H.6 Lineaire vergelijking / lineaire functie

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.6
H.6 Lineaire vergelijking / lineaire functie
6.1 Lineaire vergelijking
Een lineaire vergelijking (of 1e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm:
m⋅ x + n = 0
In deze vergelijking is x de onbekende, terwijl m en n constanten zijn.
Omdat de onbekende x de exponent 1 heeft, noemen we dit een lineaire
vergelijking.
Een lineaire vergelijking kunnen we oplossen door de termen met x naar het linkerlid
en de overige termen naar het rechterlid te brengen.
Voorbeeld 1a:
Los op: 2 x + 8 = 0
2x+8 = 0 ⇒
Oplossing: 2 x = −8 ⇒
x = −4
x −5 = 4x +7
Voorbeeld 1b:
Los op:
Voorbeeld 2a:
Los op: 3( x + 2) + 2 = 2 (1 − x) − x
Oplossing: 3( x + 2) + 2 = 2 (1 − x) − x ⇔
3x+6+ 2 = 2−2x− x ⇔
3x +8 = 2−3x
⇔
3x +3x = −8+ 2
⇔
6 x = −6
⇔
x = −1
Voorbeeld 2b:
Los op: 3( x − 2) + 2 x = −4 (3 − x) + 3 x
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.6
6.2 Lineaire functie
Algemeen: een functie is een voorschrift om volgens een bepaalde regel uit een
gegeven getal een ander getal, de functiewaarde, te maken.
In dit hoofdstuk beperken wij ons tot de lineaire functie.
Een lineaire functie (of 1e graadsfunctie) is een functie van de vorm:
f ( x) = m ⋅ x + n
In plaats van f ( x) = m ⋅ x + n gebruiken we ook de notatie:
y = m⋅ x + n
In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl m en n constanten zijn.
Omdat de variabele x de exponent 1 heeft, noemen we dit een lineaire functie.
Een voorbeeld van zo’n lineaire functie is: f ( x) = 2 x − 3
De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn.
In y = m ⋅ x + n wordt m de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn genoemd,
afgekort als r.c. en “rico” genoemd.
De richtingscoëfficiënt m geeft de helling van de lijn weer.
Bij een positieve m hoort een stijgende grafiek, bij een negatieve m een dalende
grafiek.
Voorbeeld 3a: Teken de grafiek van de functie y = 2 x + 4
Oplossing:
Het snijpunt S X met de X-as vinden we uit:
y=0 ⇒
0 = 2x + 4 ⇒
x = −2
Dus: S X ( -2 , 0)
Opmerking: Door in de lineaire functie y = 0 te stellen, hebben we
een lineaire vergelijking in x gekregen !!
Het snijpunt S Y met de Y-as:
y = 2x + 4
x=0 ⇒ y=4
Dus: S Y (0 , 4)
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.6
Voorbeeld 3b: Teken de grafiek van de functie y = −3 x + 6
Voorbeeld 4a: Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn x + 2 y = 6 en het snijpunt
van deze lijn met de Y-as.
Oplossing:
Eerst gaan we x + 2 y = 6 herschrijven in de vorm y = m.x + n :
1
x + 2 y = 6 ⇒ 2 y = −x + 6 ⇒ y = − x + 3
2
1
Dus: r.c. = m = −
2
Het snijpunt met de Y-as is S Y (0 , 3)
Voorbeeld 4b: Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn 2 x − 7 y = −2 en het
snijpunt van deze lijn met de Y-as.
Voorbeeld 5a: Bepaal de vergelijking van de rechte lijn l , die gaat door
A(1 , 1) en B(3 , 5)
Oplossing:
l
B
A
C
De richtingscoëfficiënt m kunnen we bepalen uit:
m=
y − yC
y − yA
5 −1 4
BC
= B
= B
=
= = 2
3 −1 2
AC
xC − x A
xB − x A
De lijn l heeft dus als vergelijking y = 2 ⋅ x + n """"""" (1)
De onbekende n vinden door de coëfficiënten van óf A óf B in te
vullen in (1).
Nemen we bijvoorbeeld A(1 , 1) dan wordt (1):
1 = 2 × 1 + n ⇒ n = −1
Dus de vergelijking van l wordt: y = 2 x − 1
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.6
Voorbeeld 5b: Bepaal de vergelijking van de rechte lijn l , die gaat door
A(4 , -3) en B(-3 , 4)
Voorbeeld 6a: Bepaal de vergelijking van de rechte lijn l , die gaat door
P(3 , -1) en Q(-3 , -1)
Oplossing: De richtingscoëfficiënt m kunnen we bepalen uit:
m=
yQ − yP
xQ − xP
=
−1 − (−1) −1 + 1
=
= 0
−3 − 3
−6
De lijn l heeft dus als vergelijking y = 0.x + n """""" (2)
P invullen in (2) geeft: −1 = 0 + n ⇒ n = −1
Dus de vergelijking van l wordt: y = −1
Voorbeeld 6b: Bepaal de vergelijking van de rechte lijn l , die gaat door
P(3 , -1) en Q(3 , 5)
Er zijn situaties waarbij voor twee rechte lijnen een bijzondere eigenschap geldt.
Twee rechte lijnen, l1 en l2 ,kunnen evenwijdig aan elkaar zijn. Notatie: l1 // l2 .
Ook kunnen de lijnen l1 en l2 elkaar loodrecht snijden. Notatie: l1 ⊥ l2 .
Als gegeven is:
l1 : y = m ⋅ x + n
l2 : y = p ⋅ x + q
dan gelden de volgende eigenschappen:
Eigenschap 1:
als
Eigenschap 2:
als l1 ⊥ l2 , dan : m·p = -1
l1 // l2 , dan : m = p
Voorbeeld 7a: Gegeven de lijn l1 : 4 x − 2 y = 9 en het punt A(5 , 3).
Bepaal de vergelijking van de lijn l2 door A en evenwijdig aan l1.
Oplossing:
9
De vergelijking van l1 is te schrijven als y = 2 x −
2
De richtingscoëfficiënt van l1 is dus 2 en dit is gelijk aan de
richtingscoëfficiënt van l2.
De vergelijking van l2 wordt: y = 2 x + q """""""" ( 3)
Hieruit kunnen we q vrijmaken door A(5 , 3) in te vullen in (3):
3 = 2 × 5 + q ⇒ q = −7
en dus wordt de vergelijking van l2: y = 2 x − 7