Bewerkingen met krachten en momenten

21
Bewerkingen met krachten
Opgeloste Vraagstukken
2.1.
Bepaal het moment van de kracht van 20N uir Fig. 2-3 rond het punt O.
OPLOSSING
Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 20N ageert. Volgens de
gegeven schaal is de lengte ervan 4,33 m. Het moment van de kracht rond O (en in feite is dit rond een as
door O loodrecht op het xy-vlak) is daarom –(20 × 4,33) = - 86,6 Nm.
22
Fig. 2-3
Fig. 2-4
Het minteken werd gebruikt om de richting van de draaiing de wijzerzin is.
2.2.
Los Vraagstuk 2.1 op met behulp van de stelling van Varignon. Zie Fig. 2-4.
OPLOSSING
De toepassing van deze stelling bestaat erin de kracht van 20N te verschuiven langsheen de rechte
waarlangs ze ageert zodat de x- of y-component eenvoudig wordt.
Als het punt B gekozen wordt op de x-as, dan is het duidelijk dat de x-component geen moment
veroorzaakt rond O. Het moment van de kracht van 20N rond O is dan gelijk aan het moment van de ycomponent rond O, of –(17,32 × 5) = -86,6 Nm.
Als het punt A gekozen wordt op de y-as, dan veroorzaakt de y-component geen moment rond O.
Het moment van de kracht van 20N rond O is dan gelijk aan het moment van de x-component rond O, of
–(10 × 8,66) = -86,6 Nm.
2.3.
Een kracht van 100N is gericht langs een rechte vanaf het punt waarvan de (x, y, z)-coördinaten (2, 0, 4)m
zijn tot het punt met coördinaten (5, 1, 1)m. Wat zijn de momenten van deze kracht rondom de x, y, en zas?
OPLOSSING
In Fig. 2-5 veronderstellen we dat de schaal zo is dat de 100N-kracht gegeven wordt door de
diagonaal van het parallellepipedum waarvan de zijden evenwijdig zijn met de coördinaatassen. De zijden
stellen hierbij in dezelfde schaal de componenten van de kracht voor.
Fig. 2-5
23
De x zijde is 5 – 2 = 3m lang; de y zijde is 1 – 0 = 1m lang en de z zijde is 1 – 4 = -3m lang. Dit
betekent dat de component Fz gericht is ‘naar achteren’ of langs de negatieve richting van de z-as.
lengte van de x − zijde
3
3
× 100N =
× 100N =
× 100N = 68,7N.
Fx =
lengte van de diagonaal
19
32 + 12 + 32
1
2.4.
× 100N = 22,9N, Fz =
−3
× 100N = 68,7N.
19
19
Om het moment van de 100N-kracht te vinden om de x-as, bepalen we de momenten van de componenten
rondom de x-as. Een aanblik toont dat de enige component die zulk een moment heeft Fy is. Daarom is Fy
voor de 100N-kracht het moment van Fy rond de x-as en is die gelijk aan -22,9 × 4 = -91,6Nm. Het
minteken toont dat de draaiing van Fy in wijzerzin gaat rond de x-as.
Om het moment om de y-as te bepalen, moet worden opgemerkt Fy evenwijdig is aan de y-as en dus geen
moment heeft rondom die as. Nu moeten zowel Fz en Fy worden beschouwd. Het is eenvoudiger om het
teken te bepalen door directe aanschouwing dan door het schrijven van tekens voor de componenten en de
arm. Op deze wijze komt er: My = + (68,7 × 2) + (68,7 × 4) = 412Nm.
Op dezelfde wijze volgt door alleen Fy te gebruiken (vermits Fz evenwijdig is aan de z-as en Fx
die snijdt): Mz = + (22,9 × 2) = 45,8Nm.
Let er op om tekens toe te kennen aan de momenten en de betekenis ervan te verstaan.
Op dezelfde wijze, is Fy =
Herhaal Vraagstuk 2.3 door gebruik te maken van de vectorproductdefinitie van een moment.
OPLOSSING
In Vraagstuk 2.3 is F = 68,7i + 22,9j - 68,7k.
Stel dat de vector r de positievector voorstelt van een willekeurig punt langsheen de rechte
waarlangs F ageert met respect tot de oorsprong. Als we het punt (2, 0, 4) gebruiken, dan is r = 2i + 0j +
4k. Dan is
r
i
r
j
r
k
M=r×F= 2
0
4
68,7 22,9 − 68,7
= [0 – 4(22,9)]i - [2(-68,7) – 4(68,7)]j + [2(22,9) - 0]k
= – 91,6i + 412j + 45,8k Nm.
Vervolgens gebruiken we het punt (5, 1, 1) op de rechte waarlangs F ageert: r = 5i + j + k. Dus
r
r
r
i
j
k
M= 5
1
1
68,7 22,9 − 68,7
= [-1(68,7) – 1(22,9)]i - [5(-68,7) – 1(68,7)]j + [5(22,9) – 68,7(1)]k
= – 91,6i + 412j + 45,8k Nm.
De momenten om de x-, y-, en z-as zijn de coëfficiënten van de eenheidsvectoren, i, j en k.
2.5.
Bepaal het moment van de kracht F = 2i + 3j – k N agerend op het punt (3, 1, 1) omheen de lijn door (2,
5, -2) en (3, -1, 1). De coördinaten zijn gegeven in m.
OPLOSSING
De momentenarm r kan gevonden worden door een vector naar gelijk welk punt te gebruiken op
de lijn van de kracht. Met (2, 5, -2) wordt dit de vector r = i - 4j + 3k. Het moment M rond het gekozen
punt is
r
r r
i
j
k
M = r× F= 1 −4
2
3
3 = – 5i + 7j + 11k
−1
24
Nu is
eL =
r
r
r
(3 − 2)i + (−1 − 5) j + (1 + 2)k
r
r
r
i − 6 j + 3k
=
46
(1) 2 + (−6) 2 + (3) 2
En dus is het moment van F rondom de rechte:
r
r
r
−5 − 42 + 33 −14
.
. i − 6 j + 3k
ML = M eL = (– 5i + 7j + 11k)
=
=
= 2,06 Nm.
46
46
46
Als de arm voor het moment gekozen wordt vanuit het punt (3, -1, 1), is de arm r = 2j. Het moment M is:
r r r
i j k
M=r×F=0 2
0 = – 2i - 4k
2 3 −1
Dus is het moment van M langs de rechte
r
r
r
−2 − 12 −14
i − 6 j + 3k
M . eL = (– 2i + 0j - 4k) .
=
=
= 2,06 Nm.
46
46
46
2.6.
Bepaal het moment van een kracht P waarvan de componenten zijn Px =22 N, Py =23 N, Pz =7 N, en
agerend op het punt (1, -1, -2). Neem het moment om de rechte vanuit de oorsprong door het punt (3, -1,
0). De coördinaten zijn gegeven in m.
OPLOSSING
P = 22i + 23j + 7k N
De momentenarm is r = (1 - 0)i + (-1 - 0)j + (-2 - 0)k m.
r
r
r
i
j
k
M=r×F= 1
− 1 − 2 = 39i - 51j - 45k N.m.
22 23
2.7.
7
Een momentenkoppel van +60Nm ageert in een vlak. Duidt dit koppel aan met (a) krachten van 10N en
(b) krachten van 30N.
OPLOSSING
In het geval van (a) moet de momentenarm 6m zijn, terwijl het in het geval (b) 2m moet zijn.
De richting van de draaiing moet tegenwijzerzin zijn. De evenwijdige krachten mogen onder gelijk welke
hoek getekend worden, zoals getoond in Fig. 2-6.
Fig. 2-6
2.8.
Fig. 2-7
Combineer het koppel C1 = +20 N.m met het koppel C2 = -50 N.m, beide in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-7.
25
OPLOSSING
Om beide grafisch te combineren, kan men beide koppels uitdrukken met krachten van een zelfde
grootte, bijvoorbeeld 10N, en een zodanige tekening maken dat twee van de krachten, waaronder één van
elk koppel, collineair zijn maar in tegenovergestelde zin.
Het spreekt vanzelf dat collineaire krachten elkaar opheffen, zodat twee krachten van 10N met een
arm van 3m overblijven. Het resulterende koppel is -30N.m, en dit resultaat kan ook verkregen worden
door een algebraïsche optelling.
2.9. Vervang een met een moment van -100 N.m en een verticale kracht van 50 N, agerend in de oorsprong,
door één enkele kracht. Waar oefent deze enkele kracht zich dan uit?
OPLOSSING
In Fig. 2-8 wordt het koppel voorgesteld door twee gelijke maar tegengestelde krachten van 50N
op een afstand van 2m. Een kracht van het koppel is gericht volgens de gegeven 50N-kracht in de
oorsprong. Deze twee krachten annuleren elkaar en laten een enkele naar boven gerichte kracht van 50N
over, die zich op 2m links van de oorsprong uitoefent.
Fig. 2-8
2.10. Combineer een kracht van 30 N, 60° met een +50N.m koppel in het zelfde vlak. Zie Fig. 2-9.
OPLOSSING
Zo’n koppel kan niet tot een eenvoudiger stelsel worden herleid, maar het kan worden
gecombineerd met een andere kracht.
Teken het gegeven koppel met 30-N-krachten en op zulke wijze dat een van de krachten collineair
is met de gegeven enkele kracht van 30N maar in tegengestelde zin.
Het blijkt dat de collineaire krachten elkaar opheffen, en dit laat een enkele kracht van 30N over
evenwijdig aan en in de zelfde richting als de oorspronkelijke kracht maar op een afstand van 1,67m.
Fig. 2-9
Fig. 2-10
26
2.11. Zoals getoond in Fig. 2-10, ageert een koppel C1 van 20N.m in het xy-vlak, een koppel C2 van 40N.m in
het yz-vlak, en een koppel C3 van -55N.m in het xz-vlak. Bepaal het resulterende koppel.
OPLOSSING
Het koppel C1 is positief en ageert in het xy-vlak. Gezien vanuit de positieve zin van de z-as, geeft
het de indruk een draaiing te weeg te brengen in tegenwijzerzin rond de z-as. Door de regel van de
rechterhand, wordt het voorgesteld door een vector langs de z-as in de positieve richting. Op deze wijze
worden alle drie koppels in de figuur getekend. Door de vectoren op te tellen komt er dan:
C = C12 + C 22 + C32 = (20) 2 + (40) 2 + (−55) 2 = 70,9 N.m.
cos φx = C2/C = +0,564
cos φy = C3/C = +0,777
cos φz = C1/C = +0,282
Dit zijn de cosinusrichtingen van het koppel C. Het koppel ageert in een vlak loodrecht op deze vector.
Het koppel C wordt als volgt geschreven in vectornotatie:
C = + 40i - 55j + 20k N.m.
waaruit ook de waarde van C volgt zoals hierboven.
2.12. Een pijp van 2cm diameter wordt onderworpen aan een kracht van 25N, die verticaal toegepast wordt op
een horizontale staaf met een arm van 14cm. Vervang de 25N door (1) een kracht op het einde van de pijp
om die de buiging te veroorzaken en (2) een koppel die de pijp doet draaien en het een torsie te geven.
Wat zijn de momenten van de kracht en het koppel? Zie Fig. 2-11(a).
Fig. 2-11
OPLOSSING
Plaats twee verticale krachten van 25N in tegenovergestelde richting door het centrum van de pijp
zoals getoond in Fig. 2-11(b). De drie krachten zijn equivalent aan de originele kracht.
De naar boven gerichte kracht combineert met de originele kracht tot een koppel C = 25 × 14 =
350Ncm. Dit koppel neigt om de pijp te doen draaien in tegenwijzerzin wanneer het gezien wordt van
rechts.
De andere 25N-kracht veroorzaakt een buigingsmoment M = - 25 × 20 = -500Ncm rondom de zas.
27
2.13. Los Vraagstuk 2.12 op door het moment van de 25N-kracht rond O te bepalen.
OPLOSSING
De positievector van het punt waar de 25n-kracht wordt toegepast is, vanuit de oorsprong, r = 20i
+ 14k. De kracht is F = - 25j. Dus is het moment van de 25N-kracht met respect tot de oorsprong:
r
r
r
i
j
k
M = r × F = 20
0
0
− 25
14 = [0 – 14(-25)]i - [0 – 0]j + [20(-25) - 0]k = 350i – 500k N.m.
0
Dit komt overeen met de resultaten van Vraagstuk 2.12.
2.14. De kraan in Fig. 2-12 staat op grondniveau. De x-as gaat door de punten waar de achterste wielen de
grond raken, de y-as is evenwijdig aan de dwarse middellijn van de kraan van achter naar voor, en de z-as
loopt volgens de verticale. Het platform van de kraan staat 90cm boven de grond. Om praktische redenen
kan verondersteld worden dat het draaiende steunpunt van de onderkant van de arm in het vlak van de
kraan ligt en op 180cm van het middelpunt van het voertuig. Het middelpunt van het voertuig ligt op de
middellijn 450cm naar voren (naar links) van de achterste wielaslijn. De 1500cm lange arm maakt een
hoek van 60° met het vlak van de kraan in een verticaal vlak, en het voertuig en de arm zijn horizontaal
gedraaid over 45° tegenover de voorkant en middellijn van het vlak van het voertuig. De afstand tussen de
contactpunten tussen de achterste wielen is 240cm. Bepaal het draaimoment van de 4000N zware lading
over de x-as.
OPLOSSING
Fig. 2-12
Met betrekking tot de oorsprong O op de as, zijn de coördinaten van het middelpunt van het
voertuig (-120, -450, 90). De coördinaten van de onderkant van de arm zijn (-120 + 180 sin 45°, -450 +
180 cos 45°, 90) of (7,2 ; -324; 90). De coördinaten van de bovenkant van de arm zijn (7,2 + 1500 cos 60°
sin 45°; -324 + 1500 cos 60° cos 45°; 90 + 1500 sin 60°) of (537 ; 207,3 ; 1389).
28
Het moment van de 4000N kracht rond O is dan:
r
r
r
i
j
k
M = r × F = 537 207,3
0
0
1389
− 4000
De scalaire coëfficiënt van de i term is het moment rond de x-as. Dus is Mx = - 829200N.m. Het moment
gaat dus in wijzerzin rond de x-as wanneer gezien vanaf de voorzijde.
Aanvullende vraagstukken
2.15. Bepaal in elk van de volgende gevallen het moment van de kracht F rond de oorsprong. Gebruik de stelling
van Varignon.
Grootte van F
20N
64N
15N
8N
4N
96N
Hoek van F met
de horizontale
30°
140°
337°
45°
90°
60°
Coördinaten van
het punt van
toepassing van F.
(5, -4) m
(-3, 4) m
(8, -2) m
(6, 1) m
(0, -20) m
(4, 2) m
Antwoord
119 Nm
72,9 Nm
-19,3Nm
28,3Nm
0
236Nm
2.16. Gebruik in Vraagstuk 2.15 het vectorproduct van het moment (M = r × F) om het moment te bepalen. Elk
antwoord zal een eenheidsvector k dragen.
2.17. Een kracht van 50N is gericht langs de rechte doorheen een punt met x-, y-, z-coördinaten (8, 2, 3)m naar
een punt met coördinaten (2, -6, 5)m. Wat zijn de scalaire momenten van de kracht om de x-, y-, z-assen?
Ant. Mx = 137N.m, My = -167N.m, Mz = -255N.m.
2.18. Gegeven de kracht P = 32,4i – 29,3j + 9,9k N die uitgeoefend wordt op de oorsprong. Bepaal het moment
rond een rechte door de punten (0, -1, 3) en (3, 1, 1). De coördinaten worden gegeven in meter.
Ant. M = -88,2N.m.
2.19. Een kracht wordt uitgeoefend op de oorsprong. De coördinaten van de kracht zijn Px = 68,7 N, Py = 22,9 N,
Pz = 68,7 N. Bepaal het moment van de kracht P rond een rechte door de punten (1, 0, -1) en (4, 4, -1). De
coördinaten worden gegeven in meter.
Ant. M = -13,7N.m.
2.20. Combineer C1 = +20,7 N.m, C2 = -80 N.m en C3 = -18 N.m, die zich alle uitoefenen in het zelfde vlak.
Ant. C = -78N.m, die zich uitoefent in het zelfde vlak of in evenwijdig vlak.
2.21. Vervang een verticale kracht van 270N die zich neerwaarts uitoefent in de oorsprong door een verticale
kracht van 270N agerend in x = -5 en een koppel.
Ant. C = -1350N.m.
29
2.22. Bepaal de resultante vector van de drie koppels +16N.m, -45N.m, +120N.m, die zich respectievelijk
uitoefenen in de xy, yz, en xz vlakken.
Ant. C = +129N.m, cos θx = -0,349; cos θy = 0,931; cos θz = 0,124.
2.23. Voeg het koppel C = 30i – 20j + 35k N.m toe aan het resultante koppel uit Vraagstuk 2.22.
Ant. C = -15i + 100j + 51k N.m.
2.24. De 24-N krachten toegepast op de hoeken A en B van het parallellepipedum getoond in Fig. 2-13 ageren
lang AE en BF, respectievelijk. Toon dat het gegeven koppel kan vervangen worden door een
verzameling verticale krachten bestaande uit een naar boven wijzende 16N kracht in het punt C en een
16N naar beneden wijzende kracht in D.
Fig. 2-13
Fig. 2-14
2.25. Vervang de verzameling van drie evenwijdige krachten, getoond in Fig. 2-14 door een enkele kracht. Wat
is de grootte, de richting en zin en de plaats van de enkele kracht?
Ant. 80N, verticaal naar boven, 0,75m links van A.
2.26. Op een horizontale staaf van 8m wordt een neerwaartse verticale kracht uitgeoefend van 12N aan het
rechtse einde zoals getoond in Fig. 2-15. Toon dat deze equivalent is aan een verticale 12N kracht naar
beneden uitgeoefend aan het linkse einde en een koppel in wijzerzin van 96N.m.
Fig. 2-13
Fig. 2-14
2.27. Een moersleutel in horizontale positie is vastgezet rond een pijp aan het linkse einde. Een verticale kracht
van 20N zal worden toegepast aan het rechtse einde met een effectieve arm van 300mm. Toon dat dit
equivalent zal zijn aan een kracht van 20N die verticaal naar beneden is gericht en zich uitoefent door het
centrum van de pijp en een wijzerzin koppel van 6N.m. Verwijs naar Fig. 2-16.
30
2.28. Reduceer het systeem van krachten in de riemen getoond in Fig. 2-17 naar een enkele kracht in O en een
koppel. De krachten zijn ofwel verticaal of horizontaal.
Ant. 78,3N, θx = 296,5°, C = 0.
Fig. 2-17
Fig. 2-18
2.29. Reduceer het systeem van krachten zich oefenend op de balk getoond in Fig. 2-18 naar een kracht in A en
een koppel.
Ant. R = 100N naar boven in A, C = 6000N.m.
2.30. Verwijzend naar Fig. 2-19, reduceer het systeem van krachten en koppels naar het eenvoudigste systeem
gebruik makend van punt A.
Ant. Rx = 48,1N, Ry = -3,9N, C = +36,2N.m.
Fig. 2-19
Fig. 2-20
2.31. Bepaal de momenten van de twee krachten rondom de x, y en z- as getoond in Fig. 2-20.
Ant. M = 488i + 732k N.m of Mx = 488 N.m, Mx = 0, Mx = 732 N.m.