1 - Fontys

1. Het mechanisch nuttig effect.
Krachtwerktuigen en veel andere eenvoudige machines ontlenen hun werking aan een omzetting van
krachten: de op de machine of het apparaat toegepaste kracht Fin wordt getransformeerd in een kracht Fuit
die een andere grootte en/of richting heeft. We definiëren het mechanisch nuttig effect van een machine als
de verhouding tussen de door de machine geleverde kracht F uit en de op de machine uitgeoefende kracht
Fin:
mechanisch nuttig effect =
Fuit
Fin
(1)
Als het mechanisch nuttig effect groter is dan 1 dan is de door de machine geleverde kracht dus groter dan
de erop uitgeoefende kracht. Als het mechanisch nuttig effect kleiner is dan 1, is het omgekeerde het geval.
In het vervolg zullen we kortheidshalve het woord mechanisch weglaten en dus spreken over het nuttig
effect(NE) van een machine of een apparaat. Heel vaak is het nuttig effect van een machine groter dan 1,
zodat het met een relatief kleine toegepaste kracht mogelijk is om een actie te bewerkstelligen die, zonder
tussenkomst van de machine, haar capaciteit te boven zou gaan. Toch zijn er ook wel voorbeelden van
apparaten te noemen waarbij het omgekeerde het geval is, zoals bijvoorbeeld bij een schaar: hierbij wordt
de grootte van de geleverde kracht gereduceerd ten gunste van de afstand waarover de schaar in 1 "knip"
knipt. We zullen later nog zien waarom dit een goede werking van de schaar toch niet in de weg staat.
De meeste machines zijn niet "ideaal", dat wil zeggen dat er sprake is van wrijvingskrachten. Deze
wrijvingskrachten zorgen ervoor dat bij een bepaalde kracht F in de door de machine geleverde kracht Fuit
kleiner wordt. We moeten dus onderscheid maken tussen het theoretisch nuttig effect (TNE) en het werkelijk
nuttig effect (WNE. Het TNE geeft het nuttig effect van de machine onder ideale omstandigheden, dat wil
zeggen bij afwezigheid van wrijving, terwijl in het WNE de verliezen tengevolge van wrijvingskrachten zijn
verrekend. Aangezien wrijvingskrachten altijd de beoogde actie tegenwerken zal het werkelijk nuttig effect
steeds kleiner zijn dan het theoretisch nuttig effect. We kunnen ook zeggen dat de efficiëntie van een
machine altijd kleiner is dan 100%.
We definiëren de efficiëntie door:
Eff = werkelijk nuttig effect / theoretisch nuttig effect =
WNE
TNE
De efficiëntie van machines kan nogal uiteenlopen: de efficiëntie van een gewone hefboom kan bijna 100%
bedragen, terwijl die vaneen houtschroef slechts 10% of nog minder is. Voor de meeste apparaten geldt dat
de efficiëntie zo groot mogelijk moet zijn. Dit is de reden om in machines veel aandacht te besteden aan
goede lagers en een goede smering. Op deze wijze kunnen grote wrijvingskrachten die de efficiëntie
verminderen en overigens ook voor snelle slijtage van machineonderdelen zorgen, sterk worden
verminderd. In sommige situaties is overigens een lage efficiëntie nuttig of zelfs noodzakelijk: wanneer
bijvoorbeeld in een mechanische autokrik geen grote wrijvingskrachten zouden werken, dan zou deze onder
invloed van een kleine belastende kracht weer “teruggedraaid" worden. Dat een mechanische krik
desondanks prima functioneert, ligt aan de hoge waarde van het TNE. Een TNE waarde van 500 is
gemakkelijk haalbaar, zodat een lage efficiëntie van bijvoorbeeld 10% toch nog een WNE waarde van 50
oplevert. Dat betekent dat er slechts een kracht van 200 N nodig is om een auto met een massa van 1000
kg op te tillen.
figuur 1: de krik
Er zijn twee manieren om het theoretisch nuttig effect te berekenen. De ene methode is gebaseerd op het
evenwichtsprincipe en de andere op het principe van de verrichte arbeid.
Het evenwichtsprincipe stelt dat wanneer op een machine een kracht F in, wordt uitgeoefend, deze kracht
precies in balans is met de door de machine geleverde kracht F uit. Immers zou Fin groter worden bij
gelijkblijvende Fuit, dan zou de machine bv. sneller gaan draaien en dus niet meer in een toestand van
evenwicht verkeren. Als Fin kleiner zou worden, zou de machine juist langzamer gaan draaien.
Het principe van de verrichte arbeid gaat uit van de wet van behoud van energie: in afwezigheid van
wrijvingskrachten moet de arbeid die door Fin wordt geleverd precies gelijk zijn aan de arbeid die door Fuit
wordt verricht, er gaat immers geen energie in de vorm van warmte verloren. Merk overigens op dat het op
grond van de wet van behoud van energie ook "verboden" is dat F uit meer arbeid verricht dan Fin: het
perpetuum mobile moeten we dus naar het rijk der fabelen verwijzen.
figuur 2 : een perpetuüm mobile (zie je de gedachte achter dit ontwerp?)
Hoewel beide methoden altijd de juiste TNE opleveren, is afhankelijk van de situatie de ene of de andere
methode wat gemakkelijker toepasbaar. We zullen daar nog voorbeelden van zien. De arbeid die de kracht
Fin verricht wanneer deze over een afstand sin werkt en ook daarlangs gericht is, bedraagt: W in = Fin * sin.
Idem geldt voor de arbeid die de kracht Fuit verricht: W uit = Fuit * suit.
Bij afwezigheid van wrijvingskrachten geldt dus:
Fin * sin = Fuit * suit ofwel :
Fuit sin

Fin suit
Een andere, maar equivalente manier om het TNE te definiëren is dus:
TNE 
sin
suit
theoretisch mechanisch nuttig effect (2)
Aangezien wrijvingskrachten altijd het effect hebben om F uit te verlagen bij gegeven Fin, maar geen enkele
invloed hebben op de grootheden sin, en suit geeft de bovenstaande definitie een gemakkelijke methode om
van een of ander apparaat het TNE te bepalen. Het WNE en daarmee de efficiëntie kan meestal eenvoudig
experimenteel worden bepaald. Merk op dat het TNE groter is naarmate sin groter is dan s uit. Het is dus
zoals we reeds gezien hebben, best mogelijk om een machine een grotere kracht te laten verrichten dan de
kracht die op de machine wordt uitgeoefend, maar dat heeft wel een prijs: de afstand sin waarover F in, moet
worden uitgeoefend moet evenredig veel groter zijn dan de afstand s uit waarover de geleverde kracht Fuit
werkt. We kunnen dat uitdrukken in de regel “wat je wint aan kracht, gaat verloren aan afstand.” Dit is
natuurlijk een uitvloeisel van de wet van behoud van energie en we zullen dit algemene verschijnsel
tegenkomen bij elke machine die we zullen bespreken
2. de hefboom
illustratie uit: “over de werking van de kurkentrekker en andere machines” van David Macaulay
Een hefboom bestaat uit een starre staaf die om een vast punt -het draaipunt- kan draaien. Figuur 3 laat het
meest bekende type hefboom zien, waarbij een kracht op het lange uiteinde van de hefboom wordt
uitgeoefend om een last aan het korte uiteinde op te tillen.
Figuur 3
De evenwichtsvoorwaarde voor een hefboom is dat het moment dat door F in wordt veroorzaakt gelijk en
tegengesteld is aan het moment dat door Fuit wordt veroorzaakt. Berekenen we het moment ten opzichte
van het draaipunt en noemen we de beide "armen" van de hefboom l in en l uit, dan geldt (onder
verwaarlozing van wrijvingskrachten):
Fin * l in = Fuit * l uit
ofwel:
TNE 
Fuit Lin

Fin Luit
de hefboom (3)
Het TNE van een hefboom is dus gelijk aan de (inverse) verhouding van de "armen" van de hefboom. Hierbij
verstaan we onder de arm van de hefboom de lengte van de loodlijn vanuit het draaipunt neergelaten op de
werklijn van de kracht die aan het uiteinde van de hefboom werkt. Bij de eenvoudige hefboom zien we heel
duidelijk dat "winst" aan kracht "verlies" aan afgelegde weg oplevert: we moeten de lange arm van de
hefboom over een flinke afstand verplaatsen om de last een klein stukje op te tillen. Er zijn drie verschillende
typen hefbomen, ze worden respectievelijk hefbomen van de eerste, tweede en derde soortgenoemd. De
hefboom in figuur 3 is van de eerste soort, een kruiwagen is een voorbeeld van een hefboom van de tweede
soort en onze eigen onderarm is een hefboom van de derde soort (zie figuur4).
Voor elke hefboom geldt formule (3), ongeacht het type. Helaas hebben alle eenvoudige hefbomen van de
genoemde drie typen de tekortkoming dat ze slechts beperkte hoekverdraaiingen toelaten. Een van de
meest opzienbarende ontdekkingen in de loop van de geschiedenis is ongetwijfeld de uitvinding van het
wiel.
Het wiel en de as.
De combinatie van wiel met as is in feite een eenvoudige verfijning van het hefboomprincipe dat ervoor zorgt
dat in principe onbeperkt grote hoekverdraaiingen mogelijk worden.
Figuur 5: dit kleibeeldje van 2000 voor Christus maakt duidelijk dat het wiel al lang in gebruik is. Merk opdat
het wiel nog geen spaken heeft maar massief is.
Kijken we naar figuur 6 dan zien we dat het wiel een straal R heeft en bevestigd is aan een as met een veel
kleinere straal r. Het zou hier bijvoorbeeld kunnen gaan om een stuurwiel. Het middelpunt van de as
fungeert nu als draaipunt, van de hefboom. Toepassing van de evenwichtsvoorwaarde levert:
Figuur 6: een stuurwiel
Fin * R = Fuit * r
Het theoretisch nuttig effect is dus:
TNE 
Fuit R

Fin r
Wiel en As (4)
Hoe groter het wiel is ten opzichte van de as des te groter is dus ook het nuttig effect. Het mag dus geen
verbazing wekken dat in autobussen en vrachtwagens grote stuurwielen worden toegepast. In figuur 7 zien
we nog een aantal voorbeelden van wiel en as combinaties.
3. katrol en takel
Een katrol bestaat uit een wiel dat langs de omtrek voorzien is van een groef waarin een touw of kabel loopt.
Ook een katrol is in feite een hefboom en wel met twee gelijke armen. De functie van de katrol is om de
richting van de kracht te veranderen die moet worden uitgeoefend om een bepaalde klus te verrichten. Zo
wordt de last in figuur 8 opgetild als we een kracht F op het touw omlaag uitoefenen. In het algemeen is het
voor een mens gemakkelijker om een dergelijke kracht te leveren dan om de last rechtstreeks omhoog te
trekken.
Figuur 8: de katrol
We kunnen winst boeken in de grootte van de uitgeoefende kracht door gebruik te maken van een takel.
Een takel bestaat uit een combinatie van meerdere vaste katrollen en meerdere losse katrollen (ook wel het
blok genoemd). Het nuttig effect van een takel is altijd groter dan 1. De werking van de takel berust op het
gegeven dat wanneer aan een touw of een kabel wordt getrokken, de spankracht dan overal even groot is.
In figuur 9 is een takel afgebeeld en een vereenvoudigd schema om de werking ervan toe te lichten.
Figuur 9: de takel
Het TNE van de takel berekenen we rechtstreeks uit formule (2). Wanneer het vrije uiteinde van het touw
over een afstand d wordt ingehaald, zal de last W over een afstand 1/4 d worden opgehesen. Immers er zijn
4 touwdelen zijn die allemaal evenveel moeten worden ingekort. Ook hier blijkt dus weer duidelijk dat winst
aan krachtverlies aan afgelegde weg betekent. Dat de takel in figuur 9 een TNE van 4 heeft kunnen we ook
nog anders inzien: in feite wordt de last W aan 4 touwdelen opgehesen, zodat elk touwdeel maar 1/4 van de
last hoeft te dragen. Omdat de spankracht overal even groot is, behoeft de kracht F in dus maar 1/4 W te zijn.
Het TNE van de takel bedraagt dus:
TNE 
Fuit
W

4
Fin W
4
Deze redenering is in feite heel algemeen en wordt geformuleerd in de volgende regel voor katrolsystemen:
Het TNE van een takel is gelijk aan het aantal touwdelen waaraan het losse blok van de takel hangt.
We merken nog op naar aanleiding van figuur 9 dat we het touwdeel waaraan we trekken niet meetellen: de
bovenste katrol dient in feite alleen om de richting waarin we de kracht moeten uitoefenen, zo gerieflijk
mogelijk te maken. Wanneer we de takel omkeren zoals in figuur 10 dan ontstaat een andere situatie. Nu
moeten we dit touwdeel wél meetellen. Het TNE bedraagt nu dus 5.
Figuur 10: takel met los blok
Figuur 11: de differentieeltakel
4. de differentieeltakel
De differentieeltakel uit figuur 11 is gebaseerd op zowel het wiel en as principe als de takel. De wielen in dit
hijstoestel zijn in feite tandwielen waarover een ketting loopt zonder kans op slippen. Het apparaat is
voorzien van een blokkeerinrichting die voorkomt dat een eenmaal opgetilde last weer omlaag valt als we
geen kracht meer op de ketting uitoefenen. Met dit hijstoestel kunnen zeer zware lasten worden opgetild en
het wordt dan ook veel gebruikt in bv. garages en machinewerkplaatsen. Bij de bediening van het apparaat
wordt aan de ketting getrokken zoals de tekening laat zien. Kettingdeel 1 dat om de losse katrol loopt wordt
ingekort door de rotatie van de grote vaste katrol, terwijl kettingdeel 2 juist langer wordt door de rotatie van
de kleine vaste katrol. Vanwege het verschil in diameter van de beide vaste katrollen is het netto effect dat
de losse katrol samen met de last W omhoog beweegt. Om de last weer neer te laten wordt de
blokkeerinrichting ontgrendeld en roteren de katrollen nu in tegengestelde richting.
Het TNE van de differentieeltakel is tamelijk eenvoudig te berekenen. De omtrek van de grote vaste katrol is
2R. Bij een volledige omwenteling van deze katrol werkt de uitgeoefende kracht F in dus over een afstand
sin = 2R. Intussen is het kettingdeel om de losse katrol ingekort met 2R en 2r langer geworden (2r is de
omtrek van de kleine vaste katrol. Netto bedraagt de inkorting van dit kettingdeel dus: 2R - 2R = 2 . (R-r).
Aangezien deze inkorting wordt verdeeld over de twee kettinghelften waaraan de losse katrol hangt, wordt
het gewicht over een afstand suit =  (R-r) opgetild.
Voor het TNE van de differentieeltakel vinden we dus:
TNE 
sin
2R
2R


suit  R  r  R  r 
differentieeltakel (5)
Naarmate de vaste katrollen een meer gelijke diameter hebben en deze diameter groter is, is ook het TNE
van deze takel groter. Wrijvingskrachten zorgen er echter voor dat het WNE kleiner is dan het TNE.
Natuurlijk helpen wrijvingskrachten wel mee om te voorkomen dat een eenmaal opgetilde last weer omlaag
valt. Toch is het beter om de takel te voorzien van een blokkeerinrichting en door toepassing van goede
lagers de wrijvingskrachten zo gering mogelijk te maken.
Probleem:
De vaste katrollen van een differentieeltakel hebben respectievelijk een diameter van 20 en 24 cm. Als het
toestel een efficiëntie heeft van 80%, welke last kan dan worden opgetild met een kracht van 200 N?
Hoeveel meter ketting moet worden "ingehaald" om een last 1 meter op te tillen?
Oplossing:
Uit formule (5) volgt de waarde van het TNE van deze takel:
TNE = 2R / (R - r) = 2 * 12 cm / (12 - 10) cm = 12
Het WNE is vanwege de efficiëntie van 80%:
WNE = Eff * TNE = 0.80 * 12 = 9.6
Dat betekent dat het toestel met een erop uitgeoefende kracht van 200 N zelf een kracht ontwikkelt van:
Fuit = WNE * Fin = 9.6 * 200 N
=
1920 N
Om de hoeveelheid ketting te berekenen die we moeten "inhalen" maken we gebruik van de formule:
TNE = sin / suit
dit levert: 12 = sin / 1
dus: sin = 12 m
Natuurlijk hoeft de ketting in het toestel niet zo lang te zijn: ze kan best een aantal malen haar eigen lengte
door het toestel lopen bij het optillen van een last.
5. overbrenging van momenten
Een (kracht)moment kan op een aantal manieren van het ene roterende wiel op het andere worden
overgebracht. Een veel gebruikte methode is bijvoorbeeld de snaar- of riemoverbrenging. (figuur 12) .
Vroeger werd de riem van leer gemaakt, maar tegenwoordig maakt men veel gebruik van rubber versterkt
met vezelmateriaal. De dwarsdoorsnede van een dergelijke riem is heel vaak V-vormig en wordt dan ook
wel V-snaar of V-riem genoemd. Het voordeel van de V-vorm is dat er een groot contactoppervlak ontstaat
met het wiel waarom de riem loopt. Daartoe is het wiel langs de omtrek voorzien van een V-vormige groef of
schacht. Op deze wijze is de kans op slippen dus veel kleiner. Voor uitzonderlijk zware toepassingen kan
natuurlijk altijd van meerdere wielen en riemen gebruik worden gemaakt.
Een riemoverbrenging is in principe hetzelfde als een wiel en as combinatie,
TNE 
ruit d uit

rin
d in
riemoverbrenging (6)
Hierin zijn rin en din de straal resp. de diameter van het aandrijvende wiel en r uit en duit de corresponderende
grootheden van het aangedreven wiel. Het werkelijk nuttig effect van een moment overbrenging bedraagt
WNE 
Fuit
Fin
Hierbij zijn Fuit en Fin de krachten die aan de assen worden ontwikkeld.
Het verschil tussen het WNE en het TNE wordt veroorzaakt door wrijvingskrachten die optreden tussen de
riem en de wielen,immers bij afwezigheid van die krachten zou de riem voortdurend slippen. Daarnaast
treedt wrijving op in de lagers van de wielen. Naarmate de spanning in de riem groter is, is de
wrijvingskracht tussen de riem en de wielen groter en worden ook de lagers sterker belast. Het is dus van
belang de riemspanning zó in te stellen dat ze net groot genoeg is om slippen te voorkomen. Zoals in elke
machine gaat ook nu weer de winst aan geleverd moment ten koste van de beweging: hoe groter het
moment dat het aangedreven wiel levert (Muit gemeten aan de as), hoe meer omwentelingen het
aandrijvende wiel moet maken per omwenteling van het aangedreven wiel. De verhouding van de
hoeksnelheid (zoek dit begrip op in een natuurkundeboek) van de wielen is omgekeerd evenredig met de
verhouding van de wieldiameters:
 in d uit

 uit d in
riemoverbrenging (8)
Wanneer het wiel dat met de motor verbonden is (het aandrijvende wiel) kleiner is dan het aangedreven wiel
dat een machine aandrijft, dan draait de machine met een kleiner toerental dan de motor, maar het
krachtmoment (gemeten aan de as) dat door de machine geleverd wordt is groter dan dat van de motor. Het
omgekeerde is (natuurlijk) ook het geval: als het aandrijvende wiel groter is dan het aangedreven wiel. Een
combinatie van wielen zoals in figuur 9 wordt veel gebruikt om een machine te koppelen met een motor. De
snelheid van de machine en het geleverde moment kan worden geregeld door een bepaalde combinatie van
wielen te kiezen (draaibank, lintzaag)
Probleem:
Een V-riem en een set van drie wielen wordt gebruikt om het moment van een elektrische motor met een
toerental van 1750omw/min over te brengen op een lintzaag (figuur 10). Als de wieldiameters respectievelijk
7.5, 10.0 en 12.5 cm bedragen en de diameter van het wiel waarover de lintzaag loopt is 35.0 cm, bereken
dan de mogelijke lineaire snelheden van de lintzaag.
Oplossing:
Wanneer de riem loopt van het aandrijvende wiel met de diameter van 7.5 cm naar het aangedreven wiel
met de diameter 12.5 cm, dan is het toerental van het wiel waarover de lintzaag loopt:
nuit, 1 = din / duit * n in = (7.5 / 12.5 ) * 1750 = 1050 omw. / min
Loopt de riem over de twee wielen met de diameter van 10.0 cm dan is het toerental van de machine gelijk
aan die van de motor, dus nuit,2 = 1750 omw./min.
Wanneer de riem loopt van het aandrijvende wiel met de diameter van 12.5 cm naar het aangedreven wiel
van 7.5 cm geldt:
nuit,3 = 12.5 cm / 7.5 cm * 1750 = 2920 omw./min
Voor de lineaire snelheid van het zaagblad geldt dat deze gelijk is aan de lineaire snelheid van een punt op
de omtrek van het wiel waarover het zaagblad loopt. Als dit wiel een straal R heeft dan kunnen we de
snelheid berekenen met de formule v = w * R.
In het geval dat het toerental 1050 omw./min is, geldt voor de hoeksnelheid van het wiel: 1 = 2 n1 = 6600
rad/min = 110 rad/s en voor de lineaire snelheid van een punt op de omtrek:
v1 = 1 * r = 110 * 0.175 = 19.3 m/s (69.5 km/h !)
In de andere twee gevallen vinden we op dezelfde manier:
v2 = 2 * r = 183 * 0.175 = 32.0 m/s (115.2 km/h )
v3 = 3 * r = 306 * 0.175 = 53.6 m/s (193.0 km/h )
Tandwielen
De meest gebruikte methode om momenten over te brengen is door middel van combinaties van
tandwielen. Een tandwiel is in wezen een wiel dat voorzien is van een vertanding. Wanneer we twee
passende tandwielen in elkaar laten grijpen dan kan het moment van het ene tandwiel op het andere
worden overgebracht (figuur 11). Tandwieloverbrengingen kunnen zeer grote momenten overbrengen
zonder kans op slippen. Naast dit voordeel ten opzichte van de snaaroverbrenging hebben ze het nadeel
van een groter gewicht en hogere kosten vanwege de precisie waarmee de tandwielen moeten worden
gemaakt en geïnstalleerd. Net zoals bij de riemoverbrenging is het zo dat bij de overbrenging van een klein
tandwiel naar een grotere, er sprake is van een groter moment en een kleinere snelheid, terwijl dat juist
omgekeerd is in het geval waarin een groot tandwiel een kleinere aandrijft. Een overbrenging door middel
van twee in elkaar grijpen de tandwielen verschilt van de riemoverbrenging als we kijken naar de
draairichting van het aangedreven tandwiel resp. wiel: bij de tandwieloverbrenging is de draairichting van het
aangedreven tandwiel omgekeerd aan die van het aandrijvende tandwiel, terwijl bij de riemoverbrenging
beide wielen dezelfde rotatierichting hebben. Verder gelden wel dezelfde relaties tussen de diameter,de
snelheid, het moment en het theoretisch nuttig effect. Aangezien het aantal tanden N op de omtrek van een
tandwiel evenredig is met de diameter, kunnen we de verhouding van de diameters vervangen door de
verhouding tussen de aantallen tanden op de twee in elkaar grijpende tandwielen:
TNE 
Fuit N uit  in


Fin
N in  uit
tandwieloverbrenging (9)
Probleem:
Een benzinemotor ontwikkelt een vermogen van 12 kW bij een toerental van 40 omw./ s. Welke
overbrengingsverhouding is nodig tussen de tandwielen om een moment van 200 Nm te leveren?
Oplossing:
De hoeksnelheid van de motor is 40 omw./s * 2 rad/omw = 251 rad/s. Het door de motor ontwikkelde
moment bedraagt:
M = P/ = 12000 W / 251 rad/s = 47.8 Nm
De vereiste verhouding bedraagt dus: N
uit
/ N in = in / uit = 200 Nm / 47.8 Nm = 4.2
Wanneer passen tandwielen in elkaar?
Een eerste vereiste daarvoor is uiteraard dat de tanden van het ene tandwiel passen in de tandkuil van het
andere. Het belangrijkste kenmerk is daarom de steek, dit is de som van de tanddikte en de kuilwijdte,
gemeten langs de steekcirkel (zie figuur 12).
Het is gebruikelijk om deze steek aan te geven in veelvouden van π. Dit veelvoud wordt dan de modulus
van het betreffende tandwiel genoemd. Alle tandwielen van hetzelfde type (cilindrisch, conisch, etc.) met
dezelfde modulus passen in elkaar, ongeacht het aantal tanden. Bij in elkaar grijpende cilindrische
tandwielen kan in plaats van de verhouding tussen de stralen ook de verhouding tussen het aantal tanden
worden gebruikt. Dat wil zeggen: in formules mag de verhouding
n1
n2
r1
worden vervangen door de verhouding
r2
6. Het hellend vlak en de wig
Wij zijn in het dagelijkse leven dermate vertrouwd met toepassingen van het hellend vlak, dat het moeilijk is
om het als een "machine" te beschouwen. Iedereen die wel eens in de bergen heeft gewandeld weet dat het
onverstandig is om te proberen daar recht tegenop te lopen. In plaats daarvan kiest iedereen haast intuïtief
voor een route met een kleinere hellingshoek: de weg die je moet afleggen is dan wel langer maar het kost
minder spierkracht en is daardoor beter vol te houden. Wederom maken we kennelijk (onbewust) gebruik
van het principe dat een langere weg gepaard gaat met een reductie van de benodigde kracht.
In figuur 13 zien we een hellend vlak waarlangs een krat omhoog wordt geduwd. Het hellend vlak heeft een
lengte l en bereikt een hoogte h. Volgens formule (2) geldt:
TNE 
sin L

suit h
Hellend vlak (10)
Probleem:
Een olifant met een massa van 800 kg staat op een karretje dat voorzien is van wrijvingsloze wielen. Dit
olifantje moet op transport met een truck. Er worden planken gelegd met een lengte van 4 meter schuin
oplopend van de grond naar de bodem van de laadvloer van de truck. De hoogte van de laadvloer is 1.20 m
boven de grond. Bereken de benodigde kracht om de olifant in de truck te krijgen.
Oplossing:
Uit formule (10) volgt:
TNE = l / h = Fuit / Fin = Fg / Fin
Fin = (Fg * h) / l = (8000 * 1.20) / 4.0 = 2400 N
Een veel gebruikte toepassing van het hellend vlak is de wig (figuur 14). Het TNE van een wig met lengte l
en dikte h is l / h, net als bij het hellend vlak, maar dit wordt in de praktijk nooit gehaald vanwege de grote
wrijvingskrachten die bij het gebruik van de wig juist hun nut bewijzen. We zullen het TNE van de wig
afleiden door even in detail na te gaan hoe dit "apparaat" eigenlijk werkt.
De wig brengt in feite de erop uitgeoefende horizontale kracht F over op één zijde van het op te tillen
voorwerp. De kracht FN die op dit voorwerp werkt, staat loodrecht op het schuine vlak van de wig. Het
"werkzame" deel van de kracht FN is de verticale component ervan, FN * cos a. Immers de horizontale
component FN * sin α verricht geen arbeid bij het omhoog brengen van de ene zijde van het voorwerp over
een afstand h
Het TNE van de wig is dus:
TNE = Fuit / Fin = FN * cos / F
Voor een nadere uitwerking hiervan kijken we naar de krachten die op de wig werken. Omdat we
geïnteresseerd zijn in het TNE kunnen we wrijvingskrachten verwaarlozen. In dit geval werken er 3 krachten
op de wig: de door ons uitgeoefende horizontale kracht F, de reactiekracht van het voorwerp op de wig (FN) en de verticaal omhoog gerichte kracht Fb van de grond op de wig.
In evenwicht moet gelden: F = FN,x
en FN,y = Fb ofwel:
F = FN * sin α (*) en FN * cos α = Fb
De kracht FN kunnen we met behulp van (*) uitdrukken in F:
FN =
F / sin α (*) zodat voor het TNE van de wig geldt:
TNE = (FN * cos α) / F = [(F / sin α ) * cos α] / F = F cos α / F sin α = 1 / tan α
Met tan α = h / l volgt dus:
TNE = l/ h
Naarmate de wig "platter" is, dat wil zeggen een kleinere hellingshoek α heeft, is de effectief door de wig
ontwikkelde kracht groter, immers:
FN * cos α = F * cos α / sin α = F / tan α
De prijs die hiervoor betaald wordt is de grotere lengte L van de wig. De door ons uitgeoefende kracht F
moet dus over een langere afstand l worden toegepast om één zijde van het voorwerp over een afstand h
omhoog te brengen.
Naast het splijten van een blok hout met een bijl, het waterpas stellen van voorwerpen en het openhouden
van deuren, maken ook alle snijgereedschappen gebruik van de wig, zoals bijvoorbeeld een mes, een
schaar, een beitel, etc.
Ook een nok is op te vatten als een (roterende) wig. Uit figuur 15 zien we dat het TNE van een nok gelijk is
aan:
TNE = ½ L / ( r1 – r2)
In deze formule is L de omtrek van de nok en zijn r1 en r2 de maximale straal resp. de minimale straal van
de nok.
Figuur 15
Nokken worden bijvoorbeeld in een verbrandingsmotor gebruikt om de cilinderkleppen te bedienen. Deze
kleppen sluiten door middel van zeer sterke veren de cilinder af. Door middel van de nokken kunnen ze
echter toch met relatief geringe kracht open worden gedrukt (zie figuur 16)
7. de schroef
Waarschijnlijk is de meest belangrijke technische toepassing van het hellend vlak de schroef. In essentie is
de schroef een hellend vlak rondom een cilinder gewonden tot een helix (figuur 17). De windingen van de
schroef vormen het schroefdraad en hebben vaak een driehoekvorige dwarsdoorsnede. Een rechtse schroef
beweegt van je af wanneer hij met de klok mee ("rechtsom) wordt gedraaid, een linkse schroef beweegt van
je af wanneer hij linksom wordt gedraaid. Standaardschroeven zijn altijd rechtse schroeven.
De spoed s van een schroef is de afstand tussen twee naburige windingen en de schroef legt dus deze
afstand s naar binnen af wanneer hij 1x rondgedraaid wordt. Het theoretisch nuttig effect van een schroef
hangt af van de arm l van de hefboom van het stuk gereedschap waarmee de schroef wordt rondgedraaid.
Bij een schroevendraaier is l de straal van het handvat, terwijl het bij een steeksleutel de afstand is van de
plaats waar hij wordt vastgepakt tot het centrum van de "bek". Wanneer een schroef met spoed s één
omwenteling maakt, dan werkt de toegepaste kracht F over de hele omtrek van de cirkel met straal l. Daarbij
legt de schroef effectief de afstand s af.
Er geldt dus:
TNE 
sin 2l

suit
s
de schroef
Net als bij de gewone wig ligt bij de schroef het werkelijk mechanisch rendement veel lager dan de waarde
voor het TNE tengevolge van wrijvingskrachten. Ook hier geldt echter dat het juist deze wrijvingskrachten
zijn die ervoor zorgen dat de schroef zijn functie kan uitoefenen. Zonder wrijvingskrachten zou de schroef
simpelweg weer terugdraaien als hij werd blootgesteld aan belastende krachten. Toch is er zelfs bij een lage
efficiëntie nog een aanzienlijke winst in de grootte van de ontwikkelde kracht, zoals het volgende voorbeeld
laat zien.
Probleem:
Een steeksleutel met een effectieve arm van 20 cm wordt gebruikt om een bout aan te draaien. De spoed
van het schroefdraad is 1.5mm. De efficiëntie bedraagt 5%. Bereken de kracht die door de bout wordt
ontwikkeld als er een kracht van 50 N op de steeksleutel wordt uitgeoefend.
Oplossing
TNE = 2 π l /s = (2 π * 200 mm) / 1.5 mm = 837.76
WNE = Eff * TNE = 0.05 * 837.76 = 42
Fuit = WNE * Fin = 42 * 50 = 2100 N
In figuur 18 zien we de wormwieloverbrenging. Bij één complete omwenteling van het wormwiel roteert de
omtrek van het aangedreven tandwiel over de breedte van 1 tand. Het TNE van deze overbrenging is
dus gelijk aan het aantal tanden van het aangedreven tandwiel en kan dus erg groot zijn. Dat betekent dat
door deze overbrenging een geweldig krachtmoment kan worden ontwikkeld. Om een soepel
functionerende overbrenging te krijgen is vaak wel een goede smering vereist daar de wrijvingskrachten
anders zeer aanzienlijk kunnen zijn.
Een wormwiel wordt altijd rechtstreeks gekoppeld aan een aangedreven as. Het is niet mogelijk dat het
wormwiel, zoals in figuur 18, wordt aangedreven door een tandwiel. Er is hier sprake van een zogeheten
irreversibele (niet-omkeerbare) overbrenging.
8. De hydraulische pomp.
De hydraulische pomp is gebaseerd op de zogeheten wet van Pascal voor vloeistoffen:
Als op een vloeistof ergens een bepaalde uitwendige druk p wordt uitgeoefend, dan plant deze druk zich in
alle richtingen voort met dezelfde grootte.
Deze eigenschap van vloeistoffen berust op het feit dat een vloeistof niet samendrukbaar is. In figuur 19 is
het principe van een hydraulische pompschematisch weergegeven. Een kracht F in werkt op de kleinere
zuiger en produceert daarmee een druk: p 
Fin
Ain
Zoals gezegd plant deze druk zich In alle richtingen voort en werkt dus ook aan de onderkant van de grote
zuiger. Op de grote zuiger werkt dus een kracht:
Fuit  p  Auit 
Fin
A
 Auit  uit  Fin
Ain
Ain
Het TNE voor de hydraulische pomp bedraagt dus: TNE 
Fuit Auit

Fin
Ain
Door nu het oppervlak van de grote zuiger veel groter te maken dan die van de kleine zuiger kunnen we een
zeer grote waarde van het TNE bereiken. En ook nu moeten we voor deze vergroting van de oorspronkelijke
kracht weer dezelfde prijs betalen: de kleine cilinder moet overeen veel grotere afstand naar beneden
worden bewogen dan de grote zuiger omhoog komt. Wanneer de kleine zuiger over een afstand l in omlaag
wordt bewogen, dan wordt er aan volume verplaatst: V = Ain * lin
Aangezien vloeistoffen niet samendrukbaar zijn, komt dit zelfde volume bij de grote zuiger omhoog. Hier
geldt dus: V = Auit* luit
Voor het TNE van de hydraulische pomp kunnen we dus ook schrijven:
TNE 
Auit lin

Ain luit
Een resultaat dat ons niet mag verbazen.
Wanneer bijvoorbeeld Auit 100x zo groot is als Ain dan is het effect hiervan dat in de hydraulische pers de
oorspronkelijk toegepaste kracht met een factor 100 wordt vergroot Als we de kleine zuiger over een
afstand van 100 cm omlaag bewegen, komt de grote zuiger echter slechts 1 cm omhoog.
Probleem:
De kleine en grote zuiger in een hydraulische krik hebben een diameter van 2.5 cm resp. 10.0 cm. Een
hefboom met een mechanisch nuttig effect van 6 wordt gebruikt om een kracht op de kleine zuiger uit te
oefenen (zie figuur 20). Hoe groot is de massa van een voertuig dat met deze krik kan worden opgetild bij
een kracht van 180 N op de hefboom?
Oplossing:
Het theoretisch nuttig effect van het hydraulische systeem is:
TNE = Auit / Ain = (ruit)2 / (rin)2 = (duit/din)2 = (10 / 2.5)2 = 16
Het theoretisch nuttig effect van het gehele systeem, dat wil zeggen van hefboom + hydraulische pers is:
TNEtot = TNEhefboom * TNEpers = 6 * 16 = 96
De door de krik ontwikkelde kracht bedraagt dus: Fuit = TNE * Fin = 96 * 180 N = 17280 N
Er kan dus een voertuig met een massa van (ongeveer) 1728 kg worden opgetild.
TOETSVRAGEN
DEEL I: MEERKEUZE VRAGEN
1. Van welke grootheid kan de grootte niet door een machine worden beïnvloedt?
a. De kracht
b. Het moment
c. De snelheid
d. De arbeid
2. Welke machine behoort niet tot de 3 "basismachines"?
a. De hefboom
b. Het wiel
c. Het hellend vlak
d. De hydraulische pomp
3.
Het werkelijk nuttig rendement van een machine is:
a. Kleiner dan het TNE
b. Gelijk aan het TNE
c. Groter dan het TNE
d. Afhankelijk van de efficiëntie ervan.
4.
De kracht die door een hefboom wordt geleverd is niet afhankelijk van:
a. De kracht die op de hefboom wordt uitgeoefend.
b. Wrijvingskrachten die kunnen optreden in het steunpunt.
c. De TNE- waarde van de hefboom.
d. Het type waartoe de hefboom behoort.
5.
Een machine met een TNE- waarde van 5 en een WNE- waarde van 4 wordt gebruikt om een
massa van 10 kg op te tillen over een afstand van 4 meter. De hoeveelheid arbeid die daartoe aan
de machine geleverd moet worden, bedraagt:
a. 40 J
c. 392 J
b. 160 J
d. 490 J
6. Een man wrikt een zijde van een krat omhoog met behulp van een stalen staaf als hefboom. De
massa van het krat is 230 kg, de lengte van de staaf bedraagt 1.80 meter. De man oefent een
kracht van 35 N uit op de staaf. De afstand van de (opgetilde) zijde van het krat tot aan het
steunpunt bedraagt:
a. 90 cm
c. 42 cm
b. 24 cm
d. 48 cm
7. Het minimum aantal katrollen dat nodig is om een TNE- waarde van 6 te bereiken, is:
a. 3
c. 5
8.
b. 4
d. 6
De hoogste TNE- waarde die met een combinatie van 2 katrollen kan worden bereikt is:
a. 1
c. 3
b. 2
d. 4
9. Een kracht van 25 N is nodig om een last van 120 N omhoog te hijsen met een katrollensysteem.
De last gaat 1 meter omhoog als we 5 meter touw inhalen. De efficiëntie van dit katrollensysteem
bedraagt:
a. 48%
c. 96%
b. 50%
d. 104%
10. Een motor maakt 600 toeren per minuut en is gekoppeld aan een compressor door middel van een
V-riem. Het wiel dat direct door de motor wordt aangedreven heeft een diameter van 6 cm, dat van
de compressor heeft een diameter van 18 cm. Het wiel van de compressor roteert met een toerental
van:
a. 200 omw./min
b. 600 omw./min
c. 1800 omw./min
d. 5400 omw./min
11.
Het TNE van een hellend vlak hangt af van:
a. De lengte
b. De hoogte
c. De verhouding van de lengte en de hoogte
d. De verhouding van de hoogte en de lengte.
12. De hoeveelheid arbeid die nodig is om iets naar de top van een hellend vlak te schuiven hangt, bij
afwezigheid van wrijvingskrachten, af van:
a. De hoogte
c. Het TNE
b. De lengte
d. Het WNE
13. De werking van alle snijgereedschappen berust op:
a. Het principe van de verrichte arbeid
b. Het bestaan van een steunpunt
c. De werking van de hefboom
d. Het hellend vlak.
14. De TNE-waarde van een schroef hangt af van:
a. De diameter van de schroef.
b. De lengte van de schroef.
c. De spoed van het schroefdraad
d. Het type schroef (links of rechts)
Vraagstukken.
1. Wat moet gelden voor het mechanisch nuttig effect van een krachtwerktuig? En voor een machine
die bedoeld is om de snelheid op te voeren?
2. Wat is het effect van smering op de TNE-waarde van een machine? En het effect op de WNE
waarde?
3. We pakken een draadtang beet op 15 cm afstand van het scharnierpunt. Vervolgens plaatsen we de
bek van de tang op een stuk ijzerdraad. De draad bevindt zich op een afstand van 3 cm op 15 cm
afstand van het scharnierpunt. We gebruiken een kracht van 20 N. Bereken de kracht op de draad.
4. De onderarm van een mens is een hefboom van type 3. De elleboog is het scharnierpunt. De
spierkracht wordt geleverd door de biceps, waarvan de pees op ongeveer 2.5 cm afstand van de
elleboog aangrijpt. Het midden van de hand bevindt zich ongeveer 30 cm van de elleboog.
Hoe groot is de kracht die de biceps moet ontwikkelen om een massa van 10 kg op de hand te dragen met
een horizontaal gehouden onderarm?
De lichaamsspieren hebben een efficiëntie van ongeveer 20% in termen van energie dissipatie. Hoeveel
arbeid moet er dan verricht worden om het gewicht 30 cm op te tillen?
5. Een combinatie van wiel en as wordt gebruikt om emmertjes water uit een put te halen. Het wiel is
1.20 meter in diameter en de diameter van de as is 15 cm. De efficiëntie van de combinatie
bedraagt 60 %.
Bereken de kracht die moet worden uitgeoefend om een emmer met een
massa van 2 kg en een inhoud van 8 liter water naar boven te hijsen?
6. Twee mensen gaan proberen om een auto uit de modder te trekken. Een los blok met twee katrollen
wordt aan de auto vastgemaakt, terwijl een ander blok met drie katrollen aan een boom wordt
vastgemaakt. Er wordt een touw door de diverse katrollen geleidt en vervolgens wordt het andere
uiteinde van het touw aan de Jeep bevestigd. Bereken de kracht die op de auto wordt uitgeoefend
op de auto als de twee mensen samen een spierkracht leveren van 800 N. Verwaarloos
wrijvingskrachten.
7. De grote katrol van een differentieeltakel heeft een diameter van 30 cm, de kleinere heeft een
diameter van 26 cm. Als de efficiëntie van de takel 93% is, bereken dan de benodigde kracht om
een auto met een massa van 1200 kg op te tillen.
8. De differentieeltakel uit de vorige opgave begeeft het. In plaats daarvan gebruiken we nu een takel
bestaande uit een vast en een los blok Wat is het minimale aantal katrollen dat deze takel moet
hebben om de TNE- waarde van de differentieeltakel te evenaren?
9. In een zekere tandwieloverbrenging drijft een tandwiel met10 tanden een tandwiel met 25 tanden
aan. De efficiëntie van de overbrenging bedraagt 50%.
Als het kleine tandwiel 8 omwentelingen per minuut maakt bereken dan het toerental van het grote tandwiel.
b. Als er aan de as een moment van 30 Nm op het kleine tandwiel wordt uitgeoefend, bereken dan het
moment dat door deze overbrenging wordt geleverd.
10. De schroefdraad van een gewone mechanische krik heeft een spoed van 1 cm. De lengte van de
krikhendel is 30 cm. Een kracht van 80 N moet worden gebruikt om een last van 1170 kg op te tillen.
Bereken de efficiëntie van de krik.
11. Een houtschroef heeft 5 schroefdraadwindingen per cm en wordt rondgedraaid door een
schroevendraaier waarvan het handvat een diameter heeft van 3.8 cm. Er is een gat voorgeboord
en er wordt vet gebruikt. Hiermee is de efficiëntie opgevoerd tot 10%. Als er een kracht van 5 N
wordt uitgeoefend op het handvat van de schroevendraaier, wat is dan de kracht waarmee de
schroef wordt ingedraaid?
12. Een bankschroef heeft schroefdraad met een spoed van 3 mm en een hendel met een lengte van
13 cm. Hoe groot is de kracht waarmee de bankschroef klemt als we een kracht van 40 N op het
uiteinde van de hendel uitoefenen? Verwaarloos wrijvingskrachten.
13. Een safe met een massa van 150 kg moet op geldtransport. We zetten de safe op een karretje dat
wrijvingsloos kan rollen.De laadvloer van de geldtruck bevindt zich 1.20 meter boven de grond. We
leggen planken met een lengte van 4.0 meter schuin omhoog naar de laadvloer. Bereken de kracht
die we nodig hebben om de safe in de truck te krijgen.
14. In de figuur hieronder zien we een katrolsysteem waarvan het TNE groter is dan van een takel met
een los en een vast blok met een zelfde aantal katrollen. Bepaal van dit systeem het TNE.
15. Bepaal het TNE van de katrollencombinatie in de onderstaande figuur.
16. Het grote tandwiel van een bepaalde flets heeft een diameter van 20 cm. Het tandwiel op de
achteras van de fiets heeft een diameter van 10 cm. De diameter van de wielen van de fiets is 40
cm. Hoe vaak moeten we de trappers per minuut laten ronddraaien om de fiets een snelheid van 20
km/uur te geven?
17. Een elektromotor met een vermogen van 370 Watt en een toerental van 1750 omw./min. wordt door
middel van een V-snaar gekoppeld aan een cirkelzaag. De diameter van het zaagblad is 12.5 cm.
Het door de motor aangedreven wielheeft een diameter van 15 cm, de pulley van de cirkelzaag
heeft een diameter van 5 cm. Bereken de kracht die de tanden van de cirkelzaag uitoefenen op een
stuk hout.
18. De "body" van een spanschroef bestaat uit een holle cilinder die aan de ene zijde aan de
binnenkant is voorzien van"linkse" draad en aan de andere binnenzijde van "rechtse"draad. Stangen
voorzien van schroefdraad worden aan beide zijden van de spanschroef ingedraaid. Door nu de
spanschroef te draaien worden de stangen met grote kracht naar elkaar toe getrokken.Een zekere
spanschroef, met een efficiëntie van 40% , wordt gebruikt om een mastkabel op een zeilschip te
spannen. De spanschroef is voorzien van schroefdraad met een spoed van 2mm en wordt
aangedraaid met een steeksleutel met een lengte van 25 cm. We oefenen een kracht van 100 N uit
op de steeksleutel.Bereken de spankracht in de mastkabel.
19. De schroefdraad van een bepaalde krik heeft een spoed van 0.8 cm. Het moment op de krik wordt
uitgeoefend door middel van een slinger. De hefboom van de slinger heeft een lengte van 30 cm.
De slinger brengt een horizontale as in beweging.Door middel van twee conische tandwielen wordt
deze beweging overgebracht op de verticale as van de krik. Het tandwiel op de as van de slinger
heeft een diameter die 1/3 bedraagt van de diameter van het andere tandwiel. De efficiëntie van het
systeem bedraagt 25%
a. Hoe zou deze krik er ongeveer uitzien? Maak een schets.
b. Wanneer op de hendel van de slinger een kracht van 160 N wordt uitgeoefend, welke last
kan dan worden opgetild?
c. Hoe vaak moet de slinger worden rondgedraaid om een last 1 meter op te tillen?
20. Een dieselmotor ontwikkelt een vermogen van 45 kW bij een toerental van 3000 toeren/min.
a. Welke overbrengingsverhouding is nodig om een moment van 50 Nm te ontwikkelen?
b. Bij welk toerental wordt dit moment geleverd?