Uitwerkingen huiswerk week 3

Lineaire algebra 2
najaar 2007
Uitwerkingen huiswerk week 3
Opgave 9.
Zij V een n-dimensionale vectorruimte en laten (v1 , . . . , vn ) en (u1 , . . . , un ) twee
bases van V zijn. Laat zien dat er voor iedere vector vi uit de eerste basis een
vector uj uit de tweede basis bestaat zo dat (v1 , . . . , vi−1 , uj , vi+1 , . . . , vn ) een
basis van V is.
Oplossing. Omdat (v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ) een onafhankelijk stelsel met
n − 1 < n vectoren is, kan het geen basis van V zijn en is dus geen volledig
stelsel. Het opspansel van deze vectoren is dus een lineaire deelruimte V ′ van V
van dimensie n − 1. Als nu voor iedere index j geldt dat uj in V ′ ligt, dan zou
ook (u1 , . . . , un ) geen volledig stelsel voor V zijn. Maar omdat (u1 , . . . , un ) een
basis van V is, is dit niet zo, dus is er (minstens) een basisvector uj met uj 6∈
V ′ . Volgens lemma 1.3.2 is dan (v1 , . . . , vi−1 , uj , vi+1 , . . . , vn ) een onafhankelijk
stelsel en omdat het n vectoren bevat dus een basis van V .
Opgave 10.
(Opgave 1.3.11 in het dictaat) Zij V een n-dimensionale vectorruimte en laten
U en W lineaire deelruimten van V zijn. De som van twee lineaire deelruimten
is volgens 1.3.10 gedefinieerd door
U + W := {u + w | u ∈ U, w ∈ W }.
i) Laat zien dat U + W een lineaire deelruimte van V is (en dus een vectorruimte).
ii) Zij (u1 , . . . , um ) een volledig stelsel voor U en (w1 , . . . , wr ) een volledig
stelsel voor W . Laat zien dat (u1 , . . . , um , w1 , . . . , wr ) een volledig stelsel
voor U + W is, d.w.z. U + W is het opspansel van de vereniging van
volledige stelsels van U en W .
iii) Laat zien dat U +W de kleinste deelruimte van V is die U ∪W bevat, d.w.z.
voor iedere deelruimte V ′ van V die U en W bevat geldt U + W ⊆ V ′ .
Oplossing.
i) We laten zien dat U + W de nulvector bevat en afgesloten is t.o.v. de
optelling en de scalairvermenigvuldiging.
Omdat U en W deelruimten zijn, is 0 ∈ U en 0 ∈ W , dus 0 = 0 + 0 ∈
U + W.
Zij nu u1 +w1 ∈ U +W en u2 +w2 ∈ U +W , dan is (u1 +w1 )+(u2 +w2 ) =
(u1 + u2 ) + (w1 + w2 ) ∈ U + W .
Voor c ∈ R en u + w ∈ U + W is c(u + w) = cu + cw ∈ U + W .
ii) Zij u+w ∈ U +W met u ∈ U en w ∈ W . Omdat (u1 , . . . , um ) een volledig
stelsel voor U is, zijn er a1 , . . . , am ∈ R met u = a1 u1 + · · · + am um .
Net zo zijn er b1 , . . . , br ∈ R met w = b1 w1 + · · · + br wr . Maar dan is
u + w = a1 u1 + · · · + am um + b1 w1 + · · · + br wr een lineaire combinatie van
de vectoren in het stelsel (u1 , . . . , um , w1 , . . . , wr ), dus is dit een volledig
stelsel voor U + W .
iii) Zij V ′ een deelruimte van V die U en W bevat. Dan geldt u ∈ V ′ voor
iedere u ∈ U en w ∈ V ′ voor iedere w ∈ W . Omdat V ′ een lineaire
deelruimte is, is V ′ i.h.b. afgesloten t.o.v. de optelling, dus is ook iedere
som u + w ∈ V ′ . Maar volgens de definitie van U + W is dan U + W ⊆ V ′ .
Opgave 11.
Zij V een n-dimensionale vectorruimte en laten U1 , U2 , . . . , Uk lineaire deelruimten van dimensie n − 1 van V zijn. Laat zien dat dim(U1 ∩ U2 ∩ · · ·∩ Uk ) ≥ n − k.
(Hint: Gebruik inductie en stelling 1.3.12.)
Oplossing. We gebruiken inductie over k. Voor k = 1 is dim U1 = n − 1,
dus klopt de bewering. Zij nu k > 1 en neem aan dat de bewering bewezen is
voor k − 1. Er geldt dus dim(U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ) ≥ n − k + 1. Nu zijn er twee
mogelijkheden:
Als U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ⊆ Uk , dan is U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ∩ Uk = U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 en dus
dim(U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Uk ) ≥ n − k + 1 > n − k.
Of er geldt U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 $ Uk , dan is er v ∈ U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 \ Uk en dus
is dim(U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ) + Uk > dim Uk en dus dim(U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ) + Uk = n.
Met stelling 1.3.12 (dim(U ∩ W ) = dim U + dim W − dim(U + W )) volgt hieruit
dim(U1 ∩ · · · ∩ Uk ) = dim(U1 ∩ · · · ∩ Uk−1 ) + (n − 1) − n ≥ (n − k + 1) − 1 = n − k.
Opgave 12.
In Pol(4) zijn de volgende polynomen gegeven:
p1 (t) = 1 + t,
p2 (t) = 1 + t + t2 ,
p3 (t) = 1 + t2 + t4 ,
p4 (t) = 1 + t4 ;
p5 (t) = −t + t2 + t4 , p6 (t) = t + t2 , p7 (t) = t4 , p8 (t) = −t + 5t2 .
Laten U := p1 (t), p2 (t), p3 (t), p4 (t) en W := p5 (t), p6 (t), p7 (t), p8 (t) lineaire
deelruimten van Pol(4) zijn.
i) Bepaal de dimensies dim U , dim W , dim(U ∩ W ) en dim(U + W ).
ii) Bepaal een basis van U ∩W en bases van U , W en U +W die uitbreidingen
van deze basis zijn.
Oplossing.
i) Men gaat eenvoudig na dat p4 (t) = p3 (t) − p2 (t) + p1 (t) en dat het stelsel
(p1 (t), p2 (t), p3 (t)) onafhankelijk is, dus is dim U = 3. Net zo geldt dat
p8 (t) = 3p5 (t) + 2p6 (t) − 3p7 (t) en dat (p5 (t), p6 (t), p7 (t)) onafhankelijk is,
dus is ook dim W = 3. Omdat dim Pol(4) = 5, zijn er nu drie mogelijkheden voor dim(U + W ), namelijk 3, 4 en 5. Omdat geen van de polynomen
een veelvoud van t3 bevat, is U + W $ Pol(4), dus is dim(U + W ) < 5.
Verder gaat men makkelijk na dat p7 (t) = t4 geen lineaire combinatie van
p1 (t), p2 (t) en p3 (t) is, dus is dim(U + W ) > 3 en dus dim(U + W ) = 4.
M.b.v. stelling 1.3.12 volgt hieruit dat dim(U ∩ W ) = 3 + 3 − 4 = 2.
ii) Men komt er snel achter dat p5 (t) = p3 (t)−p1 (t). Verder is p2 (t)−p1 (t) =
t2 en p5 (t)+p6 (t)−p7 (t) = 2t2 . Omdat (t2 , p5 (t)) een onafhankelijk stelsel
is, is het een basis van U ∩ W .
Geen van t2 en p5 (t) bevat een term van graad 0, dus is p1 (t) geen lineaire
combinatie van t2 en p5 (t), dus is (t2 , p5 (t), p1 (t)) een basis van U . Net zo
eenvoudig gaat men na dat p7 (t) geen lineaire combinatie van t2 en p5 (t)
is, dus is (t2 , p5 (t), p7 (t)) een basis van W . Volgens het bewijs van stelling
1.3.12 geldt dat (t2 , p5 (t), p1 (t), p7 (t)) een basis van U + W is.
Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/la2 07/la2.html