in de zestiger jaren uitgevoerd bij de eerste opslagring voor relativistische elektronen. Als we nu naar de meting van deze
werkzame doorsnede kijken voor elektron-elektron verstrooiing in Figuur 2.5, dan beseffen we dat
dit goed wordt beschreven door de theoretische formule die we hier hebben afgeleid. In dit geval was
de absolute normering van de werkzame doorsnede niet bekend, alleen de hoekverdeling. Als de
absolute normering ook wordt beschouwd, blijkt de voorspelling die we hier hebben gedaan een factor twee te hoog te zijn. Maar deze formule is dan ook voor deeltjes met spin 0, bosonen ! We weten
dat elektronen spin 1/2 hebben en dus fermionen zijn. De theorie werkt dus niet hetzelfde voor
deeltjes met verschillende spin. In het bijzonder zullen we zien dat bosonen en fermionen aparte
regels volgen.
2.6 Veldentheorie voor deeltjes met spin 1/2
De theorie voor deeltjes met spin 1/2 is min of meer toevallig ontdekt door Dirac. Dirac was ontevreden met de Klein-Gordon vergelijking omdat in eerste instantie niet duidelijk was wat men met de
negatieve energieoplossing aan moest. De reden voor het probleem van de negatieve energieoplossing van de Klein-Gordon vergelijking die werd aangewezen was het feit dat er een term met de energie in het kwadraat in staat. Dirac probeerde het probleem op te lossen door een vergelijking op te
stellen die de relativistische kinematica reflecteert, maar lineair is in de energie. De Klein-Gordon
vergelijking wordt voor dit doel omgeschreven als:
2
µ
2
µ
( p – m )φ = ( γ p µ + m ) ( γ p µ – m )φ = 0
(2.50)
2
µ
De complicatie met de γ ‘s, die de gamma matrices worden genoemd, is nodig omdat p = p p µ
niet het produkt van twee scalairen is. Als we het produkt met de gamma matrices uitwerken zien we
dat deze voldoen aan de vergelijking:
µ
ν λ
p p µ = γ γ p ν pλ .
(2.51)
Het is instructief dit uit te schrijven:
22
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Aantal gevallen
Electron
Beam
Pulsed
Magnet
1 meter
Pulsed
Inflector
View Port
RF
RF
TV
Spark
Chambers
80
QED
70
QED geen spin
60
50
Pulsed Inflector
40
Cosmic Ray
Veto Counter
2
3
4
1
30
Lead
1/2" Steel Plates
5
6
Ring II
Beam
7
20
"Y"
Magnet
27°
10
Vacuum Chamber
Ring I
Beam
0
8
Spark
Chamber
9
10
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Spark
Chambers
1.2
1.3
1.4
1.5
Verstrooiingshoek
FIGUUR 2.5. Linksboven: plattegrond van de eerste elektron opslagringen. Linksonder: een
schematische weergave van het experiment dat werd uitgevoerd op het punt waar de elektronen
botsen. Rechts: de gemeten differentiële werkzame doorsnede voor elektron-elektron
verstrooiing als functie van de verstrooiingshoek. De punten met foutenstrepen zijn de meting.
Het histogram is de QED voorspelling voor spin 1/2 deeltjes. De gestippelde curve is de
voorspelling die hierboven is gedaan voor scalaire quantum electrodynamica. De normering
van de meting is arbitrair en de voorspellingen zijn genormeerd op de data punten.
0 2
1 2
2 2
3 2
0 2
0 2
1 2
1 2
2 2
2 2
3 2
1 2
2 1
3 2
(p ) – (p ) – (p ) – (p ) = (γ ) (p ) + (γ ) (p ) + (γ ) (p ) + (γ ) (p )
0 1
1 0
0 2
2 0
1 3
3 1
2 3
3 2
0 3
3 0
(2.52)
+ ( γ γ + γ γ )p 0 p 1 + ( γ γ + γ γ )p 0 p 2 + ( γ γ + γ γ )p 0 p 3 + ( γ γ + γ γ )p 1 p 2
+ ( γ γ + γ γ )p 1 p 3 + ( γ γ + γ γ )p 2 p 3
Hieruit leiden we af dat voor de γ ‘s geldt:
µ
ν
µ ν
ν µ
{ γ , γ } = γ γ + γ γ = 2g
µν
,
(2.53)
waarbij { , } de anti-commutator is zoals in deze vergelijking is gedefinieerd.
Het is nu duidelijk dat de γ ‘s geen gewone (complexe) getallen kunnen zijn. Maar als de γ ‘s nu
matrices zijn kan wel aan de bovenstaande vergelijking worden voldaan. Het was Dirac die dit
briljante idee voor het eerst kreeg. Het is mogelijk te laten zien dat vier bij vier matrices een oplossing met de kleinst mogelijke dimensie voor de gamma matrices is. Eén representatie van de gamma
matrices die veel wordt gebruikt (en de Bjorken en Drell conventie wordt genoemd) is:
0
γ = 1 0
0 –1
i
γ =
i
0 σ ,
i
–σ 0
(2.54)
i
waarbij de elementen twee bij twee matrices zijn en de matrices σ zijn de Pauli spin matrices:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
23
3
σ = 1 0 .
0 –1
2
σ = 0 –i
i 0
1
σ = 0 1
1 0
(2.55)
De Pauli matrices zijn natuurlijk bekend om hun betekenis in de transformatie van spinoren, twee
component vectoren die een spin 1/2 deeltje beschrijven. De gamma matrices bevatten elk twee Pauli
matrices en het is dan ook al aan te voelen dat we hier een beschrijving hebben van een deeltje en
anti-deeltje met spin 1/2.
Een spinor is een vector met twee componenten met speciale transformatieëigenschappen onder
rotaties in de ruimte. Als we roteren om een as θ , waarbij de grootte van de rotatiehoek wordt
gegeven door θ , dan transformeert een spinor als:
– iθσ α
α'
,
= e
β'
β
(2.56)
2
1
= 1 + ( – iθσ ) + --- ( – iθσ ) + … een twee bij twee matrix is.
2
De conventionele keus voor de Dirac vergelijking is nu:
waarbij e
– iθσ
µ
µ
( γ p µ – m ) = 0 → ( iγ ∂ µ – m )ψ = ( i ∂/ – m )ψ = 0 ,
(2.57)
waar de gebruikelijke substitutie is gemaakt om de niet quantummechanische bewegingsvergelijking
om te schrijven in een quantummechanische. We hadden ook de versie met het plus teken voor de
massa kunnen kiezen en dezelfde resultaten in het volgende gekregen. De golffunctie ψ is nu een
vector met vier elementen en wordt Dirac spinor genoemd (of ook wel bi-spinor.)
µ
De notatie waarbij een impliciete contractie met een gamma matrix wordt gemaakt, ∂/ = γ ∂ µ , is
µ
wijdverbreid en wordt ook vaak gezien met de impuls, p/ = γ p µ . De uitspraak van deze symbolen
is d-slash en p-slash, respectievelijk.
Om ons te realiseren wat de Dirac vergelijking nu betekent kunnen we een stroomdichtheid invoeren
als:
µ
µ
j = – eψγ ψ ,
(2.58)
waarbij we geadjungeerde ψ van de golffunctie ψ hebben ingevoerd die is gedefinieerd als:
0
ψ ≡ ψ† γ .
(2.59)
De Dirac vergelijking kunnen we hermitisch conjugeren (met gebruikmaking van ( AB )† = B† A† )
0
en van rechts met γ vermenigvuldigen:
∂
∂
0
k
µ
– i ψ† γ + i k ψ† ( – γ ) – mψ† = i ∂ µ ψγ + mψ = 0 .
∂t
∂x
(2.60)
Door nu de Dirac vergelijking van links te vermenigvuldigen met ψ en de geadjugeerde Dirac
vergelijking van rechts te vermenigvuldigen met ψ en deze twee vergelijkingen van elkaar af te
trekken krijgen we net als bij de Klein-Gordon vergelijking weer een continuïteitsvergelijking voor
de stroom:
µ
µ
∂ µ j = – e ∂ µ ( ψγ ψ ) = 0 .
24
(2.61)
Collegedictaat Hoge Energiefysica
De waarschijnlijksdichtheid
4
0
ρ = ψγ ψ = ψ† ψ =
∑ψ
2
(2.62)
i=1
is nu evident positief. Hier was het Dirac om te doen.
We kunnen nu de Dirac vergelijking op lossen voor een vrij veld. Het is instructief om eerst te kijken
naar de situatie van een vrij deeltje in rust, dat wil zeggen met impuls nul. In dat geval zijn de afgeleiden naar de plaats nul en reduceert de Dirac vergelijking tot:
0 ∂ψ
– mψ = 0 .
(2.63)
∂t
Omdat in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices er twee blokjes van 2 bij 2 langs de
iγ
0
diagonaal zijn voor γ ligt het voor de hand om ook de Dirac spinor ψ in twee stukken van twee
componenten op te splitsen:
ψ =
ψA
ψB
.
(2.64)
Vullen we deze substitutie in vergelijking (2.63) in dan krijgen we de twee vergelijkingen (van twee
componenten elk):
∂
( ψ ) = – imψ A
∂t A
.
∂
( ψ ) = +imψ B
∂t B
(2.65)
Hieruit zien we dat ψ A een deeltje (in rust) beschrijft met energie E = m en ψ B een deeltje met
energie E = – m . Net als bij de Klein-Gordon vergelijking zullen we een deeltje met negatieve energie opvatten als een antideeltje met positieve energie.
Ondanks alle complicaties die we ons dus op de hals hebben gehaald blijft de conclusie dat als we
quantummechanica met een relativistische bewegingsvergelijking gebruiken we voor elk deeltje een
antideeltje krijgen.
We kunnen nu ook de Dirac vergelijking oplossen voor het algemene geval het deeltje een impuls
ongelijk nul heeft. Om te beginnen splitsen we een factor e
ψ = u ( p )e
– ipx
=
uA ( p )
uB ( p )
e
– ipx
– ipx
van de golffunctie af:
.
(2.66)
Vullen we dit in de Dirac vergelijking (2.57) in dan krijgen we de twee gekoppelde vergelijkingen:
( σ ⋅ p )u B = ( E – m )uA
( σ ⋅ p )u A = ( E + m )u B
.
(2.67)
We kunnen nu eenvoudig voor het stuk dat de positieve energie oplossing beschrijft, u A , een van de
twee onafhankelijke oplossingen kiezen:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
25
(1)
uA
= χ
(1)
= 1
0
(2)
of
uA
= χ
(2)
= 0 .
1
(2.68)
Dan volgt voor u B :
σ ⋅ p ( 1 ,2 )
= ------------------- χ
(E + m)
en voor de totale oplossing van de Dirac spinor:
( 1 ,2 )
uB
u
( 1 ,2 )
χ
(2.69)
( 1 ,2 )
= N
.
(2.70)
σ ⋅ p ( 1 ,2 )
------------------- χ
( E + m)
Op dezelfde manier kunnen we ook met een eenvoudige basis voor de negatieve energieoplossingen
beginnen en krijgen we de onafhankelijke oplossingen:
u
( 3 ,4 )
– σ ⋅ p ( 1 ,2 )
------------------- χ
= N ( E + m)
.
χ
(2.71)
( 1 ,2 )
In het laatste geval hebben we de negatieve energie E vervangen door – E en het minteken voor
σ ⋅ p gezet. De twee keuzes die we hebben voor χ kunnen we als keuzes voor de spin interpreteren
voor elk van de positieve energieoplossingen (deeltjes) en negatieve energieoplossingen (antideeltjes). Conventioneel worden de spinoren voor deeltjes aangeduid met u
voor antideeltjes worden aangeduid met v
( 1)
(1)
en v
(4)
(2)
(1)
en u
( 2)
. De spinoren
die worden gedefinieerd als:
(2)
(3)
v ( p ) ≡ u ( –p )
en
v ( p ) ≡ –u ( – p ) .
(2.72)
Om het spin karakter van de deeltjes duidelijk te maken definiëren we de heliciteitsoperator als:
p
σ ⋅ ----- 0
1
p
λ ≡ --.
(2.73)
2
p
0 σ ⋅ ----p
Deze operator commuteert met de hamiltoniaan ( de hamiltoniaan voor een vrij Dirac deeltje is
0 k k
0
H = γ γ p + γ m ) en met de impuls en geeft dus quantumgetallen die we tegelijk met de energie
en de impuls kunnen bepalen. Als we een deeltje beschouwen dat in de z richting beweegt, zodat
p
σ ⋅ ----- = σ3 , dan krijgen we voor de eigenwaarden van de heliciteitsoperator:
p
λu
(1)
λu
(2)
1 (1)
= --- u
2
1 (2)
= – --- u
2
( 2)
1 (2)
= --- v
2
1 (1)
(1)
= – --- v
λv
2
λv
spin +1/2
(2.74)
spin -1/2
De Dirac vergelijking beschrijft dus deeltjes en antideeltjes met twee spin toestanden.
26
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Als we de normering van de spinoren kiezen als voor scalaire deeltjes, dat wil zeggen als voor de
oplossingen van de Klein-Gordon vergelijking, dan krijgen we:
∫ ρdV = ∫ ψ† ψdV = u† u ≡ 2E .
V
(2.75)
V
Daaruit volgt dat:
u
( r )† ( s )
u
= 2Eδ rs
v
( r )† ( s )
v
= 2Eδ rs ,
(2.76)
waarbij δ rs het Kronecker-symbool is, dat één is als r = s en nul als r ≠ s .
Belangrijke relaties in de praktijk zijn de volledigheidsrelaties:
∑
(s)
(s)
µ
u ( p )u ( p ) = γ pµ + m = p/ + m
s = 1, 2
∑
.
( s)
(s)
(2.77)
µ
v ( p )v ( p ) = γ p µ – m = p/ – m
s = 1, 2
Merk op dat deze uitdrukkingen vier bij vier matrices beslaan.
KUN
3
2.7 Quantumelectrodynamica (QED)
Net als bij scalaire deeltjes maakt het ook bij spinoren niet uit of de golffunctie met een complex
getal wordt vermenigvuldigd. Ook in dit geval kunnen we deze transformatie weer lokaal maken en
zo de ijktheorie ontdekken die bij deze transformatie hoort voor het geval van spinoren.
Passen we het idee van de covariante afgeleide weer toe dan verandert de Diracvergelijking voor een
vrij deeltje in:
µ
µ
( iγµ p – m )ψ = – eγ µ A ψ .
(2.78)
0
Door deze vergelijking van links met γ te vermenigvuldigen krijgen we iets van de vorm:
i
∂ψ
= ( H + V )ψ
∂t
(2.79)
met de Hamiltoniaan
0 k k
0
H = γ γ p +γ m
(2.80)
en de storingsterm
µ
0
V = – eγ γ µ A .
(2.81)
De overgangsamplitude wordt dan net als voor scalaire deeltjes in vergelijking (2.25):
∫
µ
4
T fi = i j fi A µ d x .
(2.82)
Ook volkomen analoog aan het geval voor scalaire deeltjes wordt het electromagnetisch veld veroorzaakt door een geladen deeltje gegeven door (zie vergelijking (2.27)):
µ
µ
–j
A = ------2- .
q
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(2.83)
27
We vinden daarmee voor het matrix element van de interactie tussen twee geladen spinoren, die we
voor de reactie A en B noemen en na de reactie C en D:
 – ig µν
µ
ν
- ( ieu D γ u B ) .
– iM = ( ieu C γ u A )  -----------2
 q 
(2.84)
Hieraan zien we wat de structuur is van de Feynman regels voor spinoren en hun electromagnetische
µ
interactie. Wel moeten we nu goed letten op de spin indices, ook voor het foton (omdat er een γ in
de koppeling staat.)
1 Teken alle mogelijke Feynman diagrammen voor het proces dat berekend moet worden. Dus de
ingaande en uitgaande deeltjes tekenen en dan alle mogelijke interne configuraties die van de
inkomende deeltjes kunnen resulteren in de uitgaande deeltjes.
2 Voor elke externe fermion lijn schrijven we (de polarisatie van het foton is nu ook belangrijk):
inkomend deeltje:
u
uitgaand deeltje:
u
inkomend anti-deeltje:
v
uitgaand anti-deeltje:
v
inkomend foton:
ε
uitgaand foton:
ε
µ
µ∗
µ
De viervectoren ε bepalen de polarisatie van het foton. Voor externe lijnen, dat wil zeggen voor
fotonen met invariante massa nul worden de twee polarisatievectoren bepaald door het feit dat die
µ
µ
loodrecht op de vierimpuls van het foton staan, dus voor de viervectoren ε geldt: ε k µ = 0 als
µ
k de vierimpuls van het foton is.
µ
3 Voor elke vertex van twee fermionen schrijven we een factor ieγ , waarbij e de koppeling van
het electromagnetisch veld aan de eenheidslading (elektron lading) is. Verder schrijven we voor
4
elke vertex een factor ( 2π ) δ ( k 1 + k 2 + k 3 ) die behoud van vierimpuls forceert.
2
4 Voor elke interne foton lijn, propagator, schrijven we een factor – g µν ⁄ q j , waarbij q j de vierim-
puls van het uitgewisselde quantum is. Voor elke interne fermion propagator schrijven we een
µ
i ( γ qjµ + m )
- . Over de vierimpuls van elke interne lijn, q j µ , wordt geïntegreerd, dus voor
factor ----------------------------2
2
qj – m
4
4
elke interne lijn schrijven we ook een factor ( d q j ) ⁄ ( 2π ) .
5 Integreer over alle interne vierimpulsen. Het resultaat bevat een delta functie voor het totale
4
vierimpulsbehoud, ( 2π ) δ 

∑ pi , met de vierimpulsen voorzien van een + teken als ze corre-
sponderen met inkomende deeltjes en een - teken als het uitgaande deeltjes betreft. Deze delta
4
functie (inclusief de ( 2π ) ) gooien we weg.
6 Een relatief minteken moet voor bijdragen worden gezet die verschillen in de verwisseling van
twee fermion lijnen. Dit is de anti-symmetrisatie die inherent is aan fermionen.
28
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Ingeval er gesloten lussen in de Feynman diagrammen voorkomen die uit fermionen bestaan moet er
nog voor elke fermion lus een minteken worden geschreven. Berekeningen van Feynmandiagrammen die lussen bevatten hebben zo hun eigen moeilijkheden en daar zullen we later op terugkomen.
2.8 Møller verstrooiing: elektron-elektron verstrooiing in QED
Als voorbeeld zullen we elektron-elektron verstrooiing in QED uitrekenen. Dit heet Møller verstrooiing naar degene die er het eerste in quantummechanische context over publiceerde.
Omdat we met deeltjes met spin (elektronen) werken moeten we ons eerst een paar dingen realiseren.
Als we ongepolariseerde elektronen hebben die aan elkaar verstrooien betekent dat niets anders dan
dat de inkomende elektronen even vaak spin up als spin down hebben. De gemiddelde verdeling van
de verstrooide deeltjes die het gevolg is van de verstrooiing van even veel spin up als spin down toestanden wordt dan ook bepaald door te middelen over de spin toestanden van de inkomende deeltjes.
Voor de uitgaande toestanden gaan we er doorgaans van uit dat we ook de verschillende polarisaties
niet kunnen onderscheiden en daar zien we dus de som van de verschillende polarisatietoestanden.
De Feynmandiagrammen die in laagste orde aan deze verstrooiing bijdragen zijn dezelfde als
hierboven voor het spinloze geval geschetst:
f
f
p(2 )
f
p(1 )
p( 2 )
f
p(1 )
+
i
i
p(2 )
p(1 )
i
i
p(2 )
p(1 )
Om een technische complicatie uit de weg te gaan nemen we alleen het eerste diagram mee, dus niet
het diagram met de twee elektronen in de eindtoestand gekruist. De verstrooiing van twee niet-identieke deeltjes zal later nog terugkomen, dus het resultaat zal niet voor niets zijn.
De uitdrukking voor het matrixelement van het eerste Feynmandiagram wordt hiermee:
M tot
TUE
3
2
1
= -------------------------------------------i
i
( 2s 1 + 1 ) ( 2s 2 + 1 )
∑M
2
,
(2.85)
spin
waarbij ( 2s + 1 ) het aantal spintoestanden is voor een deeltje met spin s en M het matrix element is
voor elk van de inkomende en uitgaande spintoestanden apart:
f µ i  – ig µν
f ν i
- ( ieu 2 γ u 2 ) .
– iM = ( ieu 1 γ u 1 )  -----------2
 q 
(2.86)
Het blijkt nu handig te zijn om de spin-som uit te schrijven alvorens het diagram uit te rekenen:
∑M
spin
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
4
e µν ( 2 )
= ----4- L ( 1 ) L µν ,
q
(2.87)
29
met voor elk elektron dat aan de verstrooiing deelneemt (en in dit geval voor elektron (1) opgeschreven):
µν
L(1) =
∗
∑ ( u 1 γ u 1 ) ( u 1 γ u1 )
f µ i
f ν i
(2.88)
spin
De uitdrukking waarover wordt gesommeerd bestaat uit de vermenigvuldiging van twee getallen die
elk zijn opgebouwd uit een gammamatrix gecontraheerd met twee spinoren (zogenaamde bi-lineaire
f ν i
covarianten). Omdat ( u 1 γ u 1 ) een gewoon getal is maakt het niet uit dat we complex conjugeren
vervangen door hermitisch conjugeren en we gebruiken ook weer dat bij hermitisch conjugeren de
volgorde van de factoren andersom wordt:
f ν i ∗
f ν i †
i ν f
( u1 γ u1 ) = ( u 1 γ u 1 ) = u 1 γ u 1
(2.89)
en we kunnen ons ook nog realiseren dat als we de som over de spintoestanden in alle componenten
uitschrijven (wat toegegeven nogal een index-jungle is):
∑∑
µν
L( 1 ) =
i( s ) i( s ) ν
f( s’) µ
f( s’)
u 1α γ αβ u 1β u 1δ γ δε u 1ε
(2.90)
s
s’
we alleen nog maar met gewone getallen van doen hebben die allemaal commuteren en die we dus
naar believen kunnen herschikken, dan kunnen we de laatste spinor factor voorop zetten, zodat we
krijgen:
∑ ∑ u1ε
f( s’) f( s’) µ i( s ) i( s ) ν
u 1α γαβ u 1β u 1δ γ δε
µν
L(1) =
s’
=
∑ u1ε
f( s’) f( s’)
u 1α
µ
γ αβ
∑ u1β u1δ
s’
s
i( s ) i( s )
δ
γ δε .
(2.91)
s
De sommatie over de spins kunnen we ook schrijven als (bijvoorbeeld voor sommatie over s ):
∑ u1β u1δ
i( s ) i( s )
i
= ( p/ 1 + m )βδ
(2.92)
s
en op een analoge manier voor de sommatie over s' , zodat we voor de lepton tensor krijgen:
µν
µ
f
ν
i
f
µ
ν
i
L ( 1 ) = ( p/ 1 + m ) εα γ αβ ( p/ 1 + m ) βδ γδε = Tr ( ( p/ 1 + m )γ ( p/ 1 + m )γ ) ,
(2.93)
waarbij als de indices goed worden bestudeerd gezien kan worden dat steeds paren als α en α die
naast elkaar staan kunnen worden gesommeerd, zodat uiteindelijk een sommatie over ε in een aan
elkaar grenzend paar moet worden gedaan en dat hetzelfde is als het spoor nemen van een matrix
Tr ( A ) ≡ A εε .
(2.94)
We kunnen nu het probleem in kleinere stukjes hakken door te gebruiken dat het spoor van de som
van twee matrices hetzelfde is als de som van het spoor Tr ( A + B ) = Tr ( A ) + Tr ( B ) :
µν
f
µ
ν
i
L ( 1 ) = Tr ( ( p/ 1 + m )γ ( p/ 1 + m )γ ) =
f µ
i ν
f µ
ν
(2.95)
µ
i ν
µ
ν
Tr ( p/ 1 γ p/ 1 γ ) + Tr ( p/ 1 γ mγ ) + Tr ( mγ p/ 1 γ ) + Tr ( mγ mγ )
Dit is een hele verbetering als je weet hoe je de sporen over produkten van gamma matrices uit moet
rekenen. Omdat het aantal combinaties dat voorkomt in praktijk beperkt is, is een kort lijst van antwoorden voor verschillende sporen van gamma matrices al genoeg om dit soort uitdrukkingen uit te
rekenen. Laten we eerst een lijstje geven met belangrijke spoortheorema’s:
30
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Tr ( 1 ) = 4
(2.96)
µ ν
µν
Tr ( γ γ ) = 4g
Tr ( a/ b/ ) = 4a ⋅ b
µ
ν
µ ν
(2.97)
(2.98)
ν µ
µν
Tr ( a/ γ b/ γ ) = 4 [ a b + a b – ( a ⋅ b ) g ]
Tr ( a/ b/ c/ d/ ) = 4 [ ( a ⋅ b ) ( c ⋅ d ) – ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) + ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ]
Het spoor van een produkt van een oneven aantal gamma matrices is altijd nul.
We krijgen dus voor de lepton tensor van elektron 1:
i
f
µν
=
+
–
⋅
En dus ook voor de lepton tensor van elektron 2:
f
p1 )
2
µν
iν fµ
iµ fν
2 µν
L ( 1 ) = 4 [ p 1 p 1 + p 1 p 1 – ( p 1 ⋅ p 1 ) g ] + 4m g
iµ fν
4 [ p 1 p1
(2)
iν fµ
p 1 p1
i
f
i
i
( ( p1
(2.101)
µν
– m )g ]
f
i
f
(2.99)
(2.100)
2
L µν = 4 [ p 2µ p 2ν + p 2ν p2µ – ( ( p 2 ⋅ p 2 ) – m )g µν ]
(2.102)
en dus voor het matrix element:
4
32e
f
4
i
f
i
i
2
f
f
i
f
f
i
i
- [ ( p 1 ⋅ p 2 ) ( p 1 ⋅ p 2 ) + ( p1 ⋅ p 2 ) ( p 1 ⋅ p 2 ) – m ( ( p 2 ⋅ p2 ) + ( p 1 ⋅ p 1 ) ) + 2m ] . (2.103)
M tot = ---------4
4q
Als nu de massa van het elektron wordt verwaarloosd en we de Mandelstam variabelen gebruiken
2
i 2
i
f
f
i
i
s = ( p 1 + p2 ) = 2 ( p 1 ⋅ p 2 ) = 2 ( p 1 ⋅ p2 ) ,
f
i 2
i 2
f
2
t = ( p 2 – p 2 ) = ( p1 – p 1 ) = q ,
i
f 2
u = ( p1 – p2 ) ,
(2.104)
(2.105)
(2.106)
dan wordt het antwoord voor het matrixelement eenvoudig:
2
2
4s + u
-.
(2.107)
= 2e --------------2
t
Voor de differentiële werkzame doorsnede in het zwaartepuntsysteem krijgen we dan dus (zie vergelijking (2.48)):
M tot
2
4
2
2
1
e s + u 
2
dσ
---------------------------- .
------- = ------------M
=

2
2
2
dΩ
64π s
32π s  t 
(2.108)
Met vergelijkbare methoden kunnen we het geval van elektron-elektron (Møller) verstrooiing exact
uitrekenen rekening houdend met het feit van de twee diagrammen. De amplitudes van de twee diagrammen hebben een relatief minteken (Feynman regel 6). Het matrixelement is dan:
2
2
f µ i
f
f µ i
f
–e
e
i
i
M = -----------------------2- [ ( u 1 γ u1 ) ( u 2 γ µ u 2 ) ] + -----------------------2- [ ( u 2 γ u 1 ) ( u 1 γ µ u 2 ) ] .
f
i
f
i
( p1 – p1 )
( p2 – p1 )
(2.109)
Stug doorrekenen levert dan als antwoord voor de differentiële werkzame doorsnede:
4
2
2
2
2
2
1
e s + u
s
s +t 
dσ
2
- M = -------------- .
------- = --------------------------- + 2 ----- + -------------2
2 
2
2
tu
dΩ
64π s
32π s  t
u 
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(2.110)
31
Dit resultaat is weergegeven in Figuur 2.5 als een histogram dat de meetpunten voor elektron-elektron verstrooiing goed beschrijft. Dit geldt echter ook voor het resultaat van scalaire electrodynamica. Het verschil zit in de absolute waarde van de voorspelling, die voor QED de data wel goed
beschrijft, maar voor scalaire electrodynamica een factor twee fout zit.
2.9 Het magnetisch moment van het elektron
In een extern magnetisch veld evenwijdig aan de z -as heeft een spin 1/2 deeltje (en dus ook het elektron) twee eigenwaarden voor de energie:
E = µz B ,
(2.111)
waarbij het intrinsieke magnetische moment twee waarden kan aannemen µ z = ± µ B , met het Bohr
magneton gedefinieerd door:
e
µ B = ------- .
2m
Het magnetisch moment is aan de spin gerelateerd door:
(2.112)
µ = gµ B s = gµ B sσ ,
(2.113)
waarin g de Landé factor wordt genoemd, gµ B = µ ⁄ s de gyromagnetische verhouding is en de
spin operator s aan de Pauli matrices σ is gerelateerd door de spin eigenwaarde s .
µ
µ
µ
Met de “minimale substitutie” die we in QED hebben, p → p + eA , kunnen de vergelijkingen
(2.67) worden geschreven als:
0
σ ⋅ ( p + eA ) u B = ( E + eA – m )u A
(2.114)
0
σ ⋅ ( p + eA ) u A = ( E + eA + m )u B
waaruit volgt:
2
0 2
2
( σ ⋅ ( p + eA ) ) u A = ( ( E + eA ) – m )u A
(2.115)
en uitschrijven van de linkerkant levert:
32
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
( σ ⋅ ( p + eA ) ) = σ ⋅ ( p + eA )σ ⋅ ( p + eA )
2
= σi σj ( p i p j + e A i A j + e ( pi A j + p j Ai ) )
2
= ( δ ij + iε ijk σ k ) ( p i p j + e A i A j + e ( pi A j + p j A i ) )
2
= p i p j + e A i A j + e ( pi A j + p j Ai ) + iε ijk e ( p i A j + p j Ai )σ k
(2.116)
2
= ( p + eA ) + ε ijk e ∂ i A j σ k
2
= ( p + eA ) + e ( σ ⋅ B )
Hierbij is gebruik gemaakt van het operator karakter van p .Bij het uitschrijven van de rechterkant
van de uitdrukking (2.115) verwaarlozen we termen die kwadratisch gaan in ( E – m ) en krijgen dan:
0 2
2
0
( E + eA ) – m ≈ 2m ( ( E – m ) + eA ) .
De hele vergelijking (2.115) wordt dan:
(2.117)
2
e
1
0
 ------ ( p + eA ) + -------  σ ⋅ B – eA  u A = ( E – m )u A ,
 2m


2m 
(2.118)
zodat:
e
(2.119)
µ = ------- .
2m
Vergelijken we met (2.113) en het gegeven dat de spin eigenwaarde s = 1 ⁄ 2 dan volgt dat de Dirac
theorie dus voor spin 1/2 deeltjes voorspelt dat:
(2.120)
g = 2.
De waarden van g voor het elektron is nauwkeurig bepaald en wijkt een klein, maar significant,
beetje (ongeveer 0.2%) af van 2. In QED is dat te verklaren door het feit dat niet alleen de intrinsieke
gyromagnetische verhouding telt, maar er ook rekening moet worden gehouden met quantumcorrecties. Deze correcties zijn bijvoorbeeld ten gevolge van Feynmandiagrammen die eruit zien als:
vertex correctie foton
elektron
elektron
e
elektron
elektron
B veld foton
B veld foton
Dit zijn zogenaamde vertexcorrecties.
Als al dit soort diagrammen wordt uitgerekend is er een correctie in QED die eruit ziet als:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
33
α 2
α
– 2
 g----------- = 0.5 --- – 0.32848  --- + …
 π
 2 
π
(2.121)
De theoretische berekening van g (T. Kinoshita, W.B. Lindquist, Physical Review Letters 47 (1981)
1573)en de meting (D.E. Groom et al. (Particle Data Group), Eur. Phys. Jour. C15, 1 (2000) and
2001 partial update for edition 2002 (URL: http://pdg.lbl.gov)) stemmen overeen tot de precisie van
de meting van 1 ÷ 4 × 10
34
– 12
.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2.10 Opgaven
2.1
µ
Laat zien dat formule (2.12) ( ∂ µ j = 0 ) volgt uit de definitie van de stroomdichtheid zoals
gegeven in formule (2.11) ( j µ = ie ( φ∗ ∂ µ φ – ( ∂ µ φ∗ )φ ) ). Hint: gebruik de aanwijzingen tussen formules (2.11) en (2.12).
2.2
µ
2
Laat zien dat de Klein-Gordon vergelijking met covariante afgeleide , D D µ φ + m φ = 0 ,
invariant is onder de lokale ijktransformatie:
iϕ ( x )
2.3
. φ → φ’ = e
φ;
eAµ → eA’µ = eA µ + ∂ µ ϕ ( x ) .
Leid de expliciet Lorentzinvariante vorm van de flux in formule (2.34)
2
2
2
4 ( pA ⋅ p B ) – mA mB
( flux = ----------------------------------------------------) af. Hint: gebruik het speciale geval van de botsing tussen
2
V
2E A 2E B
twee collineaire deeltjes en formule (2.33) ( flux = v A ---------- ---------- ) en het feit dat een LorentzV V
invariante uitdrukking in een speciaal frame in alle frames geldig is.
3
2.4
d p
Een andere manier om de Lorentzinvariante faseruimte van een deeltje, dLIPS = --------------------,
3
( 2π ) 2E
4
2.5
3
af te leiden is uit de manifest Lorentzinvariante faseruimte ( d p ) ⁄ ( 2π ) . Laat zien dat deze
twee uitdrukkingen hetzelfde zijn.
Laat zien dat inderdaad alle factoren V in formule (2.42)
N
N
∑
∏
3


d pi
1
2
4 

pi – pA – pB
---------------------( dσ = ----------------------------------------------------- M ( 2π ) δ
) tegen elkaar
3


2 2
2
(
2π
)
2E
4 ( pA ⋅ pB ) – mA mB
i
i = 1
i = 1
wegvallen. Hint: het kwadraat van de deltafunctie in T fi
2
kan worden geschreven als een del-
tafunctie maal het ruimte-tijd volume VT . Laat dit ook zien.
2.6
4
2
2
2
e  3 + 2m ⁄ p + cos θ
dσ
------------------------------------------------
Leid formule (2.49) ( ------- = ------------
2
2
dΩ

16π s 
sin θ
2
2
2
2
2
2
α  3 + 2m ⁄ p + cos θ
- ) af.
= ------  -----------------------------------------------2
s 

sin θ
2.7
Het Feynmandiagram dat we hebben getekend en uitgerekend voor verstrooiing van twee
spinoren door uitwisseling van een foton is de laagste orde in een storingsreeks. Teken de Feynmandiagrammen die horen bij de volgende term in de storingsreeks. Wat is de variabele
waarin de storingsreeks is ontwikkeld ? Waarom convergeert de reeks in numerieke zin ?
Waarom neemt de moeite die je moet doen om elke volgende orde in de storingsreeks uit te
rekenen toe ?
2.8
In het volgende hoofdstuk zal de gamma matrix γ = iγ γ γ γ een belangrijke rol spelen.
5
0 1 2 3
5
Schrijf γ uit in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices.
µ ν
µν
2.9 Bewijs vergelijking (2.97): Tr ( γ γ ) = 4g .
2.10 Toon aan dat het spoor van een oneven aantal gamma matrices nul is.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
35
36
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
TUE
4
4
HOOFDSTUK 3 Leptonen: Muonen, tau-leptonen,
neutrino’s en de zwakke interacties
Eerst wordt het bestaan en wat eigenschappen van muonen en neutrino’s aannemelijk gemaakt. Vervolgens wordt de chirale symmetrie tussen geladen leptonen en neutrino’s gebruikt om een ijktheorie
te maken. Deze ijktheorie heeft als gevolg dat drie nieuwe ijkbosonen moeten worden ingevoerd: W+,
W- en Z0. Als toepassing van deze theorie van de zwakke wisselwerking wordt het muonverval
doorgerekend en met een modern educatief experiment vergeleken. Tenslotte worden het tau-lepton
en het tau neutrino geintroduceerd. Hiermee is het verhaal van de leptonen compleet.
3.1 De “ontdekking” van het muon
De ontdekking van het muon is een besef geweest dat nogal adiabatisch is gegroeid. Het muon is al
vrij vroeg in kosmische stralen ontdekt. Deze ontdekking is vrijwel tegelijkertijd geweest met de
ontdekking van het pion. De waarneming van het verval van het pion in een muon is een overtuigend
bewijs van het feit dat dit niet dezelfde deeltjes zijn.
Het muon blijkt een zwaarder kopie van het elektron te zijn, met een massa van 106 MeV. Het vervalt alleen met een elektron als zichtbaar eindproduct, maar in dat verval is uiteraard geen behoud
van impuls voor de zichtbare vervalsproducten (in dit geval 1 zichtbaar vervalsproduct.)
Muonen hebben een aantal specifieke eigenschappen, waarmee ze zich van andere deeltjes onder–6
scheiden. Om te beginnen zijn ze vrij stabiel met een levensduur van ongeveer 2 ×10 seconde. Verder hebben ze dezelfde interacties met de materie om ons heen als elektronen, maar zijn ze meer dan
200 keer zo zwaar. Dit betekent dat voor niet al te hoge energieën een elektron al interacties met
materie heeft die het elektron helemaal in een blok materiaal tot stilstand zal brengen, maar dat muonen vrij ongestoord door grote hoeveelheden materiaal heen vliegen. We zullen later de vervalsbreedte van het muon berekenen. Voor de interacties van elementaire deeltjes met materie verwijzen
we naar Appendix A.
Hoog in de aardse atmosfeer zijn er voortdurend interacties van vooral hoog energetische protonen
uit het heelal met de gasdeeltjes in de atmosfeer. In die reacties worden vele deeltjes gemaakt, maar
vooral ook pionen, die vrij kort leven en dan in muonen vervallen. Door de specifieke eigenschappen
van de muonen (lange levensduur en door grote hoeveelheden materiaal kunnen vliegen) zijn het
juist die muonen die hier op het aardoppervlakte aankomen. De meeste gevallen die bijvoorbeeld in
een vonkenvat, zoals die op de derde verdieping bij de afdeling experimentele hoge energiefysica
staat, zichtbaar worden gemaakt zijn ten gevolge van kosmische muonen.
3.2 De neutrino hypothese en het behoud van leptongetal
Zoals we in de vorige paragraaf zagen is er bij het muon verval een schijnbaar probleem met energie
en impulsbehoud. Dit is ook het geval met het radioactieve verval van bijvoorbeeld neutronen in protonen en elektronen. Voor dit laatste geval heeft Pauli een, toen nog hypothetisch, deeltje ingevoerd:
het neutrino. Dit neutrino heeft halfwaardige spin om de spin som van het neutron verval goed te
maken en massa nul, iets dat uit het energiespectrum van het elektron kan worden afgeleid.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
37
Later is gebleken dat zowel elektron als muon hun eigen neutrino soort hebben. Allen op deze
manier kan worden beredeneerd dat het zogenaamde leptongetal behouden is per familie. Het leptongetal voor elektronen, negatief geladen muonen en neutrino’s is +1 terwijl voor positronen, positief
geladen muonen en anti-neutrino’s -1 wordt genomen. Het elektron en het elektron-neutrino vormen
samen een familie en het muon en het muon-neutrino vormen samen een andere familie. Zoals
gezegd is het leptongetal een behouden grootheid per familie. Als een muon in een elektron vervalt,
zullen er nu twee neutrino’s bij de eindprodukten moeten vrijkomen. Om het lepton getal te
behouden moet een positief muon vervallen in een anti-muon-neutrino, een positron en een elektronneutrino. Niet alleen wordt zo het leptongetal per familie behouden. Ook is te zien dat een muon verval in een elektron minstens nog een deeltje in de eindtoestand moet hebben wegens energie en
impulsbehoud. Maar als dat deeltje een neutrino is en dus halftallige spin heeft moeten het er twee
zijn om de totale spins voor en na het verval halftallig te laten zijn.
3.3 SU(2) symmetrie en de zwakke wisselwerking
Bij een behouden grootheid hoort een (globale) symmetrietransformatie (dit is het theorema van
Noether). In het geval van het lepton-getal kunnen we ons de symmetrie voorstellen door (bijv. voor
de eerste familie) het elektron en het elektron-neutrino in een vector met twee componenten te schrijven.
νe
(3.1)
e
We bedenken ons nu dat het neutrino massaloos is. In dat geval is de spintoestand van het neutrino
welbepaald: het heeft spin up of spin down, of anders gezegd het is linkshandig of rechtshandig. Het
blijkt dat de enige neutrino’s die we waarnemen linkshandig zijn ! Dus ofwel er zijn geen rechtshandige neutrino’s, ofwel ze zijn er wel maar koppelen niet aan deeltjes die we waar kunnen nemen.
Dus voor de symmetrie die op het bovenstaande doublet werkt hoeven (moeten !) we alleen de linkshandige component in beschouwing te nemen. Het blijkt dat de linkshandige component van Dirac
spinoren is uit te projecteren met de matrix
5
(1 – γ )
------------------ .
(3.2)
2
Omdat we alleen linkshandige neutrino’s hebben, maar zowel links als rechtshandige elektronen,
splitsen we de chirale (links- en rechtshandige) toestanden in een doublet met een linkshandig elektron en een linkshandig neutrino en een singlet met alleen een rechtshandig elektron:
ψL =
ν eL
eL
5
(1 – γ ) ν
= ------------------ e
2
e
5
(1 + γ )
ψ R = e R = ------------------- e .
2
(3.3)
De rotatiesymmetriegroep van een doublet is U(2), de unitaire 2x2 matrices. De U(2) groep heeft
vier generatoren: de eenheidsmatrix en drie andere generatoren, waarvoor we de Pauli spin-matrices
kunnen kiezen. De Pauli spin matrices vormen een sub-group, SU(2), en we kunnen schrijven
U(2)=U(1)xSU(2). De operatoren van de U(1) en SU(2) groep commuteren en geven dus aanleiding
tot onafhankelijke simultane eigentoestanden. Onder de SU(2) symmetrie transformeren de linkshandige velden als doublet (dus zoals verwacht met een rotatie in de twee-dimensionale ruimte.) De
rechtshandige velden transformeren als singlet, dat wil zeggen als gewoon getal dat hetzelfde blijft
en in feite is de SU(2) transformatie voor rechts-handige velden dus de eenheidstransformatie.
38
Collegedictaat Hoge Energiefysica
In analogie met “gewone” spin zeggen we dat er een zwakke isospin is, waarbij de linkshandige
velden zwakke isospin doublets vormen en de rechtshandige velden zwakke isospin singlets.
We hadden al gezien dat we op de velden ook een U(1) transformatie kunnen toepassen: de vermenigvuldiging met een complex getal van lengte 1. We kunnen nu de transformaties samen nemen
in een U(1)xSU(2) transformatie. Voor de linkshandige velden wordt de SU(2) “matrix” dus met een
complexe fase vermenigvuldigd en voor de rechtshandige velden is de transformatie alleen deze vermenigvuldiging met een complexe fase. We kunnen dus onmiddellijk concluderen dat voor de
rechtshandige velden de situatie precies zo is als beschreven in hoofdstuk 2 voor het geval van QED.
Voor de linkshandige velden ligt de situatie in principe hetzelfde, maar met een wat ingewikkelder
transformatie en dientengevolge met wat praktische complicaties.
De algemene symmetrietransformatie voor SU(2) schrijven we weer in de vorm van de operator:
U = e
igλ ⋅ T
,
(3.4)
1
waarin we T = --- σ kunnen nemen in doublet representatie, met σ = ( σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ) de Pauli matrices,
2
en g de koppelingsconstante van de interactie is. De algemene vorm voor een transformatie uit de
U(1)xSU(2) groep is dus:1
Y
ig’θ --2 igλ ⋅ T
Y
i  g’θ --- + gλ ⋅ T
 2

U = e
,
(3.5)
e
= e
waarbij de U(1) en de SU(2) transformatie ieder hun eigen koppelingsconstante hebben, g' en g ,
respectievelijk. De operator Y heet de hyperlading en zal voor rechts- en linkshandige deeltjes verschillend blijken te zijn.
Passen we deze transformatie toe, maar dan als een lokale symmetrie, dan zijn we genoodzaakt een
vector van vier extra velden in te voeren B µ voor het U(1) veld en W µ = ( W 1µ ,W 2µ ,W 3µ ) voor de
drie generatoren van SU(2). De covariante afgeleide definieren we als:
Y
D µ = ∂ µ –i g' --- B µ – i gT ⋅ Wµ .
2
(3.6)
Voor zwakke isospin doublets heeft T de eigenwaarde 1 ⁄ 2 , en neemt de derde component van
deze zwakke isospin operator de eigenwaarde T 3 = +1 ⁄ 2 aan voor neutrino’s en T 3 = – 1 ⁄ 2 voor
elektronen.
Onder infinitesimale veranderingen van θ en λ veranderen de linkshandige velden als:
Y g
ψ →  1 + ig'θ --- + i --- λ ⋅ σ ψ;


2 2
g'B µ → g'B µ + ∂ µ θ;
W µ → W µ + ∂ µ λ – g ( λ × W µ ) , (3.7)
Waarbij we hebben gebruikt dat T = σ ⁄ 2 en dat de structuurconstanten voor de SU(2) groep in de
representatie met de Pauli matrices als generatoren f abc = iε abc zijn, met ε abc het volledig antisymmetrische Levi-Civita symbool.2
1. Deze benadering verschilt in een opzicht van die gekozen voor QED: in dat geval komt namelijk de EM koppeling e niet voor in
de U(1) transformatie, terwijl hier de koppelingsconstanten hier wel degelijk in de transformaties voorkomen. Dit is puur een conventiekeuze.
2. Het symmetrische Levi-Civita symbool geeft 0 als er een paar identieke indices zijn, 1 als de indices een even permutatie van de
reeks 1,...,n zijn (als er n indices zijn), en -1 als de indices een oneven permutatie van de reeks 1,...,n zijn.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
39
Schrijven we de Diracvergelijking nu uit voor één linkshandig doublet na invoering van de covariante afgeleide, dan krijgen we:
µ
Y
µ
µ
(3.8)
( iγ µ ∂ – m )ψ L = – g' --- γ B ψ L – g γ µ T ⋅ W ψ L .
2 µ
Door nu specifieke combinaties van de W velden te nemen (herinner dat voor de Pauli matrices
σ 1 + iσ 2
σ1 –i σ2
geldt: -------------------- = 0 1 en ----------------- = 0 0 ) kunnen we de velden voor de geladen W krijgen
2
2
00
1 0
door:
( W 1 – iW 2 )
+
W = --------------------------2
Als we nu met de definities voor W
ven krijgen we:
±
W
–
( W 1 + iW 2 )
= ---------------------------.
2
(3.9)
de Diracvergelijkingen voor het linkshandige doublet uitschrijµ
µ
σ3 µ
g
Y
g
µ
–
+
-----( iγ µ ∂ – m )ψ L = – g' γ B ψ L – gγ µ - W 3 ψ L – ------- γ 0 0 W ψ L – ------- γ 0 1 W ψ L (3.10)
2
2 µ
2 µ 1 0
2 µ 0 0
µ
hetgeen we expliciet in twee bewegingsvergelijkingen kunnen uitschrijven:
Y
g
g
µ
+µ
µ
µ
( iγ µ ∂ – m )ν L = – g' --- γ B ν L – --- γ µ W 3 ν L – ------- γ µ W e L
2 µ
2
2
g
Y
g
–µ
µ
µ
( iγµ ∂ – m )e L = – g' --- γ B e L + --- γ µ W 3 e L – ------- γµ W ν L
2 µ
2
2
µ
.
(3.11)
Helemaal aan de rechterkant van de vergelijkingen zien we dat termen van neutrino en electon mengen. Deze termen geven aanleiding tot de geladen stroom interacties, waarbij een geladen W deeltje
-
–
wordt uitgewisseld. We krijgen nu koppelingen van, bijvoorbeeld in de eerste familie e W νe , dus
een elektron kan in een negatief W veld en een elektron-neutrino vervallen. We moeten nu nog
steeds wel bedenken dat het hier alleen linkshandige elektronen en neutrino’s betreft.
De rest van de termen aan de rechterkant van de vergelijkingen (3.11) geven aanleiding tot de neutrale stroom interacties, waarbij neutrale bosonen worden uitgewisseld.
De component W 3 en het veld B mengen en komen in het interactiestuk van de toestandsvergelijking voor in de combinatie:
Y µ
µ
(3.12)
γ µ  – g' --- B –gT 3 σ 3 W 3  ψ L ,
 2

waarbij de eerste term van de factor binnen de haakjes evenredig is met de 2x2 eenheidsmatrix en de
tweede term evenredig met de 2x2 matrix σ 3 = diag(1,-1) . De som matrix kunnen we roteren met
een hoek die de Weinberghoek heet, θ w . Deze rotatie kan zo worden gekozen dat de twee lienaire
combinaties van W 3 en B zonder een bilineaire kruisterm in de Langrangiaan voorkomen. De twee
lineaire combinaties van W 3 en B zijn dan makkelijk met deeltjes te identificeren met een specifieke massa. Dat een van de combinaties een grote massa en de ander een massa nul kan ontwikkelen
zal in hoofdstuk 6 worden getoond, met het Higgs mechanisme. Na de rotatie ontstaan de eigenvelden:
40
Collegedictaat Hoge Energiefysica
µ
µ
– gW3 + g'B
Z = -------------------------------2
2
g + g'
µ
µ
µ
.
(3.13)
g'W 3 + gB
µ
A = --------------------------2
2
g + g'
waarbij is gedraaid over de hoek gedefinieerd door:
g'
(3.14)
tan θ w = ---- .
g
Het neutrale stroom gedeelte van het interactiestuk in vergelijking (3.10) komt er met deze nieuwe
velden uit te zien als:
σ 3 Y
µ
2 σ3
2Y
µ
 – g g'  T ----- + --- γ µ A +  g T 3 ------ – g' --- γ µ Z  ψ L
µ
3
σ
 2 2



2
2
Y
µ
3
–g' --- γ B ψ L – gγ µ T 3 ------ W 3 ψ L = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2 µ
2
2
g + g'
Voor de rechtshandige elektronen, waar alleen een interactieterm met B
µ
µ
(3.15)
in voorkomt wordt de
µ
Diracvergelijking met de velden A en Z (voor de rechtshandige singlets geldt T = T 3 = 0 ):
Y
1
µ
µ
2Y
µ
( iγµ ∂ – m )e R = ----------------------  gg'  --- γ µ A +  – g' --- γ µ Z  e R .
2
2
2
2
g + g'
(3.16)
µ
Als we nu het veld A als het electromagnetisch veld zien, corresponderend met fotonen dan moet
voor de relatie tussen de electrische lading Q , de derde component van de zwakke isospin T 3 en de
hyperlading Y de volgende relatie gelden:
Y
Q = T 3 + --- .
(3.17)
2
Dit heet de Gell-Mann - Nishijima relatie. Om hieraan te kunnen voldoen moet de hyperlading voor
linkshandige elektronen Y = – 1 zijn, terwijl die voor rechtshandige elektronen Y = – 2 is, omdat
voor linkshandige elektronen T 3 = –1 ⁄ 2 en voor rechtshandige elektronen T 3 = 0 .
De electromagnetische koppelingsconstante wordt nu gegeven door:
gg'
e = ---------------------- = g' cos θ w = g sin θ w .
(3.18)
2
2
g + g'
We zien dus dat de U(1)xSU(2) symmetrie meer is dan het product van twee onafhankelijke symmetrieën en dat er een echte unificatie is, waarbij er velden van de twee transformatiegroepen mengen tot fysische velden en waarbij er relaties tussen de koppelingsconstanten ontstaan.
Uit het interactiestuk van de toestandsvergelijking kunnen we weer Feynmanregels destilleren:
– ie
µ
5
de eW+ν koppeling krijgt een factor ------------------------- γ ( 1 – γ ) ,
2 2 sin θ w
(3.19)
– ie
µ
2
5
de eZ0e koppeling krijgt een factor --------------------------------- γ ( ( –1 – 4 q e sin θw ) + γ ) ,
4 sin θ w cos θ w
(3.20)
Collegedictaat Hoge Energiefysica
41
met q e de electrische lading van het elektron (-1 dus in dat geval, maar analoog de electrische lading
van het lepton waaraan de Z koppelt),
– ie
µ
5
de νZ0ν koppeling krijgt een factor --------------------------------- γ ( 1 – γ ) ,
4 sin θ w cos θ w
(3.21)
2
– i ( g µν – q µ q ν ⁄ M W )
-.
de W propagator krijgt een factor -----------------------------------------------2
2
q – MW
(3.22)
2
– i ( g µν – q µ q ν ⁄ M Z )
-.
de Z propagator krijgt een factor ----------------------------------------------2
2
q – MZ
(3.23)
Wie goed heeft opgelet heeft ook gezien dat aan de W en Z bosonen een massa van respectievelijk
M W en M Z is toegekend. Deze massa’s kennen we vrij goed op dit moment en zijn
M W = 80.43 ± 0.04 GeV en M Z = 91.188 ± 0.002 GeV. Het feit dat de W en Z bosonen een massa
hebben, en nog wel zo’n grote, heeft interessante gevolgen voor de wereld om ons heen. Verder hebben we de zwakke koppelingsconstante aan de electromagnetische koppelingsconstante relateerd
door middel van de Weinberg hoek. Deze Weinberghoek is natuurlijk te meten door reacties met een
zwakke vertex te meten en met berekeningen (waarin de Weinberghoek als parameter voorkomt) te
vergelijken. We vinden op deze manier dat
2
sin θ w = 0.232 ± 0.001
(3.24)
De hier boven genoemde waarden komen uit: D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15
(2000) 1 and 2001off-year partial update for the 2002 edition available on the PDG WWW pages
(URL: http://pdg.lbl.gov/) .
3.4 Het muon verval
Van alle stabiele elementaire deeltjes zijn alleen het elektron, de neutrino’s en het foton lichter dan
het muon (en het gluon, de drager van de sterke kernkracht, maar dit kan niet ongebonden
voorkomen zoals we later zullen zien.) Wegens het behoud van leptongetal (per familie) kan het
muon alleen vervallen in een muon-neutrino en een geladen W boson. Het geladen W boson is te
zwaar om door het muon te worden geproduceerd en kan dus alleen “off-shell” worden geprodeceerd, dus niet als vrij deeltje, maar als propagator die weer verder vervalt. Het W boson kan dan
alleen in de combinatie elektron en anti-elektron-neutrino vervallen (de enige andere combinatie is
muon en anti-muon-neutrino, maar die hebben samen te veel massa.) Het enige dat er nu nog als
extra kan gebeuren is dat er een of meer fotonen van het muon in de begintoestand of het elektron in
de eindtoestand worden afgestraald. Dit geeft een extra koppeling van een geladen deeltje met een
42
Collegedictaat Hoge Energiefysica
foton en dus een onderdrukking van ongeveer 1 ⁄ 137 te opzichte van het diagram waarbij het muon
in een elektron, een muon-neutrino en een anti-elektron-neutrino vervalt.
u(k1)
νµ
µ+
u(p)
e+
q
u(k2)
v(k3)
νe
Schrijven we het matrixelement voor het verval op zoals boven getekend dan krijgen we:
gw
gw
1
5
µ
5
 --------- u ( k 2 )γµ ( 1 – γ )u ( k 3 ) .
M =  ---------- u ( p )γ ( 1 – γ )u ( k1 ) ------------------2 

2 2
 2
q – MW 2 2
(3.25)
Het muon-neutrino heeft altijd heliciteit -1 en het anti-elektron-neutrino heeft altijd heliciteit +1,
zodat alleen over de inkomende muon spin hoeft te worden gemiddeld. Met behulp van de volgende
spoortheorema’s:
µ
ν
Tr ( γ a/ γ b/ )Tr ( γ µ c/ γ ν d/ ) = 32 [ ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) + ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ] ,
µ
ν 5
5
Tr ( γ a/ γ γ b/ )Tr ( γµ c/ γ ν γ d/ ) = 32 [ ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) – ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ] , en
µ
5
ν
5
5
5
Tr ( γ ( 1 – γ )a/ γ ( 1 – γ )b/ )Tr ( γ µ ( 1 – γ )c/ γν ( 1 – γ )d/ ) = 256 ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d )
2
(3.26)
(3.27)
(3.28)
2
krijgen we nu (we verwaarlozen q ten opzichte van M W ):
M
2
1
= --2
∑M
4
2
spin
2g w
2
- ( k 1 ⋅ k 2 ) ( k 3 ⋅ p ) = 64G F ( k 1 ⋅ k 2 ) ( k 3 ⋅ p ) ,
= -------4
MW
(3.29)
waar we de Fermiconstante voor de zwakke wisselwerking hebben ingevoerd:
2
gw 2
–5
–2
- ≈ 1.16639 ×10
G F = -----------GeV .
2
8M W
(3.30)
Vullen we dit matrixelement in in de gouden regel voor vervalsbreedtes dan krijgen we:
3
3
3
d k1
d k2
d k2
1
4 4
2
--------------------------------------------- ( 2π ) δ ( p – k 1 – k 2 – k 3 ) ,
dΓ = ------- M ----------------------3
3
3
2E
( 2π ) 2ω 1 ( 2π ) 2ω 2 ( 2π ) 2ω 2
(3.31)
met ω i de energie van deeltje i in de eindtoestand, dus behorend bij vierimpuls k i . In het rustsysteem van het muon geldt E = m µ en p = 0 en dus
Collegedictaat Hoge Energiefysica
43
2
2
2 ( k 1 ⋅ k 2 ) ( k 3 ⋅ p ) = ( m µ – 2m µ ω 3 – m e )m µ ω 3 .
(3.32)
We zien dat het matrixelement alleen van de anti-elektron-neutrino energie afhangt en we kunnen de
faseruimte integreren over alle andere stukken van de eindtoestand, te beginnen bij k 1 :
∫
3
3
3
d k2
d k2
d k1
4 4
--------------------------------------------- ( 2π ) δ ( p – k 1 – k 2 – k 3 )
----------------------3
3
3
( 2π ) 2ω 1 ( 2π ) 2ω 2 ( 2π ) 2ω 2
3
.
(3.33)
3
d k2 d k3
1
= ----------------5- δ ( m µ – ω 1 – ω 2 – ω 3 ) ---------------------ω1 ω2 ω3
8 ( 2π )
∫
Ook zouden we graag integreren over de anti-elektron-neutrino impuls, omdat we dat neutrino ook
niet kunnen waarnemen in de eindtoestand. Ook zitten we nog met een ω 1 in de deltafunctie. We
kiezen de z-as in de richting van het anti-elektron-neutrino, dan kunnen we de hoek, θ , tussen dit
neutrino en het elektron impliciet schrijven als:
ω1 = k1 = k 2 + k 3 =
2
2
ω 2 + ω 3 + 2ω 2 ω 3 cos θ
(3.34)
en dus de integraal over deze hoek als integraal over de energie van het muon-neutrino:
– 2ω 2 ω 3 sin θ
– ω 1 dω 1
dω 1 = --------------------------------------------------------------dθ ⇔ dθ = -----------------------.
ω 2 ω 3 sin θ
2
2
2 ω 2 + ω 3 + 2ω 2 ω 3 cos θ
(3.35)
2
3
We kunnen nu integreren over d k 2 = ω 2 sin θ dθdφ :
3
3
d k2 d k3
1
----------------5- δ ( m µ – ω 1 – ω 2 – ω 3 ) ---------------------ω1 ω2 ω3
8 ( 2π )
∫
.
(3.36)
3
dω 1 dω 2 d k 3
1
= ----------------4- δ ( m µ – ω 1 – ω 2 –ω 3 ) -----------------------------2
8 ( 2π )
ω3
∫
3
dω 2 d k 3
1
= ----------------4- -------------------2
8 ( 2π )
ω3
∫
Vullen we deze faseruimteintegraal weer in met het matrixelement, dan krijgen we:
2
3
dω 2 d k 3
2G F
2
2
-------------------(
–
)m
ω
–
2m
ω
m
dΓ = -------------------m
µ 3
µ 3
e
µ
2
4
ω3
( 2π ) m µ
2
∫
.
(3.37)
3
2G F
2 dω 2 d k 3
2
- ( m µ – 2m µ ω 3 – m e ) --------------------= ---------------4
ω3
( 2π )
∫
We kunnen nu de integraal over de drie-impuls k 3 doen (we verwaarlozen de elektron massa):
2
mµ GF
dΓ = -------------( m µ – 2ω 3 )ω 3 dω 2 dω 3 .
3
2π
∫
(3.38)
Nu moeten we ons realiseren dat ω 3 ten hoogste m µ ⁄ 2 kan zijn en ten minste m µ ⁄ 2 – ω 2 moet
zijn. De integraal wordt daarmee:
44
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2 m ⁄2
µ
mµ GF
dΓ
--------- = -------------3
dω 2
2π
2
2
mµ GF 2 
4ω 2
3
–
--------- .
( m µ – 2ω 3 )ω 3 dω 3 = --------------ω
2
3

mµ
12π
( mµ ⁄ 2 – ω2 )
∫
(3.39)
Hierin is ω 2 de energie van het elektron en ligt daarmee het hele verval vast. We kunnen de integraal
over ω 2 ook nog uitvoeren om de total vervalsbreedte te krijgen die omgekeerd evenredig is aan de
levensduur:
5
2
mµ GF
1
1
Γ = ----- = --------------3- = -----------------------------------------------------------(3.40)
(
2.19703
±
0.00004
) µs
τµ
192π
(uit : D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1 and 2001 off-year partial
update for the 2002 edition available on the PDG WWW pages (URL: http://pdg.lbl.gov/).)
In feite is de bewering om te draaien en levert de experimentele bepaling van de levensduur van het
muon een van de beste bepalingen van de Fermi koppelingsconstante op. Het feit dat de experimentele bepaling van de levensduur en de meting van het energiespectrum van het vervalselektron precies overeenkomt met de theoretische voorspelling geeft aan in welke grote mate de theorie hier een
beschrijving geeft van de werkelijkheid.
3.5 Productie van Z bosonen
Z bosonen kunnen worden gemaakt door een elektron en een positron met elkaar te laten botsen. In
deze botsing annihileren het elektron en het positron en wordt één Z boson gevormd in het s-kanaal,
zoals geïllustreerd in het volgende Feynmandiagram
eZ0
e+
Als de zwaartepunts energie van het elektron en positron precies de massa van het Z is dan krijgen
we in de propagator
1
-----------------2
2
q – MZ
(3.41)
2
2
q = MZ
en de werkzame doorsnede voor dit proces explodeert naar oneindig. Dit verschijnsel wordt resonantie genoemd. In de praktijk gaat de propagator niet naar oneindig, omdat het Z boson ook weer vervalt. Als hiermee rekening wordt gehouden moet de propagator geschreven worden als:
1
-----------------------------------------,
2
2
q – M Z + iM Z Γ Z
(3.42)
met Γ Z de totale vervalsbreedte van het Z boson. De werkzame doorsnede wordt nu wel groot, maar
niet oneindig groot. Als we nu de zwaartepuntsenergie van het elektron-positron systeem rond de
massa van de Z veranderen en de totale werkzame doorsnede meten dan kunnen we de resonantiecurve zichtbaar maken en daaruit de Z massa en totale vervalsbreedte meten. Dit is te zien in Figuur
3.1. Het is in deze figuur duidelijk waarneembaar dat de resonantiecurve asymmetrisch is. Aan de
Collegedictaat Hoge Energiefysica
45
kant van hoge energieën zit een veel grotere staart dan aan de lage energie kant. Dit is te verklaren
doordat de elektronen en positronen voor ze botsen een foton kunnen uitzenden. Doordat dit foton
een beetje energie meeneemt wordt de effectieve zwaartepuntsenergie van het systeem een beetje
lager. Dit verschijnsel heet in het engels Initial State Radiation (ISR) en de correctie op de symmetrische vorm die dit teweegbrengt heet een stralingscorrecties.
ν
ν
ν
"
!
#
σ
%
√
$
De elektron-positron annihilatie werkzame doorsnede voor energieën rond de massa van
het Z boson. De drie curves zijn theorie voorspellingen voor een verschillende aanname van het
aantal lichte neutrino’s.
FIGUUR 3.1.
3.6 Productie van W bosonen
Tussen W en Z bosonen onderling is ook een koppeling. Het Z boson koppelt aan een paar W bosonen. Rekening houdend met de Lorentz indices van de bosonen en hun impulsen ( k i ) krijgen we
voor de koppeling
ie cos θ w
W µ ( k 1 )Z ν ( k 2 )W λ ( k 3 ) een factor -------------------- [ g µλ ( k 1 – k 3 ) + g λν ( k 3 – k 2 ) + g νµ ( k 2 – k 1 ) ] , (3.43)
sin θ w
en zo kan het W boson ook aan het foton koppelen met voor de koppeling
W µ ( k 1 )γ ν ( k 2 )W λ ( k 3 ) een factor – ie [ g µλ ( k 1 – k 3 ) + g λν ( k 3 – k 2 ) + g νµ ( k 2 – k 1 ) ] ,
(3.44)
Deze koppeling laat toe dat als elektronen en positronen annihileren in hetzij een foton of een Z
boson met een zwaartepuntsenergie van 2M W het virtuele foton of Z boson vervalt in een paar W
bosonen met tegengestelde lading. Ook deze reaktie is sinds een paar jaar geobserveerd bij LEP en is
het directe bewijs voor de koppeling tussen de ijkbosonen onderling.
Er zijn ook koppelingen tussen twee Z bosonen en twee W bosonen en tussen een foton een Z boson
en twee W bosonen in één vertex mogelijk. Daarnaast bestaat ook de vierpuntskoppeling tussen vier
W bosonen in één vertex.
Al deze koppelingen tussen de ijkbosonen onderling hebben te maken met het feit dat de elementen
van de symmetriegroep niet met elkaar commuteren. Als ze dat wel zouden doen zouden er geen
koppelingen tussen de ijkbosonen onderling zijn. In de groepentheorie heten groepen waarvan de
elementen wèl commuteren Abelse groepen. Dit taalgebruik is terug te vinden in de deeltjesfysica
46
Collegedictaat Hoge Energiefysica
waar, bijvoorbeeld, de symmetriegroep U(1)xSU(2) aanleiding geeft tot een niet Abelse ijkgroep (in
het engels: non-Abelian gauge group) en de koppeling tussen de ijkbosonen de niet-Abelse koppelingen heten. Omdat de koppelingsconstante van de interacties voldoende klein is heeft de zelfkoppeling van de ijkbosonen maar een beperkte invloed op de verschillende interacties. Figuur 3.2 toont
de werkzame doorsnede voor elektron-positron annihilatie voor invariante massa’s vlak bij 2M W .
LEP
20
+
−
σ(e e →W W (γ)) [pb]
Preliminary
10
+ −
Data
(
Standard Model
no ZWW vertex
&
νe exchange
'
0
160
170

180
190
200
√s [GeV]
FIGUUR 3.2. De werkzame doorsnede voor W paar produktie in elektron-positron annihilatie.
Behalve de voorspelling van het Standaard Model, met zowel een foton als een Z propagator, is ook
de voorspelling met alleen de foton propagator getekend. Deze voorspelling beschrijft de metingen
duidelijk niet, terwijl als ook de Z propagator (en dus de ZWW koppeling) wordt meegenomen in de
berekeningen de voorspelling heel goed overeenkomt met de metingen.
3.7 De ontdekking van het tau-lepton
In 1975 werden bij de SPEAR elektron-positron botser gevallen gevonden waarbij één elektron (of
positron) en één positief (of negatief) muon in de eindtoestand zichtbaar waren en verder een
hoeveelheid energie onzichtbaar verdween. Al vrij snel was de hypothese dat deze gevallen worden
veroorzaakt door een nieuw deeltje dat in een paar wordt geproduceerd en ofwel in een elektron
(positron) ofwel in een muon kan vervallen, waarbij in het verval minstens ook nog een onzictbaar
deeltje wordt geproduceerd. Hier is natuurlijk een analogie met het muon verval in het elektron. Het
blijkt ook dat het energiespectrum van het vervals elektron of muon voor dit nieuwe deeltje dezelfde
vorm heeft als dat van het elektron in het muon verval. De conclusie was uiteindelijk dat het een
nieuw deeltje betrof dat hetzelfde is als het elektron of het muon, alleen in massa nog zwaarder,
namelijk 1777 MeV. Dit deeltje wordt het tau-lepton genoemd. Er is ook een tau-neutrino in volledige analogie met het elektron en muon. Het tau-lepton en het tau-neutrino vormen de derde leptonfamilie. Uit Figuur 3.1 zien we dat als we precies drie lichte neutrino soorten aannemen, de theorie
de metingen zeer goed beschrijft en dat een extra licht neutrino zeer onwaarschijnlijk is. Het is dan
ook onwaarschijnlijk dat er nog meer lepton families zijn, dus het tau-lepton besluit het verhaal van
de leptonen.
Een klein haartje in de soep was tot voor kort dat het tau-neutrino wel geproduceerd was, namelijk in
tau lepton vervallen, maar nooit als inkomend deeltje is waargenomen, iets dat met de andere neutrino’s wel het geval is. Er zijn bundels van elektron-neutrino’s en met name ook van muon-neu-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
47
trino’s gemaakt die op een doel zijn geschoten en waarvan de verstrooiingsproducten zijn
waargenomen. Recentelijk zijn inkomende tau neutrino’s waargenomen in de DONUT detector (K.
Kodama et al., Physics Letters B504 (2001) 218), zodat nu ook dit losse rafeltje netjes vast zit.
3.8 Samenvatting van de lepton sector
We hebben dus gezien dat we drie families van leptonen hebben: het elektron en het elektron-neutrino, het muon en het muon-neutrino en het tau-lepton en het tau-neutrino. De neutrino’s hebben een
zeer kleine massa en alleen de linkshandige chiraliteit van het neutrino is waargenomen. Elk van
deze families heeft een SU(2) symmetrie met het geladen lepton en het neutrino in a doublet structuur voor de links-handige spin toestanden. Zowel de linkshandige als de rechtshandige geladen leptonen zijn ook invariant onder de U(1) symmetrie. De gecombineerde U(1)xSU(2) symmetrie geeft
als ijktheorie vier ijkbosonen die de onderlinge krachten overbrengen: twee geladen massieve W
bosonen, een neutraal massief Z boson en een neutraal massaloos foton. De U(1) en SU(2) symmetrieën mengen en kunnen niet onafhankelijk van elkaar worden beschouwd. Er is dus een echte
unificatie tussen de electromagnetische kracht (geassocieerd met de U(1) symmetrie) en de zwakke
kernkracht (geassocieerd met de SU(2) symmetrie) en de koppelingsconstanten van de twee krachten
zijn aan elkaar gerelateerd. Het foton, het Z boson en de W bosonen zijn alle experimenteel waargenomen. Ook is bevestigd dat de ijkbosonen onderling koppelen zoals voorspeld door de nietAbelse ijktheorie.
48
Collegedictaat Hoge Energiefysica
3.9 Opgaven
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
In de LEP ring worden elektronen en positronen versneld tot gelijke energie. Wat moet die
energie zijn om bij annihilatie een Z boson te maken ? Wat moet de minimale energie zijn om
een paar W bosonen te maken ?
Waarom worden er ook Z bosonen gemaakt als de zwaartepuntsenergie iets lager is dan de Z
boson massa ?
De totale vervalsbreedte van het Z boson is ongeveer 2.5 GeV. Wat is de levensduur van het Z
boson ?
Wat verwacht je voor de verhouding van de vervalsbreedte van het W and het Z boson ?
Wat is de verhouding tussen het aantal keer dat een Z boson in een elektron-positron paar, een
muon paar, een tau paar en een neutrino paar (één van de drie soorten) vervalt ?
Er is een plan voor het maken van een muonbotser. In deze muonbotser worden positieve en
negatieve muonen gemaakt, versneld en in een opslagring in tegengestelde richting met elkaar
gebotst. De muonen worden gemaakt door met een protonbundel op trefplaatjes te schieten en
zo pionen te produceren, die in muonen en neutrino’s vervallen. Vervolgens is het probleem
om de muonen allen met dezelfde energie in dezelfde richting te laten gaan. Wat is de oorsprong van dit probleem ? Als we de muonen met dezelfde energie in dezelfde richting kunnen
laten gaan, kunnen we ze snel versnellen en naar de opslag ring transporteren. Waarom moeten
we ze snel versnellen ? Stel dat we heel snel kunnen versnellen en dat de tijd die we nodig hebben om de muonen met de uiteindelijke energie in de opslagring te krijgen verwaarloosbaar is
ten opzichte van de vervalstijd. De uiteindelijke energie per muon in de eerste fase van dit
experiment is gepland op ongeveer 75 GeV. Wat is de levensduur van de muonen voor
waarnemers die ten opzichte van de opslagring in rust zijn ? Het magneetveld dat door de buigmagneten die de muonen in een cirkelvormige baan houden is 10 Tesla. Hoe groot is de straal
van de cirkel waarin de muonen zich bewegen ( r [m] = ( p [GeV] ) ⁄ ( 3B [T] ) ) ? Hoe veel
omwentelingen maakt het muon gemiddeld voor het vervalt ? (De luminositeit schaalt met het
aantal omwentelingen van het muon (waarom?)) Wat is de straal in hetzelfde magneetveld
voor een muon impuls van 1000 GeV (de uiteindelijke energie waarvoor deze botser wordt
gemaakt) ? Hoeveel omwentelingen maakt het muon voor het vervalt bij 1 TeV (=1000 GeV) ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
49
50
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
TUE
5
5
HOOFDSTUK 4 Van hadronen tot quarks
In dit hoofdstuk maken we kennis met quarks. We zullen laten zien dat er diverse redenen zijn om aan
te nemen dat hadronen, baryonen en mesonen, uit quarks zijn opgebouwd. We zullen laten zien hoe
hadronen uit quarks zijn opgebouwd met het spectroscopisch model voor hadronen. Vervolgens laten
we de dynamica van quarks in hadronen zien aan de hand van diep inelastische verstrooiing. Uit het
spectroscopisch model en diep inelastische verstrooiingsresultaten kunnen we leren hoe de interactie
tussen quarks werkt en we zullen de sterke kernkrachten ten gevolge van de SU(3) kleursymmetrie
invoeren, waarbij we als ijkbosonen een achttal gluonen introduceren. We laten zien dat een aantal
verschijnselen die met de sterke kracht tussen quarks te maken hebben afhankelijk zijn van de energie-schaal. Ten slotte zal aannemelijk worden gemaakt dat quarks opgesloten zitten in hadronen en
zal een korte blik op hadronisatie van quarks worden geworpen.
4.1 Het proton, het neutron en isospin symmetrie: up en down quarks
We gaan ervan uit dat we weten dat atomen zijn opgebouwd uit een atoomkern en elektronen. De
atoomkern is opgebouwd uit protonen, deeltjes met spin 1/2 en lading +1, en neutronen, deeltjes met
spin 1/2 en zonder elektrische lading. Verder weten we dat neutronen in ongebonden toestand in
ongeveer 15 minuten uiteenvallen in een proton, een elektron en een anti-neutrino (de laatste door de
hypothese van Pauli.) In dit laatste herkennen we een verval net als dat van het muon. Alleen in dit
geval neemt het neutron de plaats in van het muon en het proton van het muon-neutrino. We zouden
dus het proton en neutron kunnen schrijven als zwak isospin doublet.
Vanuit een andere invalshoek weten we dat atoomkernen die iets complexer zijn dan die van waterstof (dat uit één enkel proton bestaat), zoals de kern van een Helium atoom, bestaan uit protonen en
neutronen. We weten ook dat de neutronen in de gebonden toestand van een atoomkern over het
algemeen niet op de elektrozwakke manier uit elkaar vallen in een proton, een elektron en een neutrino (dat gebeurt in sommige instabiele atoomkernen wel, dit heet bèta verval.)
Verder weten we dat in een atoomkern zoals van Helium meerdere protonen en neutronen bij elkaar
blijven in een gebonden toestand, ondanks de elektrostatische afstoting van de protonen. Kennelijk is
er tussen protonen en neutronen een kracht die sterker is dan de elektrische kracht, maar die alleen
invloed heeft op heel kleine afstanden. De hypothese door Yukawa geopperd is de sterke kernkracht
tussen protonen onderling, neutronen onderling en tussen protonen en neutronen wordt overgedragen
door een massief deeltje. Dit boodschapperdeeltje van de sterke kernkracht is ook in kosmische straling gevonden, ongeveer tegelijkertijd met het muon, en wordt pion ( π )genoemd. Het pion komt in
–
0
+
drie ladingen voor π , π en π .
We concluderen dus dat het proton en neutron niet zomaar het zwakke isospin doublet zijn, net zoals
het elektron en elektron-neutrino bijvoorbeeld. Toch laten we het idee van het isospin doublet niet
los en schrijven het proton en neutron als zo’n doublet:
p .
n
(4.1)
Historisch is juist eerste dit isospin doublet opgeschreven door Heisenberg in 1932, ver voordat de
elektrozwakke isospin structuur duidelijk werd. In dit geval hebben we te maken met de isospin
Collegedictaat Hoge Energiefysica
51
structuur van de sterke kernkracht. En in dit geval zijn de ijkbosonen niet de W- en Z-bosonen, maar
de pionen. In Feynmandiagrammen zijn de volgende reacties op te schrijven die het proton en neutron bij elkaar houden:
p
p
p
n
π
π
0
n
n
±
p
n
Aan het proton en neutron kennen we een sterke isospin van 1/2 toe. Als we het proton en neutron als
onderdeel van hetzelfde sterke isospin doublet opvatten kunnen we aan het proton als projectie van
de isospin een +1/2 toekennen en aan het neutron -1/2, net zoals bij gewone spin. Aan de uitgewisselde pionen kunnen we ook een sterk isospin quantumgetal geven, namelijk 1. De drie verschillende
ladingsvarianten van het pion worden dan als projectie van die isospin genomen met als projectie+
0
–
quantumgetallen +1 voor het π , 0 voor het π en -1 voor het π . De eindige dracht van de kracht
door uitwisseling van pionen, die een massa van ongeveer 135 tot 140 MeV hebben kan worden
ingezien door de statische potentiaal te beschouwen van een deeltje dat voldoet aan de Klein-Gordon
vergelijking (zoals de pionen). Als we een tijdonafhankelijke oplossing beschouwen als potentiaal
U ( r ) van een bron op plaats r = 0 dan wordt de Klein-Gordon vergelijking:
1 ∂ 2∂
2
2
∇ U ( r ) = ---2-  r U ( r ) = m U ( r ) ,
r ∂r ∂r
met als oplossing de Yukawa potentiaal:
g –mr
U ( r ) = --- e ,
r
met als typische dracht voor de potentiaal:
1
R = ---- .
m
(4.2)
(4.3)
(4.4)
4.1.1 Clebsch-Gordan coëfficiënten
Het blijkt nu dat we met deze sterke isospin vervalsverhoudingen en relatieve werkzame doorsneden
kunnen bepalen. Dit gaat met behulp van Clebsch-Gordan coëfficiënten. Als we deeltjes met spin (of
isospin) beschouwen kunnen we simultaan de totale spin en de spin projectie in één quantisatie-as
meten. Bijvoorbeeld een fermion kan in twee spin toestanden voorkomen:
|1/2,1/2> en |1/2,-1/2>,
(4.5)
waarbij het eerste quantumgetal de totale spin is en het tweede de projectie in een bepaalde, arbitraire, richting. Als we nu twee deeltjes met een bepaalde totale en projectieve spin samenvoegen in
een golffunctie, bijvoorbeeld als ze een interactie hebben, dan kunnen we toestand ontbinden in
eigentoestanden van de totale spin j en de spinprojectie m als:
52
Collegedictaat Hoge Energiefysica
j 1 + j2
∑
|j 1, m 1 >|j 2, m 2 > =
jj j
1 2
C mm
|j, m> ,
1 m2
(4.6)
j = j1 – j2
waarbij de Clebsch-Gordan coëfficiënten kunnen worden uitgerekend, maar ook opgezocht in tabellen, zoals bijvoorbeeld in het Particle Data Book waaraan de volgende tabel is ontleend.
9
2
3
4
5
4
6
3
7
9
j
8
:
<
1/2×1/2 + 11 1 0
0
0
1
+ 1/2 + 1/2
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2 1
− 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1
=
<
j
:
;
;
;
;
;
;
>
.
*
2×1/2 + 5/2
5/2 5/2 3/2
1 3/2 + 3/2
+ 2 1/2
)
.
*
.
)
1
+ 2 − 1/2
+ 1 + 1/2
3/2
+ 3/2 3/2 1/2
+ 1 + 1/2
1 + 1/2 + 1/2
;
*
,
)
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
-
-
3
+3 3
1 +2
− 1 − 1/2
-
)
.
2
+2
2
+1 +1 1 +1
+ 2 −1 1/15
+ 1 0 8/15
0 + 1 6/15
.
-
1
+1
+ 1 0 1/2 1/2
0 + 1 1/2 − 1/2
.
/
.
0
)
.
2
0
.
1
0
.
2
+1
1
+1
*
.
+ 3/2 − 1/2 1/4 3/4
+ 1/2 + 1/2 3/4 − 1/4
)
)
+
.
-
+
)
)
.
0
0
.
3
0
2
0
.
.
1
0
.
)
.
)
.
+
.
3
−1
+
.
/
+
)
+
-
*
+
3/5 2/5
5/2 3/2
2/5 − 3/5 − 3/2 − 3/2
-
− 1 − 1/2
− 2 + 1/2
*
5/2
4/5
1/5
1/5 − 4/5 − 5/2
)
− 2 − 1/2
2
0
.
.
1
1
0
/
+
− 1/2 − 1/2
− 3/2 + 1/2
)
-
2
−1
+
1
−1
3/4 1/4
2
1/4 − 3/4 − 2
− 3/2 − 1/2
1
1/2
− 1/2
1/6
− 1/3 5/2
3/2
1/2 − 3/2 − 3/2
2/5
5/2
− 1/2 − 1 3/5
− 3/2 0 2/5 − 3/5 − 5/2
*
+
+
0
.
-
*
+
+
.
2
0 − 1 1/2 1/2
− 1 0 1/2 − 1/2 − 2
−1 −1 1
.
+
0 − 1 6/15
1/2 1/10
− 1 0 8/15 − 1/6 − 3/10
3/5
− 2 + 1 1/15 − 1/3
1
−1
)
)
.
+
2
−1
+
)
+
+ 1 − 1 1/5 1/2 3/10
0 − 2/5
0 0 3/5
− 1 + 1 1/5 − 1/2 3/10
.
;
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2
− 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2
3/2
1/2
+ 1/2 + 1/2
2/5
+ 3/2 − 1 1/10
1/2
5/2
3/2
+ 1/2 0 3/5 1/15 − 1/3
1/6 − 1/2
− 1/2
− 1/2 + 1 3/10 − 8/15
−
1
3/10
8/15
+ 1/2
2
1
− 1/2 0 3/5 − 1/15
−1
−1
− 2/5
− 3/2 + 1 1/10
)
+
+
*
+
)
1/3
3/5
1/6 − 3/10
− 1/2 1/10
+ 1 − 1 1/6 1/2 1/3
0 0 2/3
0 − 1/3
− 1 + 1 1/6 − 1/2 1/3
.
C
*
5/2
+ 5/2
5/2
3/2
+ 3/2 + 1
1 + 3/2 + 3/2
5/2
+ 3/2 0 2/5
3/5
+ 1/2 + 1 3/5 − 2/5 + 1/2
3/2×1
+
-
4
5/2 3/2
− 1/2 − 1/2
1
+1
+
1
)
.
)
+
3
+1
)
+
)
)
+ 2 0 1/3 2/3
+ 1 + 1 2/3 −1/3
)
)
1
+
2
+2
+
)
)
2/3 1/3 3/2
1/3 − 2/3 − 3/2
+
+2 +1
7
+
-
2
2
+2
+ 3/2 +1/2 1 + 1
3/2×1/2
+
.
)
2/5 3/5
3/5 − 2/5
*
)
0 − 1/2
− 1 + 1/2
2×1
@
;
;
.
-
)
6
;
;
0 − 1/2
− 1 + 1/2
3/2 1/2
1/3 2/3
2/3 − 1/3 − 1/2 − 1/2
.
1×1
+
+
)
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
B
)
+
)
6
+
1/5 4/5
3/2
5/2
4/5 − 1/5 + 1/2 + 1/2
+
)
A
+
)
)
A
)
.
)
@
?
+
)
1×1/2
>
<
)
)
− 1/2 − 1/2
3
=
<
*
.
+
3
−2
2
−2
− 3/2 − 1
1
− 1 − 1 2/3 1/3 3
− 2 0 1/3 − 2/3 − 3
−2 −1 1
+
.
Clebsch-Gordan coëfficiënten, ontleend aan het Particle Data Book. Uit elke coëfficiënt
moet nog een wortel worden getrokken, waarbij het teken voor de wortel komt te staan, bijvoorbeeld
FIGUUR 4.1.
–1 ⁄ 2 wordt – 1 ⁄ 2 .
Als voorbeeld kunnen we nu de volgende reactie bestuderen:
p+p→d+π
+
0
p+n→d+π .
(4.7)
–
n+n→d+π
De relative verstrooiingamplitude voor deze reacties kunnen we berekenen door aan te nemen dat de
dynamica van de reactie hetzelfde is in alle drie gevallen en dat het verschil zit in de verschillende
sterke isospin toestanden die kunnen worden aangenomen. Het deuteron d heeft sterke isospin 0.
Aan de rechterkant van de reacties (de uitgaande toestanden) hebben we de eigentoestanden van de
sterke isospin met de quantumgetallen:
|0, 0>|1, 1> = |1, 1>
|0, 0>|1, 0> = |1, 0> ,
|0, 0>|1, – 1 > = |1, – 1 >
terwijl aan de rechterkant de projecties op deze eigentoestanden zijn:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(4.8)
53
|1 ⁄ 2, 1 ⁄ 2 >|1 ⁄ 2, 1 ⁄ 2 > = |1, 1>
(4.9)
|1 ⁄ 2, 1 ⁄ 2 >|1 ⁄ 2, – 1 ⁄ 2 > = ( 1 ⁄ 2 ) ( |1, 0> + |0, 0> ) .
|1 ⁄ 2, – 1 ⁄ 2 >|1 ⁄ 2, – 1 ⁄ 2 > = |1, – 1 >
We zien dat in de eerste en laatste reactie de projectie op de eindtoestand volledig is, terwijl voor de
tweede reactie de projectie op de eindtoestand een factor 1 ⁄ 2 geeft voor de amplitude en dus een
factor 1/2 voor de werkzame doorsnede. De verhouding van de werkzame doorsnedes wordt dan dus
gegeven door:
+
0
–
(4.10)
σ ( p + p → d + π ):σ ( p + n → d + π ):σ ( n + n → d + π ) = 2:1:2 .
De verhouding van de eerste twee processen is gemeten en inderdaad is de verhouding van de werkzame doorsnedes ongeveer 2:1.
4.2 Het spectroscopische model van lichte quarks: het strange quark
Behalve protonen, neutronen en pionen waren er in de eerste helft van de zestiger jaren nog een heleboel deeltjes bekend met eigenschappen die vooral leken op die van protonen en neutronen of op die
van pionen. De eerste groep worden baryonen genoemd (de zware deeltjes), de tweede groep de mesonen (de halfzware deeltjes, de lichte deeltjes zijn de leptonen.) De baryonen en mesonen samen
vormen de hadronen.
Al deze deeltjes zijn door Murray Gell-Mann in 1961 gepresenteerd in diagrammen die de verschillende deeltjes groeperen en indelen. Een voorbeeld van zulke diagrammen zijn het baryon octet en
het meson octet:
+
0
K
n
K
p
S=0
S=-1
S=-2
S=1
Σ
0
Σ
Λ
–
Ξ
–
Q=-1
Σ
Ξ
+
S=0
0
S=-1
Q=0
Het baryon octet
Q=+1
π
0
π
η
–
K
–
Q=-1
π
K
+
0
Q=0
Q=+1
Het meson octet
Behalve de lading Q, die constant is langs de diagonale lijnen, is hier ook een quantumgetal
“strangeness” S ingevoerd. Het was al bekend dat de baryonen en mesonen die hier een strangeness
S hebben die ongelijk aan nul is relatief lange levensduur bezitten. Verder was bekend dat deze baryonen en mesonen kennelijk op een andere manier worden geproduceerd (met relatief grote waarschijnlijkheid en dan in paren) dan dat ze vervallen (langzaam en in “gewone” baryonen en mesonen,
zonder strangeness.) Uit deze rangschikking vonden Gell-Mann en Zweig (onafhankelijk) in 1964
dat deze structuren makkelijk te verklaren zijn als de baryonen en mesonen zijn opgebouwd uit kleinere deeltjes die we quarks noemen. Om de bekende deeltjes goed te beschrijven zijn drie soorten
quarks nodig, die we het up-quark, down-quark en strange-quark noemen. Verder blijkt dan dat baryonen groepjes van drie quarks zijn en mesonen groepjes van één quark en één anti-quark. Voor de
baryonen in het bovenstaande octet krijgen we de quark combinaties die in Tabel 4.1 zijn gegeven.
Voor de mesonen is dit in Tabel 4.2 gegeven. Om dit allemaal kloppend te krijgen blijken we in eenheden van elektron- (of proton-) lading fractionele elektrische ladingen voor de quarks nodig te heb-
54
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Baryon
p
n
Σ
+
qqq
uud
udd
uus
Σ
0
uds
0
-1
–
dds
-1
-1
Λ
uds
0
-1
0
uss
0
-2
–
dss
-1
-2
Σ
Ξ
Ξ
TABEL 4.1. Quark
Meson
S
0
0
-1
inhoud van baryonen en hun quantumgetallen.
+
qq
ud
Q
+1
S
0
–
ud
0
0
0
(uu-dd)/ 2
-1
0
(uu+dd-2ss)/ 6
0
0
+
us
+1
+1
–
us
-1
-1
0
ds
0
+1
0
ds
0
-1
π
π
Q
+1
0
+1
π
η
K
K
K
K
TABEL 4.2. Quark
inhoud van mesonen en hun quantumgetallen.
ben. De down- en strange-quarks hebben lading -1/3 en de up-quarks +2/3 in eenheden van protonlading. Verder kennen we aan de up- en down-quarks strangeness 0 toe en aan de strange-quarks
strangeness -1. De quarks hebben spin 1/2.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
55
4.3 Het quantumgetal kleur
De baryonen die we in de vorige sectie zagen hebben allemaal spin 1/2. Uit drie quarks met spin 1/2
kunnen we natuurlijk ook baryonen vormen met spin 3/2. Deze blijken grafisch weer te geven als in
Figuur 4.2.
S=0
S=-1
S=-2
∆
–
∆
0
–
Σ∗
∆
+
0
Σ∗
Ω
S=-3
0
–
Q=-1
FIGUUR 4.2. Decuplet
++
+
Σ∗
Ξ∗
–
Ξ∗
∆
Q=0
Q=+1
Q=+2
van spin 3/2 baryonen.
++
Een van de dingen die hier bij opvallen is het bestaan van het ∆ baryon dat een uuu quark combinatie zou moeten zijn. Maar in dit geval hebben alle drie de u-quarks dezelfde spin toestand. Het
Pauli-principe voor fermionen staat niet toe dat deze drie u quarks in dezelfde quantumtoestand zijn.
De uitweg is dat de drie quarks kennelijk een quantumgetal hebben dat voor alle drie verschillend is.
++
Dit voorstel is gedaan door Greenberg in 1964. De simpelste manier om dit te bereiken voor het ∆
baryon (met drie schijnbaar identieke quarks in dezelfde toestand) is om een quantumgetal te hebben
dat drie verschillende waarden aan kan nemen. Dit quantumgetal noemen we kleur en de kleurtoestanden noemen we rood, groen en blauw. Het woord kleur betekent niets in de klassieke betekenis
van het woord. Maar met de notie van kleur kunnen we wel eenvoudig beschrijven hoe de kleurquantumgetallen verdeeld moeten zijn in baryonen en mesonen. We postuleren nu dat alleen
kleurneutrale, combinaties van quarks voorkomen, namelijk drie quarks bij elkaar met de kleuren
rood, groen en blauw, dit zijn de baryonen, en quark-anti-quark combinaties met rood-anti-rood,
groen-anti-groen en blauw-anti-blauw, dit zijn de mesonen. In dit beeld zijn dit de twee simpelste en
ook de enige twee irreducibele manieren om kleurneutrale objecten te krijgen en dit correspondeert
precies met wat we in de natuur waarnemen.1
Het is verder belangrijk om ons te realiseren dat er nog nooit vrije quarks zijn waargenomen, maar
dat dat volgens dit model ook niet kan.
Verder kunnen we makkelijk inzien dat de kleur quantumgetallen een globale SU(3) symmetrie hebben. Later zullen we die symmetrie gebruiken in een ijktheorie voor de sterke wisselwerking.
1. In feite is de eis voor kleurneutraalheid nog stringenter: alleen kleursinglets komen als stabiele combinaties voor. Voor mesonen
betekent dat dat alleen de combinatie rr+gg+bb voorkomt als kleurneutrale lineaire superpositie van de quark-anti-quark toestand in
stabiele mesonen.
56
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
TUE
6
6
4.4 Diep inelastische elektron-proton verstrooiing
Het bestaan van quarks is direct bevestigd door de verstrooiing van elektronen aan protonen. Als
elektronen met hoge energie op protonen worden geschoten blijkt de verstrooiing niet goed meer te
beschrijven als verstrooiing aan een homogeen object, maar blijkt dat het proton een eindige afmeting heeft en dat er in het proton harde pitjes zitten, die we met quarks kunnen identificeren.
Laten we uitgaan van puntvormige elektronen en een elektromagnetische interactie met het proton.
Voor het proton nemen we niets in het bijzonder aan. Het Feynman diagram voor de elektron-proton
verstrooiing kunnen we dan tekenen als:
p1
p3
Elektron
q
Foton
p4
Proton
p2
pn
We zullen uitgaan van het experiment waarbij het proton in de begintoestand in rust is. Dus:
Mp
p2 =
0 .
0
0
(4.11)
Verder nemen we het elektron massaloos en kiezen de z-as langs de inkomende elektron richting:
E
p1 = 0 .
0
E
(4.12)
Kijken we dan naar het verstrooide elektron dan kunnen we de vierimpuls daarvan uitdrukken in:
p3 =
E'
0
E' sin θ
,
(4.13)
E' cos θ
waarbij θ de verstrooiingshoek is van het uitgaande elektron met betrekking tot de richting van het
inkomende elektron. Verder definiëren we het oplossend vermogen van het foton als:
2
2
Q ≡ – q = 2EE' ( 1 – cos θ ) .
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(4.14)
57
Het spin-gemiddelde matrixelement in het kwadraat voor elastische elektron-proton verstrooiing is
hetzelfde als dat voor de verstrooiing van twee geladen leptonen, zoals we hebben gezien in hoofdstuk 2:
4
e µν
proton
2
⟨ M ⟩ = ----4- L elektron K µν
.
(4.15)
q
Omdat we het elektron als puntvormig aannemen kunnen we de uitdrukking voor de elektron-tensor
zo uit hoofdstuk 2 overschrijven:
µν
µ ν
ν µ
µν
L elektron = 2 ( p 1 p 3 + p 1 p 3 – g ( p 1 ⋅ p 3 ) ) .
(4.16)
Als het proton niet puntvormig is kunnen we toch nog wat zeggen over de structuur van de proton
tensor. Om te beginnen kunnen we de hele reactie karakteriseren als we alleen het uitgaande elektron
meten. We integreren de werkzame doorsnede dus over de de impulsen p 4 tot en met p n . De formule
voor de werkzame doorsnede (de gouden regel van Fermi) luidt in dit geval:
3
3
3
2
d p3
d p4
d pn
⟨M ⟩
4
-----------------------…
----------------------dσ = -------------------------2- ----------------------( 2π ) δ ( p 1 + p 2 – p 3 – p 4 – … – p n ) .
3
3
3
4 ( p 1 ⋅ p 2 ) ( 2π ) 2E 3 ( 2π ) 2E 4 ( 2π ) 2E n
(4.17)
proton
De tensor K µν
hangt nu in het algemeen af van de eindtoestand gedefinieerd door p 4 …p n , maar
deze afhankelijkheid kunnen we absorberen door een herdefinitie van de proton tensor:
proton
W µν
∫ …∫
∑
1
= -------------4πM p
alle eindtoestanden
3
3
d pn
proton d p 4
----------------------K µν -----------------------…
3
3
( 2π ) 2E 4 ( 2π ) 2E n
(4.18)
4
( 2π ) δ ( p 1 + p 2 – p 3 – p 4 – … – p n )
De enige kinematische variabelen, tensoren, waar de proton tensor van af kan hangen zijn de uitµ
ν
gaande impuls van het elektron en de foton impuls. We nemen dus p 2 en q als onafhankelijke kiproton
nematische grootheden. We kunnen nu de tweede rangs tensor W µν
schrijven als:
µν
W proton
= – W1 g
µν
µ ν
µναβ
p2 p2
iε
qα qβ
---------------------------+
W
+ W 2 ---------+
3
2
2
Mp
2M p
µ ν
in de meest algemene vorm
ν µ
.
µ ν
(4.19)
ν µ
µ ν
( p2 q + p2 q )
i ( p 2 q –p 2 q )
q q
--------------------------------W 4 ---------W
W
+
+
5
6 --------------------------------2
2
2
Mp
Mp
2M p
µναβ
De tensor ε
is de volledig anti-symmetrische tensor, dat wil zeggen dat de waarde nul is als
twee van de indices gelijk zijn, de waarde een is als de indices een even permutatie vormen van 0123,
en min een als de permutatie oneven is. In het geval van een puur elektromagnetische reactie kan
men laten zien dat de factoren die W 3 en W 6 vermenigvuldigen nul zijn en dat deze termen wegvallen (de kinematische factoren schenden pariteitsbehoud en omdat we weten dat de elektromagnetische interactie pariteit wel behoudt vertrekken deze termen.) Verder kunnen we laten zien dat
moet gelden:
58
Collegedictaat Hoge Energiefysica
µ
proton
q W µν
= 0,
(4.20)
waaruit volgt dat:
2
Mp
 q ⋅ p 2
W 4 = ------2- W 1 +  ----------- W2
 q2 
q
en
 q ⋅ p 2
W 5 = –  ----------- W2 .
 q2 
(4.21)
Dus de proton tensor vereenvoudigt tot een uitdrukking met twee onbekende grootheden (die nog
wel van de vrije kinematische variabelen af kunnen hangen):
 µν q µ q ν W 2  µ  q ⋅ p 2 µ  ν  q ⋅ p 2 ν
µν
W proton = W 1  – g + ---------- + ------2-  p 2 –  -----------q  .
 q   p 2 –  -----------2
2
2


 






q
q
M
q
p
(4.22)
Contraheren we deze uitdrukking met die van de lepton tensor en gebruiken we de definitie van de
kinematica in het rust-systeem van het proton met het inkomend elektron langs de z-as dan krijgen
we voor het spin-gemiddelde matrixelement in het kwadraat:
2
α
2
2
dσ
- ( 2W 1 sin ( θ ⁄ 2 ) + W 2 cos ( θ ⁄ 2 ) ) .
(4.23)
---------------- = -----------------------------------2
4
dE'dΩ
4E sin ( θ ⁄ 2 )
De functies W 1 en W 2 heten de structuurfuncties van het proton en zijn afhankelijk van twee onafhankelijke kinematische grootheden in de reactie. Experimenteel kunnen we daarvoor het best de
energie van het uitgaande elektron E' en de verstrooiingshoek van het uitgaande elektron met betrekking tot het ingaande elektron θ kiezen. Theoretisch blijkt een goede keuze de virtualiteit, of het
2
oplossend vermogen, van het foton, Q , en een variabele die Bjorken-x heet:
2
q
x = – --------------------- ,
2( q ⋅ p2 )
(4.24)
en waarvan we in het volgende laten zien dat die een directe fysische betekenis heeft.
Een andere variabele die men vaak tegenkomt in diep inelastische verstrooiing van leptonen aan
hadronen is
q ⋅ p2
y = --------------- ,
p 1 ⋅ p2
(4.25)
die geïnterpreteerd kan worden als de fractie van de energie die het lepton aan het uitgewisselde
2
foton overdraagt (in Lorentz-invariante notatie). Van de variabelen Q , x en y zijn er maar twee
onafhankelijk te kiezen. Tussen de variabelen geldt de relatie (als we het electron en proton massaloos nemen):
2
(4.26)
Q = sxy ,
waarin s de zwaartepuntsenergie van het electron-proton systeem is.
In de limiet dat het proton wordt gezien als een object en de elektron-proton verstrooiing elastisch is
kunnen we de werkzame doorsnede simpelweg krijgen door te nemen:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
59
Dubbele differentiële werkzame doorsnede voor 4.9 GeV elektronen verstrooid aan
waterstof en gemeten bij een hoek van 10° in a laboratorium systeem uitgezet tegen de energie van
het verstrooide elektron, E' , in GeV. De tweede schaal, W , geeft de invariante massa van het niet
gedetecteerde hadron systeem.
FIGUUR 4.3.
2
K1 ( Q )
1
W 1 ( Q , x ) = – -----------------2- δ ( x – 1 ) = ----------δ ( x – 1 )
2M p
2M p q
2
2
K2 ( Q )
M
2
W 2 ( Q , x ) = – -----------------2- δ ( x – 1 ) = – ------2p- δ ( x – 1 )
2M p q
q
.
(4.27)
Uit experimenten met hoge energie elektronen blijkt dat de proton structuurfuncties niet deze triviale
structuur hebben. In Figuur 4.3 zien we de dubbele differentiële werkzame doorsnede voor elektronproton verstrooiing als funktie van de energie van het uitgaande elektron, gemeten bij een vaste hoek
van 10° met betrekking tot de inkomende elektron richting in het rustsysteem van het getroffen proton. Deze meting is uit Bartel et al. gepubliceerd in 1968. Behalve de elastische verstrooiingpiek is
er bij lagere energieën van het uitgaande elektron, en dus hogere uitgewisselde impuls met het proton, structuur te zien die niet te verklaren is als het proton een puntdeeltje is.Dubbele differentiële
werkzame doorsnede voor 4.9 GeV elektronen verstrooid aan waterstof en gemeten bij een hoek van
60
Collegedictaat Hoge Energiefysica
10° in a laboratorium systeem uitgezet tegen de energie van het verstrooide elektron, E' , in GeV. De
tweede schaal, W , geeft de invariante massa van het niet gedetecteerde hadron systeem.
Op grond van de aanname dat het proton is opgebouwd uit een aantal puntdeeltjes, heeft Bjorken de
2
voorspelling gedaan dat de structuurfuncties voor voldoende grote waarden van Q onafhankelijk
2
worden van die Q en alleen nog van x afhangen. Op grond hiervan zijn de structuurfuncties F1 en
F2 ingevoerd:
F1 ( x ) =
lim
Q → ∞ ; x constant
2
2
( M p W 1 ( Q ,x ) )
(4.28)
p2 ⋅ q
2
 ------------W
lim
(
Q
,x )
F2 ( x ) =
2

2
M
p
Q → ∞ ; x constant
De werkzame doorsnede wordt dan:
2
2


 Mp 
α
2
2
dσ
-----------+
F
(
x
)cos
(
θ
⁄
2
)
2F
(
x
)sin
(
θ
⁄
2
)
---------------- = -------------------------------------------
.


2
1
2
4
dE'dΩ

 p 2 ⋅ q
4M p E sin ( θ ⁄ 2 ) 
(4.29)
Met de kennis van het spectroscopisch model van het proton in termen van quarks kunnen we kijken
of de aanname dat het proton uit quarks bestaat de metingen wel goed beschrijft.
We zien de elektron-proton verstrooiing nu als volgt:
p1
p3
Elektron
q
Foton
hadronische
eindtoestand
Proton
p4
p2
Het elektron verstrooid aan een quark in het proton door uitwisseling van een foton en het geraakte
quark en de quarks die niet zijn geraakt door het foton (de spektator quarks) vormen samen een
hadronische eindtoestand die we verder niet in detail zullen bekijken.
Het spin-gemiddelde matrixelement voor verstrooiing van een elektron aan een quark, een puntdeeltje met spin 1/2 en gegeven lading C q is te schrijven als:
2 4
C q e µν
⟨ M ⟩ = -----------L
(4.30)
elektron Q µν .
4
q
De elektron tensor is weer als voorheen. De quark tensor is nu analoog aan de elektron tensor,
behalve dat we voor de impuls van het quark een fractie x nemen van de impuls van het proton in de
begintoestand. We nemen aan dat het quark in de eindtoestand een grote impuls heeft meegekregen
2
Collegedictaat Hoge Energiefysica
61
van het foton en dat in de eindtoestand de massa van het quark dus verwaarloosbaar is. Die massa is
gegeven door:
2
( xp2 + q ) = 0 .
(4.31)
We nemen ook aan dat de massa van het quark in de begintoestand nul is:
2 2
2
( xp 2 ) = x p 2 = 0
(4.32)
en vinden aldus:
2
–q
x = --------------------- ,
2 ( q ⋅ p2 )
(4.33)
precies dezelfde uitdrukking als in (4.24) en we concluderen dus dat we deze x als de impulsfractie
van het quark in het proton mogen interpreteren. De quark tensor wordt nu gegeven door:
Q
µν
µ ν
ν µ
µν
= 2x ( p 2 p 4 + p 2 p 4 – g ( p 2 ⋅ p 4 ) ) ,
(4.34)
waarbij de notatie zo is dat p 2 de impuls van het proton in de begintoestand is en p4 de impuls van
het verstrooide quark in de eindtoestand. Om nu de hele werkzame doorsnede te krijgen voor de
elektron-proton verstrooiing moeten we sommeren over alle quarks in het proton en integreren over
alle mogelijke impulsfracties die de quarks van het proton kunnen hebben maal de waarschijnlijkheid dat het quark die impulsfractie heeft.
De werkzame doorsnede wordt dan:
2

α
dσ
---------------- = -----------------------------------
2
4
dE'dΩ
4E sin ( θ ⁄ 2 ) 
∑
1 2
2
------- C i q i ( x ) sin ( θ ⁄ 2 ) +
Mp
∑
i
i
Mp 2

2
------------C i xq i ( x ) cos ( θ ⁄ 2 ) .
p2 ⋅ q

(4.35)
Hieruit kunnen we structuur functies afleiden als functie van de impuls verdelingsfuncties van de
quarks in het proton:
F1 ( x ) =
∑
2
Ci qi ( x )
-----------------2
i
F2 ( x ) =
∑
.
(4.36)
2
C i xq i ( x )
i
waarbij q i ( x ) de dichtheidsverdeling als functie van de impulsfractie van het proton is voor quark
soort i . We zien nu onmiddellijk twee dingen. Ten eerste zijn F 1 en F 2 gerelateerd door:
F 2 ( x ) = 2xF 1 ( x ) .
(4.37)
Dit is de Callan-Gross relatie. Deze relatie vertelt ons dat de spin van de partonen (quarks) waaraan
wordt verstroot 1 ⁄ 2 is. Verder concluderen we dat de structuurfuncties F 1 en F 2 inderdaad niet
2
van Q afhankelijk zijn. Dit gedrag heet Bjorken schaling en lijkt in eerste instantie experimenteel
aardig te kloppen. Echter, we zijn wat te snel met deze conclusie en het blijkt dat bij hogere energieën Bjorken schaling niet meer precies klopt.
Afgaande op het spectroscopisch quark model van het proton kunnen we nu schrijven dat:
62
Collegedictaat Hoge Energiefysica
1
4
F 1 ( x ) = ------ u ( x ) + ------ d ( x )
18
18
.
1
4
xF 2 ( x ) = --- xu ( x ) + --- xd ( x )
9
9
(4.38)
Nu blijkt dit, met name voor kleine waarden van x , niet met metingen overeen te komen. Als we nu
de uitdrukkingen generaliseren tot:
1
1
4
F 1 ( x ) = ------ ( u ( x ) + u ( x ) ) + ------ ( d ( x ) + d ( x ) ) + ------ ( s ( x ) + s ( x ) )
18
18
18
(4.39)
4
1
1
F 2 ( x ) = --- x ( u ( x ) + u ( x ) ) + --- x ( d ( x ) + d ( x ) ) + --- x ( s ( x ) + s ( x ) )
9
9
9
kunnen we de metingen wel beschrijven (maar dat is ook niet zo verwonderlijk met al die vrijheidsgraden die we dan hebben.) Bij nader onderzoek blijkt het meenemen van de aanwezigheid van antiquarks en ook van strange quarks van belang. We komen hier later op terug.
KUN
7
4.5 De sterke wisselwerking als SU(3) ijktheorie
Nu we overtuigd zijn geraakt van het bestaan van quarks en het feit dat hadronen uit quarks zijn
opgebouwd wordt het tijd om naar de sterke kracht te kijken die zorgt dat de quarks in hadronen
gebonden blijven. Het uitgangspunt is dat de wereld niet verandert als we globaal roteren in de
ruimte van het kleur quantumgetal. Omdat kleur drie varianten kent, kunnen we rotaties in die ruimte
beschrijven met de complexe 3x3 matrices van de SU(3) groep (unitaire 3x3 matrices met determinant 1). De bewegingsvergelijking, in dit geval de Dirac vergelijking, geldt voor alle drie kleuren.
We kunnen die eenvoudig noteren als:
( i ∂/ – m )ψ = 0
door de drievector voor kleur in te voeren:
(4.40)
ψr
ψ = ψg
en
ψ = ψr ψg ψb .
(4.41)
ψb
De wereld is nu invariant onder de transformatie gegeven door:
ψ → Uψ
ψ → ψU†
(4.42)
met H† = H een 3x3 hermitische matrix. Deze Hermitische 3x3 matrix kan worden geschreven als
negen gehele getallen die als coëfficiënten fungeren van een basis van de groep SU(3):
H = a ⋅ λ,
(4.43)
waarbij a een vector van acht getallen is en λ een vector van acht matrices. Vaak worden hier de
Gell-Mann matrices voor genomen:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
63
010
λ1 = 1 0 0
0 00
0 –i 0
λ2 = i 0 0
0 0 0
1 0 0
λ3 = 0 –1 0
0 0 0
0 0 1
λ4 = 0 0 0
1 0 0
0 0 –i
λ5 = 0 0 0
i 0 0
0 0 0
λ6 = 0 0 1 .
0 1 0
(4.44)
1 0 0
1
λ 8 = ------- 0 1 0
2
0 0 –2
0 0 0
λ7 = 0 0 –i
0 i 0
De transformatie matrix kan dus worden geschreven als:
a⋅λ
U = e
.
De groep SU(3) is niet Abels en de Gell-Mann matrices commuteren in het algemeen niet:
[ λ a ,λ b ] = 2if abc λ c ,
(4.45)
(4.46)
waarbij de structuurconstanten van de groep worden gegeven door:
f abc = 0
als a=b of a=c of b=c
f 123 = 1
en alle even permutaties van indices
f 213 = – 1
en alle even permutaties van indices
f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = 1 ⁄ 2
f 417 = f 426 = f 527 = f 435 = f 156 = f 367 = – 1 ⁄ 2
en alle even permutaties van indices (4.47)
en alle even permutaties van indices
3⁄2
en alle even permutaties van indices
f 548 = f 768 = – 3 ⁄ 2
en alle even permutaties van indices
f 458 = f 678 =
Beschouwen we verder alleen de SU(3) transformaties dan houden we de Dirac vergelijking invariant onder deze transformatie, ook als die op elke plaats in de ruimte anders is, als we de gewone
afgeleiden vervangen door de covariante afgeleiden:
gs
D µ ≡ ∂ µ – i ---- ( λ ⋅ G ) .
2
(4.48)
We hebben nu acht nieuwe velden G ingevoerd. De deeltjes die bij deze velden horen heten gluonen.
We moeten nu natuurlijk ook de bewegingsvergelijkingen van de gluonen opschrijven. Gluonen zijn
massaloze vectorbosonen, en we zouden kunnen denken dat ze ieder dezelfde bewegingsvergelijking
volgen als die voor het foton. Maar de zaak ligt wat gecompliceerder, omdat de gluonen zelf ook een
kleurlading hebben en dus onderling ook interacties hebben. In de theorie komt dat tot uitdrukking in
het feit dat in de definitie van de veldtensor een extra bilineaire term voorkomt van de gluon velden:
F
µν
µ
ν
ν
µ
µ
ν
= ∂ G – ∂ G – g s f abc G b G c ,
(4.49)
waarin de structuurconstanten van SU(3), f abc ,zijn zoals boven gedefinieerd.
De acht bewegingsvergelijkingen, de equivalenten van de Maxwell vergelijking voor het elektromagnetisch veld, worden dan in het geval zonder externe ladingen:
64
Collegedictaat Hoge Energiefysica
∂ νF
µν
= 0
(4.50)
en geven ook aanleiding tot een storingsterm (interactieterm) in de bewegingsvergelijking. De Feynmanregels die voor de vertices kunnen worden afgeleid voor Quantum Chromo Dynamica (QCD),
de theorie van de sterke wisselwerking, zijn:
– ig s µ a
de qgq koppeling krijgt een factor ---------- γ λ ,
2
de ggg koppeling krijgt een factor – g s f
abc
(4.51)
( gµν ( q 1 – q 2 ) λ + g νλ ( q 1 – q 3 ) µ + g λµ ( q 3 – q 1 ) ν ) , (4.52)
2
de gggg koppeling krijgt een factor – igs ( f
f
abe cde
f
( g µλ g νρ – g µρ g νλ ) +
ade cbe
( g µν g λρ – gµλ g νρ ) +
f
.
(4.53)
ace bde
f f ( g µρ g νλ – gµν g λρ ) )
In de praktijk zijn er vaak meerdere mogelijkheden om kleur te combineren en komt het er op neer
dat vertices waarbij gluonen betrokken zijn een kleurfactor krijgen (die afhankelijk is van de situatie)
en zich verder gedragen alsof er een koppeling met een foton is. De koppelingsconstante van de
sterke wisselwerking wordt gegeven door:
2
NNLO
Lattice
Theory
Data
NLO
α s (Q)
g
(4.54)
α s = -----s- .
4π
Het blijkt nu dat deze sterke koppelingsconstante relatief grote waarden aanneemt. Bij lage energieën is α s bijna 1 en bij energieën in de buurt van de massa van het Z boson is α s = 0.12 . Dit is
geïllustreerd in het volgende Figuur 4.4.
Deep Inelastic Scattering
_
e+e Annihilation
Hadron Collisions
Heavy Quarkonia
0.4


0.3
QCD
î
(5)
Λ ___
MS
350 MeV
250 MeV
150 MeV
100 MeV
α s (Μ Z)
0.128
0.121
0.112
0.106
0.2
0.1
a)
1
10
FIGUUR 4.4.
Q =
b)
Q [GeV]
100
1
10
Q [GeV]
100
De sterke koppelingsconstante, α s ( Q ) , zoals gemeten bij verschillende energieën,
2
Q . De variabele Λ wordt de renormalisatie parameter genoemd en elke waarde van Λ is
2
equivalent met een keuze van α s voor één bepaalde waarde van Q . In figuur a) is de status van
voor 1995 weergegeven, in b) de status van zomer 1995. Inmiddels zijn de metingen nog een beetje
verbeterd (in de zin van kleinere onzekerheden). Deze figuur is gehaald uit S. Bethke, “Status of α s
Measurements”, preprint PITHA 95/14 (June 16, 1995).
Collegedictaat Hoge Energiefysica
65
We doen dus twee schokkende ontdekkingen: 1) storingsreeksontwikkeling werkt niet echt in QCD bij
lage energie; 2) de kopplingsconstante is geen constante, maar hangt van de energie af.
Deze twee feiten hebben verstrekkende gevolgen voor hoe wij tegen de sterke wisselwerking aankijken.
4.6 Scaling violation en energieafhankelijk van de sterke koppeling
In het formalisme dat we hebben afgeleid voor diep inelastische verstrooiing en structuurfuncties en
quark verdelingsfuncties in het proton zagen we dat die alleen van de impulsfractie van het quark in
het proton, x , afhing. Dit is echter alleen zo op het laagste niveau van de storingsrekening. Als we
meer termen in de storingsreeks beschouwen krijgen we ook stukken met interacties tussen de
quarks and gluonen onderling. In deze stukken speelt de sterke koppelingsconstante α s een rol. We
zagen al dat experimenteel α s afhangt van de energieschaal waarop we kijken. Om dit te begrijpen
kijken we eerst naar een typische QCD verstrooiing tussen twee quarks. In laagste orde hoort hier het
volgende Feynmandiagram bij:
Hogere orde correcties op dit diagram zijn bijvoorbeeld die diagrammen waarbij het gluon tijdelijk
in een fermionpaar splitst:
Deze zijn met enige moeite uit te rekenen. (Een van de moeilijkheden die we daarbij tegenkomen is
een integraal die divergeert voor de gevallen waarin de deeltjes in de lus een grote impuls hebben.)
Voor het linkse diagram krijgen we, na het volgen van een renormalisatieprocedure die we hier niet
verder uitleggen, een antwoord dat de vorm aanneemt die we ook kunnen krijgen door in het laagste
orde diagram de koppelingsconstante te vervangen door:
α s ( 0 )  Q 2 

α s → α s ( Q ) = α s ( 0 )  1 + ------------- log  -----2-  .
6π

 m 
2
(4.55)
We kunnen ook in fysische termen aanvoelen wat hier gebeurt. De hogere orde diagrammen hebben
bubbels van geladen deeltjes die tussen de twee deeltjes zitten die aan elkaar verstrooien. De bubbels
geven aanleiding tot wat vacuümpolarisatie wordt genoemd. Door polarisatie van de ruimte tussen
de deeltjes wordt een gedeelte van de lading die die bezitten afgeschermd. De effectieve lading is dus
anders dan de “kale” lading van die deeltjes. De mate van vacuumpolarisatie hangt af van de
2
2
Q = – q van het uitgewisselde gluon. We kunnen ons nu ook voorstellen dat er meerdere bubbels
in de gluonpropagator kunnen worden gevormd. Het blijkt dat al deze diagrammen een macht zijn
van dezelfde uitdrukking zoals in:
66
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
3
1
1 + x + x + x + … = ----------1–x
en inderdaad sommeren deze diagrammen tot:
(4.56)
αs ( 0 )
2
αs ( Q ) = ------------------------------------------------------------------------------.
2
2
1 – ( ( αs ( 0 ) ⁄ ( 6π ) ) log ( Q ⁄ m ) )
(4.57)
We hebben nog een paar soorten hogere orde diagrammen die we moeten meenemen in deze
beschouwing:
En natuurlijk moeten we ook alle mogelijkheden voor kleur en soort van de quarks en gluonen
beschouwen. Het blijkt nu dat de gluondiagrammen een tegengesteld effect geven van de quark diagrammen: de lading wordt versterkt ! Verder kunnen we doordat we confinement hebben niet de
2
koppelingsconstante weten bij Q = 0 , daarom drukken we alles uit ten opzichte van een energie2
2
schaal Q = µ . Als dit alles netjes wordt gedaan krijgen we als eerste orde correcties op de effectieve sterke koppelingsconstante:
2
αs ( µ )
α s ( Q ) = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,
2
2
2
1 + ( ( α s ( µ ) ⁄ ( 12π ) ) ( 11n c – 2nf ) log ( Q ⁄ µ ) )
2
(4.58)
waarbij n c = 3 het aantal kleuren is in QCD en nf het aantal verschillende soorten quarks, zoals up,
down, en strange quarks. We zien dat in theorieën met 11n c > 2n f de koppelingsconstante afneemt
2
bij hogere waarden van Q . Dit heet asymptotische vrijheid. Dit gedrag van de koppelingsconstante
wordt “running” genoemd. Uit de formule zien we dat het effect van de energieschaal op de kop2
pelingsconstante als de logarithme gaat. In Figuur 4.4 staan de metingen van α s ( Q ) voor verschil2
lende waarden van Q uitgezet. De doorgetrokken lijnen zijn voorspellingen op grond van hogere
orde QCD berekeningen.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
67
De verandering van de effectieve koppelingsconstante kunnen we ook fysisch begrijpen door een
deeltje in rust te bestuderen. Een electrisch geladen deeltje zendt voortdurend fotonen uit die vervolgens weer op het deeltje “terugvallen”. Dit genereert een fotonwolk om het geladen deeltje heen. De
fotonen in die wolk kunnen in electron-positron paren splitsen en die zullen zich zo rond het geladen
deeltje formeren (polariseren) dat de lading van het electrisch geladen deeltje dat we beschouwen
wordt afgeschermd. Als we nu op grote afstand kijken naar het geladen deeltje zien we de hele fotonwolk die erom heen zit en dus het volledige effect van de afscherming. Als we dichterbij komen zien
we maar een gedeelte van de fotonwolk en dus maar een gedeelte van de afscherming van het electrisch veld van het geladen deeltje. De effectieve lading die we zien neemt dus toe als de afstand tot
het deeltje kleiner wordt.
Voor deeltjes met kleurlading geldt bovenstaand verhaal in iets andere vorm. Rond een kleurgeladen
deeltje bevindt zich een virtuele gluonwolk die zich in quark-anti-quark paren splitst voor een
gedeelte van de tijd. Er is nu hetzelfde afschermende effect door polarisatie van deze kleurladingen
als in het geval van electrische lading. Maar daarbovenop nemen de gluonen een gedeelte van de
kleurlading van het deeltje waar ze omheen zwermen meen. Als we dichterbij komen valt dan dus
een gedeelte van de kleurlading buiten ons gezichtsveld. Het blijkt dat dit effect sterker is dan die
van de vacuumpolarisatie. Het gevolg is dat de kleurlading die we zien als we dichterbij een kleurgeladen deeltje komen afneemt, en dus de kleurkoppelingsconstante afneemt.
In bovenstaande kunnen we voor kleine afstanden ook grote impuls of energie lezen.
Voor de zwakke wisselwerking (zwakke isospinlading) geldt hetzelfde als voor QCD (kleurlading),
met dien verstande dat de koppelingsconstante tussen de zwakke ijkbosonen niet zo groot is, zodat
het effect van de lading die in de ijkbosonwolk om het deeltje heen zit het nog maar net wint van de
vacuumspolarisatie bijdrage, zodat het netto effect is dat de zwakke koppelingsconstante vrijwel
constant is als functie van de energie (of afstand) waarbij die wordt beschouwd.
We zagen hierboven ook dat de storingsreeks in QCD niet altijd werkt, omdat de koppelingsconstante zo groot is. Laten we dus eens kijken wat er met de quarkverdelingen gebeurt als we meenemen dat quarks gluonen kunnen afstralen, dat gluonen weer in quark paren kunnen splitsen en dat
gluonen op hun beurt ook weer gluonen en zelfs twee gluonen per keer kunnen afstralen. Altarelli en
Parisi hebben voor het eerst een stelsel vergelijking opgeschreven dat het effect van deze opsplitsingen op de quarkverdelingfuncties beschrijft:
αs ( τ )
dq ( x, τ ) = ------------2π
1
∫0 -----y-  q ( y, τ )Pq ← q  -y- + G ( y, τ )Pq ← g  -y-  dτ
αs ( τ )
dG ( x, τ ) = ------------2π
x
x
dy
1
.
(4.59)
∫0 -----y- ( q ( y, τ ) + q ( y, τ ) )Pg ← q  -y- dτ
dy
x
Hier duikt ook een nieuwe verdeling op, namelijk die van de gluonen in het proton G ( x, τ ) en de
dichtheden van de quarks en de gluonen zijn via deze vergelijkingen gekoppeld. Doordat in deze
2
vergelijkingen α s afhangt van Q , waarbij we voor het gemak de logarithmische afhankelijk van
2
2
2
Q hebben gebruikt door de variabele τ = log ( Q ⁄ µ ) te gebruiken, hangen ook de quark en
2
gluondichtheden af van Q . Het andere essentiële ingrediënt in deze vergelijkingen zijn de
zogenaamde “splitting functions” P q ← q ( z ) , Pq ← g ( z ) en P g ← q ( z ) , die de waarschijnlijkheid
geven om een quark of gluon te geven met een impulsfractie z van het oorspronkelijke quark of
gluon, voor de combinaties quark geeft quark, gluon geeft quark en quark geeft gluon, respectieve2
lijk. Voor hoge waarden van Q zijn deze splitting functions uit te rekenen in perturbatieve QCD
68
Collegedictaat Hoge Energiefysica
(dus met QCD als storingsreeks in α s ). In feite worden de Altarelli-Parisi vergelijkingen gebruikt
om gegeven de metingen van quarkverdelingsfuncties de waarde van α s op te lossen bij verschil2
2
2
lende Q . Doordat de quarkverdelingen van Q afhangen doen de structuurfuncties F 1 ( x, Q ) en
2
2
F2 ( x, Q ) dat natuurlijk ook. De afhankelijkheid van de structuurfuncties van Q wordt “scaling
violation” genoemd, een afwijking van de energieschaalonafhankelijkheid die door Bjorken was
2
gepostuleerd. In Figuur 4.5 staan recente metingen van structuurfuncties als functie van x en Q .
8
4.7 Confinement, asymptotische vrijheid, jets en hadronisatie
De sterke wisselwerking tussen quarks geeft aanleiding tot wat we noemen “confinement” (opgeslotenheid) van quarks in hadronen. Het idee is dat vrije quarks zulke sterke onderlinge interactie hebben en dat die interactie sterker wordt naarmate de afstand toeneemt, dat quarks die bij elkaar in de
buurt zijn snel en krachtig naar elkaar toe worden getrokken. Deze kracht die toeneemt met de
afstand wordt niet direct door het gluonveld veroorzaakt (het gluon is massaloos, heeft dracht
oneindig, maar een afvallende potentiaal van 1 ⁄ r , net als het foton.) Het is de sterkte van de koppelingsconstante die maakt dat gluonen elkaar ook sterk aantrekken en dat het veld tussen twee
tegengesteld kleurgeladen quarks een heel aparte vorm aanneemt. Dit is geïllustreerd in Figuur 4.6.
o
]
L
D
E
F
G
F
F
F
F
H
X
D
E
F
G
F
”
•
”
•
”
•
˜
I
F
F
F
Y
Z
[
Z
\
J
M
L
D
E
F
G
F
F
F
F
K
N
D
L
E
F
G
F
F
F
L
O
P
—
Q
H
I
D
E
F
D
E
G
F
F
F
I
O
R
R
J
F
G
F
F
F
H
–
I
S
T
U
p
D
E
F
G
F
F
F
q
r
s
t
u
u
v
w
x
y
z
{
|
q
p
q
r
s
t
r
s
t
u
}
v
w
x
y
z
{
|
s
v
w
x
y
z
{
|
q
p
q
r
s
t
~
s
v
w
x
y
z
{
|
r
s
t
€
s
v
w
x
y
z
{
|
q
J
V
U
W
T
Q
”
L
F
D
E
F
D
G
E
F
F
F
F
D
G
K
F
E
F
L
”
•
”
•
”
•
”
•
™
H
F
G
F
F
˜
I
—
d
K
`
a
D
E
F
G
F
F
H
I
e
–
+
KUN
p
r
q
s
t
~
}
v
w
x
y
z
{
|
p
q
q

p
q
q
q
d
ƒ
ˆ
‡
D
E
F
G
F
F
J
_
c
”
„
‚
…
D
`
a
E
F
G
F
F
†
”
•
”
•
š
ƒ
K
b
R
^
_
‰
Š
‰
Š
‹
‘
D
E
F
G
F
L
F
G


“
Ž

H
”
E

Œ
’
§
D
Œ
‹
™
F
¨
Š
•
—

©

ª
Ž
I
]
p
D
E
F
G
F
H
q
r
s
t
}
t
}
s
v
w
v
w
x
y
x
y
z
{
|
q
p
q
r
s
t


t
s
}
v
w
x
y
w
x
y
z
{
|
q
I
”
D
E
F
D
G
E
F
J
F
G
F
K
–
I
D
E
D
F
G
E
L
H
F
G
I
”
D
E
F
G
H
•
›
I
p
r
q
u
s
z
{
|
p
q
r
q
s
v
z
{
|
p
q
r
q

t
}
s
v
w
x
y
z
{
|
q
F
”
F
G
L
L
L
F
L
F
F
L
F
F
F
L
F
F
F
F
¤
f
g
h
i
j
k
l
m
n
¥
ž
¦
œ

ž
Ÿ
œ

ž
œ

ž
¡
œ

ž
¢
œ

ž
Ÿ
œ

ž
œ

ž
¡
œ

ž
¢
œ

ž
Ÿ
œ

ž
œ

ž
¡
œ

ž
¢
g
£
FIGUUR 4.5.
Structuurfunctie metingen van diverse experimenten. Duidelijk is de afhankelijkheid van
2
Q te zien. Deze figuur komt uit D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1,
http://www-pdg.lbl.gov/.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
69
.
V(r)
V(r)
r
r
FIGUUR 4.6. Links
de veldlijnen in een elektromagnetisch (foton) veld, rechts de veldlijnen in een sterke
wisselwerkings- (gluon-) veld. De bijbehorende potentiaal als functie van de afstand is ook geschetst
voor de electromagnetische en sterke wisselwerking.
Door de onderlinge (sterke) wisselwerking tussen gluonen vormen ze een nauwe buis (flux tube)
waarin al het veld is geconcentreerd. Als deze buis verder wordt uitgerekt door de kleurladingen van
elkaar af te bewegen, neemt de totale hoeveelheid energie in de buis toe. Omdat de natuur altijd
streeft naar een zo laag mogelijke totale energie ondervinden de quarks nu een kracht naar elkaar toe.
Die kracht blijft constant als de afstand tussen de quarks groter wordt. De hoeveelheid (potentiële)
energie tussen de quarks neemt lineair toe met de afstand.
Alleen groepjes die in totaal kleurneutraal zijn zijn stabiel, dus bijvoorbeeld groepjes van drie quarks
die elk, rood, groen en blauw zijn, of groepjes van quark-anti-quark (kleur-anti-kleur). Dit verklaart
waarom we de klasse van de baryonen hebben en van de mesonen.
Deze bewering kunnen we preciezer maken door te kijken naar de QCD interactie tussen een quark
en een anti-quark, bijvoorbeeld u + d → u + d :
p 3 ,c 3
p 1 ,c 1
p 4 ,c 4
p 2 ,c 2
Het matrix element voor dit diagram verschilt niet van dat voor een electromagnetische verstrooiing,
behalve dat de koppelingsconstantent anders zijn. In plaats van de fijnstructuurconstante α is dat
hier de sterke koppelingsconstante α s en een kleurfactor:
1
a
a
f = --- ( c 3† λ c 1 ) ( c 2† λ c 4 ) .
4
(4.60)
Dus de potentiaal die de qq interactie in het perturbatieve regime (op korte afstand r ) beschrijft is
de Coulomb potentiaal, maar met de extra kleurfactor:
αs
(4.61)
V qq ( r ) = – f ----- .
r
voor kleur-octetten, dat wil zeggen, als de anti-kleur van het inkomend quark niet gelijk is aan de
(anti-)kleur van het inkomend anti-quark krijgen we f = – 1 ⁄ 6 . Als voorbeeld laten we dat zien
voor:
70
Collegedictaat Hoge Energiefysica
1
c1 = c3 = 0
0
0
c2 = c4 = 1 ,
0
(4.62)
waarvoor de kleurfactor wordt:

0 
1  
1 a a
1 3 3
1
a
8 8
a
f = ---  1 0 0 λ 0   0 1 0 λ 1  = --- λ 11 λ 22 = --- ( λ 11 λ 22 + λ 11 λ 22 )
4
4
4


.
0
0 

(4.63)
1
1
1
1
= ---  1 × ( – 1 ) + ------- × ------- = – --4
6
3
3
In de kleursinglet toestand ( 1 ⁄ 3 ) ( rr + gg + bb ) is de kleurfactor een som van negen bijdragen die
compact als sommatie over λ matrix elementen kan worden geschreven:
1 1 1 a a
4
f = --- ------- ------- ( λ ij λ ji ) = --- .
4 3 3
3
(4.64)
We concluderen dus dat de potentiaal op kleine afstand wordt gegeven door:
4 αs
(4.65)
V qq ( r ) = – --- ----voor kleur singlets ,
3r
1 αs
voor kleur octetten .
V qq ( r ) = + --- ----(4.66)
6r
Dus voor kleursinglets is de kracht aantrekkend en voor kleuroctettent is de kracht afstotend.
Op hele korte afstanden doet het effect van de nauwe buis waarin al het veld is geconcentreerd niet
meer ter zake. Dit is te testen door met verschillende energieën naar het proton te kijken. Als de ener2
2
gie van het uitgewisselde foton Q = – q toeneemt, neemt ook het ruimtelijk oplossend vermogen
toe: hoe hoger de energie hoe kleiner de golflengte van het foton en hoe kleiner de afstand die we
bestuderen. Uit diep inelastische verstrooiing experimenten zien we dat tot foton energieën van een
paar GeV het proton nog min of meer als een geheel wordt gezien. Als de foton energie
2
2
Q > 10 GeV wordt gaan we duidelijk zien dat we één bepaald quark raken in de interactie. We
zien dit doordat een zich een jet vormt in de detector. Een jet is een stroom deeltjes die in het laboratorium frame in ongeveer dezelfde richting bewegen. In Figuur 4.7 zien we hier een voorbeeld van in
het ZEUS experiment.
In dit experiment dat op het moment in Hamburg actief is bij de HERA versneller worden elektronen
en protonen op elkaar gebotst. In dit geval worden zowel elektronen als protonen in aparte versnellers (die wel in dezelfde tunnel liggen) versneld to 27.5 GeV en 820 of 920 GeV respectievelijk. Dan
worden ze in tegengestelde richting op elkaar gebotst. Bij de botsing in de figuur wordt een foton (of
een Z boson) uitgewisseld tussen het elektron en een quark in het proton. Het elektron wordt daardoor verstrooid en is zichtbaar als geïsoleerd spoor dat naar een calorimeter cluster wijst met de signatuur van een energie depositie door een elektron of foton. Dat het hier om een elektron gaat wordt
duide-lijk uit het feit dat er een geladen spoor naar het energiecluster wijst. Uit de energiemeting en
richting van het verstooide elektron kan berekend worden dat het hier gaat om een uitgewisseld foton
2
2
met Q ≈ 5000 GeV . In het vlak loodrecht op de inkomende bundels, dat aan de linkerkant van de
Collegedictaat Hoge Energiefysica
71
fi-guur is afgebeeld, ligt een jet tegenover het geïsoleerde elektron. Deze jet, of stroom deeltjes,
vindt
FIGUUR 4.7. Een gebeurtenis in de ZEUS detector. Een 27.5 GeV elektron en 820 GeV proton botsen op
elkaar. In de eindtoestand is het verstrooide elektron in het (grote) linker plaatje te zien als spoor dat
links naar beneden wijst. Het voorste calorimeter blok waar het spoor naar wijst heeft een grote
energie gemeten, terwijl de blokken erachter niets hebben gemeten. Dit wijst op een calorimeter
shower van een elektron (positron) of foton. Omdat er in dit geval een spoor, veroorzaakt door een
geladen deeltje, naar wijst blijkt het een elektron te zijn. Aan de rechterbovenkant in het linker
plaatje is een stroom deeltjes te zien, een jet. Aan de rechterkant zijn twee andere projecties van de
gebeurtenis gegeven. In de rechter bovenhoek staat een histogram van de energie die in de
calorimeter is gemeten als functie van de hoeken in de detector. In de rechter benedenhoek staat een
projectie langs de bundelrichting van de gebeurtenis.
zijn oorsprong in het quark dat uit het proton is geschoten. Dit quark kan niet als vrij deeltje bestaan
en ook de rest van het proton, de twee quarks die daarin over zijn, kan niet zo verder. Het quark dat
uit het proton is geslagen en de resten van het proton hadroniseren. Er worden hadronen gevormd
rond het quark en rond de rest van het proton. Bij hoge energieën blijkt (zie ook de figuur) dat de
hadronen die worden gevormd voornamelijk langs de richting van het quark en de rest van het proton
liggen. Dit is in de figuur goed te zien voor het verstrooide quark. Maar ook voor de rest van het proton die in de richting vliegt waarin het oorspronkelijke proton ging is nog een jet te zien die in de
detector activiteit rond de bundelpijp geeft. Dit is in de figuur te zien in het plaatje rechtsonder, waar
rond de bundelpijp (het gat in de detector waardoor de inkomende bundels binnenkomen) aan de
linkerkant behoorlijk wat activiteit is te zien.
Het proces van de hadronisatie is theoretisch nog niet beschreven vanuit QCD interacties. Er is wel
een meer empirisch model, het Lund string1 model, dat het hadronisatieproces voor praktische doe-
72
Collegedictaat Hoge Energiefysica
leinden goed beschrijft. Het Lund string model gaat uit van de kleur fluxbuis tussen twee kleurladingen. Als de kleurladingen uit elkaar vliegen wordt de snaar gespannen. Als de snaarspanning te groot
wordt breekt de snaar. Dit gebeurt in het algemeen door een quark-anti-quark paar te maken. We krijgen dan twee snaren, maar elke snaar is korter en heeft dus een lagere energie. Dit gebeurt iteratief,
totdat de kinetische energie van de verschillende quarks en anti-quarks die uit elkaar bewegen te
klein is geworden om de snaren te breken. Op dat moment worden de quarks en anti-quarks die bij
elkaar liggen naar elkaar toegetrokken en vormen kleurneutrale hadronen. Vooral de quarks en antiquarks die qua impuls dicht bij elkaar liggen combineren met elkaar. We zien nu over het algemeen
heel veel mesonen in de jets, maar ook nog een paar baryonen. De baryonen worden gemaakt doordat soms de snaar niet opbreekt in een quark-anti-quark paar maar in een di-quark en een anti-diquark paar. Een di-quark is een quasigebonden toestand van twee quarks (die uiteraard niet kleurneutraal is.) Verder zien we dat er over het algemeen mesonen worden gevormd die uit up en down
quarks bestaan. Een fractie van de deeltjes bestaat uit vreemde hadronen, zowel vreemde mesonen
als vreemde baryonen, wat ons leert dat er ook strange quark-anti-quark paren en di-quarks met
strange onstaan bij het opbreken van de snaren. Omdat het strange quark zwaarder is dan de up en
down quarks komt dit minder vaak voor. Nog zwaardere quarks die we verderop zullen tegenkomen
worden in het hadronisatie proces vrijwel niet gemaakt.
KUN
TUE
9
7
4.8 Quarks en de elektrozwakke wisselwerking
We hadden al gezien dat we het proton en neutron in een doublet kunnen schrijven net als de leptonen. Dit was geïnspireerd op het verval van het neutron naar een proton, electron en neutrino, in analogie naar het verval van het muon. Vervolgens zijn we helemaal afgedreven en hebben het doublet
opgevat als een doublet in de sterke wisselwerking en daaruit het spectroscopische quarkmodel
opgebouwd. We komen nu toch weer terug op het zwakke verval van het neutron. Maar nu kijken we
er op het niveau van quarks naar. Dit verval is dan te beschrijven met een d quark dat in een u quark,
een electron en een neutrino vervalt. In analogie weer met het muon schrijven we nu het u en d quark
in een doublet van de zwakke wisselwerking:
u .
d
(4.67)
Maar nu zitten we het het s quark in onze maag !
Het s quark heeft qua lading dezelfde eigenschappen als het d quark. Uit symmetrie overwegingen
zou het mooi zijn als het strange quark in een doublet zou staan met een ander quark dat dezelfde
eigenschappen heeft als het up quark, maar mogelijk in massa verschilt. Nog voordat de structuur
van de zwakke wisselwerking helemaal duidelijk was kwamen Glashow, Illioupoulos en Maiani al
tot dezelfde conclusie, dat er een quark moest bestaan met dezelfde eigenschappen als het up quark,
maar dat het up quark de rol in het zwakke doublet met het s quark niet zelf kon spelen. Als dat wel
zo zou zijn zou in de theorie ook het verval waarin het s quark naar het d quark via een neutrale
stroom (foton of Z-boson uitwisseling). Neutrale stroomvervallen waarbij het strangeness quantumgetal met één eenheid verandert worden in de praktijk niet waargenomen. Het vierde quark en de
naam ervoor, charm, waren al veel eerder door Bjorken en Glashow geïntroduceerd in 1964, maar op
een meer speculatieve manier.
Wel zijn er zwakke vervallen bekend van het s quark naar het u quark, zoals bijvoorbeeld
+
–
Λ → p +π . Hoe dat kan, daar komen we later op terug.
1. Snaar in het Nederlands.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
73
De Feynmanregels voor de zwakke wisselwerking van quarks gaan hetzelfde als voor de leptonen,
waarbij we er wel op moeten letten dat de electrische lading van quarks anders is dan van de leptonen:
– ie
µ
5
de uWd koppeling krijgt een factor ------------------------- γ ( 1 – γ ) ,
2 2 sin θ w
(4.68)
– ie
µ
2
5
de uZ0u koppeling krijgt een factor --------------------------------- γ ( ( 1 –4 Q u sin θ w ) + γ ) ,
4 sin θ w cos θw
(4.69)
– ie
µ
2
5
de dZ0d koppeling krijgt een factor --------------------------------- γ ( ( – 1 – 4 Q d sin θ w ) – γ ) .
4 sin θ w cos θ w
(4.70)
Overal waar u staat kan ook c of t worden ingevuld voor charm en top quarks die we zo zullen invoeren, en net zo kan overal waar d staat ook s voor het vreemde quark of b voor het bottom quark
worden ingevuld. Bij de koppeling aan de W moet het paar (u,d) door ofwel (c,s) ofwel (t,b) worden
vervangen.
4.9 De ontdekking van de J/ ψ en charm quarks
Hoewel het charm quark al was voorspeld in 1970 in het GIM model, kwam de ontdekking ervan
toch als een verrassing. Dat kwam vooral door de manier waarop. Vrijwel tegelijkertijd werden bij
een electron-positron botser en in een experiment waarbij een proton bundel op een trefplaatje werd
geschoten. Het proton-trefplaatje experiment vond een scherpe piek in de elektron-positron invariante massa in de eindproducten van de botsingen. Het elektron-positron experiment vond een
scherpe piek in de totale werkzame doorsnede. Het nieuwe deeltje, de J genoemd door Ting (het proton-trefplaatje experiment) en de ψ door Richter (het elektron-positron botser experiment) en nu
– 20
bekend onder de dubbele voornaam J/ ψ , heeft een relatief lange levensduur (orde 10
seconde).
De J/ ψ heeft vrijwel geen quantumgetallen ongelijk nul en in het bijzonder wordt de charm verborgen door de anti-charm. Maar in hadronische vervallen van dit meson worden wel deeltje gemaakt
met één charm of anti-charm quark erin. Deze deeltjes vervallen zwak, via neutrale stroomprocessen
naar deeltjes met s quarks.
Het charm quark wordt in het nederlands ook wel tover genoemd, maar dan moet worden opgepast
met verwarring met het top of t quark.
4.10 De bottom en top quarks
Door het idee van het charm quark dat nodig is om het zwakke doublet van het s quark te completeren nog een stap door te zetten kunnen we op het idee komen dat het zwakke leptondoublet van
electron en elektron-neutrino samen met het up en down quark doublet één familie vormt. Het charm
en strange doublet vormt dan een familie met het muon en muon-neutrino. Blijft nog over het tau
lepton en bijbehorend neutrino. En inderdaad: ook hier hoort nog een apart quark doublet bij om de
familie compleet te maken. Dit doublet bestaat uit het bottom, b-, quark, dat dezelfde eigenschappen
heeft als het down en strange quark, behalve dat het zwaarder is, ongeveer een kleine 5 GeV. De
andere isospintoestand in dit zwakke doublet is het top quark dat dezelfde eigenschappen heeft als
het up en charm quark, maar zeer veel zwaarder is, namelijk ongeveer 175 GeV.
Het bottom quark is ontdekt bij een experiment op Fermilab (E228) als piek in de invariante massa
van twee muonen bij ongeveer 9.5 GeV. Uit de massa van een pion kunnen we afschatten dat de
bindingsenergie tussen quarks in een meson een bijdrage geeft aan de massa van de orde van 0.1
GeV. Hieruit volgt dat het b quark een massa moet hebben van de orde van 4.7-4.8 GeV.
74
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Het top quark is recentelijk ontdekt bij de Tevatron versneller (op Fermilab bij Chicago) door de
CDF en DØ experimenten. De top quarks worden veelal in paren geproduceerd en manifesteren zich
door hun typische vervalsgedrag. Het verval van de top naar stabiele deeltjes is meestal een lange
cascade van zwakke vervallen:
t → b+W , b → c+W∗ , c → s+W .
(4.71)
De sleutel voor de ontdekking van top vervallen ligt in de hoeveelheid en de energie waarmee de W
bosonen in dit verval worden geproduceerd. Het W boson kan in een geladen lepton en neutrino paar
vervallen. Als de energie van het W groot is en dus ook de energie van het geladen lepton en neutrino
die de vervalsproducten vormen is er in de detector een energetisch lepton te zien dat goed kan
worden detecteerd en een grote missende impuls (ten gevolge van het neutrino dat zonder waarneming uit de detector ontsnapt.) In Figuur 4.8 is het verval van een top quark in de CDF detector zichtbaar gemaakt.
FIGUUR 4.8. Een
gebeurtenis met het verval van twee top quarks in de CDF detector (linksboven). In de
rechterbovenhoek zijn de belangrijkste sporen schematisch weergegeven, met een indicatie van de
oorsprong van de sporen (tengevolge van geladen deeltjes), of de deeltjes die de sporen
veroorzaakten. In de linkerbenedenhoek staat dezelfde soort informatie voor de calorimeter (die de
energie van neutrale en geladen deeltjes meet). In de rechterbenedenhoek staat een artistieke
impressie van een typisch top geval in de CDF of DØ detector.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
75
4.11 De Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix
We hebben al genoemd dat het vreemde quarks naar een u quark kunnen vervallen. Zo kunnen ook
bottom quarks naar charm vervallen. Het experimentele patroon dat zich aftekent is dat zware quarks
wel naar een familie met lagere massa’s kunnen vervallen, maar alleen door middel van de geladen
stroom (dus door uitwisseling van een W+ of W-). Neutrale stromen (Z en foton uitwisseling) waarbij quarks van soort veranderen bestaan blijkbaar niet. Dit fenomeen valt te verklaren door aan te
nemen dat de down, strange en bottom quarks wel de massa eigentoestanden zijn, maar niet de
eigentoestanden voor de electrozwakke wisselwerking. Mathematisch kunnen we de eigentoestanden voor de zwakke wisselwerking uit de massaeigentoestanden krijgen door de basis te roteren.
Als we alleen d and s quarks beschouwen is dat te schrijven als:
d' = d cosθ c + s sinθ c
s' = – d sin θ c + s cosθ c
,
(4.72)
waarbij d' en s' de eigentoestanden zijn van de zwakke wisselwerking en d en s de eigentoestanden
van de massa. De hoek die de relatieve draaiing geeft heet de Cabbibohoek θ c , naar degene die hem
voor het eerst invoerde. Bij meting blijkt dat deze hoek sin θ c = 0.22 heeft.
Voor drie quarks schrij-ven we:
V ud Vus V ub d
d'
d
s' = V CKM s = Vcd V cs Vcb s
b'
b
V td V ts V tb b
.
(4.73)
De matrix V CKM heet de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix en is een unitaire matrix. De verschillende elementen zijn in principe complex. De matrix kan worden uitgedrukt in 3 hoeken en één
complexe fase. Een drie bij drie rotatiematrix is de eerste matrix, waarbij een complexe fase als irreducibele vrijheidsgraad optreedt. Een complexe fase in deze mixing matrix geeft aanleiding tot het
schenden van CP symmetrie, iets waarop we in het volgende hoofdstuk terugkomen.
Met 90% waarschijnlijkheid zijn de absolute waarden van de verschillende elementen (Particle Data
Group, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):
V CKM
0.9742 – 0.9757 0.219 – 0.226 0.002 – 0.005
= 0.219 – 0.225 0.9734 – 0.9749 0.037 – 0.043 .
0.004 – 0.014 0.035 – 0.043 0.9990 – 0.9993
(4.74)
In plaats van een rotatie van de down-type toestanden hadden we ook voor de rotatie van de up-type
toestanden kunnen kiezen. Met dezelfde matrix kan dat worden geschreven als:
u'
u
†
c' = V CKM c .
t'
t
(4.75)
Conventioneel wordt altijd gekozen voor rotatie van de down-type toestanden.
De CKM matrix wordt ook vaak gerepresenteerd in de parametrisatie van Wolfenstein:
76
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
3
1–λ ⁄2
λ
–λ
1–λ ⁄2
λ A ( 1 – ρ – iη )
–λ A
V CKM =
3
λ A ( ρ – iη )
2
.
2
λ A
2
(4.76)
1
4
Deze parametrisatie is een benadering die klopt tot op orde λ ( λ ≈ 0.22 ). Het aardige van deze parametrisatie is dat de relative orde van grootte van de verschillende elementen er expliciet in gemaakt
wordt.
Een ander belangrijk begrip in de context van de CKM matrix is de unitariteitsdriehoek. Wegens de
unitariteit van de CKM matrix kunnen we bijvoorbeeld de relatie
V ud V ub∗ + V cd V cb∗ + V td V tb∗ = 0
(4.77)
opschrijven. In het complexe vlak kunnen we de som van drie complexe getallen voorstellen als een
driehoek ((a) in de volgende figuur):
( ρ, η )
V ud V ub∗
α
γ
β
V cd V cb∗
α
V td V tb∗
γ
( 0, 0 )
β
( 1, 0 )
In de Wolfenstein parametrisatie kunnen we de zijden van de driehoek schalen met
V cd V cb∗ = λ A en dan krijgen we de driehoek aan de rechterkant (b). De oppervlakte van deze
driehoek geeft de mate aan waarin CP is geschonden en wat dat is wordt in het volgende hoofdstuk
uitgelegd.
3
Collegedictaat Hoge Energiefysica
77
4.12 Opgaven
4.1
+
–
4.2
4.3
4.4
4.5
+
Bereken de relative werkzame doorsnede van de processen: π p → π p (elastische verstrooi–
–
0
ing), π p → π p (elastische verstrooiing) en π p → π n (ladingsuitwisseling).
De hyperlading is gedefinieerd als Y = B + S , waarbij B het baryongetal is en S de strangeness. Laat uitgaande van het spectroscopisch quarkmodel zien dat de lading van baryonen
wordt gegeven door: Q = I3 + Y ⁄ 2 , waarbij I 3 de derde component van de sterke isospin is.
+
+
–
0
Teken het Feynmandiagram van de sterke reacties π p → π p en π p → π n op het niveau
van quarks in het spectroscopisch quark model van hadronen. Hint: in deze Feynmandiagrammen komt geen vertex voor !
Reken de dracht uit in meters voor de sterke kernkracht.
Een modern diep inelastisch botsingsexperiment is het ZEUS experiment bij de HERA versneller in Hamburg. In de HERA versneller worden protonen en electronen versneld in
tegengestelde richting in een cirkelvormige tunnel van 6.7 km lengte. Het proton wordt tot een
energie van 920 GeV versneld, terwijl het electron tot een energie van 27.5 GeV wordt versneld. Leg uit waarom de energie van de protonen veel hoger kan zijn dan van de elektronen.
2
Wat is de totale invariante massa van het electron-proton systeem ? Wat is de maximale Q die
kan worden bereikt ? In welke richting gaat het verstrooide electron dan ? In de detektor
moeten de protonen en elektronen natuurlijk naar binnen (en naar buiten) kunnen. Daarvoor zit
rond de bundelpijp in de voorwaartse en achterwaartse richting een gat in de detektor. Dit gat is
zodanig dat een eerste goede meting van de elektronenergie pas op een afstand van 15 cm van
2
4.6
4.7
4.8
de bundel kan op een afstand van 1.5 m van het interactiepunt. Reken uit wat de minimale Q
is van interacties waarbij het elektron in de eindtoestand wordt waargenomen.
In het ZEUS experiment uit de vorige vraag zijn ook gevallen gezien die duidelijk diep-inelastische verstrooiing waren, maar waarbij geen elektron in de eindtoestand zat. Hoe kan dat ?
Er zijn ook experimenten gedaan waarbij een inkomende neutrinobundel is gebruikt. Hoe zou
je zo’n neutrinobundel kunnen maken ? In deze experimenten was het doel altijd een hoeveelheid materiaal die stil lag in het laboratorium. Waarom is dat zo ? Hoe herken je een diep-inelastische verstrooiing van een neutrino aan een proton of neutron in zo’n blok materiaal, a) als
de interactie een geladen stroom is, b) als de interactie een neutrale stroom is ? Welk deeltje
wordt in ieder van de twee gevallen uitgewisseld ?
Op het moment wordt in Nederland de deelname besproken aan een experiment, ANTARES,
dat neutrino’s van heel hoge energie uit het heelal moet gaan waarnemen. Dit experiment
3
gebruikt de zee als een doel en detekteert over een volume van een km geladen deeltjes die
worden gemaakt als gevolg van een neutrino botsing met de kernen in een watermolecuul.
Geef voor elk van de drie soorten neutrino’s aan wat de interactieproducten zijn die worden
gedetekteerd. Geef een voorbeeld voor elk van de neutrino soorten hoe die met hoge energie in
het heelal zouden kunnen worden geproduceerd. Verwacht je van alle neutrinosoorten evenveel met hoge energie in het heelal ?
4.9 Geef de verhouding  u ( x ) – u ( x ) dx ⁄  d ( x ) – d ( x ) dx voor het proton en neutron.

 

Waarom is het nodig de anti-quark distributies van de quark distributies af te trekken om tot
een voorspelling te komen ?
4.10 Waarom zijn de charm en bottom quarks gevonden in gebonden toestanden van quark-antiquark en het top quark niet ?
∫
78
∫
Collegedictaat Hoge Energiefysica
+ –
σ ( e e → qq )
4.11 Geef een voorspelling voor de verhouding van werkzame doorsnedes: R = -----------------------------------------+ –
+ –
σ( e e → µ µ )
als functie van de invariante massa van het inkomend electron-positron paar.
4.12 Wat is de koppeling voor uWs, rekening houdend met de CKM matrix ? Schrijf de koppeling
ook op in de Wolfenstein parametrisatie.
4.13 Top quarks worden vooral in paren gemaakt. Toch kunnen ze ook als een enkele top of anti-top
in een experiment worden gemaakt. Hoe gaat dat ? Wat verwacht je voor enkele top productie
in de annihilatie van een electron-positron paar, kan de meeste energie van die reactie in een
enkel top quark gaan zitten ? En voor een electron-proton botsing ? En voor een proton-antiproton botsing ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
79
80
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
10
HOOFDSTUK 5 Pariteit, ladingsconjugatie en
tijdomkeer
In dit hoofdstuk worden een aantal discrete symmetrieën besproken: Pariteit, ladingsconjugatie en
tijdomkeer. We laten zien dat de zwakke en sterke wisselwerkingen pariteit schenden en dat deze wisselwerkingen ook het product van ladingsconjugatie en pariteit kunnen schenden. Het behoud van de
gecombineerde transformatie van ladingsconjugatie, pariteit en tijdomkeer in een veldentheorie van
puntvormige deeltjes zal aannemelijk worden gemaakt.
5.1 Pariteit: P
De pariteitsoperator puntspiegelt de ruimte in zichzelf en is gedefinieerd als:
P: x y z → – x – y – z .
(5.1)
Op golffuncties werkt de pariteitsoperator als:
Pψ ( x, y, z ) → aψ ( – x, – y, – z ) .
Voor een golffunctie die een eigentoestand is van de pariteit geldt:
2
(5.2)
2
P ψ ( x, y, z ) = Paψ ( – x, – y, – z ) = a ψ ( x, y, z ) = ψ ( x, y, z ) ,
(5.3)
waarbij a een reeel getal is en dus noodzakelijkerwijs a = ± 1 .
Pariteit is een multiplicatief quantumgetal, dat wil zeggen dat de totale pariteit van een systeem kan
worden verkregen door de intrinsieke pariteiten van deeltjes in het systeem met elkaar te vermenigvuldigen en dat te vermenigvuldigen met de pariteit van de golffunctie die de relatieve beweging van
de deeltjes in het systeem ten opzichte van elkar beschrijven. De pariteit van golffuncties die de relatieve beweging van deeltjes beschrijft wordt gegeven door:
L
Pψ = ( – 1 ) ,
(5.4)
waarbij L het baanimpulsmoment van de golffunctie is. Dit heet ook wel de baanpariteit.
Fermionen en anti-fermionen hebben tegengestelde pariteit. Bij conventie nemen we de pariteit van
fermionen +1 en van anti-femionen -1. Bosonen kunnen zowel positieve als negatieve pariteit hebben
en bosonen hebben dezelfde pariteit als hun anti deeltje.
Als voorbeeld kunnen we nu de pariteit van pionen beredeneren. Het pion is een toestand van een
quark en anti-quark met een relatieve golffunctie zonder baanimpuls. De pariteit van het pion wordt
dan:
0
P = ( +1 ) ( – 1 ) ( – 1 ) = – 1 .
(5.5)
De eerste factor +1 is de pariteit van het quark, de tweede factor -1 is de pariteit van het anti-quark en
de baanimpuls van de twee quarks relatief ten opzichte van elkaar is nul, zodat de baanpariteit +1 is.
De totale pariteit van het pion is dus -1, het is een pseudoscalar. Voor bosonen is de intrinsieke pariteit van een scalar +1, de intrinsieke pariteit van een pseudoscalar -1, de intrinsieke pariteit van een
vector -1 en de intrinsieke pariteit van een axiale vector is +1. Dat laatste kan worden gezien doordat
onder ruimteinversie zowel de ruimte coordinaten als de impuls coordinaten van teken wisselen. Uit-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
81
wendige produkten van elke combinatie van die twee, een karakteristiek voor axiale vectoren ondergaan dus twee tekenwisselingen en hebben pariteit +1.
Niet alle toestanden zijn een eigentoestand van de pariteitsoperator.
De electromagnetische en sterke wisselwerking behouden pariteit. De zwakke wisselwerking
schendt pariteit maximaal. Dit kan makkelijk worden gezien vanuit het feit dat er alleen linkshandige
neutrino’s (en rechtshandige anti-neutrino’s) zijn. Onder de pariteitstransformatie gebeurt er niets
met de spin, maar de impuls verandert van richting. Dit betekent dat de heliciteit van deeltjes verandert. maar rechtshandige neutrino’s bestaan niet, of spelen althans geen rol in de zwakke wisselwerking.
5.2 Ladingsconjugatie: C
Onder ladingsconjugatie transformeren deeltjes naar anti-deeltjes. Dit betekent onder andere dat alle
ladingen van teken wisselen, vandaar de naam van deze transformatie. Het magnetisch moment van
deeltjes verandert ook van teken onder ladingsconjugatie. De spin van deeltjes verandert niet.
Alleen electrisch neutrale toestanden kunnen een eigentoestand zijn van de ladingsconjugatie operator. Als een toestand een eigentoestand is van de ladingsconjugatie operator volgt, analoog aan pariteit, dat de eigenwaarde +1 of -1 is.
Uit de Maxwell vergelijkingen kan worden gezien dat de vectorpotentiaal A
µ
van teken wisselt
µ
onder ladingsconjugatie. Hieruit concluderen we dat het foton, het quantum bij het A veld een
negatieve eigenwaarde heeft onder ladingsconjugatie. Als voorbeeld kunnen we nu de eigenwaarde
0
van de ladingsconjugatie operator op neutrale pionen bepalen. Het neutrale pion vervalt als π → γγ .
Omdat het foton een negative eigenwaarde heeft onder ladingsconjugatie, heeft het neutrale pion de
eigenwaarde (-1)(-1)=+1. We kunnen ook naar de toestand van het neutrale pion in quarks kijken.
De ladingsconjugatie verandert de quarks in anti-quarks en vice-versa. Omdat het pion een symmetrische toestand van quarks en hun anti-quarks is verandert er niets als de quark en anti-quarks
worden verwisselt, behalve dat de spin van de (anti-)quarks flipt en dat ze in elkaar positie bewegen.
Omdat quarks fermionen zijn veroorzaakt het flippen van de beide (anti-)quark spins een min teken
voor de golffunctie. Het verwisselen van de quark en anti-quark geeft ook een min teken voor de
golffunctie. Deze twee mintekens heffen elkaar op zodat het totale effect is dat de ladingsgeconjugeerde toestand hetzelfde is als de oorsponkelijke toestand.
Weer zijn niet alle toestanden een eigentoestand van de ladingsconjugatie operator. Met name zijn
electrisch geladen deeltjes geen eigentoestand van ladingsconjugatie.
Ladingsconjugatie is maximaal geschonden in de zwakke wisselwerking. Dit is makkelijk te zien aan
de hand van het neutrino. Het ladingsgeconjugeerde deeltje van een linkshandig neutrino is een
linkshandig anti-neutrino, en de theorie is maximaal asymmetrisch ten opzichte van rechtshandige en
linkshandige anti-neutrino.
5.3 Tijdomkeer: T
De Tijdomkeer operator keert het teken van de tijd om. Alle fysische processen lijken invariant onder
deze transformatie. We zullen hieronder laten zien dat de tijdomkeer symmetrie toch niet helemaal
perfect is. Dit geeft aanleiding tot een definieerbare richting in de tijd. Dit laatste is iets wat we om
ons heen zien. We worden eerst geboren en gaan daarna dood en niet andersom.1
1. In dit voorbeeld is de schending van tijdsomkeer in de statistische fysica veel belangrijker.
82
Collegedictaat Hoge Energiefysica
5.4 Tabulering van deeltjeseigenschappen door de Particle Data Group
De eigenschappen van alle bekende deeltjes staan vermeld in het Particle Physics boek dat elke twee
jaar door de Particle Data Group wordt samengesteld. De eigenschappen en metingen aan deeltjes
worden in gedrukte vorm elke twee jaar vernieuwd, maar ze worden ook doorlopend herzien en de
laatste stand van zaken is te vinden op het World Wide Web op adres: “http://pdg.lbl.gov”.
In de tabellen van de Particle Data Group staan de spin, pariteit en ladingsconjugatie eigenwaarden
(voor zover van toepassing) vermeld als: JPC waar J staat voor de spin, P voor de pariteit en C voor
de eigenwaarde onder ladingsconjugatie. Ook staat vermeld IG, waar I staat voor de serke isospin en
G voor de G-pariteit een quantumgetal dat we hier niet behandelen (omdat het een beetje oubollig
is.) In Tabel 5.1 staan deze quantumgetallen voor enige interessante deeltjes.
quark inhoud
ud
massa [GeV]
139.6
JPC
IG
0-
1-
0
(uu-dd)/ 2
135.0
0-+
1-
η
(uu+dd)/ 2
547.5
0-+
0+
ρ
(uu-dd)/ 2
769.9
1--
1+
+
us
493.7
0-
1
--2
0
ds
497.7
0-
1
--2
KS
0
(ds+sd)/ 2
497.7
0-
1
--2
KL
0
(ds-sd)/ 2
497.7
0-
1
--2
φ
ss
1020
1--
0-
J⁄ψ
cc
3097
1--
0-
ϒ
bb
9460
1--
0-
baryon
quark inhoud
massa [GeV]
JPC
IG
p
uud
938.3
1+
--2
1
--2
n
udd
939.6
1+
--2
1
--2
Λ
uds
1115.7
1+
--2
0
meson
π
+
π
K
K
TABEL 5.1. Eigenschappen
van enige veel voorkomende deeltjes.
Ingeval het niet van toepassing is zijn C en/of G niet gegeven.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
83
5.5 Schending van ladingsconjugatie en pariteit
We hebben al gezien dat ladingsconjugatie en pariteit allebij maximaal zijn geschonden in de zwakke
wisselwerking. Dit wordt veroorzaakt doordat de zwakke wisselwerking alleen op deeltjes met een
linkshandige heliciteit werkt. Maar we kunnen ook inzien dat de gecombineerde transformatie van
ladingsconjugatie plus pariteit volgens dit argument is behouden. Linkshandige neutrino’s transformeren onder ladingsconjugatie in linkshandige anti-neutrino’s en de linkshandige neutrino’s
transformeren onder pariteit naar rechtshandige anti-neutrino’s. Omdat de zwakke theorie zich symmetrisch gedraagt in linkshandige neutrino’s en rechtshandige anti-neutrino’s lijkt na de gecombineerde CP transformatie alles weer koek en ei. We zullen nu laten zien dat echter ook CP
geschonden is, weliswaar maar een klein beetje en niet maximaal zoals pariteit en ladingsconjugatie.
Maar toch...
5.6 Het neutrale Kaon systeem
0
0
Het neutrale kaon, K , is in quarks uitgedrukt een ds toestand. Het anti-deeltje van kaon, K is een
ds toestand. Deze toestanden zijn de eigentoestanden van de sterke wisselwerking. Kaonen kunnen
worden geproduceerd door een ss quark paar te maken, dus vreemde deeltjes worden in paren
gemaakt. Belangrijke reacties voor kaon productie zijn:
–
π +p→Λ+K
0
0
+
+
π +p→K +K +p .
(5.6)
0
–
π +p→Λ+K +n+n
De drempelenergie voor een pion dat op een trefplaatje wordt geschoten is voor de eerste reactie 0.91
GeV, voor de tweede reactie 1.5 GeV en voor de derde 6.0 GeV. Door de energie van het inkomend
0
pion dus goed te kiezen kunnen we een pure K bundel maken.
Het is nu duidelijk dat neutrale kaonen geen eigentoestand van de CP operator zijn:1
0
0
0
0
CP |K ⟩ = |K ⟩
.
(5.7)
CP |K ⟩ = |K ⟩
0
0
We kunnen nu wel makkelijk de CP eigentoestanden maken door de K en K te mengen:
0
1
0
|K 1⟩ = ------- ( |K ⟩ + |K ⟩ )
2
.
0
1
0
|K 2⟩ = ------- ( |K ⟩ – |K ⟩ )
2
Deze twee toestanden zijn de eigentoestanden van de CP operator:
CP |K 1⟩ = |K 1⟩
CP |K 2⟩ = – |K 2⟩
(5.8)
.
(5.9)
0
0
1. De formules (5.7) definiëren impliciet een fase-conventie: die de fases van de |K ⟩ en |K ⟩ toestanden aan elkaar relateerd.
84
Collegedictaat Hoge Energiefysica
0
0
+ –
Zowel K als K kunnen vervallen in twee pionen ( π π
0 0
+ –
0
of π π ) en in drie pionen ( π π π of
0 0 0
0
0
π π π ). Door deze (virtuele) tussentoestanden kan dan een K overgaan in een K en omgekeerd:
0
K ↔
2π
0
↔K .
3π
(5.10)
0
0
Dus de |K ⟩ en |K ⟩ toestanden kunnen vrijelijk mengen. Omdat het verval van de kaonen via de
zwakke wisselwerking verloopt (een s quark vervalt naar een u quark onder uitzending van een (virtueel) W boson), verwachten we dat het verval via de CP eigentoestanden |K 1⟩ en |K 2⟩ verloopt. Als
CP behouden is kan de K 1 alleen naar twee pionen vervallen en de K 2 alleen naar drie pion toestanden. Het geval wil nu dat het massaverschil tussen het kaon en drie keer de pion massa heel klein
is. Daarom vervalt de K 2 wel in drie pionen (het moet wel), maar is de vervalsbreedte heel klein en
–8
de levensduur heel groot, ongeveer 5 ×10
seconde. De levensduur van de K 2 is veel groter dan van
– 11
de K 1 , die 9 ×10
seconde is.
Dit geeft aanleiding tot een aantal opvallende zaken.
Om te beginnen is er een (klein) massaverschil tussen de K 1 en K 2 . Dit veroorzaakt een oscillatie
tussen de twee toestanden. De ontwikkeling in de tijd voor de toestanden van de K 1 en K 2 wordt
gegeven door:
– im 1 τ – Γ 1 τ ⁄ 2
0
1
0
------- ( |K ⟩ + |K ⟩ )
2
.
0
– im 2 τ – Γ 2 τ ⁄ 2 1
0
– iHτ
------- ( |K ⟩ – |K ⟩ )
e
|K 2⟩ = e
2
e
– iHτ
|K 1⟩ = e
0
0
(5.11)
Een bundel die nu als zuiver K is gemaakt zal naar K oscilleren, waarbij de intensiteit van de K
in de tijd wordt gegeven door:
0
–Γ τ
– ( Γ + Γ )τ ⁄ 2
0
1 –Γ1 τ
+ e 2 – 2e 1 2
cos ( ∆m τ ) ) .
I ( K ) = --- ( e
(5.12)
4
Het massaverschil tussen de twee CP eigentoestanden geeft dus aanleiding tot een oscillatie met frequentie ∆m . Experimenteel is met deze oscillatie het massaverschil van de twee neutrale kaon CP
eigentoestanden gemeten,
–6
∆m = 3.5 ×10
– 14
2∆m ⁄ ( m 1 + m 2 ) = 0.7 ×10
, oftewel een massaverschil van
eV.
0
Als we een bundel maken die uit louter K bestaat dan verandert die naar een mengsel van K 1 en
K2 , de deeltjes die hun ieder hun eigen zwakke verval hebben. De K 1 toestand vervalt snel en na
0
een tijdje is alleen de K 2 over. We verwachten dus dat als we een K bundel maken er eerst veel vervallen naar twee pionen zichtbaar zullen zijn en na een tijdje zien we dan alleen nog vervallen naar
drie pionen. Dit is inderdaad experimenteel geobserveerd.
Als de bundel puur K 2 is geworden kunnen we hem door een blok materiaal laten gaan. Natuurlijk
zijn er in het materiaal een hoop kernen met protonen en neutronen en heeft de K2 ruime mogelijk-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
85
0
heden om sterke interacties met die kernen aan te gaan. Het K gedeelte van de toestand heeft
andere sterke interacties met de kernen (alleen elastische verstrooiing en ladingsuitwisselingsrea0
cties) dan het K deel dat hyperonen kan maken door het vreemde quark (s) uit te wisselen met een
0
proton of neutron. Het gevolg daarvan is dat het K deel wordt geabsorbeerd in het materiaal, zodat
0
de bundel weer verandert in de sterke eigentoestand K . Eenmaal uit het blok materiaal gekomen
veranderen de toestanden weer naar de zwakke eigentoestanden K1 en K 2 . Inderdaad is experimenteel gezien dat een bundel van kaonen die alleen nog maar naar 3π vervallen die dan door een blok
0
materiaal gaat, daarna weer abundant in 2π toestanden vervalt. Dit proces heet K regeneratie.
In 1964 vonden Christenson, Cronin, Fitch en Turlay dat zelfs na lang wachten de dan pure bundel
van K 2 toch af en toe nog naar twee pionen vervalt (met een relatieve waarschijnlijkheid ten opzichte van het drie pion verval van ongeveer een promille). Dus wat er na lange tijd overblijft is niet
een pure CP eigentoestand. De kaonen met een lange levensduur worden K L genoemd (met de “L”
van Long). De kortlevende kaonen noemen we dan K S (met de “S” van short). En kennelijk valt de
KL niet samen met de K 2 . Het verval wordt helemaal door de zwakke wisselwerking bepaald en
daarom zijn de toestanden KS en K L die zo duidelijk in hun levensduur verschillen de eigentoestanden van de zwakke wisselwerking. De K 1 en K 2 toestanden zijn de eigentoestanden van CP en
dus zijn de zwakke en de CP eigentoestanden niet hetzelfde en wordt de CP symmetrie door de
zwakke wisselwerking geschonden.
We schrijven voor de K S en K L de volgende vergelijkingen op:
0
1
0
|K S⟩ = ------- ( ( 1 + ε ) |K ⟩ + ( 1 – ε ) |K ⟩ )
2
.
(5.13)
0
1
0
|K L⟩ = ------- ( ( 1 + ε ) |K ⟩ – ( 1 – ε ) |K ⟩ )
2
Er is een kleine verdraaiing, ε , ten opzichte van formule (5.8) voor de K 1 en K 2 . Als ε = 0 , dan
zijn de zwakke en CP eigentoestanden dezelfde. Merk op dat de normering niet exact meer klopt,
maar dat als ε klein is dat effect is te verwaarlozen.
Experimenteel kunnen we de volgende amplitude verhoudingen definieren:
+ –
η+–
Ampl ( K L → π π )
= ----------------------------------------------+ –
Ampl ( K S → π π )
η 00
Ampl ( K L → π π )
= ---------------------------------------------0 0
Ampl ( K S → π π )
0 0
.
(5.14)
Omdat de eindtoestanden hetzelfde zijn kan er ook interferentie optreden tussen de K S en K L vervallen naar dezelfde eindtoestand. Verder kan de eindtoestand een (sterke) isospin I = 0 of I = 2
hebben ( I = 1 is niet toegestaan). Zonder interferentie is het duidelijk dat:
86
Collegedictaat Hoge Energiefysica
η+– = ε
η 00 = ε
.
(5.15)
De waarde die wordt gemeten is (Particle Data Group, D.E. Groom et al., The European Physical
Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):
–3
ε = ( 2.27 ± 0.02 ) × 10 .
(5.16)
De CP schending door mixing wordt veroorzaakt doordat ε ≠ 0 . Daarnaast kan er ook directe CP
+ –
schending zijn. Die komt voort uit interferentie in de mogelijke pion vervalstoestanden. De π π en
0 0
π π eindtoestanden komen in de |I, I 3⟩ = |0, 0⟩ en |I, I 3⟩ = |2, 0⟩ voor (en niet in de
|I, I 3⟩ = |1, 0⟩ toestand, omdat de bosonische eindtoestand gesymmetriseerd moet worden.):
+ –
|π π ⟩ =
2
1
--- |I = 0⟩ + --- |I = 2⟩
3
3
.
1
2
|π π ⟩ = --- |I = 0⟩ – --- |I = 2⟩
3
3
0
De I = 2 en I = 0 amplitudes voor het K → π π verval noemen we
(5.17)
0 0
0
A 2 = Ampl ( K → ππ ( I = 2 ) )
0
A 0 = Ampl ( K → ππ ( I = 0 ) )
.
(5.18)
Verder hebben de pionen in de eindtoestand nog sterke interactie met elkaar, waardoor de golffuncties van van fase kunnen veranderen. Deze zogenaamde sterke fasen, δ 0 en δ 2 , zijn verschillend
+ –
0 0
voor de isospin toestanden, maar hangen niet af van of het een π π of π π betreft. We kunnen nu
de volgende formules voor de verschillende vervals-kanalen opschrijven:
+ –
Ampl ( KL → π π ) =
(5.19)
iδ
iδ
1
2
1
-------  ( 1 + ε )  --- A 0 e 0 + --- A 2 e 2



3
3
2
4 iδ
= --- e 0 ( εRe ( A 0 ) + iIm ( A 0 ) ) +
3
en analoog:
iδ 0
iδ2
2
1
– ( 1 – ε )  --- A 0∗ e + --- A 2∗ e  
3
3
2 iδ2
--- e ( εRe ( A 2 ) + iIm ( A 2 ) )
3
(5.20)
0 0
2 iδ
4 iδ
Ampl ( K L → π π ) = – --- e 0 ( εRe ( A 0 ) + iIm ( A 0 ) ) + --- e 2 ( εRe ( A 2 ) + iIm ( A 2 ) )
3
3
+ –
Ampl ( K S → π π ) =
2 iδ2
4 iδ0
--- e ( Re ( A 0 ) + iεIm ( A 0 ) ) + --- e ( Re ( A 2 ) + iεIm ( A 2 ) )
3
3
0 0
2 iδ
4 iδ
Ampl ( K S → π π ) = – --- e 0 ( Re ( A 0 ) + iεIm ( A 0 ) ) + --- e 2 ( Re ( A 2 ) + iεIm ( A 2 ) )
3
3
Nu kunnen de fasen van de amplitudes A0 en A 2 ieder afzonderlijk zo worden gekozen dat ze nul
zijn door een fasedraaiing van alle golffuncties, iets dat we niet in observabelen terugzien. Als de
complexe fasen van A 0 en A 2 echter verschillen kunnen we nooit de twee fasen tegelijkertijd op nul
Collegedictaat Hoge Energiefysica
87
draaien. Dus zelfs in het geval ε = 0 is er op deze manier een verval mogelijk van de K L naar twee
pionen en is CP dus geschonden.
We kunnen de zaak verder vereenvoudigen door op te merken dat we één complexe fase kunnen
kiezen. We volgen de T. T. Wu en C. N. Yang conventie en kiezen A 0 reëel:
Im ( A 0 ) = 0 .
(5.21)
Verder gebruiken we nog dat de absolute waarde A 0 veel groter is dan A 2 en dat de parameter ε
klein is, waarmee we εRe ( A 2 ) verwaarlozen ten opzichte van iIm ( A 2 ) .
Als we de nieuwe CP schendingsparameter ε' invoeren:
1 Im ( A 2 ) i ( δ2 – δ0 )
ε' = – ------- ------------------ e
,
2 A0
(5.22)
dan kunnen de geladen en neutrale twee pion vervalsamplitudes van de K L worden geschreven als:
η + – = ε + ε’
η 00 = ε – 2ε’
,
(5.23)
waarbij de nieuwe parameter ε' de CP schending in de eindtoestand meet, ofwel de directe CP
schending. De parameter ε meet de CP schending door mixing van de kaon CP eigentoestanden zelf.
Hieruit kunnen we zien dat de parameter ε' gemeten kan worden door de dubbele verhouding
0 0
+ –
Br ( K L → π π ) ⁄ Br ( K L → π π )
ε'
1 – 6Re  --- = -------------------------------------------------------------------------------------0 0
+ 0–
 ε
Br ( K S → π π ) ⁄ Br ( K S → π π )
(5.24)
te bestuderen. De factor 6 in de linkerkant van de vergelijking is een gelukkig effect van de ClebschGordon coefficiënten die een rol spelen voor de isospin combinaties in de verschillende eindtoestanden. Omdat het effect van ε' klein is (minder dan een procent van de waarde van ε ) is het experimenteel uitbuiten van de dubbele verhouding om systematische fouten zo klein mogelijk te houden
van het grootste belang. In recente jaren hebben verschillende experimenten ingenieuse methoden
gebruikt om zo de waarde van ε' ⁄ ε te meten. Er is nu onomstotelijk vastgesteld dat die van nul afwijkt. De gemiddelde waarde op dit moment, zoals met name gemeten in de NA35 en NA48 experimenten op CERN en het KTeV experiment op Fermilab is (Particle Data Group, D.E. Groom et al.,
The European Physical Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):
·
–3
Re ( ε' ⁄ ε ) = ( 2.1 ± 0.5 ) × 10 .
(5.25)
(Dit betekent de genadeslag voor het superzwakke model van Wolfenstein, dat Re ( ε' ⁄ ε ) = 0 voorspelt en dat we hier dan ook maar niet meer bespreken.)
Als we de amplitudes in het Standaard Model bekijken blijkt de complexe fase in de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix een cruciale rol te spelen in het verklaren van CP schending. De directe CP
schendingsparameter wordt (behoudens berekenbare proprotionaliteitsfactoren) gegeven door:
ε ∼ sin δ ,
(5.26)
waarbij δ de complexe fase is van de CKM matrix. Het feit dat de complexe fase in de CKM matrix
CP schending betekent was de oorspronkelijke reden voor Kobayashi en Maskawa om de matrix in te
voeren en drie families fundamentele fermionen te voorspellen, nog voordat enig fermion van de
derde generatie was gevonden
88
Collegedictaat Hoge Energiefysica
5.7 Het CPT theorema
Door Pauli, Zumino en Schwinger is aangetoond dat als een theorie aan een aantal algemene voorwaarden voldoet, die theorie invariant is onder de gecombineerde transformatie van CPT. Een ietwat
eenvoudiger versie van het bewijs is te beredeneren door gebruik te maken van de formulering van
de theorie in de vorm van een Lagrangiaan die aan de Euler-Lagrange vergelijkingen voldoet. Het
gebruik maken van een formulering van de veldentheorie met Lagangianen is in de rest van dit
dictaat krampachtig vermeden. Niettemin wil ik de grote lijnen van het bewijs schetsen. Een
Lagrangiaan voor een lokale veldentheorie is een reële scalaire functionaal van de verschillende
velden in the theorie met dimensie E4. Het feit dat de Lagrangiaan een scalar is wil zeggen dat er
alleen termen in voor kunnen komen waarin allerlei soorten indices van spinoren en van ruimte-tijd
verdwenen zijn. De enige Lorentz invariante manier om dat te bereiken is dat alle spinoren met een
anti-spinor zijn vermenigvuldigd en alle vector-velden zijn gecontraheerd met ander vector-velden,
met divergentie-operatoren of met gamma-matrices. De CPT transformatie verandert nu de plaats
viervector als x → – x en verandert alle velden in hun geconjugeerde veld. Afgeleides veranderen in
∂ µ → – ∂ µ . We hebben al gezien dat vectorvelden zich onder ijktransformaties als een divergentie
van een scalar veld gedragen en dus geldt A µ → – A µ . In het algemeen krijgen alle elementen die een
oneven aantal Lorentz indices dragen (afgeleides, (pseudo-)vector velden, gamma matrices, ...) een
min teken onder de CPT transformatie. Omdat er alleen scalaire termen kunnen zijn, zijn alle
Lorentz indices gecontraheerd en voor elke contactie wordt twee keer van teken gewisseld, met als
netto effect dat er niets gebeurt. Spinoren kunnen ook alleen in kwadratische vormen van spinor en
anti-spinor voorkomen. Het effect op deze paren is dat spinor en anti-spinor worden verwisseld. Tot
slot moeten alle (complexe) constanten die in de Lagrangiaan voorkomen worden geconjugeerd. Het
netto resultaat is dat de Lagrangiaan overgaat in zijn complex geconjugeerde met argument – x .
Omdat de Lagrangiaan een reëel getal is, is de complex geconjugeerde Lagrangiaan hetzelfde als de
Lagrangiaan en is het enige dat is gebeurt dat de plaats is verandert als x → – x . Dit is een Lorentztransformatie en de Lagrangiaan is invariant onder Lorentz transformaties.
In het algemeen is te stellen dat lokale veldentheoriën van puntdeeltjes in een vier-dimensionale
ruimte-tijd CPT invariant zijn. Als de elementaire deeltjes een dimensie groter dan nul hebben en de
ruimte-tijd meer dan vier dimensies is het mogelijk een theorie te construeren die niet CPT invariant
is, maar zich verder nog wel redelijk gedraagt.
5.8 CP schending in andere systemen dan de kaonen
Op grond van de CKM matrix beschrijving van CP schending in het neutrale kaon systeem verwachten we ook CP schending in andere systemen. In mesonen met charm quarks is te berekenen dat
CP schending aanleiding geeft tot hele kleine effecten, nog veel kleiner dan in het kaon systeem.
Deze effecten zijn volgens verwachting zo klein dat er weinig hoop is ze te observeren.
0
0
0
Veelbelovend is mogelijke CP schending in neutrale B mesonen, B d en B s . Voor de B d is al duide0
0
0
0
lijk mixing tussen B d en B d waargenomen. Men is naarstig op zoek naar mixing tussen B s en B s .
De B mesonen zijn veel zwaarder dan de kaonen en hebben veel meer mogelijke vervalskanalen.
Daarom is er geen groot verschil in levensduur tussen de verschillende CP eigentoestanden. De taktiek om CP schending te meten in het kaon systeem werkt dan ook niet op het B meson systeem. In
plaats daarvan wordt geprobeerd om de hoeken van de unitariteitsmatrix te meten en zo de complexe
fase in de CKM matrix vast te stellen. Deze kan dan worden vergeleken met de complexe fase die in
Collegedictaat Hoge Energiefysica
89
het kaon systeem is gemeten, hoewel er in het kaon systeem grote onzekerheden zitten in verband
met de sterke interactie van de hadronische eindtoestand.
5.9 Kosmologische implicatie van CP schending
Om ons heen zien we duidelijk een overschot aan baryonen over anti-baryonen. Als er hier evenveel
anti-protonen zouden zijn als protonen was het snel met ons gebeurd. Op algemene gronden heeft
Sakharov in 1967 de voorwaarden vastgesteld die nodig zijn om een overschot aan baryonen over
anti-baryonen te krijgen:
• schending van baryon getal
• CP schending
• een fase waarin het heelal niet in evenwicht was
Het idee is dat er een niet-evenwichts-fase is waarin protonen en anti-protonen worden gemaakt.
Door CP schending en schending van baryongetal vervallen de anti-protonen sneller dan de protonen. Het heelal raakt dan in evenwicht en de overgebleven anti-protonen annihileren met protonen.
Doordat in een eerdere fase, door schending van CP, de anti-protonen sneller zijn vervallen blijft er
een overschot van protonen over. Het kan worden aangetoond dat het Standaard Model zelf, in de
vorm van anomaliën, de mogelijkheid heeft baryongetal te schenden bij hoge temperaturen en dus
mogelijk in het vroege heelal. Helaas is het aantal baryonen dat zo kan worden gecreëerd niet
voldoende met de Standaard Model parameters die we nu kennen. Dit zou wel het geval zijn geweest
als het Higgs boson (waar we het later nog in detail over gaan hebben) lichter zou zijn dan 60 GeV.
Dit laatste is inmiddels experimenteel uitgesloten.
90
Collegedictaat Hoge Energiefysica
5.10 Opgaven
5.1
Wat is de pariteit van de a 0 , een electrisch neutraal scalar meson dat dominant in ηπ vervalt ?
5.2
De φ ( 1020 ) heeft J
kaonen vervallen ?
5.3
5.4
Geef een voorbeeld van een intermediaire toestand als een B d in een B d oscilleert.
Wat is een goede test om te kijken of CPT is geschonden ?
PC
Collegedictaat Hoge Energiefysica
= 1
––
0
0
. Waarom kan de φ ( 1020 ) alleen in het paar K S K L neutrale
0
0
91
92
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
11
8
TUE
HOOFDSTUK 6 Massa en het Standaard Model:
Het Higgs mechanisme
In dit hoofdstuk wordt eerst het Standaard Model geformuleerd als Lagrangiaan en de bewegingsvergelijkingen worden als Euler-Lagrange vergelijkingen geïntroduceerd. We laten zien dat het
Standaard Model niet werkt als deeltjes massa hebben. Een complex scalar veld doublet wordt
ingevoerd met een potentiaal die de electrozwakke symmetrie breekt. We laten zien dat zo de Z en W
bosonen massa krijgen. Er blijft dan een fysisch veld over dat zich als deeltje moet manifesteren: het
Higgs deeltje. We laten ook zien hoe de fermion massa termen worden gemaakt met behulp van het
Higgs doublet veld. De eigenschappen van het Higgs boson worden afgeleid, en we gaan in op de
experimentele implicaties. Tot slot geven we de status van de zoektocht naar het Higgs deeltjes en het
vooruitzicht om het te vinden.
6.1 Lagrangianen
Tot nu toe hebben we de hele theorie in termen van bewegingsvergelijikingen beschreven. Om de
bespreking van het Higgs mechanisme wat te vergemakkelijken gaan we in dit hoofdstuk over op een
beschrijving die uit gaat van een Lagrangiaan. In het klassieke geval is een Lagrangiaan een reëelwaardige functie van plaatscoordinaten, q ( t ) , en hun afgeleiden naar de tijd (de snelheden),
q· ( t ) = dq ( t ) ⁄ ( dt ) . De actie wordt dan gegeven door:
t2
I =
∫t L( q ( t ), q ( t ) )dt .
·
(6.1)
1
De actie is minimaal als voldaan is aan de Euler-Lagrange vergelijking:
d ∂L
∂L
– ----= 0.
∂ q ( t ) dt ∂ q· ( t )
(6.2)
In het geval van velden is de Lagrangiaan een Lagrange dichtheid (de ruimte-tijd integraal is de
Lagrangiaan) en een functionaal van de velden, ϕ , en hun afgeleiden naar de tijd en ruimte, ∂ µ ϕ
(we streven natuurlijk ook naar een Lorentzinvariante formulering, vandaar dat als tijd afgeleides
voorkomen, ook ruimteafgeleides moeten voorkomen). Laten we het principe van de minimale actie
los op de Lagrange dichtheid dan krijgen we voor de Euler-Lagrange vergelijking:
∂
∂
∂ µ
L ( ϕ, ∂ µ ϕ ) – L ( ϕ, ∂ µ ϕ ) = 0 .
 ∂ ( ∂ µϕ )
 ∂ϕ
(6.3)
Als we bijvoorbeeld beginnen met een Lagrangedichtheid:
1 2 2
1
µ
(6.4)
L = --- ( ∂ µ φ ∂ φ ) – --- m φ ,
2
2
dan geeft de Euler-Lagrange vergelijking, de bewegingsvergelijking voor een vrij deeltje met spin 0,
de Klein-Gordon vergelijking:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
93
µ
2
∂ µ∂ φ + m φ = 0 .
(6.5)
Op analoge manier geeft de Lagrangedichtheid:
µ
L = iψγ µ ∂ ψ – mψψ ,
(6.6)
aanleiding tot de Dirac vergelijking, de bewegingsvergelijking voor vrije deeltjes met spin 1/2:
µ
iγ µ ∂ ψ – m ψ = 0 ( ψ afgeleide).
(6.7)
λ
µ 2
1 µν
L = – --- F Fµν – --- ( ∂ µ A ) ,
2
4
(6.8)
En de Lagrangedichtheid:
µν
µ ν
ν µ
µ
met F = ∂ A – ∂ A de electromagnetische tensor en A de electromagnetische vectorpotentiaal geeft als Euler-Lagrange vergelijking de homogene Maxwell vergelijkingen:
µ ν
∂ µ∂ A = 0 ,
(6.9)
als λ = 1 , de Feynman-ijk, wordt gekozen.
Het moge duidelijk zijn dat als de Lagrangedichtheid invariant is onder een bepaalde transformatie,
de bewegingsvergelijkingen dat ook zijn. Als de Lagrange dichtheid invariant is onder een globale
transformatie (onafhankelijk van ruimte-tijd) dan krijgen we een ijktheorie door te eisen dat de
Lagrangedichtheid invariant is onder eenzelfde type transformatie, waarbij de transformatie van de
ruimte-tijd afhangt. Deze eis noodzaakt normaal gesproken de introductie van een covariante afgeleide, waarbij een of meer extra velden worden geïntroduceerd. Dit verloopt allemaal net zo als bij de
toepassing van dit idee op bewegingsvergelijkingen. Als voorbeeld geven we aan wat er gebeurt als
we een lokale U(1) symmetrie eisen op de Lagrangedichtheid die bij Dirac spinor velden hoort. De
afgeleide in de Lagrangedichtheid verandert in de covariante afgeleide ∂ µ → D µ = ∂ µ – ieA µ :
µ
µ
µ
L = iψγ µ D ψ – mψψ = iψγ µ ∂ ψ – mψψ + eψγµ A ψ .
(6.10)
We zien dat er een extra veld en een extra term in de Lagrangedichtheid bij zijn gekomen. Dit extra
veld heeft ook een kinetische term nodig, dus de nieuwe Lagrangedichtheid die invariant is onder de
U(1) symmetrie is:
λ
µ 2
µ
µ
1 µν
L = – --- F F µν – --- ( ∂ µ A ) + iψγ µ ∂ ψ – mψψ + eψγ µ A ψ .
(6.11)
2
4
Met de Euler-Lagrange vergelijkingen (er zijn er nu meerdere, voor elk veld een vergelijking), krijgen we nu de inhomogene Maxwell vergelijkingen en de Dirac vergelijking met een storingsterm,
zoals we die al eerder hebben afgeleid in hoofdstuk 2.
Als we al deze Lagrangedichtheden goed bekijken en weten wat de propagatoren zijn van de verschillende velden dan kan op vallen dat als we de kinetische (vrije veld) stukken van de Lagrangedichtheid nemen, de afgeleides door impulsen vervangen en de inverse van die uitdrukking nemen,
we precies de propagator van het betreffende veld krijgen. Dit is geen toeval, maar we gaan daar hier
verder niet op in.
Verder kunnen we aan de termen met verschillende velden de vorm van de interacties zien. In het
algemeen correspondeert elk veld in zo’n term met één lijn van/naar de vertex en geeft de constante
voor de term de sterkte van de koppeling.
94
Collegedictaat Hoge Energiefysica
6.2 Nog eens U(1)xSU(2) ijktheorie
De vrije Lagrangiaan voor de electrozwakke theorie voor een familie van leptonen (zeg electron en
electron-neutrino) is, we splitsen in rechts handige electron singlets en linkshandige doublets:
µ
µ
L = iψ R γµ ∂ ψ R + iψ L γ µ ∂ ψ L – mψ R ψ R – mψ L ψ L .
(6.12)
Hier gaat het al onmiddelijk mis. Voor de linkshandige doublets hebben het electron en neutrino nu
dezelfde massa. Dit is experimenteel evident niet waar. De simpelste fix die we kunnen maken is:
µ
µ
L = iψ R γ µ ∂ ψ R + iψ L γ µ ∂ ψ L – m̂ ( ψ R φ† ψ L + ψ L φψ R ) ,
(6.13)
waarbij er een nieuw doublet veld φ is ingevoerd dat we kunnen denken als φ = 0 .
1
Maar in dat geval breekt de SU(2) symmetrie. Dit is natuurlijk wat we al hadden kunnen verwachten.
Omdat de massa van het electron en electron-neutrino verschilt is een eventuele symmetrie tussen
die twee nooit exact.
De vorm van de Lagrangiaan in formule (6.13) is invariant onder SU(2), alleen onze keuze voor een
vastwaardig veld dat niet symmetrisch is in zijn twee componenten schendt de SU(2) invariantie.
Laten we het kiezen van het veld dus even zitten voor het moment.
Te beginnen met vergelijking (6.13) vullen we nu de volgende covariante afgeleides in (zie formule
(3.6), waarin we alvast de waarde voor Y hebben ingevuld):
µ
g' µ
µ
µ
µ g
∂ → D = ∂ – i --- σW + i ---- B voor linkshandige doublets,
2
2
µ
µ
µ
∂ → D = ∂ + ig'B
µ
(6.14)
voor rechtshandige singlets.
We krijgen dan:
1 µν
1 µν
µ
µ
, (6.15)
L = – --- W W µν – --- B B µν + iψ R γ µ ∂ ψ R + iψ L γ µ ∂ ψ L – m̂ ( ψ R φ† ψ L + ψ L φψ R ) +
4
4
µ g' µ
g
µ
ψ R γ µ B ψ R + ψ L γ µ  --- σW + ---- B  ψ L +
2
2 
2
g’
g' µ  † 
g
2
 ∂ µ φ – i g--- σW µ φ + i --- B φ ∂ µ φ – i --- σW µ φ + i ---- B µ φ – µ φ† φ – λ ( φ† φ )




2
2
2
2
waarbij op de laatste regel van de formule termen zijn toegevoegd die de kinetische term en een algemene vorm van de potentiaal van het veld φ geven. In deze termen zijn ook meteen de covariante
afgeleides ingevuld en we zien dat dus ook het veld φ aan de ijkvelden koppelt. De ijkveldtensoren
zijn gedefinieerd als:
W
µν
µ
ν
ν
µ
µ
= ∂ W – ∂ W – gW × W
ν
(6.16)
en
B
µν
µ ν
ν µ
= ∂ B –∂ B .
(6.17)
1
2
Zoals al in hoofdstuk 3 gedemonstreerd kunnen we de velden W en W combineren tot twee
+
–
3
geladen W boson velden W en W . De velden W en B zijn beide neutraal en zullen mengen tot
0
het Z en foton veld.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
95
We willen nu eerst wat meer weten over het veld φ . Dit veld wordt het Higgs doublet genoemd. De
laatste twee termen van formule (6.15) worden de Higgs potentiaal genoemd. In termen waarin
alleen dit doublet voorkomt kan het alleen in de combinatie φ† φ voorkomen, omdat het resultaat een
reële scalar moet zijn. Verder kan om de theorie renormaliseerbaar te houden de macht van een scalar veld ten hoogste vier zijn. Dus deze Higgs potentiaal, met de arbitraire constanten µ en λ is de
meest algemene mogelijke vorm.
2
Als we nu µ < 0 kiezen dan zien we dat de potentiaal een minimum heeft bij een waarde van het
veld die niet nul is. Het minimum is bovendien gedegenereerd. Als we het veld zien als vier reële
componenten (twee complexe getallen) dan ligt het minimum op een drie-dimensionale bol in de
vier-dimensionale ruimte. We kunnen nu dus (als we met het kwadraat van de componenten maar in
de straal-kwadraat van de bol blijven) drie componenten kiezen, waarna de vierde vastligt.
We hebben al gezien dat het bijna goed leek te gaan als de potentiaal eruit zag als φ = 0 . We laten
1
ons hierdoor inspireren en kiezen het complexe isospin +1/2 veld als 0. Verder kiezen we het complexe isospin -1/2 veld als reëel (dus de complexe component is nul). We schrijven het Higgs doublet
veld als:
φ =
0
,
φ0 ( x )
(6.18)
met het veld φ 0 ( x ) reëelwaardig. Dit is meteeen een keuze die de ijk, de rotatiehoek in de zwakke
isospin ruimte, vast legt. Het minimum van dit veld is echter niet nul en we kunnen het ook schrijven
als (de factor
1 ⁄ 2 is conventioneel):
0
φ = v + ρ(x) ,
-------------------2
(6.19)
waarbij de vacuümverwachtingswaarde
2
v =
–µ
--------λ
(6.20)
de minimumwaarde van φ0 ( x ) geeft en ρ ( x ) als minimum waarde van het veld nul heeft en zich
verder als “regulier” scalar veld gedraagt.
Schrijven we formule (6.15) uit in de vacuümverwachtingswaarde v en het scalar veld ρ ( x ) dan
krijgen we:
1 µν
1 µν
µ
µ
L = – --- W W µν – --- B B µν + iψ R γ µ ∂ ψ R + iψ L γ µ ∂ ψ L – m̂ ( ψ R φ† ψ L + ψ L φψ R ) +
4
4
2
2
2
(6.21)
2 2
µ g' µ
g
1 µ
v +ρ
2v + ρ
ψ R γ µ B ψ R + ψ L γ µ  --- σW – ---- B  ψ L + --- ∂ ρ ∂ µ ρ – µ ----------------- – λ  ----------------- +

2
2
2
2
2 
µ
1
2
µ
3µ
3
2
1µ 1
2µ 2
--- ( v + ρ )  ( g'B – gW ) ( g'Bµ – gWµ ) + g ( W W µ + W W µ ) 


8
96
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
2
We zien nu dat het veld ρ een scalar veld is met massa – µ (we hadden µ < 0 gekozen dus dat
geeft een goede fysische interpretatie.)
We zien verder dat er interacties zijn tussen het veld ρ en alle andere velden, behalve die van het
neutrino. Als we het veld ρ = 0 nemen dan zien we dat er nog termen overblijven met de vacuüm2
verwachtingswaarde erin. Deze termen die met v of v vermenigvuldigen zijn allen kwadratisch in
precies één veld en we kunnen deze termen dus opvatten als massatermen. Met name voor het electron zien we dat de hele massaterm (de term lineair in de kwadratische vorm ψψ ) wordt gegeven
door:
m̂v
------- ψψ ,
2
zodat we de massa kunnen interpreteren als:
(6.22)
m̂v
m e = ------- .
(6.23)
2
Breiden we de Lagrangiaan uit tot meer families van zwakke doublets en nemen we de quark doublet
er ook bij dan kunnen we alle m̂ individueel kiezen en dus ook alle massa van aparte deeltjes
afzonderlijk instellen.
Ook in de ijkvelden zijn nu massatermen gekomen. Voor de massa van de geladen W bosonen zien
1
2
we meteen uit de coëfficiënt van kwadratische vorm in W en W (en dus ook voor de lineaire com+
binaties die W en W
–
vormen) dat:
vg
M W = ---------- .
(6.24)
2 2
Voor de neutrale ijkbosonen ligt de situatie wat ingewikkelder. We weten echter dat een van de twee
neutrale ijkbosonen het foton is en dat het foton geen massa heeft. Dus we willen lineaire combina3
ties van de twee velden W en B , zodat de één een massaterm heeft en de ander niet. Dit kunnen we
makkelijk bereiken door een van de velden gelijk te nemen aan:
µ
µ
3µ
g'B – gW
Z = ------------------------------ ,
(6.25)
2
2
g + g'
die op de normering na gelijk is aan de vorm in de massaterm. De massa van dit veld is dan dus:
v 2
2
M Z = --- g + g' .
2
(6.26)
3
Het massaloze veld wordt dan gevormd door de lineaire combinatie van W en B loodrecht op het Z
veld:
µ
3µ
µ
g'B + gW
A = ------------------------------- ,
2
2
g + g'
(6.27)
MA = 0 .
(6.28)
en dus met:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
97
Uit de Lagrange dichtheid zien we nog dat de hyperlading van het Higgs veld moet zijn: Y φ = + 1 ,
omdat het verschil van de hyperladingen van het rechtshandig singlet en het linkshandig doublet en
het geconjungeerde Higgs doublet nul moet zijn.
KUN
12
6.3 Eigenschappen van het Higgs boson
Het Higgs boson is dus het fysische deeltje dat correspondeert met het veld ρ uit de vorige sectie.
Dit deeltje koppelt dus aan alle andere deeltjes die massa hebben. En de koppelingsconstante naar
elk fermion is evenredig met de massa van het deeltje (bij constructie). Dus we verwachten dat het
Higgs boson met grote waarschijnlijkheid geproduceerd wordt in reacties met zware deeltjes en ook
bij voorkeur vervalt naar deeltjes met grote massa.
6.3.1 Zoeken naar het Higgs boson bij LEP
De LEP versneller is een machine waarin electronen en positronen in tegengestelde richting en met
evengrote energie in het frame van de detectoren met elkaar in botsing worden gebracht. In de eerste
fase van LEP (LEP1), die van 1989 tot en met 1996 heeft geduurd is de energie van de electronen en
positronen zo gekozen dat de zwaartepuntsenergie ongeveer de massa van het Z boson was. In deze
fase resulteerde de botsing van een electron en positron in LEP heel vaak in een annihilatie van de
bundeldeeltjes om zo een Z boson te produceren. Het Z boson werd zo in rust geproduceerd. De vervalsproducten van de Z bosonen werden op vier verschillende plaatsen gedetecteerd met vier verschillende detectoren: ALEPH, DELPHI, L3 en OPAL.
In de tweede fase van LEP (LEP2), die in 1996 begon en in 2000 is afgesloten, is de zwaartepuntsenergie in stapjes opgevoerd naar uiteindelijk 209 GeV.1
De productie van Higgs bosonen bij LEP kan op twee manieren gebeuren:
e+
Z
e+
ν e /e+
W*/Z*
*
Z
H
*
*
W /Z
e-
H
e-
ν e /e-
Het linkse diagram geeft verreweg de dominante bijdrage. In geval van LEP1 is de Z die uit de annihilatie van het electron-positron-paar wordt gemaakt op de massaschil, dat wil zeggen dat het Z
boson als invariante massa zijn rustmassa heeft. In dat geval is het Z boson in de eindtoestand virtueel en heeft een invariante massa die kleiner is dan de rustmassa. Hoe zwaarder het Higgs boson is,
hoe kleiner de invariante massa van het Z boson in de eindtoestand kan zijn. Daardoor wordt het verschil tussen de invariante massa en de rustmassa groter en dempt de propagator van deze Z de werkzame doorsnede met een factor proportioneel aan:
1
--------------------------------------------------------------.
2
2
( ( Q – MZ ) ⁄ ( MZ ΓZ ) – 1 )
(6.29)
De reden dat de invariante massa van het Z boson kleiner wordt en niet de invariante massa van het
Higgs boson (dat natuurlijk ook van de massaschil kan gaan), is dat de vervalsbreedte van het Higgs
boson heel klein is, typisch 1 MeV, terwijl die voor de Z heel groot is, ongeveer 2.5 GeV.
1. De hoogste effectieve energie van LEP was 206 GeV.
98
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Bij LEP2 is de annihilatiepropagator van de Z van de massaschil, zoals aangegeven door de *. In dit
geval is de werkzame doorsnede vrij groot voor s > M Z + M H . Zowel het Z als het Higgs boson in
de eindtoestand worden dan op de massaschil gemaakt. Als de Higgsmassa groter wordt dan
M H > s – M Z dan is de Higgsmassa groter dan de kinematische limiet en zakt de werkzame doorsnede snel in.
De werkzame doorsnede voor het rechtse diagram is veel kleiner, omdat de (virtuele) W of Z propagatoren in het t -kanaal zitten en altijd ver van de massaschil af zijn, doordat hun propagatoren
1
---------------------------------22
2
( Q + M W/Z )
(6.30)
zijn en twee keer als factor in de werkzame doorsnede komen. Alleen ligt in dit geval de kinematische limiet bij:
MH < s
(6.31)
en is het bereik voor de Higgs massa voordat de werkzame doorsnede dramatisch verandert veel
groter.
Dus bij betrekkelijke lage geïntegreerde luminositeit zal het proces van het linkse diagram een
ontdekking of uitsluiting geven als M H < s – M Z , terwijl bij hele hoge luminositeit het rechtse diagram het gebied tussen ( s – M Z ) < M H < s verder kan onderzoeken. Het verschil in luminositeit
dat daarvoor nodig is, is echter heel groot, van de orde van een factor 100. In de praktijk speelt dus
het linkse diagram de hoofdrol.
Uitgaande van de productie van het Higgs boson volgens het linkse diagram zijn er verschillende
eindtoestanden mogelijk. Het Z boson vervalt in paren fermionen volgens de vertakkingsverhoudingen:
Vervalskanaal
Z → qq (q is elk quark)
+ –
Z→l l
( l = e of µ )
+ –
Z→τ τ
Z → νν
Vertakkingsverhouding
69.9 %
Topologie in detector
2 jets
3.36 % (*2 voor e en µ )
2 geïsoleerde leptonen
3.36 %
2 jets of geïsoleerde leptonen
20.0 %
en missende energie
onzichtbaar
Het Higgs boson vervalt in de zwaarst mogelijke deeltjes die voorhanden zijn. Voor Higgs bosonen
met massa’s 2m b ≈ 10 GeV < M H < 130 GeV « 2M W , het gebied dat bij LEP relevant is, vervalt het
Higgs boson dus vooral in paren b quarks. Voor een Higgs boson met 80 GeV < M H < 110 GeV
worden de vertakkingsverhoudingen ongeveer gegeven door::
Vervalskanaal
H → bb
Vertakkingsverhouding
88 %
Topologie in detector
2 b jets
H → cc
3%
2 c jets
Collegedictaat Hoge Energiefysica
99
Vervalskanaal
Vertakkingsverhouding
7%
+ –
H→τ τ
Topologie in detector
2 jets of geïsoleerde leptonen
en missende energie
2 gluon jets
2%
H → gg
Het laatste proces heeft enige toelichting nodig. Het gluon is massaloos en koppelt helemaal niet
direct aan het Higgs veld en het Higgs boson kan dus ook helemaal niet naar twee gluonen vervallen!
Dit gebeurt echter toch. Wat hier gebeurt is dat een hogere orde proces een aanzienlijke waarschijnlijkheid krijgt. Het dominante Feynmandiagram voor dit verval is:
g
H
t
g
De koppeling tussen het Higgs boson en de gluonen wordt door het top quark verzorgd. De koppeling van het Higgs aan de top is erg groot door de grote top quark massa. De koppeling tussen de
top quarks en de gluonen is gegeven door de sterke koppelingsconstante die ook heel groot is. Verder
zijn er een flink aantal combinaties mogelijk van de kleurconfiguratie en wordt de vervalsbreedte
met deze combinatorische factor vermenigvuldigd. De vervalsbreedte wordt nog enigzins gedempt
door de drie top quark propagatoren die flink van de massaschil moeten afwijken, maar deze demping wordt beperkt voor de relatief grote totale vervalsbreedte van het top quark, van de orde van 1
GeV. Al met al speelt dit diagram een rol op het procentniveau van de totale vervalsbreedte van het
Higgs boson, ondanks het feit dat ten opzichte van een puntkoppeling van het Higgs aan een paar
fermionen er twee extra vertices en drie extra propagatoren zijn.
Gegeven de dominante bijdrage van ZH productie aan de totale Higgs boson productie bij LEP,
wordt er dus vooral gezocht naar de volgende eindtoestand topologieën:
1)
qqbb: vier jets, waarvan twee van b quarks
2)
3)
qq ττ : twee jets en twee tau-leptonen
llbb: twee electronen of muonen en twee b quark jets
4)
ττ bb: twee b quark jets en twee tau leptonen
5)
νν bb: twee b quark jets een een grote missende energie en impuls
Andere eindtoestandcombinaties vormen nog slechts minder dan 5% van alle mogelijke gevallen.
Het feit dat b quark jets apart zijn genoemd is omdat bij LEP jets die door een b quark geïnitieerd
zijn kunnen worden herkend, omdat die jets altijd een hadron met een b quark bevatten. Hadronen
met b quarks leven relatief lang en vervallen met hoge multipliciteit in geladen sporen (gemiddeld
5.5). Het punt waar het b hadron vervalt kan worden gerconstrueerd door te kijken waar de sporen
van de vervalsproducten elkaar snijden. Dit punt heet de secondaire vertex, dit is het punt waar het b
hadron vervalt. Uit sporen die ontstaan uit fragmentatie en hadronisatie van de quarks in jets kan een
primaire vertex worden gereconstrueerd, het punt waar de reactie tussen electron en positron plaats
vond. De afstand tussen de primaire en secondaire vertex wordt gemiddeld gegeven door de levensduur van het b hadron in laboratorium systeem, ofwel door de eigen levensduur van het b hadron
maal de Lorentz boost in het laboratoriumsysteem.
In LEP worden niet veel achtergrond gebeurtenissen, dat wil zeggen gebeurtenissen zonder een
Higgs, geproduceerd die erg op de gebeurtenissen met een Higgs verval lijken. De achtergronden
100
Collegedictaat Hoge Energiefysica
verschillen per topologie, maar zijn in het algemeen hogere orde QCD processen (waarbij vier of
meer jets worden gemaakt), en de productie van WW en ZZ paren. De eerste groep achtergrond kan
door zorgvuldige selectie goed van de Higgs gevallen worden onderscheiden, terwijl de productie
van WW en ZZ paren een werkzame doorsnede heeft van dezelfde orde als Higgs productie en op
bepaalde punten toch anders is en dus kan worden onderscheiden.
6.3.2 Zoeken naar het Higgs boson bij het Tevatron
Het Tevatron is een machine waarin protonen en anti-protonen met gelijke energie in tegengestelde
richting worden versneld en met elkaar in botsing gebracht. Omdat (anti-)protonen bij de beschikbare energie van het Tevatron (900-1000 GeV) geen elementaire deeltjes zijn maar zakken met
quarks en gluonen, zijn de eindtoestanden van een reactie tussen een proton en anti-proton in het
Tevatron exprimenteel rommelig. In de interessante gebeurtenissen is er een harde, diep inelastische,
verstrooiing tussen een (anti-)quark of gluon in het proton met een (anti-)quark of gluon in het antiproton. De resterende partonen ((anti-)quarks en gluonen) in zowel het proton als anti-proton geven
jets in de richting van de bundel, waar de experimenten noodzakelijkerwijs gaten hebben om de bundel binnen te laten. De meeste deeltjes tengevolge van de resten van het proton en anti-proton die
overblijven nadat er een parton is uitgeschoten verdwijnen dus ongezien. Dit houdt in dat het behoud
van impuls langs de richting van de inkomende bundel (vaak de z-richting gekozen in experimenten)
niet kan worden gebruikt. Verder is er nog een kleurveld tussen de resten van het (anti-)proton en het
uitgeschoten parton, zodat er ook een activiteit van lage energie deeltjes tussen de bundelpijp en de
jets in de detector is.
In hadron botsers zijn er twee dominante manieren om Higgs bosonen te maken. Er kan een virtueel
Z of W boson worden gemaakt dat in een Higgs en een Z of W op de massaschil vervalt. Dit is net als
bij LEP2. Het virtuele W of Z boson wordt hier echter over het algemeen gemaakt door annihilatie
van een quark met een anti-quark. De andere mogelijkheid die de grootste werkzame doorsnede
heeft voor Higgs boson productie is de fusie van twee gluonen (het verval van het Higgs in twee
gluonen in tijdomgekeerde richting.)
Als het Higgs boson door de fusie van twee gluonen wordt gemaakt en vervolgens in een paar b
quark jets of een paar tau-leptonen vervalt is de achtergrondsituatie desastreus. De productie van
gebeurtenissen met twee quark jets in de eindtoestand is bij het Tevatron zo groot dat noodzakelijkerwijs al een groot deel van deze gebeurtenissen niet kan worden opgeslagen op computermedia en dus
maar meteen worden weggegooid. De efficiëntie voor dit soort Higgs gebeurtenissen is dusdanig dat
het observeren van deze gevallen hopeloos is.
Meer kans biedt het verval van een virtuele W of Z in een Higgs boson. In dit geval is er ook een W
of Z boson op de massaschil in de eindtoestand. Door het leptonisch verval van het W of Z boson is
de gebeurtenis nu makkelijk te herkennen. Het geïsoleerde lepton en neutrino van de W veroorzaken
een duidelijk signaal in de detector. Ook de twee geïsoleerde geladen leptonen van Z verval zijn
makkelijk te herkennen. Helaas is de werkzame doorsnede voor dit soort Higgs productie niet zo
hoog en wordt de zaak verder verslechterd doordat alleen de leptonische vervallen van het W en Z
boson in electronen en muonen uitkomst bieden en dit maar 20 % en 6.7 % is respectievelijk.
Dit is de reden dat het Tevatron tot nu toe nog geen rol heeft gespeeld in de zoektocht naar de Higgs,
vooral omdat de geïntegreerde luminositeit tot nu te laag was. Worden eenmaal genoeg gebeurtenissen geproduceerd, dat wil zeggen is de geïntegreerde luminositeit groot genoeg, dan is wel onmiddelijk het bereik in Higgs massa vrij groot, groter dan dat van LEP. Op het moment wordt hard
gwerkt aan een verbetering van het Tevatron die dit moet gaan waarmaken. Ook de Tevatron detectoren, CDF en DØ, worden verbeterd om een maximale detectieëfficiëntie voor Higgs gevallen te
bereiken.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
101
6.4 Status van het Standaard Model en de Higgs massa
Zoals boven beschreven wordt de directe zoektocht naar het Higgs boson door LEP gedomineerd.
Op dit moment ligt de onderlimiet van de Higgs massa met 95% waarschijnlijkheid bij 114.1 GeV
(CERN-EP/2001-055 (July 11, 2001).)
Aan de andere kant hebben we ook een bovenlimiet op de Higgs massa van LEP. Door bij LEP1 heel
nauwkeurig de eigenschappen van het Z boson te meten kunnen we uit hogere orde correcties wat
over de Higgs boson massa te weten komen.
In het Standaard Model is de Higgs massa de enige parameter die nog niet experimenteel is bepaald.
Veel andere parameters zijn tot op grote precisie bepaald. Ook zijn er theoretische berekeningen
gedaan (Feynman diagrammen uit rekenen !) met een precisie die even goed is als de experimentele
precisie. Door nu de berekeningen te vergelijken met de metingen kunnen de parameters in het
Standaard Model zo worden aangepast, met een fit, dat de beste overeenstemming wordt bereikt. Het
aantal metingen is zo groot dat de parameters overbepaald zijn en er dus ook een zelfconsistentie test
is. Als twee metingen eenzelfde parameter op twee heel verschillende waardes zou willen hebben
voor een goede beschrijving, kan het Standaard Model de twee metingen niet tegelijkertijd beschrijven, een teken dat er iets fundamenteels mis is met het model.
Dit blijkt echter niet het geval te zijn. Integendeel, het Standaard Model kan met een unieke set
parameterwaarden alle precisiedata beschrijven ! In Figuur 6.1 staan in tabelvorm de gemeten
waarden van de belangrijkste grootheden en de gefitte waardes in het Standaard Model die volgen uit
een simultane fit van al deze observabelen.
Summer 2001
Measurement
(5)
Pull
∆αhad(mZ)
0.02761 ± 0.00036
mZ [GeV]
91.1875 ± 0.0021
.03
ΓZ [GeV]
2.4952 ± 0.0023
-.48
σhad [nb]
0
41.540 ± 0.037
1.60
Rl
20.767 ± 0.025
1.11
«
¬
¬
¬
«
­
0,l
-.35
0.01714 ± 0.00095
.69
0.1465 ± 0.0033
-.54
Rb
0.21646 ± 0.00065
1.12
Rc
0.1719 ± 0.0031
-.12
0,b
0.0990 ± 0.0017
-2.90
Afb
0,c
0.0685 ± 0.0034
-1.71
Ab
0.922 ± 0.020
-.64
Ac
0.670 ± 0.026
.06
0.1513 ± 0.0021
1.47
Afb
®
Al(Pτ)
­
¯
°
±
Afb
®
®
°
±
Al(SLD)
­
2 lept
sin θeff (Qfb) 0.2324 ± 0.0012
®
²
(LEP)
mW
³
[GeV] 80.450 ± 0.039
mt [GeV]
´
(TEV)
mW [GeV]
2
sin θW(νN)
³
µ
³
QW(Cs)
³
174.3 ± 5.1
.86
1.32
-.30
80.454 ± 0.060
.93
0.2255 ± 0.0021
1.22
-72.50 ± 0.70
meas
fit
meas
(O
−O )/σ
-3 -2 -1 0 1 2 3
.56
-3 -2 -1 0 1 2 3
Precisiemetingen van Standaard Model observabelen en de waarden van een Standaard
Model fit aan deze observabelen. De fit is overbepaald en de verdeling van “pulls” geeft een goede
indicatie van de zelfconsistentie van het model.
FIGUUR 6.1.
102
Collegedictaat Hoge Energiefysica
6
»
80.6
LEP1, SLD, νN, APV Data
−
LEP2, pp Data
68% CL
theory uncertainty
¸
Ç
∆αhad =
(5)
»
80.5
mW [GeV]
º
0.02761±0.00036
¹
0.02738±0.00020
»
80.4
Å
4
Æ
»
80.3
∆α
mH [GeV]
114 300 1000
150
170
¾
½
∆χ2
¼
¿
Preliminary
À
»
80.2
130
190
210
mt [GeV]
Ã
Ä
Á
Â
2
mt [GeV]
0
All except mt
68% CL
200
Excluded
20
Preliminary
100
180
160
400
mH [GeV]
mt (TEVATRON)
140
Excluded
Preliminary
¶
·
10
10
2
mH [GeV]
10
3
È
É
2
Links: De χ van de Standaard Model fit als functie van de Higgs massa (op
logairthmische schaal). Rechtsboven: 66% waarschijnlijkheidscontouren in het vlak van de W boson
en top quark massa (contouren). De voorspellingen van het Standaard Model als functie van de
Higgs massa zijn ook gegeven. Rechtsonder: 66% waarschijnlijkheidscontouren in het vlak van de
top quark en Higgs boson massa (contouren). Aangegeven is het gebied van Higgs boson massa’s
dat door directe zoekanalyses bij LEP2 is uitgesloten. Deze figuren representeren de status in 2001
en zijn te vinden op het web: http://lepewwg.web.cern.ch/LEPEWWG/plots/summer2001/.
FIGUUR 6.2.
In Figuur 6.2 is de situatie voor de massa van het Higgs boson weergegeven. Uit deze figuren is
onder meer te concluderen dat het Higgs boson met een waarschijnlijkheid van groter dan 95% een
massa heeft tussen de 114 GeV en de 188 GeV.
In de volgende run van het Tevatron, tussen 2000 en 2005, zal de top quark massa waarschijnlijk tot
1 a 2 GeV precisie gemeten gaan worden. Ook bij het Tevatron kan de massa van het W boson tot
ongeveer 35 MeV bepaald gaan worden en omdat deze meting helemaal onafhankelijk is van die bij
LEP2 wordt de totale nauwkeurigheid van de W massa bepaling dan ongeveer 35 ⁄ ( 2 ) = 25 MeV.
Dit geeft (zie Figuur 6.2) een betere indirecte bepaling van de Higgs boson massa.
Verder zal bij voldoende luminositeit een Higgs boson met een massa tot 170 a 180 GeV bij de volgende run van het Tevatron kunnen worden gevonden of uitgesloten.
We zien dat het net om de laatste vrije parameter van het Standaard Model zich al aardig begint te
sluiten.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
103
6.5 Opgaven
6.1
2
2
2
Schets de Higgs potentiaal ( µ φ† φ + λ ( φ† φ ) ) voor positieve en negatieve waarden van µ .
Waarom moet λ altijd positief zijn om een fysisch model te krijgen ? Waarom werkt een posi2
6.2
6.3
6.4
6.5
104
tieve waarde van µ niet om spontane symmetriebreking te krijgen ?
Gegeven is de massa van het tau-lepton, m τ = 1777 MeV. Gebruik de vertakkingsverhoudingen van het Higgs boson zoals in de tabel in dit hoofdstuk gegeven om de massa van het b en c
quark uit te rekenen. Klopt dit met de massa van het b en c quark die uit de massa van de ϒ ,
m ϒ = 9460 MeV, en de J/ψ , m J/ψ = 3097 MeV ?
Teken drie verschillende Feynmandiagrammen voor Higgsproductie bij het Tevatron.
Waarom begint de werkzame doorsnede voor de Higgsproductie bij LEP al een paar GeV
onder de kinematische limiet fors af te nemen ?
Geef twee onafhankelijke manieren om de massa van de Higgs te bepalen in een LEP gebeurtenis met een positief en negatief muon en twee jets. Welke zou nauwkeuriger zijn ? Kan de
situatie nog verder worden vebeterd ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
13
HOOFDSTUK 7 Voorbij het Standaard Model:
Supersymmetrie
In dit hoofdstuk kaarten we de problemen van het Standaard Model aan. Deze problemen zijn alle
van theoretische aard, want het Standaard Model beschrijft de huidige experimentele resultaten naar
grote tevredenheid. Supersymmetrie zal worden besproken als een mogelijke oplossing van een aantal theoretische problemen van het Standaard Model. Supersymmetrie transformeert fermionen in
bosonen en vice versa. De experimentele implicaties van supersymmetrie zullen worden besproken.
7.1 Renormaliseerbaarheid
Zoals we al gezien hebben in hoofdstuk 4 hebben we het volgende type Feynman diagram dat
bijdraagt aan de zelfenergie van een scalair deeltje, bijvoorbeeld het Higgs deeltje:
We hebben ook gezien dat we dergelijke hogere orde diagrammen in bepaalde gevallen kunnen
absorberen in een herdefinitie van de koppelingsconstante en in dit geval kan het in een herdefinitie
van de massa van het (Higgs) deeltje. Als we dit soort diagrammen expliciet proberen uit te rekenen
krijgen we een probleem. Als we de koppeling van de scalar aan het fermion-paar λ nemen, dan correspondeert dit diagram met een term:
4
4
2


d q
1
d q
1
1
2
λ
-.
- ( 1 – γ 5 ) ------------------------- = ( – 2λ ) -------------4 ---------------------– ----- -------------Tr
 ( 1 + γ 5 ) ------------------------2
2
4
µ
µ
4 ( 2π ) 
( 2π ) ( q – m )
( γ qµ – m )
( γ q µ – m )
∫
∫
(7.1)
Met q de vierimpuls in de fermionlus in het rustsysteem van de scalar (in dat geval zijn de vierimpuls voor het fermion en anti-fermion in de lus van dezelfde absolute grootte met verschillend teken.)
2
Deze integraal divergeert kwadratisch voor grote waarden van q . Zoals we zagen vegen we dit
onder het tapijt door dit soort oneindigheden in koppelingsconstanten en massa’s te absorberen.
Het blijkt dat in het algemeen een theorie alleen maar renormaliseerbaar is te houden, dat wil zeggen
dat we alle oneindigheden in een eindig aan tal koppelingsconstanten en massa’s kunnen absorberen,
als de energiedimensie van alle factoren van velden ten hoogste vier is. De energiedimensie van een
scalar- of vectorveld, φ , is 1, die van een fermionveld, ψ , 3/2. Dus zijn de termen die toegestaan
zijn:
2
3
4
2
2
φ ,φ ,φ ,φ ,ψ ,ψ ,φψ .
(7.2)
Termen die lineair zijn in één veld alleen geven geen bijdragen aan de theorie (ze geven alleen maar
Feynman diagrammen die geen ingaande of uitgaande deeltjes hebben en zijn dus niet fysisch.) De
3
andere vormen zien we allemaal terug in de Standaard Model Langrangiaan, behalve de φ vorm die
in dat geval niet kan, omdat het Higgs veld een complex scalar doublet is en we dus steeds producten
Collegedictaat Hoge Energiefysica
105
van complex doublet en het geconjungeerde veld nodig hebben om een reëel scalair antwoord te
krijgen.
7.2 Het hiërarchieprobleem
Omdat lusdiagrammen die bijdragen aan de propagator of een correctie geven op de vertex geabsorbeerd kunnen worden in een herdefinitie (renormalisatie) van de koppelingsconstanten en de massa is
de consequentie (zoals we al hebben gezien voor de sterke koppelingsconstante in hoofdstuk 4) dat
de koppelingsconstante en de massa af hangen van de energieschaal die wordt gebruikt om die
grootheden te meten. Met name geldt dit voor alle drie de koppelingsconstanten, die van de U(1),
SU(2) en SU(3) groepen. Het blijkt dat de drie koppelingsconstanten bij een energieschaal van de
16
orde van 10 GeV de zelfde waarde hebben (ongeveer 1/26). Deze energieschaal heet de “Grand
Unification Scale” ook wel afgekort tot GUT. Er is nog een hogere energieschaal die speciale
18
betekenis heeft, namelijk de Planck schaal die van de orde van 10 GeV is. Bij de Planck schaal
gaat zwaartekracht zo’n grote rol spelen dat quantumtheorie zonder zwaartekracht geen correcte
theorie meer kan zijn.
Nu hebben we dus twee energieschalen die een rol spelen in the theorie. Bij de ene schaal van orde
2
16
10 GeV wordt de electrozwakke symmetrie gebroken en bij de andere schaal bij 10 GeV wordt
de relatie tussen electrozwakke en sterke koppelingsconstanten verbroken. Dit verschil in energieschalen geeft een praktisch probleem.
Als we aannemen dat in beide gevallen het Higgs mechanisme verantwoordelijk is voor het breken
van de respectievelijke symmetrie dan geldt voor het potentiaalstuk van de Lagrangiaan voor deze
twee Higgs velden, Φ en φ , in het algemeen:
1
2 2
4 1
2 1
4 1
2 1
V Higgs = – --- AΦ + --- BΦ – --- aφ + --- bφ + --- λΦ φ .
2
4
2
4
2
De GUT symmetrie wordt gebroken bij de schaal
(7.3)
2
A
V GUT = --- .
(7.4)
B
De vacuümverwachtingswaarde van het Higgs veld dat de GUT symmetrie breekt speelt nu ook een
rol bij de breking van de electrozwakke symmetrie
2
2
v EW
2
( a – λV GUT )
= ------------------------------ .
b
(7.5)
2
Overigens heeft de formule voor V GUT net zo’n correctie, maar omdat v EW zo klein is ten opzichte
2
van V GUT is die correctie te verwaarlozen. In geval van formule (7.5) ligt dat helemaal anders. Als
λ ongelijk aan nul is, dan moeten de parameters a en λ op elkaar zijn afgestemd met een precisie
van 26 orden van grootte, het kwadraat van het quotiënt van de GUT en electrozwakke schalen.
Dit probleem heet het hiërarchie probleem. Nu is het niet zo’n drama als er dus één keer zo’n afstemming moet plaats vinden. Maar in storingstheorie zouden we voor elke nieuwe orde in de berekening
de waarden van a en λ opnieuw op elkaar moeten afstemmen met die geweldige precisie.
106
Collegedictaat Hoge Energiefysica
7.3 Supersymmetrie
Een van de theoretische mogelijkheden die op het moment sterk in de belangstelling staan om een
aantal problemen in het Standaard Model aan te pakken is Supersymmetrie. Supersymmetrie is een
symmetrie tussen fermionen en bosonen. De generator van deze symmetrie is een operator die werkend op een fermion een boson geeft en werkend op een boson een fermion. We moeten ons echter
realiseren dat een fermionvelden en bosonvelden verschillende spin vrijheidsgraden hebben. Als we
dus een spin 1/2 fermion transformeren met een supersymmetrie operator dan moeten er twee spin 0
velden tegenover staan. Dit probleem pakken we aan door de Dirac fermion spinoren te herschrijven
in twee Weyl spinoren:
ΨD =
ψα
χ
·
α
.
(7.6)
·
De indices α en α lopen van 1 tot 2 en het puntje boven de index geeft aan dat het gaat om het veld
dat beneden in de Diracspinor staat. Met ladingsconjugatie krijgen we:
c
ΨD =
–σ2 0
ψα
T
=
·
0 σ 2 χα
χα
ψ
·
α
.
(7.7)
·
α
Alle uitdrukkingen met Ψ D kunnen we nu omschrijven in de Weylspinoren ψ α en χ .
Terzijde: een apart geval zijn nog fermionen waarbij de ladingsgeconjugeerde toestand gelijk is aan
zichzelf, dus met:
ψα = χα .
(7.8)
Dit zijn fermionen die hun eigen anti-deeltje zijn en heten Majorana fermionen.
De Supersymmetrie operator kunnen we nu opvatten als een Weyl spinor, Q α . Het blijkt dat deze
operator voldoet aan een aantal opmerkelijke (anti-)commutatie relaties:
µ
[ P , Qα ] = 0
{ Q α, Q β } = { Q α· , Q β· } = 0 .
{ Q α, Q β· } = 2σ
(7.9)
µ
·P
αβ µ
De indices van de ladingsgeconjugeerde Weylspinoren hebben conventioneel een punt boven hun
hoofd. Zoals te verwachten viel voor spinoren, anti-commuteren deze operatoren soms niet. Maar uit
de niet triviale anti-commutator komt een vorm met de vierimpulsoperator. Dit betekent dat supersym-metrische transformaties en Poincaré transformaties in een groep moeten worden ondergebracht.
Als we een toestand hebben met vierimpuls p en spin λ , |p, λ⟩ , dan geldt:
1
Q 1 |p, λ⟩ = 2 E |p, λ – ---⟩
2
E
1
Q 2 |p, λ – ---⟩ = ------- |p, λ⟩
2
2
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Q 1· |p, λ⟩ = 0
.
(7.10)
1
Q 2· |p, λ – ---⟩ = 0
2
107
Dit betekent dat er steeds precies twee met elkaar corresponderende spintoestanden kunnen zijn van
een fermion en een boson. De supersymmetrie operatoren ladderen tussen deze twee toestanden op
en neer.
De supersymmetrische operatoren geven in het kwadraat altijd de nultoestand. Dus het is alleen maar
mogelijk 1/2 spin naar boven of beneden te gaan. Het is wel mogelijk meerdere supersymmetrische
operatoren te gebruiken. Deze theorieën worden aangegeven met N = … supersymmetrie.
Voor N >1 moet de theorie als die chirale multipletten heeft, zoals die van de SU(2) zwakke symmetrie, ook supersymmetrische partner chirale multipletten hebben. Voor N = 1 is dit niet nodig.
Dit is voor veel theoreten een motief om vooral N = 1 supersymmetrie te bestuderen.
Omdat de supersymmetrische generatoren mengen in dezelfde groep als de Poincaré operatoren,
beschouwen we bij lokale Supersymmetrie, dat wil zeggen Supersymmetrie als Yang-Mills theorie,
automatisch lokale Poincaré invariantie en dat leidt dan weer naar een theorie van zwaartekracht. Het
eenvoudigste model hiervoor is supergravity. Dit model is uitvoerig bestudeerd. Het blijkt niet te
voldoen aan de eis dat zwaartekracht en quantumveldentheorie consistent zijn te combineren. In
meer geavanceerde theorieën die elementaire deeltjes niet als puntdeeltjes zien, maar als één of
tweedimensionale objecten in een ruimte met meer dan vier dimensies (de zogenaamde supersnaar
of superstring theorieën) lijkt dat misschien wel te lukken. In deze theorieën is Supersymmetrie een
onvervreemdbaar onderdeel.
Een buitengewone aardige eigenschap van Supersymmetrische theorieën is (bij constructie) dat
hogere orde correcties ten gevolge van lusdiagrammen verdwijnen. Dit komt omdat er voor elke fermion lus ook twee boson lussen bestaan die samen een even grote bijdrage geven als de fermionlus,
maar met tegengesteld teken.
7.4 Het Minimale Supersymmetrische Standaard Model
Het Minimale Supersymmetrische Standaard Model (MSSM) is het model dat het Standard Model
bevat en Supersymmetrisch is met een minimum aan extra velden (deeltjes) bovenop de Standaard
Model velden.
7.5 Het deeltjesspectrum van het MSSM
In eerste instantie zouden we kunnen denken dat we zoveel mogelijk fermionen en bosonen bij
elkaar kunnen zoeken om samen in supermultipletten te stoppen. Dit blijkt niet mogelijk, onder meer
vanwege de chirale symmetrie van de electrozwakke sector.
Dus moeten we wel voor elke vrijheidsgraad van het Standaard Model deeltjes nieuwe Supersymmet-rische partnervelden invoeren.
Het deeltjesspectrum komt er dan aldus uit te zien:
Standaard Model deeltje
quarks:
Supersymmetrische partner(s)
squarks:
u, d, s, c, b, t
ũR , ũ L , d̃ R , d̃ L , s̃ R , s̃ L , c̃ R , c̃ L , b̃ R , b̃ R , t̃ L , t̃ R
TABEL 7.1. Deeltjesspectrum
108
van het MSSM.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Standaard Model deeltje
leptonen:
Supersymmetrische partner(s)
sleptonen:
e, νe ,µ ,νµ ,τ ,ντ
ẽ R , ẽ L , ν̃ eR , ν̃ eL , µ̃ R , µ̃ L , ν̃ µR , ν̃ µL , τ̃ R , τ̃ L , ν̃ τR , ν̃ τL
IJkbosonen en Higgs:
chargino’s en neutralino’s:
±
g, γ ,Z, W , h, H, A, H
±
±
TABEL 7.1. Deeltjesspectrum
±
0
0
0
0
g̃ , χ̃ 1 , χ̃ 2 , χ̃ 1 , χ̃ 2 , χ̃ 3 , χ̃ 4
van het MSSM.
Voor alle fermionen (quarks en leptonen) zijn er twee spin 0 bosonen die met L en R als subscript
zijn gemerkt. Deze labels slaan op het feit dat de spin 0 bosonen de partners zijn van de linkse en
rechtse chirale toestanden van de fermionen. Zelf hebben deze deeltjes geen chiraliteit, want ze hebben geen spin. De twee superpartner bosonen hebben dezelfde quantumgetallen en de toestanden
kunnen dus mengen en in het algemeen hoeven de electrozwakke en sterke eigentoestanden niet hetzelfde te zijn en kunnen ook weer van de massa-eigentoestanden verschillen.
De supersymmetrische partners van de gluonen zijn de gluïno’s. Voor de electrozwakke ijkbosonen
en Higgs bosonen zijn het de chargino’s en neutralino’s. Deze supersymmetrische partners zijn spin
1/2 fermionen.
7.6 De Higgs sector van het MSSM
In Supersymmetrische modellen in het algemeen, en dus in het MSSM in het bijzonder, is het nodig
om twee Higgs doubletten in te voeren. In dit geval koppelt één Higgs doublet aan de up, charm en
top quarks en aan de neutrino’s. Het andere Higgs doublet koppelt aan de down, strange en bottom
quarks en geladen leptonen. Op deze manier wordt voorkomen dat via een supersymmetrisch
omweggetje neutrale stromen kunnen worden gegenereerd die quarks van verschillende families
koppelt, iets dat we in de praktijk nog niet hebben gezien. Nog steeds worden van één van de twee
complexe doublet velden drie vrijheidsgraden gebruikt om de W en Z bosonen massa te geven en
blijft er dus van dat doublet een reëel scalarveld over. Van het tweede complexe doublet blijven alle
vrijheidsgraden over als fysische deeltjes.
In totaal krijgen we voor de Higgs sector op deze manier twee CP-even scalar deeltjes, de h0 en de
±
H0, één CP-oneven scalar deeltje, de A0, en een paar geladen Higgs bosonen, de H .
De twee CP-even neutrale Higgs bosonen, h0 en H0, hebben dezelfde quantumgetallen en de toestanden kunnen dus weer mengen. De menghoek wordt over het algemeen aangegeven met α .
Beide Higgs doubletten hebben een vacuümverwachtingswaarde die ongelijk aan nul is en die
respectievelijk v 1 en v 2 zijn. De verhouding van die twee definieert de hoek β :
v
tan β = ----2- .
v1
(7.11)
De h0 en H0 zijn de massa-eigentoestanden van de neutrale CP-even Higgs velden en per definitie is
m 0<m
h
H
0
.
(7.12)
In laagste orde blijkt er een hiërarchie van massa’s te zijn:
m 0<m
h
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Z
0
<m
H
0
,
(7.13)
109
waaruit we zouden kunnen concluderen dat het neutrale Higgs boson met de laagste massa lichter is
dan het Z boson. In dat geval zouden we het nu al wel hebben moeten zien !
Helaas blijkt ook dat hogere orde correcties de massa van de Higgs bosonen behoorlijk veranderen
en dat in het bijzonder relatie (7.13) niet meer geldt. Desalniettemin is de massa van het lichtste
Higgs boson in het MSSM nog steeds gelimiteerd tot ongeveer maximaal 135 GeV. Zelfs in het
meest algemene geval van N=1 supersymmetrische modellen die het Standaard Model bevatten kan
het lichtste Higgs boson niet zwaarder zijn dan ongeveer 210 GeV.
7.7 Experimentele informatie over het MSSM
De prijs die we met het MSSM betalen is dat er in het meest algemene geval 108 nieuwe parameters
bijkomen, bovenop de Standaard Model parameters.
Als we behalve Supersymmetrie ook eisen dat de koppelingsconstanten en massa’s bij de GUT
schaal voor alle deeltjes uit dezelfde klasse dezelfde waarde aannemen, dan reduceert het aantal
parameters sterk. In supergravity blijven er dan nog vier tot vijf over, afhankelijk van de precieze
aannames.
We weten al dat de supersymmetrie gebroken moet zijn, omdat er geen supersymmetrische partners
bekend zijn met dezelfde massa als de Standaard Model deeltjes die we kennen. Om het hiërarchieprobleem enigszins op te lossen moeten de Supersymmetrische partners niet veel zwaarder zijn dan
van de orde van 1000 GeV, maar er is geen stringente limiet, zoals voor de lichtste Higgs.
Naar alle squarks en sleptonen is en wordt nog steeds actief gezocht. Tot nu toe zonder resultaat. De
massalimieten zijn dat dit soort deeltjes niet bestaan met een massa van de orde van 100 GeV of
minder. De precieze limieten hangen af van het soort deeltje.
De supersymmetrische partners van de Standaard Model deeltjes kunnen alleen vervallen in andere
supersymmetrische deeltjes. Daarom kan het lichtste supersymmetrische deeltje niet verder vervallen en is het stabiel. Normaal wordt aangenomen dat de lichtste supersymmetrische partner (LSP)
0
het lichtste neutralino is χ̃ 1 . In dat geval is het LSP bijna niet waar te nemen, want het heeft geen
interacties met gewone materie en is electrisch-, zwak- en kleur-ongeladen.
De massa van het LSP kan grote implicaties hebben voor de kosmologie, omdat er grote hoeveelheden van in het heelal rond zouden kunnen zweven. Het is daarom van belang op een mogelijk LSP
een zo sterk mogelijke massalimiet te zetten, als we het niet kunnen vinden.
In Figuur 7.1 is de huidige massalimiet voor het lichtste neutralino te zien (met bepaalde model aannames voor het MSSM). Op het moment is die massalimiet m 0 > 52 GeV bij 95% C.L.
χ̃ 1
110
Collegedictaat Hoge Energiefysica
lim
Mχ (GeV/c2)
Ê
80
60
50
40
µ>0
2
Mtop= 175 GeV/c
2
Mtop= 180 GeV/c
Ì
20
lim
2
70
30
Mχ (GeV/c2)
A0=0, m0<1 TeV/c
ADLO preliminary
10
20
30
Ê
40
50
tanβ
Ë
80
70
60
50
40
30
20
µ<0
Ì
10
20
30
2
Mtop= 175 GeV/c
2
Mtop= 180 GeV/c
40
50
tanβ
FIGUUR 7.1. Massa limiet voor het lichtste neutralino (a) en het een na lichtste neutralino (b), als
functie van tan β , het quotient van de vacuümverwachtingswaarden van de twee Higgs doubletten.
Dit figuur kan worden gevonden op de web pagina van de Searches werkgroep van LEP:
http://lepsusy.web.cern.ch/lepsusy/.
Í
Door naar de Higgs te zoeken is het MSSM “testbaar”, dat wil zeggen dat als er géén licht Higgs
boson is ook het MSSM onmogelijk is.
Wel moet enige zorg worden betracht in het interpreteren van resultaten van Higgs zoekanalyses. De
koppelingen zijn anders, en dus het mogelijke aantal geproduceerde gevallen is anders. Ook zijn er in
het MSSM mogelijke vervalskanalen die er in het Standaard Model niet zijn.
In Figuur 7.2 is met dit alles rekening gehouden. De massa limieten hangen af van meerdere (van de
108) parameters. De limieten zijn afgebeeld in het vlak van de lichtste CP-even Higgs massa en van
de CP-oneven Higgs massa. Over de andere parameters is geïntegreerd, dat wil zeggen dat ze alle
mogelijke waarden mogen aannemen en de limiet toch geldig is.
Het voert te ver om alle details van de figuur te bespreken. We kan makkelijk worden gezien dat als
een klein gebied bij m 0 ≈ 80 GeV en m 0 < 10 GeV buiten beschouwing wordt gelaten de lichtste
h
A
Higgs zwaarder moet zijn dan ongeveer 80 GeV.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
111
LEP 88-209 GeV Preliminary
mA° (GeV/c2)
160
140
Ð
mh°-max
Ñ
120
Ò
Theoretically
Inaccessible
100
80
60
40
Î
20
0
Excluded
by LEP
Ï
0
20
40
60
80
100 120 140
2
mh° (GeV/c )
FIGUUR 7.2. Massalimieten voor de lichtste CP-even Higgs en de CP-oneven Higgs in het MSSM. Dit
resultaat staat op de Los Alamos preprint server (http://arXiv.org/) als preprint hep-ex/0107030.
112
Collegedictaat Hoge Energiefysica
7.8 Opgaven
7.1
7.2
Laat zien dat het aantal vrijheidsgraden van de ijkbosonen en Higgs deeltjes in het Standaard
Model met een tweede Higgs doublet gelijk is aan het aantal vrijheidsgraden van de supersymmetrische partners.
Teken het Feynmandiagram van de mogelijke vervallen van het lichtste chargino in het lichtste
neutralino. Doe hetzelfde voor het verval van het scalair top (stop) squark.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
113
114
Collegedictaat Hoge Energiefysica
KUN
14
9
TUE
HOOFDSTUK 8 Het huidige en toekomstige
Experimentele Hoge Energiefysica
programma
In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van het huidige en toekomstige experimentele hoge
energiefysica programma in de wereld. Er zal worden besproken hoe het experimentele hoge energiefysica onderzoek in Nederland is georganiseerd en in welke experimenten Nederland en meer in
het bijzonder de Universiteit van Nijmegen een specifiek belang heeft.
8.1 e+e- botsers
Op dit moment zijn de e+e- botsers onder te
verdelen in e+e- botsingen bij de hoogste energie, bij LEP, en in e+e- botsers bij lagere energie met het doel een specifiek deeltje te
produceren. In deze laatste categorie bevinden
zich de zogenaamde “b-factories”, waar grote
hoeveelheden b-quarks worden gemaakt bij de
drempelenergie om deze quarks in paren te
maken. Bij Cornell is het CLEO experiment bij
de CESR e+e- opslagring. Dit is de oudste bfactory met een lange staat van dienst. Bij
CESR hebben het electron en positron dezelfde
energie en worden de B mesonen in rust geproduceerd. Dit heeft als gevolg dat geen levensduren
kunnen worden gemeten en de verschillende B mesonen niet met een secondaire vervalsvertex zijn
te onderscheiden. Daar staat tegenover dat in de CLEO detector de
eindproducten van de reactie zo goed kunnen worden gereconstrueerd dat de vervalsproducten kunnen worden gegroepeerd per B
meson verval door de massareconstructie van de B mesonen. Het
onderzoeksprogramma aan b-quarks bij CLEO is intussen afgesloten, omdat er twee nieuwe faciliteiten zijn die dat veel beter kunnen.
De CESR ring en CLEO detector worden nog wel gebruikt om hoge
statistiek metingen aan de productie van c-quarks te doen bij een
lagere invariante massa.
Recentelijk zijn twee faciliteiten en bijbehorende experimenten
gestart waarbij de energie van het electron en positron verschilt,
zodat de geproduceerde B mesonen (snel) in het laboratoriumsysteem bewegen en de vervalsvertices duidelijk kunnen worden waargenomen. De eerste faciliteit is bij KEK in JAPAN en het experiment
heet BELLE. De andere faciliteit is bij SLAC in Californië in de
Verenigde Staten waar het experiment BaBar is begonnen met het
Collegedictaat Hoge Energiefysica
115
nemen van data. In beide gevallen kunnen met
name een aantal dingen met betrekking tot CP
schending worden bepaald, die bij CLEO niet zijn
te meten. De metingen bij deze nieuwe experimenten richten zich vooral op het nauwkeurig
bepalen van een aantal hoeken en zijden van de unitariteitsdriehoek. Met name de mixinghoek sin 2β
0
0
wordt gemeten door het verval B d → J ⁄ ψ K S en
die van de geconjungeerde toestand te bestuderen.
Op de vorige pagina zijn de CESR ring en CLEO
experiment te zien en de KEK asymmetrische bfactory en het BELLE experiment. Hiernaast is de
PEP2 ring bij SLAC en het BaBar experiment te
zien.
De resultaten van de experimenten, ALEPH,
DELPHI, L3 en OPAL, bij de LEP e+e- botser op
CERN bij Genève zijn reeds getoond toen de toestand van het Standaard Model is besproken in
Hoofdstuk 6.
Hiernaast is de LEP versneller te zien.
8.2 Hadron botsers
Op dit moment is de verbeterde Tevatron proton-anti-proton botser op Fermilab bij Chicago in de
Verenigde Staten weer actief. Bij deze versneller is al data genomen tussen 1989 en 1996. In deze
data is door de twee actieve experimenten, CDF en DØ, het top quark gevonden. Vanaf voorjaar
2001 is het Tevatron weer gestart, dit keer met een wat hogere energie, 2 TeV in plaats van 1.8 TeV
in het zwaartepuntssysteem, en een luminositeit die 10
keer zo hoog is en waaraan wordt gewerkt om die nog
hoger te maken. De twee experimenten CDF en DØ
hebben ook een grote face-lift ondergaan. Dit is met
name nodig om de hogere telsnelheden aan te kunnen
en om veel beter b-quarks te kunnen herkennen. Het
identificeren van b-quarks is een sleutel in de zoektocht
naar het Higgs boson en in metingen aan top quarks.
Hiernaast is de Tevatron versneller te zien en het DØ
experiment.
D0 Detector
TRACKING
σ(vertex)=6 mm
σ(rφ) = 60 µm (VTX)
= 180 µm (CDC)
= 200 µm (FDC)
δp = 0.2
p
116
CALORIMETRY
|η|<4
∆η x ∆φ = 0.1x 0.1
σ(EM) = 15%/ E
σ(HAD) = 50%/ E
MUON
|η| < 3.3
Ô
0.01p
Ó
Collegedictaat Hoge Energiefysica
In de LHC versneller worden twee bundels van protonen in tegengestelde richting versneld en op
elkaar gebotst met een zwaartepuntsenergie van 14 TeV. De voorbereidingen voor de bouw van deze
versneller en opslagring zijn in volle gang. In het najaar van 2000 is de LEP versneller gestopt en
ontmanteld. Momenteel worden de noodzakelijke veranderingen aan de LEP tunnel en de ondergrondse hallen voor de experimenten gedaan, waarna de LHC machine wordt geïnstalleerd. De versneller moet in 2006 beschikbaar zijn voor de productie van de eerste proton-proton botsingen bij 14
TeV. Bij de LHC zijn twee algemene experimenten gepland, ATLAS en CMS. Verder staan er nog
twee gespecialiseerde experimenten op het programma: LHCb en ALICE. In het LHCb experiment
wordt de hoge werkzame doorsnede voor b-quarks in de voorwaartse richting gebruikt om zeer veel
b-quarks te produceren. Bij dit expriment zal het mogelijk zijn om alle hoeken en alle zijden van de
unitariteitsdriehoek precies na te meten. Bij het ALICE experiment worden zware ionen, zoals goud
of lood, in de LHC versneld en gebotst. Hierbij zal een ongekende hoeveelheid energie in een heel
klein volume worden gestopt onder gecontroleerde condities. Men hoopt de overgang van de verschijning van quarks en gluonen in hadronen naar een quark-gluon plasma te kunnen waar nemen en de
eigenschappen van het quark-gluon plasma te kunnen meten.
8.3 Lepton-hadron botsers
De eerste diep inelastische electron-proton verstrooiingen, die aanleiding gaven tot het parton model
en later tot het herkennen van quarks in het proton, zijn gedaan bij SLAC. Dit waren fixed-target
experimenten met een- of twee-armige spectrometers. Dit was aan het eind van de jaren zestig en het
begin van de jaren zeventig.
In de jaren zeventig en tachtig zijn een groot aantal lepton-hadron verstrooiings experimenten
gedaan met verschillende experimentele technieken. Zowel electronen, muonen als muon neutrino’s
zijn verstrooid aan een veelheid van doelen. Populaire doelen waren waterstof en deuterium, maar
ook zwaardere doelen zijn gebruikt, zoals marmer (wat een goed zwaar doel blijkt te zijn als je evenveel protonen als neutronen wil hebben in het doel.)
Door de gegevens van de verschillende leptonen en doelen te combineren is veel informatie beschikbaar gekomen over verdelingsfuncties van verschillende typen quarks. Door in de jaren tachtig van
gepolariseerde bundels en doelen gebruik te
maken is studie gedaan naar de verdeling van spin
in het nucleon. De verrassing hierbij is dat een
substantieel deel van de spin niet in de valentiequarks zit maar in de zee-quarks, gluonen en de
baanimpuls van de partonen.
De hoogste energie lepton-hadron botsingen
vinden nu plaats bij de HERA ring bij het DESY
laboratorium in Hamburg, Duitsland. Hier werden
van 1992 tot en met 1997 27.5 GeV positronen of
electronen op 820 GeV protonen geschoten. Sinds
1998 is de proton energie verhoogd tot 920 GeV.
Hiernaast is de HERA ring te zien en de ZEUS
detector. Naast de ZEUS detector is H1 het andere algemene experiment bij de HERA versneller. Na
een verbetering van de HERA versneller voor een hogere luminositeit zal HERA nog tot ongeveer
2004 actief zijn. Ook de ZEUS en H1 detectoren zijn intussen verbeterd, met name voor een betere
geladen spoordetectie.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
117
8.4 Zware ionen botsers
Hoewel het er misschien niet strikt toe behoort is om allerlei praktische redenen het botsen van
zware ionen op zware ionen een deel van het hoge energiefysica programma. In deze experimenten
zoekt men naar het quark-gluon plasma. Als er voldoende hoge energieën in een klein volume
worden gestopt zal een verzameling protonen en neutronen zich niet meer gedragen als protonen en
neutronen die allemaal kleurneutraal zijn en slechts een kleine schaduw van de sterke interactie voelen, maar zullen alle quarks en gluonen zich vrijelijk door een groter volume gaan bewegen. Met
behulp van de wet van Stefan-Boltzmann voor de energiedichtheid (energie per volume):
2
π 4
E
ε = --- = n ------ T
(9.1)
30
V
kunnen we inzien wat er gebeurt als er een quark gluon plasma wordt gevormd. In deze formule is n
het aantal vrijheidsgraden van de deeltjes in een gas. In “normale” omstandigheden zijn die deeltjes
overwegend pionen en is n = 3 vanwege de drie mogelijke ladingstoestanden van de pionen. Als
zich een quark-gluon plasma vormt zijn de deeltjes de min of meer vrije quarks en gluonen. Gluonen
hebben 2 spin maal 8 kleur vrijheidsgraden, dus in totaal n g = 16 . Quarks hebben 2 spin maal 3
kleur maal 2 isospin (u,d) maal 7/8 (een factor die komt omdat quarks fermionen zijn) is
nq = n q = 21 ⁄ 2 vrijheidsgraden (voor quarks en anti-quarks is dit gelijk). Het totaal aantal vrijheidsgraden in het plasma wordt dan gegeven door n = n g + n q + n q = 37 . Bij een faseovergang
naar het quark-gluon plasma neemt de energiedichtheid dus toe met een factor van ongeveer 12. De
temperatuur waarbij dit ongeveer zou moeten gebeuren correspondeert met ongeveer T c = 150
MeV. De detectie van de faseovergang is moeilijk omdat de gluonen en quarks hadroniseren als het
plasma afkoelt en hun oorspronkelijke statistische informatie verliezen. Men kijkt dus vooral naar
het spectrum van fotonen (die niet door hadronisatie vervormt) en naar de onderdrukking van
bijvoorbeeld J ⁄ ψ mesonen. Dit laatste treedt op omdat als uit de zee een cc paar wordt gevormd dit
door kleurafscherming in een plasma veel meer kans heeft uit elkaar gedreven te worden en geen
J ⁄ ψ te vormen dan in een situatie met alleen maar kleurneutrale objecten (hadronen) in de omgeving.
8.5 Versneller neutrino experimenten
In het recente verleden zijn er twee experimenten gedaan op CERN door de NOMAD en CHORUS
collaboraties om naar neutrino oscillaties te zoeken. Het principe van het experiment was in beide
gevallen hetzelfde: muon-neutrino bundels worden in een grote
hoeveelheid materiaal geschoten waarin ook detectievlakken
liggen. In het experiment wordt dan gezocht naar muon-neutrino’s
die in een eventuele reactie een tau lepton produceren. Het verval
van het tau lepton is te onderscheiden van de achtergrond door een
secondaire vertex te reconstrueren.
Er is ook een primaire vertex, die kan worden
gevonden door de sporen terug te reconstrueren die komen uit de interactie van het tauneutrino met een nucleon (proton of neutron),
dezelfde reactie waarin ook het geladen tau-lepton is gevormd. ‘Rechtsboven’ deze tekst staat
118
Collegedictaat Hoge Energiefysica
een schematische tekening en een foto van de NOMAD detector. De neutrino’s komen van links naar
rechts in de detector. In dit geval is een typisch geval van een interactie van een muon-neutrino
getekend. In dat geval is er geen secondaire vertex.
Het CHORUS experiment heeft fotografische emulsie gebruikt om de primaire en secondaire vertices te meten. Deze fotografische emulsies geven spoorreconstructies met een precisie van minder
dan 1 µm. Dit is vooralsnog nauwkeuriger dan met electronische, zelfs halfgeleider-, detectoren kan
worden bereikt. De straf is in dat geval wel dat er langdurig door microscopen moet worden getuurd
om alle hits te vinden om zo het spoor te kunnen reconstrueren. Moderne scantechnieken met automatische beeldherkenning hebben dit echter geheel van het menselijk oog overgenomen.
Met een redelijke fractie van de data door de NOMAD en CHORUS collaboraties gereconstrueerd is
er nog geen enkele aanwijzing gevonden voor een overschot aan geladen tau-lepton productie en dus
voor muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatie.
Op dit moment is op CERN de constructie van een neutrino bundel naar het Gran Sasso laboratorium
onderweg. In de Gran Sasso tunnel zal dan een experiment, OPERA, worden gebouwd dat neutrino’s
van een ander soort dan de geproduceerde muon-neutrino’s waar kan nemen en zo neutrino oscillatie
vast kan stellen. Van belang is hierbij de afstand tussen neutrinobron en detector die ongeveer 700800 km is.
8.6 Niet-versneller experimenten
Belangrijke niet-versneller hoge energiefysica
experimenten zijn de detectie van kosmische,
zonne- en atmosferische neutrino’s en de detectie
van proton verval. Het pionier experiment voor
de detectie van neutrino’s is het experiment van
Davis waarin in een grote tank met Chloor werd
gekeken naar interacties van neutrino’s met de
Chloorkern. Langzaam maar zeker is uit dit
experiment duidelijk geworden dat het aantal
gemeten neutrino’s afkomstig van de zon, niet in
overeenstemming is met de voorspellingen uit
modellen voor de zon, ook niet door de modellen
binnen de grenzen van de optische waarneming
bij te stellen.
Een modern neutrino experiment is het SuperKamiokande experiment in Japan. In dit experiment,
hiernaast afgebeeld met een plan voor een neutrinobundel van KEK, worden neutrino interacties met
water gemeten door de detectie van de Cerenkovstraling van de reactieproducten.
In dit experiment is recentelijk vastgesteld dat atmosferische muon-neutrino’s verdwijnen als ze door
de aarde gaan. Dit is vast te stellen door het aantal muon-neutrino’s dat van bovenaf in het experiment komt en het aantal dat van beneden (dus door de aarde) komt te vergelijken.
Bij detectors die bij nucleaire reactors staan kan heel gevoelig neutrino oscillatie tussen electronneutrino’s en muon-neutrino’s worden gemeten en het niet observeren daarvan door het CHOOZ
experiment in Noord Frankrijk sluit een verklaring van muon-neutrino naar electron-neutrino oscillatie voor de SuperKamiokande bevindingen uit. De muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatie
metingen van NOMAD en CHORUS zijn niet gevoelig genoeg om in tegenspraak te zijn met de
SuperKamiokande resultaten. Op het moment wordt dan ook zeer serieus werk gemaakt van het
voorstellen van nieuwe experimenten die de muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatie zouden kun-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
119
nen meten door het tau-neutrino te detecteren (in tegenstelling tot het detecteren van een tekort aan
muon-neutrino’s door SuperKamiokande).
Twee belangrijke experimenten voor de detectie van kosmische, hoog energetische, neutrino’s, die
hun data in de komende ongeveer tien jaar zullen vergaren zijn AMANDA in het ijs van het Zuidpool gebied en ANTARES dat in de Middellandse zee is gepland.
ANTARES is een experiment dat gebruik maakt van een groot aantal fotomultiplicatorbuizen die in
de Middellandse zee op grote diepte worden geïnstalleerd aan lange draden vanaf de bodem. Het
zeewater fungeert als Cerenkov detector, waarbij muonen die komen van reacties van muon-neutrino’s met het zeewater worden gedetecteerd omdat ze straling uitzenden tengevolge van het feit dat
ze sneller bewegen dan de lichtsnelheid in water. Met de detectie van deze kosmische neutrino’s
hoopt men een complementaire kijk te krijgen op een aantal processen in het heelal en kan men op
grote schaal zoeken naar de missende massa in het heelal en allerlei exotische deeltjes die er rond
zouden kunnen zwerven.
8.7 Organisatie van de Experimentele Hoge Energiefysica in Nederland
De experimentele Hoge Energiefysica in Nederland wordt gecoördineerd vanuit het Nationaal Instituut voor Kern- en Hoge-EnergieFysica, afgekort NIKHEF. Het NIKHEF is een samenwerkingsverband van het FOM Instituut voor SubAtomaire Fysica en vier universitaire groepen, te weten die van
de Universiteit van Amsterdam, van de Vrije Universiteit Amsterdam, van de Rijks Universiteit
Utrecht en van de Katholieke Universiteit Nijmegen. Binnen het NIKHEF wordt de deelname aan
Hoge Energiefysica experimenten geregeld in projecten. Op het moment zijn er goedgekeurde projecten voor de CERN experimenten:
• SMC: Een diep inelastisch verstrooiingsexperiment van muonen op een vast doel van waterstof of
deuterium,
• CHORUS: Een neutrino fysica experiment dat zoekt naar oscillaties van muon neutrino’s naar tau
neutrino’s,
• DELPHI en L3: Experimenten bij de LEP versneller,
• L3 cosmics: Het gebruik van de L3 muon kamers om het kosmisch muonspectrum te meten,
• ATLAS: Een experiment voor proton-proton botsingen bij de LHC,
• ALICE: Een experiment voor botsingen tussen zware ionen bij LHC, op zoek naar het quarkgluon plasma,
• LHCb: Een experiment voor het doen van fysica met b quarks bij de LHC, in het bijzonder om CP
scheding met b quarks precies te meten,
voor de DESY experimenten:
• ZEUS: Een experiment bij HERA om electron-proton botsingen te bestuderen,
• HERA-B: Een experiment om b quarks te bestuderen die gemaakt worden door de HERA proton
bundel te laten botsen op een dunne draad,
• HERMES: Om de spin structuur van nucleonen te bestuderen door de gepolariseerde HERA electronen met een intern gas-jet doel te laten botsen.
het Fermilab experiment:
• DØ: Een experiment om proton-anti-proton botsingen te bestuderen bij het Tevatron.
en:
• ANTARES: Een kosmisch neutrino experiment in de Middellandse zee.
120
Collegedictaat Hoge Energiefysica
8.8 De Nijmeegse EHEF groep
De Experimentele Hoge Energiefysica afdeling (EHEF) aan de KUN doet mee aan de L3, L3 cosmics, ATLAS en DØ experimenten.
Het L3 experiment bevindt zich in de fase van een rijke oogst die wordt geanalyseerd. In Nijmegen
wordt met name de QCD aspecten van hadronisatie van quarks en gluonen in hadronen bestudeerd
en het fenomeen van Bose-Einstein condensatie van pionen die dezelfde quantumtoestanden kunnen
bezetten. De kennis van met name Bose-Einstein condensatie is niet alleen interessant op zichzelf,
maar ook een belangrijke potentiële systematische fout in de massameting van het W boson. Aan
beide aspecten wordt in Nijmegen gewerkt.
Het L3 cosmics experiment heeft uit Nijmegen belangrijke bijdragen aan het uitleessysteem ontvangen. De data van dit systeem zijn nu vol op in analyse en eerste, voorlopige, resultaten worden nu
geproduceerd voor het muonspectrum, in absolute normalisatie, energieafhankelijkheid en multipliciteit. Alle facetten van dit experiment worden in Nijmegen bewerkt.
Het DØ experiment is begonnen in 2001 aan de tweede Tevatron run. In de eerste Tevatron run is o.a.
door DØ het top quark ontdekt. De Tevatron versneller is voor de tweede run verbeterd in energiebereik (2 TeV in plaats van 1.8 TeV) en luminositeit (tien keer beter dan de eerste run). Ook de DØ
detector heeft een rigoureuze facelift ondergaan waarbij alleen de calorimeter (die het excellent deed
in de eerste run) helemaal intact is gebleven. Met name de geladen spoor detectie wordt dramatisch
verbeterd in DØ met de komst van een 2T magnetisch veld in de centrale tracker en een halfgeleider
microvertex detector. De Nijmeegse groep draagt bij aan de constructie van de microvertex detector,
geladen spoorreconstructie code en een trigger gebaseerd op de microvertex detector om b quarks
snel te herkennen. Nu de eerste data arriveren neemt de Nijmeegse groep actief en prominent deel
aan de analyse met de herkenning van b-quarks en tau leptonen.
De ATLAS detector is nu in een fase waarin de research en development wordt afgesloten en de
uiteindelijke specificaties van de detectoronderdelen worden vastgelegd en de productie van de
onderdelen wordt geregeld. De EHEF afdeling in Nijmegen is verantwoordelijk voor een gedeelte
van de uitleeselectronica van het muonkamer systeem voor ATLAS. Dit gedeelte van het systeem is
in iets andere vorm gebruikt voor de L3 cosmics experiment uitlezing en de Nijmeegse groep heeft
zo een grote ervaring in het veld opgebouwd met dit soort uitleeselectronica. Verder wordt door de
EHEF afdeling een bijdrage geleverd aan de geladen spoorreconstructie met name de gecombineerde
muonkamer-inner tracker reconstructie voor muonen. Ook is er een belangrijke bijdrage aan de event
display software voor het ATLAS experiment vanuit Nijmegen.
Naast deze experimenten in NIKHEF verband werkt de Nijmeegse EHEF groep ook zelfstandig aan
een extended airshower array. Dit apparaat bestaat uit een groot aantal scinitillatortellers van elk
ongeveer 1 m2 die op het dak van een aantal scholen voor voortgezet onderwijs worden gelegd. Bij
een aantal van enkele tientallen tot honderd tellers die over een gebied van vele vierkante kilometers
verspreid staan kunnen hiermee zeer energetische kormische deeltjes worden waargenomen die grote
lawines van deeltjes geven door hun interactie met de aardse atmosfeer (vandaar “extended airshower detector”.) Op dit moment wordt gewerkt aan drie opstellingen. In de toekomst moet dat tot
de orde van 50 opstellingen op verschillende locaties groeien.
8.9 De toekomst
De LHC versneller moet medio 2006 klaar zijn, samen met de detectoren die daar gaan waarnemen.
Dit project maakt al een vast onderdeel uit van de toekomstige Hoge Energiefysica. De Nederlandse
Hoge Energiefysica maakt deel uit van drie verschillende experimenten bij de LHC.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
121
Een ander al goedgekeurd project dat in 2005 van start moet gaan is de GLAST kosmische foton
detector. Dit is een sateliet die gebruik maakt van detector technieken uit de Hoge Energiefysica om
hoog energetische fotonen te registreren. Dit experiment is een mix van atrofysische en Hoge Energiefysica interessen. Nederland neemt niet aan dit experiment deel.
Daarnaast zijn er nu al een aantal andere grote projecten in voorbereiding. Er zijn vier mogelijke
kandidaten voor een nieuwe generatie electron-positron botsers: TESLA bij DESY, NLC bij SLAC,
JLC bij KEK en CLIC bij CERN. Van deze vier zijn de TESLA plannen het verst gevorderd en er
wordt op afgestevend om dit project medio 2002 goedgekeurd te krijgen, wat zou betekeken dat er
misschien voor 2010 kan worden geëxperimenteerd.
Een ander ambitieus project dat vorm begint te krijgen is een muon collider. In deze machine worden
positief en negatief geladen muonen versneld en in een opslagring op elkaar gebotst. Door de muonen snel te versnellen wordt met de Lorentz tijddilatatie een levensduur in het laboratorium bereikt
zodat de muonen honderden tot duizenden malen rondgaan in de opslagring voor ze vervallen. Door
de grote massa van muonen kan de afmeting van de opslagring bescheiden worden gehouden
(kleiner dan een kilometer diameter) bij enkele honderden GeV’s botsingsenergie. Aan de andere
kant is het type interactie te vergelijken met die van electron-positron botsingen, en met name is er
geen energieverlies omdat kleinere constituenten botsen die maar een deel van de impuls dragen
zoals bij hadron-hadron botsingen.
In een eerder stadium zal het idee van een muon collider waarschijnlijk eerst worden gebruikt om
een muon opslagring te maken met het doel om uit het muonverval krachtige neutrino bundels te
maken.
Ook zijn er al weer plannen voor nog krachtiger hadron-hadron botsers, maar deze zijn nog meer
speculatief.
Technologisch kan de Experimentele Hoge Energiefysica nog vooruit voor vele decennia. In feite is
de fysica die we zullen ontdekken veel speculatiever dan de technieken die we daarbij zullen
gebruiken.
122
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX A
Detectoren in de Experimentele
Hoge Energiefysica
In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van belangrijke detectietechnieken die worden gebruikt
in de moderne Hoge Energiefysica.
A.1 Interacties van deeltjes met materie
Voor deeltjesdetectie zijn twee interacties relevant: electro-magnetische interacties en kernkracht
interacties. Interacties tengevolge van de zwakke wisselwerking en tengevolge van gravitatie zijn in
de praktijk totaal te verwaarlozen.
A.1.1 Electro-magnetische interacties: dE/dx
De electro-magnetische interactie zorgt in de eerste plaats voor energieverlies als een geladen deeltje
door materie gaat door herhaalde electro-magnetische verstrooiing van het deeltje aan de electronen
en kernen in het materiaal. In materiaal met veel protonen in de kern wordt de dominante bijdrage
door electro-magnetische interacties met de kern gegeven. De formule voor het energieverlies van
een deeltje in materie wordt gegeven door:
2 2 2
2 Z 1 1 2m e c β γ T max
dE
2 δ
– ------- = Kz --- ----2- --- ln ------------------------------------- – β – --- .
2
Aβ 2
dx
2
I
(A.1)
2
In deze formule is K = 4πN A r e m e c = 0.307075 MeV mol cm, een constante, Z en A zijn het
atoomnummer en atoomgewicht, β is de snelheid van het deeltje in het materiaal in eenheden van
γ
lichtsnelheid,
is de Lorentzcontractiefactor die bij deze snelheid hoort,
2 2 2
T max
2m e c β γ
2 2 2
= ----------------------------------------------------------------2- ≈ 2m e c β γ met M de massa van het deeltje (als die groot is
1 + ( 2γm e ) ⁄ M + ( m e ⁄ M )
ten opzichte van de electronmassa m e dan geldt de laatste benadering), I ≈ 10 ± 1 eV is de gemiddelde excitatieenergie (waarbij de numerieke benadering goed is voor elementen zwaarder dan
zuurstof), en δ is een (kleine) correctiefactor die afhangt van de dichtheid van het materiaal.
In Figuur A.1 is het energieverlies van pionen in koper afgebeeld. Voor laagenergetische deeltjes is
2
het energieverlies heel groot door de factor 1 ⁄ β . Voor hoogenergetische deeltjes neemt het energieverlies langzaam toe tot een eindige constante waarde. Dit wordt het relativistisch plateau
genoemd. Ertussen in heeft het energieverlies een minimum. Deeltjes met een snelheid ( β ) die dit
minimum geeft worden minimum ioniserende deeltjes genoemd (afgekort in het Engels: MIP (Minimum Ionising Particle)).
Collegedictaat Hoge Energiefysica
123
×
Õ
Ö
Õ
û
ü
ý
û
∝ β−
∝ β−
þ
Ù
Õ
Ö
Õ
û
æ
ü
ý
û
þ
π±
Ù
Ù
õ
ç
ï
é
ï
ð
é
ð
õ
Ø
ã
Õ
Ö
õ
õ
÷
ó
Õ
äå
í
ë
é
÷
ë
ú
í
ø
ð
ï
ê
ð
õ
−
õ
á
â
ú
ú
ø
í
à
×
Ö
Õ
é
û
−
Þß
ñ
Ú
Ý
ó
ò
ô
×
ò
õ
ö
è
ø
ê
é
ë
ì
ü
ý
û
þ
í
ÿ
ì
δ
ð
ô
ë
ö
é
í
é
ð
ø
í
ê
é
î
ï
ð
é
í
ê
ð
Ö
÷
Ù
Ú
Ö
õ
÷
Õ
ÛÜ
è
Ö
×
−
Õ
õ
Ø
Õ
∝ β−
∝ β−
Õ
Ö
Ö
ù
í
ë
ú
ð
ö
õ
õ
û
ü
ý
û
þ
×
Õ
Ö
Ø
Ø
Ö
Õ
Ø
Õ
Ø
βγ
Õ
Õ
Ø
Õ
Õ
Õ
Ø
Õ
Õ
Õ
Õ
FIGUUR A.1. Energieverlies
voor pionen in koper. Afbeelding uit het Particle Data Book (C. Caso et al,
The European Physical Journal C3 (1998) 1 ).
Met het energieverlies door verstrooiing hangt ook een afwijking van de baan die het deeltje volgt
samen. Als een deeltje een brokje materiaal ingaat kan het er op een plaats uitkomen die niet op de
oorsponkelijke baan ligt en met name kan ook de richting van de snelheid van het deeltje veranderen.
Dit effect wordt multipele verstrooiing genoemd. In Figuur A.2 worden de variabelen voor multi-
-
.
Ψ
'
!
"
#
$
%
(
)
*
+
&
'
(
)
*
+
,
θ
'
(
)
*
+
pele
Definitie van de variabele in multipele verstrooiing. (Afbeelding uit C. Caso et al, The
European Physical Journal C3 (1998) 1 .)
FIGUUR A.2.
verstrooiing gedefinieerd. De hoekafwijking wordt voor dun materiaal gegeven door:
13.6 MeV
x
σ ( θplane ) = ------------------------z x ⁄ X 0 1 + 0.038 ln  ------ .
 X 0
βcp
(A.2)
In dit geval zijn β , p en z de impuls, de snelheid (in lichtsnelheid eenheden) en lading van het
deeltje dat door het materiaal gaat. De dikte van het materiaal is x en de variabele X 0 heet de stralingslengte en hangt af van het materiaal. Op de stralingslengte komen we in de volgende sectie nog
terug Voor dun materiaal speelt de plaatsafwijking in de praktijk geen rol:
124
Collegedictaat Hoge Energiefysica
1
σ ( y plane ) = ------- xσ ( θ plane ) .
(A.3)
3
In spoorreconstructiedetectoren wordt vaak een (sterk) magneetveld gebruikt. In het magneetveld
volgen geladen deeltjes een cirkelvormig traject. Door op een aantla punten de positie te meten en
een cirkel op de punten te leggen kan de impuls van de geladen deeltjes worden gemeten. Omdat
deeltjes met lage impuls een kleinere kromtestraal hebben zijn lagere impulsen beter te meten dan
grote impulsen. In het algemeen is de nauwkeurigheid van de impulsmeting bepaald door:
σ(p )
2
2
----------- = ap ⊕ b = ( ap ) + b .
(A.4)
p
De parameter b wordt al snel onbelangrijk als de impuls oploopt. De constante a is voor goede
detectoren van de orde van 10
–3
of iets groter.
A.1.2 Electro-magnetische interacties: showers
Andere electromagnetische interacties kunnen aanleiding geven tot het afstralen van een foton door
een geladen deeltje (Compton proces), of a splitsen van een foton in een electron-positron paar
(paarcreatie proces). Bij oplopende energie neemt het energieverlies door dE/dx in materiaal af, terwijl de werkzame doorsneden voor het Compton en paarcreatie proces toenemen. De energie waarbij
het energieverlies door dE/dx even groot is als het energieverlies door het Compton proces wordt de
kritische energie genoemd: E c . Voor geladen deeltjes boven de kritische energie wordt een “shower”
gemaakt. Dat wil zeggen dat het deeltje fotonen afstraalt, die vervolgens weer in electronen splitsen
en op die manier ontstaat een hele boom van deeltjes, met steeds kleiner wordende energie. Als de
meeste deeltjes een energie beneden Ec hebben dooft de shower uit. De definitie van de kritische
energie wordt getoond in Figuur A.3..
/
2
2
3
4
8
C
9
1
2
2
D
5
5
6
7
−
=
=
B
:
;
<
=
>
?
@
A
6
:
E
<
>
F
H
G
š
RS

\
2
0
2
]
2
Q
}
~

€
–
OP
s
b
—
˜
™
b
d
c
t
‡
’
“
”
•
N
u
`
=
×
d
I
e
c
`
y
f
`
g
h
z
c
d
e
h
_
`
d
w
x
v
_
e
`
_
{
≈
M
|
e
…


‘
†
L
Œ
[

Ž
2
K
‚
I
ƒ
„
J
ˆ
‰
Š
‹
i
/
j
k
l
m
n
o
p
q
r
2
^
1
_
`
a
b
=
c
d
e
c
f
g
h
c
d
e
2
/
0
1
T
U
2
/
6
@
7
V
4
W
6
2
W
0
6
7
?
6
X
Y
H
2
1
2
2
/
2
2
Z
G
Energieverlies in koper voor electronen als functie van de electron energie. De
subprocessen voor energieverlies door ionisatie en door Bremstrahlung van fotonen (Compton
proces) zijn afzonderlijk gegeven en de som van de twee mechanismen is gegeven. De kritische
energie is waar het energieverlies door Bremstrahlung groter wordt dan het ionisatie energieverlies.
(Afbeelding uit C. Caso et al, The European Physical Journal C3 (1998) 1 .)
FIGUUR A.3.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
125
Als we de stralingslengte X 0 definieren als de lengte die een deeltje aflegt in materiaal totdat alles
behalve een fractie 1 ⁄ e door Bremstrahlung aan energie is verloren, dan krijgen we voor de energie
na een bepaalde afstand in het materiaal:
– x ⁄ X0
dE
x
– ------- = ------ ⇒ E = E 0 e
.
dx X0
(A.5)
Als een bij een electron naar electron plus foton reactie steeds de helft van de energie in het uitgaande electron en de helft in het foton zou gaan zitten en als elke keer dat een foton in een electronpositron paar splits de energie gelijk over het electron en positron zou worden verdeeld zijn er na n
n
stapjes van fotonstraling en/of fotonsplitsing N = 2 deeltjes. De vermenigvuldiging van deeltjes
stopt als de energie van de deeltje beneden de kritische energie komt (het energieverlies is dan vrijwel uitsluitend nog door ionisatie). Dat is dus bij:
E
E
E c = ----n- ⇒ n = ln  ----- .
(A.6)
Ec
2
We zien dat om dit stadium te bereiken we het materiaal dikker moeten maken in verhouding met de
logarithme van de energie van de inkomende deeltjes. We zien ook dat als we het aantal deeltjes in de
shower tellen we een meting krijgen die evenredig is met de energie en dat de onzekerheid gaat als
de statistische onzekerheid op het aantal deletjes,
N ∼ E.
A.1.3 Nucleaire interacties
Hadronische, of sterke kernkracht, interacties komen alleen voor als een hadron botst op een kern.
De resultaten zijn bijna altijd inelastisch, dat wil zeggen dat een gedeelte van de energie in het
opbreken van de kern gaat zitten en dat de uitgaande toestand meer hadronische deeltjes bevat dan de
ingaande toestand. Als hadronen door een blok materiaal heen gaan zal er dus een “shower” van
lager energetische deeltjes ontstaan totdat er zoveel deeltjes zijn met elk zo’n lage energie dat deze in
het materiaal worden geabsorbeerd of geen interacties meer maken en uit het materiaal ontsnappen.De waarschijnlijkheid op een nucleaire interactie is vrij klein en er is dan ook veel materiaal
nodig om een hadron op deze manier helemaal te absorberen. De kans op een botsing wordt geparametriseerd met de vrije weglengte voor nucleaire interacties: λ int . De kans op een inelastische nucleaire interactie met de nucleaire absorptielengte: λ abs > λ int . De parameters worden zo gekozen dat na
deze vrije weglengte het inkomende hadron 1 ⁄ e van zijn oorspronkelijke energie over heeft. De
energie die het hadron dan nog heeft na een weglengte x in het materiaal wordt gegeven door:
E = E0 e
– x ⁄ λ abs
.
(A.7)
De hoeveelheid materiaal die nodig is om de energie van deeltjes (gemiddeld !) tot onder een vast
getal te reduceren loopt dus logarithmisch op met de energie van het inkomende deeltje. Ook hier is
de meting van de energie evenredig met het aantal deeltje in de shower en is de onzekerheid op die
meting dus evenredig met de wortel uit de energie. In het geval van nucleaire interacties is ook de
energie die verbruikt wordt in kernresonanties , splijting die niet wordt gedetecteerd en in niet geobserveerde neutronen van belang. Hierdoor heeft de meting van de energie van een hadron door het
aantal deeltjes in de shower te meten een veel grotere onzekerheid dan in het geval van een electromagnetische shower.
126
Collegedictaat Hoge Energiefysica
A.2 Geladen spoor detectie
Geladen spoor detectie geschied door zo nauwkeurig mogelijk vast te stellen waar een geladen
deeltje de materie waar het doorheen is gegaan heeft geioniseerd. Om het effect van multipele verstrooiing zo klein mogelijk te houden en om te voorkomen dat electronen al met een electro-magnetische shower beginnen wordt bij geladen spoordetectie zo weinig mogelijk materiaal gebruikt. Dit
wordt bereikt door als materiaal ofwel een gas ofwel dunne plaatjes halfgeleider materiaal te
gebruiken. In het geval van gas is er een heel volume mee gevuld en is er dus een continu pad van
ionisatie. In het geval van halfgeleider detectoren wordt alleen hier en daar een dun plakje loodrecht
op de bewegingsrichting van het deeltje gezet met lege ruimte ertussen in (deze ruimte is natuurlijk
vaak met atmosferische lucht gevuld.)
In geval van een gasvolume wordt de plaats van de ionisatie gemeten door in het volume dunne
draden te spannen die op een electrische potentiaal worden gezet met betrekking tot het gas. De ionisatielading zal naar de draden toedrijven. In proportionele kamers wordt de electrische spanning op
de draden zo gekozen dat de tijd die de lading erover doet om de draad te bereiken proportioneel is
met de afstand tot de draad. Door het tijdverschil te meten tussen de tijd dat het deeltje langskwam en
de lading op de draad kwam is dan uit te rekenen hoe ver de lading van de draad af is gemaakt. Door
de draden nu slim op te stellen en te zorgen dat er veel draden zijn die voor elk spoor lading detecteren kan nu een eenduidig pad door de ruimte worden gereconstrueerd. De nauwkeurigheid van
dradenkamers varieert van een fractie van een millimeter tot 30 micrometer.
In halfgeleiderdetectoren wordt ook lading gemaakt, die vervolgens door electrodes die in het halfgeleidermateriaal zijn geëtst worden waargenomen. Omdat etsen in halfgeleiders kan worden gedaan
met kleine structuren en grote precisie zijn met dit soort detectoren sporen te reconstrueren met een
precisie van enkele micrometers bij de meetpunten.
A.3 Electro-magnetische calorimeters
Hoogenergetische electronen en fotonen zullen hun energie snel verliezen in materiaal. In ongeveer
( 20 – 25 )X 0 is alle energie van electronen en fotonen tot energiën van ongeveer 50 GeV geabsorbeerd. Deze energie is dan omgezet in heel veel laagenergetische deeltjes die hun energie verliezen
door ionisatie van de atomen in de materie. Het is zaak deze laagenergetische deeltje op een of
andere manier waar te nemen en te tellen. Er zijn twee manieren mogelijk om dat te doen.
De eerste manier is een materiaal kiezen waarin de ionisatieenergie in fotonen (licht) wordt omgezet.
Dit gebeurt meestal in kristallen die zowel zwaar zijn als goede eigenschappen hebben voor wat
betreft het omzetten van ionisatieenergie in fotonen en een goede transparantie hebben voor de
betreffende fotonen. De fotonen worden dan aan een van de vlakken van het kristal gemeten met een
fotomultiplicatorbuis. Goede materialen voor deze kristallen zijn loodglas, natriumjodide (NaI) en
bismut-germanium-oxide (BGO).
De tweede manier is de energie van het inkomende electron of foton in het ene materiaal om te zetten
in veel ioniserende deeltjes en een ander materiaal te gebruiken om de ionisatieënergie te meten.
Deze methode heet “sampling calorimetry” (Nederlands ?). Dit wordt over het algemeen gedaan
door platen van absorbermateriaal (waar de laagenergetische deeltjes worden geproduceerd) en
platen van detectiemateriaal (waar de ionisatieënergie wordt gemeten) in een sandwich structuur te
stapelen. Goede materialen voor de absorber zijn bijvoorbeeld lood, uranium en koper. Voor het
detectiemateriaal wordt veelal plastic scintilator of vloeibaar Argon gebruikt.
De resolutie van de energie meting wordt in het algemeen bepaald door een statistische term die
evenredig is met de wortel uit de energie, door een constante ruisterm in de detectie-electronica en
door een variatie van de energiemeting als er helemaal geen deeltje langskomt:
Collegedictaat Hoge Energiefysica
127
b
a
σ(E )
------------ = --- ⊕ ------- ⊕ c .
E
E
E
(A.8)
De term die evenredig is aan 1 ⁄ E is voor de energiën waarbij we nu werken altijd te verwaarlozen.
De term b ⁄ ( E ) is belangrijk voor het grootste deel van het nu relevante energie gebied. Als de
energie in GeV wordt gemeten varieert de constante b van enkele procenten tot 20%. De constante
c is meestal van de orde van enkele procenten en speelt een rol bij deeltjesenergieën van orde 100
GeV en meer.
A.4 Hadron calorimeters
Hadroncalorimeters werken net zo als electro-magnetische caolrimeter, behalve dat het proces dat
zorgt voor vermenigvuldiging van deeltjes vooral de sterke kernkracht is. Dit heeft wel grote praktische implicaties. De formule (A.8) blijft voor wat de structuur betreft geldig. Maar in dit geval is
het minimum wat voor de parameter b kan worden bereikt ongeveer 35% in praktische toepassingen
en vaak is deze parameter meer van de orde van 50% tot 100%. In dit geval speelt de constante term
c ook niet meer zo’n grote rol.
Om de hadronshower helemaal te kunnen bevatten is ( 7 – 9 )λ int nodig. Om het geheel praktisch te
houden in constructie moet voor een hadron calorimeter een zwaar absorbermateriaal worden
gekozen. Dit is meestal lood, uranium, koper of ijzer. Deze materialen zijn niet geschikt voor het
detecteren van de ionisatieenergie. Daarom zijn alle hadron calorimeters van het “sampling” type.
A.5 Deeltjes identificatie
Met spoorreconstructiedetectoren en calorimeters kunnen alle geladen deeltjes en alle neutrale
deeltjes in het Standaard Model, behalve neutrino’s worden gedetecteerd. In veel gevallen is het ook
nog nuttig om vast te kunnen stellen om welk soort deeltje het nu precies ging. Voor een aantal
deeltjes of deeltjesklassen is dat mogelijk.
A.5.1 Electronen en positronen
Electronen en positronen gedragen zich voor wat betreft spoorreconstructie net als andere geladen
deeltje, met de uitzondering dat vanwege hun geringe massa ze bijna altijd relativistisch zijn en dus
een vrijwel constante dE/dx hebben onafhankelijk van hun impuls. Dit geeft de mogelijkheid om met
name in het laagenergetische gebied electronen en positronen te onderscheiden van andere geladen
deeltjes die in dat gebied een veel grotere ionisatieënergie achter laten.
Belangrijker voor electronen en positronen is dat ze een shower maken in een electromagnetische
calorimeter die in ongeveer 25X 0 is bevat. Hadronen hebben een veel dikker materiaal nodig om al
hun energie kwijt te raken. Door nu de impulsmeting van het spoor te vergelijken met de energie in
de electromagnetische calorimeter kunnen electronen en positronen (waarvoor impuls en energie
gelijk zijn) worden onderscheiden van andere deeltjes waarvoor dat niet zo is.
A.5.2 Fotonen
Fotonen geven ook een electromagnetische shower en door te eisen dat de energie die aan de achterkant (na 25X 0 ) uit de electromagnetische calorimeter komt te verwaarlozen is is het vrijwel zeker
dat de shower door een electron, positron of foton is veroorzaakt. Door verder te eisen dat er geen
128
Collegedictaat Hoge Energiefysica
geladen spoor naar de electromagnetische shower wijst is het vrij zeker dat de shower door een foton
is veroorzaakt.
A.5.3 Muonen
Voor muonen ligt de kritische energie in de meeste materialen ver boven de 100 GeV. Muonen gaan
ook geen nucleaire interacties aan. Muonen met een energie tot 100 GeV zullen hun energie dus
alleen door ionisatie verliezen. Hierdoor kunnen muonen met een energie van boven aan paar GeV
met gemak door de calorimeter komen. Door achter de calorimeters nog een geladen spoordetector te
plaatsen en vast te stellen welke deeltjes op dezelfde baan een spoor hadden voor en na de calorimeter is het voor deze deeltjes vrijwel zeker dat het muonen waren.
A.5.4 Neutrino’s
Neutrino’s kunnen worden gedetecteerd door het feit dat ze geen signaal in enige detector achterlaten. Door de detector zo te construeren dat alle zichtbare energie wordt gezien en door de wet van
behoud van impuls te gebruiken kan vaak worden afgeleid dat in een bepaalde richting een of meer
deeltjes ontsnappen met een bepaalde impuls. De aanname dat dit neutrino’s zijn klopt dan vaak
Collegedictaat Hoge Energiefysica
129
130
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX B
Transformatiegroepen: minimale inleiding
In deze appendix worden een aantal begrippen uit de groepentheorie, zoals die in dit college worden
gebruikt, zeer beknopt behandeld
B.1 Groepsaxioma’s
Een verzameling G is een groep met betrekking tot de bewerking • als aan de volgende axioma’s
is voldaan:
1 ) ∀( a ,b ∈ G ) a • b ∈ G
geslotenheid,
2 ) ∃( 1 ∈ G ) ∀( a ∈ G ) 1 • a = a • 1 = a eenheidselement,
–1
–1
3 ) ∀( a ∈ G ) ∃( a ∈ G ) a • a = 1
inverse,
4 ) ∀( a ,b ,c ∈ G ) ( a • b ) • c = a • ( b • c ) associativiteit.
De groep heet Abels als ook nog is voldaan aan:
5 ) ∀( a ,b ∈ G ) a • b = b • a commutativiteit .
B.2 Unitaire transformaties
Unitaire transformaties laten de norm, of lengte, van het getransformeerde object gelijk aan de oorspronkelijke norm. Voor unitaire transformaties U van vectorruimtes geldt:
U† U = 11 .
Dit betekent dat
detU = ± 1 .
Speciale unitaire transformaties zijn die waarvoor geldt:
detU = + 1 ,
en vormen een subgroep van de unitaire transformaties.
B.3 Rotaties in het twee dimensionale reële vlak: SO(2)
De algemene vorm voor een rotatiematrix in het reële twee dimensionale vlak wordt gegeven door:
R(α ) =
cos α sin α ,
– sin α cos α
voor een rotatie over de hoek α . We kunnen deze transformatie opgebouwd denken uit n draaiingen
over een hoekje α ⁄ n :
R ( α ) = cos ( α ⁄ n ) sin ( α ⁄ n )
– sin ( α ⁄ n ) cos ( α ⁄ n )
n
2

α 
α ⁄ n + O  ----=  1
 2- 
 n 
 –α ⁄ n 1
n

 α 2 
α
=  11 + ---T + O  -----2- 
n

 n 
n
waarbij de matrix T wordt gegeven door:
T =
Collegedictaat Hoge Energiefysica
0 1 .
–1 0
131
2
In de limiet voor n → ∞ verwaarlozen we termen van de orde 1 ⁄ n en maken we gebruik van de
formule:
1 n
αT
R ( α ) = lim  11 + --- A = e .
n
n→∞
De groep SO(2) heeft dus één generator T en de dimensie van de groep is dus ook 1.
B.4 Complexe fasetransformaties: U(1)
De groep van de complexe fasetransformaties U(1) wordt gegeven door de verzameling complexe
getallen met norm 1 en met de gebruikelijke complexe vermenigvuldiging. De groepselementen zijn
te schrijven als:
U = e
iϕ
ϕ ∈ IR
De bewerking is:
ia ib
i( a + b )
e e = e
a ,b ∈ IR
De groep U(1) heeft één generator, de eenheid(smatrix), en heeft dus dimensie 1.
B.5 Rotaties in twee complexe dimensies: SU(2)
De unitaire transformaties van het complexe platte vlak vormen de groep U(2). Deze groep heeft vier
generatoren. Er zijn oneindig veel keuzemogelijkheden voor de generatoren, elke keuze heet een
representatie. Een representatie voor de vier generatoren is:
T 1 = 11 ,
σ
T 2 = -----1- = 0 1 ⁄ 2 ,
2
1⁄2 0
σ2
T 3 = ------ =
2
0 –i ⁄ 2 ,
i⁄2 0
σ
T 4 = -----3- =
2
1⁄2
0 ,
0 –1 ⁄ 2
waarbij σ i de Pauli spin-matrices zijn. Een algemene U(2) transformatie is dus te schrijven als:
i(α T + α T + α T + α T )
U = e 1 1 2 2 3 3 4 4
De speciale unitaire transformaties in de complexe twee-dimensionale ruimte vormen de groep
SU(2). Voor de speciale unitaire transformaties geldt dat de determinant van de transformatiematrix
+1 is. Er geldt:
iH
( U = e ) ∧ ( U = 1 ) ⇔ Tr ( H ) = 0
Hierbij is Tr ( H ) het spoor van de matrix H , waarbij het spoor is gedefinieerd als de som van de
diagonaalelementen van de matrix.
De generatoren T 2 , T 3 en T 4 vormen een ondergroep van U(1) die SU(2) voortbrengt. Omdat T 1
commuteert met T 2 , T 3 en T 4 , kunnen we een transformatie uit U(2) altijd schrijven als een trans-
132
Collegedictaat Hoge Energiefysica
formatie van U(1), waarvan T 1 de generator is, en een transformatie van SU(2), waarvan T 2 , T 3 en
T 4 de generatoren zijn. T 2 , T 3 en T 4 commuteren onderling niet en de SU(2) groep is irreducibel,
dat wil zeggen niet in kleiner ondergroepen op te delen. We schrijven dus:
U ( 2 ) = U ( 1 ) ⊗ SU ( 2 )
B.6 Rotaties in drie complexe dimensies: SU(3)
De unitaire transformaties van de complexe drie-ruimte vormen de groep U(3). De speciale unitaire
transformaties vormen de groep SU(3) en we kunnen analoog aan U(2) en SU(2) schrijven:
U ( 3 ) = U ( 1 ) ⊗ SU ( 3 )
De groep U(3) heeft 9 generatoren en de groep SU(3) heeft er 8. In een 3x3 matrix representatie is
een mogelijke keuze van de generatoren de verzameling Gell-Mann matrices:
01 0
λ1 = 1 0 0
00 0
0 0 –i
λ5 = 0 0 0
i 0 0
0 –i 0
λ2 = i 0 0
0 0 0
0 0 0
λ6 = 0 0 1
0 1 0
1 0 0
λ3 = 0 –1 0
0 0 0
0 0 0
λ7 = 0 0 –i
0 i 0
0 0 1
λ4 = 0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
λ 8 = ------- 0 1 0
3
0 0 –2
We zien weer dat deze generatoren Spoor ( Tr() ) nul hebben.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
133
134
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX C
Formuleblad voor gebruik bij het tentamen
De gouden regel van Fermi voor 2 (A+B) naar N (i=1..N) deeltjes werkzame doorsnede:
N
N
∑
∏
3


d pi
1
2
4 

---------------------dσ = ----------------------------------------------------- M ( 2π ) δ 
p i – p A – p B
3
2
2 2
4 ( pA ⋅ p B ) – mA mB
i = 1
 i = 1 ( 2π ) 2E i
De gouden regel van Fermi voor 1 naar 2 deeltjes vervalsbreedte:
3
3
3
d k1
d k2
d k2
1
2
4 4
--------------------------------------------- ( 2π ) δ ( k 1 – k 2 – k 3 )
dΓ = ------- M ----------------------3
3
3
2E
( 2π ) 2ω 1 ( 2π ) 2ω 2 ( 2π ) 2ω 2
Feynmanregels voor het Standaard model:
inkomend/uitgaand spin 0 boson
inkomend/uitgaand fermion
inkomend/uitgaand spin 1 boson
spin 0 boson propagator
1
u /u
µ
µ∗
ε /ε
i
----------------2
2
p –m
µ
fermion propagator
foton/gluon propagator
W
±
i ( γ pµ + m )
---------------------------2
2
p –m
µν
– ig
------------ (in de Feynman ijk)
2
q
µν
/
Z0
propagator
µ ν
2
–i [ g – ( q q ⁄ M ± 0 ) ]
W ⁄Z
--------------------------------------------------------------2
2
q –M ± 0
W ⁄Z
γ
W
Z
±
0
fermionfoton
vertex
fermion±
W
vertex
fermionZ0
vertex
ieγ
µ
– ie
µ
5
------------------------- γ ( 1 – γ )
2 2 sin θ w
voor quarks vermenigvuldigen met het
CKM matrix element
– ie
µ
5
--------------------------------- γ ( c v – c a γ ) met
2 sin θ w cos θ w
2
c v = I 3 – 2Q sin θ w ; c a = I 3 ,
I 3 de 3e component v/d zwakke isospin en
Q de elect. lading van het fermion
Collegedictaat Hoge Energiefysica
135
W
p 1, ν
+
p 3, µ
p 2, λ
W
W
p 1, ν
Z
W
ν
µ
–
W
γ
–
µ
ν
µ
W
γ
–
Z
0
±
W Z0
vertex
γ
–
Z
±
σ
λ
+
W
–
+
W
–
b, ν
136
λµ
ν
µν
g ( p2 – p 3 ) + g ( p 3 – p 1 )
λ
ie cos θ w νλ
µ
-------------------- g ( p 1 – p 2 ) +
sin θ w
λµ
ν
µν
g ( p2 – p 3 ) + g ( p 3 – p 1 )
µν λσ
2
– i e [ 2g g
µλ νσ
–g g
λ
–g
µσ νλ
g ]
2
– i e cos θ w
µν λσ
µλ νσ
µσ νλ
----------------------------- [ 2g g – g g – g g ]
2
sin θ w
– i e cos θ w
µν λσ
µλ νσ
µσ νλ
-------------------------- [ 2g g – g g – g g ]
sin θ w
2
±
ie
µλ νσ
µν λσ
µσ νλ
----------------- [ 2g g – g g – g g ]
2
sin θw
quarkgluon
vertex
–i gs µ a
a
---------- γ λ met g s = 4πα s , en λ de
2
Gell-Mann matrix voor de kleurlading van
het gluon
tripelgluon
vertex
–gs f
W ±
W
vertex
σ
g
a, µ
µ
2
W -Z0foton
vertex
0
νλ
ie g ( p 1 – p 2 ) +
2
σ
λ
W
ν
σ
λ
0
+
W
W
±
W foton
vertex
+
W
W Z0
vertex
λ
+
W
±
–
Z
ν
0
p 3, µ
W
W foton
vertex
+
p 2, λ
µ
±
γ
c, λ
abc
λµ
µν
λ
νλ
[ g ( p1 – p2 ) + g ( p2 – p3 )
µ
ν
+ g ( p3 – p1 ) ]
met f
abc
de SU(3) structuur constanten
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
b, ν
c, λ
a, µ
µ
d, ρ
W
W
µλ νρ
f
(g g
–g g )
acz bdz
(g g
– g g )]
f
µρ νλ
µν λρ
over de kleurindex z wordt gesommeerd
–i e m
----------------- --------f- met m f de fermion massa
2 sin θw M W
H0
W Higgs
vertex
ie g
--------------- M W
sin θ w
H0
Z0Higgs
vertex
2ie g
------------------M Z
sin 2θ w
H0
tripelHiggs
vertex
– i e3M H
--------------------------2M W sin θ w
H0
vierHiggs
vertex
– i e 3M H
------------------------------2
2
4M W sin θ w
±
µν
0
µν
0
Z
2
2
2
+
H0
ν
W
µ
Z
ν
+f
µν λρ
µρ νλ
–g g )
adz bcz
fermionHiggs
vertex
±
Z
W
+f
µλ νρ
(g g
H0
ν
µ
viergluon
vertex
f
±
ν
µ
abz cdz
– ig s [ f
Z
–
H0
±
2
µν
W Higgs
vertex
ie g
--------------------2
2 sin θ w
Z0
Higgs
vertex
i2e g
--------------------2
sin 2θ w
0
H0
0
H0
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
µν
137
Enige belangrijke “constanten”:
– 34
h
– 19
------ = 1.054573 ×10
Js ; c = 299792458 m/s ; e = 1.6021773 ×10
C
2π
1 barn ≡ 10
– 28
2
– 19
m ; 1 eV = 1.6021773 ×10
J
2
α ( 0 ) = 1 ⁄ 137 ; α ( M Z ) = 1 ⁄ 128 ; α s ( M Z ) = 0.119 ; sin θw = 0.22 ; tan θ w = g' ⁄ g
Pauli spin matrices:
σ3 = 1 0
0 –1
σ 2 = 0 –i
i 0
σ1 = 0 1
1 0
Dirac gamma matrices:
1
γ0 = 0
0
0
0
1
0
0
0
0
–1
0
0
0
0
–1
0 σi
γi =
i = 1, 2, 3
–σi 0
γ 5 = iγ0 γ 1 γ 2 γ 3
Gell-Mann kleur matrices:
01 0
λ1 = 1 0 0
00 0
0 –i 0
λ2 = i 0 0
0 0 0
1 0 0
λ3 = 0 –1 0
0 0 0
0 0 0
λ6 = 0 0 1
0 1 0
0 0 –i
λ5 = 0 0 0
i 0 0
0 0 1
λ4 = 0 0 0
1 0 0
0 0 0
λ7 = 0 0 –i
0 i 0
1 0 0
1
λ 8 = ------- 0 1 0
3
0 0 –2
Clebsch-Gordon coëfficiënten
«
¤
¥
¦
§
¦
¨
¥
©
ª
«
j
¬
®
1/2×1/2 + 11 1 0
0
0
1
+ 1/2 + 1/2
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2 1
− 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1
¯
®
j
¬
­
­
­
­
­
­
°
œ
›
2×1/2
›
›
− 1/2 − 1/2
›
1
5/2
+ 5/2 5/2 3/2
1 3/2 + 3/2
œ
+ 2 1/2
¥
®
+ 2 − 1/2
+ 1 + 1/2
3/2
+ 3/2 3/2 1/2
+ 1 + 1/2
1 + 1/2 + 1/2
­
œ
ž
›
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
Ÿ
Ÿ
3
+3 3
+2 +1 1 +2
2×1
+ 2 0 1/3 2/3
+ 1 + 1 2/3 −1/3
2
+2
2
+1 +1 1 +1
3
+1
+ 2 −1 1/15
+ 1 0 8/15
0 + 1 6/15
Ÿ
1
+1
+ 1 0 1/2 1/2
0 + 1 1/2 − 1/2
¡
¢
›
›
2
0
1
0
›
1
+1

›
Ÿ

›

›
3
0
2
0
›
1
0


Ÿ

− 1 − 1/2
− 2 + 1/2
œ
4/5
1/5
5/2
1/5 − 4/5 − 5/2
›
− 2 − 1/2
2
0
1
1
0
›
3/2
+ 1/2
›
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2
− 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2
− 1/2 − 1/2
− 3/2 + 1/2
1/2
+ 1/2
›
Ÿ

2
−1
1
−1
3/4 1/4
2
1/4 − 3/4 − 2

œ



¡
›

3
−1
¢
Ÿ
œ
3/5 2/5
5/2 3/2
2/5 − 3/5 − 3/2 − 3/2
Ÿ
− 3/2 − 1/2 1
2/5
+ 3/2 − 1 1/10
1/2
5/2
3/2
1/2
+ 1/2 0 3/5 1/15 − 1/3
1/6 − 1/2
− 1/2 − 1/2
− 1/2 + 1 3/10 − 8/15
8/15
+ 1/2 − 1 3/10
1/6
2
1
− 1/2 0 3/5 − 1/15 − 1/3 5/2
3/2
−1
−1
− 2/5
− 3/2 + 1 1/10
1/2 − 3/2 − 3/2
2/5
5/2
− 1/2 − 1 3/5
1/2 1/10
− 3/2 0 2/5 − 3/5 − 5/2
3
2
− 1/6 − 3/10
−2 −2
− 1/3
3/5
− 3/2 − 1
1
0 − 1 6/15
− 1 0 8/15
− 2 + 1 1/15
1
−1
­
›

2
−1


›
+ 1 − 1 1/5 1/2 3/10
0 − 2/5
0 0 3/5
− 1 + 1 1/5 − 1/2 3/10
œ
›
1/3
3/5
1/6 − 3/10
− 1/2 1/10
2
0 − 1 1/2 1/2
− 1 0 1/2 − 1/2 − 2
−1 −1 1
138
œ

0
0
±
œ
5/2
+ 5/2
5/2
3/2
+ 3/2 + 1
1 + 3/2 + 3/2
5/2
+ 3/2 0 2/5
3/5
+ 1/2 + 1 3/5 − 2/5 + 1/2
3/2×1

Ÿ
+ 1 − 1 1/6 1/2 1/3
0 0 2/3
0 − 1/3
− 1 + 1 1/6 − 1/2 1/3
2
+1
›
›

›


1
µ
5/2 3/2
− 1/2 − 1/2
1
+1
+ 3/2 − 1/2 1/4 3/4
+ 1/2 + 1/2 3/4 − 1/4
›
›
›
£
− 1 − 1/2
Ÿ
›
›

2
+2

›
2
+2
2
+ 3/2 +1/2 1 + 1
3/2×1/2
2/3 1/3 3/2
1/3 − 2/3 − 3/2

¦

Ÿ
0 − 1/2
− 1 + 1/2
›
2/5 3/5
3/5 − 2/5
œ
›

©
­
­
Ÿ
›
²
­
­
0 − 1/2
− 1 + 1/2
3/2 1/2
1/3 2/3
2/3 − 1/3 − 1/2 − 1/2
1×1


›
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
¨
›

›
´

1/5 4/5
3/2
5/2
4/5 − 1/5 + 1/2 + 1/2

›
¨

›
›
°
³
›
›
®
³

›
1×1/2
¯
²
¡

œ

›

œ


− 1 − 1 2/3 1/3 3
− 2 0 1/3 − 2/3 − 3
−2 −1 1

Collegedictaat Hoge Energiefysica
Spoortheorema’s:
Tr ( 11 ) = 4
Tr ( oneven aantal γ-s ) = 0
Tr ( a/ b/ ) = 4 ( a ⋅ b )
Tr ( a/ b/ c/ d/ ) = 4 [ ( a ⋅ b ) ( c ⋅ d ) + ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) – ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) ]
5
Tr ( γ a/ ) = 0
5
Tr ( γ a/ b/ ) = 0
5
Tr ( γ a/ b/ c/ ) = 0
5
µ ν λ ρ
Tr ( γ a/ b/ c/ d/ ) = 4iε µνλρ a b c d
spin som operatoren voor Dirac spinoren:
∑ uα ( p, s )uβ ( p, s ) = ( p/
+ m ) αβ
s
∑ vα ( p, s )vβ ( p, s ) = ( –p/
+ m ) αβ
s
Collegedictaat Hoge Energiefysica
139
140
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX D
Uitwerkingen van opgaven
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 1
1.3
Een interessante proef is het laten botsen van een electron op een proton. Een manier om dat te
doen is een vat met vloeibaar waterstof te nemen (waterstof bestaat uit een proton waaromheen
een electron cirkelt) en daar een electronenbundel op af te schieten. Neem aan dat het proton in
dat geval in rust is en het electron een impuls p heeft. Wat is de invariante massa van het electron proton systeem ?
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
M inv = ( E p + E e ) – ( p p + p e ) = ( m p + m e + p ) – p = m p + m e + 2m p m e + p
1.4
2
Bovenstaande proef wordt bij de HERA versneller gedaan door zowel protonen als electronen
te versnellen. De proton en electronbundel worden dan in tegengestelde richting op elkaar
gebotst. In dit geval heeft het proton een impuls van 820 GeV en het electron een impuls van
30 GeV. Wat is in dit geval de invariante massa van het electron-proton systeem ? Hoe groot
zou de impuls van het electron moeten zijn om dezelfde invariante massa te halen als het proton in rust is ? (De proton massa, 0.938 GeV, en de electon massa, 0.51 MeV, mogen worden
verwaarloosd ten opzichte van de grote impulsen in het geval van HERA.)
2
2
2
2
2
M inv = ( E p + E e ) – ( p p + pe ) = ( 820 + 30 ) – ( 820 – 30 ) = 98400 ⇒ M inv = 314 GeV
1.5
2m p × p e = 98400 ⇒ pe = 52452 GeV
Als een electron een impuls heeft van 1 GeV, hoeveel energie heeft het dan in Joule ? (De lading van een electron is e = 1.6022 × 10
9
1.6
9
– 19
C .)
– 19
– 10
1 GeV = 10 eV = 10 × 1.6 × 10
CV = 1.6 × 10
J
In natuurlijke eenheden is het antwoord van een berekening voor een werkzame doorsnede in
GeV-2. De praktische uitdrukking van een werkzame doorsnede voor experimentele fysici is in
de eenheid barn (b), waarbij 1 b = 10-24 cm2. Hoeveel barn is 1 GeV-2 ? (Tip: gebruik het feit
hc 2
– 34
dat  ------ = 1 in natuurlijke eenheden en verder dat h ⁄ ( 2π ) = 1.055 × 10
Js en
 2π
8
c = 2.998 × 10 m/s in SI eenheden.)
2
hc 
– 34
8 2 2 2
 ----- = ( 1.055 × 10 × 2.998 × 10 ) J m
 2π
 1.055 × 10 –34 × 2.998 × 108
-
=  -----------------------------------------------------------------– 10


1.6 × 10
2
2
GeV m
2
2
 1.055 × 10 –34 × 2.998 × 108
28
2
- × 10 GeV b
=  -----------------------------------------------------------------– 10


1.6 × 10
2
= 0.39 GeV mb ⇒ 1 GeV
1.7
–2
= 0.39 mb
Een Λ baryon vervalt in een proton, p, en een pion, π. Het Λ heeft een massa van 1116 MeV,
het proton 938 MeV, en het pion 140 MeV. Wat is de snelheid van het proton na het verval in
Collegedictaat Hoge Energiefysica
141
het rustframe van het Λ ? De impuls wordt opgelost uit
2
1.8
2
2
2
1116 = 938 + p + 140 + p ⇒ p = 101 MeV
In de LEP versneller en opslagring worden electronen op positronen gebotst. De omtrek van
deze versneller stellen we op 27 km. De stroom die op een punt in de versneller wordt gemeten
ten gevolge van de steeds langskomende bundel deeltjes is routinematig voor zowel electronen
als positronen 2 mA. De electronen en positronen hebben de lichtsnelheid. Op de punten waar
2
de bundels botsen hebben ze een afmeting van 0.005 × 0.15 mm in de richting loodrecht op
de bundels. Zowel de electron als positron bundel zijn verdeeld in vier “bunches” (groepjes).
We nemen aan dat de bundels perfect op elkaar zijn gericht. Wat is de luminositeit van deze
machine in eenheden van cm-2s-1 en hoeveel is dat in pb-1s-1, waarbij pb staat voor picobarn ?
Per seconde zijn er c ⁄ ( 27km ) = 44415 bunch crossings per bunch zijn er
–3
2 × 10
2 mA
2 mC/s
- electronen of positronen . De luminositeit is
--------------- = ------------------- = -------------------------------------------------------– 19
44415
44415
1.6022 × 10 × 44415
2
–3


2 × 10
32
– 2 –1
dus: L =  ------------------------------------------------------- ⁄ ( 0.0005 × 0.015 ) × 44415 = 4.7 × 10 cm s .met
– 19
 1.6022 × 10 × 44415
1.9
32
4.7 × 10
–4
–1 – 1
geeft dat L = ----------------------=
4.7
×
10
pb
s
36
10
Als we in plaats van verstrooiing aan een harde bol, verstrooiing aan een puntlading beschouwen heet dat Rutherford verstrooiing. Een inkomend deeltje van lading q 1 verstrooit aan een
1 cm
–2
= 10
36
pb
–1
deeltje in rust met lading q 2 . De relatie tussen de botsingsparameter en de verstrooiingshoek is
q1 q2
gegeven door b = ----------- cot ( θ ⁄ 2 ) , met E de kinetische energie van het inkomende deeltje.
2E
Wat is de formule voor de differentiele werkzame doorsnede ( dσ ) ⁄ ( dΩ ) als functie van de
verstrooiingshoek θ en wat is de totale werkzame doorsnede ? De differentiele werkzame
2
q 1 q2


dσ
- en de integraal over de hele ruimtehoek geeft oneindig
doorsnede is ------- =  ------------------------------dΩ
 4Esin 2 ( θ ⁄ 2 )
als totale werkzame doorsnede.
142
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 2
2.1
µ
Laat zien dat formule (2.12) ( ∂ µ j = 0 ) volgt uit de definitie van de stroomdichtheid zoals
gegeven in formule (2.11) ( j µ = ie ( φ∗ ∂ µ φ – ( ∂ µ φ∗ )φ ) ). Hint: gebruik de aanwijzingen tussen formules (2.11) en (2.12).
Het makkelijkst is het om hier van twee kanten af te werken. Eerst de afgeleide van de stroomdichtheid nemen, met Leibniz voor de verschillende factoren in de termen. Dan de Klein-Gordon vergelijking en geconjugeerde Klein-Gordon vergelijking respectievelijk van links en
rechts met φ∗ en φ vermenigvuldigen en de twee resultaten van elkaar aftrekken. De twee antwoorden zouden nu hetzelfde moeten zijn.
2.2
µ
2
Laat zien dat de Klein-Gordon vergelijking met covariante afgeleide , D D µ φ + m φ = 0 ,
invariant is onder de lokale ijktransformatie:
. φ → φ’ = e
iϕ ( x )
φ;
eAµ → eA’µ = eA µ + ∂ µ ϕ ( x ) .
We laten alleen zien dat D µ φ invariant is. De rest is dan triviaal.
iϕ
iϕ
iϕ
iϕ
D µ φ → D µ φ’ = ∂ µ φ’ – eA’µ φ’ = e ∂ µ φ + ( ∂ µ ϕ )e φ – eA µ e φ – ( ∂ µ ϕ )e φ
iϕ
2.3
.
iϕ
= e ( ∂ µ – eA µ )φ = e D µ φ
De fasedraaiing komt ook in de massaterm voor en vermenigvuldigd de hele vergelijking.
Omdat deze fase nooit het getal nul oplevert, moet de rest van de vergelijking nul zijn en hebben we de Klein-Gordon vergelijking weer terug.
Leid de expliciet Lorentzinvariante vorm van de flux in formule (2.33)
2
2
2
4 ( pA ⋅ p B ) – mA mB
( flux = ----------------------------------------------------) af. Hint: gebruik het speciale geval van de botsing tussen
2
V
2E A 2E B
twee collineaire deeltjes en formule (2.32) ( flux = v A ---------- ---------- ) en het feit dat een LorentzV V
invariante uitdrukking in een speciaal frame in alle frames geldig is.
We moeten aantonen dat:
2
2
2
( pA ⋅ pB ) – mA mB =
2
2
2
2
2
2
( EA ⋅ mB ) – mA mB = mB EA – mA
2 2
= mB pA = mB EA vA = mB E A vA = EB EA vA
3
2.4
d p
-,
Een andere manier om de Lorentzinvariante faseruimte van een deeltje, dLIPS = -------------------3
( 2π ) 2E
4
3
af te leiden is uit de manifest Lorentzinvariante faseruimte ( d p ) ⁄ ( 2π ) . Laat zien dat deze
twee uitdrukkingen hetzelfde zijn.
2
2
2
We gebruiken de relatie tussen energie en impuls E = p + m en integreren over de energie
om daarna terug te vertalen naar de energie als variabele in het antwoord:
2
1
3
4
2
2
3
d p
d p = δ ( E – p – m )dEd p = ------2E
2
∫
∫
E=
Collegedictaat Hoge Energiefysica
p +m
2
143
2.5
Laat zien dat inderdaad alle factoren V in formule (2.41)
N
N
∑
∏
3


d pi
1
2
4 

( dσ = ----------------------------------------------------- M ( 2π ) δ 
---------------------) tegen elkaar
p i – p A – p B
3
2
2 2
(
2π
)
2E
4 ( pA ⋅ pB ) – mA mB
i
i = 1
i = 1
wegvallen. Hint: het kwadraat van de deltafunctie in T fi
2
kan worden geschreven als een del-
tafunctie maal een volume V . Laat dit ook zien.
N
N
∑
∏
2




4
p i – pA – p B N A N B 
– i ( 2π ) δ 
N i M




2
i = 1 
i = 1

T fi
W fi = ----------- = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------TV
TV
N
N
2
2





1 2
1
2

 ( 2π ) 4 δ 


--------- M
pi – p A – p B


   V 


i = 1

 i = 1 V
= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TV
∏
∑
N
N
∑
∑





1 2 1 N 2
2
4 
4 




TV  ( 2π ) δ 
p i – pA – p B  --- --- M
( 2π ) δ 
p i – p A – pB M
 V  V

i = 1

i = 1

= -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------------------N+2
TV
V
N
2
1
V
--------- = ---------------------------------------------------- ; faseruimte =
flux
2 2
2
4 ( p A ⋅ p B ) – m A mB
∏
i=1
N
3
Vd p i
N
---------------------= V
3
( 2π ) 2Ei
∏
i=1
3
d pi
---------------------;
3
( 2π ) 2Ei
N


2

( 2π ) δ
p i – p A – p B M


2
i = 1

W fi faseruimte
V
N
---------------------------------------------------V
----------------------------------------------------------------------dσ = --------------------------------- =
N+2
flux
2
2 2
V
4 ( p A ⋅ p B ) – mA m B
4
∑
N
N
∑
∏
N
∏
i=1
3
d pi
---------------------3
( 2π ) 2E i
3




d pi
1
4 
2


---------------------=  ( 2π ) δ 
p i – p A – p B M  ---------------------------------------------------3
2
2 2

 4 ( p A ⋅ p B ) – m A m B i = 1 ( 2π ) 2E i
i = 1

2.6
4
2
2
2
e  3 + 2m ⁄ p + cos θ
dσ
-  ------------------------------------------------
Leid formule (2.48) ( ------- = ------------2
2
dΩ

16π s 
sin θ
2
2
2
2
2
2
α  3 + 2m ⁄ p + cos θ
- ) af.
= ------  -----------------------------------------------2
s 

sin θ
2
2
∑
∏
3


d pi
1
2
4 

dσ = ----------------------------------------------------- M ( 2π ) δ
---------------------p i – p A – pB
3


2
2 2
4 ( pA ⋅ pB ) – mA mB
i = 1
 i = 1 ( 2π ) 2E i
144
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
2
2
( p A ⋅ p B ) – mA mB = ( E A + E B ) pA ;
3
3
2
d p1 d p 2
M
---------dσ = ---------------------------------------------δ
(
p
+
p
–
p
–
p
)
1
2 A
B E - ---------2
1 E2
64π ( E A + E B ) p A
de delta functie uitschrijven in energie en impuls componenten en integreren over p2 levert:
3
3
d p 2 = δ ( E 1 + E 2 – E A – E B )δ ( p 1 + p 2 – p A – pB )d p 2 = δ ( E 1 + E2 – EA – EB )
p1 = – p2 + pA + pB
en dus
3
2
d p1
M
 p 2 + m 2 + p 2 + m 2 – E – E  ----------δ
dσ = ---------------------------------------------1
1
A
B E E - =
2
1
2

1 2
64π ( E A + E B ) p A
2
2
p 1 d p 1 dΩ
2
2
M
2
2
---------------------------------------------- δ  p 1 + m 1 + p 1 + m 2 – E A – E B ------------------------------- =
2


E1 E2
64π ( EA + E B ) p A
2
2
E 1 E 2 p 1 dΩ
M p1
M
---------------------------------------------------------------------------------------------- dΩ
---------------------------------=
2
2
2
(
E
+
E
)
E
E
A
B
1
2
64π ( EA + E B ) p A
64π ( EA + E B ) p A
de integraal over p 1 is niet helemaal triviaal, maar kan gedaan worden door de delta functie te
reduceren tot lineair in p 1 met behulp van
δ( g( x)) =
∑
1
---------------- δ ( x – x i )
g’( x i )
i
waarbij x i de nulpunten van de functie g zijn.
een alternatieve methode is om een coordinatentransformatie toe te passen met
E tot =
2
2
2
2
p1 + m1 + p1 + m2
waarbij p 1 door de variabele Etot wordt vervangen.
vanaf hier verder gewoon invullen:
2
2
2
1
1
dσ
2
2  ( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ
------------------------------------------------------------------
------- = ------------M
–
2e
=

2
2
2
dΩ


64π s
64π s
– sin θ
4
2
2
2
e  ( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ
-----------------------------------------------------
= -------------
2
2

16π s 
– sin θ
2.7
2
2
2
2
2
2
α  ( 2m ⁄ p ) + 3 + cos θ
-
= ------  ----------------------------------------------------2
s 

– sin θ
2
Het Feynmandiagram dat we hebben getekend en uitgerekend voor verstrooiing van twee
spinoren door uitwisseling van een foton is de laagste orde in een storingsreeks. Teken de Feynmandiagrammen die horen bij de volgende term in de storingsreeks. Wat is de variabele
waarin de storingsreeks is ontwikkeld ? Waarom convergeert de reeks in numerieke zin ?
Waarom neemt de moeite die je moet doen om elke volgende orde in de storingsreeks uit te
rekenen toe ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
145
De reeks is in machten van de koppelingsconstante. De electromagnetische koppelingsconstante is 1/137 en machten daarvan gaan snel naar nul. Wel neemt het aantal verschillende diagrammen toe. (Het is zelfs zo dat het aantal diagrammen sneller toeneemt dan de macht van de
koppelingsconstante afneemt, maar dat wordt voor electromagnetisme pas na de 137-e orde
belangrijk.
2.8
5
0 1 2 3
In het volgende hoofdstuk zal de gamma matrix γ = iγ γ γ γ een belangrijke rol spelen.
5
Schrijf γ uit in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices.
0
5
γ = 0
1
0
2.9
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
µ ν
Bewijs vergelijking (2.96): Tr ( γ γ ) = 4g
µ ν
µ ν
µ ν
µν
.
µν
µν
Tr ( γ γ ) = Tr ( γ γ + γ γ ) ⁄ 2 = Tr ( 2g 11 ) ⁄ 2 = g Tr ( 11 ) = 4g
2.10 Toon aan dat het spoor van een oneven aantal gamma matrices nul is.
µ ν
5 2
λ
µ ν
µν
λ 5 5
Gebruik dat ( γ ) = 1 , dan Tr ( γ γ …γ ) = Tr ( γ γ …γ γ γ ) . Het spoor is invariant onder
5
cyclische verwisseling van de matrices Tr ( ABC ) = Tr ( CAB ) , terwijl we één γ ook naar
voren kunnen halen door gebruik te maken van de anti-commutator met alle gamma matrices
links ervan in het spoor. Omdat dat aantal oneven is geeft dit een minteken in het totaal
µ ν
5 µ ν
λ
λ 5
5 µ ν
λ 5
µ ν
λ 5 5
µ ν
λ
Tr ( γ γ …γ ) = – Tr ( γ γ γ …γ γ ) = Tr ( γ γ γ …γ γ ) = Tr ( γ γ …γ γ γ ) = Tr ( γ γ …γ )
5 µ ν
λ 5
5 µ ν
λ 5
5 µ ν
λ 5
en dus – Tr ( γ γ γ …γ γ ) = Tr ( γ γ γ …γ γ ) ⇒ Tr ( γ γ γ …γ γ ) = 0 en
µ ν
λ
dus Tr ( γ γ …γ ) = 0
146
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 3
3.1
3.2
3.3
In de LEP ring worden elektronen en positronen versneld tot gelijke energie. Wat moet die
energie zijn om bij annihilatie een Z boson te maken ? Wat moet de minimale energie zijn om
een paar W bosonen te maken ?
De energie moet M Z ⁄ 2 zijn voor Z boson productie en M W voor W paar productie.
Waarom worden er ook Z bosonen gemaakt als de zwaartepuntsenergie iets lager is dan de Z
boson massa ?
Doordat de Z een vervalsbreedte heeft van ongeveer 2.5 GeV is de waarschijnlijkheid om een
Z te maken met een invariante massa binnen een paar GeV van de rust massa nog redelijk
groot.
De totale vervalsbreedte van het Z boson is ongeveer 2.5 GeV. Wat is de levensduur van het Z
boson ?
– 20
3.4
3.5
3.6
– 36
– 18
– 27
1eV = 16 ×10 J ; h ⁄ ( 2π ) = 105 ×10 Js = 656 ×10 eVs = 656 ×10 GeVs dus
10
6560 –27
–1
– 25
τ = ------ GeV = ------------ 10 s = 2, 62 × 10
s
25
25
Wat verwacht je voor de verhouding van de vervalsbreedte van het W and het Z boson ?
De koppelingen zijn van dezelfde orde van grootte en het aantal vervalskanalen is ook min of
meer vergelijkbaar, dus de vervalsbreedtes zullen van de zelfde orde zijn.
Wat is de verhouding tussen het aantal keer dat een Z boson in een electron-positron paar, een
muon paar, een tau paar en een neutrino paar (één van de drie soorten) vervalt ?
1:1:1:2 de gelijkheid van de drie geladen lepton vervallen heet lepton unificatie. De koppelingen zijn onafhankelijk van de familie. De factor twee voor neutrino’s komt doordat de axiale
koppeling van de geladen leptonen bijna nul is, maar die voor de neutrino’s even groot als de
vector koppeling. Omdat de axiale stroom ongeveer evenveel bijdraagt als de vectorstroom
verklaart dat de factor 2.
Er is een plan voor het maken van een muonbotser. In deze muonbotser worden positieve en
negatieve muonen gemaakt, versneld en in een opslagring in tegengestelde richting met elkaar
gebotst. De muonen worden gemaakt door met een protonbundel op trefplaatjes te schieten en
zo pionen te produceren, die in muonen en neutrino’s vervallen. Vervolgens is het probleem
om de muonen allen met dezelfde energie in dezelfde richting te laten gaan. Wat is de oorsprong van dit probleem ? Als we de muonen met dezelfde energie in dezelfde richting kunnen
laten gaan, kunnen we ze snel versnellen en naar de opslag ring transporteren. Waarom moeten
we ze snel versnellen ? Stel dat we heel snel kunnen versnellen en dat de tijd die we nodig hebben om de muonen met de uiteindelijke energie in de opslagring te krijgen verwaarloosbaar is
ten opzichte van de vervalstijd. De uiteindelijke energie per muon in de eerste fase van dit
experiment is gepland op ongeveer 75 GeV. Wat is de levensduur van de muonen voor
waarnemers die ten opzichte van de opslagring in rust zijn ? Het magneetveld dat door de buigmagneten die de muonen in een cirkelvormige baan houden is 10 Tesla. Hoe groot is de straal
van de cirkel waarin de muonen zich bewegen ( r [m] = ( p [GeV] ) ⁄ ( 3B [T] ) ) ? Hoe veel
omwentelingen maakt het muon gemiddeld voor het vervalt ? (De luminositeit schaalt met het
aantal omwentelingen van het muon (waarom?)) Wat is de straal in hetzelfde magneetveld voor
een muon impuls van 1000 GeV (de uiteindelijke energie waarvoor deze botser wordt
gemaakt) ? Hoeveel omwentelingen maakt het muon voor het vervalt bij 1 TeV (=1000 GeV) ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
147
De muonen worden gemaakt door pion verval en hebben een willekeurige hoekverdeling in het
–6
verval. Het muon vervalt in 2 ×10 seconde. Als het muon wordt versneld dan is voor de
waarnemer in het loboratoriumsysteem de levensduur groter met de Lorentzcontractiefactor.
Dus door meteen te versnellen kan tijd worden gewonnen.
–4
γ = E ⁄ m = 75000 ⁄ 105 = 714 hieruit volgt dat τ = 14 ×10 seconde in het lab systeem.
De cirkel bij 10 T magneten heeft straal r = 75 ⁄ 3 = 25 meter. De omtrek van deze cirkel is
2π × 25 = 157 meter. Het muon beweegt met de lichtsnelheid, dus het aantal omwentelingen
8
–4
in 1.4 ms is 3 ×10 ⁄ 157 × 14 ×10 = 2675 . In de praktijk kan maar de helft van de lengte van
de ring door afbuigmagneten worden bevolkt en wordt de ring dus twee keer zo lang en het
aantal omwentelingen twee keer zo klein.
De luminositeit schaalt natuurlijk met het aantal omwentelinge omdat de deeltjes dan evenzoveel malen de kans hebben te botsen onder dezelfde condities.
De straal van de machine bij 1000 GeV is 1000/75*25=333 m (en de omtrek dus ongeveer 2
km).
Het aantal omwentelingen is invariant, omdat de Lorentz gamma factor evenveel toeneemt als
de lengte van de machine en die twee tot één uitdelen.
148
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 4
4.1
+
+
Bereken de relative werkzame doorsnede van de processen: π p → π p (elastische verstrooi–
–
–
0
ing), π p → π p (elastische verstrooiing) en π p → π n (ladingsuitwisseling).
De eerste twee processen hebben identieke begin en eindtoestanden en dus Clebsch-Gordon
coëfficiënt 1. Het laatste process heeft als tussen toestanden |3 ⁄ 2, – 1 ⁄ 2⟩ en |1 ⁄ 2, – 1 ⁄ 2⟩ . De
projecties uit de begintoestand zijn
1 ⁄ 3 en – 2 ⁄ 3 en uit de eindtoestand
2 ⁄ 3 en
1 ⁄ 3,
2
4.2
zodat de relatieve waarschijnlijkheid wordt ( 1 ⁄ 3 × 2 ⁄ 3 + ( – 2 ⁄ 3 ) × 1 ⁄ 3 ) = 0
De hyperlading is gedefinieerd als Y = B + S , waarbij B het baryongetal is en S de strangeness. Laat uitgaande van het spectroscopisch quarkmodel zien dat de lading van baryonen
wordt gegeven door: Q = I3 + Y ⁄ 2 , waarbij I 3 de derde component van de sterke isospin is.
Gewoon door invullen. Bijvoorbeeld voor het proton Y = 1 + 0 = 1 , Q = 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 = 1 .
Voor het Λ baryon met stangeness -1 en isospin 0, Q = 0 + ( 1 – 1 ) ⁄ 2 = 0 .
4.3
+
+
–
0
Teken het Feynmandiagram van de sterke reacties π p → π p en π p → π n op het niveau
van quarks in het spectroscopisch quark model van hadronen. Hint: in deze Feynmandiagrammen komt geen vertex voor !
π
–
d
u
d
u
π
–
d
u
d
d
π
0
u
p u
d
4.4
4.5
u
d
u
u
p u
u n
d
d
d
Reken de dracht uit in meters voor de sterke kernkracht.
Gebruik de Yukawa potentiaal met pionen als uitgewisselde deeltjes. De dracht is 1/massa=1/
135 MeV-1. In natuurlijke eenheden is 1 MeV-1=2*10-13 m, dus de dracht is (2/135)*10-13=
1.5*10-15 m. Dit is ongeveer de afmeting van het proton en dracht van de sterke interactie is
dus typisch van de orde van de straal van het proton (of neutron).
Een modern diep inelastisch botsingsexperiment is het ZEUS experiment bij de HERA versneller in Hamburg. In de HERA versneller worden protonen en electronen versneld in
tegengestelde richting in een cirkelvormige tunnel van 6.7 km lengte. Het proton wordt tot een
energie van 820 GeV versneld, terwijl het electron tot een energie van 30 GeV wordt versneld.
Leg uit waarom de energie van de protonen veel hoger kan zijn dan van de elektronen. Wat is
2
de totale invariante massa van het electron-proton systeem ? Wat is de maximale Q die kan
worden bereikt ? In welke richting gaat het verstrooide electron dan ? In de detektor moeten de
protonen en elektronen natuurlijk naar binnen (en naar buiten) kunnen. Daarvoor zit rond de
bundelpijp in de voorwaartse en achterwaartse richting een gat in de detektor. Dit gat is
zodanig dat een eerste goede meting van de elektronenergie pas op een afstand van 15 cm van
de bundel kan op een afstand van 1.5 m van het interactiepunt. Reken uit wat de minimale Q
is van interacties waarbij het elektron in de eindtoestand wordt waargenomen.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
2
149
Het proton is veel zwaarder en verliest in een circulaire machine veel minder Bremstrahlung
energie en kan dus makkelijker bij hoge energie worden gehouden. De invariante massa is
s =
2
2
( Ep + E e ) – ( p p – p e ) =
2
2
2
850 – 790 = 313 GeV .
2
2
De maximale Q is Q = 4 × E p × E e = 4 × 30 × 820 = 98400 GeV .
2
4.6
4.7
4.8
2
Q min = 2E p E e ( 1 – cos θ ) = 2E p E e ( 1 – 0, 995 ) = 244 GeV
In het ZEUS experiment uit de vorige vraag zijn ook gevallen gezien die duidelijk diep-inelastische verstrooiing waren, maar waarbij geen elektron in de eindtoestand zat. Hoe kan dat ?
Door geladen stroom gevallen waarbij een W wordt uitgewisseld en het electron in een neutrino wordt omgezet.
Er zijn ook experimenten gedaan waarbij een inkomende neutrinobundel is gebruikt. Hoe zou
je zo’n neutrinobundel kunnen maken ? In deze experimenten was het doel altijd een hoeveelheid materiaal die stil lag in het laboratorium. Waarom is dat zo ? Hoe herken je een diep-inelastische verstrooiing van een neutrino aan een proton of neutron in zo’n blok materiaal, a) als
de interactie een geladen stroom is, b) als de interactie een neutrale stroom is ? Welk deeltje
wordt in ieder van de twee gevallen uitgewisseld ?
Het makkelijkst is een neutrinobundel te maken door pionen te produceren uit proton botsingen met een trefplaatje en vervolgens de pionen te laten vervallen in muonen en neutrino’s.
Bij neutrino experimenten is altijd veel doelmateriaal nodig om aan een hoge luminositeit te
komen, die nodig is omdat de werkzame doorsnedes voor neutrino verstrooiing zo klein zijn.
Bij een geladen stroom interactie wordt het neutrino weer in een vaak energetisch geladen lepton (muon) omgezet dta makkelijk is te detecteren.
Bij neutrale stroom interacties zijn de fragmentatieproducten van het proton of neutron
waaraan wordt vestrooid zichtbaar en hun impuls schijnbaar niet gebalanceerd. Met de wet van
behoud van (vier-)impuls is dan de impuls van het verstrooide neutrino uit te rekenen.
Bij een geladen stroom wordt een W uitgewisseld and bij een neutrale stroom een Z.
(Bij neutrino’s wordt nooit een foton uitgewisseld, omdat het er niet aan koppelt.)
Op het moment wordt in Nederland de deelname besproken aan een experiment, ANTARES,
dat neutrino’s van heel hoge energie uit het heelal moet gaan waarnemen. Dit experiment
3
gebruikt de zee als een doel en detekteert over een volume van een km geladen deeltjes die
worden gemaakt als gevolg van een neutrino botsing met de kernen in een watermolecuul.
Geef voor elk van de drie soorten neutrino’s aan wat de interactieproducten zijn die worden
gedetekteerd. Geef een voorbeeld voor elk van de neutrino soorten hoe die met hoge energie in
het heelal zouden kunnen worden geproduceerd. Verwacht je van alle neutrinosoorten evenveel
met hoge energie in het heelal ?
De enige redelijke manier om neutrino’s te detecteren is als ze een geladen stroom interactie
hebben met een kern. In dat geval verandert het neutrino in een geladen lepton en voor electron-neutrino, muon-neutrino en tau-neutrino zijn dat electron, muon en tau, respectievelijk.
Voorbeelden van neutrinoproductie zijn electron-neutrino’s van kernfusie processen (protonen
van waterstof moeten in neutronen veranderen om zwaardere elementen te kunnen maken en
bij dat process komen electron-neutrino’s vrij); muon-neutrino’s worden voornamelijk geproduceerd uit pion verval en de pionen worden gemaakt in sterke nucleaire interacties. Die kunnen plaats vinden als materiaal wordt versneld in allerlei mechanismen die denkbaar zijn, zoals
acretie-disks, etc.; tau-neutrino’s kunnen eigenlijk alleen in vrij exotische processen worden
gemaakt, zoals annihilatie van supersymmetrische deeltjes (zie hoofdstuk 7).
150
Collegedictaat Hoge Energiefysica
We verwachten dus grote hoeveelheden electron-neutrino’s, minder muon-neutrino’s en relatief bijna geen tau-neutrino’s.
4.9 Geef de verhouding  u ( x ) – u ( x ) dx ⁄  d ( x ) – d ( x ) dx voor het proton en neutron.

 

Waarom is het nodig de anti-quark distributies van de quark distributies af te trekken om tot
een voorspelling te komen ?
Deze verhouding is 2 voor het proton en 1/2 voor het neutron. Het aantal quarks is onbepaald,
net als het aantal anti-quarks, maar het verschil geeft het aantal valentiequarks dat een goed
bepaald aantal is.
4.10 Waarom zijn de charm en bottom quarks gevonden in gebonden toestanden van quark-antiquark en het top quark niet ?
Omdat het top quark zo zwaar is vervalt het zo snel dat geen gebonden toestand kan ontstaan
voor het verval. Bij b en c quarks verloopt het verval vrij traag en worden eerst hadronen
gevormd voordat het zware quark vervalt.
∫
∫
+ –
σ ( e e → qq )
4.11 Geef een voorspelling voor de verhouding van werkzame doorsnedes: R = -----------------------------------------+ –
+ –
σ( e e → µ µ )
als functie van de invariante massa van het inkomend electron-positron paar.
Als de annihilatie van het electron-positron paar in een foton is (bijv bij een invariante massa
onder de Z massa) dan is de verhouding die van de som van de electrische ladingen in het
kwadraat maal een factor drie voor de drie kleur mogelijkheden om een quark-paar te maken,
dus bijv. boven de charm drempel, maar onder de bottom drempel,
3*((1/3)2+(2/3)2+(1/3)2+2/3)2) =10/3.
4.12 Wat is de koppling voor uWs, rekening houdend met de CKM matrix ? Schrijf de koppeling
ook op in de Wolfenstein parametrisatie.
– ieV us µ
–ieλ
µ
5
5
------------------------- γ ( 1 – γ ) = ------------------------- γ ( 1 – γ )
2 2 sin θ w
2 2 sin θ w
4.13 Top quarks worden vooral in paren gemaakt. Toch kunnen ze ook als een enkele top of anti-top
in een experiment worden gemaakt. Hoe gaat dat ? Wat verwacht je voor enkele top productie
in de annihilatie van een electron-positron paar, kan de meeste energie van die reactie in een
enkel top quark gaan zitten ? En voor een electron-proton botsing ? En voor een proton-antiproton botsing ?
Enkele top quarks kunnen gemaakt worden in het verval van een W naar een top en bottom
quark.
In electron-positron colliders kan een enkele W worden geproduceerd, maar alleen via een
Bremstrahlung proces met een extra foton of Z uitwisseling in het t-kanaal. Het is onaannemelijk dat het W dan met een grote invariante massa kan worden geproduceerd.
In electron-proton botsingen kan een enkel top quark worden gemaakt in W gluon fusie, waarbij het electron in een neutrino verandert door aan een W te koppelen en de W aan een gluon
wordt verstrooid door een b quark uit te wisselen en de b aan de W vertex in een t te veranderen.
In een proton-anti-proton collider worden veel W deeltjes gemaakt door quark-anti-quark annihilatie in een W (bijv. u+d om een W+ te vormen), vervolgens kan de W in top en anti-bottom
vervallen als de invariante mass hoog genoeg is. Dit process zou waarneembaar moeten zijn bij
de Tevatron proton-anti-proton collider.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
151
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 5
5.1
Wat is de pariteit van de a 0 , een electrisch neutraal scalar meson dat dominant in ηπ vervalt ?
De η is een neutraal meson met J
PC
PC
= 0
–+
. Dus moet het pion dat het andere vervalsdeeltje is
–+
wel een neutraal pion zijn met J = 0 . Omdat alle deeltjes spin 0 hebben is het onmogelijk
baanimpuls te creeëren. Dus de pariteit en de ladingsconjugatie van het a 0 zijn het product van
die van de η en π . Voor het a 0 geldt dus: J
5.2
De φ ( 1020 ) heeft J
kaonen vervallen ?
PC
0
0
0
0
= 1
––
PC
= 0
++
.
0
0
. Waarom kan de φ ( 1020 ) alleen in het paar K S K L neutrale
De combinatie K S K L geeft de juiste pariteit en ladingsconjugate (namelijk beiden negatief).
0
0
De toestanden K S K S en K L K L geven beiden pariteit en ladingsconjugatie positief.
Hoe zou je dit feit kunnen gebruiken om CP schending te bestuderen in een e+e- botser ?
Produceer een φ ( 1020 ) in rust door het electron en positron te botsen bij een invariante massa
van 1020 MeV. Als aan een kant een verval in 2 pionen zichtbaar is, moet de andere kant een
0
K L zijn. Kijk nu hoe vaak die ook in twee pionen vervalt. Gebeurt dat, dan is er CP schending.
5.3
0
0
5.4
152
0
Geef een voorbeeld van een intermediaire toestand als een B d in een B d oscilleert.
Net als in het geval van de kaonen laten we een b quark in een c quark vervallen en een d in een
c. Om nu een toestand met twee mesonen te maken (de cc toestand heeft niet de juiste massa
om een stabiel deeltje te vormen) kunnen we bijvoorbeeld een uu paar toevoegen, zodat de tus0
sentoestand D D wordt.
Wat is een goede test om te kijken of CPT is geschonden ?
Het massaverschil tussen deeltje en anti-deeltje.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 6
6.1
2
2
2
Schets de Higgs potentiaal ( µ φ† φ + λ ( φ† φ ) ) voor positieve en negatieve waarden van µ .
Waarom moet λ altijd positief zijn om een fysisch model te krijgen ? Waarom werkt een posi2
tieve waarde van µ niet om spontane symmetriebreking te krijgen ?
Als λ negatief is is de potentiaal naar onder niet begrensd, is er geen minimum, dus geen
2
6.2
grondtoestand, dus geen stabiel vacuum. Als µ positief is, is er maar één minimum in de
potentiaal, precies bij nul en wordt er dus geen vacuumverwachtingswaarde verkregen en dus
geen massa’s. Dit is in tegenspraak met observaties aan de wereld om ons heen.
Gegeven is de massa van het tau-lepton, m τ = 1777 MeV. Gebruik de vertakkingsverhoudingen van het Higgs boson zoals in de tabel in dit hoofdstuk gegeven om de massa van het b en c
quark uit te rekenen. Klopt dit met de massa van het b en c quark die uit de massa van de ϒ ,
m ϒ = 9460 MeV, en de J/ψ , m J/ψ = 3097 MeV ?
De koppeling aan het Higgs gaat proportioneel aan de massa. De vertakkingsverhouding gaat
proportioneel aan de koppeling in het kwadraat, dus aan de massa in het kwadraat. De proportionaliteitsconstante is gelijk voor de drie vervallen. Dus de verhoudingen worden gegeven
2
2
2
door: m τ ÷ m c ÷ m b = 7 ÷ 3 ÷ 88 en met de gegeven massa van het tau-lepton volgt:
m c = 1163 MeV en m b = 6300 MeV. De massa’s die je naïef verwacht op grond van de
6.3
-onium toestanden zijn: m c = 1550 MeV en m b = 4730 MeV. Het verschil is te verklaren uit
het feit dat de massa afhangt van de energie waarbij wordt gekeken en de relevante energie in
het geval van de -onium toestanden de massa van het quark zelf is en bij het Higgs verval is de
relevante massaschaal de massa van het Higgs. Dit verlaagt de effectieve massa. Voor het bottom quark zijn er correcties met het top quark, dat heel sterk aan het Higgs koppelt en een vrji
grote positieve correctie geeft.
Teken drie verschillende Feynmandiagrammen voor Higgsproductie bij het Tevatron.
Z
W q
q’
g
Z*
W*
t
g
6.4
6.5
H
q
H
q
H
Waarom begint de werkzame doorsnede voor de Higgsproductie bij LEP al een paar GeV
onder de kinematische limiet fors af te nemen ?
De breedte van de Z is hier de oorzaak van. Dus de werkzame doorsnede gaat al afnemen vanaf
iets meer dan 2.5 GeV onder de kinematische limiet. Daar staat tegenover dat boven de kinematische limiet er ook nog een wat hogere werkzame doorsnede is dan als de Z geen breedte
had.
Geef twee onafhankelijke manieren om de massa van de Higgs te bepalen in een LEP gebeurtenis met een positief en negatief muon en twee jets. Welke zou nauwkeuriger zijn ? Kan de
situatie nog verder worden vebeterd ?
Het Higgs moet wel in twee jets vervallen zijn, omdat de vertakkingsverhouding van Higgs
naar muonen verwaarloosbaar is. Dus de invariante massa van de twee jets is massa van de
Collegedictaat Hoge Energiefysica
153
Higgs. We kunnen ook de “recoil-massa” (Nederlands ?) van de twee muonen gebruiken. De
twee muonen hebben de massa van de Z als invariante massa. De recoil-massa wordt dan
2
2
2
2
gegeven door: M H = s + M Z – 2 s ( p + M Z ) , met
s de zwaartepuntsmassa van de elec-
tron-positron botsing en p de absolute waarde van de impulssom van de twee muonen. Door
zowel de muon informatie als de jet informatie als de wet van behoud van energie-impuls en
het feit dat de invariante massa van de muonen de massa van de Z is te gebruiken in een kinematische fit die dan dus overbepaald is krijgen we de grootste nauwkeurigheid.
154
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 7
7.1
7.2
Laat zien dat het aantal vrijheidsgraden van de ijkbosonen en Higgs deeltjes in het Standaard
Model met een tweede Higgs doublet gelijk is aan het aantal vrijheidsgraden van de supersymmetrische partners.
De gluonen zijn massaloze spin 1 bosonen (twee vrijheidsgraden per gluon) en hebben hun
supersymmetrische gelijken in evenveel gluïno’s met spin 1/2.
De W en Z bosonen zijn massieve spin 1 bosonen en hebben samen 9 vrijheidsgraden. Het
foton heeft 2 vrijheidsgraden. Verder zijn er nog 5 Higgs bosonen (3 neutraal en 2 geladen) met
ieder 1 vrijheidsgraad. Dus het totaal aantal vrijheidsgraden is 16. Aan de supersymmetrische
kant zijn er vier chargino’s, spin 1/2 fermionen, met in totaal 8 vrijheidsgraden, en vier neutralino’s, ook met 8 vrijheidsgraden. Dus aan de supersymmetrische partner kant zijn ook 16 vrijheidsgraden in totaal.
Teken het Feynmandiagram van de mogelijke vervallen van het lichtste chargino in het lichtste
neutralino. Doe hetzelfde voor het verval van het scalair top (stop) squark.
W
+
c of t
+
χ̃ 1
t̃
0
χ̃ 1
Collegedictaat Hoge Energiefysica
0
χ̃ 1
155
156
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX E
Oefententamen KUN
Her-Tentamen keuzecollege Hoge Energiefysica, KUN, 18 augustus 1999, 14:00-17:00.
Dit tentamen bestaat uit drie vragen met elk 11 deelvragen (a t/m k). Iedere deelvraag levert evenveel
punten op. De vragen staan op 6 bladzijden in totaal.
Maak alle opgaven op een apart vel en voorzie elk vel van uw naam. Leesbaar schrijven helpt de stemming van de examinator positief te beïnvloeden.
Opgaven 1:
Inleiding: Bij de CDF en DØ experimenten bij de Tevatron versneller op Fermilab bij Chicago
worden protonen en anti-protonen met elkaar gebotst. De energie van zowel de protonen als de antiprotonen was tot nu toe 900 GeV in het Lorentzframe van de detector en de bundels worden frontaal
op elkaar gebotst.
Vraag 1a: Waarom moet er bij de energie worden gespecificeerd in welk Lorentzframe die is ?
Antwoord: De energie is een niet Lorentz-invariante grootheid.
Als een proton op een anti-proton botst met een dergelijke energie zijn het vooral de partonen (quarks
en gluonen) die een interactie met elkaar hebben.
Noem x de impulsfractie die een quark in het proton heeft en x de impulsfractie die een quark in het
anti-proton heeft.
Vraag 1b: Wat is de invariante massa van een quark-anti-quark botsing met deze
impulsfracties ?
Antwoord: 2 × 900 × x × x = 1800xx GeV
Bij hoog energetische inelastische verstrooiing wordt vaak een W of een Z boson gemaakt.
Vraag 1c: Welk quark en anti-quark botsen het meest waarschijnlijk met elkaar om een Z boson te
maken en waarom ? Teken het Feynmandiagram van een voorbeeld van zo’n reactie.
Antwoord: Er is een quark en een anti-quark nodig. Het proton heeft twee u en een d quark, dus de
meest waarschijnlijke combinatie is een up en een anti-up quark die samen een Z maken.
u
Z0
u
Vraag 1d: Wat is de minimale waarde van het produkt x ⋅ x om een Z boson te maken bij 900 GeV
bundelenergie ?
MZ
90
Antwoord: 1800x ⋅ x > M Z ⇒ xx > ------------ ≈ ------------ = 0, 05
1800 1800
De werkzame doorsnede voor de productie van Z bosonen deze energie is ongeveer 6 nb (=6000 pb).
De geintegreerde luminositeit voor elk van de twee experimenten bij deze energie was 125 pb-1.
Vraag 1e: Hoeveel Z bosonen zijn er in het CDF experiment gemaakt ?
Collegedictaat Hoge Energiefysica
157
Antwoord: 6000 × 125 = 750000
Volgend jaar gaan de experimenten weer draaien, maar de Tevatron versneller is verbeterd, waardoor
de bundel energie omhoog gaat van 900 GeV naar 1000 GeV (1 TeV) en de te verwachten geintegreerde luminositeit die de experimenten zullen zien zal groter zijn dan 2 fb-1 (=2000 pb-1).
Bij een bundelenergie van 1 TeV is de werkzame doorsnede voor de productie van Z bosonen ongeveer 10 nb.
Vraag 1f: Wat is de minimale waarde van het produkt x ⋅ x om een Z boson te maken bij 1 TeV bundelenergie ?
MZ
90
9
Antwoord: 2000x ⋅ x > M Z ⇒ xx > ------------ ≈ ------------ = --------- = 0.045 , dus 10% minder dan in vraag 1d.
2000 2000
200
De waarschijnlijkheid om een quark aan te treffen met een kleine impulsfractie neemt voor kleine impulsfracties ( x < 0.1 ) sterk toe.
Vraag 1g: Wat is het mechanisme waardoor er zoveel quarks zijn met een kleine impulsfractie ?
Antwoord: De valentiequarks zijn omgeven door een zee van virtuele gluonen die de valentiequarks
bij elkaar houden. Deze virtuele gluonen splitsen in virtuele quark-anti-quark paren. De waarschijnlijkheid waarmee dit gebeurt is groter voor kleinere impuls (onzekerheidsrelatie van Heisenberg), en
dus ook kleinere impulsfractie van het proton.
Bij dergelijke kleine impulsfracties wordt de kans een up of down quark aan te treffen bijna net zo
groot als het aantreffen van een strange quark.
Vraag 1h: Waarom is dat zo ?
Antwoord: De koppeling van het up, down of strange quark aan gluonen is hetzelfde. En bij lage impuls wordt de aanwezigheid van elk soort quarks helemaal gedomineerd door gluonsplitsing en spelen de valentiequarks geen rol meer. Het feit dat de strange quarks nog een iets kleinere bijdrage
hebben ligt aan hun iets grotere massa t.o.v. up en down quarks.
De kans om een Z boson te maken is evenredig met de kans om een quark en een anti-quark boven
een bepaalde impulsfractie aan te treffen in het proton en anti-proton, respectievelijk, volgens.
σ(Z) ∼
∫ ∫ q ( x )q ( x )dxdx
x⋅x>r
Met q ( x ) en q ( x ) de waarschijnlijkheidsdichtheid om een quark of anti-quark aan te treffen met impulsfractie x in het proton of x in het anti-proton, respectievelijk. De waarde van r is het antwoord
op vraag 1f.
Vraag 1i: Leg aan de hand van deze formule uit waarom je verwacht dat de werkzame doorsnede voor
Z boson productie hoger is bij een bundelenergie van 1 TeV in vergelijking met een bundelenergie
van 900 GeV.
Antwoord: De fractie γ neemt toe met de energie en de dichtheden q en q nemen snel af met toenemende x , dus de integraal neemt toe met toenemende zwaartepuntsenergie.
Om de productie van “interessante deeltjes” groter te maken kan het dus net zo voordelig zijn de bundelenergie te verhogen, als de luminositeit te verhogen. Het verhogen van de luminositeit heeft een
nadeel in vergelijking met de verhoging van de energie, namelijk de mogelijkheid (nieuwe) deeltjes
te produceren met een hoge massa.
Vraag 1j: Geef de maximale massa van een deeltje die geproduceerd kan worden met respectievelijk
een bundelenergie van 900 GeV en 1 TeV.
158
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Antwoord: 2 × 900 = 1800 en 2 × 1000 = 2000 GeV, respectievelijk.
Vraag 1k: Wat is de kans op het produceren van een deeltje met deze maximaal haalbare massa ?
Antwoord: NUL, want de quarkdichtheid is nul bij x = 1
Aan het verhogen van de energie kleeft ook een nadeel in vergelijking met het verhogen van de luminositeit, namelijk de hoeveelheid achtergrond gebeurtenissen die worden geproduceerd. Deze achtergrond gebeurtenissen zijn voornamelijk botsingen waarbij het proton en/of het anti-proton zich nog
min of meer als een geheel gedraagt (diffractieve gebeurtenissen). De werkzame doorsnede voor deze
gebeurtenissen gaat omhoog met de bundelenergie. Zodra je dus weet waarnaar je zoekt kun je de
bundelenergie optimaliseren om een zo goed mogelijke verzameling van interessante gebeurtenissen
te kunnen onderscheiden.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
159
Opgave 2:
Het kTeV experiment op Fermilab en het NA48 experiment op CERN zijn recente experimenten die
metingen hebben gedaan aan CP schending in het neutrale Kaon systeem. In deze expe-rimenten
worden neutrale Kaonen gemaakt en het verval in twee en drie pionen bestudeerd. De productie van
neutrale kaonen gebeurt door de sterke interactie. Het K0 deeltje bevat een anti-strange valentiequark. Het Λ baryon bestaat uit “uds” valentie-quarks.
Vraag 2a: Geef aan met een Feynmandiagram hoe een neutraal Kaon kan worden geproduceerd in een
–
botsing van een π en een proton.
Antwoord:
d
d π–
K0
u
s
{
}
u
s
u
d
u
u
d
{
p+
}
Λ
0
Vraag 2b: Gegeven de volgende massa’s:
m p = 938 MeV
m
π
±
= 140 MeV
m Λ = 1116 MeV
m
K
0
m
π
0
= 135 MeV
= 498 MeV
Wat is de drempelenergie voor de productie van een K0 op deze manier ?
Antwoord: de invariante massa die moet worden gemaakt is:
mΛ + m 0 – ( m p + m ± ) = 1116 + 498 – 938 – 140 = 536 MeV. Als het proton in rust is en het
K
π
pion met impuls p met het proton botst dan is de invariante massa van die botsing:
m +
 p
2
m ±
π
2
2
2
 536 – ( m p + m π± )
2
+ p  – p = 536 ⇒ p =  ------------------------------------------- – m ± ⇒ p = 458
π
2m p


2
2
2
2
MeV.
Door de energie van de pion bundel goed te kiezen op een vast trefplaatje (met protonen) kan een zuivere K0 bundel worden gemaakt.
Vraag 2c: Waarom is er meer energie nodig om een K0 te maken ?
Antwoord: Een anti Kaon bevat een s quark. Het anti-s quark kan niet samen met het u en d van het
proton een baryon vormen. Dus moet er nog een tweede strange meson worden gevormd of een antibaryon (en dan moeten er nog twee baryonen worden gemaakt om het baryongetal te behouden). In
elk geval moeten er dus extra deeltjesworden gemaakt en dus is er meer energie nodig.
De K0 en K0 kunnen in elkaar overgaan (oscilleren).
Vraag 2d: Teken het Feynmandiagram voor de overgang van K0 naar K0. Label alle ingaande en uitgaande deeltjes correct.
160
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Antwoord: De eerste mogelijkheid in Feynmandiagrammen is:
-
W
d
s
u,c,t
u,c,t
s
d
+
W
De tweede mogelijkheid is via twee of drie-pion toestanden (maar dat is meer werk in Feynman diagrammen). Bijvoorbeeld voor de twee-pion tussentoestand:
-
W
π
–
-
W
d
s
u,c,t
u,c,t
s
d
W
+
π
+
+
W
Het K0 en K0 zijn geen eigentoestanden van de CP operator.
Vraag 2e: Geef de lineaire combinaties van de toestanden van het K0 en K0, die eigentoestanden zijn
van de CP operator. Noem deze toestanden KS en KL.
Antwoord:
0
1
0
KS = ------- ( K + K )
2
0
1
0
K L = ------- ( K – K )
2
Vraag 2f: Het neutrale Kaon kan in twee of drie pionen vervallen. Wat zijn de CP eigentoestanden
van een twee-pion en drie-pion toestand waarbij er geen draaiimpulsmoment tussen de pionen is ?
Naar hoeveel pionen kunnen het KS en KL vervallen ?
Antwoord: De twee pion toestand is CP even (+1) en de drie-pion toestand is CP oneven (-1). Dus
de KS vervalt naar twee pionen en de KL vervalt naar drie pionen.
Het verval van een neutraal Kaon in drie pionen gaat veel langzamer dan het verval in twee pionen,
omdat de massa van drie pionen bijna gelijk is aan de massa van het neutrale Kaon.
Vraag 2g: Teken, uitgaande van een pure K0 bundel op t=0, de fractie KS en KL in de bundel als functie van de tijd.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
161
Antwoord:
fractie
1
KL
0.5
KS
0
tijd
CP schending is vastgesteld doordat ook de KL af en toe in twee pionen vervalt. De toestanden KS en
KL zijn dus ook niet precies eigentoestanden van CP.
Vraag 2h: Schrijf de exacte CP eigentoestanden, K1 en K2, op in termen van een lineaire combinatie
van KS en KL, als de CP schending (de fractie KL die naar twee pionen vervalt) ε is.
Antwoord:
1
K 1 = ------------------ ( K S + εK L )
2
1+ε
1
K 2 = ------------------ ( εK S + K L )
2
1+ε
Deze vorm van CP schending wordt CP schending door mixing genoemd. Er is ook een vorm die directe CP schending wordt genoemd.
Laten we een toestand van twee pionen beschouwen met totale electrische lading 0.
Vraag 2i: Wat is de (sterke) isospin I van het pion en wat zijn de projecties op de derde component,
+
0
–
I 3 , voor het π , π en π , respectievelijk ?
–
0
+
Antwoord: Het pion heeft isospin 1 en de projecties zijn -1 voor π , 0 voor π en +1 voor π .
0
Vraag 2j: Welke mogelijkheden zijn er voor I en I 3 in de combinatie van twee π mesonen ? En in
+
de combinatie van een π en een π
–
? Geef de Clebsch-Gordon coëfficiënten voor de verschillende
combinaties.
Let op: de I = 1, I 3 = 0 combinatie is niet mogelijk. Dit komt omdat de toestand met twee geladen
1
+ –
–
+
pionen moet worden gesymmetriseerd ( |φ⟩ = ------- ( |π , π ⟩ + |π , π ⟩ ) )
2
0
Antwoord: Voor π combineert 1,0 met 1,0 tot (1x1 Clebsch-Gordon tabel) 2,0 (2/3) en 0,0
(-1/
3) (en dan natuurlijk de wortels van de coefficienten.) Voor de geladen pionen combineert 1,1 met 1,1 tot 2,0 en 0,0 en wel even vaak door de bose symmetrisering. In het geladen pion geval geeft de
Clebsch Gordon tabel ook 1,0 als mogelijkheid maar die is uitgesloten (zie “Let op”).
162
Collegedictaat Hoge Energiefysica
De I = 2 en I = 0 amplitudes voor het K0 verval noemen we
0
+ –
0
+ –
A 2 = Ampl ( K → π π ( I = 2 ) )
A 0 = Ampl ( K → π π ( I = 0 ) )
Verder nemen we even aan dat ε = 0 , en we schakelen CP schending door mixing dus uit.
Voor het verval van de KL geldt dan:
1
1
+ –
Ampl ( K L → π π ) = ------- ( ( A 0 + A 2 ) – ( A 0 + A 2 )∗ ) = ------- ( 2i ( ImA 0 + ImA 2 ) )
2
2
Omdat het hier amplitudes betreft kunnen we een willekeurige fasedraaiing maken (dat verandert niets aan de observabelen, die allen reëel moeten zijn.) We kunnen de fase zo kiezen dat het imaginaire
stuk van A 0 of A 2 verdwijnt, maar in het algemeen kunnen we de fase niet zo kiezen dat beide amplitudes tegelijkertijd reëel worden. Als beide amplitudes dus niet nul zijn en verschillende fases hebben, is er een verval van het KL in twee pionen, zelfs als het KL een zuivere
CP eigentoestand is.
1 ImA 2 i ( δ2 – δ0 )
Deze directe CP schendende component wordt uitgedrukt in ε' = – ------- ------------- e
2 A0
met δ de complexe fase van de betreffende amplitude.
Doordat de amplitude voor de I = 2 eindtoestand een andere bijdrage geeft voor de eindtoestand met
twee neutrale pionen dan die met twee geladen pionen kan door de vertakkingsverhoudingen (Br) van
de neutrale en geladen pion eindtoestanden te vergelijken ε’ worden gemeten met:
0 0
+ –
Br ( K L → π π ) ⁄ Br ( K L → π π )
ε'
1 – 6Re  --- = -------------------------------------------------------------------------------------0 0
+ 0–
 ε
Br ( K S → π π ) ⁄ Br ( KS → π π )
waarbij de crux voor het experiment hem natuurlijk zit in het wegvallen van veel systematische
onzekerheden, omdat er alleen verhoudingen van telsnelheden worden beschouwd.
Vraag 2k: Waarom geeft de I = 2 eindtoestand een andere bijdrage aan de vervalsamplitude voor
het verval in twee neutrale pionen in vergelijking met het verval in twee geladen pionen ?
Antwoord: Door de verschillende Clebsch-Gordon coefficienten. Voor de geladen pion eindtoestand
zijn de I=2 en I=0 even waarschijnlijk terwijl voor de neutrale pion eindtoestand ze verschillend zijn
met verhouding 2:1.
–4
Op bovenstaande manier is een gemiddelde van ε' ⁄ ε = ( 21.2 ± 2.8 ) × 10 gemeten door het kTeV
en het NA48 experiment. Deze waarde verschilt duidelijk van nul en dus is directe CP schending experimenteel aangetoond.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
163
Opgave 3:
Het Standaard Model van de elementaire deeltjes fysica wordt gegeven door de symmetriegroep
U ( 1 ) ⊗ SU ( 2 ) ⊗ SU ( 3 ) .
Vraag 3a: Geef aan met welke interactie elk van de drie sub-groepen correspondeert en geef het bijbehorende quantumgetal.
Antwoord: U(1) is de electromagnetische interactie, de uitwisseling van fotonen en het quantumgetal
is electrische lading. SU(2) is de zwakke interactie, de uitwisseling van Z en W bosonen en het quantumgetal is zwakke isospin. SU(3) is de sterke wisselwerking of QCD, de uitwisseling van gluonen en
het quantumgetal is kleurlading.
De symmetriegroep werkt op de fundamentele fermionen, de leptonen en de quarks.
Vraag 3b: Hoe werkt de SU(3) groep op leptonen ?
Antwoord: Niet, of in andere woorden: de leptonen zijn SU(3) singlets.
Vraag 3c: Hoe werkt de SU(2) groep op de leptonen ? Geef dit exact aan voor één familie
(bijvoorbeeld die waar het electron in zit).
Antwoord: De leptonen vormen linkshandige doublets, bijv ( υ ,e)L en rechtshandige singlets bijv eR.
Links- en rechtshandig zijn de twee chirale eigentoestanden van het fermion. De SU(2) group werkt
op de doublets als een matrices:
1 0
0 1
0 0
0 –1
0 0
1 0
De eerste matrix correspondeert met de Z en de tweede en derde met W+ en W-.
Zowel SU(2) als SU(3) zijn voorbeelden van asymptotisch vrije theoriën. Dit houdt in dat de koppelingsconstante bij toenemende energie steeds kleiner wordt. De U(1) groep daarintegen heeft een
koppelingsconstante die groter wordt als de energie toeneemt. De afhankelijkheid van de koppelingsconstante van de energie is het gevolg van hogere orde correcties in de storings-theorie die we gebruiken.
Vraag 3d: Geef een fysisch argument waarom de effectieve electrische lading van een electron toeneemt als we bij hogere energie (kleinere afstandschaal) kijken.
Antwoord: Het electron straalt voortdurend virtuele fotonen uit die op hun beurt weer in electronpositron paren splitsen. Deze virtuele electron-positron paren polaiseren de ruimte en schermen de
electrische lading van het electron af, waardoor op grotere afstand (kleinere energie) de electrische
lading afneemt. Omgekeerd neemt dus op kleinere afstand (grotere energie) de electrische lading toe
en dus neemt de koppelingsconstante bij kleinere afstand/grotere energie toe.
Vraag 3e: Geef een fysisch argument waarom de effectieve kleurlading van een quark afneemt als we
bij hogere energie (kleinere afstandschaal) kijken.
Antwoord: Bij quarks is er een gelijk mechanisme als bij electronen (maar dan met gluonen ipv fotonen). Er is echter ook het effect dat de gluonen zelf een kleurlading hebben en dat op kleinere afstanden (hogere energie) een gedeelte van de kleurlading buiten het beschouwde volume ligt en dus
niet meer wordt waargenomen. Dit maakt dat de effectieve lading en dus de effectieve koppelingsconstante kleiner wordt bij kleinere afstanden (grotere energie). Het tweede effect domineert voor QCD
over het eerste en in totaal wordt de koppelingsconstante dus kleiner bij kleiner afstanden (grotere
energieen).
164
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Het afnemen van de koppelingsconstante is vooral goed te zien in QCD. De QCD koppelingsconstante α s is in electron-positron verstrooiing by vele verschillende energieën gemeten. Een van de
manieren om dat te doen is het meten van de verhouding van het aantal drie jet gevallen en het aantal
twee jet gevallen.
Vraag 3f: Leg uit wat een “jet” is.
Antwoord: Een “jet” is een gecollimeerde stroom deeltjes in een bepaalde richting die ontstaat
doordat een quark die die richting uit gaat niet los kan bestaan en in het sterke wisselwerkingsveld
hadroniseert, dwz. een stroom hadronen vormt.
We identificeren een jet met een quark of gluon en we meten dus eigenlijk de verhouding van gevallen
met twee quarks en de gevallen met twee quarks en een gluon.
Vraag 3g: Teken alle mogelijke de Feynmandiagrammen in laagste orde storingstheorie voor de re+ –
+ –
acties e e → qq en e e → qqg .
Antwoord:
Het eerste diagram is voor qq het tweede en derde zijn de twee mogelijkheden voor qqg.
Vraag 3h: Waarom kunnen drie jet gevallen niet veroorzaakt zijn door gevallen met drie quarls in de
eindtoestand ?
Antwoord: De quarks kunnen alleen in paren van quark en anti-quark worden gemaakt.
Vraag 3i: Leg uit dat de verhouding van drie- en twee-jet gevallen evenredig is met de sterke koppelingsconstante.
Antwoord: Zie diagrammen van vraag 3g. Het gluon koppelt aan het (anti-)quark met de sterke koppelingsconstante, verder zijn de diagrammen min of meer hetzelfde, behalve voor de twee of driedeeltjes faseruimte van de eindtoestand, maar dat is kinematica die goed is te berekenen.
Toch is deze verhouding van drie- en twee-jet gevallen niet de meest nauwkeurige meting van de
sterke koppelingsconstante, omdat de evenredigheidsconstante tussen deze verhouding en de sterke
koppelingsconstante niet zo nauwkeurig is uit te rekenen ten gevolge van hogere orde correcties.
Vraag 3j: Teken een Feynmandiagram van een hogere orde correctie die wel in drie-jet gevallen bestaat, maar niet in twee-jet gevallen.
Antwoord: Een gluon uitwisseling tussen het gluon in de eindtoestand en een van de quarks in de
eindtoestand.
Collegedictaat Hoge Energiefysica
165
Een ander probleem met deze meting is de definitie van een jet. Als het gluon in een drie-jet geval een
kleine hoek maakt met een van de quarks, of de energie van het gluon klein is, kan een drie-jet geval
makkelijk worden aangezien voor een twee-jet geval.
Vraag 3k: Laat zien dat het gluon in drie-jet gevallen juist een voorkeur heeft om een kleine hoek te
maken met een van de quarks èn het gluon bij voorkeur een lage energie heeft.
(Gebruik het feit dat het quark tussen de vertex van productiepunt en de vertex van de gluon afstraling
2
2
2
2
een fermion-propagator is, die zowel op de massaschil ( p = m ) als van de massa-schil ( p ≠ m )
kan zijn.)
Antwoord: het quark tussen de quark-anti-quark vertex en de quark-gluon vertex is een propagator
en geeft aan de amplitude een bijdrage:
µ
i ( γ pµ + m )
---------------------------2
2
p –m
We nemen het quark voor het gemak massaloos en met energie E voordat het gluon is afgestraald.
Het afgestraalde gluon geven we energie E’. Als we de z-richting in de impulsrichting van het quark
kiezen voordat het gluon is afgestraald dan kunnen we de vierimpuls van het quark en gluon in de
eindtoestand schrijven als:
E – E’
E'
0
0
– E' sin θ
E' sin θ
E – E' cos θ
E' cos θ
De invariante massa van het quark in de propagator is dus:
2
2
2
2
p = ( E – E’) – ( E' sin θ ) – ( E – E' cos θ ) = – 2EE' ( 1 – cos θ )
2
de onderdrukking door de propagator is minimaal als p = 0 , en voor vast E kan dat dus worden
bereikt voor E’ zo klein mogelijk te maken of 1 – cos θ zo klein mogelijk te maken, en dus een zo klein
mogelijke hoek.
166
Collegedictaat Hoge Energiefysica
APPENDIX F
Oefententamen TUE
Tentamen keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes, TUE, 21 juni 1999, 14:00-17:00.
Dit tentamen bestaat uit drie vragen. Iedere vraag weegt even zwaar in het eindcijfer. Binnen iedere
vraag weegt elke deelvraag even zwaar.
Maak alle opgaven op een apart vel en voorzie elk vel van uw naam en collegekaartnummer.
Leesbaar schrijven helpt de stemming van de examinator positief te beïnvloeden.
Opgave 1:
Vraag 1a: Schrijf alle elementaire femionen van het Standaard Model op en geef aan welke wisselwerking ze hebben en tot welke familie ze behoren. Geef voor elk fermion aan welke lading het voor
welke interactie kan hebben of heeft. (Vergeet niet dit te doen voor alle wisselwerkingen, dus bijv.
óók voor de zwakk wisselwerking.)
Vraag 1b: Schrijf alle ijkbosonen van het Standaard Model op en geef aan welke kracht ze overbrengen.
Vraag 1c: Als het goed is zijn in de antwoorden van vraag 1a en 1b alle fundamentele deeltjes opgeschreven op één na. Schrijf ook die éne op en geef de functie ervan in het Standaard Model aan.
Vraag 1d: Welke deeltjes van het Standaard Model zijn experimenteel ontdekt en welke niet ?
Antwoord: De antwoorden voor opgave 1 worden niet gegeven, omdat die dit jaar weer hetzelfde zal
zijn.
Opgave 2:
Het feit dat hadronen zijn opgebouwd uit quarks kan op twee verschillende manieren worden gemotiveerd: door middel van het statisch (spectroscopisch) quark model, dat het spectrum van verschillende hadronen verklaart, en door middel van diep inelastische verstrooiing van
leptonen aan
hadronen.
Vraag 2a: Geef in het statisch quark model aan hoe een meson is opgebouwd en hoe een baryon is
opgebouwd.
Antwoord: Een meson bestaat uit een quark en een anti-quark, een baryon bestaat uit drie quarks.
Vraag 2b: Waarom is in het statisch quark model het quantumgetal kleur nodig en waarom is een
quantumgetal (kleur) met drie waarden de minimale vereiste ?
Antwoord: Er komen baryonen voor die in het spectroscopisch model bestaan uit drie dezelfde
++
–
quarks met dezelfde spin, zoals de ∆ en ∆ . Quarks zijn fermionen, waarvoor het Pauli uitsluitingsprincipe geldt. De drie quarks in deze baryonen kunnen dus niet in dezelfde (grond)toestand zitten. Deze grondtoestand is dus ontaard en er is een quantumgetal dat de energie niet beïnvloed, maar
Collegedictaat Hoge Energiefysica
167
dat verschillend is voor de drie quarks. Om alle drie de quarks te onderscheiden heeft dit quantumgetal ten minste drie verschillende waarden nodig.
Vraag 2c: In het statisch quark model is het onmogelijk mesonen te hebben met een lading van meer
dan één electron of positron lading. Waarom is dat zo ? Wat is voor baryonen de grootste mogelijke
electrische lading ?
Antwoord: De ladingen van quarks en anti-quarks zijn ± 2 ⁄ 3 en −
+ 1 ⁄ 3 van de positron (electron)
lading. Omdat een meson bestaat uit een anti-quark en een quark zijn alleen de de ladingscombinaties
±2 ⁄ 3 – −
+ 1 ⁄ 3 = ± 2 ⁄ 3 + ± 1 ⁄ 3 = ± ( 2 ⁄ 3 + 1 ⁄ 3 ) = ± 1 , ± 2 ⁄ 3 – ± 2 ⁄ 3 = ± ( 2 ⁄ 3 – 2 ⁄ 3 ) = 0 en
± 1 ⁄ 3 – ± 1 ⁄ 3 = ± ( 1 ⁄ 3 – 1 ⁄ 3 ) = 0 mogelijk.
Voor een baryon is de grootst mogelijke electrische lading (positief) als drie ± 2 ⁄ 3 quarks worden
++
gecombineerd. Het ∆ baryon is daar een voorbeeld van.
In de jaren zeventig en tachtig zijn een aantal diep inelastische verstrooiings experimenten gedaan
waarbij neutrinobundels op vaste blokken “doel”materiaal werden geschoten. Op CERN werden (en
worden) neutrinobundels gemaakt door 450 GeV protonen op een doel te schieten, waarbij in hadronische interacties pionen worden gemaakt. In een vervalstunnel laat men de pionen vervallen in muonen en neutrino’s. Door positieve of negatieve pionen te selecteren bij het ingaan van de vervalstunnel
kan een neutrino of anti-neutrino bundel worden gemaakt.
Vraag 2d: Hoe kan men alleen positieve pionen selecteren ?
Antwoord: Door een magnetisch of electrisch veld aan te leggen of een combinatie daarvan, waarin
positieve deeltjes een andere baan volgen dan negatieve deeltjes. De negatieve pionen worden dan
uit de bundel gebogen, terwijl de positieve pionen het bundelpad volgen.
Een pion vervalt in een muon en een muon-neutrino (verder niets).
Vraag 2e: Wat is de lading van het muon waarin een positief pion vervalt ? Wordt in positief pion
verval een muon-neutrino of een anti-muon-neutrino gemaakt ?
Antwoord: De lading van pion en muon zijn hetzelfde (want het neutrino is neutraal). Het positief
+
+
muon wordt door een anti-neutrino vergezeld en het negatief muon door een neutrino. π → µ ν µ ,
–
–
π → µ νµ .
Het focusseren van een neutrino kan worden gedaan door de pionen goed te focusseren voordat ze
vervallen. Dit wordt gedaan met een gemagnetiseerd blok materiaal, waarin het magneetveld een sterk
focuserende werking heeft, de zogenaamde “hoorn van Van de Meer”. (Simon van der Meer was een
versnellerfysicus op CERN die voor een van zijn andere uitvindingen (stochastische koeling van antiprotonen) de Nobelprijs heeft gekregen.)
Doordat het pion een grote impuls heeft en het neutrino in het rustsysteem van het pion een kleine
impuls gaat het neutrino vrijwel in dezelfde richting als het oorsponkelijke pion.
Door neutrino’s diep inelastisch aan protonen en neutronen in atoomkernen te verstrooien kan informatie worden verkregen over de verschillende quark verdelingen. Dit wordt gedaan door naar geladen
stroom gebeurtenissen te kijken, waarbij een W boson wordt uitgewisseld.
Vraag 2f: Leg uit dat als een inkomend neutrino verandert in een uitgaand muon alleen aan bepaalde
quarksoorten wordt verstrooid. Aan welke quarks kan verstrooiing plaatsvinden ?
Antwoord: Een muon-neutrino veranderd in een muon uitsluitend door aan een W boson te koppelen.
Als we het W boson zien als uitgaand van de neutrino-muon vertex dan veranderd het neutrino in een
negatief geladen muon en vertrekt een positief geladen W boson uit de vertex. Het positief geladen W
boson kan alleen inkomen in een vertex, waarin een negatief quark inkomt en waar een positief ge-
168
Collegedictaat Hoge Energiefysica
laden quark uitkomt. Dit kan alleen als aan een d, s of b quark in de begin toestand wordt verstrooid,
waarbij er een u, c of t quark in de eindtoestand komt. Voor een anti-neutrino gaat het verhaal net zo,
maar nu is er een positief geladen muon in de eindtoestand en wordt er een positief geladen W boson
in de lepton vertex uitgezonden. In dat geval kan alleen aan positief geladen quarks worden verstrooid, dus aan u, c en t quarks, waarbij d, s of b quarks in de eindtoestand worden gemaakt.
Vraag 2g: Leg uit wat de meerwaarde is als het experiment met zowel een neutrino als een antineutrino bundel kan worden gedaan.
Antwoord: Door een neutrino of anti-neutrino te nemen in de begintoestand van de botsing en naar
geladen stromen te kijken, kunnen up of down type quarks afzonderlijk worden geselecteerd en kan
dus zowel de quarkverdelingsfunctie voor u als voor d quarks afzonderlijk worden gemeten.
Als je vraag 2h t/m 2j niet meteen kan beantwoorden ga dan eerste verder met vraag 3 en probeer
deze vragen nog eens in eventueel resterende tijd na vraag 3.
Met deze combinaties is het nog niet mogelijk om ook de distributie van strange quarks te meten. Om
dit probleem aan te pakken kan men kijken naar de productie van charm quarks.
Vraag 2h: Hoe kunnen we specifiek de verdeling van strange quarks meten door charm quarks te detecteren ? Teken een relevant Feynmandiagram.
Antwoord: Een neutrino kan in een geladen stroom interactie met een strange quark wisselwerken,
waarbij het strange quark in een charm quark veranderd. Het relevante Feynmandiagram is:
neutrino
muon
W
s
c
proton
De crux zit hem natuurlijk in het identificeren van charm quarks. De standaard methode is om naar
gevallen te kijken met twee muonen in de eindtoestand. Het ene muon ontstaat doordat een neutrino
een geladen stroom interactie (uitwisseling van een W) heeft en daardoor in een muon verandert. Het
andere muon ontstaat doordat in ongeveer tien procent van de gevallen een charm quark vervalt in een
muon, neutrino en strange quark.
Vraag 2i: Wat is het relatieve teken van de electrische lading van de twee muonen in de eindtoestand
? (Geef een motivatie.)
Antwoord: Het ene muon komt van de inkomend neutrino vertex met het W boson dat wordt uitgewisseld. Een neutrino veranderd dan in een negatief geladen muon. Aan de andere vertex van de W veranderd een strange quark in een charm quark. Het charm quark vervalt in een strange quark en wegens ladingsbehoud in een positief geladen muon en vervolgens wegens behoud van lepton getal in
een neutrino. De twee muonen hebben dus tegengestelde electrische lading.
Vraag 2j: Leg uit waarom je verwacht dat het ene muon duidelijk energetischer is dan het
andere.
Antwoord: Het muon dat koppelt aan het inkomend neutrino zal energetischer zijn dan het muon van
het charm quark verval. Dit moet zo zijn, omdat normaal gesproken maar een deel van de energie van
het inkomend neutrino in het W boson overgaat en het andere deel in het muon. Het W boson geeft al
zijn (haar ?) energie af aan het inkomend strange quark dat in een charm quark veranderd. Het charm
Collegedictaat Hoge Energiefysica
169
quark vervalt in drie deeltjes, waarvan een het muon van het charm verval is, dat dus maar een derde
of zo van de energie van het verval meeneemt.
Het muon van het charm quark verval is nu te onderscheiden van het andere muon door zijn lading
en door zijn impuls en zo herkennen we het charm quark.
170
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Opgave 3:
Bij de LEP electron-positron botser zoals die nu draait worden electronen en positronen ieder met een
energie van 100 GeV frontaal op elkaar gebotst.
Vraag 3a: Wat is de invariante massa van zo’n botsing ? (De electron en positron massa mogen gerust
worden verwaarloosd.)
Antwoord: De invariante mass is:
s =
 100
100

 0 + 0
 0
0

 100
–100






2
=
2
200 = 200 GeV
Het blijkt dat ondanks deze hoge invariante massa er nog vaak een resonant Z boson wordt gemaakt.
Dit betekent dat de invariante massa van het Z boson gelijk is aan zijn rustmassa. De rustmassa van
het Z boson is 91.2 GeV. Deze toestand wordt bereikt doordat het electron of positron (of beiden,
maar dat geval beschouwen we hier niet) een foton afstraalt voordat het met de andere bundel botst.
De energie van het afgestraalde foton wordt zo geregeld dat nadat het foton is afgestraald van een van
de inkomende deeltjes, de electron-positron invariante massa precies de Z massa is.
Vraag 3b: Schrijf in viervector notatie de energie en impuls van het inkomende electron en positron
op. Kies de bewegingsrichting langs de z-as, het electron in de positieve richting en het positron in de
negatieve richting.
Antwoord: Het electron:
100
0 GeV
0
100
Het positron:
100
0
GeV
0
– 100
We kunnen nu denken dat in de eindtoestand van de electron-positron botsing alleen een foton en een
Z boson zitten. Neem aan dat het foton van het electron afgestraald wordt en in de positieve z-richting
gaat, zodat we de viervector van het foton kunnen schrijven als:
E
0
0
E
Collegedictaat Hoge Energiefysica
171
Vraag 3c: Schrijf in viervector notatie de wet van behoud van energie en impuls op voor het electronpositron paar in de begintoestand (aan de ene kant van het = teken) en het foton en de Z in de eindtoestand (aan de andere kant van het = teken). Noem de absolute waarde van de impuls van het Z
boson p Z . Wat moet dus de impuls, p Z , van het Z boson zijn ? Reken de energie van het foton uit
door de wet van behoud van energie te gebruiken en het feit dat de Z boson impuls uit de wet van
behoud van impuls volgt.
Antwoord: De wet van behoud van energie en impuls geeft:
100
100
200
0 + 0
= 0 =
0
0
0
100
– 100
0
2
2
MZ + pz
0
0
pZ
E
+ 0 =
0
E
2
2
MZ + pZ + E
0
0
pZ + E
Dus er moet wegens behoud van imuls in de z-richting gelden: p Z = – E .
2
2
Dus geldt wegens behoud van energie: M Z + pZ + p Z = 200 GeV, waaruit p Z is op te lossen:
pZ = 79.2 GeV
We hebben nu een speciale richting voor het foton aangenomen.
Vraag 3d: Heeft de richting die het foton gaat invloed op de energie die het moet hebben om een Z
boson te maken met invariante massa gelijk aan zijn rustmassa ?
Antwoord: Nee. De berekening kan worden herhaald door een andere richting voor het foton aan te
nemen:
E
0
E sin θ
E cos θ
Het Z boson moet dan in tegegestelde richting gaan en na uitwerking wordt hetzelfde antwoord verkregen.
Het blijkt dat de fotonen die zo worden gemaakt vrijwel altijd in de richting van de bundel gaan waar
ze vanaf stralen. Als we de foton viervector meer algemeen definieren als:
E
0
E sin θ
E cos θ
waarin θ de hoek is die het foton maakt met de bundel waar het vanaf straalt kunnen we zien waarom.
Vraag 3e: Reken de viervector van het electron uit dat het foton afstraalt voor deze meer algemene
vorm. Reken ook de invariante massa van het electron uit met deze viervector. Is dit de rustmassa van
het electron ?
172
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Antwoord: Voor de viervector van het electron na het foton te hebben uitgezonden geldt dat het gelijk
is aan het verschil van de viervector van het inkomend electron en het uitgezonden foton. Dus:
100
E
100 – E
µ
0
0
p’e = 0 –
=
0
E sin θ
–E sin θ
100
E cos θ
100 – E sin θ
De invariante massa in het kwadraat is dus:
2
2
2
2
p’ = ( 100 – E ) – ( – E sin θ ) – ( 100 – E cos θ )
2
2
2
2
2
2
2
= 100 – 200E + E – E sin θ – 100 + 200E cos θ – E cos θ
= – 200 E ( 1 – cos θ )
Het Feynmandiagram voor deze interactie is:
e-
γ
Z0
e+
tussen het foton en de Z vertex is het electron dus een propagator die van de ene naar de andere vertex
gaat.
Vraag 3f: Zoek de uitdrukking voor een fermion propagator op in het formuleblad en gebruik die uitdrukking om te beredeneren waarom de werkzame doorsnede kleiner wordt als de hoek van het foton
met het inkomend electron groter wordt. Kwantificeer de relatieve werkzame doorsnede als functie
van de hoek θ .
Antwoord: De fermionpropagator wordt gegeven door:
µ
i ( γ pµ + m )
---------------------------2
2
p –m
De invariante massa in het kwadraat van het electron na uitzending van het foton is
2
–200 E ( 1 – cos θ ) . De massa van het electron is bijna nul en bovendien is het teken van p zo dat de
noemer in absolute waarde alleen maar toeneemt. Dus hoe kleiner cos θ , hoe kleiner de propagator
en dus hoe kleiner de werkzame doorsnede.
Het Z boson vervalt in fermion paren.
Vraag 3g: In welke fermion paren kan een Z boson met als invariante massa zijn eigen massa vervallen ?
Antwoord: In alle fermionparen,waarbij twee maal de fermion massa kleiner is dan deZ boson massa.
Dus in de quarks u, d, s, c, b; en in alle leptonen electron, muon, tau en hun bijbehorende neutrino’s.
Vraag 3h: Neem aan dat alle fermionen waarin het Z boson vervalt een massa hebben die verwaarloosbaar is in de berekening van de werkzame doorsnede. Neem verder aan dat de bijdrage van de
µ
5 µ
vector en axiale koppelingen aan de werkzame doorsnede (de termen evenredig met γ en γ γ respectievelijk) even groot zijn en dat mengtermen tussen vector en axiale koppeling, die ontstaan door-
Collegedictaat Hoge Energiefysica
173
dat de overgangsamplitude in het kwadraat moet worden genomen, nul zijn. Gebruik de
vertexfactoren op het formuleblad om de relatieve vertakkingsverhoudingen van het Z in een fermionanti-fermion paar te geven voor alle mogelijke fermion-anti-fermion paren waarin het Z kan vervallen.
Antwoord: De vector en axiale koppelingsconstanten zijn: Cv
Ca
2
1 ⁄ 2 – 2 ⋅ 2 ⁄ 3 sin θ
1⁄2
u, c quarks
2
d, s, b quarks
– 1 ⁄ 2 + 2 ⋅ 1 ⁄ 3 sin θ
–1 ⁄ 2
2
geladen leptonen
– 1 ⁄ 2 + 2 ⋅ 1 sin θ
–1 ⁄ 2
1⁄2
1⁄2
neutrino’s
Voor de totale koppelingssterkte in de werkzame doorsnede nemen we de som van de kwadraten van
5
de axiale en vectorkoppelingen (er is geen mengterm, omdat termen evenredig met γ uitmiddelen
in de totale werkzame doorsnede.) Verder nemen we als waarde van de zwakke mixingshoek:
2
sin θ = 0.22 (zie formuleblad).
dus de verhoudingen zijn u:d:geladen lepton:neutrino=0.29:0.37:0.25:0.5
De quarks hebben nog een factor drie omdat drie verschillende kleuren kunnen worden gemaakt. De
totale som van deze relatieve koppellingen in de werkzame doorsnede wordt dan 7.32. De
genormeerde vertakkingsverhoudingen hierop gebasseerd zijn dan:
quarks:geladen leptonen:neutrino’s=69%:10%:21%.
De gemeten vertakkingsverhoudingen zijn:
quarks:geladen leptonen:neutrino’s=69.9%:10.1%:20.0%
174
Collegedictaat Hoge Energiefysica
INDEX
A
aantal kleuren in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67
aantal soorten quarks in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67
ALEPH experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -116
alfa s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65
ALICE experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120
Altarelli-Parisi vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 68
AMANDA experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
Anderson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12
ANTARES experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
anti-deeltje - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12, 15, 25
ATLAS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120
atoomkern - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51
B
B veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
BaBar experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115
baryon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54
BELLE experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115
bewegingsvergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4
bi-lineaire covariant - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
bi-spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24
Bjorken - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
Bjorken en Drell conventie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23
Bohr magneton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 32
Boltzmann - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118
Bose-Einstein condensatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121
bottom quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 74
bra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Breit-Wigner - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 45
C
Cabbibo, N. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76
Cabbibohoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76
Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM) matrix - - - - - - - - 76
Callan-Gross relatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62
Casimir - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
CDF experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75, 116
CERN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88
CERN laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
CESR opslagring - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115
charm quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 74
chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
chiraliteitsoperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
CHOOZ experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -119
CHORUS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118, 120
Christenson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
Clebsch-Gordan coefficienten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52
CLEO experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115
CMS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117
Compton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
Compton verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
confinement - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69
constante van beweging - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
constante van Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
contractie met gamma matrix, slash notatie - - - - - - - - - - 24
contravariante tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
Cosmische muonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121
Collegedictaat Hoge Energiefysica
covariante afgeleide - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15, 39, 64
covariante tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
CPT theorema - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
Cronin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
D
d’Alembert operator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14
d’Alembertiaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14
D0 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75, 116, 120
decuplet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56
deeltjesspectrum van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - 108
deeltjesspectrum van het Standaard Model - - - - - - - - 1, 108
DELPHI experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116, 120
Delta baryon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56
DESY laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120
diep inelastische verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57
diepinelastische vormfactor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 58
differentiele breedte - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
differentiele werkzame doorsnede - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9
Dirac spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24
Dirac spinor veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94
Dirac vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11, 24
Dirac, P.A.M. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23
directe CP schending - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88
down quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 51
E
E228 experiment op Fermilab - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74
Einstein sommatie conventie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
elastische botsing van harde bollen - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
electrische stroomdichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14
electromagnetische koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - 18
electromagnetische kracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
electromagnetische potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70
electromagnetische tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16, 94
electromagnetische vectorpotentiaal - - - - - - - - - - - - - - - 94
electron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 11
electron lading - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18
electron neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
electron-positron annihilatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 45
electron-positron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115
electrozwakke kracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
electrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
electrozwakke wisselwerking van quarks - - - - - - - - - - - - 73
Elementaire deeltjes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
Euler-Lagrange vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - 89, 93
experimentele informatie over het MSSM - - - - - - - - - - 110
F
Fermi koppelings constante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 43
Fermilab - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74
fermion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22
fermion propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28
fermion quantumveldentheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22
Feynman diagrammen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17
Feynman-ijk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94
Feynmanregels - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18, 28
Feynmanregels voor electrozwakke vertices - - - - - - - - - - 42
175
Feynmanregels voor geladen scalar deeltjes - - - - - - - - - - 18
Feynmanregels voor spinoren - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28
fijnstructuurconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18
Fitch - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
flavour - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67
flux - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8, 9, 19
FOM Instituut Subatomaire Fysica - - - - - - - - - - - - - - - 120
fotoelectrisch effect - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
foton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
foton massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97
foton propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28
G
g-2 van het electron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 33
gamma matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22
Gell-Mann matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 63
Gell-Mann, Murray - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54
gereduceerde constante van Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
GIM mechanisme - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
Glashow - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
gluon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64
golffunctienormering - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 20
gouden regel van Fermi - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -19, 20
G-pariteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83
Grand Unification (GUT) Scale - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
Greenberg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56
H
H1 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71
hadron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116
hadronisatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69
halfwaardetijd - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
Hamiltoniaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5, 27
harde bollen verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
heelalmodel - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90
Heisenberg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51
Helium atoom - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51
HERA versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71, 117, 120
HERA-B experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
HERMES experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
hermitische conjungatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
het neutrale Kaon systeem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84
hierarchieprobleem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
Higgs boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 98, 116
Higgs boson zoektocht bij het Tevatron - - - - - - - - - - - - 101
Higgs boson zoektocht bij LEP - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98
Higgs doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96
Higgs potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96
Hoge Energiefysica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
homogene Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - 94
I
ijktransformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Illioupoulos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - inhomogene Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - Initial State Radiation - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - interactieterm in de bewegingsvergelijking - - - - - - - - - isospin doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
15
73
94
46
16
51
J
J/psi - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74
jets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69
K
K long - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
K short - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
Kaon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84
176
Kaon oscillatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 85
Kaonbundel regeneratie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 85
Katholieke Universiteit Nijmegen - - - - - - - - - - - - -115, 120
KEK laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115
ket - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Klein-Gordon vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - 11, 14, 93
kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56
kleurfluxbuise - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41
Kosmologie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90
Kronecker symbool - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27
KTev experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88
KUN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115
L
L3 cosmics experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
L3 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -116, 120
ladingsconjugatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 82
Lagrangedichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94
Lagrangiaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89, 93
Lande factor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 32
LEP - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98
LEP versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120
LEP1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98
LEP2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 99
lepton doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
lepton sector samenvatting - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 48
leptonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
leptongetal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 37
lepton-hadron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117
levensduur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
LHC versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120
LHCb experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120
linkshandige chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
linkshandige doublets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95
Lorentz invariante flux - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19
Lorentz transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
Lorentzcontractie factor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4
Lorentzinvariante faseruimte (LIPS) - - - - - - - - - - - - - - - 20
Lorentz-Poincare transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
Luminositeit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8
Lund string model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
M
M’oller verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 29
magnetisch moment van het electron - - - - - - - - - - - - - - - 32
Maiani - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
Majorana fermion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Majorana, E. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Mandelstam variabelen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 31
massa eigentoestanden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76
massa van het tau lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47
massa van het W boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42
massa van het Z boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42
Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17, 94
meson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54
metrische tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
Minimaal Supersymmetrisch Standaard Model (MSSM) - 108
muon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 37
muon kamer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
muon neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
muon verval - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42
N
NA35 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88
NA48 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88
Collegedictaat Hoge Energiefysica
Nationaal Instituut voor Kernfysica en Hoge EnergieFysica
(NIKHEF) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
Natuurlijke eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Natuurlijke eenheden, conversie van - - - - - - - - - - - - - - - - 6
negatieve energie oplossing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14, 25
neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 37
neutrino experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118
nevelkamer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12
niet Abelse groep - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64
NIKHEF - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
NOMAD experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118
O
octet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54
onzekerheidsrelatie van Heisenberg - - - - - - - - - - - - - - - - 5
OPAL experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 111, 116
opgaven bij hoofdstuk 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10
opgaven bij hoofdstuk 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35
opgaven bij hoofdstuk 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 49
opgaven bij hoofdstuk 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 78
opgaven bij hoofdstuk 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91
opgaven bij hoofdstuk 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104
opgaven bij hoofdstuk 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -113
overgangsamplitude - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16, 17
overgangswaarschijnlijkheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19
P
pariteitsoperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 81
Particle Data Group - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83
parton dichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62
Pauli - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
Pauli spin matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23, 39
Pauli, W. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23
pion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52
Pioncare transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
Planck schaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
positron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12
potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70
propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19, 28
Q
QCD analyse - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121
QCD koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 66
QCD vertex koppelingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65
quakr-gluon plasma - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118
Quantum Chromo Dynamica (QCD) - - - - - - - - - - - - - - - 65
Quantum Electro Dynamica (QED) - - - - - - - - - - - - - 11, 14
quantumgetal kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56
quantumveldentheorie (QVT) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15
quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57
quark dichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62
quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
quarks en elecrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - 73
R
rechtshandige chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
rechtshandige singlets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95
relativistische kinematica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
renormaliseerbaarheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105
Richter, B. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74
Rijksuniversiteit Utrecht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
ruimtehoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9
running koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 66
S
Sakharov - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90
Collegedictaat Hoge Energiefysica
scalaire quantumveldentheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15
scalar - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15
schending van baryongetal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90
schending van ladingsconjugatie en pariteit - - - - - - - - - - 84
Schrodinger vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5, 14
Schwinger - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
SI eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6
SLAC laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115, 117
slash notatie voor contractie met gamma matrix - - - - - - - 24
SMC experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
SPEAR electron positron botser - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47
spin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52
spin middeling - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 29
spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24
splitting functions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 68
spoor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
spoortheorema’s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 31
Standaard Model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1, 102
Stefan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118
sterk doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51
sterke kernkracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
sterke koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65, 66
sterke wisselwerkingspotentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70
stralingscorrectie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 46
strange quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 54
strings in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73
stroomdichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14
structuurconstanten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64
structuurfunctie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62
SU(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
SU(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 63
SuperKamiokande experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - 119
supersymmetrie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105, 107
T
tau - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
tau lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47
tau neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
Tevatron versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 101, 116, 120
Thomson, J.J. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11
tijdomkeeroperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 82
tijdsonafhankelijke oplossing van de Klein-Gordon
vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52
Tings, S.C.C. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74
top quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 74, 116
transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
truc van Casimir - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30
Turlay - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86
U
U(1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
U(1) transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15
U(1)xSU(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39, 95
unitariteitsdriehoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 77
Universiteit van Amsterdam - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
Universiteit van Nijmegen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115
up quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 51
V
vacuumverwachtingswaarde - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96
verstrooiing van geladen scalar deeltjes - - - - - - - - - - - - - 21
vervalsbreedte - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6
vier vector - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
vierimpuls - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
volledigheidsrelatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27
vormfactor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 58
vrije bewegingsvergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16
177
Vrije Universiteit Amsterdam
- - - - - - - - - - - - - - - - - - 120
W
W boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 46, 121
W veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
We - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67
Weinberg mixing hoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41
werkzame doorsnede - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7
wet van Gauss - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15
wet van Stefan-Boltzmann - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118
Weyl spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Weyl, H. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107
Wolfenstein - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76
Wolfenstein parametrisatie van de CKM matrix - - - - - - - 76
Y
Yukawa potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52
Z
Z boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 45
Z boson massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97
ZEUS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71, 117, 120
Zumino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89
zwaartekracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106
zwak isospin doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51
zwakke eigentoestanden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76
zwakke isospin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39
zwakke kernkracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2
zwakke mixinghoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41
zwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38
zware ionen botsingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118
zwarte straling (Planck) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
178
Collegedictaat Hoge Energiefysica