`Magische vierkanten

‘Magische’ vierkanten
Áan de hand van de volgende opdrachten ga je wat onderzoek doen naar ‘magische’
vierkanten. Natuurlijk is er niets magisch aan de vierkanten; ze zijn gewoon mooi, vanwege
de getallenstructuren. En dit ‘mooie’ heeft men er in het verleden toe geleid om ze ‘magisch’
te gaan noemen, en er bijzondere waarde aan toe te kennen. Maar daar hoeven wij ons niet
mee bezig te houden.
Het meest eenvoudige magische vierkant is
1
Die is ook wel mooi, maar je bent er snel op uitgekeken.
Misschien wel het meest bekende magische vierkant is die van Albrecht Dürer in het
schilderij ‘Melancholia.’ Dat ziet er als volgt uit.
16
5
9
4
3
10
6
15
2
11
7
14
13
8
12
1
Het bijzondere van dit vierkant merk je al snel op door de getallen in elk van de rijen en de
kolommen en op elk van de beide hoofddiagonalen bij elkaar op te tellen.
1. Doe dit.
Toch is dit niet het enige bijzondere aan dit vierkant.
2. Zoek wat meer informatie over de achtergronden van dit vierkant en de maker
ervan. Probeer tevens andere bijzonderheden te ontdekken.
Enige richtlijnen daarbij. Tel de getallen in de bovenste twee rijen bij elkaar op. Doe dit ook
voor de onderste twee rijen. De uitkomst hiervan verbaast je natuurlijk niet. Maar doe het ook
eens met de kwadraten van deze getallen. Zijn er nog meer paren van rijen (of kolommen) te
vinden waarvoor je dezelfde opmerkelijke uitkomsten krijgt? Kijk eens naar de som van de
getallen op de hoekpunten. Zijn er nog meer van dit soort bijzonder combinaties van vakjes te
vinden? Bekijk de som van de getallen op de diagonalen en de som van de getallen die niet
op de diagonalen liggen. Kijk ook eens naar hun tweede en derde machten. Ongetwijfeld kun
je zelf nog wel aan andere bijzondere eigenschappen komen.
Het bijzondere van de magische vierkanten zit hem dus in de som van de rijen van de
kolommen en van de diagonalen. Die moeten gelijk zijn om een getallen vierkant de
benaming ‘magisch’ te geven. Ergens las ik: ‘het is niet moeilijk om aan te tonen dat deze
som in een n x n gelijk moet zijn aan
n( n 2  1 )
.’ Het bewijs ervan werd er niet bij gegeven.
2
3. Geef zelf het bewijs, en pas de formule toe op de vierkanten die je tot nu toe kent.
Veel van de bijzondere eigenschappen hebben te maken met symmetrie. Er zijn vier vormen
van symmetrie:
-
lijnsymmetrie
draaisymmetrie
puntsymmetrie
schuifsymmetrie
4. Geef van elk van deze vormen een voorbeeld aan de hand van een tekeningetje.
Of een magisch vierkant symmetrisch is kan je op de volgende manier ontdekken. Trek lijnen
tussen de middens van de hokjes, en wel zo dat je begint van 1 naar 2, van 2 naar 3 enz. Aan
het patroon van de lijnen, dat zo ontstaat, kun je dan zien of er sprake is van symmetrie.
(Het meest overzichtelijk wordt het als je dat doet in een leeg vierkant, dus zonder de getallen
erin).
5. Onderzoek het vierkant uit ‘Melancholia’ op symmetrie.
Een ander bekend vierkant is dat van Benjamin Franklin, een wetenschapper, een uitvinder,
een politicus, een musicus, een filosoof en een econoom.
52
14
53
11
55
9
50
16
61
3
60
6
58
8
63
1
4
62
5
59
7
57
2
64
13
51
12
54
10
56
15
49
20
46
21
43
23
41
18
48
29
35
28
38
26
40
31
33
36
30
37
27
39
25
34
32
45
19
44
22
42
24
47
17
6. Doe een onderzoek naar de structuur van dit vierkant, waarbij je eveneens let op de
symmetrie. Probeer Franklins gedachtegang bij het construeren onder woorden te
brengen. Oftewel, hoe ging hij te werk?
(tip: kijk eens naar de groepjes van getallen 1 t/m 16, 17 t/m 32, 33 t/m 48, en 49 t/m 64)
We gaan in de volgende opdrachten zelf vierkanten construeren, en algoritmes bestuderen die
we kunnen toepassen. Een algoritme is een werktuiglijke procedure om een probleem in een
eindig aantal stappen op te lossen.
Nadat je een aantal van deze algoritmes hebt bekeken zal je het logisch vinden dat we de
magische vierkanten indelen in drie categorieën:
-
de n x n vierkanten, waarbij n oneven
de n x n vierkanten, waarbij n = 4,8,12,16,….
de n x n vierkanten, waarbij n = 6,10, 14, 18, ….
Eerst de oneven vierkanten. Een daarvan heb je al gezien. Hieronder volgen twee volgende:
1
5
2
23
4
24
5
12
11
1
8
16
22
21
2
9
7. Maak de vierkanten af, en onderzoek ze de op bijzondere eigenschappen. Let
daarbij vooral op symmetrie. Bedenk en beschrijf nu zelf een algoritme om andere
vierkanten van de oneven soort te tekenen. Teken een 9 x 9 vierkant dat je volgens
dit algoritme hebt geconstrueerd. Maak daarnaast een tekening van de symmetrie
die erbij hoort.
We gaan nu naar de even vierkanten. Eén even getal, namelijk 2 ontbreekt.
8. Wat voor bijzonders is er aan een 2 x 2 vierkant? Hoe kan dat?
Van de even vierkanten zijn de n x n vierkanten, met n = 4, 8, 12, 16,…. het eenvoudigst.
De stappen die je bij de constructie moet volgen zijn de volgende:
-
-
Verdeel de zijkanten van het vierkant in verhoudingen van 1:2:1 en
verbindt de tegen over elkaar liggende punten. Je verdeelt het vierkant dus
in vierkanten en rechthoeken.
De vierkanten vul je nu als volgt in. De vakjes zijn in de rijen telkens van
links naar rechts genummerd. De overeenkomstige nummers van de vakjes
van de vierkanten vul je in, bij een 4 x 4 vierkant dus als volgt:
1
4
6 7
10 11
13
-
16
De ontbrekende getallen geef je nu ook een plaats. Je werkt nu alleen van
achter naar voren. Dus in het 4 x 4 vierkant wordt het begin:
1
4
6 7
10 11 5
13 3 2 16
9. Maak het bovenstaande vierkant af. Onderzoek het op symmetrie. Vergelijk het met
het vierkant van Dürer.
10. Construeer zelf een 8 x 8 vierkant. Onderzoek ook dit vierkant (vooral op
symmetrie) en vergelijk het met het vierkant van Franklin.
Nu de ontbrekende vierkanten nog. Dit is de lastigste soort. Je gaat er zelf een algoritme voor
ontwikkelen. Er bestaan er minstens twee. We nemen de eenvoudigste.
Je denkt het k x k vierkant verdeeld in vier vierkanten van
k
k
x . Dus een 6 x 6 vierkant is
2
2
verdeeld in vier 3 x 3 vierkanten. Bestudeer het volgende vierkant goed en probeer te
doorgronden hoe het is opgebouwd.
8 1 6 26
3 5 7 21
4 9 2 22
35 28 33 17
30 32 34 12
31 36 29 13
19
23
27
10
14
18
24
25
20
15
16
11
Zoek voor jezelf antwoord op de volgende vragen.
-
Is elk van de 3x3 vierkanten magisch?
Is het 6 x 6 vierkant magisch?
Wat moet de som van de getallen in elk van de rijen, kolommen en
diagonalen zijn?
Hoe groot is die in elk?
Hoe groot is de afwijking?
Kan ik door ‘slim’ getallen te verwisselen het zaakje kloppend krijgen?
In het volgende vierkant is één paar getallen van plaats verwisseld.
8 1 6 26 19
3 32 7 21 23
4 9 2 22 27
35 28 33 17 10
30 5 34 12 14
31 36 29 13 18
-
Waarom juist deze getallen?
Onderzoek het resultaat.
24
25
20
15
16
11
-
Zoek nog twee paar getallen, die bij verwisseling het gewenste vierkant
opleveren.
Hoeveel paar getallen zal je moeten verwisselen bij een 10 x 10 vierkant?
11. Maak een 6 x 6 magisch vierkant volgens bovenstaande methode.
12. Teken ook een 10 x 10 magisch vierkant.
13. Beschrijf het algoritme waarbij duidelijk wordt hoe je een willekeurig vierkant van
deze soort kunt maken.
14. Hoe zit het met de symmetrie? Kun je daar een verklaring voor geven?
Tot slot gaan we nog wat vermenigvuldigen met de vierkanten. Vermenigvuldigen geeft ons
de mogelijkheid om uit ‘twee’ bestaande magische vierkanten een nieuw vierkant te maken.
We beginnen met een 3 x 3 vierkant en een 4 x 4 vierkant.
-
-
Maak een 3 x 3 magisch vierkant.
Maak daarmee nog 15 andere vierkanten, waarin in elk volgend vierkant
elk cijfer met 9 is opgehoogd. Het vierkant met de kleinste getallen noem
je vierkant 1, het met de daarop volgende getallen vierkant 2, enzovoort tot
12.
Maak een 4 x 4 magisch vierkant.
Plaats daarnaast een leeg 4 x 4 vierkant.
Plaats de 16 vierkanten zo in het 4x 4 vierkant dat er een 12 x 12 magisch
vierkant ontstaat.
15. Teken dit vierkant. Onderzoek het op symmetrie en vergelijk het met het vierkant
uit een eerdere methode.
16. Leg uit waarom deze methode werkt. Bereken de som van de getallen in elk van de
rijen en de kolommen zonder gebruik te maken van de formule.
Bij vermenigvuldigen van getallen a en b geldt a  b  b  a , de commutatieve eigenschap.
17. Als we in bovenstaande bewerking het 3 x 3 vierkant A noemen en het 4 x 4 vierkant
B, geldt daarvoor dan ook de commutatieve eigenschap? Verklaar.
18. Teken op deze manier het kwadraat van een 3 x 3 vierkant. Vergelijk het met het
vierkant uit een eerder methode.
Is met de beantwoording van bovenstaande vragen alles gezegd over magische vierkanten?
Nee, bij lange na niet. Bovendien zal je ongetwijfeld bij het overdenken van deze boeiende
verschijnselen in de getallenwereld je af hebben zitten vragen of er ook andere magische
figuren bestaan. Magische cirkels, magische sterren. En kunnen we het ook uitbreiden naar
het drie dimensionale vlak, of nog verder? De magische kubus, en de magische….. Je ziet
deze praktische opdracht schreeuwt om uitgebreider onderzoek. Maar dat wordt nu niet meer
van je gevraagd. Het zou wel leuk zijn als je je verslag van de opdrachten verrijkt met eigen
ideeën en onderzoekingen.
Misschien is bij dit werk ook de vraag bij je opgekomen over het nut van al dit gepuzzel. Die
vraag kan ik je niet zo maar beantwoorden (misschien aardig om er zelf eens naar te
zoeken?), maar probeer voor ogen te houden, dat heel veel wiskunde is ontstaan zo maar om
de wiskunde zelf. Omdat het mooi was. Heel veel ontwikkelde wiskunde vond pas jaren of
eeuwen later praktische toepassingen. Denk bijvoorbeeld eens aan het binaire getallenstelsel.
Dus wie weet welk een geweldige toepassingen er nog zullen worden gemaakt van al jouw
onderzoekingen in de magische vierkanten, cirkels, sterren, kubussen, ………