Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz
3/1 /2017
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne
Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne heeft een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.
2. Oefeningen uit vorige examens
1997 - juli Vraag 5 of 2012 - juli Vraag 9
Een student moet het gemiddelde ma van drie getallen x, y en z berekenen. Hiertoe
berekent hij eerst het gemiddelde van x en y en nadien het gemiddelde van dit resultaat met
z. Als x<y<z, dan is het eindresultaat dat de student bekomt:
<A>
<B>
<C>
<D>
soms kleiner dan me en soms gelijk aan m
altijd kleiner dan m
altijd groter dan m
soms groter dan m en soms gelijk aan
1997 - Juli Vraag 12
Het bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat
ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Deze waarde uitgedrukt in delen van 1 (0,45) wordt de
hematocriet genoemd. Eén mm3 (1µl) bloed bevat 5.106 rode bloedcellen. De voornaamste
functie van de rode bloedcellen is het transport van O2 en CO2 tussen long en weefsel,
waarvoor hemoglobine dient (ongeveer 15 g hemoglobine per 100 ml bloed).
Laten we aannemen dat de levensduur van de rode bloedcellen 120 dagen bedraagt of met
andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen éénmaal opnieuw
wordt aangemaakt.
Hoe groot is het volume van één rode bloedcel?
<A>
<B>
<C>
<D>
90.10-9 liter
90.10-12 liter
90.10-15 liter
Dat kan hieruit niet afgeleid worden
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
1997 - Juli Vraag 13
Met gebruik van dezelfde gegevens als bij de vorige vraag kan afgeleid worden
dat het lichaam van de man per seconde ongeveer het volgende aantal rode
bloedcellen aanmaakt:
<A>
<B>
<C>
<D>
2,4 . 106
2,4 . 105
2,4 . 104
Geen van de bovenstaande antwoorden is juist.
1997 - Augustus Vraag 12
Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54
liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per
seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte.
De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier bedraagt:
<A>
<B>
<C>
<D>
120 dagen
250 dagen
1200 dagen
3600 dagen
1997 - Augustus Vraag 13
Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54
liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per
seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte.
Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier bedraagt:
<A>
<B>
<C>
<D>
40.10-15 liter
90.10-15 liter
180.10-15 liter
0,4.10-12 liter
2012 - Juli Vraag 9
Een student moet het gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen.
Hij doet dit echter niet op de gebruikelijke manier. Hij bepaalt eerste het deelgemiddelde m’
van x en y, vervolgens neemt hij het gemiddelde m” van het deelgemiddelde m’ en z.
Gegeven is dat x < y < z .
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m , het berekende gemiddelde m” en het
deelgemiddelde m’?
<A>
<B>
m’ is altijd groter dan m”
m is altijd groter dan m’
<C>
m” is altijd gelijk aan m
<D>
m” is altijd groter dan m
2012 - augustus Vraag 9
Het gemiddelde van de schoenmaten van een groep van 10 personen bedraagt 40. Bij deze
groep moeten zich n personen met een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde
schoenmaat van 43 te bekomen. Welke uitspraak over het aantal n is dan juist?
<A>
<B>
<C>
<D>
n is een veelvoud van 11
n is een veelvoud van 6
n is een veelvoud van 7
n is een veelvoud van 8
2013 - Juli Vraag 7
Gegeven is de volgende ongelijkheid │ −
│<2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
<A>
<B>
<C>
<D>
x > 1/2
x < 1/2
x є ]1/2, 9/2[
x є ]-1/2, 3/2[
2013 - Augustus Vraag 9
Gegeven is de volgende ongelijkheid │4 − 3 │ ≤ 2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
<A>
<B>
<C>
<D>
x ≥ 2/3
x ≤ 2/3
x є ≥[4/3, 2]
x є [2/3,2]
2014 – Juli – Vraag 4 versie 1
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
<A>
<B>
<C>
<D>
voldoet alleen x =0
voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
voldoen geen strikt positieve getallen
voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Juli – Vraag 4 versie 2
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
voldoet alleen x =0
<A>
<B>
voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
<C>
voldoen geen strikt positieve getallen
<D>
voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Juli Vraag 9
Een groep van twaalf mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Hoeveel mensen
van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een gemiddelde leeftijd voor de groep
van 25 jaar te bekomen?
<A>
<B>
<C>
<D>
48
46
44
42
2014 – Juli Vraag 10
We beschouwen de uitdrukking:
. (
.√
)
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, √6, √7,
√8 waarbij elke wortel slechts
één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein
mogelijk maken. Welke wortel zullen we niet gebruiken?
<A>
<B>
<C>
<D>
√5
√6
√7
√8
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 1
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 + 1) − 2| ≤ 2
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
<A>
Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze
ongelijkheid voldoen.
Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
<B>
oneven gehele getallen
<C>
Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
even gehele getallen
Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen.
<D>
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 2
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 − 1) − 2| ≤ 2
<A>
Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze
ongelijkheid voldoen.
Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
<B>
oneven gehele getallen
<C>
Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan
even gehele getallen
<D>
Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen.
2014 – Augustus Vraag 9
Een groep van tien mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Iedereen is 18 jaar
of ouder. Wanneer twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar.
Gegeven zijn twee uitspraken:
1. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar
2. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar
Wat kan je zeggen over de uitspraken?
<A>
<B>
<C>
<D>
Beide uitspraken zijn verkeerd
Beide uitspraken zijn correct
Uitspraak 1 is correct en uitspraak 2 is verkeerd
Uitspraak 2 is correct en uitspraak 1 is verkeerd
2014 – Augustus Vraag 10
We beschouwen de uitdrukking:
dr. Brenda Casteleyn
√
#
." $
www.keu6.be
Page 6
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal
gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken.
Welk getal zullen we niet gebruiken?
<A>
<B>
<C>
<D>
1
2
3
4
2016 – Juli Geel Vraag 5
Judoclub Yuko neemt deel aan een internationale competitie met zeven van haar leden. Op
de wedstrijddag worden alle zeven judoka’s één voor één gewogen. Tijdens het wegen
houdt de manager van de club het gemiddeld gewicht bij van de leden die reeds gewogen
werden. Hij observeert dat het gemiddeld gewicht bij elke nieuwe poging met 1 kg
toeneemt. Hoeveel weegt de zwaarste van de zeven judoka’s meer dan de lichtste?
<A>
<B>
<C>
<D>
7 kg
10 kg
12 kg
14 kg
2016 – Augustus Geel Vraag 2
In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs
deelnamen. Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond
speelden?
Bowlingclub
Aardebeke
Bevergem
Cleve
Denterberg
<A>
<B>
<C>
<D>
Aantal
spelers
5
3
7
10
Spelletjes
per speler
2
3
1
1
Hoogste
score
190
215
165
154
Laagste score Gemiddelde
per spelletje
110
145
129
165
139
153
106
125
146
147
151
155
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
2016 – Augustus Geel Vraag 14
In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee scholen,
kortweg met A en B aangeduid.
A
B
A en B samen
Jongens
71
81
79
Meisjes
76
90
?
Alle leerlingen
74
84
Wat is het gemiddelde resultaat van de meisjes van beide scholen samen?
<A>
<B>
<C>
<D>
82
83
84
85
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
3. Oplossingen oefeningen
1997 - juli Vraag 5 of 2012 juli, vraag 9
Gegeven:
m = gemiddelde van x, y en z
n = gemiddelde van x en y en gemiddelde van dit resultaat met z
x<y<z
Gevraagd: verhouding van n tov m
Oplossing:
% %
m=
n=(
&
(#'()
%
)
Stel m en n aan elkaar gelijk:
% %
&
(#'()
=(
%
) <-->
% %
&
=
% %
<--> 4x + 4y + 4z = 3x + 3y + 6z <--> x + y = 2 z
*
Maar: x < y en y< z dus x+ y < 2z , dus m en n kunnen niet gelijk zijn.
Voor antwoord b stellen we m > n en verkrijgen we: x + y > 2z, wat ook in tegenspraak is met
x < y<z, dus enige juiste antwoord is C
Antwoord C
1997 - Juli Vraag 12
Gegeven:
bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter.
Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen.
Eén mm3 (1µl) bloed bevat 5.106 rode bloedcellen.
Er is 15 g hemoglobine per 100 ml bloed).
Levensduur van de rode bloedcellen = 120 dagen of met andere woorden dat de gehele
voorraad rode bloedcellen op 120 dagen éénmaal opnieuw wordt aangemaakt.
Gevraagd: volume van één rode bloedcel?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
Oplossing:
1 liter bloed omzetten naar mm3
1 dm3 = 1 liter
1 mm3 = 1. 10-6 dm3 = 1. 10-6 l = 1 µl
Dus: per µl zijn er 5.106 rode bloedcellen (aantal) en in volume is dat 0,45. 10-6 l
Dus voor 1 bloedcel is het volume: 0,45. 10-6/ 5.106 = 45/5 . 10-2.10-12 = 90.10-15 l
Antwoord C
1997 - Juli Vraag 13
Gegevens: zie vorige vraag
Gevraagd: hoeveel rode bloedcellen worden door lichaam van een man per seconde
aangemaakt?
Oplossing:
Aantal cellen in 5 liter: 5.106 x 5.106 = 25. 1012 rode bloedcellen
In 120 dagen worden dus 25. 1012 rode bloedcellen gemaakt
Omzetting 120 dagen naar seconden: 120 . 24 .60 .60
Per seconde worden er dus: 25. 1012 / 120 . 24 .60 .60 rode bloedcellen gemaakt.
Na vereeenvoudiging --> 2,4 . 106
Antwoord A
1997 - Augustus Vraag 12
Gegeven: Eén zoogdier heeft bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode
bloedcellen. Eén mm3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde
worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte.
Gevraagd: De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier
Oplossing:
1 liter bloed omzetten naar mm3
1 dm3 = 1 liter
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
1 mm3 = 1. 10-6 dm3 = 1. 10-6 l = 1 µl
10-6 l bevat 1,35 . 106 bloedcellen,
1 liter bevat: 1,35 . 106 /10-6 bloedcellen
240 liter bevat: 240. 1,35 . 106 /10-6 bloedcellen = 240. 1,35 . 106 .106
Dit aantal gedeeld door 15miljoen is het aantal seconden nodig om rode bloedcellen te
vervangen: (240. 1,35 . 106 .106)/ 15.106 = 21,6 .106 seconden
Omzetting naar dagen: 21,6 .106/60.60.24
Antwoord B
1997 - Augustus Vraag 13
Gegeven: Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed
bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1µl) bloed bevat 1,35 miljoen rode
bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw
aangemaakte.
Gevraagd: Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier
Oplossing: Volume cellen in 1 liter: 0,54l Aantal cellen in 1 liter: 1,35 . 106/10-6
Volume in 1 cel: volume in 1 liter delen door aantal cellen in 1 liter:
0,54/1,35.1012 = 0,4.10-12
Antwoord D
2012 - Juli Vraag 9
Gegeven: gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen waarbij x<y<z
m’ = deelgemiddelde van x en y, m” = deelgemiddelde van m’ en z.
Gevraagd: Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m , het berekende gemiddelde m”
en het deelgemiddelde m’?
A. m’ is altijd groter dan m”
B. m is altijd groter dan m’
C. m” is altijd gelijk aan m
D. m” is altijd groter dan m
Oplossing:
berekening gemiddelde en deelgemiddeldes:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
m=
m' =
% %
&
%
&
&
&
= +
#'(
m'' =
= + +
%
#'(
=
+ = + +
*
*
Test nu elk antwoord:
+ >
Antwoord A: m' > m" of
*
+ +
dit is onmogelijk, rechterlid is altijd kleiner dan
*
linker.
Antwoord B: m > m' of & + & + & >
+
dit is onmogelijk, rechterlid is altijd groter dan
linker.
Antwoord C: m'' = m:
*
Zet op gelijke noemer:
+*+
&
*
+
&
=
+
&
,
+&+&
=
*
+
*
+
*
3x+3y+6z = 4x+4y+4z
2z = x + y maar dit kan niet want gegeven is x<y<z
Antwoord D: m'' > m of * + * +
Zet op gelijke noemer:
&
+
&
+
>
,
&
>
+&+&
*
+
*
+
*
3x + 3y+6z > 4x + 4y + 4z
2z > x + y
Antwoord D
2012 - augustus Vraag 9
Gegeven: gemiddelde 10 personen bedraagt 40. Bij deze groep moeten zich n personen met
een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde schoenmaat van 43 te bekomen.
Gevraagd: juiste uitspraak over aantal n is dan juist?
Oplossing
43 =
*-. -%**..
-%.
430 + 43n = 400+ 44n
n = 30
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 12
2013 - Juli Vraag 7
Gegeven: volgende ongelijkheid │ −
│<2
Gevraagd Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
Oplossing:
Het gaat over de absolute waarde, dus als │x│<2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag
liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2.
Dus ( − ) < 2 of / − 0> -2
--> x < 2 + 5/2 of x > -2 +5/2
--> x < 4,5
of x > 0,5
Antwoord C
2013 - Augustus Vraag 9
Gegeven is de volgende ongelijkheid │4 − 3 │ ≤ 2
Gevraagd: Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid?
Oplossing:
Het gaat over de absolute waarde, dus als │x│<2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag
liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2.
Dus: (4-3x) ≤ 2 of (4-3x) ≥ - 2
-->
x≥
*
&
of x ≤
&
*
(let op het teken verandert omdat beide leden door een
negatief getal worden gedeeld)
-->
x ≥ & of x ≤ 2
Antwoord D
2014 – Juli – Vraag 4 versie 1
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x – 4) ≤ 1 + 3
log2 (5x – 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≤ 24; dus (5x – 4) ≤ 16 x ≤ 4
Negatief: - log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x – 4) – 3 ≥ 1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1
verandert het ongelijkheidsteken)
log2 (5x – 4) ≥ -1 +3
log2 (5x – 4) ≥ 2
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≥ 22
x ≥ 8/5
X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief
Antwoord D
2014 – Juli – Vraag 4 versie 2
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x > -4/5
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x + 4) ≤ 1 +3
log2 (5x + 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x44) ≤ 24; dus (5x + 4) ≤ 16 x ≤ 12/5
Negatief: - log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1
- log2 (5x + 4) + 3 ≤ 1
- log2 (5x + 4) ≤ -2
log2 (5x + 4) ≥ 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het
ongelijkheidsteken)
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≥ 22
x≥ 0
X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief
Antwoord D
2014 – Juli Vraag 9
Gegeven: Bij n= 12; gemiddelde = 21 jaar.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
Gevraagd: Hoeveel mensen van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een
gemiddelde leeftijd voor de groep van 25 jaar te bekomen?
Oplossing:
12.21 + 26.x = (12+x).25
252 + 26x = 12.25 + 25x
353 + 26x = 300 + 25x
X = 48
Antwoord A
2014 – Juli Vraag 10
Gegeven:
. (
.√
)
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, √6, √7,
√8 waarbij elke wortel slechts
één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein
mogelijk maken.
Gevraagd: Welke wortel zullen we niet gebruiken?
Oplossing:
Om de teller zo klein mogelijk te houden hebruiken we voor de teller de kleinste waarden nl:
√5 12 √6 . De noemer willen we zo groot mogelijk, dus daar gebruiken we de grootste
waarde voor nl. √8
Bijgevolg wordt √7 niet gebruikt.
Antwoord C
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 1
Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 + 1) − 2| ≤ 2
Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid?
Oplossing:
We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1 > 0; dus x > -1/2
Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve
logaritme berekenen:
Berekening positieve: log2 (2x+1) -2 ≤ 2
log2 (2x+1) ≤ 4
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15
2x +1 ≤ 24
x ≤ 7,5
Berekening negatieve: -(log2 (2x+1) -2) ≤ 2
-log2 (2x+1) + 2 ≤ 2
2 – 2 ≤ log2 (2x+1)
0 ≤ log2 (2x+1)
20 ≤ 2x +1
1 – 1 ≤ 2x
0≤x
Dus: 0 ≤ x ≤ 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7
Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen
Antwoord A
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 2
Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 − 1) − 2| ≤ 2
Oplossing:
We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 > 0; dus x > 1/2
Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve
logaritme berekenen:
Berekening positieve: log2 (2x-1) -2 ≤ 2
log2 (2x-1) ≤ 4
2x -1 ≤ 24
x ≤ 8,5
Berekening negatieve: -(log2 (2x-1) -2) ≤ 2
-log2 (2x-1) + 2 ≤ 2
2 – 2 ≤ log2 (2x-1)
0 ≤ log2 (2x-1)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 16
20 ≤ 2x -1
1 + 1 ≤ 2x
1≤x
Dus: 1 ≤ x ≤ 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8
Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen
Antwoord A
2014 – Augustus Vraag 9
Gegeven: Gemiddelde van tien mensen = 21 jaar. Iedereen is 18 jaar of ouder. Wanneer
twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar, dus gemiddelde van
8 personen (na verlaten 2 uit de groep) = 19 jaar
Gegeven zijn twee uitspraken:
3. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar
4. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar
Gevraagd: welke uitspraken zijn correct?
Oplossing:
Stel de leeftijd van de twee personen die de groep verlaten = x en y
De gemiddelde leeftijd van de tien mensen is 21, die kunnen we als volgt voorstellen:
%
% ( 34556 .78"69:.".)
-
= 21
x + y = 210/ 19.8
x = y = 58
De gemiddelde leeftijd van x en y is dan 58/2 = 29
Zijn ze allebei niet ouder dan 42. Stel dat één van beide 43 is, dan is de andere 58-43 = 15
jaar. Dat kan niet want, gegeven is dat ze allemaal 18 jaar of ouder zijn. Als de ene dus 18
is,kan de andere maar maximaal 40 jaar zijn.
Antwoord B
2014 – Augustus Vraag 10
Gegeven: de uitdrukking:
dr. Brenda Casteleyn
√
#
." $
www.keu6.be
Page 17
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal
gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken.
Gevraagd: Welk getal zullen we niet gebruiken?
;
<
<. 1
=
;
<. 1
Waarde van y: hoe kleiner y wordt, hoe kleiner < en vermits < in de noemer staat wordt
dan de hele uitdrukking groter. Dus voor y nemen we een zo klein mogelijke waarde.
Waarde van x: hoe kleiner x wordt hoe kleiner de e-macht in de noemer en dus hoe groter
de hele uitdrukking wordt. Dus ook voor x een zo klein mogelijke waarde.
Waarde van z: hoe groter z hoe groter de teller (z2), en hoe kleiner de noemer want de emacht wordt dan kleiner. Dus voor z gebruiken we een zo groot mogelijke waarde.
Voor x en y gebruiken we 1 en 2 en voor z gebruiken we 4. 3 blijft over.
Antwoord C
2016 – Juli Geel Vraag 5
Judoclub Yuko neemt deel aan een internationale competitie met zeven van haar leden. Op
de wedstrijddag worden alle zeven judoka’s één voor één gewogen. Tijdens het wegen
houdt de manager van de club het gemiddeld gewicht bij van de leden die reeds gewogen
werden. Hij observeert dat het gemiddeld gewicht bij elke nieuwe poging met 1 kg
toeneemt. Hoeveel weegt de zwaarste van de zeven judoka’s meer dan de lichtste?
<A>
<B>
<C>
<D>
7 kg
10 kg
12 kg
14 kg
Oplossing:
x1 = minimumgewicht
(x1 + x2)/2 = minimumgewicht + 1, dus x2 = x1 + 2
(x1 + x2 + x3)/3 = minimumgewicht +2, dus x3 = x1 + 4
(x1 + x2 + x3 + x4)/4 = minimumgewicht + 3, dus x4 = x1 + 6
Elke stap is dus telkens 2 erbij
bij x7 keer eindigen we dus op +12 kg meer
Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 18
2016 – Augustus Geel Vraag 2
In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs
deelnamen. Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond
speelden?
Bowlingclub
Aantal
spelers
5
3
7
10
Aardebeke
Bevergem
Cleve
Denterberg
Spelletjes
per speler
2
3
1
1
Hoogste
score
190
215
165
154
Laagste score Gemiddelde
per spelletje
110
145
129
165
139
153
106
125
Oplossing
5*2 =
10
10*145 =
1450
3*3 =
9
9*165 =
1485
7*1 =
7
7*153 =
1071
10*1 =
10
10*125 =
1250
Totaal 36
5256
5256/36 = 146
Antwoord A
2016 – Augustus Geel Vraag 14
Gegeven: In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee
scholen, kortweg met A en B aangeduid.
A
B
A en B samen
Jongens
71
81
79
Meisjes
76
90
?
Alle leerlingen
74
84
Gevraagd: Wat is het gemiddelde resultaat van de meisjes van beide scholen samen?
Oplossing
Aandeel jongens A t.o.v. B:
71A + 81B = 79(A+B)
71A – 79A = -81B + 79B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 19
B = 8/2A of B = 4A
Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school A:
71J + 76M = 74 (J+M)
71J – 74 J = 74M – 76M
3J = 2M
M = 3/2 J
Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school b
81J + 90M = 84 (J+M)
81J – 84J = -90M + 84 M
3J = 6M
M = 3/6J = 1/2J
Maak nu een tabel met de verhoudingen van de aantallen
A
B
Jongens
1
4
Meisjes
3/2
2
Met deze weegcoëfficiënten kunnen we nu het totaalgemiddelde voor de meisjes
berekenen:
3/2.76 + 2.90 = x(3/2 +2)
114 + 180 = 7/2.x
294.2/7 = x
x = 84
Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 20