MS2 en MS3 starten vanaf dinsdag 16 Januari 2007

H1. Kernbegrippen van functieonderzoek.
§1.1
y=2x
Hier
x=1
x=2
Functieonderzoek.
staat: y is steeds 2x zo groot als x.
-> y=2
-> y=4 etc.
y= f(x)= 2x
Hier staat: y is een functie van x, y is namelijk 2x zo groot als x.
Functie betekent dat voor elke x maar een y-waarde is.
x=1 -> y=2 (en alleen 2 en niet 2 of -2).
In dit deel zullen we een aantal standaardfuncties bekijken die de relatie
tussen y en x beschrijven, met name de lineaire functie, de machtsfunctie,
de exponentiële functie en de log-functie.
§1.2 De lineaire functie.
Een lineaire functie is een rechte lijn (lineair≈liniaal)
Een lineaire functie kan stijgen of dalen.
Een stijgende functie:
Een dalende functie:
Y
Y
B
B
0
X
0
X
B=de waarde van y, als x=0.
Voorbeeld 1.
a. Teken een licht stijgende lineaire functie met x=0 -> y=-1.
b. Teken een sterk dalende lineaire functie met x=0 -> y=4.
Antwoord.
a.
b.
Y
4
2
Y
3
1
2
X
0
1
-1
0
X
§1.3 Stijging en daling.
Een
Een
Een
Een
Een
Een
constante stijging als stijging niet verandert (=lineaire functie).
toenemende stijging als stijging steeds groter wordt.
afnemende stijging als stijging steeds kleiner.
constante daling als daling niet verandert (=lineaire functie).
toenemende daling als daling steeds groter wordt.
afnemende daling als daling steeds kleiner.
Voorbeeld 2.
Teken schetsmatig een constante stijging die overgaat in een dalende
stijging.
Antwoord.
Y
X
Voorbeeld 3.
Teken schetsmatig een constante daling die overgaat in een toenemende
daling.
Antwoord.
Y
X
§1.4 Domein en bereik.
Domein zijn alle waarden op de x-as, dwz. alle waarden die in functie mogen
worden ingevuld.
Bereik zijn alle waarden op de y-as, dwz. dat zijn alle mogelijke
uitkomsten van de functie.
Y
D
C
0
A
B
X
Domein is traject A-B.
Bereik is traject C-D.
Notatie:
[A, B]: alle waarden tussen A en B, incl. A en B.
<A, B>: alle waarden tussen A en B, excl. A en B.
Voorbeeld 4.
a.
Je hebt nog 3 dagen voor je examen. Als je niets doet, haal je een 4 en met
maximale inspanning haal je een 8.
Geef Domein en Bereik van de functie.
b.
Je bereidt je voor op een examen.
Geef Domein en Bereik van de functie.
Antwoord.
a.
Domein tussen de 0 en 72 (3 . 24).
Bereik tussen de 4 en 8.
b.
Domein tussen de 0 en onbekend dus zeg maar oneindig.
Bereik tussen de 1 en 10 (uitgaande van een gebruikelijke schaal).
§1.5 Minimum en maximum.
Minimum= de laagste waarde van de functie.
Maximum= de hoogste waarde van de functie.
Y
A
B
X
A= maximum
B= minimum
§1.6 Interpoleren en extrapoleren.
Meetgebied= de waarden voor x waarvoor je een waarde van y hebt gemeten.
Interpoleren= lijntje trekken tussen verschillende meetgebieden.
Extrapoleren= lijntje trekken buiten de meetgebieden.
Voorbeeld 5.
Y
X
A
B
C
D
E
F
Benoem elk traject A-B etc als meetgebied, interpoleren of extrapoleren.
Antwoord.
B-C en D-E: meetgebied
(je kan de stukjes tussen de punten ook opvatten als interpoleren).
A-B en E-F: extrapoleren.
C-D: interpoleren.
§1.7 Dal- en bergparabool.
Een dalparabool heeft de volgende vorm.
Y
B
A
X
Deze dalparabool heeft een minimum bij x=A en y=B.
Als je vanuit het minimum naar links of naar rechts gaat, wordt de stijging
steeds sterker.
Een bergparabool heeft de volgende vorm.
Y
B
A
X
Deze bergparabool heeft een maximum bij x=A en y=B.
Als je vanuit het maximum naar links of naar rechts gaat, wordt de daling
steeds sterker.
§1.8 Nulpunten voor y.
Y
0
A
C
B
X
D
Dit is een dalparabool met nulpunten voor y bij x=A en x=B.
Het minimum van de functie ligt bij x=C en y=D.
C ligt in het midden van A en B.
Voorbeeld 6.
a. Teken schetsmatig een dalparabool met met y=0 bij x=2 en x=4.
b. Teken schetsmatig een bergparabool met met y=0 bij x=-2 en x=2.
Antwoord.
a.
b.
Y
Y
X
0
1
2
3
4
5
6
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
§1.9 Limieten.
x↓0: wat gebeurt met y, als x daalt naar nul.
x↑0: wat gebeurt met y, als x stijgt tot nul.
In tekening:
Y
Y?
Y?
x↑0
x↓0
0
X
x → ∞: wat gebeurt met y, als x stijgt richting oneindig.
x → -∞: wat gebeurt met y, als x daalt richting min-oneindig.
In tekening:
Y
Y?
Y?
x→-∞
x→∞
0
X
§1.10 Horizontale en verticale asymptoot.
Een horizontale asymptoot is een horizontale rechte lijn waar de grafiek
steeds dichter bij in de buurt komt.
Voorbeeld 7.
Teken de lijnen y=1 en y=3.
Antwoord.
Y=3
3
Y
2
Y=1
1
0
1
2
3
4
X
Een verticale asymptoot is een verticale rechte lijn waar de grafiek steeds
dichter bij in de buurt komt.
Voorbeeld 8.
Teken de lijnen x=-3 en x=1.
Antwoord.
Y
-3
-2
X=-3
-1
0
1
2
X=1
3
X
Voorbeeld 9.
Teken een asymptoot
a. Als x -> -∞ ->
b. Als x -> ∞
->
c. Als x↓0
->
d. Als x↑0
->
voor de volgende functies.
y↓0.
y↑0.
y -> -∞
y -> ∞
Antwoord.
a.
b.
Y
Y
0
X
∞
X
0
-∞
c.
d.
∞
Y
X
Y
0
-∞
0
X
§1.11 Het toegestane gebied.
Je kan een aantal gelijkheden voor x en y tekenen in een assenstelsel.
Voorbeeld 10.
Teken x ≥ 2 en
y ≥ 3.
Antwoord.
6
Y
5
4
y≥3
3
2
x≥2
1
X
0
1
2
3
4
5
6