Tentamen Biomechanica - Technische Universiteit Eindhoven

Tentamen Biomechanica
woensdag 18 juni 2008, 9.00 - 12.00 u
Code: 8W020, BMT 1.3
Faculteit Biomedische Technologie
Technische Universiteit Eindhoven
Dit examen bestaat uit 5 opgaven. Het aantal punten dat behaald kan worden
met een opgave staat bij ieder opgave aangegeven. Bij het examen behoort een
formuleblad, dat mag worden gebruikt bij de uitwerking.
vraagstuk 1: 15 punten
Beschouw een Cartesisch xyz-cordinatenstelsel, dat wordt opgespannen met de
orthonormale basisvectoren {~ex , ~ey , ~ez }.
(a) Binnen dit stelsel wordt een vlak opgespannen door de vectoren ~a en ~b,
gedefinieerd als:
~a =
~b =
16~ey − 15~ex
20~ez − 15~ex
Bereken de normaal op dit vlak (vector met lengte 1 die loodrecht op het
vlak staat). Waarom is de oplossing niet eenduidig?
(b) Verder zijn de volgende vectoren ~b, ~c en d~ gedefinieerd:
~c =
d~ =
~e
3~ex + 2~ey
5~ex − ~ez
= ~ex + ~ez
Druk ~cd~ · ~e uit in de basisvectoren {~ex , ~ey , ~ez }, waarbij ~cd~ het dyadisch
product van de vectoren ~c en d~ is.
1
vraagstuk 2: 15 punten
Een plank met lengte 6a is in punt A scharnierend aan een vaste muur bevestigd.
In het punt B, op een afstand 3a van A, wordt de plank horizontaal gehouden
met een kabel die bevestigd is in punt C. De massa van de plank is MP (zie
figuur). Kabel en plank mogen star worden verondersteld. Op de plank wordt
een kist gezet met een lengte 2a en een massa MK . De voorkant van de kist
raakt de rechterkant van de plank. De zwaartekrachtversnelling is g.
C
4a
A
B
a
3a
2a
Figure 1:
(a) Teken een vrije-lichaams-diagram van de constructie met kabel, door deze
bij de punten A en C los te maken van de muur.
(b) Bereken de reactiekrachten bij punt A en C.
2
vraagstuk 3: 30 punten
Een turner hangt met de armen gespreid en de benen horizontaal in de ringen.
De turner hangt stil (zie figuur). De totale lichaamsmassa van de turner is ML .
De massa van de arm is MA . De totale lengte van zijn arm, van het gewricht in
de schouder tot de hand is a. De zwaartekrachtversnelling is g. Om een ruwe
schatting te maken welke krachten en momenten moeten worden opgevangen
door de schouderspieren van de turner wordt een eenvoudig model van de arm
gemaakt in de vorm van een ingeklemde balk waarop een verticale kracht aan
het einde wordt uitgeoefend.
F
S
a
(a) Hoe groot is de kracht F .
(b) Bepaal de krachten en momenten die in S werken op de arm. Veronderstel
daarbij dat het zwaartepunt van de arm in het midden ligt, dus op een
afstand 21 a van het punt S.
Om in balans te blijven met de benen horizontaal moet de turner licht vooroverhellen, waardoor de romp een klein hoek α met de verticaal maakt. Om deze
hoek te schatten maken we het model dat gegeven is in onderstaande figuur,
van twee star met elkaar verbonden balken die met een scharnier bevestigd zijn
in het punt R. De lengte van de benen is d de lengte van de romp is c. De massa
van de romp is MR met het zwaartepunt in het midden. De massa van de benen
is MB , eveneens met het zwaartepunt in het midden.
R
c
α
x
d
(c) Ga uit van een evenwichtssituatie waarbij de benen horizontaal zijn en
bereken op basis van momentenevenwicht rondom het punt R de daarbij
behorende hoek α als functie van MB , MR , c en d.
3
vraagstuk 4: 20 punten
Om de mechanische eigenschappen van biologische weefsels te bepalen wordt
veel gebruik gemaakt van een rheometer (zie figuur). Daarbij wordt een stukje
weefsel in de vorm van een cilindrisch schijfje tussen twee platen geklemd. Vervolgens wordt de bovenste plaat gedraaid, waardoor het proefstuk sterk van
vorm verandert (afschuift) en wordt het moment, dat daarbij wordt overgedragen op de de onderste plaat, gemeten. Omdat de vervorming hierbij volledig
bepaald wordt door de geometrie en niet door het materiaalgedrag, noemt men
dit een viscometrische vervorming en is uit de hoekverdraaiing samen met het
gemeten moment het materiaalgedrag af te leiden. Een onderzoekster heeft
Tekeningen van Marion Geerligs
(a)
(b)
op deze wijze de eigenschappen van vet bepaald. Ofschoon de afleiding niet
helemaal triviaal is voor een plaat/plaat geometrie kan uiteindelijk een relatie
worden afgeleid tussen de afschuifkracht Fτ op het proefstuk en de afschuifrek
γ. Bij kleine rekken kan het gedrag worden beschreven met een lineair viscoelastisch model volgens:
Z t
G(t − ξ) γ̇(ξ) dξ ,
Fτ (t) =
ξ=−∞
waarbij G(t) de relaxatiefunctie is en Fτ een afschuifkracht met de dimensie
[N] en γ̇ de tijdsafgeleide van de rek [s−1 ]. Uit de experimenten is de volgende
relaxatiefunctie afgeleid:
G(t) = 10 + 5 e−t/5
uitgedrukt in [kN]
Aan het vet wordt een rek opgelegd als aangeven in figuur (b). Gebruik makend
van de Heavyside functie H(t) is dit te beschrijven als:
γ(t) = 0.001 [H(t) − H(t − 10)]
(a) Geef een uitdrukking voor de kracht Fτ (t) als gevolg van deze opgelegde
rek als functie van de tijd voor t < 10 [s].
(b) Hoe groot is de kracht op t = 30 [s]?
(c) Hoe groot is de kracht direct nadat de rek is weggenomen, dus net na
t = 10 [s]?
4
vraagstuk 5: 20 punten
Een onderzoeker wil de eigenschappen van een stukje hartklepmateriaal meten
met behulp van een uni-axiale trekproef (zie figuur). Een langwerpig stripje
wordt uit een klep gesneden en ingeklemd in een trekbank. Daarbij blijkt dat het
stripje in het midden (punt M) wat smaller is dan bij de inklemming (punt K).
De onderzoeker besluit een model te maken. In verband met symmetrie wordt
K
M
F
h0
x=0
x=ℓ
slechts de helft van het proefstuk gemodelleerd. Dit leidt tot het model van een
proefstuk met een rechthoekig dwarsdoorsnede, dikte d en een plaatsafhankelijke
hoogte h(x), waarbij:
h(x) = h0 (1 +
αx
),
ℓ
met h0 en α constanten. Het materiaal wordt lineair elastisch verondersteld
met een Young’s modulus E. De lengte van het (halve) proefstuk is ℓ. Aan het
uiteinde, bij punt x = ℓ werkt een externe kracht F .
(a) Geef de differentiaalvergelijking + randvoorwaarden waarmee de verplaatsing u(x) van ieder punt van het proefstukje kan worden berekend.
(b) Waar is de spanning in het materiaal het grootst?
(c) Hoe groot is de verplaatsing van het punt x = ℓ?
(d) Waar vind je de grootste rek in het materiaal en hoe groot is die rek?
5
Tentamen Biomechanica (Answers)
wednesday 18th June 2008, 9.00 - 12.00 u
Code: 8W020, BMT 1.3
Faculteit Biomedische Technologie
Technische Universiteit Eindhoven
Problem 1
(a)
~n = 0.64~ex + 0.6~ey + 0.48~ez
(b)
~b~c · d~ = 12~ex + 8~ey
Problem 2
(a) See figure.
VC
HC
4a
5a
VA
HA
a
3a
gMP
a
a
gMK
(b)
HA
VA
HC
VC
= −
3
5
MP + MK
4
4
2
= − MK g
3
3
5
=
MP + MK g
4
4
5
=
MP + MH g
3
1
g
Problem 3
(a)
1
gML
2
F =
(b) See figure
gML
VS
HS
2a
MS
gMA
HS
=
1
= g(MA − ML )
2
1
ga(MA − ML )
=
2
VS
MS
(c)
0
sin(α) =
dMB
cMR + 2cMB
Problem 4
10 + 5e−t/5
(a)
Fτ = 0.001
(b)
Fτ (t = 10+) = −4.32 [N]
(c)
Fτ (t = 30) = −0.0796 [N]
[kN]
Problem 5
(a)
d
dx
EA
du
dx
=0,
with A = dh0 (1 + αx/ℓ).
The boundary conditions are: u(0) = 0 and EA du
dx |x=ℓ = 0.
(b) At x = 0, because the cross section is smallest at that point.
(c)
u(x) =
(d)
ε=
Fℓ
αx
ln(1 +
)
α d h0 E
ℓ
F
d h0 E
2
Formuleblad behorende bij het vak mechanica voor BMT 8W020
Formules bij Hoofdstuk 1: Vector rekenen
Inproduct (inner product):
a.b = a b cos (ϕ )
(1)
Uitproduct (vector product):
c = a × b ; c = a b sin (ϕ )
(2)
Tripelproduct (triple product):
a ×b ⋅c = a ×b ⋅c
(
)
(3)
Dyadisch product (dyadic product):
ab ⋅ p = a b ⋅ p
(4)
Bewerkingen waarbij een vectorbasis wordt gebruikt
Inproduct (inner product):
a ⋅ b = ax bx + a y by + a z bz
(5)
(
)
Uitproduct (vector product)
a × b = a y bz − a z by ex + ( a z bx − a xbz ) e y + a xby − a y bx ez
(
)
(
)
(6)
Formules bij Hoofdstuk 2: Krachten en momenten
De component Ft van een kracht F in de richting van een eenheidsvector e wordt
gegeven door:
Ft = F ⋅ e e
(7)
(
)
Moment bepalen t.o.v. punt P, terwijl kracht F aangrijpt in Q:
M = xQ − xP × F
(
)
(8)
Formules bij Hoofdstuk 4: Mechanisch gedrag van vezels
Kracht-verlenging relatie voor een vezel 1-D:
l

F = c  − 1 = c ( λ − 1)
 l0 
(9)
Kracht-verlenging relatie voor een spiervezel 1-D:
l

λ

F = c  − 1 = c  − 1
 lc 
 λc 
Kracht-verlenging relatie voor een vezel in 3-D bij kleine verplaatsingen:
a ⋅ ( uB − u A ) F =c
a
l0
(10)
(11)
Formules bij Hoofdstuk 5: Tijdsafhankelijk gedrag van vezels
Kracht-rek relatie voor een veer:
F = cε
(12)
Kracht-reksnelheid relatie voor een demper
F = cη εɺ
(13)
Boltzmann integraal bij kruip:
t
∫
ε (t ) =
J (t − ξ ) Fɺ (ξ ) d ξ
(14)
ξ =−∞
Boltzmann integraal bij relaxatie:
t
F (t ) =
∫
G (t − ξ )εɺ (ξ ) d ξ
(15)
ξ =−∞
Differentiaalvergelijking voor een Maxwell model:
c
1
Fɺ + F = cεɺ ; τ = η
c
τ
(16)
Differentiaalvergelijking voor een Kelvin-Voigt model:
F 1
= ε + εɺ
cη τ
(17)
Formules bij Hoofdstuk 6: Analyse van een 1-D continuüm
Differentiaalvergelijking voor een inhomogene staaf:
d 
du 
 EA  + q = 0
dx 
dx 
(18)