Gulden Snede

Praktische opdracht wiskunde
Thijs Bakx
Klas 5A
Inleverdatum: 01-06-2004
Inhoudsopgave
Voorwoord ............................................................................................................................... 3
1. Inleiding ............................................................................................................................... 4
2. Wat is de gulden snede ................................................................................................... 4
2.1 Basis informatie over de gulden snede ..................................................................... 4
2.2 Uitgebreide constructie van de gulden snede .......................................................... 5
3. Belangrijkste verbanden van de gulden snede met de wiskunde ....................... 5
3.1 De gulden rechthoek .................................................................................................... 5
3.2 De gulden driehoek....................................................................................................... 6
3.4 De rij van Fibonacci ...................................................................................................... 7
3.4.1 Formule van Binet ................................................................................................. 7
4. Toepassingen van de gulden snede ............................................................................ 8
4.1 Waarom wordt de gulden snede zoveel gebruikt..................................................... 8
4.2 De gulden snede in de architectuur ........................................................................... 9
4.2.1 De grote piramide van Gizeh ............................................................................... 9
4.2.2 Het Parthenon ........................................................................................................ 9
4.2.3 Le Corbusier ......................................................................................................... 10
4.3 De gulden snede in andere exacte vakken............................................................. 10
4.3.1 De gulden snede in de biologie ......................................................................... 10
4.3.1.1 De Gulden hoek in een zonnebloem ......................................................... 11
Logboek ................................................................................................................................. 12
Overzicht van gebruikte literatuur .................................................................................. 13
2
Voorwoord
In deze praktische opdracht heb ik onderzoek gedaan naar de ‘gulden snede’. Dit
onderzoek bestond uit een aantal hoofdvragen die ik heb proberen te beantwoorden:
 Wat is de gulden snede?
 Waarom is de gulden snede zo belangrijk in de wiskunde?
 Wat zijn bekende toepassingen van de gulden snede?
Tijdens mijn onderzoek kwam ik erachter dat de gulden snede verband heeft met een
aantal andere belangrijke wiskundige getallen en vormen en ik heb zoveel mogelijk
geprobeerd om ook deze verbanden in mijn praktische opdracht naar voren te laten
komen. Helaas kwam ik er tijdens mijn onderzoek wel achter dat er bij dit onderwerp
lang niet zo veel wiskundige berekeningen e.d hoorden dan bij de meeste andere
onderwerpen van mensen om mij heen. Ik denk dat dit komt doordat het een
meetkundig onderwerp is waarbij de berekening en het ‘bewijzen’, voor zover
mogelijk in dit geval, vrij weinig voorstelt in vergelijking met bijvoorbeeld een van de
stellingen van Fermat. Toch denk ik dat ik dit voldoende heb kunnen opvangen door
de wiskundige verbanden die er zijn met de gulden snede zo ver mogelijk uit te
werken. Verder heb ik, zoals hierboven in de drie punten die ik deze praktische
opdracht ga behandelen te zien is, me wegens het gebrek aan berekeningen wat
verder in de toepassingen van de gulden snede kunnen verdiepen.
3
1. Inleiding
De gulden snede heeft alles te maken met verhoudingen en dan met name met
ideale verhoudingen. Het is niet precies te zeggen wanneer de gulden snede is
ontdekt, waarschijnlijk is hij enkele malen herontdekt in de geschiedenis. Dat is
misschien ook een verklaring voor de vele verschillende namen die er voor de gulden
snede zijn. Een van de mogelijke ontdekkers is de Griek Eudoxus waarover ik
hieronder iets meer vertel.
Eeuwen geleden werd door de Griek Eudoxus al onderzoek gedaan naar de ideale
verhoudingen van bijvoorbeeld bouwwerken. Hij heeft uiteindelijk een ideale
verhouding gevonden en deze werd in het Latijn de ‘proportio divina’ genoemd, dit
betekent goddelijke verhouding en dit is ook de naam die de gulden snede in o.a het
Engels heeft. Deze naam wordt overigens pas sinds ongeveer 1500 n. Chr. zo
genoemd in een boek van Luca Pacioli genaamd ‘De Divina Proportione”. Het
symbool voor de gulden snede is tegenwoordig het symbool φ, de Griekse letter Phi.
Het symbool phi wordt pas sinds de 19e eeuw gebruikt, lang nadat het gebruik van de
gulden snede zijn hoogtepunt beleefde. Welk symbool er voor die tijd werd gebruikt,
als er al een symbool werd gebruikt, is mij onbekend. Dit symbool is zo gekozen
vanwege de Griekse architect Phidias, die veel met de gulden snede deed in zijn
constructies. Ik zal in het volgende hoofdstuk verder uitleggen wat de gulden snede
precies is en hoe hij geconstrueerd wordt maar in het kort komt het op het volgende
neer: de gulden snede is de verhouding waarbij het kleinste deel van bijvoorbeeld
een balk zich verhoudt tot het grootste deel als het grootste deel tot het geheel. Deze
verhouding is het ‘beroemde’ getal 0,618 wat dus neerkomt op een verhouding van
5:8 ongeveer. Ik ben er in mijn onderzoek achter gekomen dat deze verhouding echt
overal terug komt en een groot deel van deze praktische opdracht zal dan ook in
gaan op de toepassingen van deze verhouding in met name de architectuur. Ik zal nu
proberen uit te leggen hoe men deze ideale verhouding heeft gevonden en een
aantal voorbeelden van de constructie van de gulden snede geven.
2. Wat is de gulden snede
2.1 Basis informatie over de gulden snede
De gulden snede is op een aantal manieren te construeren, hieronder zal ik de
gulden snede berekenen aan de hand van de meest gebruikte en volgens mij ook
eenvoudigste methode. Daarna zal ik een wat ingewikkeldere maar ook mooiere
constructie van de gulden snede laten zien.
Als je een lijnstuk neemt met lengte 1, kan je dit in 2 delen doorsnijden, waarna je
een lengte x en een lengte 1-x hebt. Tussen die 2 stukken bestaat uiteraard een
lengteverhouding. Er bestaat logischerwijs ook een verhouding tussen x en 1, een
van de stukken en de originele lengte. Er is een punt, waarop je het lijnstuk door kan
snijde, waarna het dezelfde verhouding 1-x : x als x : 1 heeft.
De volgende afbeelding verduidelijkt dit.
4
Je kunt nu de volgende vergelijking opstellen en deze door middel van herleiden en
de ABC formule oplossen.
(1-x)/x = x/1
X^2 + x – 1 = 0
x = ½ (-1 + 5) of x = ½(-1 - 5)
x = 0,618
of x = -1,618
Het gaat hierbij om een lengte en het is duidelijk dat in dit geval dus alleen het
positieve getal ook werkelijk iets voorstelt. De gulden snede is dus 0,618. Een van de
vele bijzondere dingen aan dit getal is dat 1/φ hetzelfde is als 1 + φ.
2.2 Uitgebreide constructie van de gulden snede
De uitleg van hierboven is zeer geschikt om even snel duidelijk te maken hoe de
gulden snede voorgesteld kan worden. Voor een praktische opdracht die compleet
over de gulden snede gaat vind ik dat ik ook een wat mooiere manier van het
construeren van de gulden snede kan laten zien. Het construeren gaat
volgens de volgende stappen (zie plaatje hiernaast):






Teken een lijnstuk KM, noem de lengte ervan 1.
Bepaal het midden van het lijnstuk, noem dit punt L.
Teken een cirkel c met als middelpunt een uiteinde van het
lijnstuk, punt M, door punt L.
Trek vanuit het middelpunt van de cirkel een loodlijn r op
het lijnstuk. Het snijpunt van de loodlijn en c is H.
Teken lijnstuk KH.
Punt H is nu het middelpunt van een nieuwe cirkel d, door
punt K. De afstand van M tot punt J, het snijpunt van d en
r, is φ.
3. Belangrijkste verbanden van de gulden snede met de wiskunde
Er zijn ongelofelijk veel dingen te vinden in de wiskunde waarbij de gulden snede een
rol speelt, daarom heb ik ervoor gekozen om slechts een aantal zeer duidelijke
verbanden met de wiskunde uit te werken.
3.1 De gulden rechthoek
Voor het construeren van de gulden rechthoek is, zoals je uit de naam al wel kunt
afleiden, de gulden snede van groot belang. De gulden rechthoek is een rechthoek
met bijzondere verhoudingen waardoor je in deze rechthoek telkens vierkanten kunt
blijven tekenen.
De verhoudingen van de rechthoek zijn als volgt, de rechthoek waarmee je begint is
φ+1 lang en 1 breed. Als je in deze rechthoek een vierkant weg gaat snijden met
zijden van 1 houdt je dus een rechthoek over die φ breed is en 1 lang. Deze
rechthoek heeft dus precies dezelfde verhoudingen als de rechthoek daarvoor. Dit
blijft maar gelden, je kunt telkens weer een vierkant eraf halen en een gelijkvormige
rechthoek overhouden. Zo’n rechthoek wordt een gulden rechthoek genoemd.
Dit is waarschijnlijk een stuk beter te begrijpen met het volgende plaatje.
5
Hierin zie je de oorspronkelijke rechthoek en het vierkant van 1 bij 1 dat daar van
afgehaald is, de rechter helft is dan de nieuwe rechthoek waarin je nog een aantal
keer een vierkant afgesplitst ziet worden. De spiraal die in dit plaatje te zien is staat
daar niet zomaar, dit is namelijk een bijzondere spiraal; de spiraal van Fibonacci.
Later in deze praktische opdracht zal blijken dat dit niet de enige keer is dat er een
verband is tussen de gulden snede en Fibonacci.
3.2 De gulden driehoek
Een ander voorbeeld van een bijzonder meetkundig figuur is
de gulden driehoek. Dit is een driehoek met een hoek van
36° en 2 hoeken van 72°. In deze driehoek is een lijn
getrokken van de hoek linksonder, B, naar de zijde AC. Het
plaatje aan de linkerkant van deze tekst is een voorbeeld
van een gulden driehoek.
In deze driehoek zijn de zijden AD, BD en BC precies even
lang. Er geldt dus AD = BD = BC.
In deze driehoek zitten nu dus 2 driehoeken, en deze zijn
gelijkvormig. In gelijkvormige driehoeken geldt dat je een
vergelijking op kunt stellen tussen alle zijden van beide
driehoeken.
Deze vergelijking ziet er in de gulden driehoek als volgt uit.
AC / BD = BC / CD
Je kunt nu dus zeggen dat punt D het lijnstuk verdeelt in, zoals dat wordt genoemd,
uiterste en middelste reden. Dit wordt vaak aangeduid met naamVanHetPunt =
vumr(lijnstuk). Dus in dit geval kun je zeggen dat:
D = vumr(AC)
AC =  . AD
Dus bij BD = 1 krijg je de verhouding AC : AB = 
En dat is dus weer de ideale verhouding;de gulden snede.
6
3.4 De rij van Fibonacci
Over de rij van Fibonacci, en Fibonacci in het algemeen, is een praktische opdracht
op zich te maken maar het verband tussen de rij van Fibonacci en de gulden snede
is te groot om zomaar te laten zitten.
Fibonacci is met name bekend door zijn oplossing voor een veel voorkomend
rekenprobleem, het wordt meestal uitgelegd door middel van een voorbeeld met
konijnen en kleine konijntjes. Het voorbeeld zelf is denk ik in deze praktische
opdracht niet zo belangrijk omdat ik dan meer aandacht aan Fibonacci ga besteden
dan mijn bedoeling is. In het kort komt het erop neer dat je een bijzondere rij kunt
opstellen, namelijk de rij waarin geldt un + 1 = un + un – 1.
{1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584} is een
voorbeeld van zo’n rij.
Zoals je aan de formule van de rij, of aan de rij zelf, kunt zien is in deze rij ieder
element de som van de twee voorgaande elementen.
Rijen die aan bovenstaande formule voldoen worden Lucas rijen genoemd (deze
naam komt van Edouard Lucas, een Franse wiskundige). Een van de vele Lucas
rijen, namelijk degene die begint met twee keer een ‘1’, wordt later door Lucas de rij
van Fibonacci genoemd.
En nu komt het verband tussen Fibonacci en de gulden snede aan de orde, als je
namelijk twee van deze elementen door elkaar deelt kom je uit op het gulden snede
getal (wat natuurlijk goed zichtbaar is bij de 5 en de 8, aangezien dit de verhouding is
die bij de gulden snede hoort). Er moet dus een formule op te stellen zijn waar uit
blijkt dat dit bij grotere getallen ook echt op de 0,681... uitkomt. Dit is de formule van
Binet en daar zal ik nu wat verder op in gaan.
3.4.1 Formule van Binet
De formule van Binet is genoemd naar de Fransman Jacques Philippe Marie Binet,
maar hij was niet de eerste die deze formule heeft gepubliceerd, dat was Abraham
de Moivre. De formule van Binet is de formule voor de Fibonacci rij, de aanwezigheid
van ((5 + 1)/2) in deze formule geeft al wel aan dat de gulden snede een duidelijk
verband heeft met de rij van Fibonacci.
Ik zal nu de formule in het kort proberen te bewijzen zodat nog duidelijker wordt
hoeveel deze formule, en dus de rij van Fibonacci, met de gulden snede te maken
heeft. Het bewijzen van de formule was een stuk moeilijker dan ik dacht en dus heb
ik ervoor gekozen om het bewijs van de stelling op te zoeken. Daarna heb ik het
bewijs van de stelling geanalyseerd en het is me gelukt om het bewijs van de stelling
te begrijpen.
De formule van Binet luidt als volgt:
In deze formule valt meteen op dat de exacte waarde van het gulden snede getal
erin voorkomt.
Om de formule makkelijker te kunnen bewijzen zal ik hem eerst wat anders
opschrijven. Het is duidelijk dat ((1 + 5 )/2) en ((1 - 5 )/2) rechtstreeks afkomstig zijn
uit de vergelijking x2 + x - 1 = 0.
7
Om het rekenwerk wat overzichtelijker te maken zal ik deze getallen in deze
berekening aanduiden met p en p’. De formule van Binet is dan te schrijven als:
Er is iets bijzonders aan de hand als we een aantal verschillende waarden van p uit
gaan rekenen. p2 - p - 1 = 0 is natuurlijk gelijk aan p2 = p + 1. Op deze manier kunnen
we nog een aantal p’s uitrekenen.
p3 = p2 + p = p + 1 + p
= 2p + 1
p4 = 2p2 + p = 2(p + 1) + p = 3p + 2
p5 = 3p2 + 2p = 3(p + 1) + 2p = 5p + 3
p6 = 5p2 + 3p = 5(p + 1) + 3p = 8p + 5
De oplettende lezer heeft het al gezien, de constanten achter p en de constante voor
p zijn getallen uit de rij van Fibonacci.
Doordat we nu weten dat de coëfficiënten en constanten getallen uit de rij van
Fibonacci zijn kunnen we de formule van Binet opnieuw herschrijven (F(n) is een
element uit de rij van Fibonacci):
pn = F(n) . p + F(n-1)
Voor p’ geldt:
p' n = F(n) . p' + F(n-1)
De volgende stappen vond ik wat moeilijk te begrijpen maar uiteindelijk is het bewijs
zelfs voor mij over duidelijk.
pn - p' n = F(n) . p - F(n) . p' = F(n) . (p - p')
F(n) = (pn - p' n) / (p - p')
We weten al dat p - p' = 5 en dus staat er de formule waarmee we zijn begonnen:
Hiermee is de formule van Binet bewezen en is duidelijk geworden hoe belangrijk de
rol van de gulden snede is binnen de rij van Fibonacci.
4. Toepassingen van de gulden snede
4.1 Waarom wordt de gulden snede zoveel gebruikt
In mijn onderzoek naar de gulden snede is gebleken dat de gulden snede echt op de
meest ondenkbare plaatsen nog terug te vinden is. Het leek me daarom interessant
om uit te zoeken waarom de gulden snede zoveel gebruikt wordt. Het gebruik van de
gulden snede is goed te verklaren, de gulden snede werd in de oudheid gezien als
de goddelijke verhouding. Daarom werden tempels en andere belangrijke
staatsgebouwen zoveel mogelijk gebouwd volgens deze goddelijke verhouding. In de
renaissance, wat natuurlijk de wedergeboorte van de klassieke oudheid is, komt deze
verhouding weer terug. Uit die tijd zijn er niet alleen veel gebouwen die volgens de
gulden snede zijn gebouwd maar ook in de schilderkunst gaat de verhouding van 5/8
een rol spelen. Verklaringen voor het terugvinden van de gulden snede in
bijvoorbeeld de biologie zijn natuurlijk heel moeilijk te geven, de mens is uiteindelijk
zo geëvolueerd en dat daar dan toevallig de gulden snede in voorkomt is toeval.
8
Het is veel aannemelijker dat de gulden snede gezien wordt als goddelijke
verhouding juist omdat deze in het menselijk lichaam voorkomt. Maar in dit geval is
het natuurlijk maar weer de vraag of men dat vroeger al wist.
4.2 De gulden snede in de architectuur
Zoals hierboven al heel kort vermeld wordt de gulden snede dus op onnoemelijk veel
plaatsen in de architectuur gebruikt. De oudste gebouwen waarin al kenmerken van
de gulden snede zijn terug te vinden zijn de piramides van de Egyptenaren maar ook
de Griekse tempels zijn duidelijk volgens de goddelijke verhouding ontworpen.
4.2.1 De grote piramide van Gizeh
Een van de bekendste Egyptische piramiden is de
piramide van Gizeh, te zien op de afbeelding rechts van
deze tekst. Deze piramide werd waarschijnlijk rond
ongeveer 2500 v. Christus gebouwd en is zeer goed
bewaard gebleven. De hellingshoek van de zijden van
deze piramide ten opzichte van de grond is 51,85 graden
(hoek alfa op het onderste plaatje rechts). Als je nu de
schuine zijde, dus de lijn richting de top van de piramide,
lengte 1 geeft kun je dus aan de breedte van de piramide
gaan rekenen. Je krijgt dan de volgende berekening:
Cos(51,85) = AB/1
AB = cos(51,85) = 0,617.
En dat is dus weer het gulden
snede getal, phi.
4.2.2 Het Parthenon
Een belangrijk gebouw uit de klassieke oudheid is het Parthenon. Het is de tempel
voor de godin Athena en is te vinden op de tempelberg van de stad Athene, de
Akropolis. Het is duidelijk dat de Grieken een bijzondere tempel voor deze godin
wilden bouwen en er zijn dan ook belangrijke ontwerpers aan bezig geweest. De
volgende afbeelding geeft vrij duidelijk aan waar de gulden snede, op deze
afbeelding voornamelijk gulden rechthoeken, zijn terug te vinden. (De gulden
rechthoeken zitten op de plaatsen waar je overlappende vierkanten ziet.)
9
De lengtebreedte verhouding van deze tempel is ook ongeveer 5/8 en zelfs de
verhoudingen van afzonderlijke elementen van de tempel, zoals bijvoorbeeld de
zuilen, het tympaan, de architraaf etc, zijn volgens de gulden snede.
Belangrijk verschil tussen dit voorbeeld en de piramide van Gizeh is dat het bij dit
gebouw zeker is dat de gulden snede bedoeld in het gebouw voorkomt. Het
Parthenon is ontworpen door Euclides en uit zijn geschriften weten we dat hij met
opzet veel wiskunde in het bouwwerk heeft gebruikt. De bouw werd geleid door de
Griek Phidias en de ‘phi’ die wordt gebruikt voor de gulden snede zou dan ook van
hem zijn afgeleid.
4.2.3 Le Corbusier
Le Corbusier was een Franse Architect, die maatstelsel ontwierp, de “Modulor”. Dit
maatstelsel is gebaseerd op het menselijk lichaam, met behulp van de gulden snede.
De modulor-rij ontstaat als volgt:
Je pakt de rij die ontstaat als je de lichaamslengte van
een mens neemt, 1 meter 83 (1.83), en die deelt door
de gulden snede. Daarnaast pak je de rij die ontstaat,
als je ditzelfde doet met de hoogte van een gestrekt
arm, 2.26. Als je deze twee rijen bij elkaar voegt, heb je
de Modulor-rij. De afbeelding hiernaast geeft dit nog
eens weer, samen met een paar verhoudingen erin
aangegeven. Le Corbusier ontwierp met behulp van dit
systeem een aantal gebouwen, waarin bijvoorbeeld de
ramen zo gerangschikt waren dat ze in het modulorsysteem pasten.
4.3 De gulden snede in andere exacte vakken
Het was mijn bedoeling om het hoofdstuk toepassingen grofweg te verdelen in de
exacte vakken die wij hebben op school, dus een stuk over Biologie, Natuurkunde,
Scheikunde (Wiskunde is al eerder behandeld). Maar al snel kwam ik erachter dat de
gulden snede in de Natuurkunde niet echt een rol van betekenis speelt, in ieder geval
niet in de Natuurkunde waar wij als klas 5 gymnasiasten wat mee te maken hebben.
Toen heb ik besloten om alle andere toepassingen van de gulden snede onder een
kopje, “De gulden snede in andere exacte vakken” onder te brengen.
4.3.1 De gulden snede in de biologie
Er zijn een hoop wetenschappers die verbanden tussen de gulden snede en de
biologie onderzocht hebben maar ik vind een aantal van deze theorieën veel te ver
gezocht. Ik denk dat men de ‘fout’ maakt om te gaan zoeken naar dingen die
toevallig in de 5/8 verhouding staan. Toch heb ik maar een van deze theorieën
gebruikt om nog een voorbeeld van de gulden snede in de biologie te kunnen geven.
Het is dit voorbeeld geworden omdat het te maken heeft met de gulden hoek, iets
waar ik het bestaan pas wat later van ontdekte en waar ik het voorbeeld van de
biologie toch bij zou kunnen gebruiken.
10
4.3.1.1 De Gulden hoek in een zonnebloem
In een zonnebloem zijn de zonnepitten gerangschikt volgens een vast slingerpatroon.
Deze slinger houdt ook verband met de spiraal die te tekenen was in de gulden
rechthoek. Om de gulden hoek binnen een zonnebloem aan te kunnen geven moet ik
eerst in het kort wat informatie geven over plantengroei.
Delen van een plant, zoals zonnepitten, groeien uit zogenaamde primordia. Deze
groeien op vaste plaatsen binnen de bloem en daardoor komen dus ook de
zonnepitten in een vast patroon te liggen.
De hoek die de verschillende primordia met elkaar maken is 137,5°, of als je de
andere hoek bekijkt 222,5°. Dat is precies waar het verband tussen de gulden snede
en de zonnebloem zit, 222,5/137,5 is 1,618. Een hoek van 137,5° wordt daarom ook
wel een gulden hoek genoemd.
Verder is nog gebleken dat het aantal blaadjes rond de bloem van heel veel
plantensoorten altijd een aantal is dat in de rij van Fibonacci voorkomt. Dit lijkt me
wederom een voorbeeld van ‘zoeken naar het voorkomen van de gulden snede’.
11
Logboek
Hieronder volgt een kort overzicht van de data waarop ik heb gewerkt aan deze
praktische opdracht en wat ik op die verschillende dagen heb gedaan.
Datum
24-03-2004
25-03-2004
30-03-2004
10-04-2004
03-05-2004
23-05-2004
24-05-2004 t/m 30-05-2004
Wat gedaan:
Kleine zoektocht naar leuk PO
onderwerp gehouden en voor de ‘gulden
snede’ gekozen.
Onderwerp vastgelegd bij leraar
Globaal bedacht wat er in PO zou gaan
komen
Begonnen met verzameling informatie,
dit verder af en toe thuis en in wiskunde
lessen gedaan.
Inhoud van PO duidelijk vastgelegd op
papier
Begonnen met uitwerken PO
Praktische opdracht helemaal uitgetypt
en uiteindelijk op 30 Mei een definitieve
versie af.
12
Overzicht van gebruikte literatuur
Voor deze praktische opdracht heb ik met name gebruikt gemaakt van het internet,
dit omdat ik zelf veel met Internet werk en ik eenvoudiger een aantal goede bronnen
op het internet bij elkaar heb dan dat ik dat in de bibliotheek zou kunnen. Een aantal
van de door mij gebruikte websites gebruiken verwijzingen naar boeken en indien de
informatie beschikbaar was heb ik deze boeken in deze bronnenlijst vermeld.
Boeken:
 Wiskunde NG/NT 3 en 7
 Algemene encyclopedie Winkler-Prins
 H.E. HUNTLEY, The Divine Proportion, Dover Publications Inc., New York
(1970)
Websites:
 “The golden number” http://goldennumber.net
 “De Gulden snede en Fibonacci” http://www.pandd.demon.nl/sectioaurea.htm
 “De gulden snede” www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/
13