GETALLEN leerplan D

pla
ar
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
Pr
oe
leerplan D
fex
em
GETALLEN
m.m.v. Björn Carreyn
Cartoons
Dave Vanroye
3
5 en 5
➞ het grondtal is telkens 5
Wetenschappelijke schrijfwijze
2.3
4
(–3)
2
en (–3)
➞ het grondtal is telkens 3
am en an
➞ het grondtal is telkens a
pla
ar
We noemen dit gelijksoortige machten.
We weten nog van vroeger:
3
4
7
5 ·5 =5
a2 · a4 = a6
• grondtal
behouden
• exponenten bij
elkaar optellen
( ) (schrijfwijze
) () ()
1 ) Wetenschappelijke
2
2
3
·
2
3
3
2
3
=
2+3
2
3
=
5
x4 · x9 = x13
Deze schrijfwijze steunt in grote mate op de macht van 10. Ze wordt vooral gebruikt bij het noteren van heel grote
Degetallen
rekenregel
voor gelijk
het product
van
2 gelijksoortige
met natuurlijke
exponente
getallen, heel kleine getallen en
die bijna
zijn aan
nul.
Als de displaymachten
van je rekenmachine
te klein
is
met
gehele
exponenten.
om het grote (of kleine) getal weer te geven, schakelt ook je rekenmachine automatisch naar deze schrijfwijze over.
wetenschappelijke schrijfwijze
Voorbeelden:
–3
4
1
–3 + 4
1
Definities vind je op een
1
5 van
en 5een
= getal
5
= 5 = je
5 door dit getal te schrijven als een product van twee
De wetenschappelijke schrijfwijze
bekom
rode achtergrond,
factoren:
1
-4
1 + (-4)
-3
1
1
methodes staan in een
5 = 3 =
5 ·5 = 5
- de eerste factor is een decimaal getal met één beduidend
cijfer (een cijfer verschillend van nul) voor de
5
125
oranje kader.
-2
3
–2 +3
komma;
2
2
2
2
·
=
=
- de tweede factor is een macht3van 10.3
3
3
fex
em
() () ()
2
1
= p =
p ·p = p
5 ) Macht van een quotiënt
Eigenschappen
p vergelijkingen
Oplossen
van
en vind je op
Voorbeelden:
een groene achtergrond.
vraagstukken.
2
7,296
10 vroeger:
We weten
nog ·van
rekenregel machten 1
4
-6
4 + (-6)
-2
2
3
17
teller en noemer
3
tot de macht
In woorden:
Los de volgende vergelijkingen op:
Geschiedenis van de
verheffen machten met elkaar te vermenigvuldigen,
Om gelijksoortige
behouden we het grondta
a 3x – 17 = –8
2 = 7
f 3 – x –wiskunde
en herkomst van
exponenten op.
4
3 · 10
-5
42 · 16
–8,345
=
= 10
52 0 25
3 6 · 10
a2
a6
= 9
3
b
b
()
()
4
5
3
2
2(x – 1) = 12
b
c
–2(x – 3) = –11
e
2 x –1 = –3 2 – x
g
begrippen.
x – (2 – x) = 7 – x
2 ) Omzetten naar de wetenschappelijke
schrijfwijze
gehele exponenten.
4
( )
( )
In symbolen:
d – x – x = –2
De rekenregel om een quotiënt tot eenammacht
verheffen,
· an =3te
am+n
2x – 1 = 3x – 1
2
3
–x + 2 = 3 – x
i getallen
geldt
reële
5( 0)
–7 met
a isook
eenvoor
reëel
getal
j x+x = 1
2 getalen
3
m en n zijn gehele
h
We stimuleren het gebruik
2 absolute
2
5
25
de
groter dan 1:
Dus: Is Machtige
= -2Descartes
=waarde
2 =
van wiskundesoftware
5
4
5
2
Los de volgende vraagstukken op:
Plaats
de komma
nafilosoof
het eerste
beduidend
cijfer.
Tel hoeveel
plaatsen
je dehet
komma
naar links verschoven hebt.
Het was
de Franse
en wiskundige
René
Descartes
(1596-1650)
die voor
eerst machten
()
-2
-2
2
() ()
-2
2
zoals GeoGebra.
getal
dan één
zijn waarde? plaatsen dat je de komma naar links verVermenigvuldig
metdie
een macht
van 2noteren.
10.a Welk
De exponent
deinderde
10
isvanhet
5 is 5 meer
25 bij
noteerde
zoals
nogvolgt:
steeds
1637
tweeaantal
andere pogingen om
= Hij verbeterde
=
Praktisch
werken
wewij
echternuals
5
2
4
schoof.
b
Op
dit
ogenblik
heb
ik
dubbel
zoveel
CD's
als
mijn
broer.
machten te noteren. De eerste was een Parijse Schot, James Hume, die eenjongste
jaar eerder
5 voorstelde
★
() ()
-3
2 3
Geef ik echter 6 CD's aan hem dan heb ik maar 6 CD's meer dan hem.
om als exponent
cijfer
te gebruiken.
van het verschil tussen
a steeds
b een Romeins
b
Hoeveel
CD's heeft mijnKwestie
broer?
Aangrondtal
het einde van elke
= 3
En geldt dus ook: 2 =
Voorbeelden:
3
III
b
a
a
Pierrevind je een
en exponent duidelijk te zien. Voorbeeld: 6a wordt dan 6a . En dan was er ook de Fransman
paragraaf
3
c Mijn leeftijd vermenigvuldigd met 2 is 4 keer mijn leeftijd gedeeld door 2. Hoe oud ben ik?
= 5,73
· 10
Herigone, 5730
die in 1634
voorstelde
om de exponent
helemaal
nietoplossingen?
de hoogte in te laten gaan.
Bij
hem
Heeft dit vraagstuk
meerdere
samenvatting.
rekenregel machten 5
2
–273,45
=
–2,7345
·
10
3
betekende 6a3 dus 6a . Maar de versie van Descartes haalde het dus. Al gebruikte René ze ook
4
In woorden:
9,4 · 10
niet altijd.94000
Bij een=tweedemacht
schreef hij steeds tweemaal het grondtal. Niet a2, maar wel aa,
3
4 de noemer tot die macht.
Om een quotiënt
tot
een
macht
te
verheffen,
verheffen we zowel de teller als
= je
–1,01253
omdat–1012,53
hij vond dat
toch even· 10
veel karakters diende te schrijven …
0
2 = 2 · 10
In symbolen:
6
Pr
oe
GeoGebra gebruiken om problemen
op te lossen.
a en b zijn reële getallen (a  0, b  0)
()
m
a
am
= m
b Dus: b
5
m is een geheel getal
pictogrammen
komma 1 plaats naar links
10
Gegeven is de volgende tabel. 2
komma 2 plaatsen naar links
10
2
3 TE4ONTHOUDEN
–4
–3
–2
–1
0
1
x
3
komma 3 plaatsen naar links
10
12
10
8
6
4
2
0
–2
–4
l ( x)
We weten nog van vroeger:
4
BETEKENIS
komma 4 plaatsen naar links
10
Is hier sprake van een lineair of een kwadratisch verband?
7
Je
van
een macht enTeken
je kent
de betekenis
de grafiek.
7 de4 definitie
3
2
… kent
… van een macht met negatieve exponent.
2 : 2 =n 4 = 2 = 8
GESCHIEDENIS
•
grondtal
a 2= a · a · a … a
a is een reëel getal en n een natuurlijk getal ( 0 en
 1)
8
behouden
8
6
10 n factoren2
10 : 10
REKENMACHINE
a1 == 10
a 6 = 10 = 100 • aexponenten
is een reëel getal
0
11
van
elkaar
=5 1 3 a is een reëel getal verschillend van 0
11
8a
ICT
5 : 5 -n= 8 1 = 5 = 125
a =5 n aftrekken
a is een reëel getal verschillend van 0 en n is een natuurlijk getal
Oplossen van vergelijkingen en vraagstukken.
a
-n 6
n
n
6
3
a
a : a =a =3 =b a3= b a en b zijn gehele getallen, verschillend van nul en n is een natuurlijk getal
170
an
b a a
2 ) Quotiënt van gelijksoortige machten
6 ) Samenvatting
1
{
•
Probleem 1
56
() ()
•
rekenregel
het quotiënt
van 2 gelijksoortige
machten
JeDe
kent
de regelsvoor
in verband
met machten
(a,b ∈ R0 enm,
n ∈ Z)met natuurlijke exponenten geldt ook voor machten
van
reële getallen
met gehelemachten
exponenten.
product
van gelijksoortige
Om gelijksoortige machten met elkaar te vermenigvuldigen,
pla
ar
V O OR WOORD
@: Een pizonder getal
6
6
13 Gegeveniseenkaarsvan50cm.
Iederuurdatdezekaarsbrandt,wordtze10cmkorter.
a Noteerdelengtevandekaarsinfunctievanhetaantaluurdatzebrandt.
★
fex
em
Bij sommige oefeningen
vind je een sterretje.
Dit betekent dat de
oefeningen van een
moeilijker niveau zijn.
7
Druk op d
en daar kr
Griekse, k
_________________________________________________________________________
ver ko
mt, p
h
ic
H
d
et
s
werd o
7
eed
enis st
b Maakeentabel.
aan
schied
e
br
ld
g
ui
e
kt
Achteraan in dit boek vind
t
e
l
om d
s
d
e
ijb
jkge
van
e loop
t @ geli
in De b
d
d
e
r
@
d
o
in
ij
w
pa
is
h
le
t
n. @ wa
@
je de geschiedenis van @!
en
kte
rde van
Testam
ok maa
eDe waa
t Oude
taat: “O
m
e
m
s
e
h
et
)
g
di
3
d
amete
In
.
:2
n
erd
on. 7
tot ra
t
r benad
e
en (1 K
n rand
e
g
a
t
m
v
in
s
,
O
t
n
d
p
h
de
o
e
8
vraag
K
8 10 el bre men kon haar slec een
t boek
3. In he
om was
k
t
p
;
r
a
w
p
a
er
d
Elk hoofdstuk eindigt met
d
a
ie
(en n
n
d
H
e
5 el_____________________________________________
wet
zee.
c Hebjehiereenlineirverband?
der te
egoten
at
rond en
n
g
d
l
o
a
z
n
a
an
e
s
tw
m
it
lf
oord da
een vaardigheid.
le
Ze
slu
was he
nnen.”
ruit be
ten. Zij
ers
n je hie
l omspa
u
e
ri
m
m
k
0
et
,
3
t
im
e
n
s
me
wa 1 • Reële g e ta l l e n er’ of ‘p
rd va
meter
49,5 cm
iahoofdstuk
een koo
r
d
e
e
e
kent. Tot in d
d
v
:
e
g
9
was
★14 Gegevenisdevolgendetabel.
e el on
l @ dxrie –3 –2 –1
a
0
1
2
3
t
e
bijbels
g
t
de letter p ge
he
Hier wordt uitgelegd
rde van
el.
na2
de waa
was 30 y
r
18
8
0
2
8
18
k
a
e
D
ja
r
e geschieden
t
0
hoe een rekenmachine
r 15
n de om
ngevee
(o
k
10 el e
o
d
o
ij
t
zenden jaren
die
je kan helpen.
g
er in die
emiah,
a Ishiersprakevaneenlineairofeenkwadratischverband?
Nu was
ijn, Neh
b
jk
b
li
·
(–6)
a
e
r
g
n
@
e
e
e
)
ld
s
ste
11 Christu
as. Hij
m de
_________________________________________________________________________
ndige w
n niet o
u
k
is
a van breuk naar decimale notatie
(eneomgekeerd)
w
1 , maar hij ko
en
af. Hij
1 of 3 +
3 aang
1
e
7
3
d
r
n
a
a
a
w
10
–a
tI - 3 0 m u l t i v i e wb Tekendegrafiek.
de kom JE ZIET
+2
2bijbel7heen die als JEtellTYPT
9
en dat
.
3
n
s
e
t
e
eme
oor t
g
d
d
p
n
o
a
it
r
n
t
1 nam,
 

4
5
enter loste d
rand to
d
as, van
wand 7
w
e
d
d
e
n
n
e
r
a
 

1
3
enter el b
dikte v
d
wel de
voor de
g die zo
in
s
s
ls men
lo
A
e op
kon
: 7 kwam men tot d religie tevreden
+–8
e
d
4
p als
a
h
c
s
n
wete
@ in De Poëzie
0.25   enter
.
1
stellen
Boeken met alleen de 500 000
48
0.2525252525   enter
Vaardig rekenen
3 ) Met de rekenmachine
Pr
oe
( )
(2)
werken rond het magische ge
2
:5
bestaat allemaal. Zelfs poëzie
Niets
uit deze uitgave mag
en/of openbaar gemaakt
JE
TYPT
JEverveelvoudigd
ZIET
“Ook u kunt u zeker vergissen,
ISBN: 978 90 4860 924 6 t I - 8 4 Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure,
auteurs.
Kon. Bib.: D/2011/0147/182
enteR
enteR
0,28 MatH 1:  FRaC
Bestelnr.: 94 505 0049
Copyright
by die Keure
Brugge
NUR: 126
worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze
keerd beslissen.”
Wat dit met @
ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming
van de uitgever.
No part of this book may be reproduced in cijfers
any formvan
by print,
elk woord en plaats
photoprint, microfilm or any other means without written permission
krijgt
3,141592653589…!
22
from the publisher.
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die
Keure,
0,484848484848 MatH 1:  FRaC enteR
-48 enteR
Lay-out en opmaak: die Keure
–
Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België5:–
H.R. Brugge 12.225
3
10
@ in Droe
Druk: 2011
Druk: die Keure
b
afronden met de rekenmachine
… om een getal af te ronden op vier cijfers na de komma:
tI-30 multiview
Dels e
erdina
nd l
oneind
ig veel
decim
één pe
riode, h
a
d hi
deze le
uke taa
lspell
schapp
elijk, m
aar we
Toen F
JE TYPT
JE ZIET
pla
ar
komt dit neer op bijna acht rondjes rond de aarde
in één seconde. De ouderdom van het heelal moet
je dan weer uitdrukken in miljarden jaren. Voor
het aantal dimensies heb je voldoende met het
eenvoudige, natuurlijke getal 4. De auteurs van dit boek hebben hun best
gedaan om wiskunde voor te stellen als een boeiende en levendige materie. Veel plezier ermee!
Pr
oe
fex
em
Neen hoor, wiskunde is geen saaie bedoening van
cijfers en lijnen. Het is een exacte wetenschap die
je elke dag nodig hebt. Zo moet je de diameter van ons heelal uitdrukken
in miljard lichtjaar, een eenheid die de afstand
meet dat het licht aflegt in één jaar. Dat licht gaat
ontzettend snel: bijna 300 000 kilometer per
seconde. Als je de omtrek van de aarde berekent
R eële getallen
1
M
achten
2
2.1
2.2
2.3
Gehele exponenten > 40
Rekenregels > 43
Wetenschappelijke schrijfwijze > 56
Vaardigheden:
Toets jezelf > 65
Algebraïsch rekenen
3
3.1Eentermen > 68
3.2 Veeltermen > 70
3.3 Merkwaardige producten > 86
Pr
oe
4 Vraagstukken, evenredigheden
en grafieken
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Vergelijkingen > 96
Vraagstukken > 109
Evenredigheden > 120
Recht en omgekeerd evenredig > 126
Formules, tabellen en grafieken > 137
Algebraïsche verbanden > 149
fex
em
1.1 Rationale getallen > 8
1.2 Irrationale getallen > 15
Vaardigheden:
Vaardig rekenen > 36
pla
ar
I n houd
Vaardigheden:
Wiskunde op het internet > 93
Vaardigheden:
GeoGebra gebruiken om problemen op
te lossen > 170
Oplossingen
Trefwoordenregister
> 172
> 183
pla
ar
bruik maken van getallen. Je zult je dus moeten
behelpen met bizarre omschrijvingen.
Uitgeschreven en voorgelezen?
Bekijk dan aandachtig onderstaande collage en
geef de voorbeelden een plaats in de getallenwereld.
Pr
oe
fex
em
Leven zonder getallen? Dat zou onmogelijk zijn.
Probeer dit groepswerk even uit.
Knutsel een nieuwsbulletin in elkaar. Schrijf het
volledig uit, inclusief politiek nieuws, sportuitslagen, wedstrijdverslagen en een weerbulletin.
Er is echter wel een beperking: je mag geen ge-
1.1
1
2
3
1.2
pla
ar
fex
em
6Omzetting breuken - kommagetallen > 22
Rationale getallen
Getallenverzamelingen > 8
Even herhalen: de bewerkingen > 9
Breuknotatie en decimale notatie
van rationale getallen > 14
Irrationale getallen
1 Irrationale getallen > 15
2 De derdemachtswortel van een
reëel getal > 16
3 Met de rekenmachine > 17
4Samenvatting > 18
5Oefeningen > 19
Vaardigheden
Vaardig rekenen > 36
Pr
oe
Reële getallen
1
pla
ar
Rationale getallen
1.1
1 ) Getallenverzamelingen
Natuurlijke getallen komen we tegen bij huisnummers, leeftijden,
aantal pagina's in een boek, aantal inwoners in een gemeente, aantal gescoorde doelpunten in een voetbalwedstrijd, …
Voorbeelden
fex
em
0, 5, 11, 24 en 485 zijn natuurlijke getallen.
Notatie:
De verzameling van alle natuurlijke getallen noteren we als N.
Gehele getallen komen we tegen in liften, op een thermometer,
in parkeergarages, op rekeninguittreksels, in weerberichten, …
−4°
0°
Voorbeelden
−8°
−2°
0, -8, 15, -74 en 85 zijn gehele getallen.
2°
0°
4°
6°
Notatie:
De verzameling van alle gehele getallen noteren we als Z.
Rationale getallen komen we tegen in reclamefolders,
aan bezinestations, op een kassaticket van een warenhuis, Pr
oe
bij recepten, bij diameters van buizen, …
Voorbeelden
5
2
0,25; ; 3; - en 0 zijn rationale getallen.
4
3
Notatie:
De verzameling van alle rationale getallen noteren we als Q.
We kunnen deze getallenverzamelingen
als volgt voorstellen:
.0
.3
8
N
.2
Z
. −1
. 25,2
. −2
…
1
2
−3
.
4
. −16,8
. −3
.1
.
…
.
17
5
Q
. −@
. 0,1010010001…
…
. 3
. 7
. −2,3838…
.@
…
. −√11
ho ofd stuk 1
•
R eël e geta ll en
a optellen en aftrekken in Q
+
=
3
––
6
+
=
5
––
6
1
––
3
2
––
6
fex
em
1
––
2
pla
ar
2 ) Even herhalen: de bewerkingen
Een breuk (of een rationaal getal) bevat in de teller een geheel getal en in de noemer een geheel getal, verschillend van 0.
Om verschillende breuken met elkaar op te tellen (of af te trekken), ga je als volgt te werk:
ad + bc
bd
Voorbeelden:
8
12
4
+
=
14
36
7
12
=
21
19
=
21
6
1
3
– =
16
4
8
3
=
8
1
=
8
1
3
7
+
21
+
– (a + b) = –a – b
– (a – b) = –a + b
breuken optellen en aftrekken
1 Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk.
2 Maak de breuken gelijknamig.
3 Tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar
1
4
2
–
8
–
Pr
oe
=
a
c
+
b
d
af) en behoud de noemer.
4 Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat.
Om rationale getallen op te tellen (en af te trekken), pas je eerst volgende rekenregel toe:
a + (–b) = a – b
a – (–b) = a + b
Voorbeelden: –3,26 – 4,83
( )
= –3,26 + (–4,83)
= –8,09
3
1
– –
=
4
3
3
1
9
4
13
+
=
+
=
4
3
12 12 12
9
2 3
· = ?
3 4
2
__
3
• Teken een rechthoek die we als eenheid nemen.
3
• Duid aan (in groen).
4
2
• Neem van het groen gearceerde deel . Kleur dit in.
3
( )
2 3
6
1
·
=
=
3 4
12
2
Merk op dat 6 = 2 · 3
Besluit:
fex
em
Voorbeelden:
1
3
__
4
a c
a·c
·
=
b d
b·d
12 = 3 · 4
2 3
2·3
6
1
·
=
=
=
3 4
3·4
12
2
pla
ar
b vermenigvuldigen in Q.
3 4
3·4
4
· =
=
7 9
7 · 9 3 21
1
2 15
2 · 153
3
·
=–
= –
–
5
8
4
15 · 8 4
+
+
–
–
Om verschillende breuken te vermenigvuldigen, ga je als volgt te werk:
breuken vermenigvuldigen
1 Bepaal het teken:
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave
+ bij een even aantal mintekens in de opgave
2 Noteer een grote breukstreep.
3 Vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken.
4 Vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken.
5 Vereenvoudig.
6 Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.
Decimale getallen vermenigvuldigen
Om decimale getallen te vermenigvuldigen bepaal je ook eerst het teken.
Pr
oe
Daarna bereken je het product van de getallen, waarbij je de komma wegdenkt.
Nadien bepaal je de plaats van de komma met volgende regel:
Het aantal cijfers na de komma in het product, is de som van het aantal cijfers in beide factoren.
Voorbeelden:
3,7 · 28 = 103,6 3,7
28
296
+ 746
103,6
·
– 13,245 · 32,7 = –433,1115
10
·
·
·
·
+
–
+
–
=
=
=
=
+
–
–
+
c delen in Q
1
We passen de verhoudingsdeling toe.
1
__
2
▼
1 Kies een rechthoek als eenheid.
1
2 Duid van de rechthoek aan.
2
3 Verdeel dit in 2.
1
__
4
▼
1
:2 = ?
2
▼
Voorbeeld 1:
1
1
: 2 = 2
4
1
__
2
We passen de verhoudingsdeling toe.
1
1 1
1
:2 = ·
=
2
2 2
4
▼
1
R eël e geta ll en
▼
1 1
:
= ?
2 4
Merk op: fex
em
Voorbeeld 2:
•
pla
ar
ho ofd stuk 1
▼
1 Kies een rechthoek als eenheid.
1
1
__
2 Duid van de rechthoek aan.
2
1
1
4
3 Hoeveel keer gaat in ?
4
2
1 1
:
= 2
2 4
Dus:
1
1
gaat 2 keer in .
4
2
Merk op: 1 1
1 4
:
= ·
= 2
2 4
2 1
Pr
oe
Hoeveel keer gaat
▼
Ook hier passen we de
verhoudingsdeling toe.
3
__
4
2
__
3
▼
Voorbeeld 3:
3 2
:
= ?
4 3
1
__
8
2
3
in ?
3
4
2
__
3
3 2
9
:
= 4 3
8
3
__
4
Dus:
2
3
gaat één en een achtste keer in .
3
4
Merk op: 3 2
3 3
9
:
=
·
=
4 3
4 2
8
11
: wordt ·
5
4
5 9
5·9
45
: =
·
=
=
7
9
7 4
7·4
28
pla
ar
Nog meer voorbeelden:
a c
a d
:
=
·
b d
b c
omgekeerde
breuk
: wordt ·
1
4
8
4 27
4 · 273
3
:
= –
·
= –
=–
–
9
27
9
8
2
19 · 8 2
fex
em
omgekeerde
breuk
Om twee breuken door elkaar te delen, ga je als volgt te werk:
breuken delen
1 Bepaal het teken:
+ bij een even aantal mintekens in de opgave
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave
2 Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
3 Pas de regel voor het vermenigvuldigen van breuken toe.
Decimale getallen delen
Om decimale getallen te delen, bepaal je eerst het teken van het quotiënt. Vermenigvuldig dan deeltal en deler met
Pr
oe
10 of 100 of 1000 of … zodat de deler een getal zonder komma wordt. Voer de deling uit en bij het ontmoeten van de
komma in het deeltal, plaats je een komma in het quotiënt.
Voorbeeld:
31,64 : 0,4
wordt
31,64 : 0,4 = 79,1
3 1 6,4 4
− 2 8
79,1
36
− 36
0 4
−4
0
Om complexere opgaven te berekenen, gebruik je een rekenmachine.
12
d machten in Q
•
R eël e geta ll en
pla
ar
ho ofd stuk 1
Om een breuk tot een macht te verheffen, ga je als volgt te werk:
macht van een breuk
in woorden:
Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je teller en noemer tot deze macht.
in symbolen:
n
a = an
b
bn
()
Opgelet! Ook hier is de plaats van de exponent belangrijk. Onthoud dat de exponent slaat op datgene wat er net
voor staat. Als het een haakje is, dan slaat de exponent op alles wat tussen haakjes staat.
Voorbeelden:
()
( )
2
2
3
3
9
=– 2=–
4
16
4
2
3
9
=
4
4
fex
em
–
2
–
()
2
2
2 2
4
= =
5 52 25
1
1
=
4
16
(–0,1) 3
= –0,001
4
–0,2 = –0,0016
De vierkantswortel is de omgekeerde bewerking van een tweede macht.
()
2
3
9
=
4 16
2
0,5 = 0,25 dus is:
3
9
=
16 4
dus is:
0, 25 = 0,5
e volgorde van de bewerkingen
Als in de opgave meerdere bewerkingen staan, moet je rekening houden met de volgorde van de bewerkingen
volgorde van de bewerkingen
1 haakjes
2 machtsverheffingen en worteltrekkingen
3 vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
Pr
oe
Staan er in de opgave verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
( )
2
Voorbeeld:
7 1
3 2
–
: – 2 =
+
4 2
16 3
( )
()
2
7 2
3 2
–
: –2
+
4 4
16 3
2
5
3 2
: –2
+
4
16 3
=
=
25 3 2
+
: –2
16 16 3
=
25 3 3
+
· –2
16 16 2
=
25 9
+
–2
16 32
=
50 9 64
+
–
32 32 32
= –
5
32
13
12 : 25 =
12
25
Deze notatie noemen we de breuknotatie.
Als we de deling uitvoeren van 12 door 25, dan geldt er:
12 : 25 = 0,48
Deze notatie noemen we de decimale notatie.
breuknotatie
2
5
1
3
4
9
12
25
2
7
9
–
16
5
11
7
90
pla
ar
3 ) Breuknotatie en decimale notatie van rationale getallen
decimale notatie
0,4
fex
em
0,3 3…
0,4 4…
0,48
0,285714 285714…
–0,5625
0,45 45…
0,7 7…
Uit deze tabel volgt dat de decimale notatie van een rationaal getal ofwel begrensd, ofwel onbegrensd is.
Als we een onbegrensd decimale notatie hebben, dan is er steeds een repeterend gedeelte achter de komma
aanwezig. Dit repeterend gedeelte wordt ook de periode genoemd.
periode
zuiver repeterend
0,33…
3
X
0,285714285712…
285714
X
0,4545…
45
X
Pr
oe
decimale notatie
gemengd repeterend
0,077…
7
X
0,154848…
48
X
Opmerking:
0,4848… is een zuiver repeterende vorm omdat de periode onmiddellijk na de komma start.
0,154848… is een gemengd repeterende vorm omdat de periode niet onmiddellijk na de komma start, 15 is het
niet-repeterend deel.
14
pla
ar
Irrationale getallen
1.2
1 ) Irrationale getallen
Als we 2 , 3 en 7 berekenen met de rekenmachine, dan krijgen we als resultaat:
2 = 1,414213562…
3 = 1,732050808…
7 = 2,645751311…
Met bepaalde computerprogramma's kunnen we nog meer cijfers na de komma achterhalen. Maar al snel merk je
fex
em
dat er in deze decimale ontwikkeling geen repeterend deel of geen periode aanwezig is.
Ook volgende getallen zijn onbegrensd en hebben geen periode:
π = 3,14159265358979323846…
27,102003000400005…
Omdat deze getallen geen periode bevatten, kun je ze niet in breukvorm noteren.
We noemen deze getallen irrationale getallen.
We hebben irrationale getallen nodig:
- bij de berekening van de omtrek van een fietswiel;
- bij de oppervlakteberekening van een cirkelvormig grasperk;
- bij de gulden snede (bijvoorbeeld op schilderijen, bouwwerken
en bij de 'man van Vitruvius' van Leonardo Da Vinci)
irrationaal getal
Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale schrijfwijze.
Pr
oe
Rationale en irrationale getallen vormen samen de reële getallen.
Notatie:
R: de verzameling van de reële getallen
Voorstelling:
.0
. – 4,5
3
.4
.1
. 100
Q
.@
R
. 6,8080080008…
. 2
. –14,32638479…
. 3,2525…
…
. 17
…
reëel getal
Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.
15
pla
ar
Irrationale getallen
De Grieken dachten dat elke berekening van een lengte of oppervlakte een rationaal getal als
resultaat had. Het was dus een grote schok voor hen, toen ze erachter kwamen dat er ook
irrationale getallen bestonden.
Het was Hippasus, een student uit de school van Pythagoras, die aantoonde dat de lengte van de
diagonaal van een vierkant met een zijde 1 geen rationaal getal was. Deze ontdekking was niet
onmiddellijk de start voor een nieuwe studie van de getallen. De wiskundigen van toen zagen het
eerder als een 'probleem'.
Pas honderden jaren later deden de irrationale getallen echt hun intrede in de wiskundige
getallenwereld.
2 ) De derdemachtswortel van een reëel getal
F
Het volume van deze kubus kunnen we als volgt voorstellen:
fex
em
E
G
H
3
Vkubus(EF GH) = 6 · 6 · 6 = 6 = 216
ABC D
De zijde van de kubus:
6
6
A
B
C
6
zkubus =
3
63 = 6
D
Voorbeelden:
3
+
3
8 =2
4 = 64
+
3
64 = 4
(–23) = –8
+
3
–8 = –2
3 3 27
=
5
125
()
+
3
(–0,1)3 = –0,001
+
3
2 = 8
3
27 = 3
125 5
– 0, 001 = –0,1
derdemachtswortel
Pr
oe
b is de derdemachtswortel uit a
2
3
a =b
2
3
b =a
Opmerking:
Vermits a = b3 zowel positief als negatief kan zijn, kun je, in tegenstelling tot de vierkantswortel, de derdemachts-
wortel zowel uit een positief als uit een negatief getal trekken.
Hoe je de derdemachtswortel berekent (en afrondt) met je rekenmachine, lees je op de volgende pagina.
Voorbeelden:
16
3
205 . 5,90
(afgerond tot op 2 cijfers na de komma)
3
14, 25 . 2,424
(afgerond tot op 3 cijfers na de komma)
3
–6785 . –18,9314(afgerond tot op 4 cijfers na de komma)
ho ofd stuk 1
a van breuk naar decimale notatie (en omgekeerd)
TI-30 multiview
4
1
0.25
n
d
n
d
 
5

 
enter
3

 
enter
enter
0.2525252525
 
R eël e geta ll en
pla
ar
3 ) Met de rekenmachine
•
enter
TI-84
0,28 MATH 1:  FRAC ENTER ENTER
JE ZIET
JE TYPT
JE ZIET
fex
em
0,484848484848 MATH 1:  FRAC ENTER ENTER
JE TYPT
b afronden met de rekenmachine
… om een getal af te ronden op vier cijfers na de komma:
JE TYPT
TI-30 multiview
mode

4


3
enter
2





enter
clear
Druk op mode en kies op de tweede lijn voor
enter
7
2

2
JE TYPT
JE ZIET
JE TYPT
JE ZIET
JE TYPT
JE ZIET
4
enter
Pr
oe

2
enter
TI-84
4
JE ZIET
c derdemachtswortel van een getal berekenen
TI-30 multiview
3
3
2nd
2nd
_
x√
_
x√
8
(–)
enter
125 enter
TI-84
Kies in het MATH menu voor 4 en type de opgave in.
Druk dan op ENTER .
17
pla
ar
4 ) Samenvatting
• Je weet wat natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen zijn.
.2
.0
. –3
.1
.3
. –1
N
…
. –4
. –2
…
Z
. 3,25
.5
4
…
Q
.1
4
.@
R
. 8,010020003…
.–
2
3
. –0,6767…
. 3
. 2
. – 17
…
Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale schrijfwijze.
Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.
•
Je kunt rekenen in Q.
breuken optellen en aftrekken
1 Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk.
2 Maak de breuken gelijknamig.
3 Tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar af) en behoud de noemer.
4 Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat.
fex
em
breuken vermenigvuldigen
1 Bepaal het teken:
+ bij een even aantal mintekens in de opgave
– bij een oneven aantal mintekens in de opgaven
2 Noteer een grote breukstreep.
3 Vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken.
4 Vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken.
5 Vereenvoudig.
6 Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.
breuken delen
1 Bepaal het teken:
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave;
+ bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
3 Pas de regel voor het vermenigvuldigen van breuken toe.
macht van een breuk
Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je teller en noemer tot deze macht.
Pr
oe
• Je kent de volgorde van de bewerkingen en kan ze toepassen.
1 haakjes
2 machtsverheffingen en worteltrekkingen
3 vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
Staan er in de opgave verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
• Je kunt een breuk omzetten in een decimale schrijfwijze en omgekeerd. Je weet wanneer een getal
begrensd of onbegrensd is.
• Je kent de definitie van de derdemachtswortel van een reëel getal en je kunt deze derdemachtswortel
berekenen.
b is de derdemachtswortel uit a + 3 a = b + b3 = a
18
5 ) Oefeningen
•
R eël e geta ll en
pla
ar
ho ofd stuk 1
1 a Vul de volgende tabel in. Vereenvoudig (indien nodig) je verkregen resultaat.
noemer
teller
8
4
32
–15
4 1
=
8 2
–3
6
–2
b Plaats de resultaten in volgend diagram.
N
9
Z
Q
1
2
fex
em
·
…
…
…
2 Bereken.
a
2 5
+ =
3 3
___________________________________________________________________________
b
1 1
– =
2 3
___________________________________________________________________________
c
6
8
–
=
12 18
___________________________________________________________________________
5 4
– =
6 9
___________________________________________________________________________
7
=
6
___________________________________________________________________________
Pr
oe
d –
e – 4 +
f
–
1 5
+ =
4 8
___________________________________________________________________________
g
4 3
–
=
5 25
___________________________________________________________________________
h –
2 8
– =
9 3
___________________________________________________________________________
19
pla
ar
3 Bereken.
a
1 1
· =
2 3
___________________________________________________________________________
b
5 3
· =
4 5
___________________________________________________________________________
c –
( )
2 –9
·
=
3 20
___________________________________________________________________________
d
21 30
·
=
20 14
___________________________________________________________________________
e
81 –3
·
=
89 27
___________________________________________________________________________
f
2 3
: =
5 4
___________________________________________________________________________
g 8 :
2
=
3
___________________________________________________________________________
h
–5 –15
:
= ___________________________________________________________________________
7
21
i
5
: 5 =
2
fex
em
( )
( )
___________________________________________________________________________
4 Bereken en kleur nadien de oplossingen in het rooster. Denk eraan: steeds vereenvoudigen!
4 5
+ =
5 4
__________________________
__________________________
a
( )
2 –16
:
=
3
9
__________________________
__________________________
–35 9
· =
18 7
__________________________
__________________________
c
d
( )
4
–
3
2
=
( )
1
+ = __________________________
4
__________________________
1 2
– =
2 3
__________________________
__________________________
()
32
=
5
__________________________
__________________________
32 64
:
=
34 17
__________________________
__________________________
f
g
h
–
2
4
4
·
16
9
1
1
4
3
8
5
2
-7
6
7
6
–5
2
8
3
20
41
__________________________
20
e
1
–
2
3
-3
8
__________________________
Pr
oe
b
2
5
–1
41
20
1
8
3
8
5 Bereken met je rekenmachine.
a
17 13
+
=
37 18
b
–27 35
·
=
15 33
c
1
7
–
=
15 12
d
( )
–2 4 15
=
–
3
9
6 Bereken. Denk aan de volgorde van de bewerkingen!
a
b
c
e
–2 5
–
=
19 48
f
17 –34
:
=
25
14
g
() ()
h
105 14 4
–
+
=
25 12 11
d
1 1 8
: ·
2 3 9
( )
2
5
5
–
4
9
3
=
3 64 4 25
·
+ · 8 27 5 16
e 8 – 49 : 7 + 5
Pr
oe
1
1 2
– + 3
4 5
R eël e geta ll en
fex
em
•
pla
ar
ho ofd stuk 1
(
)
2
7
4
–
– 2 + 9
9
3
f
1 1 1
+ :
3 3 2
21
g
–3 5
– : 2
4
4
h
( )( )
1–
3
5
4 1
– 3 5
22
)
]
1
1
: –2
2
4
k 6 –
★
( )
8 32 1 3
:
– +
5 25 2 4
(
)
3 1 3 2
+ ·
4 2 2
Pr
oe
i
[(
9– 2+
★
fex
em
j
pla
ar
l
★
[( )
–2 2 8
+
3
27
][
1 9 6
· –
3 2 12
]
7 Bereken met je rekenmachine.
a
1 3 4 15
· –
·
8 7 12 24
= __________________________
b
–1 3 1 1
+ : ·
3 5 6 15
= __________________________
c
(
= __________________________
d
e
f
)
4 3 2 14
+
–
11 8
17
( )
( )( )
( )
•
R eël e geta ll en
pla
ar
ho ofd stuk 1
8 11 15
–
:
+ 4 5 13 19
= __________________________
1 1
1 7
+
+ ·
4 5
3 8
= __________________________
12 –7 14 17
·
+
:
21 15 49 13
= __________________________
zuiver of gemengd repeterend? Plaats een kruisje in de passende kolom.
begrensd
a
–4,2727…
b
5,28
c
12,009009…
d
15,051717…
e
3,475
Pr
oe
fex
em
8 Onderzoek of volgende decimale vormen begrensd of onbegrensd zijn. Als ze onbegrensd zijn, zijn ze dan
f
7,9999…
g
1,2335151…
h
14,5
i
22,0311…
onbegrensd
zuiver repeterend
gemengd repeterend
23
breuk
–4
5
b
14
99
c
18
11
d
-3
48
e
1
150
f
5
36
g
–3
16
h
17
250
i
23
44
j
17
64
begrensd
onbegrensd
zuiver
repeterend
fex
em
a
decimale notatie
pla
ar
9Vul de volgende tabel aan.
10 Geef de periode en eventueel het niet-repeterend deel van volgende rationale getallen.
rationaal getal
4,77…
b
–2,05582582…
c
17,0005454…
d
175,092092…
e
–0,23452345…
f
4,0123475475…
g
4,9999…
h
12,22…
i
–0,005005053737…
j
4,12749944994…
Pr
oe
a
24
periode
niet-repeterend deel
gemengd
repeterend
•
ho ofd stuk 1
R eël e geta ll en
breuk
a
17
108
b
–42
57
c
14
99
d
253
17
e
–108
239
pla
ar
11Zoek de decimale notatie van volgende breuken en rond af tot op 4 decimalen na de komma.
decimale notatie, afgerond tot op 4 cijfers na de komma
12Zoek de periode en eventueel het niet-repeterend deel van volgende rationale getallen.
rationaal getal
12
37
b
–7
450
c
d
e
f
g
h
i
periode
niet-repeterend deel
fex
em
a
decimale vorm
2
1375
–11
9
14
33
3
880
5
99
–23
132
271
999
13Vul in met de meest passende naam. Kies uit: natuurlijk, geheel, rationaal of irrationaal.
a –27 is een
___________________________________ getal.
b
3
is een
5
___________________________________ getal.
c
5 is een
___________________________________ getal.
d
–2
is een
3
___________________________________ getal.
e 3,123 is een
___________________________________ getal.
f
89 is een
___________________________________ getal.
g 3,14 is een
___________________________________ getal.
h π is een
___________________________________ getal.
i
2,3535… is een
___________________________________ getal.
j
4,102003000… is een
___________________________________ getal.
k 2305 is een
___________________________________ getal.
l
___________________________________ getal.
Pr
oe
–10 008 is een
25
repeterende decimale vorm
a
0,1919…
b
0,4545…
c
–0,568568…
d
0,0909…
e
0,123123…
pla
ar
14Zoek met de rekenmachine de breuknotatie van volgende repeterende decimale vormen.
breuknotatie
fex
em
15Verbind op een passende wijze. Bij elke groene bol hoort één oranje bol. Sommige resultaten zijn benaderend
weergegeven.
48,23 · 117,05
•
• 19,9454145…
212,09
4278
•
• –61,2275510…
–27,45
216
•
• –0,127083333…
2438,45 + 46,25 · 0,0789
•
• 5645,3215
•
• –20 139,599
•
• 4,71115618…
–24,75 –
89,37
2,45
Pr
oe
8521,08 : 427,22
237 85
:
29 49
•
• 2442,099125
–47,089 + 2315,49 – 22 408
•
• 0,049576905…
Percenten
'Percent' of 'procent' komt van het Latijnse 'pro cento' of 'per centum'. Via de Franse taal komen we aan de vertaling: 'per-cent'
of 'pour-cent' of 'per honderd' of 'ten honderd'. Dit alles betekent steeds hetzelfde: 'op honderd' en krijgt het symbool '%'.
Het symbool '‰' bestaat ook. Dit betekent 'per duizend' of 'promille' (denk maar aan het maximaal toegelaten alcoholgehalte dat
een chauffeur in zijn bloed mag hebben).
26
ho ofd stuk 1
R eël e geta ll en
40% korting op alle
handgeknoopte tapijten
met blauw etiket
pla
ar
16Percenten
•
Voorbeeld:
Deze aanbieding betekent het volgende: op elke € 100 die men moet betalen krijgt men € 40 korting.
Kostprijs
€ 100
Korting
€ 40
Te betalen
€ 60
Als we terugdenken aan het honderdveld uit de lagere school, kunnen we dit als volgt voorstellen.
Veronderstel dat de kostprijs van een oosters tapijt met blauw etiket € 3700 is.
Wat is dan de korting? Wat valt er te betalen?
* Je kunt dit probleem oplossen met een regel van drie:
fex
em
Kostprijs
100
: 100
1
· 3700
3700
Korting
40
40
100
3700 · 40
= 1480
100
: 100
· 3700
De korting is dus € 1480 en de prijs die moet betaald worden is € 3750 – € 1480 = € 2270
Pr
oe
* Je kunt het probleem ook anders oplossen:
40
40 % betekent 40 op honderd of 100
40
40
van 3700 of
· 3700 = 1480
40 % van 3700 is dus
100
100
of
0,4 · 3700 = 1480
Bereken nu:
21 % van 4500
__________________________________________________________________
6 % van 840
__________________________________________________________________
2 % van 78
__________________________________________________________________
10 % van 4320
__________________________________________________________________
2,5 % van 3200
__________________________________________________________________
25 % van 478
__________________________________________________________________
50 % van 2348
__________________________________________________________________
3,6 % van 428
__________________________________________________________________
27
pla
ar
17 Bouwen en sparen.
a Aurélie laat een herstelling uitvoeren aan de badkamer
voor 527 euro (exlusief BTW). Haar huis is reeds 25 jaar
oud, dus moet ze maar 6 % BTW betalen. Hoeveel moet
Aurélie in totaal betalen?
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
fex
em
b In een nieuwbouw wordt in de living parket gelegd. De gevraagde
prijs is 80 euro per m2 (exclusief BTW). De oppervlakte van de
living is 36 m2. Het BTW-tarief is 21%.
Hoeveel is de totale prijs?
★
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
Pr
oe
c De firma die bij Bart de zonnepanelen komt installeren, geeft op de factuur van 22 000 euro een korting
van 8%. Hoeveel zal Bart moeten betalen?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
28
ho ofd stuk 1
•
R eël e geta ll en
c Bereken het aantal leerlingen dat met de fiets
naar school komt.
fex
em
a Bereken het aantal leerlingen dat te voet naar
school komt.
pla
ar
18 Hoe komen we naar school?
In een school van 360 leerlingen komt 15 % van de leerlingen met de bromfiets en 35 % van de leerlingen te
voet naar school.
40 % van de leerlingen komt met de fiets naar school en de overige leerlingen worden met de auto naar school
gebracht.
d Bereken het aantal leerlingen dat met de auto
naar school komt.
Pr
oe
b Bereken het aantal leerlingen dat met de
bromfiets naar school komt.
19Zijn de volgende getallen rationaal of irrationaal?
a
42
17
______________________________________
b
39 ______________________________________
c
4π
9
______________________________________
d
225 ______________________________________
e –4,23838…
______________________________________
f
______________________________________
1405,122333444455555…
29
pla
ar
20Zoek 2 opeenvolgende natuurlijke getallen die het irrationaal getal insluiten.
a ____________________________ Õ
17 Õ ____________________________
b ____________________________ Õ
234 Õ ____________________________
c ____________________________ Õ
4012 Õ ____________________________
d ____________________________ Õ
π
Õ ____________________________
21 Orden volgende getallen van klein naar groot.
4,769
47
10
4,795
43
9
fex
em
23
22 Bereken zonder rekenmachine.
64 81
a
64 = __________________________
j
= __________________________
b
225 = __________________________
k –
c – 256 = __________________________
l
16 25
= __________________________
d
100 = __________________________
m
0, 01 = __________________________
e
400 = __________________________
n
144 169
= __________________________
f
81 = __________________________
o
0, 16 = __________________________
g
1, 44 = __________________________
p
0, 0081 = __________________________
h
0, 36 = __________________________
q
0, 09 = __________________________
i
1, 69 = __________________________
r
256 289
= __________________________
1 = __________________________
10 000
Pr
oe
23 Bereken met je rekenmachine.
a
529 = __________________________
d
31 684 = __________________________
b
12 321 = __________________________
e
2070, 25 = __________________________
c
60 025 = __________________________
f
309, 4081 = __________________________
d
24 Rond af tot op 3 cijfers na de komma.
30
a
17 = __________________________
b
2π
11
= __________________________
c
4239 = __________________________
47, 08 $ 13
= __________________________
48
23, 05 $ 214
e –
= __________________________
9, 02
f
37 $ 111 = __________________________
ho ofd stuk 1
•
R eël e geta ll en
pla
ar
25 Bereken. Rond je antwoord af tot op 3 cijfers na de komma.
a
23, 475 $ 208, 9
5, 02
= _________________________________
b
1102, 5 – 407, 9
452, 03
= _________________________________
c
5π $ 0, 02 114
8
11
d
23, 16 – 2305 $ 2105, 8 17 $
27, 9
= _________________________________
= _________________________________
26 De straal van een cirkel is 7,5 m.
Bereken de omtrek en de oppervlakte van deze cirkel tot op 2 decimalen nauwkeurig.
★
a omtrek cirkel:
b oppervlakte cirkel:
fex
em
27 Een zinkbewerker maakte een dakgoot waarvan de doorsnede hiernaast getekend is.
Hij gebruikte een blad zink van 40,45 cm breed.
Het stuk [CD] is 10 cm breed en dient om de goot onder
het dak vast te leggen.
De boord is een kleine cilinder met 12 mm diameter.
Bereken de diameter [BC] van de halve cirkel die als afloop dient.
★
Pr
oe
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
31
a
3
123 = __________________________
b
3
125 = __________________________
c
3
–27 = __________________________
pla
ar
28 Bereken zonder rekenmachine.
d
3
–1 = __________________________
e
3
–0, 008 = __________________________
f
3
64 = __________________________
29 Bereken met je rekenmachine. Rond af tot op het aangeduide aantal decimalen.
opgave
3
a
c
d
3
4215
2 cijfers na de komma
17, 185
3 cijfers na de komma
2485
17
2 cijfers na de komma
10001, 5
2 cijfers na de komma
3
resultaat
fex
em
b
resultaat afronden op …
3
30 Bereken de zijde van een kubus waarvan de inhoud 42,875 dm3 is.
31 Een balk heeft als afmetingen 6 cm, 3 cm en 12 cm. Welke zijde moet een kubus hebben, wil hij hetzelfde
volume hebben als de balk?
___________________________________________________
Pr
oe
32
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
ho ofd stuk 1
•
R eël e geta ll en
32 Een balk heeft dezelfde inhoud als een kubus waarvan de zijde 7,4 dm is. Bereken de hoogte van de balk als je
pla
ar
★
weet dat de lengte van de balk 6 cm is en de breedte 4 cm. Rond het antwoord af tot op 2 decimalen na de komma.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
33 Om een ronde vijver met diameter 10 m wordt een pad dat 1 m breed is aangelegd.
Hoe groot is de oppervlakte van dit pad? Rond af tot op 2 cijfers na de komma.
Maak ook een tekening op schaal 1:200.
★
_________________________________
fex
em
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
Pr
oe
_________________________________
34 Combineer op een passende wijze. Welk getal hoort bij welke letter? Noteer in elk cirkeltje het correcte getal.
3
5%
van 380

√125
2
(
1
4
+ 1·1
2
3
3
)
2
De
periode van
√13
32,056868… is een
…
is
g
4
5
etal
3
√27
6
4 : 8
5 45
7
a
b
c
d
e
f
irrationaal
3
4,5
19
120
0,04
g
25
144
(
1
– – 5
25 %
van 480
8
)
4
+ 25
9

h
i
j
0,4
68
5
√0,16
6
33
a
b
c
5 cm
5 cm
Pr
oe
6 cm
5 cm
34
oppervlakte
cirkel
A = p · r2
fex
em
6 cm
pla
ar
35 Bereken de oppervlakte van het gekleurde deel. De getekende vierhoeken zijn vierkanten.
2 cm
2 cm
2 cm
ho ofd stuk 1
•
R eël e geta ll en
X
4
5
1
2
1
10
pla
ar
36 In een magisch vierkant is de som van de getallen in elke rij, ★
in elke kolom en op elke diagonaal dezelfde. Als je volgend vierkant aanvult tot
een magisch vierkant, wat komt er dan op de plaats van het kruisje?
a
3
10
b
2
5
c
3
5
JWO 2002, tweede ronde, probleem 27 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
d
7
10
e
3
2
1
5
37 Bob gaf 40 % van zijn zakgeld uit aan een cadeau voor zijn vader.
★
Voor de rest gaf hij 30 % uit aan snoep. Welk percentage van zijn zakgeld heeft hij uitgegeven?
b 52 %
c 58 %
d 65 %
e 70 %
fex
em
a 42 %
JWO 2002, eerste ronde, probleem 50 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
38 In een land met 14 miljoen inwoners heeft 0,15 % van de inwoners een zeer zeldzame bloedgroep.
★
Over hoeveel inwoners gaat dit?
a 210
b 2100
c 21 000
d 210 000
e 2 100 000
JWO 2002, eerste ronde, probleem 22 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
Pr
oe
39 In een winkel worden de prijzen met 10 % verhoogd en kort daarna met 10 % verlaagd. Dit komt erop neer dat…
★
a de prijzen gelijk blijven
b de oorspronkelijke prijzen met 1 % verhogen
c de oorspronkelijke prijzen met 1 % verlagen
d de oorspronkelijke prijzen met 5 % verhogen
e de oorspronkelijke prijzen met 5 % verlagen
JWO 2003, eerste ronde, probleem 9 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
35
pla
ar
Vaardig rekenen
· (–6)
11
–1
2
– 48
: (–8)
· -7
4
( )
fex
em
:7
4
+2
3
1
(2)
2
-48
:–5
3
:3
…
…
36
· (– 30)
:5
: 14
5
– 22
10
: 10
…
Pr
oe
2
5
48
:2
5
14
:
( 53)
–
+…
…
…
vaardig rekenen
–2
5
1
…
: (– 7)
…
37 · 9 =
37 · 5 =
3,26 · 1000 =
185 : 5 =
423 : 0,1 =
928 · 0,01 =
81 +
fex
em
5 % van 48 + 20 % van 145 =
3
64 =
1
1 1
–
: =
2
2 4
7
5
7
:
: =
3 21 5
( 18 p) =
Pr
oe
4p :
re ële getal len
vaardigheden
28 · 11 =
•
pla
ar
h oofd stuk 1
Als je een getal deelt door
1
1
bekom je . Welk is dit getal?
2
4
vaardig rekenen
37