Tentamen Analyse 4

Tentamen Analyse 4
Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur
• Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer.
• Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan.
• Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet de achterkant niet.
1. Toon aan dat het polynoom p(z) = z 7 + 3z 5 − 14z 3 + 9 precies drie
nulpunten (multipliciteiten meegerekend) in de open eenheidsschijf D(0, 1)
heeft.
2. Beschouw de functie f : C \ {0, −i, i} → C, gegeven door
f (z) =
ei/z
z2 + 1
(z ∈ C, z 6= 0, −i, i).
(a) Bepaal voor ieder van de punten 0, −i en i de aard van de singulariteit van f in het betreffende punt.
(b) Toon aan dat f een ophefbare singulariteit heeft in ∞.
(c) Bepaal in ieder van de polen van f het residu van f .
H
(d) Bereken γ f (z) dz, waarbij γ de contour in de onderstaande figuur
is.
3. Bereken
Z
∞
0
x sin x
dx.
1 + x2
Z.O.Z
1
4. Gegeven is de functie g(z) = 1/(1 + 2z 2 ) op zijn natuurlijke definitiegebied in het complexe vlak.
(a) Bepaal de machtreeks van g rond z = 0.
(b) Bepaal voor de afgeleide g 0 (z) = −4z/(1 + 2z 2 )2 de machtreeks
rond z = 0.
(c) Verklaar, zonder de coëfficiënten ervan te gebruiken, waarom de
convergentiestraal
van de machtreeks in het vorige onderdeel gelijk
√
is aan 1/ 2.
(d) Bepaal
de Laurentreeks van g 0 op de annulus {z ∈ C : |z| >
√
1/ 2}.
5. Zij u: D(0, 1) → R een continue functie op de gesloten eenheidsschijf
die harmonisch is op de open eenheidsschijf D(0, 1). Veronderstel dat
u(x, y) = x2 als (x, y) op de eenheidscirkel ∂D(0, 1) ligt.
(a) Toon aan dat 0 < u(x, y) < 1 als (x, y) ∈ D(0, 1).
(b) Bereken u(0, 0).
6. Zij h: C → C een holomorfe functie.
(a) Bewijs dat j: C → C, gedefinieerd door j(z) = h(z̄) voor z ∈ C,
eveneens een holomorfe functie is.
(b) Stel dat h de reële as in zichzelf afbeeldt, dus h(z) ∈ R als z ∈ R.
Bewijs dat dan h(z) = h(z̄) voor alle z ∈ C.
(c) Stel dat h zowel de imaginaire als de reële as in zichzelf afbeeldt.
Bewijs dat dan h(−z) = −h(z) voor alle z ∈ C.
2
Uitwerking en normering
1. Toon aan dat het polynoom p(z) = z 7 + 3z 5 − 14z 3 + 9 precies drie
nulpunten (multipliciteiten meegerekend) in de open eenheidsschijf D(0, 1)
heeft.
Uitwerking
Stelling van Rouché. Het idee is dat p(z) en g(z) = −14z 3 even veel
nulpunten hebben binnen de eenheidsschijf. Volgens de stelling van
Rouché is dit waar als |p(ζ)−g(ζ)| < |p(ζ)|+|g(ζ)| op de eenheidscirkel.
Merk nu op dat, als |ζ| = 1,
|p(ζ) − g(ζ)| = |ζ 7 + 3ζ 5 + 9| ≤ |ζ 7 | + 3|ζ 5 | + 9 = 13 < 14 = |g(ζ)|.
Normering: 1 punt voor de goede formulering van Rouché, 1 punten
voor de goede splitsing in p en g, 1 punt voor de ongelijkheid, 1 punt
voor de drie nulpunten van −14z 3 .
2. Beschouw de functie f : C \ {0, −i, i} → C, gegeven door
f (z) =
ei/z
z2 + 1
(z ∈ C, z 6= 0, −i, i).
(a) Bepaal voor ieder van de punten 0, −i en i de aard van de singulariteit van f in het betreffende punt.
(b) Toon aan dat f een ophefbare singulariteit heeft in ∞.
(c) Bepaal in ieder van de polen van f het residu van f .
H
(d) Bereken γ f (z) dz, waarbij γ de contour in de onderstaande figuur
is.
3
Uitwerking
(a) Polen van orde 1 in ±i en essentiele singulariteit in 0.
(b) De functie heeft een ophefbare singulariteit in ∞ als limz→0 f (1/z)
bestaat. Schrijf dit uit.
(c) Zoals al blijkt uit het antwoord in a) zijn de polen van orde 1 en
is het residu dus gelijk aan limz→±i f (z) · (z ± i).
(d) Volgens de residuenstelling is de integraal gelijk aan 2πi keer de
som van de residuen, gewogen met de windingsgetallen.
De kromme loopt duidelijk 1 keer rond +i tegen de klok in en 1
keer rond −i met de klok mee. Het eerste windingsgetal is +1 en
het tweede is −1.
Normering: (a) 2 punten waarvan 1 voor de polen en 1 voor de essentiële singulariteit (b) 1 punt (c) 1 punt (d) 2 punten waarvan 1 voor
de residuenstelling (expliciet geformuleerd of blijkend uit de wijze van
berekening) en 1 voor het goed bepalen van de windingsgetallen. Bij
onderdeel (a) hoeft de orde van de pool niet te worden genoemd: dit
komt vanzelf bij (c) terug.
3. Bereken
Z
∞
0
x sin x
dx.
1 + x2
Uitwerking
R ∞ sin x
R ∞ x sin x
De functie is even, dus −∞ x1+x
dx. Schrijf de sinus
2 dx = 2 0
1+x2
ix
als het imaginaire deel van e dus
Z ∞
Z ∞
x sin x
xeix
dx
=
Im
dx.
2
2
−∞ 1 + x
−∞ 1 + x
iz
ze
De functie f (z) = 1+z
2 is holomorf buiten de polen ±i. Neem de standaardcontour γR van −R naar +R langs de x-as en via een cirkelboog
terug door het bovenhalfvlak. Volgens de stelling van Cauchy is
4
I
f (z) dz = 2πi · Res(i) = 2πi ·
γR
1
πi
= .
2e
e
Nu moeten we beredeneren dat de bijdrage aan de integraal van de
cirkelboog naar nul gaat als R → ∞. Dat kun je niet doen op de standaardmanier: maximum van de functie × booglengte, want de teller is
orde R en de noemer is orde R2 .
Een methode om in te zien dat het toch klopt gaat als√in voorbeeld
√ 4.6.3
in het boek. Verdeel de boog in twee stukken: y > R en y < R.
Normering: even functie 1 punt; schrijven als imaginair deel 1 punt;
residu in i 1 punt; contour 1 punt; het probleem van de contour zien
en oplossen samen 1 punt; rekenwerk inclusief correcte afschattingen 1
punt.
4. Gegeven is de functie g(z) = 1/(1 + 2z 2 ) op zijn natuurlijke definitiegebied in het complexe vlak.
(a) Bepaal de machtreeks van g rond z = 0.
(b) Bepaal voor de afgeleide g 0 (z) = −4z/(1 + 2z 2 )2 de machtreeks
rond z = 0.
(c) Verklaar, zonder de coëfficiënten ervan te gebruiken, waarom de
convergentiestraal
van de machtreeks in het vorige onderdeel gelijk
√
is aan 1/ 2.
(d) Bepaal
de Laurentreeks van g 0 op de annulus {z ∈ C : |z| >
√
1/ 2}.
Uitwerking
(a) De moeder van alle machtreeksen is 1/(1−x) = 1+x+x2 +x3 +. . .
voor |x| < 1. Hier geeft dit dus dat
∞
X
1
=
(−2)n z 2n ,
2
1 + 2z
n=0
voor |z| klein genoeg.
(b) Machtreeksen kunnen termsgewijs gedifferentieerd worden op hun
convergentieschijf.
(c) Voor de Laurentreeks op het buitengebied moet je de functie ontwikkelen in machten van 1/z. Het is het handigste om de Laurentreeks van g te bepalen: omdat die uniform convergeert kun je
die immers termsgewijs differentiëren.
5
Normering: (a) 1 punt (b) 1 punt (c) 1 punt (d) 2 punten waarvan 1
voor de opmerking dat je moet ontwikkelen naar 1/z.
5. Zij u: D(0, 1) → R een continue functie op de gesloten eenheidsschijf
die harmonisch is op de open eenheidsschijf D(0, 1). Veronderstel dat
u(x, y) = x2 als (x, y) op de eenheidscirkel ∂D(0, 1) ligt.
(a) Toon aan dat 0 < u(x, y) < 1 als (x, y) ∈ D(0, 1).
(b) Bereken u(0, 0).
Uitwerking.
Een enkeling ziet misschien dat de oplossing van dit Dirichlet probleem
gelijk is aan 12 (1+x2 −y 2 ). Omdat de oplossing uniek is volgen de antwoorden hieruit, maar bij deze redeneerwijze moet de uniciteitsstelling dan
wel volledig en correct vermeld staan.
(a) Het maximum op de rand is 1 en het minimum is daar 0. Gebruik
het maximum/minimum-principe voor harmonische functies.
(b) De waarde in 0 is het gemiddelde van de waarde op de eenheidscirkel, dit is een eenvoudig geval van de toepassing van de Poisson
kern in 7.3.4.
Normering: (a) 1 punt (b) 2 punten waarvan 1 voor de opmerking dat
u(0, 0) het gemiddelde is en 1 voor het opstellen/uitrekenen van de integraal. Bij het opstellen van de integraal moet er wel een argument
gegeven worden waarom het klopt voor straal 1. Indien dit het alternatieve argument hierboven is hoeft uniforme convergentie niet geverifieerd te worden.
6. Zij h: C → C een holomorfe functie.
(a) Bewijs dat j: C → C, gedefinieerd door j(z) = h(z̄) voor z ∈ C,
eveneens een holomorfe functie is.
(b) Stel dat h de reële as in zichzelf afbeeldt, dus h(z) ∈ R als z ∈ R.
Bewijs dat dan h(z) = h(z̄) voor alle z ∈ C.
(c) Stel dat h zowel de imaginaire als de reële as in zichzelf afbeeldt.
Bewijs dat dan h(−z) = −h(z) voor alle z ∈ C.
Uitwerking
(a) Kun je doen via Cauchy-Riemann, maar dan moet je rekenen. Het
handigst is: een functie h is holomorf rond P dan en slechts dan
als h rond P te ontwikkelen is in een machtreeks in z − P .
(b) Twee holomorfe functies zijn gelijk als ze overeenstemmen op een
6
verzameling met een verdichtingspunt dat binnen hun domein van
holomorfie ligt. Op de reële rechte doet de conjugatie operatie
niets.
(c) Onderdeel b was spiegelen in de x-as en nu kunnen we ook spiegelen
in de y-as. De cruciale opmerking is dat −z̄ = z als z volledig
imaginair is.
Normering: (a) 1 punt (b) 1 punt (c) 1 punt.
Punten per opgave (in totaal 27):
1: 4
2: 6
3: 6
4: 5
5: 3
6: 3
Tentamencijfer = (som van de punten + 3)/3.
Eindcijfer = max(T, 0.8T + 0.2H), met de gebruikelijke afronding.
Hierbij is T het tentamencijfer en H het gemiddelde huiswerkcijfer.
7