Voorbeelden van lineaire eerste-orde differentiaal

Voorbeelden van lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen
Hieronder vind je 8 voorbeelden waarbij een differentiaalvergelijking met behulp van
het overzicht wordt opgelost.
Opdracht
Bestudeer de voorbeelden en de oplossingen en bepaal zelf hoe de problemen worden
opgelost. Schrijf dit uit als een stappenplan (algoritme): welke stappen neem je in
welke volgorde om tot een oplossing te komen. Zodra je het stappenplan klaar hebt
kan je het uitproberen:
• met voorbeelden die je nog niet had bestudeerd
• met de toets lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen
1. Bepaal de plaats bij een constante snelheid
Een auto rijdt met een constante snelheid van 50 km/uur. Hoeveel afstand heeft de
auto na 3 uur afgelegd?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dx
=v
dt
waarin x de plaats en v de snelheid is.
Oplossing
dx
= 50
dt
⇔
lineaire groei/afname
 ⇒ x = x0 + 50t
K = 50 m/s

⇔
de afgelegde weg is x - x0 = 50t = 50·3 = 150 km
2. Algemene oplossing van de plaats bij een constante snelheid
Wellicht weet je nog van de natuurkundelessen dat x = x0 + v0 t bij een constante
snelheid. Leid deze vergelijking af.
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dx
=v
dt
waarin x de plaats en v de snelheid is.
Oplossing
dx
= v0
dt
⇔
lineaire groei/afname
 ⇒ x = x 0 + v 0t
K = v0

3. Temperatuurtoename in een magnetron
Een magnetron met een vermogen van 900 W verwarmt een kopje met 100 g (= 100
mL) water van 20°C. De warmtecapaciteit van water is CP = 4,2 J·g-1 ·°C-1 . Hoe lang
duurt het voor het water kookt?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
mCP
dT
=P
dt
waarin m de massa, CP de warmtecapaciteit en T de temperatuur van het water is en
P het vermogen van de magnetron is.
Oplossing
mCP
dT
=P
dt
100 ⋅ 4,2
⇔
dT
= 900
dt
dT
900
=
= 2,1
dt
100 ⋅ 4,2
⇔
⇔
lineaire groei/afname
 T
K = 2,1 o C/s
⇒
o

T0 = 20 C

= T0 + 2,1t
= 20 + 2,1t
Het water kookt bij 100°C, zodat 100 = 20 + 2,1t
⇔
80 = 2,1t
⇔
t =
80
= 38 s
2,1
4. Gist kweken bij bierproductie
Bij de productie van bier is het belangrijk om eerst voldoende gistcellen te hebben.
Elke gistcel deelt zich in 30 minuten in 2 gistcellen.
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dm
m
= k ⋅m =
dt
τ
waarin m de gistmassa is en k = 1,39 uur- 1 , ofwel τ = 1/k = 0,72 uur = 1,44 maal de
delingstijd (deze factor 1,44 komt doordat de tijdconstante τ iets anders is dan de
halfwaarde- of verdubbeltijd: τ = t½/ln(2) = 1,44·t½).
Hoeveel gistmassa heb je nodig om in 6 uur een productie van 100 kg gist te krijgen?
Oplossing
dm m
=
dt
τ
⇔
dm
m
=
dt
0,72
⇔
0,72
dm
=m
dt
0,72
dm
−m=0
dt
⇔
⇔
t
exponentiele groei
0,7 2
 ⇒ m = m0 e
τ = 0,72 uur

6
Na 6 uur is m = 100 kg, zodat 100 =
100
m0 =
= 24·10-3 kg = 24 g
4,16 ⋅ 103
m0 e 0,7 2 = m0e8,33 = 4,16·103m0
⇔
5. Hoort zegt het voort
Praatjes hebben lange benen. Als er iets interessants gebeurt, dan lijkt het of iedereen binnen de kortste keren er vanaf weet, ook zonder tv. In een middelgrote stad
(70000 inwoners) gebeurt iets en het nieuws wordt doorverteld. Iedereen die het
nieuws hoort vertelt het aan gemiddeld 1 persoon per uur. Na hoeveel tijd weet de
hele stad het nieuwtje als de bron 1 persoon was?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dN
= kN
dt
waarin N het aantal mensen is dat het nieuwtje kent en k is 0,69 maal het aantal personen dat (gemiddeld) per uur door 1 persoon wordt ingelicht.
Oplossing
dN
= kN
dt
⇔
dN
= 0,69N
dt
⇔
1 dN
dN
= 1,44
= N
0,69 dt
dt
1,44
dN
−N = 0
dt
⇔
⇔
exponentiele groei
t

1, 4 4
τ = 1,44 uur
= et
 ⇒ N = N0 e

N0 = 1

N = 70000, zodat 70000 = e
t
1,4 4
⇔
ln (70000) =
t
= 1,44·8,85 = 12,8 uur
1,44
6. Radioactief verval van plutonium
In een kernreactor wordt uranium omgezet in onder andere plutonium. Dit plutonium
is een afvalproduct, dat heel langzaam in lood wordt omgezet. In 24000 jaar verdwijnt op deze manier de helft van het plutonium. Na hoeveel tijd is 90% van het plutonium omgezet in lood?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dm
m
=
dt
1,44t 1/2
waarin m de resterende massa plutonium en t½ de halfwaardetijd is (deze factor 1,44
komt doordat de tijdconstante τ iets anders is dan de halfwaarde- of verdubbeltijd: τ
= t½/ln(2) = 1,44·t½).
Oplossing
dm
m
=
dt
1,44t1/2
⇔
dm
m
m
=
=
dt
1,44 ⋅ 24000 34560
34560
dm
=m
dt
34560
dm
−m=0
dt
⇔
⇔
⇔
−t
exponentiele afname
 ⇒ m = m0e 3 4 5 6 0
τ = 34560 jaar

Als er 90% wordt omgezet, dan blijft er 10% over, zodat
m0
−t
3
4
e 560
⇔
0,1 =
−t
3
4
e 560
⇔
t = -34560ln(0,1) = 8·104 jaar
ln (0,1) =
−t
34560
m = 0,1m0 ⇔ 0,1m0 =
7. Radioactief verval van jodium
Radioactief jodium wordt gebruikt bij medische toepassingen. Het wordt gemaakt in
de reactor van Petten en heeft een halfwaardetijd van 2,3 uur. Als je 1 g radioactief
jodium nodig hebt en het ligt door omstandigheden een dag (24 uur) op de plank,
hoeveel radioactief jodium moet je dan (een dag van tevoren) maken om nog 1 g
over te houden?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dm
m
=
dt
1,44t 1/2
waarin m de resterende massa plutonium en t½ de halfwaardetijd is.
Oplossing
dm
m
=
dt
1,44t1/2
⇔
dm
m
m
=
=
dt
1,44 ⋅ 2,3 3,312
3,312
dm
=m
dt
3,312
dm
−m=0
dt
⇔
⇔
⇔
−t
exponentiele groei
3,3 1 2
 ⇒ m = m0e
τ = 3,312 uur

−2 4
1 = m0 e 3,3 1 2 = 7,13 ⋅ 10 − 4 m0
ten liggen dus!
⇔
m0 =
1
7,13 ⋅ 10 − 4
= 1403 g = 1,4 kg. Niet te lang la-
8. Koeling van een bierflesje
een flesje bier van 1 L (= 1 kg) met een temperatuur van 25°C wordt in snelstromend
water van 10°C gehangen. Hoe groter het temperatuurverschil, hoe sneller de warmte
uit de fles wegstroomt: Q = UA(T fles -T water), waarbij Q de warmtestroom in W is, U de
warmteoverdrachtscoëfficiënt (in dit geval U = 15 W·°C -1 ·m-1 ) en A het oppervlak van
de fles (0,06 m 2 ). Hoe lang duurt het tot het bier is afgekoeld tot 15°C?
Ga uit van de differentiaalvergelijking:
dT
= −Quit
dt
mCP
waarin m de massa, CP de warmtecapaciteit (4,2·103 J·kg-1 ·°C-1 ) en T de temperatuur
van het bier is en Quit de warmte die uit de fles stroomt.
Oplossing
mCP
dT
= −Quit
dt
1 ⋅ 4,2 ⋅ 103
⇔
dT
= −UA(T − Twater ) = −15 ⋅ 0,06(T − 10)
dt
1 ⋅ 4,2 ⋅ 103 d T
= −(T − 10)
15 ⋅ 0,06 d t
⇔
⇔
4667
dT
= −T + 10
dt
4667
dT
+ T = 10 = −15 + T0 (= 25)
dt
⇔
⇔
−t 


T = T0 + K 1 − e τ 
geremde groei/afname





τ = 4667 s
⇒

−t



K = −15 o C
 T = 25 − 151 − e 4 6 6 7 


De gewenste temperatuur van 15°C wordt bereikt na:
−t



4667
15 = 25 − 15 1 − e




⇔
−t



4667
15 − 25 = −10 = −15 1 − e




−t
− 10
= 0,67 = 1 − e 4 6 6 7
− 15
ln(0,33) =
−t
4667
⇔
0,67 - 1 = -0,33 = −
−t
4
e 667
⇔
⇔ 0,33 =
⇔ t = -4667 ln(0,3) = 5127s = 85 min
−t
4
e 667
⇔
Opdracht (herhaling)
Bestudeer de voorbeelden en de oplossingen en bepaal zelf hoe de problemen worden
opgelost. Schrijf dit uit als een stappenplan (algoritme): welke stappen neem je in
welke volgorde om tot een oplossing te komen. Zodra je het stappenplan klaar hebt
kan je het uitproberen:
• met voorbeelden die je nog niet had bestudeerd,
• met de toets lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen.
Als dit niet lukt, neem dan contact op met je docent. Wellicht lukt het met wat uitleg.
Als er basiskennis ontbreekt, dan is het verstandig eerst een andere cursus te volgen.