1 Oefeningen Numerieke Analyse, Gewone

1
Oefeningen Numerieke Analyse, Gewone differentiaalvergelijkingen.
February 17, 2001
1. Voor het benaderen van de oplossing van het beginwaardeprobleem
y 0 = f (x, y) ,
y(x0 ) = y0
(1)
kunnen we de volgende Runge-Kutta methode (de eenvoudige Kutta-regel) gebruiken:
k1 := h f (xk , zk )
k2 := h f (xk + 12 h , zk + 12 k1 )
(2)
k3 := h f (xk + h , zk + 2 h2 − h1 )
zk+1 := zk + 16 (k1 + 4 k2 + k3 )
Hierbij is zk de reeds berekende benadering in het punt xk en h de stapgrootte van de volgende stap;
zk+1 wordt dus de benadering in xk+1 := xk + h .
a. Laat zien dat de methode van orde 3 is.
b. Bepaal het stabiliteitsgebied in het hλ–vlak (maak een tekening met Matlab).
2. We beschouwen voor het benaderen van de oplossing van (1) de volgende meerstapsmethode met
stapgrootte h :
zp − zp−4 :=
h
3
(8 fp−1 − 4 fp−2 + 8 fp−3 ) ,
fp := f (xp , zp ) ,
xp := x0 + p h ,
(3)
waar zk de reeds berekende benadering in het punt xk .
a. Bepaal de orde van de methode.
b. Is methode (3) “asymptotisch stabiel”?
c. Bepaal het stabiliteitsgebied in het hλ–vlak (maak een tekening met Matlab).
3. Om het nietlineaire tweede orde tweepuntsrandwaardeprobleem op het interval (a , b)
y 00 = f (x , y , y 0 ) ,
y(a) = A ,
y 0 (b) = B ,
(4)
of het equivalente eerste orde stelsel (met u := y)
u0 = v ,
v 0 = f (x , u , v) ,
u(a) = A ,
v(b) = B ,
(5)
op te lossen (voor voldoend gladde f ), kunnen we de volgende “schietmethode” gebruiken:
Definieer Φ(x; α) als de oplossing van het beginwaardeprobleem
y 00 = f (x , y , y 0 ) ,
y(a) = A ,
y 0 (a) = α ,
(6)
b de gezochte oplossing van (4) als deze voldoet aan de vergelijking Φ0 (a; α)
b =B.
dan is Φ(x; α)
Laat Φh (x; α) een benadering zijn, berekend met een methode met (constante) stapgrootte h van orde
p.
a. Neem aan, dat het probleem lineair is, d.w.z. f (x, u, v) = p(x) v + q(x) u − r(x) . Laat dan zien
dat er een unieke oplossing is als het homogene probleem (probleem (5) met A = B = 0 en r ≡ 0)
uitsluitend de triviale oplossing y ≡ 0 heeft. Laat ook zien, dat tweemaal “schieten” dan voldoende
en dat we dus uit Φh (x; α) en Φh (x; β) een benadering van orde O(hp ) kunnen vinden.
b. Ontwerp een procedure om een oplossing van (5) te benaderen, als we weten dat er zo’n (geı̈soleerde)
oplossing is. NB: er bestaat geen procedure, die altijd zal werken, als we geen nadere eisen stellen
aan de vergelijking.