Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 29 augustus

Herhalingstentamen Inleiding Stromingsleer (wb1127) 29 augustus 2005, 14.00-17.00 uur
Opgave 1
Door de buis van onbekende lengte h als hier geschetst stroomt water met
een dichtheid van 998 kg/m3. Het buisgedeelte na de flens (1) heeft een
massa van (2.5 + 1.3*h) kg, en een volume van π/4*D12.(h + 0.3) m3. Ter
plaatse van de flens is de binnendiameter van de buis D1 = 8 cm; ter
plaatse van de uitstroomopening is deze D2 = 4 cm. De massastroom
water bedraagt ΦW = 15.2 kg/s. g = 9.81m/s2.
a) Bepaal de doorstroomsnelheid U1, en de uitstroomsnelheid U2.
Een eenvoudige om mee te beginnen: Phi = rho*A*U, dus
U_1 = Phi/(rho*pi/4*D1^2) = 3.03 m/s;
U_2 = Phi/(rho*pi/4*D2^2), of U_2 = U_1*(D1/D2)^2 = 12.12 m/s;
b) Als nu gegeven is dat de vloeistof wrijvingsloos is, bepaal dan de
druk P1. Voor welke lengte van de buis h is deze druk precies
gelijk aan P2 (d.w.z. atmosferisch)?
Voor een wrijvingsloze vloeistof geldt de ‘wet van Bernouilli’:
p + ½rho.U^2 + rho.g.z = cst, waarbij die constante dus geldt voor twee
verschillende punten in de stroming. We weten dat de uitstroom in de
atmosfeer is, dus zeg bij p_A. We kiezen daar voor het gemak z = 0. Dan
vinden we dus:
pA + ½rho.U2^2 + rho.g.0 = Cst. Deze constante invullen voor de flens
levert:
p1 + ½rho.U1^2 +rho.g.h = Cst = pA + ½rho.U2^2 => p1-pA =
½rho.(U2^2 – U1^2) – rho.g.h
Nulstellen van het linkerlid: ½.(U2^2 – U1^2) = g.h => h =½.(U2^2 –
U1^2)/g = 7.02 m
c) Bepaal (als functie van P1) de kracht op de flens (1) in de horizontale x-richting.
We gebruiken de integrale impulsbalans, en nemen als controlevolume de rode contour. We kennen
als relevante krachten: drukkracht, impulsstroom en volumekracht.
Voor de x-richting: F_x = (p1-pA).A1 + rho.U1^2.A1 + rho.U2^2.A2.cos(40)
=(p1-pA)*pi/4*0.08^2 + 998*3.03^2* pi/4*0.08^2 + 998*12.12^2* pi/4*0.04^2.cos(40)
=(p1-pA)*5.03.10^-3 + 46.1 + 141.1 N. Afhankelijk van de druk bij de flens kan deze kracht
zowel positief als negatief zijn! (Bij p1 - pA = -37.2 kPa ’37 kPa onderdruk’).
d) Bepaal (als functie van h) de kracht op de flens (1) in de vertikale z-richting. Voor welke
lengte van de buis h is de vertikale kracht precies nul?
Voor de z-richting: F_z = -g.(M_buis+M_water) + rho.U2^2.A2.sin(40)
=-g.(2.5 + 1.3*h + pi/4*D1^2*(h+0.3)*rho) + rho.U2^2.pi/4.D2^2.sin(40)
=-g.(2.5 + (1.3 + 5.02)*h + 1.5) + 998*.12.12^2.pi/4.0.04^2.sin(40)
=-g.(2.5 + (1.3 + 5.02)*h + 1.50) + 998*.12.12^2.pi/4.0.04^2.sin(40)
=-39.3 - 61.8*h + 118,4 N
Netto vertikale kracht is nul: nulstellen: h = 1.28 m
Opgave 2
De geschetste glazen U-vormige buis van slechts enkele
millimeters diameter draait met een constante hoeksnelheid om de
middellijn van de linkerbuis. De U-buis is gedeeltelijk gevuld met
water van dichtheid 1000 kg/m3, en gedeeltelijk met kwik, van
dichtheid 13600 kg/m3. De zwaartekrachtsversnelling bedraagt 9.81
m/s2, de luchtdruk 1.013x105 Pa (‘1013mbar’). Hint: RPM =
Rotations Per Minute.
a) In de buitenste buis staat het kwikoppervlak, zoals geschets,
scheef. Laat in een schets zien hoe dit komt, en bepaal de
hellingshoek.
Hint: voor een roterend systeem geldt: dp/dr = ρ.a,
met a de lokale versnelling.
Door de hoekversnelling werkt er ook een centrifugaalkracht naar
buiten, ter grootte van rho.V^2/R (= Omega^2*R). Omega
omrekenen naar radialen per seconde: Omega = 150/60*2pi =
15.71 rad/s; helling is Fhori/Fverti = Omega^2*R/g = 2.515 = tan alpha, ofwel alpha = 68.3 graden
t.o.v. horizontaal.
b) Bepaal de druk ter plekke van de stop; zowel als de buis niet roteert (Ω = 0), als bij de
gegeven Ω. Je mag de dichtheid van de lucht verwaarlozen.
Eerst voor de twee vertikale benen: hydrostatisch vinden we:
Buitenkant: p_(bodem, buiten) = p_A+ rho_kwik*g*h_buiten
Binnenkant: p_stopje = p_(bodem, binnen) - rho_kwik*g*h_binnen –rho_water*g*h_water.
- In stilstand is de druk over de bodem constant; dus p_(bodem, buiten) = p_(bodem, binnen):
Dus p_stopje = p_A - rho_kwik*g*(h_binnen - h_buiten) - rho_water*g*h_water = 10.8kPa
onderdruk = 90.5 kPa absoluut.
- Roterend werkt er ook een kracht in de radiële richting: dp/dr is rho_kwik*Omega^2*r =>Delta_P
= p_(bodem, buiten) - p_(bodem, binnen) = int (from 0 to R_buiten) rho_kwik*Omega^2*r dr =
rho_kwik*½*(Omega*R_buiten)^2 = 16.8 kPa. Omdat er aan het buitenbeennniets verandert, is dit
dus een extra onderfdruk in het linkerbeen; de druk op de stop bedraagt nu dus 73.7kPa absoluut.
c) (facultatief) Als gegeven is dat de dampspanning van water bij deze temperatuur 16.5 kPa
bedraagt, bepaal dan de maximale waarde van Ω waarbij de stroming stabiel is. Wat gebeurt
er bij hogere waarden?
Als de druk in een vloeistof lager wordt dan de dampdruk, dan gaat deze koken (bijv. voor water
bedraagt de verzadigde dampdruk bij 100graden Celsius 1 bar...). Gaan we onze buis sneller
draaien, dan verandert er niets aan de vertikale benen, maar de onderdruk vanwege de rotatie
verandert. Dus rho_kwik*½*(Omega_max*R_buiten)^2 = (P_A – dP_benen – P_damp).
=> Omega_max^2 = (101.3 – 10.8 – 16.5).10^3 /( ½R_buiten^2 * rho_kwik). =>
=> Omega_max = 33 rad/s of 315 RPM
Bij een hoger toerental verdampt er water, en zakt de vloetsofspiegel in de binnenste buis, en stijgt
deze in de buitenste; tot een nieuw evenwicht.
Opgave 3
voor-aanzicht
zij-aanzicht
3m
g
scharnieren
2m
vergrendeling
∆Y
Een noodvoorraadtank met water is een van boven open betonnen bak met aan één zijde een
vertikaal staande driehoekige deur, waarvan de vorm is als hierboven geschetst: 2.0 meter hoog, aan
de bovenzijde 3.0 m breed). De deur (gearceerd) hangt aan twee scharnieren aan de bovenzijde; op
het onderste punt is de deur vergrendeld. Het water heeft een dichtheid van 998 kg/m3, en mag als
wrijvingsloos beschouwd worden. Neem g = 9.81 m/s2, en het niveau z = 0 ter hoogte van de
scharnieren tevens ter hoogte van het wateroppervlak.
a) Bepaal de totale kracht die het water op de deur uitoefent.
“Kracht is druk geintegreerd over het oppervlak”. We nemen z = 0 aan het wateroppervlak, en
positief naar beneden otegaand. We kijken naar een element van het deuroppervlak dz*dx. Het
hydrostatisch drukverschil tussen binnen en buiten hierop bedraagt rho_water*g*z (binnen) rho_lucht*g*z (buiten). We verwaarlozen de laatste term, want de dichtheid van lucht nemen we als
verwaarloosbaar. De strips hebben een breedte dx = 3 - 3/2 *z.
De totale kracht F bedraagt dan dus:
F = int (from 0 to 2) rho_w*g* z * (3 - 3/2z) dz
= rho_w*g* int (from 0 to 2) (3z -3/2z^2) dz
= rho_w*g* [3/2z^2 -1/2z^3]
= rho_w*g* [3/2(2)^2 -1/2(2)^3] =
= rho_w*g*(6 – 4) = = rho_w*g*2 = 19.58 kN.
Je had dit ook (sneller) kunnen vinden met “kracht is oppervlak maal druk in het zwaartepunt”;
Dus: opp = 3m^2; zwaartepunt van een driehoek is 1/3 * hoogte gerekend vanaf de basis = 2/3 m...
b) Bepaal de kracht op de vergrendeling. Krachten door afdichtstrips mogen uiteraard
verwaarloosd worden.
Om in evenwicht te zijn moet er ook een momentenevenwicht zijn. We weten nu wel de kracht op
de deur, maar deze grijpt niet aan in het zwaartepunt! Het is het eenvoudigst om een momentenbalans te maken tov de scharnieren (want dan hoeven we daar de kracht niet te kennen!).
“Moment is kracht maal arm”. We nemen weer een element van het deuroppervlak dz*dx. Het
moment geleverd door de hydrostatisch druk op het vlakje bedraagt (rho_water*g*z)*(dx*dz)*(z).
Het totale moment M bedraagt dan dus:
M = int (from 0 to 2) rho_w*g* z * (3 - 3/2z) * z dz
= rho_w*g* int (from 0 to 2) (3z^2 - 3/2z^3) dz
= rho_w*g* [z^3 - 3/8z^4]
= rho_w*g* [(2)^3 -3/8(2)^4] =
= rho_w*g*(8 – 6) = = rho_w*g*2 = 19.58 kN.m.
Di moment wordt opgevangen door de vergrendeling die een arm heeft tov het draaipunt van 2m.
Derhalve is de kracht hier F_grendel = 9.8 kN.
c) (Voor de liefhebbers, deze is lastig!) Om het water te kunnen verversen wordt de tank elke
maand een keer gespoeld. Uiteraard wordt de deur dan niet vol open gezet, maar wordt de
vergrendeling slechts DY = 5 cm gelost. Bepaal de volumestroom aan water die er door de
ontstane spleet ontsnapt.
Hint: De spleetbreedte neemt lineair met de afstand tot het scharnier toe!
Hint: Je mag de aanstroomsnelheid verwaarlozen.
Dit doen we in twee stappen: Bij een druk p = rho*g*z hoort een uitstroomsnelheid mbv Bernouiili
van 0.5*rho*v^2, ofwel v = sqrt(2*g*z). (bijv onderaan op z = 2 is dat ruim 6 m/s).
Het totale debiet vinden we door over de hele spleet te integreren:
Q = integraal (over spleet) v.dA
Een oppervlakteelementje dA kunnen we vinden uit een stapje dz door een lineair oplopende
spleetbreedte en de ‘helling’: dA = DY*z/2(‘breedte’) * dz/cos(arctan(3/4)) (‘hoogte’) (met de
laatste term = 5/4, want dit is een 3-4-5-driehoek!).
Ofwel: Q = 2(‘twee zijden’)*int (from 0 to 2) v(z).dA =
= 2*int (from 0 to 2) sqrt(2*g) * sqrt(z) * 5/4 * z/2* DY =
= 5/4*DY* sqrt(2*g) * int (from 0 to 2)(z)^1.5 =
= 5/4*DY* sqrt(2*g) * [2/5*(z)^2.5] =
= ½*DY* sqrt(2*g) * [(2)^2.5] =
= DY* sqrt(g) * 4 = 0.625 m^3/s
De gemiddelde snelheid aan de binnenkant is dan van de orde Q/A_deur = 0.2 m/s; veel kleiner dan
de typische uitstroomsnelheid, wat de aanname van ‘snelheid nul aan de binnenkant’ rechtvaardigt.
Opgave 4
R1,p1
a) Experimenteel is bekend dat het luchtdrukverschil tussen
R2,p2
binnen en buitenkant van een zeepbel, ∆p, uitsluitend
R12 = ?
afhangt van de oppervlaktespanning van het zeepvlies σ en
2
de straal van de bel, R. Hint: [σ] = Kg/s . Voor een bepaald
zeep-water mengsel hebben we gemeten dat ∆p voor een bel
van R = 2 cm 5.2 Pa bedraagt. We hebben nu twee zeepbellen tegen elkaar aan ‘geplakt’,
zoals rechts geschetst, met stralen R1 = 7 cm, en R2 = 4 cm. Bepaal:
1. De drukken p1 en p2. Hint: op grond van de dimensies is er een direct verband tussen de
gegeven grootheden.
2. De kromtestraal van het zeepvlies tussen de twee zeepbellen. Let hierbij op; bol naar
links betekent een positieve, bol naar rechts een negatieve kromtestraal.
Oppervlaktespanning in een zeepvlies kan geïnterpreteerd worden als een trekkracht (per meter
lengte) die het vlies op een contactlijn uitoefent. Welke hoeken maken de drie oppervlakken ([luchtbel 1], [lucht-bel 2] en bel1-bel2] onderling? Schets!
Dimensieanalyse levert drie parameters met :
[∆p] = Pa = N.m-2 = Kg.m-1.s-2 , [σ] = Kg.s-2 , [R] = m.
Hier uit volgt dat ∆p = C*σ/R, met C een dimensieloze constante.
1
Voor de ‘referentiebel’ volgt dat C*σ = R.dP = 0.104, dus voor bellen 1 en 2:
p1 = pA + 1.486 Pa; p2 = pA + 2.6 Pa.
2
Het zeepvlies tussen de twee bellen gedraagt zich natuurlijk niet wezenlijk anders dan de
twee ‘buitenliggende’. Het staat dan ook bol, en wel met de bolling naar de laagste druk, dus naar
links. De bijbehorende kromtestraal is dus naar rechts, en positief. Analoog aan het voorgaande
vinden we voor de kromtestraal R12 = C*σ/dP = 0.104/(2.6 – 1.486) = 9.3 cm.
3
De waarde van de oppervlaktespanning is niet
zomaar te bepalen. Wel kunnen we de trekkracht
meten die het vlies uitoefent. Een stukje vlies oefent
deze uit óf op het naastliggend stukje, dat net zo hard
terugtrekt (en dus niet in beweging komt) óf op een
‘contactlijn’. In ons geval zijn er drie zeepvliezen met
elk dezelfde oppervlaktespanning, het enige mogelijk
evenwicht is dat elk onder 120 graden met de ander in
verbinding staat, zoals hier geschetst. Kijk zelf thuis
maar eens tijdens de afwas.
120o
120o
o
120
We hebben een gasbel (of een ‘bel’ van een lichte
vloeistof) (liq. 1) in een vloeistof (liq. 2) van
respectievelijk dichtheden ρ1 en ρ2, en viscositeiten µ1
en µ2. Verder is er een grensvlakspanning tussen de twee
fluïda σ, zwaartekracht g, en het volume van de bel, Vol.
De bel rust tegen het wateroppervlak, en neemt daarbij
een bepaalde vorm aan. We willen deze via de ‘afplatting’ van de bel beschrijven door naar de
maximale hoogte h te kijken.
Hint: ‘rusten tegen’ betekent zoveel als: er is nog een zeer dunne film van het zeep-watermengsel tussen de bel en de lucht er boven.
b) Maak een dimensieloze parameter Π1 uit h en Vol. Geef een dimensieloze vorm Π1 = f1(Π2
... Πn), en bepaal n. Construeer onafhankelijke Π-groepen zodanig dat er maar één enkele
Π afhankelijk is van µ1, één enkele Π afhankelijk van ρ1 en één enkele Π afhankelijk van σ.
Hint: [µ] = Pa.s
Dimensieanalyse levert acht parameters:
[ρ1] = [ρ2] = Kg.m-3
[µ1] = [µ2] = Pa.s = Kg.m-1.s-1
[σ] = Kg.s-2
[g] = m.s-2
[Vol] = m3
[h] = m
Met drie basisdimensies (Kg, m, s) levert dit volgens Buckingham dus 8 – 3 = 5 Pi-parameters.
De eerste is uniek bepaald door de vraagstelling: Π1 = h/Vol^1/3. We schrappen h. (we moeten bij
elke Pi een grootheid schrappen die we niet meer voor de volgende Pi’s gebruiken).
Met de twee andere vereisten maken we eenvoudig Π2 = ρ1/ρ2 en Π3 = µ1/µ2, en we schrappen ρ1 en
µ1. Laten we de viscositeit van de stroop dimensieloos gaan maken in Π4 ; bijvoorbeeld met de
dichtheid: [µ2/ρ2] = m2.s-1. Delen door g^0.5: [µ2/(g0.5.ρ2)] = m3/2. Dus: Π4 = Vol1/2.µ2/(g0.5.ρ2), en
we schrappen µ1.
Blijft over σ: Ook hier gaan eerst de kilogrammen er uit m.b.v. dichtheid:
[σ/ρ2] = m3.s-2; delen door g: [σ/g.ρ2] = m2; Dus: Π5 = σ/(g.ρ2.Vol2/3).
Ofwel: h/Vol1/3 = f1(ρ1/ρ2, µ1/µ2, Vol1/2.µ2/(g0.5.ρ2), σ/(g.ρ2.Vol2/3)).
c) Maak aannemelijk dat Π1 noch van µ1, noch van µ2 afhankelijk kan zijn, en geef een
gereduceerde vorm Π1 = f2(Π2 ... Πn-2). Als ρ1 = 0.0012 ρ2, (een luchtbel in een afwassopje),
bepaal en/of schets dan hoe Π1 af zou kunnen hangen van je σ-afhankelijke Π-parameter;
beschouw hiervoor een heel klein belletje en een hele grote.
Het feit dat de viscositeit een eigenschap is van de vloeistof betekent nog niet dat deze van belang is
voor het proces dat we bekijken. Bijvoorbeeld als we een voorwerp in lucht loslaten, dan hangt de
versnelling ook niet van de dichtheid of de massa van het voorwerp af. Nu weten we dat viscositeit
leidt tot schuifkrachten in een vloeistof wanneer de vloeistof vervormd wordt (stroomt); en dat
grensvlakspanning leidt tot normaalkrachten wanneer het grensvlak vervormd is. In ons geval ligt
de druppel stil, dus zijn er geen schuifkrachten; het grensvlak is echter niet vlak, dus zijn er wel
oppervlaktekrachten. We kunnen dan ook twee parameters met viscositeiten schrappen, en we
houden over:
h/Vol1/3 = f2(ρ2/ρ1, σ/(g.ρ1.Vol2/3)).
- In het geval dat de oppervlaktespanning domineert, valt te verwachten dat de druppel erg rond zal
blijven, m.a.w. h/Vol^1/3 = h/(pi/6.h^3)^1/3 = (6/pi)^1/3 approx 1.25 Volle punten
- In het geval dat de oppervlaktespanning erg klein, is, dan is deze kracht niet in staat de bel tegen
de zwaartekracht in rond te houden, en zal deze dus aan de onderkant plat worden (een grote
zeepbel op je afwassop?). In het extreem wordt de bel precies een halve bol,
m.a.w h/Vol^1/3 wordt = h/(4/6pi.h^3)^1/3 = (3/2pi)^1/3 approx 0.8 Bonuspunten.