Dictaat Afstanden en hoeken in R³

AFSTANDEN EN HOEKEN IN
Klas 6N en 7N
K. Temme
INHOUD
§ 1.
DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN ........................ 4
§ 2.
DE AFSTAND VAN EEN PUNT EN EEN LIJN .......... 5
§ 3.
DE AFSTAND VAN EEN PUNT EN EEN VLAK......... 7
§ 4.
DE AFSTAND VAN EEN LIJN EN EEN VLAK .......... 9
§ 5.
DE AFSTAND VAN TWEE LIJNEN ........................ 11
§ 6.
DE AFSTAND VAN TWEE VLAKKEN .................... 14
§ 7.
DE HOEK VAN TWEE LIJNEN ............................. 15
§ 8.
DE HOEK VAN EEN LIJN EN EEN VLAK .............. 17
§ 9.
DE HOEK VAN TWEE VLAKKEN .......................... 19
2
SAMENVATTING
DE HOEKFORMULE
Als a en b de richtingsvectoren van twee lijnen zijn dan geldt voor de hoek 
tussen de twee lijnen:
cos  
a , b 
a  b
LOODRECHTE VECTOREN
( a , b )0  a  b
NORMAALVECTOR
Een normaalvector n V
a
 
van het vlak V : ax + by + cz = d is  b  .
c 
 
AFSTANDSFORMULE
Voor de afstand d van een punt P en een vlak V: ax + by + cz = e geldt:
ax P  by P  cz P  e
d (P, V) 
nV
BASISKENNIS
-
Vlakken: van vectorvoorstelling naar vergelijking en andersom
middelloodvlak
Snijpunt lijn/lijn; lijn/vlak
Snijlijn vlak/vlak
Afstanden: punt/punt; punt/lijn; punt/vlak; lijn/lijn; lijn/vlak; vlak/vlak
Hoeken: lijn/lijn; lijn/vlak; vlak/vlak
3
§ 1. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN
Voor de afstand van twee punten P en Q geldt:
d (P, Q)  (x Q  x P )²  (y Q  y P )²  (z Q  z P )²
1.
a.
b.
2.
a.
b.
c.
Gegeven zijn A ( 1, 2, 3 ), B( 3, 0, 2 ) en C ( p, 5, p  3 )
Bereken d(A, B)
Er geldt d(A, C) = 22 . Bereken p.
 x  0
1 
   
 
Gegeven zijn P( 5, 2, 3 ) en l :  y    4     0  .
 z  7
  1
   
 
Voor het punt Q op l geldt zQ = 3. Bereken d(P, Q).
Het vlak V staat loodrecht op l en gaat door P. Het snijpunt van l en V is S. Bereken
d(P, S)
Op l liggen punten A en B zo dat PA = PB = 3. Bereken de coördinaten van A en B.
3.
Gegeven zijn A ( 3, 3, 3 ), B ( 4, 1, 8 ) en C ( 7, 1, 5 ).
a. Bereken een vergelijking van het vlak door A, B en C.
b. Bereken een vergelijking van het middelloodvlak van A en B.
c. Bereken een vectorvoorstelling van de verzameling punten Q
waarvoor geldt: QA = QB = QC.
d. Bereken de coördinaten van het middelpunt M van de cirkel
door A, B en C.
4
§ 2. DE AFSTAND VAN EEN PUNT EN EEN LIJN
Met de afstand van een punt P tot een lijn l wordt de kortste afstand bedoeld.
Gezocht wordt dus het punt S op l dat het dichtst bij P ligt. Dit punt S wordt ook de
loodrechte projectie van P op l genoemd.
VOORBEELD 1.
4 
 x    2
 
   
Gegeven zijn P(5, 7, 2) en l :  y    3      2  . Bereken d(P, l)
1 
 z  1 
 
   
Methode: Maak het vlak V loodrecht op l door P. Bereken het snijpunt S van l en V. Er
geldt: d(P, l) = d(P, S ).
V : 4 x  2 y  z  f
Oplossing: 
 45  27  2  f  f  8
door P(5, 7, 2)
dus V: 4x − 2y + z = 8
Berekening van het snijpunt S van l en V:
4(−2+4λ) − 2(3 − 2λ) + 1+λ = 8  21  21    1
Dus S= (2, 1, 2 ) en dus d(P, l) = d(P, S )= 45
5
4.
a.
i.
 x  0
  3
   
 
Bereken de afstand van de oorsprong en l :  y    4     2 
 z  6
1 
   
 
ii. Bereken de coördinaten van het punt op l dat het dichtst bij de oorsprong ligt.
b.
i.
5.
Bereken de coördinaten van de loodrechte projectie van A( 4, 1, 2 ) op
 x  2 
1 
   
 
k :  y   12      4 
 z  0 
3 
   
 
ii. Bereken d ( A, k )
iii. A wordt gespiegeld in k . Bereken de coördinaten van het spiegelpunt.
 x    1
1 
   
 
Gegeven zijn: B ( 9p+1, 4, 0 ) en m :  y    5     2  . Er geldt: d (
z  0 
 2
   
 
B, m ) = 41 . Bereken p.
6.
Gegeven zijn A( 1, 0, 0) , B(1, 2, −2) en C(−3, 0, 2).
a. Bereken de afstand van A en de lijn BC
b. Bereken de oppervlakte van ΔABC.
c. k is de zwaartelijn van ΔABC vanuit A. Bereken de afstand van k en B.
6
§ 3. DE AFSTAND VAN EEN PUNT EN EEN VLAK
Met de afstand van een punt P tot een vlak V wordt de kortste afstand bedoeld.
Voor deze afstand bestaat een formule (zie hieronder). Deze formule geeft echter niet
de coördinaten van het punt S op V dat het dichtst bij P ligt. In het voorbeeld wordt
getoond hoe S kan worden berekend.
DE AFSTANDSFORMULE
Voor de afstand van een punt P en een vlak V: ax + by + cz = e geldt:
d ( P, V ) 
ax P  by P  cz P  e
nV
VOORBEELD 2.
 ax P  by P  cz P  e 




2
2
2
a b c


Gegeven is P ( 1, 0, −3) en V : 2 x  2 y  z  4 .
a. Bereken d( P, V ).
b. Bereken de coördinaten van de loodrechte projectie van P op V.
Oplossing:
a. d( P, V ) =
2  0  3 4
2²  ( 2 )²  ( 1)²

9
3
 3.
b. De lijn l door P en loodrecht op V heeft als vectorvoorstelling
 x  1 
2 
   
 
l :  y    0      2  . S is het snijpunt l en V dus: 2(1+2λ)−2(−2λ)−(−3−λ)=−4 dus
 z    3
1 
   
 
9λ = −9 dus λ = −1 dus S = ( −1, 2, −2 ).
7
7.
 x   0
0
1 
   
 
 
Gegeven zijn P( 2, 1, −2 ) en V :  y    3     3     0  .
 z   0
 2
 2
   
 
 
a. Stel een vergelijking op van V.
b.
i. Bereken de afstand van P tot V.
ii. Bereken het punt op V dat het dichtst bij P ligt.
iii. P wordt gespiegeld in V . Bereken de coördinaten van het spiegelpunt.
c.
i. Bereken d ( O, V ).
ii. Bereken de loodrechte projectie van O op V.
8.
a. Gegeven zijn R ( 0, −1, 0 ) en W : (a  2) x  ay  az  7a  8 . Er geldt: d ( R, W ) = 24 .
Bereken a.
x  0 
 0
 
   
b. Gegeven zijn K( 3, 0, 0) , l :  y     3    1  en P(1, a, 1). P ligt op een afstand van
z  0 
1 
 
   
3 3 tot het vlak V door K en l. Bereken a.
 x  1 
0 
 
   
c. Bereken de coördinaten van de punten op l :  y    0    1  die op een afstand van
 z  3
  1
 
   
x
1   0 
   
 
2 3 van het vlak V :  y    1    1  liggen.
z 
 0  1 
 
   
8
§ 4. DE AFSTAND VAN EEN LIJN EN EEN VLAK
Met de afstand van een lijn m tot een vlak V wordt de kleinste afstand bedoeld.
Als m en V een snijpunt hebben geldt dus: d ( m, V ) = 0
Ook als m in V ligt is de afstand nul.
Alleen het geval dat m evenwijdig is aan V blijft over. Zie de figuur hieronder.
Voor elk punt op m is de afstand tot V hetzelfde. Er geldt dus d ( m, V )= d ( P, V )
voor elke P  m. De afstand d ( P, V ) kan worden berekend met de afstandsformule.
9.
a.
b.
c.
d.
10.
a.
b.
 x   0
2 
1 
 x   2 5 
   
 
 
     
Gegeven zijn V :  y    0      4     0  en l :  y    0      4  .
 z  3
3 
0
 z  0 3 
   
 
 
     
Bereken de normaalvector van V.
Toon aan dat l evenwijdig is met V.
Bereken d( l, V ).
U is het vlak door l dat loodrecht staat op V.
i. Bereken een vectorvoorstelling van U.
ii. Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn van U en V.
 x   2  1
     
Gegeven zijn W: z  0 en l :  y    0    1 .
 z   0  1
     
Bereken d(l, W).
Bereken de loodrechte projectie van l op W.
9
 x   a  1 
     
11. Gegeven zijn V: x + 2y + 3z = 6 en l :  y    0    1  .
 z  0  b
     
Er geldt: d(l, V)=
56 . Bereken a en b.
12. Gegeven is een regelmatige piramide T ABCD met een vierkant grondvlak ABCD met
ribbe 10. De opstaande ribben hebben lengte 13. M is het midden van AB en N is
het midden van CD.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bereken d(T, ABCD)
Bereken d(M, CDT) (aanwijzing: licht MNT uit de figuur )
Bepaal d(B, BCT)
Bepaal d(AT, ABCD)
Bepaal d(AB, CDT)
Bereken de inhoud van de piramide.
10
§ 5. DE AFSTAND VAN TWEE LIJNEN
Met de afstand van de lijnen l en m wordt de kortste afstand bedoeld tussen de
twee lijnen.
Als l en m een snijpunt hebben geldt dus: d ( l, m ) = 0
Ook als m en l samenvallen is de afstand nul.
Als l en m evenwijdig zijn is voor elk punt op m de afstand tot l hetzelfde. Er geldt
dus d ( m, l )= d ( P, l ) voor elke P  m. De afstand d ( P, l ) kan worden berekend op
de manier van voorbeeld 1.
Alleen het geval dat l en m elkaar kruisen blijft over. Zie de figuur hieronder en het
voorbeeld. De kortste afstand tussen de twee lijnen ligt tussen P en Q. Deze afstand
wordt berekend door het vlak V te maken door l en evenwijdig aan m. Er geldt nu: d
( m, l )= d ( P, Q )= d ( m, V). De afstand d ( m, V ) kan worden berekend op de
manier van § 4.
VOORBEELD 3.
3 
 2
 x   4
 x  3
 
 
   
   
Bereken de afstand van de kruisende lijnen l :  y    3     0  en m :  y    6    1 
 2
1 
 z  0
 z  3
 
 
   
   
Oplossing
11
 2
3
 x   4
 
 
   
Voor het vlak V door l en evenwijdig aan m geldt V :  y    3     0    1 
1 
 2
z  0
 
 
   
1    2 
1 

  
 
3
2
q
0



Stel n V   p  . Dit levert: 
. Oplossen geeft n V   - 12  ˆ 1  en dus


2  p  q  0
q
 - 1 1   3 
 
 2
V: −2x + y + 3z = −5.
6  6  9  5
14
Dit levert: d ( m, l )= d ( m, V)=d( (3, 6, 3), V ) =

 14 .
14
14
In het bovenstaande voorbeeld blijven de coördinaten van de punten P van m en Q
van l die het dichtst bij elkaar liggen onbekend. Hieronder worden deze punten
berekend. PQ wordt het gemeenschappelijke loodlijnstuk van l en m genoemd.
VOORBEELD 4.
 x  3
 2
   
 
Bereken de coördinaten van de punten P van m :  y    6    1  en Q van
 z  3
1 
   
 
 x   4
3
   
 
l :  y    3     0  die het dichtst bij elkaar liggen.
 z  0
 2
   
 
Oplossing:
Er geldt P = ( 3 + 2μ, 6 +μ, 3+μ ) en Q= ( 4 + 3λ, 3, 2λ )
1  3  2 


Dan is PQ    3  
 . Het inproduct van PQ met elk van de richtingsvectoren
  3  2   


van l en m is 0. Dit levert twee vergelijkingen op in λ en μ, namelijk:
2(1  3  2 )  (3   )  (3  2   )  0
8  6  4
 
.


2(3  2   )  0
3(1  3  2 )
13  8  3
De schoorsteenmethode levert: λ = −1 en μ = −2.
Dus P = ( 1, 3, −2 ) en Q = ( −1, 4, 1 )
Controle: d ( m, V)=d( P, Q ) = (2)²  1²  3²  14
12
13.
a.
b.
c.
 x   0
 x  3
2 
1 
   
   
 
 
Gegeven zijn de lijnen m :  y    5      2  en l :  y    2     0  .
 z   0
 z   0
3 
1 
   
   
 
 
Bereken d ( m, l ).
Bereken de coördinaten van de punten van l en m die het dichtst bij elkaar liggen.
 x  p
2 
   
 
De lijn  y    5      2  ligt op een afstand van 4 van l. Bereken p.
 z  0
3 
   
 
14.
x
 x  5
 0
3
 
 
   
 
a. Bereken de afstand van k :  y     0  en n :  y    0     4  .
 z   0
z
1 
1 
 
 
   
 
b. Bereken de eindpunten van het gemeenschappelijke loodlijnstuk van k en n.
c. Gegeven zijn de punten A( 1, 0, 0) , B(1, 2, −2) en C(−3, 0, 2). De lijn c is de snijlijn
van het middelloodvlak van het lijnstuk AB en MLV(A,C). Bereken d (c, k )
d.
i. De lijn l gaat door P(2, 2, 2 ) en het steunpunt van n . Onderzoek de onderlingen
ligging van l en k.
ii. Bereken een vectorvoorstelling van de lijn m die door P gaat en die k èn l snijdt.
15. De kubus hieronder heeft ribbe 6. Bereken (zonder vectoren):
a.
b.
c.
d.
d(AH, FC)
d(AB, HG)
d(AG, BH)
d(AC, BH)
13
§ 6. DE AFSTAND VAN TWEE VLAKKEN
Met de afstand van de vlakken V en W wordt de kortste afstand bedoeld tussen de
twee vlakken.
Als V en W een snijlijn hebben geldt dus: d ( V, W ) = 0
Ook als V en W samenvallen is de afstand nul.
16.
a.
b.
c.
d.
Alleen het geval dat V en W evenwijdig zijn blijft over. Voor elk punt op V is de
afstand tot W dan hetzelfde. Er geldt dan dus d ( V, W )= d ( P, W ) voor elke P  V.
De afstand d ( P, W ) kan worden berekend op de manier van voorbeeld 2.
 x   4  1 
x
1 
0
1 
     
 
 
 
 
Gegeven zijn V :  y    1    1  en U :  y    2     0     2  .
 z  1    2 
z 
 0
 2
 2
     
 
 
 
 
Bereken normaalvectoren van U en V.
Toon aan dat U evenwijdig is met V
Bereken d( U, V ).
i. Bereken de coördinaten van het punt P op V dat het dichtst bij Q(4, 2, 1) ligt.
ii. W is het middelloodvlak van P en Q. Bereken d (W, U).
17.
 x   5  1 
1 
     
 
a. Voor de vlakken W1:  y   1    1      2  en W2: x +ay -3z = b geldt d (W1, W2 ) =
 z  1    2 
5 
     
 
59 . Bereken a en b.
 x   5  1 
1 
     
 
b. Voor de vlakken W1:  y   1    1      2  en W3: x −7y -3z = c geldt d (W1, W2 )
 z  1    2 
5 
     
 
=0. Bereken c.
14
§ 7. DE HOEK VAN TWEE LIJNEN
De richtingsvectoren van twee lijnen k en l bepalen de hoek die de lijnen maken.
Tussen de lijnen zitten twee hoeken α en β die samen 180° zijn. Doordat in de
hoekformule de absolute waarde van het inproduct genomen wordt krijg je de hoek
die kleiner is dan 90°.
HOEKFORMULE
 a1 
 b1 
 
 
Als a   a 2  en b   b2  de richtingsvectoren van twee lijnen zijn dan geldt voor
a 
b 
 3
 3
de hoek  tussen de twee lijnen:
cos  
a , b 
a  b



a1b1 a 2b2 a 3b3
a12 a 2 2 a 32 
b12 b2 2 b3 2



VOORBEELD 5.
x  0 
x  1 
 1 
 3
   
   

 

Bereken de hoek van de lijnen k :  y     2      2  en l :  y     1    4  .
 z  3 
 z  0 
2 
1 
   
   

 

1.3  2.4  2.1
3
1
Oplossing: Er geldt cos  
en dus α  79°.


9 . 26
3 26
26
15
18.
 0
 x   0

   
Bereken de hoek van de lijnen k :  y    3     2

z  2 
   
2

 x   1
 3

   
 
 en l :  y    0     4  .
a.

z  2 
0 
3 
   
 
 x   0
x   1 
  1
1
   


   
 
3
b. Voor de lijnen m :  y    4     2  en n :  y     1    p  geldt: cosα =
.
10
z  3 
z  5 
0 
0 
   


   
 
Bereken p.
19. Stel een vectorvoorstelling op van elk van de lijnen door het punt ( 3, 2, 0 ) die
evenwijdig zijn met het XOZ-vlak en die een hoek van 45° maken met de lijn
 x   1
 2 
   


k : y    2     2 
z  0
1 
   


20. Zie figuur 1. Het grondvlak van een piramide is een rechthoek met AB = 8 en BC =
9. De opstaande ribben hebben lengte 10.
a. Bereken de hoek van de lijnen BC en BT.
b. Bereken de hoek van de lijnen AB en BT.
c. Bereken de hoek van de lijnen BD en BT.
figuur 1
16
§ 8. DE HOEK VAN EEN LIJN EN EEN VLAK
Zie figuur 2. Met de hoek α van een lijn l en een vlak V wordt de hoek van l en de
loodrechte projectie l’ van l op V bedoeld.
De hoek van n V en l is 90°− α. Omdat cos(90°− α) = sin α dan volgt uit de
hoekformule:
figuur 2
 r1 
 
STELLING: Als r  r 2  de richtingsvectoren van een lijn l is dan
r 
 3
geldt voor de
hoek  tussen l en een vlak V: ax + by + cz = d
sin  
r , n 
V
r  nV



r1a r2b2 r3c
r12 r2 2 r32 
2
2
a b c
2



Uit deze stelling kun je afleiden dat (l, V ) = 0° als l // V .
VOORBEELD 6.
x   0 
 4
   
 
Bereken de hoek van l :  y     2     0  en V: x + 3y = 3.
z  3 
1 
   
 
Oplossing: Er geldt sin  
4.1  0.3  1.0
17 . 10

4
170
en dus α  18°.
17
21.
x 
 0
 
 
a. Bereken de hoek van l :  y     3  en V: 2x+ y − 2z = 0
z 
4 
 
 
b. Bereken een vectorvoorstelling van de loodrechte projectie l’ van l op V.
c. Bereken de hoek van l en l’.
x  0 
 3 
   


22. Gegeven is m :  y     1    0  .
z  0 
5 
   


x 
1   0 
 
   
a. Bereken de hoek van m en V :  y      1    2 
z 
1    1
 
   
b. Bereken de hoek van m en het middelloodvlak van A( 1, 2, −3 ) en B ( 5, −1, −2 )
2
c. Voor de hoek α tussen m en W: px +y = 5 geldt: sin α =
. Bereken p.
170
23. Gegeven zijn P( 4, 1, 2 ), Q( 1, 2, 2) en R( 3, 1, 3). V is het middelloodvlak van P en Q.
W is het middelloodvlak van P en R. Bereken de hoek van de snijlijn van V en W en het
vlak PQR.
24. Zie figuur 3. Het grondvlak van een piramide is een rechthoek met AB = 8 en BC = 9. De
opstaande ribben hebben lengte 10.
a. Welke lijn is de loodrechte projectie van de lijn TB op het grondvlak?
b. Bereken de hoek van TB en het grondvlak.
figuur 3
18
§ 9. DE HOEK VAN TWEE VLAKKEN
Zie figuur 4. De vlakken V en W hebben een snijlijn s. Met de hoek φ tussen
V en W wordt de hoek bedoeld die de vlakken maken in een hulpvlak U
loodrecht op s.
figuur 4
Zie figuur 5. Omdat U loodrecht op s staat bevat het n V en n W
figuur 5
19
STELLING: Voor de hoek  tussen vlakken V en W geldt (V, W ) =

 nV ,
nW

en dus cos  
n
V
, nW

nV  nW
25. Gegeven zijn de vlakken V: x  y  z  1 en W: 5 x  y  z  5
a. Bereken  ( V, W ).
b. Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn s van V en W.
c. Geef de vergelijking van het vlak U door de oorsprong dat loodrecht staat op s.
d.
i. Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn k van U en V.
ii. Bereken een vectorvoorstelling van de snijlijn l van U en W.
iii. Bereken de hoek van k en l.
20
OEFENOPGAVEN
 x  1 
1 
   
 
26. Gegeven zijn P ( 0, 1, 2 ) en l :  y    2      2  .
 z  0
1 
   
 
a.
b.
c.
d.
e.
Bereken de afstand van P en l.
Bereken een vergelijking van het vlak V door P en l.
Geef de coördinaten van het snijpunt van V en de y-as.
Bereken de hoek van V en de y-as.
Geef de afstand van V en de y-as.
27. Gegeven zijn A ( 3, 3, 3), B ( 4, −1, 4 ), en C (7, 0, 4 ).
a.
b.
c.
d.
e.
Bereken de hoek van de lijnen AB en AC.
Bereken de hoek van de lijn OA en het vlak ABC.
Bereken de afstand van A en de lijn BC
Bereken de oppervlakte van ΔABC.
Geef de hoek van de middelloodvlakken MLVAB en MLVAC
f. Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel door A, B en C.
 x   4
3 
   
 
28. Gegeven zijn P( a − 1, 3, −5 ) en Q ( 0, 1, a ) en l :  y    2     0  .
 z  1 
 2
   
 
a. Het vlak door P dat loodrecht staat op l bevat de oorsprong. Bereken a.
b.
c. De lijn l snijdt het lijnstuk PQ middendoor. Bereken a.
29. In figuur 6 staat een kubus met ribbe 6. P is het midden van OA en Q is het midden
van EF.
a. Bereken de afstand van F tot vlak PCD.
b. Bereken de afstand van PG en DQ.
c. Op de lijn PG liggen twee punten die gelijke
afstanden hebben tot de vlakken ACD en CDF.
Bereken de coördinaten van die punten.
figuur 6
21
30. De punten A(2, 0, 0 ), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2) en D(2, 2, 8) zijn de hoekpunten van een
viervlak.
a. Toon aan dat de vlakken ABC en ACD loodrecht op elkaar staan.
b. Bereken de inhoud van het viervlak.
x  b
 2
   
 
31. De afstand van V: x - 4y + z = 2 tot l :  y    0    1  is 2 .
z  0
a 
   
 
a. Geef (l , V ).
b. Bereken a en b.
32.
33.
a.
b.
c.
34.
35.
x
5 
x
a 
1 
 
 
 
 
 
Het vlak V :  y     a     0  bevat l :  y     a  . Bereken a.
z 
  3
z 
  1
  1
 
 
 
 
 
De lijn s is de snijlijn van de vlakken U: x 2z = 4 en V: 2x  y + z = 8.
Bereken een vectorvoorstelling van s.
Op s ligt een punt P dat een afstand 2 tot W: x  2y + 2z = 10 heeft. Bereken de
coördinaten van P.
U, V en W hebben één gemeenschappelijk punt. Bereken de coördinaten van dat punt
Bereken een vergelijking op van de vlakken U en V die de lijn
 x  1 
1 
   
 
l :  y    0     0  bevatten en die een hoek van 60° met het Oxy-vlak maken.
z  0
1 
   
 
 x  3
1 
   
 
Gegeven is V: x + 3y  z = 6 en l :  y   1     0  .
z  0
1 
   
 
a. Bereken d(l, V) en (l, V).
b. Bereken een vectorvoorstelling van de lijn m in V die de y-as snijdt en die loodrecht op l
staat.
22
ANTWOORDEN
1.
a.
21 b. p=−3 of p=2
2.
a.
5
3.
a. x + 3y + z = 15
4.
5.
6.
7.
ai. 38 ii. ( 3, 2, 5 ) bi. ( 4, 4, 6 )
p=½ of p=−1
a. 2
b. 6
a. 6x + 2y − 3z = 6 bi. 2 ii 72 , 73 ,1 17
ci.
6
7
4 12
b.
ii.

36
49
c. (6, 4, 1 ) en ( 3, 4, 4 )
x
0
c.    
1 
 
 y     11    3 
1 
 z  1 
 

  
b. x − 2y + 5z = 27
, ,
12
49
18
49


ii 5


a. a=  43 of a= 43
9.
 x   2
5 
0
0
   
 
 
 
2
a.  3  c. 2 5 di. U :  y    0      4     3 
 z  0
3 
 4
 4
   
 
 
 
10. .a. 0
b. a=−10 of a=8
3
9
3

iii. ( 4, 7, 10 )
iii  1 73 , 17 , 72
8.

d. 4 11 ,1 11 ,5 11

c. (1, −1, 4 ) en ( 1, 5, −2 )
4
 x   3 5 
5 
 
 
 y    0     4
 z   3 
3 
   
 
dii.
 x   2
1 
   
 
b.  y    0    1 
 z   0
 0
   
 
11. a=−22 of a=34 en b=−1
b. 56 119
12. a. 119
c.
5
6
d. 0
119
e.
5
6
119
13. a. 3
14. a. 4
b. (2, 3, 3 ) en ( 4, 2, 1 ) c. p=−1½ of p=10½
b. 0,0, 53 en 3 15 ,2 52 , 53 ci. kruisend
ii.


15. a. 6
b. 6
c. 0
2 
 
16. a.   2  en
1 
 
2 
 
  2
1 
 


 x   2
6
   
 
y    2   6 
 z   2
1 
   
 
2
3
d. 6
.c. 1
f. 33 13 119
2
3
17. a. a=−7 en b=−64 of b=54
18. a. 66° b. p=−1 of p=−7
19. p=1 of p= 17

di. 2 89 ,3 19 , 94

ii.
5
6
b. c=−5
20. a. 63° b. 66° c. 53°
23
21. a.19°
x 
5 
 
 
b.  y    16  14° c 19°
z 
13 
 
 
22. a. 66° b. 14° c. p=
4
41
of p=
23. 90°
24. a. DB b. 52°
 x  1 
0
   
 
25. a. 71° b.  y    0    1 
z  0
1 
   
 
 x  1 
2 
   
 
 y    0     5  iii. 71°
 z   0
  5
   
 
26. a.
4 12 b. x +y + z = 3
27. a. 38 b. 40 c.
28. a. 4
1
3
29. .a.
1
10
4
41
 x  1 
2 
   
 
c. y + z = 0 di  y    0      1
 z   0
1 
   
 
c. ( 0, 3, 0 ) d. 35
1790
d.
1
2
179
ii.
e. 0
e. 38
b. 3
3 6
.b.
1
3
5 .c.
5
6
.d.

 1
1 , 3, 3  en 0, 6, 6 
 2

30. b. 12 13
31. a. 0 b. a = 2 en b = 4 of b = 8
32. a = 0 of a = 2
 x   4
 2
   
 
33. a.
s :  y    0     5  .b.
 z  0
1 
   
 
34. .a.
x  2 y  z  1 en x  2 y  z  1
4, 0, 0
of 0,  10,  2  .c.
2,
 5,  1
  3
 x  0
 
   
35. a. 0 en 0° b.  y    2     2 
3 
 z  0
 
   
24