Vraag 1 (op 5 punten) Gegeven: • de sfeer met middelpunt in (2,2,−4

Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
√
• de sfeer met middelpunt in (2, 2, −4) en straal 2 6;
√
• de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door (1, 1, −2) met richtingsvector (1, 1, 1).
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie, die deze objecten een
voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.
(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de
voorkeurpositie.
(3) Gebruik de door u bepaalde (coördinaten)transformatie om een parametervoorstelling op
te stellen van de doorsnijdingskromme van de originele sfeer en cilinder.
(4) Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is?
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
√
• de sfeer met middelpunt in (2, 2, 4) en straal 2 6;
√
• de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door (1, 1, 2) met richtingsvector
(−1, −1, 1).
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie, die deze objecten een
voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel.
(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de
voorkeurpositie.
(3) Gebruik de door u bepaalde (coördinaten)transformatie om een parametervoorstelling op
te stellen van de doorsnijdingskromme van de originele sfeer en cilinder.
(4) Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is?
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
• het omwentelingskegeloppervlak K dat bepaald wordt door de rechte door de oorsprong
met richtingsvector (1, 0, 1) te wentelen om de X-as;
√
• het vlak α met vergelijking x − 3y + z = −1.
Gevraagd:
(1) Bepaal de cartesiaanse vergelijking van de orthogonale projectie C 0 op het grondvlak van
K van de doorsnijdingskromme C van K en α.
(2) Reduceer deze tot standaardgedaante.
(3) Bepaal nu een parametervoorstelling van zowel C 0 als C.
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
• het omwentelingskegeloppervlak K dat bepaald wordt door de rechte door de oorsprong
met richtingsvector (1, 1, 0) te wentelen om de Y -as;
√
• het vlak α met vergelijking x + y − 3z = −1.
Gevraagd:
(1) Bepaal de cartesiaanse vergelijking van de orthogonale projectie C 0 op het grondvlak van
K van de doorsnijdingskromme C van K en α.
(2) Reduceer deze tot standaardgedaante.
(3) Bepaal nu een parametervoorstelling van zowel C 0 als C.
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
√
Een ellips E met brandpunten Q1 (1, 4, 1) en Q2 (3, 8, 3) en halve grote as 2 6.
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie
laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. .
(2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling op te stellen van het omwentelingsoppervlak Σ, dat ontstaat door rotatie van de gegeven ellips om haar grote as.
(3) Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is?
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
Een hyperbool H met brandpunten Q1 (0, 2, 0) en Q2 (4, 10, 4) en halve grote as
√
6.
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie
laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. .
(2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling op te stellen van het omwentelingsoppervlak Σ, dat ontstaat door rotatie van de gegeven hyperbool om haar grote as.
(3) Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is?
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
√
• de rechte r door P (5
√
2
2
,
−5
, 2),
2
2
met richtingsvector u(−1, −1, 2);
• de rechte s door Q(0, 0, 2), met richtingsvector v(1, 1, 4).
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie
laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. .
(2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking
op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s.
(3) Ga na dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het?
Vraag 1 (op 5 punten)
Gegeven:
√
2
2
,
−5
, 2),
2
2
√
• de rechte s door P (5
met richtingsvector u(−1, −1, 2);
• de rechte r door Q(0, 0, 2), met richtingsvector v(1, 1, 4).
Gevraagd:
(1) Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie
laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. .
(2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking
op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s.
(3) Ga na dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het?
Vraag 2a (op 5 punten)
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
a×b
als unieke oplossing.
kak2
2. Als O de 3 × 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en
S de 3 × 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling t.o.v. dezelfde rechte,
dan geldt er dat 2O − S = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt.
1. De vectorvergelijking x × a = b (b 6= 0) heeft x =
3. Een niet-singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde eigenwaarde
0, is een hyperbolische paraboloı̈de.
4. Het schroefoppervlak heeft geen singuliere punten.
5. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz is een regeloppervlak met twee onderling orthogonale richtvlakken.
a×b
is oplossing van de vectorvergelijking x × a = b (b 6= 0).
kak2
2. Als O de 3 × 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en
S de 3 × 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling t.o.v. dezelfde rechte,
dan geldt er dat 2S − O = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt.
1. De vector x =
3. Een niet-reduciebele, singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde
eigenwaarde 0, is een hyperbolische cilinder.
4. Het schroefoppervlak heeft oneindig veel singuliere punten.
5. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz is een regeloppervlak dat kan worden
opgebouwd aan de hand van een richtvlak en twee richtrechten.
1. Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt er steeds dat het dubbel vectorieel product
(a × b) × (c × a) een scalair veelvoud is van a.
2. Een isometrie wordt in genormaliseerde homogene coördinaten voorgesteld door een orthogonale matrix.
3. Een niet-singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is
een omwentelingsparaboloı̈de.
4. Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een vlakke gladde boog heeft enkel singuliere punten in de snijpunten met de omwentelingsas.
5. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz 2 is een regeloppervlak dat een richtvlak
bezit.
1. Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt er steeds dat het dubbel vectorieel product
(a × c) × (c × b) een scalair veelvoud is van c.
2. Een orthogonale transformatie in de ruimte der vrije vectoren wordt gerepresenteerd door
een orthogonale matrix.
3. Een singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een
omwentelingscilinder.
4. Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een vlakke gladde boog die de omwentelingsas niet snijdt, heeft geen singuliere punten.
5. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking x = y 3 z is een regeloppervlak dat een richtvlak
bezit.
1. Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt steeds dat
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
2. Er bestaan oneindig veel 4 × 4 matrices waarvoor geldt dat A2k = I voor alle k ∈ N.
3. Onder een orthogonale projectie worden de brandpunten van een ellips steeds afgebeeld
op de brandpunten van de geprojecteerde ellips.
4. Een niet-reduciebele kwadriek met twee eigenwaarden gelijk aan 0, is een parabolische
cilinder.
5. Het oppervlak dat ontstaat door rotatie van een rechte om een as waarmee ze kruisend
is, is een eenbladige hyperboloı̈de.
1. Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt steeds dat
b × (a × c) + a × (c × b) + c × (b × a) = 0
2. Er bestaan oneindig veel 4 × 4 matrices waarvoor geldt dat A2k+1 = A voor alle k ∈ N.
3. Onder een orthogonale projectie worden de assen van een ellips steeds afgebeeld op de
assen van de geprojecteerde ellips.
4. Een kwadriek met twee eigenwaarden gelijk aan 0, is een parabolische cilinder.
5. Het oppervlak dat ontstaat door rotatie van een rechte om een as waarmee ze kruisend
is, is een regeloppervlak met twee stellen beschrijvenden.
1. Het scalair product van twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak.
2. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A − I (met I de eenheidsmatrix) een nuldeler.
3. De samenstelling van twee spiegelingen t.o.v. elkaar snijdende rechten is een rotatie.
4. Een niet-singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische
paraboloı̈de of een elliptische paraboloı̈de.
5. Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as niet snijdt, heeft geen singuliere punten.
1. Het scalair product van twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak.
2. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A − I (met I de eenheidsmatrix) een nuldeler.
3. De samenstelling van twee spiegelingen t.o.v. elkaar snijdende rechten is een rotatie.
4. Een niet-singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische
paraboloı̈de of een elliptische paraboloı̈de.
5. Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as niet snijdt, heeft geen singuliere punten.
1. Een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak.
2. Er bestaan oneindig veel 3 × 3 singuliere matrices A waarvoor ook A − I (met I de eenheidsmatrix) singulier is.
3. De samenstelling van twee puntspiegelingen is een translatie.
4. Een singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische paraboloı̈de
of een elliptische paraboloı̈de.
5. Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as snijdt, heeft steeds singuliere punten.
Vraag 2b (op 5 punten)
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Zij V1 , V2 , V3 deelruimten van een vectorruimte V met V2 ⊂ V1 , dan geldt er dat V1 ∩ (V2 +
V3 ) = V2 + (V1 ∩ V3 ).
2. Als A, B ∈ R2×2 en er geldt zowel det(A + B) = det(A) + det(B) als det(A + iB) =
det(A) − det(B), dan is det(xA + yB) = x2 det(A) + y 2 det(B) voor alle x, y ∈ R.
3. Als een inverteerbare matrix kan worden geschreven als het product van een ondertriangulaire en een boventriangulaire matrix, dan is die ontbinding uniek.
4. Voor elke u ∈ Rn×1 is de matrix uuT diagonaliseerbaar over R.
√
5. Er bestaat een unitaire matrix in Cn×n die λ = 1 + 3i tot eigenwaarde heeft.
1. Opdat de unie van twee deelruimten van een gegeven lineaire ruimte opnieuw een lineaire
ruimte zou zijn, is het nodig en voldoende dat een van beide een deelverzameling is van
de andere.
2. Als A, B ∈ R3×3 en det(A) = det(B) = det(A + B) = det(A − B) = 0, dan geldt er dat
det(xA + yB) = 0 voor alle x, y ∈ R.
3. Als een inverteerbare matrix een LU -decompositie bezit, dan zijn L en U uniek.
4. Voor elke u ∈ Rn×1 is de matrix I + uuT diagonaliseerbaar over R.
√
5. Er bestaat een unitaire matrix in Cn×n die λ = 3 + i tot eigenwaarde heeft.
1. Als W1 en W2 eindigdimensionale deelruimten zijn van een vectorruimte V , dan is W1 +
W2 = (W1⊥ ∩ W2⊥ )⊥ .
2. Zij A ∈ Rn×n een matrix met het getal a op de hoofddiagonaal en het getal b op alle
andere posities, dan is det(A) = (a − b)n−1 (a + (n − 1)b).
3. Voor elke ondertriangulaire matrix L1 bestaat er een ondertriangulaire matrix L2 zodat
het product L1 L2 een diagonaalmatrix is.
4. Voor elke u 6= 0 ∈ Rn×1 is dim(ker(uuT )) = n − 1.
5. Een projectiematrix van de orde n is steeds diagonaliseerbaar.
1. Als W1 en W2 eindigdimensionale deelruimten zijn van een vectorruimte V , dan is (W1 +
W2 )⊥ = W1⊥ ∩ W2⊥ .
2. Zij A ∈ Rn×n een matrix met het getal a op de hoofddiagonaal en het getal b op alle
andere posities, dan is A inverteerbaar als en slechts dan als a 6= b en a 6= (1 − n)b.
3. Voor elke boventriangulaire matrix U1 bestaat er een boventriangulaire matrix U2 zodat
het product U1 U2 een diagonaalmatrix is.
4. Voor elke u 6= 0 ∈ Rn×1 is dim(im(uuT )) = 1.
5. Er bestaan nilpotente matrices die diagonaliseerbaar zijn over R.
1. De verzameling der reëelsymmetrische n × n matrices is een vectorruimte van dimensie
n(n+1)
.
2
2. Zij An de reële n × n matrix met elementen aij = αmax(i,j) , waarbij α1 , . . . , αn gegeven
getallen zijn, dan is A inverteerbaar zodra αk 6= αk+1 , k = 1, . . . , n − 1.
3. Als voor het homomorfisme T : R3 → R4 geldt dat im(T ) = {(a+b, a−b, c−a, a)|(a, b, c) ∈
R3 }, dan is T injectief.
4. Zij T het endomorfisme op Rn gegeven door T (x1 , x2 , . . . , xn ) = (0, 0, x3 , . . . , xn ), dan is
1 ∈ σ(T ), met meetkundige multipliciteit n − 2.
5. Zij A ∈ Cn×n en Q ∈ GL(n; C), dan geldt er dat exp(Q−1 AQ) = Q−1 exp(A)Q.
1. De verzameling der spoorvrije reëelsymmetrische n × n matrices is een vectorruimte van
2
dimensie n +n−2
.
2
2. Zij An de reële n × n matrix met elementen aij = αmax(i,j) , waarbij α1 , . . . , αn gegeven
getallen zijn, dan is det(A) = (α1 − α2 )(α2 − α3 ) . . . (αn−1 − αn )αn .
3. Als voor het homomorfisme T : R2 → R3 geldt dat im(T ) = {(a + b, a − b, a)|(a, b) ∈ R2 },
dan is T injectief.
4. Zij T het endomorfisme op Rn gegeven door T (x1 , x2 , . . . , xn ) = (0, 0, x3 , . . . , xn ), dan is
0 ∈ σ(T ), met meetkundige multipliciteit 2.
5. Zij A ∈ Cn×n diagonaliseerbaar, dan geldt er dat det(exp(A)) = exp(tr(A)).
1. De verzameling der complexe symmetrische 3 × 3 matrices waarvoor de som van de elementen op elke rij gelijk aan 0 is, vormt een achtdimensionale vectorruimte over R.
2. Zij A en B twee antisymmetrische 7 × 7 matrices, dan is det(A − B) = det(A) − det(B).
3. Er bestaat een homomorfisme T : R3 → R2 dat injectief is.
4. De lineaire transformatie T : Rn [x] → Rn [x], met T (p(x)) = xp0 (x) is diagonaliseerbaar.
5. Zij A een diagonaliseerbare n×n matrix met eigenwaarde 0 met algebraı̈sche multipliciteit
n − 1, dan is det(A + In ) = 1 + tr(A).
1. De verzameling der reëelsymmetrische 3 × 3 matrices waarvoor de som van de elementen
op elke rij gelijk aan 0 is, vormt een driedimensionale vectorruimte over R.
2. Zij A en B twee antisymmetrische 5 × 5 matrices, dan is det(A + B) = det(A) + det(B).
3. Er bestaat een homomorfisme T : R3 → R2 dat injectief is.
4. Het minimaalpolynoom van de lineaire transformatie T : Rn [x] → Rn [x], met T (p(x)) =
xp0 (x) is z(z − 1) . . . (z − n).
5. Zij A een diagonaliseerbare n × n matrix met σ(A) = {λ}, dan is det(A + In ) = (1 + λ)n .
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het endomorfisme T : R3 → R3 , bepaald door
T (x, y, z) = (x + y + z, x + y + 2z, x + 2y + z)
Gevraagd:
(1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {(1, 2, 0), (1, −2, 0), (1, 1, 1)}.
(2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R.
(3) Geef desgevallend de diagonaalvorm van T , de diagonaliserende matrix en de basis van
R3 t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen.
(4) Bepaal det(T ) en tr(T ) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat; is
T inverteerbaar?
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het endomorfisme T : R3 → R3 , bepaald door
T (x, y, z) = (x − y + z, −x + y + 2z, x + 2y + z)
Gevraagd:
(1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {(2, 1, 0), (−2, 1, 0), (1, 1, 1)}.
(2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R.
(3) Geef desgevallend de diagonaalvorm van T , de diagonaliserende matrix en de basis van
R3 t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen.
(4) Bepaal det(T ) en tr(T ) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat; is
T inverteerbaar?
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het endomorfisme T : C2×2 → C2×2 , bepaald door
a b
d a
T(
)=
c d
b c
Gevraagd:
(1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {E11 + 2E12 , E11 − 2E12 , E12 + E21 +
2E22 , E11 + E21 − 2E22 }.
(2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over C.
(3) Geef desgevallend de diagonaalvorm van T , de diagonaliserende matrix en de basis van
C2×2 t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen.
(4) Bepaal det(T ) en tr(T ) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat; is
T inverteerbaar?
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het endomorfisme T : C2×2 → C2×2 , bepaald door
a b
d a
T(
)=
c d
−b c
Gevraagd:
(1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {E11 + 2E12 , E11 − 2E12 , E12 + E21 +
2E22 , E11 + E21 − 2E22 }.
(2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over C.
(3) Geef desgevallend de diagonaalvorm van T , de diagonaliserende matrix en de basis van
C2×2 t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen.
(4) Bepaal det(T ) en tr(T ) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat; is
T inverteerbaar?
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
De reële n × n matrix






A=





n
n
1
···

2 n−1 

n
n
n

1
···

n−1
1
n−2


..
..
..
..
...

.
. . . 

n
n
n
···
1
1
2
3
n
1
Gevraagd:
).
(1) Neem n = 5 en geef de eigenwaarden en eigenvectoren van A als functie van ω = exp( 2πi
5
(2) Is deze matrix diagonaliseerbaar over R? Verklaar.
(3) Geef desgevallend de reële diagonaalvorm en de basis van R5×1 t.o.v. de welke deze diagonaalvorm wordt aangenomen; geef het verband met (1).
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
De reële n × n matrix






A=





n
n
1
···

2 n−1 

n
n
n

1
···

n−1
1
n−2


..
..
..
..
...

.
. . . 

n
n
n
···
1
1
2
3
n
1
Gevraagd:
(1) Neem n = 6 en geef de eigenwaarden en eigenvectoren van A als functie van ω = exp( 2πi
).
6
(2) Is deze matrix diagonaliseerbaar over R? Verklaar.
(3) Geef desgevallend de reële diagonaalvorm en de basis van R6×1 t.o.v. de welke deze diagonaalvorm wordt aangenomen; geef het verband met (1).
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het stelsel Ax = y, met

1
 2
A=
 1
2
2
1
2
1

1
1 
,
2 
2


x1

x2  ,
x=
x3


2
 −2 

y=
 1 
−1
Gevraagd:
(1) Bepaal de beste benadering y 0 in im(A) van y met de methode van orthogonale projectie.
(2) Los nu het stelsel Ax = y 0 op d.w.v. het transponeringsalgoritme; leg de werkwijze uit,
tussenstappen mogen met Maple.
(3) Hoe zou u kunnen controleren dat x een kleinste kwadratenoplossing van het gegeven
stelsel is?
Vraag 3 (op 5 punten)
Gegeven:
Het stelsel Ax = y, met


1 −2
1
 2
1 −1 
,
A=
 1
2
2 
2 −1
2


x1
x =  x2  ,
x3


2
 −2 

y=
 1 
−1
Gevraagd:
(1) Bepaal de beste benadering y 0 in im(A) van y met de methode van orthogonale projectie.
(2) Los nu het stelsel Ax = y 0 op d.w.v. het transponeringsalgoritme.
(3) Hoe zou u kunnen controleren dat x een kleinste kwadratenoplossing van het gegeven
stelsel is?
Leg telkens de werkwijze uit, berekeningen mogen met Maple.