University of Groningen Propagation of ultrashort pulses in

University of Groningen
Propagation of ultrashort pulses in nonlinear optical guiding structures
Nijhof, Jeroen Henricus Bernardus
IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to
cite from it. Please check the document version below.
Document Version
Publisher's PDF, also known as Version of record
Publication date:
1996
Link to publication in University of Groningen/UMCG research database
Citation for published version (APA):
Nijhof, J. H. B. (1996). Propagation of ultrashort pulses in nonlinear optical guiding structures s.n.
Copyright
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the
author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Take-down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately
and investigate your claim.
Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the
number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.
Download date: 18-07-2017
Samenvatting
De studie van zeer korte pulsen is van fundamentele betekenis voor twee belangrijke
toepassingsgebieden: voor de bestudering van snel veranderlijke verschijnselen en voor
de telecommunicatie.
Snel veranderlijke processen zoals fotosynthese of dissociatie van moleculen, met
tijdsconstanten in de orde van enkele femtoseconden, kan men bestuderen met behulp
van lichtpulsen die ook enkele femtoseconden lang zijn. Een femtoseconde (afgekort fs)
is 10 15 seconde, oftewel een duizendste picoseconde.
Optische telecommunicatie komt neer op met een zaklamp in morse seinen door een
glasvezel, maar dan sneller. Veel sneller. Je hebt dus hele korte lichtpulsen nodig, want
hoe korter de pulsen zijn, des te meer pulsen, lees informatie, kun je per seconde door
de glasvezel sturen. Maar die pulsen moeten niet alleen kort zijn op het moment dat ze
de glasvezel ingaan, maar ze moeten nog steeds kort zijn als ze er aan de andere kant
weer uitkomen, en dat blijkt niet altijd het geval te zijn.
Dit proefschrift houdt zich bezig met de wiskundige beschrijving van de voortplanting
van zeer korte lichtpulsen in glasvezels. `Zeer kort' is hier korter dan een picoseconde,
10 12 seconde oftewel een biljoenste seconde. De beschrijving van pulsen langer dan een
picoseconde is goed bekend. Die wordt gegeven door de nietlineaire Schrodingervergelijking. De beschrijving van pulsen van enkele femtoseconden, zoals die onder andere in
Groningen zijn gerealiseerd, is gecompliceerder.
Hoofdstuk 2 behandelt de fysische achtergrond. Als je op een materiaal een elektrisch
veld aanlegt, en licht is niets anders dan een hoogfrequent elektromagnetisch veld, zullen
in het materiaal de banen van de elektronen een beetje verschuiven. De atomen worden
dan dipolen, dat wil zeggen dat de negatieve elektronen niet meer exact op de positieve
kern gecentreerd zijn, en die dipolen induceren zelf weer een elektrisch veld. Al die
dipolen bij elkaar geven de polarisatie. Het netto eect van de polarisatie is, dat het
licht langzamer gaat, en de polarisatie geeft zo aanleiding tot de brekingsindex n: De
snelheid van het licht is niet meer c, de lichtsnelheid in vacuum, maar c=n.
Die polarisatie is in eerste instantie lineair, dat wil zeggen dat een twee keer zo groot
elektrisch veld een twee keer zo grote polarisatie oplevert. De verhouding tussen de
polarisatie en de elektrische veldsterkte, en dus ook de brekingsindex, hangt wel van de
frequentie af (vandaar ook dat een prisma licht kan scheiden in verschillende kleuren):
bij sommige frequenties kunnen de elektronen makkelijker meetrillen dan bij andere. Die
frequentieafhankelijkheid van de brekingsindex heet dispersie. Daarmee is dus ook de
98
99
voortplantingssnelheid van het licht afhankelijk van de frequentie.
In een glasvezel is de brekingsindex niet helemaal gelijk aan de brekingsindex in
bulkglas, het proel van de brekingsindex in een dwarsdoorsnede is ook van belang. In
het eenvoudigste geval bestaat een glasvezel uit een kern met een bepaalde brekingsindex met daaromheen een mantel met een lagere brekingsindex. Het licht blijft dan
in de glasvezel door volledige reectie aan de overgang tussen de kern en de mantel.
Afhankelijk van onder andere de diameter van de vezelkern is er bij iedere frequentie een
beperkt aantal zogeheten modes. Er zijn namelijk alleen bepaalde terugkaatsingshoeken
mogelijk: na twee maal terugkaatsen moet de weerkaatste lichtgolf namelijk constructief
interfereren met de oorspronkelijke lichtgolf. Hoe groter die hoek is ten opzichte van de
voortplantingsrichting, des te kleiner de voorwaartse snelheid, dus des te groter de effectieve brekingsindex. Die hoek hangt ook van de frequentie af: de relevante grootheid
is de verhouding tussen de diameter van de kern van de vezel en de golengte, en de
golengte is omgekeerd evenredig met de frequentie.
In dit proefschrift wordt steeds uitgegaan van monomode glasvezels, vezels waarin er
per frequentie maar een mode bestaat. Als er namelijk twee of meer modes zouden zijn,
zouden die een verschillende snelheid hebben, en dan zou een puls zich kunnen splitsen
in de verschillende modes. Dat is hinderlijk, zowel uit praktisch oogpunt als vanwege het
extra rekenwerk dat het geeft. Ook wordt ervan uitgegaan, dat de polarisatierichting van
het licht steeds hetzelfde blijft. Anders zouden we namelijk gekoppelde vergelijkingen
voor het elektrische veld in twee polarisatierichtingen moeten beschouwen.
Tot nu toe hebben we het steeds over monochromatisch licht gehad, licht van een
bepaalde golengte. Maar een lichtpuls kan nooit helemaal monochromatisch zijn, het
is altijd een golfpakketje opgebouwd uit golven van lichtelijk verschillende frequenties
(kleuren). Hoe korter de puls is, des te breder is het frequentiespectrum. Zo'n pakketje
beweegt zich voort met de zogenaamde groepssnelheid, die afhangt van de brekingsindex.
Omdat glas net als ieder materiaal dispersief is, dus omdat de brekingsindex van de
frequentie afhangt, hangt ook de groepssnelheid van de frequentie af; dat is de dispersie
van de groepssnelheid. Als je dan in gedachten het golfpakketje in twee pakketjes splitst,
waarbij de hoge frequenties in het ene pakketje zitten en de lage in het andere, dan gaan
die twee pakketjes niet even hard, waardoor de puls langer wordt. Er zijn hierbij twee
gevallen te onderscheiden: normale dispersie, dan gaan lage frequenties, `rood licht',
sneller, en anomale dispersie, dan gaan hoge frequenties, `blauw licht', sneller. Voor glas
is de dispersie voor golengtes kleiner dan 1:3 m, dus onder andere in het zichtbare
licht, normaal, en daarboven (in het infrarood) anomaal.
Rond 1:3 m is de dispersie van de groepssnelheid klein, dus een lichtpuls van ongeveer die golengte blijft langer kort. Bovendien is glas goed doorzichtig bij die golengte.
Die golengte wordt dus veel gebruikt in de optische telecommunicatie. Maar sinds ca.
1989 is de golengte 1:55 m erg populair geworden: licht van die golengte is heel goed
te versterken met de erbium-gedoteerde glasvezelversterker, en bovendien is glas bij deze
golengte zelfs doorzichtiger dan bij 1:3 m (zelfs zo goed doorzichtig dat in dit proefschrift de absorptie verwaarloosd kan worden). Om dan toch weer een lage dispersie van
de groepssnelheid te krijgen, wordt gebruik gemaakt van dispersieverschoven glasvezels.
Dat zijn glasvezels waarbij het verloop van de brekingsindex in de kern van de glasve-
100
Samenvatting
zel zo gekozen is, dat het nulpunt van de dispersie van de groepssnelheid naar 1:55 m
verschuift. Hiermee kan men dus de pulsverbreding door de lineaire dispersie in toom
houden.
Maar er is nog een eect. als de intensiteit van het veld maar groot genoeg is, is de
polarisatie niet exact lineair: er zijn ook nietlineaire termen. We kunnen de polarisatie
ontwikkelen in machten van het elektrische veld. De eerste term is dan de lineaire
polarisatie. De tweede term, die kwadratisch in het elektrische veld is, moet nul zijn,
omdat glas amorf is, geen voorkeursrichtingen kent. Dat betekent namelijk, dat de
polarisatie van teken moet omdraaien als het elektrische veld van teken omdraait. En
een kwadratische term doet dat niet. De eerste term in de nietlineaire polarisatie is dus
van derde orde in het elektrische veld. Hogere orde termen zijn te verwaarlozen.
In die nietlineaire polarisatie zijn twee soorten te onderscheiden. In het ene geval
doen alleen de elektronen mee, en die bewegen zo snel, dat ze zich steeds naar het
elektrische veld van dat moment richten. Daarom is dit deel van de nietlineaire polarisatie instantaan, dat wil zeggen alleen afhankelijk van het elektrische veld op hetzelfde
moment.
Maar er is ook een deel, de gestimuleerde Ramanverstrooiing, waarbij de kernen gaan
meebewegen. En die kernen zijn een stuk trager, als die een keer in beweging zijn duurt
het wel honderd femtoseconden voor ze uitgetrild zijn. En dus moeten we, om uit te
rekenen wat dat deel van de polarisatie doet, rekening houden met wat het elektrische
veld de laatste honderd femtoseconden gedaan heeft. Dus als de puls niet veel langer is,
zullen we met dit geheugen terdege rekening moeten houden.
Gelukkig is hier de Born-Oppenheimer-benadering van toepassing: de tijdschaal
waarop de elektronen bewegen verschilt zoveel van de tijdschaal waarop de kernen bewegen, dat ze gescheiden behandeld kunnen worden. Als we de elektronen bekijken kunnen
we de kernen als stilstaand beschouwen, en als we naar de kernen kijken, zien we alleen
de eectieve elektronenwolk.
In het quantummechanische plaatje is Ramanverstrooiing een proces waarbij een
foton, een lichtdeeltje, met een bepaalde frequentie, de `pompfrequentie', geabsorbeerd
wordt, waarna een foton met een lagere frequentie, de `Stokesfrequentie', uitgestraald
wordt; het energieverschil gaat in de trilling van de kernen zitten, in de vorm van een
`fonon', een kwant van een roostertrilling. Merk op dat het aantal fotonen niet verandert:
voor ieder pompfoton dat verdwijnt, ontstaat er een Stokesfoton. Het ligt voor de hand
dat het aantal pompfotonen dat verstrooid wordt (tot een Stokesfoton en een fonon)
evenredig is met het aantal invallende pompfotonen. Maar het merkwaardige is, dat
volgens de quantummechanica de verstrooiing ook evenredig is met het aantal invallende
Stokesfotonen plus een. Op die `plus een' (dat is de gewone Ramanverstrooiing) na is
deze verstrooiing dus kwadratisch in het aantal fotonen, en dus in de energie, en voor
de polarisatie betekent dat een term van de derde macht in het elektrische veld.
Als we even van de tijdsafhankelijkheid van de gestimuleerde Ramanverstrooiing
afzien, betekent het bestaan van de nietlineaire polarisatie dat de brekingsindex ook
afhankelijk is van de intensiteit van het licht. Sterk is dat eect niet, als je licht met
een vermogen van een Watt door een glasvezel (met een eectieve doorsnede van 8
micrometer) stuurt, neemt de brekingsindex met een miljardste toe. Maar dat betekent
101
wel dat de top van de puls na 1000 kilometer vijf picoseconden achter loopt op de
staarten. Ook hierdoor wordt de puls dus breder.
Wat leveren de lineaire dispersie en de nietlineariteit gecombineerd op? Dat blijkt
af te hangen van de lineaire dispersie. Bij normale dispersie versterken ze elkaar, maar
bij anomale dispersie kunnen ze elkaar in balans houden. De amplitude van de puls
wordt dan beschreven met de nietlineaire Schrodingervergelijking. Dit is een zogeheten
integreerbare vergelijking. Integreerbare vergelijkingen worden in de wiskunde sinds een
jaar of dertig uitgebreid bestudeerd, omdat ze veel mooie eigenschappen hebben. Zo
hebben ze onder andere oneindig veel behoudswetten, constanten van beweging. Ze zijn
de oneindigdimensionale equivalenten van Hamiltonse systemen.
En ze hebben solitonen als oplossing. Dit zijn heel erg stabiele pulsen, die bijvoorbeeld zonder vervorming door elkaar heen kunnen gaan. En niet alleen dat; als de puls
in de glasvezel in het begin geen soliton is, maar wel ongeveer de goede energie heeft,
zal de puls naar de soliton plus wat straling convergeren.
Bij veel integreerbare vergelijkingen, en in ieder geval bij de nietlineaire Schrodingervergelijking, is er sprake van twee zaken die elkaar in balans houden. In het geval van
de lichtpuls in een glasvezel zijn dat de dispersie van de groepssnelheid en de nietlineariteit. Een analogie is een groep hardlopers die rent op een dikke doorzakkende matras: de
snelste hardlopers die voorop lopen moeten steeds bergop, en de langzaamste hardlopers
achteraan kunnen steeds bergaf. Zodoende blijven ze bij elkaar.
Die solitonen zijn dus erg goed bruikbaar als basiseenheid voor optische telecommunicatie: ze zijn kort en ze blijven kort, en versterken hoeft niet al te nauwkeurig te
gebeuren: ze nemen vanzelf weer de goede vorm aan.
De nietlineaire Schrodingervergelijking beschrijft pulsen die langer dan een picoseconde zijn vrijwel perfect. Maar voor nog kortere pulsen klopt die vergelijking niet
helemaal, dan komen er storingstermen bij. De puls wordt onder andere asymmetrisch,
maar in het bijzonder wordt gestimuleerde Ramanverstrooiing van belang. Het eect
daarvan is dat de gemiddelde frequentie daalt. Voor een korte puls blijkt de frequentiedaling omgekeerd evenredig te zijn met de vierde macht van de pulsduur.
In dit proefschrift worden met behulp van de method of multiple scales. twee vergelijkingen afgeleid voor ultrakorte pulsen. In hoofdstuk 3 wordt deze methode uitgelegd.
We willen weten wat er met een puls gebeurt die door een glasvezel gaat, die een
klein beetje nietlineair is. Zonder die nietlineariteit is de oplossing bekend: een draaggolf
met een omhullende. Een voor de hand liggende methode is dan storingsrekening: we
nemen aan dat de oplossing gegeven wordt door de oplossing voor de lineaire glasvezel
plus een kleine storing plus een nog kleinere storing plus : : : ; Iedere volgende term is
een factor `' kleiner, waarbij een klein getal is. Eerst bepalen we waaraan die kleine
storing moet voldoen, als we de nog kleinere storing verwaarlozen, en als we dat dan
aannemen voor die kleine storing, kunnen we voor die nog kleinere storing weer een
vergelijking aeiden, etc.
Maar dit gaat niet zonder meer goed. Als we namelijk de omhullende verkeerd
kiezen, gaat de lineaire benadering uit de pas lopen met de echte oplossing. En als de
lineaire benadering een halve golengte uit de pas loopt met de echte oplossing, dus
precies in tegenfase is, dan is de `storing', het verschil tussen de lineaire benadering en
102
Samenvatting
de echte oplossing zelfs twee keer zo groot als de echte oplossing; niet echt een kleine
storing dus. Er zijn dus eisen aan de keuze van de omhullende. Die kunnen we goed
in rekening brengen door ervan uit te gaan, dat de omhullende langzaam varieert, door
ook de afgeleiden van de omhullende in een storingsreeks te ontwikkelen. Dit heet wel
de method of multiple scales, omdat we naar meer tijdschalen kijken: eerst kijken we op
de schaal van de trillingstijd, vervolgens kijken we wat er op een langere schaal gebeurt;
maar als we dan nauwkeurig kijken, zien we dat op een nog langere schaal weer correcties
nodig zijn, enz.
Als we er dus van uit gaan, dat de oplossing wordt gegeven door een draaggolf met
een langzaam varierende omhullende plus storingstermen, vinden we voor iedere macht
van de kleine parameter een vergelijking waarin zowel de afgeleide van de omhullende
als een storingsterm voorkomen. De omhullende wordt beschreven door een complexe
amplitude die langzaam van de tijd en van z (de afstand in de voortplantingsrichting in
de glasvezel) afhangt. Het complex laten zijn van de amplitude is een wiskundig truukje
om de fase en de absolute grootte van het elektrische veld te combineren: het argument
van de amplitude geeft de fase en de modulus geeft de absolute grootte.
Die ene vergelijking voor zowel de amplitude als de storingsterm kunnen we opvatten
als een lineaire vergelijking voor de storingsterm met een bronterm, een aandrijvingsterm
waarin de afgeleide van de amplitude voorkomt. Die storingsterm moet klein blijven,
maar dat kan niet als de aandrijving een term op de resonantiefrequentie bevat. Dus we
moeten eisen dat de term in de aandrijving die resonantie veroorzaakt nul is. Die eis,
de compatibiliteitsvoorwaarde, levert nu een vergelijking voor de omhullende op.
Die vergelijking ligt niet helemaal vast, omdat we altijd termen van een hogere orde
in kunnen toevoegen; die kunnen we dan wel weer opruimen als we naar de volgende
storingsterm kijken. Die vrijheid wordt in dit proefschrift gebruikt om `slimme keuzes'
te maken: als we een idee hebben van wat de volgende storingsterm wordt, nemen we
die alvast mee.
Door de method of multiple scales toe te passen, vinden we een vergelijking voor de
omhullende. In eerste instantie (orde 2 ) vinden we dat de puls met de groepssnelheid
voortbeweegt. De volgende stap (orde 3 ) levert de bovengenoemde nietlineaire Schrodingervergelijking op. Die is goed voor pulsen die langer zijn dan een picoseconde.
Voor kortere pulsen moeten we een orde verder gaan; dat gebeurt in hoofdstuk 5.
Dat levert een partiele dierentiaalvergelijking op, vergelijking (taur), die een uitbreiding is van de nietlineaire Schrodingervergelijking met drie extra termen.
Een term komt door de derde orde lineaire dispersie: de dispersie van de groepssnelheid hangt zelf ook weer van de frequentie af.
De tweede term, waarin de tijdsafgeleide van de nietlineaire term voorkomt, leidt
ertoe dat de puls asymmetrisch wordt, maar verder doet die vrij weinig: de nietlineaire
Schrodingervergelijking is met deze term toegevoegd nog steeds integreerbaar. Dus er
bestaan dan nog steeds stabiele solitonoplossingen.
De derde term beschrijft de gestimuleerde Ramanverstrooiing, en zorgt voor de frequentiedaling.
Volgens vergelijking (taur) blijft de energie van de puls behouden, maar dat zou
betekenen dat het aantal fotonen toeneemt, en dat is niet wat we verwachten. Wat
103
aan deze vergelijking niet klopt, is de benadering die voor de gestimuleerde Ramanverstrooiing gemaakt is. De tijdschaal daarvan is zo'n 10 femtoseconden. Als de puls ook
ongeveer zo kort is, mag die term niet benaderd worden.
In hoofdstuk 6 wordt daarom een betere vergelijking afgeleid, waarin de convolutie
die de gestimuleerde Ramanverstrooiing beschrijft blijft staan. De method of multiple scales blijkt ook dan nog gebruikt te kunnen worden. Die levert nu een partiele
integrodierentiaalvergelijking op, vergelijking (conv). Volgens deze vergelijking blijft
inderdaad het aantal fotonen behouden. Als de gestimuleerde Ramanverstrooiing weer
wordt benaderd zoals in hoofdstuk 5, dan reduceert vergelijking (conv) weer tot vergelijking (taur).
In hoofdstuk 7 worden oplossingen van beide vergelijkingen voor verschillende pulsduren en andere parameterwaarden bekeken. Voor pulsen van honderd femtoseconden
is er vrijwel geen verschil te zien tussen de vergelijkingen, terwijl bij pulsen korter dan
tien femtoseconden het verschil enorm groot is. Dus daar klopt vergelijking (taur) niet
meer. Immers, vergelijking (taur) is een benadering van vergelijking (conv), en die
is weer een benadering van de werkelijkheid. Dus hoe meer de oplossing van vergelijking (taur) van de oplossing van vergelijking (conv) verschilt, des te groter zal ook het
verschil met de werkelijke oplossing zijn
Ook is bekeken of de frequentiedaling inderdaad omgekeerd evenredig is met de vierde
macht van de pulsduur. Dat blijkt zo te zijn voor pulsen langer dan ongeveer 20 fs. Bij
kortere pulsen daalt de frequentie minder snel.
Vervolgens wordt het eect van de derde orde dispersie bekeken. Als die groot is
ten opzichte van de dispersie van de groepssnelheid en van de pulsduur, dan kan er een
resonantie optreden, en de puls krijgt dan een staart.
In het laatste hoofdstuk wordt een schatting gemaakt van de termen die we verwaarloosd hebben. Vanwege de benadering van de gestimuleerde Ramanverstrooiing is
vergelijking (taur) alleen geldig voor pulsen die veel langer zijn dan tien femtoseconden. Vergelijking (conv) is beter: die is geldig voor pulsen die veel langer zijn dan een
femtoseconde. Nu is bij een golengte van 1:55 m de periode van het licht ca. 5 fs, dus
die vergelijking klopt al voor een puls van twee golengten!
Dankwoord
Dit proefschrift kwam tot stand op het Instituut voor Theoretische Natuurkunde in
Groningen, waar ik het goed naar mijn zin heb gehad. Ik wil daarvoor alle medewerkers
van het instituut bedanken. Inclusief de secretaresses (Ynske Joustra, Iris de Roo en
tussendoor Marjo Smit en Carina Wiegman) natuurlijk!
Een aantal mensen wil ik in het bijzonder bedanken. Allereerst mijn begeleiders,
Eddy Ferwerda en Bernhard Hoenders, voor hun goede begeleiding en voor het aangeven
waar er best nog wel wat meer uitleg tussen de formules zou mogen staan. Daarnaast
ben ik leden van de leescommissie, prof. Doran, prof. van Groesen en prof. Knoester
dankbaar voor het aandachtig lezen van mijn proefschrift en voor hun commentaar.
Verder dank ik mijn broer Marc, voor zijn kritiek op de Nederlandse samenvatting.
Ik hoop dat het geholpen heeft
Ook buiten het Instituut heb ik me goed vermaakt in Groningen, op het studentenpastoraat, bij het musiceren, of beide. Hartelijk dank aan eenieder die daartoe heeft
bijgedragen.
Matty de Vries wil ik bedanken voor de tekening op de voorkant van dit proefschrift.
En last but not least: mijn ouders, voor hun nimmer aatende steun. En verder wie
ik nog vergeten ben.
105