Inleiding - Telenet Users

1 INLEIDING ........................................................................................................................................................ 2
1
KRACHTEN TIJDENS HET LANDEN ................................................................................................... 3
1.1
BEREKENING STOPAFSTAND, SNELHEID EN VERSNELLING .................................................................... 3
1.2
VEREENVOUDIGD MODEL ..................................................................................................................... 4
1.2.1
Aanvliegen ....................................................................................................................................... 4
1.2.2
Remmen op de motoren ................................................................................................................... 5
1.2.3
Remmen op de wielen ...................................................................................................................... 5
1.2.4
Stilstand ........................................................................................................................................... 6
1.2 VERBETERD MODEL....................................................................................................................................... 7
1.2.5
Aanvliegen ....................................................................................................................................... 7
1.2.6
Remmen op de motoren ................................................................................................................... 7
1.2.7
Remmen op wielen ........................................................................................................................... 8
1.2.8
Stilstand ........................................................................................................................................... 9
1.3
VERSCHIL TUSSEN DE BENADERINGEN. ................................................................................................. 9
2
DE STOOT BIJ HET LANDEN .............................................................................................................. 10
3
ENERGIEWET – TWEEDE BEHOUDSWET ...................................................................................... 12
4
INTREKKEN VAN HET LANDINGSGESTEL .................................................................................... 15
4.1
4.2
5
KINEMATICA ....................................................................................................................................... 15
DYNAMICA ......................................................................................................................................... 18
VIRTUELE ARBEID ................................................................................................................................ 25
1 Inleiding
We hebben gekozen om een case-studie te maken van het landingsgestel van een vliegtuig.
Om met concrete waarden te kunnen werken hebben we gekozen om met de gegevens van de
A330 van Airbus te gebruiken.
De Airbus A330 is het
tweemotorige 'broertje' van de
viermotorige Airbus A340.
Beide typen zijn min of meer
gelanceerd als één project. De
A330 vloog voor het eerst in
november 1992 en kwam in
januari 1994 in gebruik bij de
Franse maatschappij Air Inter.
De oorspronkelijke versie van de Airbus A330, de A330-300, kan rond 335 passagiers
vervoeren. Later ontwikkelde Airbus Industrie een kortere versie, de A330-200, die bedoeld is
voor vluchten over langere afstanden. We hebben in deze case geopteerd om de A330-200 te
bespreken.
In het eerste deel hebben we de krachten bekeken die op het landingsgestel optreden wanneer
een vliegtuig land. In een eerste benadering hebben we geen banden verondersteld en enkel
maar staafjes waarop dan het vliegtuig land.
In een tweede benadering hebben we wel rekening gehouden met de banden.
In een tweede deel hebben we de
dynamica en de kinematica
bekeken, wanneer het vliegtuig
juist na het opstijgen zijn
landingsgestel intrekt.
Tijdens het laatste deel van deze
case hebben we eens bekeken
hoe we de methode van virtuele
arbeid eens kunnen toepassen op
het neuswiel.
1 Krachten tijdens het landen
In dit eerste deel hebben we de krachten op het landingsgestel bestudeerd. Maar om al deze
krachten te berekenen hebben we eerst de landingssnelheid, vertraging en stopafstand bepaalt.
1.1 Berekening stopafstand, snelheid en versnelling
Uit de gegevens die we teruggevonden hebben, blijkt dat de A330 een ladingsbaan van 1372m
nodig heeft. Deze gegevens worden altijd gecorrigeerd met een veiligheidsfactor van 0.6. Dus
de werkelijke stopafstand is
lstop 1372*0.6  823 m
De onderstaande figuur geeft de aanvliegroute van het vliegtuig weer. Er staan 2 snelheden op
namelijk de touchdown snelheid (de snelheid van het vliegtuig wanneer de wielen de grond
raken) en de referentie snelheid. Dit is de snelheid die het vliegtuig heeft wanneer het zich op
50 voet hoogte bevindt.
Figuur 1.1 Landingsbaan vliegtuig
De referentie of approach snelheid van het vliegtuig is 244 km/u. Wanneer we dit omrekenen
via vs bekomen we de touchdown snelheid.
1.25* vref 1.25*244
vtd 

 235 km / u
1.3
1.3
Als we nu de vertraging berekenen dan is deze
235 2
(
)
v2
a
 3.6  2.6 m / s 2
2 L 2*823
We rekenen dus met de volgende gegevens verder
Stopafstand
823 m
Landingssnelheid
235 km/u
Gemiddelde vertraging 2.6 m/s²
1.2 Vereenvoudigd model
We beschouwen eerst een vereenvoudigt model. Hierin gaan we er vanuit dat er geen wielen
aan het vliegtuig staan, maar enkel stokken. In een tweede benadering gaan we er wel
rekening mee houden dat aan het vliegtuig wielen staan.
We kunnen de landing in 4 blokken opsplitsen
 Aanvliegen
 Remmen op de motoren
 Remmen op de wielen
 Stilstand van het vliegtuig
1.2.1 Aanvliegen
Wanneer het vliegtuig aanvliegt werken de volgende krachten op het vliegtuig
FD
FP
Flift
FG
Figuur 1.2 Krachten wanneer vliegtuig in de lucht is
F ma
FD  FP  FG  FLift  m a
FD  FP  m ax
Flift  FG  m a y
Wanneer we er vanuit gaan dat er geen versnellingen zijn wanneer het vliegtuig komt
aangevlogen. Ziet men dat de kracht die de motor levert gelijk is aan de luchtweerstand of
drag. Juist hetzelfde geldt voor de Y-richting, hier compenseert de liftkracht juist het gewicht
van het toestel.
1.2.2 Remmen op de motoren
De volgende fase van de landing is wanneer het vliegtuig de landingsbaan raakt en vertraagt
door middel van zijn straalomkeerders.
FD
FWv
FP F
Wa
Fvoor
FG
Flift
Fachter
Figuur 1.3 Krachten wanneer het vliegtuig remt op zijn motoren
We passen nu het tweede postulaat van Newton toe
F ma
FD  FWv  FVoor  FP  FWa  FG  Fachter  FLift  m a
Projectie op de X-as geeft
FD  FWv  FP  FWa  m a
Projectie op de Y-as geeft
Fvoor  FG  Fachter  Flift  0
We weten ook dat de wrijvingskrachten van de wielen overeenkomt met de statische
wrijvingsfactor vermenigvuldigd met de normaalkracht op dat oppervlak. Dit geeft dan de
volgende vergelijkingen
FD   Fvoor  FP   Fachter  m a
Fvoor  m g  Fachter  Flift  0
In deze vergelijkingen zijn de liftkracht en de drag afhankelijk van de snelheid van het
vliegtuig.
1.2.3 Remmen op de wielen
De volgende en voorlaatste fase in de landing is wanneer de snelheid al vrij laag is. Nu zal
het vliegtuig niet meer remmen op zijn straalomkeerders, maar zal er geremd worden door de
remschijven die voorzien zijn. Door de lage snelheid verwaarlozen we de luchtweerstand
(drag) en de liftkracht.
Frem
FWv
FWa
Fvoor
FG
Fachter
Figuur 1.4 Krachten wanneer het vliegtuig remt op de wielen
F ma
FWv  FVoor  FWa  FG  Fachter  Frem  m a
FWv  FWa  Frem  m a
Fvoor  Fachter  m g  0
We veronderstellen bij deze eerste benadering dat er een remkracht is en dat deze aangrijpt in
het massacentrum.
1.2.4 Stilstand
En tot slot de laatste fase in de landing is wanneer het vliegtuig helemaal tot stilstand
gekomen is.
Fvoor
FG
Fachter
Figuur 1.5 Krachten op stilstaand vliegtuig
Volgens het tweede postulaat van Newton is dan
F ma
Fvoor  Fachter  FG  m a
Fvoor  Fachter  m g  0
We bekijken even het verloop van de lift en de drag kracht in figuur 1.6. Er wordt gesteld dat
de liftkracht afhankelijk is van de snelheid en dat de dragkracht afhankelijk is van de snelheid
in het kwadraat.
2000000
1800000
1600000
Kracht [N]
1400000
1200000
Lift
1000000
Drag
800000
600000
400000
200000
Tijd [s]
Figuur 1.6 Lift en Drag Kracht
Ander krachten worden bekeken na het verbeterde model.
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0
1.2 Verbeterd model
Bij de tweede benadering bekijken we de wielen mee, dit geeft een iets ander beeld.
1.2.5 Aanvliegen
Bij het eerste gedeelte van de landing, waarbij het vliegtuig nog in de lucht hangt is er geen
verschil te merken met het vorige model dat we aangenomen hadden.
1.2.6 Remmen op de motoren
In het tweede gedeelte van de landing wordt er enkel geremd door middel van de
straalomkeerders en niet door de remmen van het vliegtuig te gebruiken.
FVx
FD
Flift
FP
Fvoor
FAx
FG
Fachter
Fvoor
Fachter
FVx
FWv
FAx
ωvoor
ωachter1
ωachter2
FWa1
FWa2
Fvoor
Fachter1
Fachter2
Figuur 1.7 Krachten als het vliegtuig remt op de motoren
Bij deze figuur kunnen we enkele veronderstellingen maken
Ten eerste gaan we ervan uit dat alle wielen even groot zijn. Dit heeft als gevolg dat
voor  achter1  achter 2
We veronderstellen ook dat de kracht op de achterwielen gelijkmatig verdeeld is omdat de
aansluitstang in het midden staat
F
Fachter1  Fachter 2  achter
2
Hieruit volgt dat de wrijvingskrachten
 Fachter
FWa 2  FWa1   Fachter1   Fachter 2 
2
F ma
FD  FWv  FVoor  FP  FWa1  FWa 2  FG  Fachter1  Fachter 2  FLift  m a
Projectie op de X-as geeft
FD  FWv  FP  FWa1  FWa 2  m a
Projectie op de Y-as geeft
Fvoor  FG  Fachter1  Fachter 2  Flift  0
De momentenvergelijkingen geven
 M achterwiel1  I 
 M voorwiel  I 
FAx l  FWa1 r  FWa 2 r  Fachter 2 2 r  Fachter r  I 
FVx l  FWv r  I 
FAx l  FWa1 r  FWa 2 r  I 
Het verschil tussen deze benadering en onze eerste benadering is dat hier de momenten
vergelijking niet gelijk is aan 0 maar aan het traagheidsmoment. Wanneer we stellen dat de
wielen bijna tegen elkaar staan en dat de kracht gelijk over de 2 wielen verdeeld wordt. Dan
vallen de verticale krachten tegen elkaar weg. FVx en FAx zijn 2 krachten die we op het
vrijgemaakte wiel moeten plaatsen, om de traagheid van het vliegtuig te compenseren.
1.2.7 Remmen op wielen
In het derde gedeelte van de landing wordt er ook op de wielen geremd
FVx
FAx
Fvoor
Fachter
FG
Fvoor
Fachter
FVx
FAx
Mvoor
FWv
Machter1
ωvoor
Machter2
ωachter1
ωachter2
FWa1
FWa2
Fvoor
Fachter1
Figuur 1.8 Krachten als het vliegtuig afgeremd wordt
F ma
FD  FWv  FVoor  FP  FWa1  FWa 2  FG  Fachter1  Fachter 2  FLift  m a
Fachter2
Projectie op de X-as geeft
FD  FWv  FP  FWa1  FWa 2  m a
Projectie op de Y-as geeft
Fvoor  FG  Fachter1  Fachter 2  Flift  0
De momentenvergelijking rond het voorwiel geeft dan het volgende
 M voorwiel  I 
FVx l  FWv rwiel  M rem  I 
M
achterwiel 1
I
FAx l  FWa1 r  FWa 2 r  Fachter 2 2 r  Fachter r  M achter1  M achter 2  I 
FAx l  FWa1 r  FWa 2 r  2 M rem  I 
Hier komt in de momenten vergelijking nog een remmoment bij. In onze eerste benadering
hadden we gewoon gesteld dat er een extra remkracht bij kwam. De FAx en FVx komen van de
traagheid van het vliegtuig.
1.2.8 Stilstand
Het laatste gedeelte van de landing. Dit is wanneer het vliegtuig al stil staat blijft ook
hetzelfde zowel bij de eerste als bij deze benadering.
1.3 Verschil tussen de benaderingen.
Omdat de wielen mee in rekening gebracht worden zal de kracht die de straalomkeerders
leveren kleiner moet zijn. Dit is te zien uit onderstaande figuur 1.8. Wanneer de
propulsiekracht negatief wordt wil dit fysisch zeggen dat de motoren in de andere richting
gebruikt worden.
800000
600000
200000
Tweede model
Eerste Model
-200000
-400000
-600000
Tijd [s]
Figuur 1.9 Propulsiekracht
39
36
33
30
27
24
21
18
15
9
12
6
3
0
0
Propulsiekracht [N]
400000
Wanneer we nu een kleine controle uitvoeren van de formules. Dan moet in de Y-richting de
som van de krachten gelijk zijn aan nul. Of alle positieve krachten moeten gelijk zijn aan het
gewicht van het vliegtuig.
2000000
1800000
1600000
Kracht [N]
1400000
Fachter2
1200000
Fachter1
1000000
Fvoor
800000
Lift
600000
400000
200000
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0
Tijd [s]
Figuur 1.10 Horizontale krachten
Uit figuur 1.9 kunnen we afleiden dat dit krachten evenwicht klopt.
2 De stoot bij het landen
Om het behoud van impuls te illustreren tijdens het landen, hebben we gekozen om de stoot te
berekenen, wanneer het vliegtuig de landingsbaan raakt. We bekijken als beginsituatie het
moment dat het vliegtuig nog juist niet de landingsbaan raakt. En als eindsituatie het moment
dat het vliegtuig juist de landingsbaan geraakt heeft.
N
i 1, n
'
i
 p2  p1
p2  m vC 2 en p1  m vC1
We berekenen dus eerst p1 en p2. Hierbij blijft de massa constant omdat we, het vliegtuig
beschouwen in een klein tijdsinterval. Hierdoor is er bijna geen brandstofverbruik en blijft de
massa constant. De snelheid v daar in tegen is wel constant in grootte maar veranderd van
richting. Omdat het vliegtuig een onvervormbaar voorwerp is bekijken we het impulsmoment
vanuit het massacentrum.
v2
v1
Figuur 2.1 Snelheid bij landen van het vliegtuig
Wanneer we nu stellen dat de landingshoek ongeveer 10° is. Dan kunnen we de volgende
berekeningen maken.
p2   m v e x
p1   m v cos(10) ex  m v sin(10) e y
p2  p1   m v ex  ( m v cos(10) ex  m v sin(10) e y )
p2  p1  m v (cos(10)  1) ex  m v sin(10) e y
Het impulsverschil moet volgens de wet van behoud van impuls gelijk zijn aan de stoot. Deze
stoot is afkomstig van het raken van de wielen van het vliegtuig met de grond.
N
'
i
 p2  p1  m v (cos(10) 1) ex  m v sin(10) e y
N
'
i
 m v (cos(10) 1) ex  m v sin(10) e y
i 1, n
i 1, n
N x  m v (cos(10) 1)
N y  m v sin(10)
We kunnen deze stoot nu opdelen in 2 componenten, volgens de X en Y as en v is de snelheid
van het massacentrum. Dit heeft als gevolg dat er een betere benadering van de landing van
een vliegtuig in acht kan genomen worden met dezelfde berekeningen. Het enigste waar we
dan wel vanuit gaan is dat de rolbeweging, die gemaakt wordt tijdens het landen, gebeurd
rond het massacentrum.
Er heerst behoud van impuls en impulsmoment wanneer het vliegtuig afremt op de
landingsbaan.
dL
0
dt
Hieruit volgt dat
dL
 M C Fi '  dt  0
FD
FWv
FP F
Wa
Fvoor
FG
Flift
Fachter
Figuur 2.2 Krachten op het vliegtuig juist na Touchdown
FD X rD  FWv X rWv  Fvoor X rvoor  FP X rP  FWa X rWa  FG X rG  Fachter X rachter  Flift X rlidt  0
Al de stralen die hierin verwerkt zijn, is de afstand tussen het massacentrum en het
aangrijpingspunt van de vector. Deze zijn in een vector uitgedrukt.
3 Energiewet – tweede behoudswet
In dit deel zal de energiewet in integraalvorm toegepast worden op een materieel systeem (het
vliegtuig). Als toestand één nemen we het vliegtuig dat tijdens het landen op een hoogte z 1
van 15.25 m (50 ft) en aan een snelheid van 244 km/h (1.3 Vs) vliegt. Als tweede toestand z2
wordt de toestand genomen waarbij het vliegtuig aan een snelheid van 235 km/h (1.25 Vs) en
een hoogte van 3.3 m vliegt zodat de landingsbaan juist niet aangeraakt wordt met de voorste
wielen. Figuur 3.1 geeft het veronderstelde landingstraject en de bijhorende krachten weer.
Fl : lift-kracht
Fd : drag-kracht
Fp : propulsie-kracht
G : zwaartekracht
α : landingshoek = 5 °
Figuur 3.1 Landingsbaan van het vliegtuig
Het geval dat hier onderzocht wordt is duidelijk een niet volledig conservatief systeem. Naast
de potentiaalkracht (de zwaartekracht) werken er namelijk nog vreemde krachten op het
vliegtuig in. De energiewet voor dit systeem wordt als gevolg op de volgende manier
geformuleerd:
T2  V2   T1  V1   U '
2
2
mvc
m v'
 i i
T1,2: kinetische energie van respectievelijk toestand 1 en 2: T 
2
2
(verondersteld wordt dat de wielen niet draaien zodat de laatste termen nul worden)
V1,2:
U’:
is een potentiaalfunctie, de functie die bij de zwaartekracht hoort gaat als volgt:
V  mgz  K
arbeid geleverd door de vreemde krachten
Het is een goede benadering om de kinetische energie in de twee toestanden gelijk te nemen
omdat de tijd tussen de twee toestanden klein is.
Als de massa ‘m’ van het vliegtuig tijdens het landen gelijk is aan 181982 kg (maximaal
toegelaten landingsmassa) dan zal:
V1  181982  9.8115.25  K  27224962  K
en
V2  181982  9.81 3.3  K  5891303  K
De arbeid geleverd door de vreemde krachten wordt als volgt berekend:
2 
2 
2 
2 




U '    Fi  dri   Fd  drd   Fl  drl   F p  drp
1
1
1
1
met:
2
2


2
 Fd  drd   Fd  ds  cos    k  v  ds  k  v²  s2  s1 
2

1
1
1
De drag-kracht wordt evenredig verondersteld met vlanding² waarbij de
evenredigheidfactor (k-factor) ,conform de literatuur, gelijk gesteld wordt aan 125.7.
Voor v wordt de gemiddelde snelheid 66.66 m/s (240 km/h) genomen. De grote van s
is gelijk aan die van r. Zo bekomt men uit de driehoeksmeetkunde: s1  175 m en
s2  40 m.
2 

 Fd  drd  k  v²  s2  s1   125.7  66.66²  35  75420 kJ
1
  2
 Fl  drl   Fl  ds  cos   0 J (vectoren staan loodrecht op elkaar)
2

1
1
2


F

d
r

 p p  Fp  ds  cos   Fp  gem  s 2  s1   Fp  gem  135
2

1
1
De energievergelijking krijgt dus deze vorm:
5891303  27224962  75420000  Fp  gem   45
Waaruit de gemiddelde propulsiekracht tijdens het landen kan berekend worden:
Fp ( gem) 
m  g  z 2  z1 
5891303  27224962  75420000
 k  v² 
 716694 N
s2  s1 
 135
BESLUIT:
Nu kan de gemiddelde propulsie-kracht en -arbeid tijdens het landen in functie van de
landingshoek en de massa uitgezet worden (zie figuur 3.2, 3.3 en 3.4).
Hieruit blijkt dat hoewel de propulsiekracht stijgt bij toenemende landingshoek, de te leveren
arbeid door deze kracht spectaculair daalt bij toenemende hoek.
Gemiddelde propulsiekracht i.f.v. de landingshoek
2500
2300
2100
1900
1700
kN
1500
1300
1100
900
700
500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
landingshoek [°]
Figuur 3.2 Grafiek propulsiekracht
Geleverde arbeid door propulsiekracht i.f.v. de landingshoek
0
20
-50000 0
40
60
80
100
-100000
-150000
kW -200000
-250000
-300000
-350000
-400000
-450000
landingshoek [°]
Figuur 3.3 Grafiek van de arbeid door de propulsiekracht
Gemiddelde propulsiekracht i.f.v. de massa (landingshoek = 5°)
720
710
700
690
kN
680
670
660
650
640
100
110
120
130
140
150
160
170
massa [ton]
Figuur 3.4 Grafiek van de propulsiekracht
180
190
200
4 Intrekken van het landingsgestel
4.1 Kinematica
In dit deel zal de ogenblikkelijke snelheid van een punt P op de band berekend worden
wanneer het landingsgestel zijdelings wordt ingeklapt bij het opstijgen. Hierbij draait het
achterwiel nog op de snelheid van het opstijgen, en is er de rolbeweging ω 3 van het opstijgen.
Enkel de situatie waarbij de hoek tussen het landingsgestel en de horizontale 45° is, wordt
onderzocht. Ook wordt verondersteld dat de rolbeweging pas begint juist voor deze hoek van
45° bereikt is.
De verschillende snelheden die hierbij horen zijn in figuur 4.1 en 4.2 weergegeven.
vc : translatiesnelheid van het zwaartepunt = 240 km/h = 66.67 m/s
ω1 : rotatiesnelheid van het inklappen = 0.32 rad/s
ω2 : rotatiesnelheid van de wielen
ω3: rotatiesnelheid van het vliegtuig om zijn zwaartepunt = 0.1 rad/s
Figuur 4.1 Vooraanzicht vliegtuig
Figuur 4.2 Zijaanzicht vliegtuig
Er wordt een assenkruis (X’Y’Z’) vast aan het vliegtuig bevestigd. XYZ zit vast aan de grond.
In het standpunt van de bewegende waarnemer (vast gemaakt aan het assenkruis X’Y’Z’)
voert het achterwiel een rotatie uit rond O1 en O2. Volgens de volgende formule:




vrel   2  rwiel  1  O1 P
Het assenkruis is een bewegend assenkruis. Het heeft de snelheid van het vliegtuig en het



ondervind een rotatie. v s  vc  3  CP
Wanneer we nu de snelheid van een punt op het wiel willen weten hoeven we enkel de
sleepsnelheid en de relatieve snelheid op te tellen.

 
v p  v s  v rel






v p  vc   3  CP   2  rwiel  1  O1 P
De verschillende termen zijn:

 vc :
 vc = 66.67 m/s



 vc  vc  k  66.67  k


 2  rwiel :
 Als de wrijving door de lucht en in de lagers
verwaarloosd wordt en verondersteld wordt dat de
wielen rollen zonder glijden kan ω2 geschreven
v
66,67
worden als:  2  m 
 95.24rad / s , met
rwiel
0.7
vm de snelheid waarmee het vliegtuig de
landingsbaan verlaat.


 richting: de richting van 2  rwiel is weergegeven
Figuur 4.3 Vergroting Wiel
in figuur 4.3.
 grootte (volgens het assenkruis XYZ vast aan het
vliegtuig):



i
j
k




 2  rwiel   2  cos 45  2  cos 45 0  2   2  r  cos 45²  k  66.67  k
 r  cos 45

r  cos 45
0

1  O1 P :
 ω1 = 0.32 rad/s en O1P = 2.8 m (3.5-0.7)


 richting: de richting van 2  rwiel is weergegeven
in figuur 4.5.
 grootte (we veronderstellen dat punt P in het
verlengde van de as ligt zoals in figuur 4.4):

1  O1 P 

i

j

k
0
0
1 
O1 P  cos 45  O1 P  cos 45




Figuur 4.4 Vergroting wiel
Figuur 4
0


1  O1 P  cos 45  i  O1 P  cos 45  j  0.63  i  0.63  j


 3  CP :



 ω3 = 0.1 rad/s en CP  3.34  i  2  j  6.3  k met CP = 7.4 m
 grootte:

i

j

k
3  CP  3
0
0

 3.34  2  6.3






 3  6.3  j  2  k  0.63  j  0.2  k
De formule van de ogenblikkelijke snelheid wordt:




v p  0.63  i  1.26  j  133.5  k met v p  133.5 m/s
Doordat de hoeksnelheden ω1 en ω2 zo klein zijn, is hun
inbreng in de ogenblikkelijke snelheid nihil. De richting
van deze snelheid valt daarom benaderend samen met
de Z-as (zie figuur 4.5)
Figuur 4.5 Inklappen van het wiel
De versnelling volgt als de afgeleide van de versnelling naar de tijd:

dv

ap 
dt





dvc d (3  CP) d ( 2  rwiel ) d (1  O1 P)

ap 



dt
dt
dt
dt





 d CP d2 
 drwiel d1
 dO P
dvc d3

ap 

 CP  3 

 rwiel  2 

 O1 P  1  1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt

 d CP  
 drwiel 
 dO P
 

a p  ac   3  CP  3 
  2  rwiel   2 
 1  O1 P  1  1
dt
dt
dt
Hierin zien we nu 3 verschillende componenten zitten, namelijk de sleepversnelling, de
relatieve versnelling en een zogenaamde Coriolis versnelling.




a p  asleep  arel  acoriolis



a sleep  ac   3  CP
 


arel   2  rwiel  1  O1 P

 d CP  drwiel  d O1 P

acoriolis  3 
 2 
 1 
dt
dt
dt
Als alle hoekversnellingen en ac nul verondersteld worden, wordt de ogenblikkelijke
versnelling van punt P:

ap

d CP  drwiel  d O1 P
 3 
 2 
 1 
dt
dt
dt

4.2 Dynamica
In dit deel worden de krachten berekend op het landingsgestel tijdens het intrekken van de
wielen bij het opstijgen onder een constante hoek. De wrijvingskrachten op het landingsgestel
worden echter niet in rekening gebracht. De hoekversnellingen worden nul verondersteld en
O2 valt samen met het massacentrum van de wielen. Hoewel het landingsgestel van dit type
vliegtuig uit 4 wielen bestaat, worden voor de eenvoud enkel 2 wielen verondersteld. De
krachten worden m.b.v. de bewegingsvergelijkingen voor de algemene driedimensionale
beweging uitgerekend.
De richting van de snelheden die bij deze handeling horen zijn weergegeven in figuur 4.6.
De grootte van de snelheden zijn dezelfde als in figuur 4.1 en 4.2.
Figuur 4.6 Intrekken landingsstel

Wiel vrijmaken:
Momentenvergelijkingen:
In figuur 4.7 is het vrijgemaakte wiel te zien met alle
hoeksnelheden en momenten werkend rond het x’y’z’assenkruis. Dit assenkruis is een centraal
hoofdassenkruis dat voor de eenvoudigheid van de
berekeningen niet mee roteert met ω2.
De positieve reactiemomenten rond de x’, y’ en z’-as
zijn niet weergegeven om de tekening overzichtelijk te
houden.
Figuur 4.7 Vrijgemaakt wiel
Aangezien het x’y’z’-assenkruis niet vast aan het voorwerp bevestigt is, is het gebruik
van de dynamische vergelijkingen van Euler uitgesloten.
Als basisvergelijking wordt dus vgl. 7-34 genomen:


 dLo  dLo 
 
 M o Fi  dt   dt     Lo

 rel
met:
m2  r ²

Lx'  I x 'x '   x'  4  0  0


m  r²
 2
 Lo   L y '  I y ' y '   y '  2
2

 L  I    m2  r ²  
z 'z '
z'
1
 z '
4

 dLo
 
 dt

  0 (relatieve verandering)

 rel
 
 
   Lo (sleepverandering) met   1

i
 
  Lo  0

j

k
0
1  1   2 
0 Ly'
Lz '
m2  r ² 
i
2
zodat:
M Ox'  1  2 
M oy '  0
m2  r ²
 M1
2
M oz '  0
Krachtenvergelijkingen:
In figuur 4.8 is het krachtenevenwicht van het wiel weergegeven. De reactiekracht in
de z-richting is nul omdat de versnelling ‘an‘ en ‘F2‘ in het xy-vlak liggen.
‘l’ is de lengte van de as tussen ‘O1’ en ‘O2’ en
‘an’ is de middelpuntzoekende versnelling van
O2 t.g.v. de cirkelvormige baan en is gelijk aan
v2 ²
.
l
Figuur 4.8 Krachten op het wiel


F
 i  m2  a c

v2 ²
 cos 
l

F
 m2  a x  RH 2  m2  an  cos  m2 

F
v ²

 m2  a y   F2  RV 2  m2  a n  sin   RV 2  m2   2  sin   g 
 l

x
y
As vrijmaken:
Momentenvergelijkingen:
Alle momenten rond het x’y’z’-assenkruis
zijn in figuur 4.9 weergegeven
uitgezonderd de reactiemomenten rond
respectievelijk de x’-as (M2), de y’-as (M3)
en de z’-as (M4).
Figuur 4.9 Krachten op verbindingsstaaf
Doordat x’y’z’ een hoofdassenstelsel vast aan het voorwerp is, kunnen de dynamische
vergelijkingen van Euler hier wel gebruikt worden:
M 2  M 1  M Ox'  I ox' x '   x '  I oz ' z '  I oy ' y '    z '   y '  0
M 3  M Oy '  I oy ' y '   y '  I ox' x '  I oz ' z '    x '   y '  0
M 4  F1  e  RH 2  f  RV 2  d  M Oz '  I oz ' z '   z '  I oy ' y '  I ox' x '    y '   x '  0
 M3  0
m2  r ²
 M1
2
 M 4  F1  e  RH 2  f  RV 2  d
 M 2  1  2 
v2 ²
v ²

 cos   m2  2  sin   g   d
l
 l

 m1  g  e  f  m2  1 ²  l  cos  m2 1 ²  l  sin   g   d
 m1  g  e  f  m2 
l

e

 cos 

2

met:  d  l  cos 
 f  l  sin 


1
 M 4   m1  g  l  cos   l  sin   m2  1 ²  l  cos 
2
 m2 1 ²  l  sin   g   l  cos
Krachtenvergelijkingen:
In figuur 4.10 is het krachtenevenwicht van de as weergegeven. De reactiekracht in de
z-richting is nul omdat de versnelling in het xy-vlak plaatsvindt.
Figuur 4.10 Krachten op verbindingsstaaf


 F i  m1  ac

F
x
 m1  a x  RH 1  RH 2  m1  an  cos   m1 
2  v1 ²
 cos 
l
1
m

 RH 1  m1   1 ²  l  cos   m2  1 ²  l  cos   1 ²  l  cos    1  m2 
2
 2


F
y
 m1  a y  RV 2  F1  RV 1  m1  an  sin 
2  v1 ²
v ²

 RV 1  m2   2  sin   g   m1  g  m1 
sin 
l
 l

 ² l
 m2  1 ²  l  sin   g   m1  g  m1  1 sin 
2

Besluit:
Figuur 4.11 Krachten op aansluitpunt vliegtuig
 M x  M 2 
m2  r ²
 1   2
2
1
 m1  g  l  cos   l  sin   m2  1 ²  l  cos 
2
m

 m2 1 ²  l  sin   g   l  cos   g  l  cos    1  m2 
 2

 Mz  M4 
m

 RH   RH 1  1 ²  l  cos    1  m2 
 2

 RV   RV 1  m2  1 ²  l  sin   g   m1  g  m1 
1 ²  l
2
sin 
Met de verzamelde gegevens die in tabel 1 weergegeven zijn, kunnen de gevonden reactiemomenten en -krachten uitgezet worden i.f.v. de openingshoek θ .
w1 [rad/s]
0,32
w2 [rad/s]
95,24
m1 [kg]
500
m2 [kg]
200
l [m]
3,5
g [m/s²]
9,81
r [m]
0,7
Tabel 1
Het effect van sneller of trager de wielen in te trekken, is ook gesimuleerd door de reactiekrachten en -momenten ook weer te geven i.f.v. ω1 voor θ = 45°.
Reactie-krachten en –momenten voor ω1 = 0.32 rad/s i.f.v. θ
Horizontale reactiekracht
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
N
Nm
Moment rond x-as
0
20
40
60
80
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
100
20
40
N
Nm
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
40
60
hoek [°]
100
80
100
Verticale reactiekracht
Moment rond z-as
20
80
hoek [°]
hoek [°]
0
60
80
100
7040
7020
7000
6980
6960
6940
6920
6900
6880
6860
6840
0
20
40
60
hoek [°]
Reactie-krachten en –momenten voor θ = 45° i.f.v. ω1
Horizontale reactiekracht
10000
5000
8000
4000
6000
3000
N
Nm
Moment rond x-as
4000
2000
2000
1000
0
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
0,5
hoeksnelheid [rad/s]
1,5
2
2,5
2
2,5
hoeksnelheid [rad/s]
Moment rond z-as
Verticale reactiekracht
15000
11800
13000
10800
11000
9800
N
Nm
1
9000
8800
7000
7800
5000
6800
0
0,5
1
1,5
hoeksnelheid [rad/s]
2
2,5
0
0,5
1
1,5
hoeksnelheid [rad/s]
5 Virtuele Arbeid
Bewegingsrichting vliegtuig
ω
Flucht
FG
Figuur 5.1 Krachten op het voorwiel tijdens het uitklappen
We zijn op zoek naar het moment dat de motor moet leveren om het voorwiel uitgeklapt te
krijgen. De krachten die erop werken zijn het gewicht, de traagheidskrachten en de
luchtweerstand.
In dit systeem is er slechts één vrijheidsgraad namelijk de hoek waaronder het wiel staat.
Dit is onze veralgemeende coördinaat θ. We beschouwen de krachten die op het systeem
werken constant.
n
mv
T  i i
2
i 1
In dit geval werken we met poolcoördinaten dus vi2  vir2  vi2
.
(mwiel l 2 
mstaaf l 2
. 2
)
(mwiel 
mstaaf
. 2
)l2 
mwiel (l  ) I 
3
3



2
2
2
2
Als referentie voor de potentiaal krachten gebruiken we de aansluiting van de stang aan het
vliegtuig. En de Y-as staat naar boven.
mstaaf
V  VG  mwiel g ywiel  mstaaf g ystaaf   g l sin  (mwiel 
)
2
Hieruit volgt de Lagrange vergelijking
T
2
2
- 25 -
L  T V
L
(mwiel 
mstaaf
(mwiel 
mstaaf
3
2
. 2
)l 
2

mstaaf

   g l sin   mwiel 
2





. 2
)l2 
mstaaf 

3
 g l sin   mwiel 

2
2 

Nu moeten we enkel de niet conservatieve krachten nog veralgemenen.
r
Q    Fi i  Flucht l d  M d   M d
L


Q'  Flucht l  M  FW cos (   ) l  M
2
De eerste component valt uit deze vergelijking omdat de lengte van de staaf niet veranderd als
de hoek verandert.
Als we nu de stelling van Lagrange toepassen. Dit is een systeem van de derde soort omdat er
conservatieve (het gewicht, …) en niet conservatieve (luchtweerstand, moment) krachten
aanwezig zijn.
d L  L
 Q 'j
 . 


dt     
mstaaf 2 .
L

(
m

)l 
wiel
.
3

waarin
mstaaf 2 ..
d L 
)l 
 .   (mwiel 
dt    
3
mstaaf 

L
 g l cos   mwiel 


2 

Als we dit nu terug in de vergelijking van Lagrange plaatsen krijgen we een uitdrukking voor
het moment dat de motor moet leveren.
d L  L
 Q 'j
 . 
dt     
mstaaf 2 ..
mstaaf 


(mwiel 
) l   g l cos   mwiel 
  FW cos (   ) l  M
3
2 
2

mstaaf 


M  FW cos (   ) l  g l cos   mwiel 

2
2 

We zien dat het tegenhoudt moment daalt naarmate het landingsgestel verder uitgeklapt is. Dit
is normaal want het moment ten gevolge van de zwaartekracht word kleiner omdat de
krachtarm kleiner wordt.
- 26 -