Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Analyse D
Inhoudsopgave
Introductie ..................................................................................................................... 2
12. Oneindige rijen en reeksen ...................................................................................... 4
12.1 Rijen .................................................................................................................. 4
Appendix E: Sigmanotatie.......................................................................................... 8
12.2 Reeksen ............................................................................................................ 9
12.3 Het integraalkenmerk ....................................................................................... 10
12.4 Vergelijkingskenmerken ................................................................................... 11
12.5 Alternerende reeksen ....................................................................................... 11
12.6 Kenmerken van d’Alembert en Cauchy ............................................................ 12
12.7 Strategie voor het testen van reeksen .............................................................. 13
12.8 Machtreeksen .................................................................................................. 14
12.9 Functies representeren als machtsreeksen ...................................................... 15
12.10 Taylorreeksen en Maclaurin reeksen ............................................................. 16
12.11 Binomiaalreeksen .......................................................................................... 18
12.12 Toepassingen van Taylor polynomen............................................................. 19
Levensverzekeringswiskunde ...................................................................................... 20
Hoofdstuk 1: Financiële rekenkunde ........................................................................... 20
§ 1.1 Inleiding .......................................................................................................... 20
§ 1.2 Rekenkundige Rijen (RR) ............................................................................... 20
§ 1.3 Meetkundige Rijen (MR) ................................................................................. 20
§ 1.4 Eindwaarde van een kapitaal .......................................................................... 21
§ 1.5 Contante waarde van een kapitaal .................................................................. 21
§ 1.6 Eindwaarde van een rente .............................................................................. 22
§ 1.7 Contante waarde van een rente ...................................................................... 22
Hoofdstuk 2: Verzekeringen met uitkeringen bij leven ................................................. 23
§ 2.1 Inleiding .......................................................................................................... 23
§ 2.2 Partijen bij een levensverzekering ................................................................... 23
§ 2.3 Sterftetafels / overlevingstafels ....................................................................... 23
§ 2.4 Sterfteverlies en sterftewinst ........................................................................... 24
§ 2.5 Kapitaalverzekering bij leven .......................................................................... 24
§ 2.6 Lijfrenten ......................................................................................................... 24
§ 2.7 Commutatietekens D en N .............................................................................. 24
Hoofdstuk 3: Overlijdensverzekeringen ....................................................................... 25
§ 3.1 Inleiding .......................................................................................................... 25
§ 3.2 Sterftekansen.................................................................................................. 25
§ 3.3 Overlijdens(risico)verzekering ......................................................................... 25
§ 3.4 Commutatietekens C en M.............................................................................. 25
§ 3.5 Uitkeringen direct na overlijden ....................................................................... 26
§ 3.6 Gemengde verzekering ................................................................................... 26
Hoofdstuk 4: Verzekeringen op twee levens ................................................................ 26
§ 4.1 Inleiding .......................................................................................................... 26
§ 4.2 Verzekeringen met uitkeringen indien beide personen leven .......................... 26
§ 4.3 Verzekeringen op de langstlevende ................................................................ 27
§ 4.4 Overlevingsverzekeringen............................................................................... 27
Samenvatting belangrijke Maclaurinreeksen ............................................................... 28
Gebruik van de TI-89 bij Analyse D ............................................................................. 29
Nuttige links................................................................................................................. 30
Uittreksel Analyse D
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van hoofdstuk 12 uit het boek Calculus 5e editie. Het
bevat alle begrippen en formules in de volgorde waarin die in het boek aan bod komen.
Als er in de studiewijzer staat dat bewijzen gereproduceerd moeten worden, heb ik die
in dit uittreksel opgenomen. In de bijlage bespreek ik enkele belangrijke functies m.b.t.
rijen en reeksen op de TI-89.
Succes met de module Analyse D.
Bert Kraai
Introductie
Zeno van Elea (490-425 v.Chr.) formuleerde vier paradoxen over beweging.
Zie: plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ en nl.wikipedia.org/wiki/Zeno_van_Elea
1. Dichotomie
Volgens deze stelling is het onmogelijk om een afstand te overbruggen. Als je
een afstand wil overbruggen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen.
Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook
voor die helft eerst een helft te overbruggen. Aangezien afstanden oneindig
deelbaar zijn, kan men onmogelijk een gegeven afstand afleggen.
2. Achilles en de schildpad
De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De laatste
krijgt een voorsprong. Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad
kort tevoren was, is de schildpad intussen in punt B aangekomen. Arriveert
Achilles in dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen in punt C,
enzovoorts. Conclusie: de achterstand wordt kleiner, maar Achilles haalt de
schildpad nooit in. Dit is een paradox, want in werkelijkheid zou Achilles de
schildpad wel inhalen. De paradox wordt onder meer veroorzaakt door het feit
dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Start de schildpad
bijvoorbeeld met 100 meter voorsprong, en loopt Achilles tien keer sneller dan
de schildpad, dan convergeert de voorsprong van de schildpad via 100 → 10 →
1 → 0,1 → 0,01 → 0,001 → 0,0001 naar nul. Ook de tijdsafstand tussen het
door Achilles bereiken van de punten A, B, C, enz. convergeert naar nul.
3. De vliegende pijl
Wanneer men een vliegende pijl op een ondeelbaar ogenblik beschouwt,
bevindt hij zich op een bepaalde plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats
in de ruimte is hij dus in rust. Maar wanneer hij op elk moment in rust is, dan is
hij ook gedurende de hele vlucht in rust. De pijl beweegt zich niet. Het is
Bergson (1911) geweest die deze paradox oploste door aan te geven dat de pijl
alleen op tijdsintervallen beweegt en niet op de afzonderlijke tijdstippen zelf.
4. Het stadium
Voor een waarnemer A passeren twee objecten B en C in tegengestelde
richting, maar met eenzelfde snelheid. Nu maakt Zeno een denkfout door te
stellen dat, omdat de relatief afgelegde afstand tussen B en C 2x zo groot is als
de afgelegde afstand van B t.o.v. A, dat dan de relatieve snelheid van C ook 2x
zo groot is als die van B.
Recentere filosofen hebben deze paradox aangegrepen om aan te tonen dat er
geen minimale tijdseenheden bestaan. Want als er een minimale tijdseenheid
bestaat waarin B één positie naar rechts en C één positie naar links beweegt en
zij passeren elkaar onderweg, dan zou er geen enkel moment zijn waarop B en
C zich op gelijke hoogte bevinden.
Versie 1.0
blz. 2 van 30
Uittreksel Analyse D
Zeno's paradoxen lijken vandaag misschien triviaal, maar ze vormden een groot
probleem voor de filosofen van de oude tijd en de middeleeuwen.
Pas in de 17e eeuw vond men een bevredigende oplossing in de wiskundige
resultaten op het gebied van oneindige reeksen en calculus. Naar moderne
inzichten wordt de paradox opgelost door het fundamentele inzicht van de calculus
dat een som van oneindig veel termen een eindig resultaat kan opleveren. Het
oneindige aantal tijdsspannen dat Achilles nodig heeft om de vorige posities van de
schildpad te bereiken leveren bij elkaar opgeteld een eindige totaaltijd, en dat is
inderdaad de tijd die Achilles nodig heeft om de schildpad in te halen.
Anderzijds maken de paradoxen van Zeno duidelijk dat de staat van het “zijn” een
vrijheid in reizen in tijd en ruimte impliceert, die haaks staat op onze dagelijkse
belevingswereld, waarin tijd en ruimte wordt gemeten en verdeeld.
De limiet van een rij
De positie van Achilles kan weergegeven worden met de rij an  = a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an en
de positie van de schildpad met de rij tn  = t1 , t2 , t3 , t4 ,..., tn .
Nu geldt dat lim an  p  lim tn , met p de plaats waar ze elkaar inhalen.
n 
n 
De som van een rij
In een aantal gevallen is de som van een oneindige rij een eindige uitkomst waar een
betekenis aan gehecht kan worden. Zo blijkt bijvoorbeeld dat de limiet van de som van
de rij
1
1 1 1
1
= de limiet van de somrij S n  1  2  3  ...  n = lim Sn  1 .
n
n 
2 2 2
2
2
In hoofdstuk 12 wordt het idee van Newton uitgewerkt om oneindige rijen vanuit de
differentiaal- en integraalrekening te onderzoeken.
Versie 1.0
blz. 3 van 30
Uittreksel Analyse D
12. Oneindige rijen en reeksen
12.1 Rijen
Een rij is een functie met als domein de verzameling van positieve gehele getallen N .
Deze domeinwaarden zijn de indexnummers van de rij. De functiewaarden zelf
noemen we termen van de rij. Een aldus gedefinieerde rij is altijd oneindig.
Een rij an  kan geschreven worden als een lijst van functiewaarden in een bepaalde
vaste volgorde: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,...,... met nn N .
a1 noemen we de eerste term, a2 de tweede term enzovoorts.
an de n -de term, an 1 is de daaropvolgende term, an 1 de daaraan voorafgaande term.
Houd er rekening mee dat op de TI-89 de indexnummers starten met 0 in plaats van 1.
Er zijn drie manieren om een rij te beschrijven:
1. als een verzameling getallen
2. met een directe formule
3. door de termen op te sommen totdat het patroon duidelijk is.
1
De functiewaarden van een rij an  hebben limietwaarde L
lim an  L
n 
of
an  L als n  
als we de termen an naar L kunnen laten naderen door n voldoende groot te kiezen.
2
Exacter gedefinieerd: als voor iedere   0 er een overeenkomstig geheel getal N is
zodanig dat an  L   wanneer n  N . Samengevat:
 
 an  L   .
 0 NN n  N
Deze definitie moeten we toe kunnen passen in concrete gevallen. Zie de voorbeelden
1 en 2 in de studiewijzer. De stappen bij het bewijs zijn:
 Schrijf op: “Neem een   0 willekeurig. We moeten aantonen dat er een n  N
bestaat zodanig dat er voor alle n  N geldt dat: …“
 Bereken zonodig de limietwaarde. Vul zowel de directe formule van de rij als de
limietwaarde in in an  L   .


Doe op een kladblaadje wat voorwerk, door deze ongelijkheid middels
bi-implicaties te herschrijven tot n uitgedrukt in  . Dit levert een grenswaarde
op voor n . Kies nu N gelijk aan deze grenswaarde.
Schrijf op: “Als n  N , dan is …” en schrijf nu de uitwerking van het kladblaadje
in omgekeerde volgorde op, totdat uiteindelijk de conclusie volgt dat an  L   .
QED.
Als lim an bestaat, zeggen we dat de rij convergeert.
n 
Als lim an niet bestaat, zeggen we dat de rij divergeert.
n 
Versie 1.0
blz. 4 van 30
Uittreksel Analyse D
Het enige verschil tussen definitie 2 en definitie 4.4.5 van de limiet van een functie is
gelegen in het feit dat n een positief geheel getal is. Dus kunnen we ook schrijven:
3
Als lim f ( x)  L en f (n)  an als n een geheel getal is, dan geldt dat lim an  L .
n 
x 
Toegepast levert dit:
1
1
 0 met r  0 geldt tevens dat lim r  0 voor r  0 .
r
x  x
n  n
4
Omdat lim
5
lim an   betekent dat er voor ieder positief geheel getal M een geheel getal N is
n 
zodanig dat
an  M
wanneer n  N .
We zeggen in dit geval dat an divergeert naar  .
Ook de overige limietregels uit § 2.3 gelden voor rijen.
Als an  en bn  convergente rijen zijn en c is een constante, dan geldt dat
lim  an  bn   lim an  lim bn
en
lim  an  bn   lim an  lim bn
lim c  an  c  lim an
en
lim c  c
lim  an  bn   lim an  lim bn
en
 a  lim an
als lim bn  0
lim  n   n
n 
n  b
bn
 n  lim
n 
n
n
n 
n 
n
n

lim anp  lim an
n 
n
n 

p
n
n
n
n
n 
als p  0 en an  0
Voor rijen geldt tevens de inklemmethode:
Als an  bn  cn voor n  n0 en lim an  lim cn  L dan geldt dat lim bn  L .
n 
n 
n 
6
Verder geldt dat als lim an  0 dat dan ook lim an  0 .
8
Voor de rijen an  r n geldt dat lim r n  0 voor 1  r  1 en lim r n  1 voor r  1 .
n 
n
n
n
Voor alle andere waarden van r is deze limiet divergent.
9
Een rij an  is stijgend als an  an1 voor alle n  1.
Een rij an  is dalend als an  an1 voor alle n  1.
Een rij an  is monotoon als an ofwel stijgend ofwel dalend is.
Een rij an  is begrensd aan de bovenzijde als er een getal M is zodanig dat an  M
voor alle n  1. Hij is begrensd aan de onderzijde als er een getal m is zodanig dat
m  an voor alle n  1. Als de rij zowel aan de onderzijde als de bovenzijde begrensd
is, noemen we deze rij een begrensde rij.
11
Tot slot nog een belangrijke stelling: iedere begrensde monotone rij is convergent.
Bewijs: zie blz. 745.
Versie 1.0
blz. 5 van 30
Uittreksel Analyse D
In de studiewijzer staan een 7-tal stellingen met bewijzen, die we moeten kennen.
Stelling 1.1
Elke rij heeft ten hoogste één limiet.
Bewijs (uit het ongerijmde)
Stel dat een rij an  twee verschillende limieten L en K heeft.
We kiezen nu  
1
LK .
2
Omdat lim an  L is er een N1  N zodanig dat voor alle n  N1 geldt:
n 
1
LK .
2
Omdat lim an  K is er een N 2  N zodanig dat voor alle n  N 2 geldt:
an  L 
n 
1
LK .
2
Neem nu N  max N1 , N2  . Dan is (bij  driehoeksongelijkheid toepassen):
an  K 
L  K  L  an  an  K  an  L  an  K 
1
1
LK  LK  LK .
2
2
Dit levert tegenspraak op. Dus kunnen er geen twee verschillende limieten bestaan.
QED.
Stelling 1.2
Als an  = c , dan is lim an  c , waarbij c R .
n 
Bewijs:
Neem   0 willekeurig. Dan geldt voor alle n  N (vul voor N maar ieder willekeurig
getal in groter dan 1): an  c  c  c  0   . QED.
Stelling 1.3
Als lim an  L en c R , dan geldt lim c  an  cL .
n 
n 
Bewijs:
Als c  0 dan is c  an   0 . Deze rij is convergent met limiet 0 (stelling 1.2).
Veronderstel c  0 en neem   0 willekeurig. Omdat lim an  L is er een N N
n 
zodanig dat voor alle n  N geldt: an  L 

c
.
Dus geldt voor alle n  N : can  cL  c  an  L   c an  L  c
Versie 1.0

c
  . QED.
blz. 6 van 30
Uittreksel Analyse D
Stelling 1.4
Als lim an  A en lim bn  B , dan is lim  an  bn   A  B .
n 
n 
n
Bewijs:
Neem   0 willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een N N bestaat, zodanig
dat voor alle n  N geldt:
 an  bn    A  B    .
Omdat lim an  A bestaat er een N1  N zodanig dat voor alle n  N1 geldt:
n 
1
an  A   .
2
Omdat lim bn  B bestaat er een N 2  N zodanig dat voor alle n  N 2 geldt:
n 
1
bn  B   .
2
Neem nu N  max N1 , N2  . Dan geldt voor alle n  N :
1
1
 an  bn    A  B   an  A  bn  B       . QED.
2
2
Stelling 1.5
Als lim an  A en lim bn  B , dan is lim  an  bn   A  B .
n 
n 
n
Bewijs:
Twee mogelijkheden:
 Analoog aan stelling 1.4
 Door toepassing van stelling 1.4 en 1.3, waarbij c  1 .
Stelling 1.6
Als lim an  A en lim bn  B , dan is lim  an  bn   A  B .
n 
n 
n
Bewijs:
Neem   0 willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een N N bestaat, zodanig
dat voor alle n  N geldt:
 an  bn    A  B    .
Zie verder inzendopgave 1.1
Versie 1.0
blz. 7 van 30
Uittreksel Analyse D
Stelling 1.7
Elke convergente rij is begrensd.
Bewijs:
Laat an  een convergente rij zijn met limiet L .
Kies nu   1 . Dan bestaat er een N N , zodanig dat voor alle n  N geldt:
an  L  1 . Voor alle n  N geldt dus 1  an  L  1  L  1  an  L  1 .
Stel nu B  min a1 , a2 , a3 ,..., aN 1 , aN , L 1 en A  max a1 , a2 , a3 ,..., aN 1, aN , L 1 .
Dan geldt voor alle N  1: B  an  A . Dus an  is begrensd.


Het omgekeerde geldt niet: niet iedere begrensde rij is convergent. Neem sin
n 
.
2 
 sin n 
 . De belangrijke stelling 11
 n 
Ook is niet iedere monotone rij convergent. Neem 
geeft aan dat een rij die zowel monotoon als begrensd is wel convergent is.
Appendix E: Sigmanotatie
De volgende regels gelden voor de sommering van een rij:
n
2
n
 ca
i
i m
 c   ai
i m
n
n
n
i m
i m
i m
n
n
  ai  bi    ai   bi
n
a  b    a  b
i
i m
i
i m
i
im
i
n
3
1  n
i 1
n
 c  nc
i 1
n
i 
n  n  1
i 1
n
i
2

2
n  n  1 2n  1
i 1
6
 n  n  1 
i 


i 1
 2 
n
2
3
Versie 1.0
blz. 8 van 30
Uittreksel Analyse D
12.2 Reeksen
Definitie: een reeks is de somrij die ontstaat door sommatie van de getallen van een rij.
Omdat het pas spannend wordt als deze sommatie doorloopt tot in het oneindige,
gebruiken we bij reeksen vaak het sigmateken.

a
n 1
n
a
ook wel kortweg geschreven als
n
betekent a1  a2  a3  ...  an  ...
Bij het bepalen van de uiteindelijke som kijken we naar de ontwikkeling van de partiële
som, gedefinieerd als sn 
2
n
a
 a1  a2  a3  ...  an .
i
i 1
Als de rij sn  convergent is en de lim sn  s bestaat, dan noemen we de reeks
n 
convergent. We schrijven dit als a1  a2  a3  ...  an  ...  s oftewel


a
n
n 1
a
n
s.
n
 an  lim  ai .
Het getal s noemen we de som van de reeks. Er geldt
n 
n 1
i 1
In alle andere gevallen noemen we de reeks divergent.

4
Voor meetkundige rijen geldt dat
 ar
n 1
 a  ar  ar 2  ... convergent is als r  1 en
n 1
dat de som gelijk is aan

6
Als de reeks
a
n 1
n
a
. Alle meetkundige rijen met r  1 zijn divergent.
1 r
convergent is, dan volgt daaruit dat lim an  0 .
n 
Bewijs:
Neem sn  a1  a2  a3  ...  an . Dan geldt dat an  sn  sn 1 . Omdat
a
n
convergent
is, is ook de rij sn  convergent. Neem lim sn  s . Omdat ook n 1   , geldt tevens
n 
dat lim sn 1  s . Conclusie: lim an  lim( sn  sn 1 )  lim sn 1  lim sn  s  s  0 .
n 
n 
n 
n 
n 
NB. Het omgekeerde geldt niet altijd! Als lim an  0 hoeft de reeks niet convergent te
n 
zijn. Zie de harmonische reeks.
7
Divergentietest (Test for Divergence):
Als lim an niet bestaat of als lim an  0 , dan is de reeks
n 
n 
8
Als
a
en
n
b
n


 can ,
 ca
n 1
Versie 1.0
n
n
divergent.

 c  an ,
n 1
n 1

a
n 1

  an  bn  en   an  bn  .
n 1
Immers:
n 1
beide convergente reeksen zijn,
dan geldt dit ook voor


a
n
n 1


n 1
n 1
 bn    an   bn en

a
n 1
n


n 1
n 1
 bn    an   bn .
blz. 9 van 30
Uittreksel Analyse D
12.3 Het integraalkenmerk
In het algemeen is het niet eenvoudig om de exacte som van een reeks te bepalen.
In de nu volgende paragrafen worden daarom technieken aangereikt waarmee we
kunnen bepalen of een reeks convergent of divergent is. Soms is het nog wel mogelijk
om met deze technieken een goede inschatting te maken van de uiteindelijke som.
De eerste techniek is de integraaltest (Integral Test)
Stel dat f een continue, positieve, dalende functie is op het interval  0,  en dat geldt
dat an  f (n) . Dan is de serie

a
n 1
convergent dan en slechts dan als de oneigenlijke
n

integraal
 f ( x)dx
convergent is. Met andere woorden:
1


Als


f ( x)dx convergent is, is

Als

a
n 1

De p -reeks
n
convergent.

f ( x)dx divergent is, is
1
1
a
n 1
1

1
n
n 1
p
n
divergent.
is convergent als p >1 en divergent als p  1.

Let op: in het algemeen geldt NIET dat

1

f ( x)dx =
a
n 1
n
!
Kijk maar naar de tekeningen in het boek. Met de integraal bereken je de totale
oppervlakte onder de getekende grafiek. Met de som alleen de totale oppervlakte van
alle getekende rechthoeken.
Om na te gaan hoe nauwkeurig onze schatting van de totale som is, kunnen we een
schatting maken van de resterende som vanaf een bepaalde waarde van n .
2
Restschatting voor de integraaltest (Remainder Estimate for the Integral Test)
Stel dat f (k )  ak , waarbij f een continue, positieve, dalende functie is voor x  n en
dat
a
n
convergent is. De resterende som Rn  s  sn is dan te schatten met



f ( x)dx  Rn 
n 1
 f ( x)dx . Zie de tekeningetjes linksonder op blz. 762.
n
We kunnen deze ongelijkheid ook herschrijven door overal sn bij op te tellen:

3
sn 

n 1

f ( x)dx  s  sn   f ( x)dx .
Versie 1.0
n
blz. 10 van 30
Uittreksel Analyse D
12.4 Vergelijkingskenmerken
Gegeven zijn twee reeksen
a
n
en
b
n
met positieve termen.
De vergelijkingstest (Comparison Test) zegt dan dat:
1. als
bn convergent is en an  bn voor alle n , dan is

We noemen dit het majorantenkenmerk.
2. als
b
n
We vergelijken vaak met
b
n
n
1
n
p
( p -test) en
b
 ar
n
n 1
n
ook convergent.
is een convergente majorante.
divergent is en an  bn voor alle n , dan is
We noemen dit het minorantenkenmerk.
we
b
a
a
n
ook divergent.
is nu een divergente minorante.
(meetkundige rijen). Hierbij kiezen
door uit te gaan van de hoogste machten van teller en noemer in
a
n
.
Als niet aan de voorwaarden van deze vergelijkingstest is voldaan, kan de
limietvergelijkingstest (Limit Comparison Test) uitkomst bieden.
Gegeven zijn twee reeksen
an en
bn met positieve termen.


an
 c waarbij c een bepaald getal is met c  0 , dan zijn ofwel beide reeksen
n  b
n
Als lim
convergent ofwel beide divergent.
Met de vergelijkingstests kunnen we een schatting maken van de uiteindelijke som en
uitspraken doen over de nauwkeurigheid met behulp van een berekening van de
resterende som. Zie voorbeeld 5.
12.5 Alternerende reeksen
Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar reeksen waarbij de termen positief waren.
In deze paragraaf gaat het over reeksen die afwisselend (alternerend) positief en
negatief zijn. Deze reeksen hebben de vorm an    1 bn , waarbij bn een reeks is
n
met positieve termen.
De altenerende reekstest (Alternating Series Test, ook wel: kenmerk van Leibniz)

zegt dat een alternerende reeks convergent is, als
  1
n 1
n 1
bn voldoet aan de
volgende voorwaarden:
1. bn  0 voor alle n
2. bn 1  bn voor alle n
(dus bn is dalend)
3. lim bn  0 .
(de termen nemen af naar 0)
n 
Omdat bij alternerende reeksen de som s steeds tussen twee opeenvolgende termen
in ligt, geldt hier een specifieke wijze om de resulterende som te schatten.
Als s 
  1
n 1
bn de som is van een alternerende reeks die voldoet aan de
voorwaarden 0  bn 1  bn en lim bn  0 dan geldt dat Rn  s  sn  bn1 .
n 
Met andere woorden: de schattingsfout is kleiner of gelijk aan de absolute waarde van
de eerstvolgende weggelaten term.
Versie 1.0
blz. 11 van 30
Uittreksel Analyse D
12.6 Kenmerken van d’Alembert en Cauchy
1
Een reeks
waarden
a
n
wordt absoluut convergent genoemd als de reeks van absolute

a
convergent is. Voorbeeld:
n

n 1
 1
n
2
n 1

, want
1
n
n 1
2
is een convergente
p -serie met p = 2 >1.
2
Een reeks
a
n
is conditioneel convergent als hij wel convergent is, maar niet
absoluut convergent.
 1

Voorbeeld:

n 1
is zelf wel convergent volgens de alternerende reekstest, maar
n
n 1

de absolute reeks
1
n
is een divergente p -serie met p = 1.
n 1
Een convergente reeks met alleen maar positieve termen is ook altijd absoluut convergent.
3
Als een reeks
a
n
absoluut convergent is, dan is hij tevens convergent.
De ratiotest (Ratio Test, ook wel: kenmerk van D’Alembert):
1. Als lim
n 
2. Als lim
n 
3. Als lim
n
an 1
 L  1 dan is
an

a
n 1
n
absoluut convergent en daarmee convergent.
an 1
a
 L  1 of als lim n1   dan is
n  a
an
n

a
n 1
n
divergent.
an1
 1 kan er geen conclusie getrokken worden over convergentie of
an

divergentie van
a
n 1
n
.
Als er machten in het spel zijn, kunnen we beter uit de voeten met de worteltest
(Root Test, ook wel: kenmerk van Cauchy):
1. Als lim n an  L  1 dan is
n 

a
n 1
n
absoluut convergent en daarmee convergent.
2. Als lim n an  L  1 of als lim n an   dan is
n 
n 

a
n 1
n
divergent.
3. Als lim n an  1 kan er geen conclusie getrokken worden over convergentie of
n 

divergentie van
a
n 1
n
.
Herschikkingen van termen in de rij
Herschikkingen van termen in eindige rijen hebben geen effect op de som van die
eindige rij. Anders ligt het bij oneindige rijen. Het blijkt dat herschikkingen bij absoluut
convergente reeksen geen effect hebben op de som van de rij. Maar bij conditioneel
convergente reeksen kan herschikking leiden tot een andere som. Sterker nog: kies
een willekeurig reëel getal en er is een herschikking te vinden zodanig dat de som gelijk
is aan dit willekeurige getal.
Versie 1.0
blz. 12 van 30
Uittreksel Analyse D
12.7 Strategie voor het testen van reeksen
Net als bij integreren is er geen algoritme wat je klakkeloos kunt volgen bij het testen
van reeksen op convergentie. Wat wel handig is, is om de reeksen in verschillende
categorieën op te delen, met daarbij de meest voor de hand liggende test.
1. Reeksen van de vorm
1
n
p
zijn p -series.
Convergent als p > 1 en divergent als p  1.
2. Reeksen van de vorm
 ar
n 1
of
 ar
n
zijn meetkundige reeksen.
Soms is er enige herschrijving nodig om de reeks in deze vorm te krijgen.
Convergent als r  1 en divergent als r  1 .
3. Reeksen die lijken op p -series en meetkundige reeksen kunnen het beste
aangepakt worden met de (limiet) vergelijkingstest.
Als an een breuk is of een algebraïsche functie van n (inclusief wortelfuncties
en polynomen) dan kan de reeks het beste vergeleken worden met een
p -serie. Zie § 12.4.
De vergelijkingstests voldoen alleen voor reeksen met positieve termen, maar
als
an enkele negatieve termen bevat, dan kunnen we de vergelijkingstest

toepassen op
a
n
en vervolgens testen op absolute convergentie.
4. Als je in één oogopslag kunt zien dat lim an  0 , dan is de divergentietest een
n 
handige aanpak.
5. Reeksen van de vorm
  1
n 1
bn of
  1
n
bn kun je aanpakken met de
alternerende reekstest.
6. Reeksen die factoren bevatten of andere vermenigvuldigingen (waaronder een
constante tot de macht n ) lenen zich vaak voor de ratiotest.
an1
 1 voor alle p -series en daarmee voor alle
n a
n
breuken of algebraïsche functies van n . In die gevallen heeft het gebruik van de
Houd in gedachten dat lim
ratiotest dus geen enkele zin.
7. Als an een reeks is van de vorm  bn  , dan kan de worteltest uitkomst bieden.
n

8. Als an  f (n) , waarbij
 f ( x)dx
eenvoudig is op te lossen, dan is de
1
integraaltest een optie.
Let er op dat f wel een continue, positieve, dalende functie moet zijn.
Versie 1.0
blz. 13 van 30
Uittreksel Analyse D
12.8 Machtreeksen

1
Een machtreeks is van de vorm
c x
n 0
n
n
 c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  ...
waarbij x variabel is en cn constanten zijn, de coëfficiënten van de reeks.
Voor iedere bepaalde x is de reeks een reeks van constanten, die we kunnen testen
op convergentie of divergentie.
De som van de reeks is de functie f ( x)  c0  c1 x  c2 x 2  ...  cn x n  ... met als domein
alle waarden van x waarvoor de reeks convergeert.

2
Een reeks van de vorm
 c  x  a
n 0
n
n
 c0  c1  x  a   c2  x  a   c3  x  a   ... is een
2
3
machtreeks in  x  a  , ook wel machtreeks gecentreerd in a of een machtreeks rond a .
Opmerkingen:
a. Als x  0 in 1 of als x  a in 2 dan is de term met n = 0 gelijk aan 1.
b. Als x  0 in 1 of als x  a in 2 dan zijn voor n  1 alle termen 0 en is de reeks
altijd convergent.

3
Bij een machtreeks
 c  x  a
n 0
n
n
zijn er drie verschillende mogelijkheden:
1. De reeks convergeert alleen wanneer x  a .
2. De reeks convergeert voor alle waarden van x .
3. Er is een positieve waarde R zodanig dat de reeks convergeert als x  a  R
en divergeert als x  a  R .
De waarde R wordt de convergentiestraal (radius of convergence) van de
machtreeks genoemd. In het eerste geval is R = 0, in het tweede geval is R =  .
Het convergentie-interval (interval of convergence) is het interval met alle waarden
van x waarvoor de machtreeks convergeert. In het derde geval moeten we de
eindpunten van het interval x  a  R apart onderzoeken op convergentie. Zo geldt
voor meetkundige rijen dat het convergentie-interval gelijk is aan 1, 1 .
In het algemeen kan de ratiotest (of soms de worteltest) gebruikt worden om de
convergentiestraal vast te stellen. De eindpunten van het convergentie-interval moeten
met een andere test gecheckt worden.
Versie 1.0
blz. 14 van 30
Uittreksel Analyse D
12.9 Functies representeren als machtsreeksen
Deze paragraaf gaat over het representeren van functies als de som van machtreeksen
door (het differentiëren of integreren van) meetkundige rijen.
Dit is vooral nuttig voor functies waarvoor we geen elementaire primitieve kunnen vinden,
voor het oplossen van differentievergelijkingen en voor het benaderen van polynomen.
1
De meest eenvoudige meetkundige rij heeft beginterm 1 en reden x .
Een hierbij passende functie voor de som van deze rij is
1
.
1 x
De som van deze rij is te schrijven als 1  x  x 2  x 3  x 4  ... 

x
n
, waarbij x < 1.
n 0
Dus f ( x) 

1
is te representeren door
1 x
x
n
voor 1  x  1.
n 0
Door andere vergelijkbare functies zo te herschrijven tot ze van de vorm
1
zijn,
1 x
is ook hiervan de bijbehorende machtreeks te bepalen. Zie voorbeelden 1 t/m 3.
De som van zo’n machtreeks is de functie f ( x) 

c  x  a
n 0
n
n
, waarbij het domein
gelijk is aan het convergentie-interval. We kunnen deze functie term-voor-term
differentiëren en integreren.
2
Als de machtreeks
 c  x  a
n
n
een convergentiestraal R  0 heeft dan is de
functie f gedefinieerd als f ( x)  c0  c1  x  a   c2  x  a   ... 
2

c x  a
n 0
n
n
differentieerbaar (en daarmee continu) op het interval a  R, a  R en geldt dat
1.

d 
d
n
n
c
x

a

   cn  x  a   , dus:

n

dx  n 0
 n 0 dx

f '( x)  c1  2c2  x  a   3c3  x  a   ...   cn  n  x  a 
2
n 1
n 1

  c  x  a 

2.
n 0
n
n

n
 dx    cn  x  a  dx , dus:
n 0


 f ( x)dx  C  c  x  a   c
0
1
 x  a
2
2
 x  a
3
 c2
3

 ...  C   cn
n 0
 x  a

n 1
n 1
De convergentiestralen van de machtreeksen bij 1) en 2) zijn beide R . Wel kan het
voorkomen dat na differentiëren de gevonden machtreeks bij een eindpunt gaat divergeren.
Bij de uitwerking van opgave 13 staat nog een nuttige tip:
Als je de index van iedere n achter het somteken met c stapjes wilt verlagen, moet je
tegelijkertijd de initiële waarde van n onder het somteken met c stapjes verhogen.
Versie 1.0
blz. 15 van 30
Uittreksel Analyse D
12.10 Taylorreeksen en Maclaurin reeksen
1
Stel dat iedere functie gerepresenteerd kan worden door een machtreeks
f ( x)  c0  c1  x  a   c2  x  a   c3  x  a   c4  x  a   ...
2
3
4
met x  a  R .
Voor x  a geldt f (a)  c0 .
2
Als we 1 gaan differentiëren krijgen we:
f '( x)  c1  2c2  x  a   3c3  x  a   4c4  x  a   ...
2
3
met x  a  R .
Voor x  a geldt f '(a)  c1 .
3
Als we 2 gaan differentiëren krijgen we:
f ''( x)  2c2  2  3c3  x  a   2  4c3  x  a   ...
met x  a  R .
2
Voor x  a geldt f ''(a)  2c2 .
4
Als we 3 gaan differentiëren krijgen we:
f '''( x)  2  3c3  2  3  4c4  x  a   3  4  5c5  x  a   ...
2
met x  a  R .
Voor x  a geldt f '''(a)  2  3c3  3!c3 .
n
Hieruit wordt het volgende patroon zichtbaar: f    a   2  3  4  ...  ncn  n!cn
Oplossen van deze vergelijking voor de n -de coëfficiënt levert cn 
f  n  a 
n!
.
0
Ervan uitgaand dat voor n = 0 geldt dat 0! = 1 en f    f levert dit de volgende stelling:
5
Als f een machtreeks representatie heeft voor a , oftewel,
als f ( x) 

c  x  a
n 0
met x  a  R ,
n
n
dan zijn de coëfficiënten van die machtreeks gegeven door de formule cn 
6
f  n  a 
n!
.
Terug vertalend naar de functie f levert dit:


f n  a 
n 0
n!
f ( x)   cn  x  a   
n 0
f (a) 
n
 x  a
n

f '(a )
f ''(a )
f '''(a )
2
3
 x  a 
 x  a 
 x  a   ...
1!
2!
3!
Deze machtreeksen worden Taylorreeksen van de functie f bij a genoemd
(ook wel: rond a of gecentreerd in a ).
7
De Maclaurinreeksen zijn Taylorreeksen waarbij a  0 . Hierdoor ontstaat:

f ( x)  
n 0
Versie 1.0
f  n  (0) n
f '(0)
f ''(0) 2
x  f (0) 
x
x  ...
n!
1!
2!
blz. 16 van 30
Uittreksel Analyse D
De partiële sommen van Taylorreeksen zijn:
f  i  (a)
f '(a)
f ''(a)
f  n  ( a)
i
2
n
 x  a   f (a ) 
 x  a 
 x  a   ... 
 x  a .
i!
1!
2!
n!
i 0
Hierbij is Tn een n -de graads Taylor polynoom van f bij a .
n
Tn ( x)  
Als f ( x ) gelijk is aan de som van de bijbehorende Taylorreeksen, dan geldt dat
f ( x)  lim Tn  x  . Voor het restant van de Taylorreeksen Rn  x  geldt nu dat
n
Rn  x   f ( x)  Tn  x  , dus f ( x)  Tn  x   Rn  x  .
Als we aan kunnen tonen dat lim Rn  x   0 , betekent dit dat f ( x)  Tn  x  .
n
8
Als f ( x)  Tn  x   Rn  x  , waarbij Tn een n -de graads Taylor polynoom van f bij a
en lim Rn  x   0 voor x  a  R , dan is f gelijk aan de som van zijn Taylorreeksen
n
op het interval x  a  R .
9
Om aan te tonen dat lim Rn  x   0 voor een specifieke functie f maken we meestal
n
gebruik van de ongelijkheid van Taylor:
Als f 
n 1
 x  M
voor x  a  d , dan voldoet het restant Rn  x  van de
Taylorreeksen aan de volgende ongelijkheid:
Rn  x  
10
M
n 1
voor x  a  d .
xa
 n  1!
Bij de toepassing van 8 en 9 is het vaak nuttig om gebruik te maken van:
xn
lim
 0 voor iedere x R .
n  n !
11
12
13
Gebruik makend van de definitie van Taylorreeksen ontstaat door invullen van a = 2:

f  n  2 
n 0
n!
ex  
14, 15

e2
n
 x  2  , nuttig bij toepassing in de buurt van x = 2.
n 0 n !
 x  2  
n
f ( x)  sin x is uit te drukken in de volgende Maclaurinreeksen:
sin x  x 
16

xn
voor alle x . Hierin is a = 0.

n 0 n !

1
1 1 1
Invullen van x =1 geeft e x    1     ...
1! 2! 3!
n 0 n !
Verder geldt dat e x 

x3 x5 x7
x 2 n 1
n
   ...    1
voor alle x .
3! 5! 7!
 2n  1!
n 0
Door deze reeksen te differentiëren ontstaat:
cos x  1 
Versie 1.0
2n

x2 x4 x6
n x
   ...    1
voor alle x .
2! 4! 6!
 2n !
n 0
blz. 17 van 30
Uittreksel Analyse D
Eén reden waarom Taylorreeksen zo belangrijk zijn, is dat ze ons in staat stellen om
f ( x)  e  x .
2
functies te integreren die we tot nu toe niet konden hanteren. Voorbeeld:
Als machtreeksen worden opgeteld of gedeeld, gedragen ze zich als polynomen.
Datzelfde geldt ook voor het vermenigvuldigen en delen van machtreeksen.
Bij vermenigvuldigen van de machtreeksen an en bn blijft het convergentie-interval
gelijk. Bij delen moeten we controleren of b0  0 en bevat het convergentie-interval
waarden van x die voldoende klein zijn (dit wordt niet nader toegelicht).
12.11 Binomiaalreeksen
De binonomiaaltheorie geeft aan dat voor positieve gehele getallen k geldt dat
a  b
1
k
k 
    a k  nb n
n 0  n 
k
Substitutie a  1 en b  x levert 1  x  
k
k
k 
 n  x
n 0
n
 
.
De Maclaurinreeksen van f ( x)  1  x  zijn de binomiaalreeksen
k

f  n  0 
n 0
n!


k  k  1 k  2   ...   k  n  1
n 0
n!
xn  
xn .
Uit de ratiotest blijkt dat R = 1. Het convergentie-interval is dus x  1.
2
Conclusie: Voor ieder reëel getal k en x  1 geldt nu dat:
k  k  1
k  k  1 k  2 

k 
x3  ...     x n ,
2!
3!
n 0  n 
 k  k  k  1 k  2   ...   k  n  1
k 
waarbij   
voor n  1 en    1 .
n!
n
0
1  x 
k
 1  kx 
x2 
De binomiaalreeksen blijken te convergeren:
bij x  1
als 1  k  0 en
bij x  1 en x  1 als k  0 .
k 
n
Als k  0 en n  k , dan bevat expressie 2 bij   een factor  k  k  = 0 voor iedere
n  k . Dit betekent dat deze reeksen eindig zijn en dat we terug zijn bij expressie 1.
NB. Meestal zijn de n en k omgewisseld in de binomiaalformule, dus
n
n
    x k y n k . Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem.
k 0  k 
Omdat in dit hoofdstuk n gereserveerd is voor het volgnummer van de term in een
 x  y
n
reeks, is hier kennelijk voor deze vorm gekozen.
Versie 1.0
blz. 18 van 30
Uittreksel Analyse D
12.12 Toepassingen van Taylor polynomen
(Eerst een stukje herhaling van § 12.10.) Voor Taylorreeksen van functie f bij a geldt:


f  n  a 
n 0
n!
f ( x)   cn  x  a   
n
n 0
 x  a
n
 f (a ) 
f '(a )
f ''(a )
2
 x  a 
 x  a   ...
1!
2!
De partiële sommen van Taylorreeksen zijn:
f  i  (0)
f '(a)
f ''(a)
f  n  (a)
i
2
n
Tn ( x)  
 x  a   f (a) 
 x  a 
 x  a   ... 
 x  a .
i!
1!
2!
n!
i 0
Hierbij is Tn een n -de graads Taylor polynoom van f bij a .
n
(Einde herhaling.)
Het blijkt dat de eerstegraads Taylor polynoom van f bij a gelijk is aan
T1 ( x)  f (a)  f '(a)  x  a  .
Dit komt overeen met de vergelijking van de raaklijn aan f in a .
Verder blijkt dat de afgeleide van T1 overeenkomt met f ' . Algemeen geldt dat de
afgeleiden van Tn overeenkomen met die van f tot en met orde n .
Uit tekeningen van Tn blijkt dat bij oplopende waarden van n de benadering van f
steeds nauwkeuriger wordt. Wel geldt dat hoe verder de waarde van x verwijderd is
van 0, des te langzamer gaat de benadering van f bij toenemende n .
Als we een Taylor polynoom Tn gebruiken om f te benaderen, is de vraag welke orde
van n we moeten nemen om de gewenste nauwkeurigheid te bewerkstelligen.
Hiervoor kijken we naar de absolute waarde van het restant: Rn  x   f ( x )  Tn  x  .
Drie mogelijke aanpakken:
1. Grafisch door tekenen van Rn  x 
2. Bij alternerende reeksen door de alternerende reeks test.
3. In alle gevallen kunnen we de Taylor ongelijkheid toepassen, die zegt dat
als f 
n 1
 x  M
dat Rn  x  
M
n 1
xa .
 n  1!
Benaderingen van functies met behulp van bijbehorende Taylorreeksen worden onder
andere toegepast in rekenmachines, bijvoorbeeld bij het berekenen van sin( x ) .
Daarnaast worden Taylorreeksen veel gebruikt in de natuurkunde voor het benaderen
van functies. Daarbij worden vaak alleen de eerste termen van een Taylorpolynoom
gebruikt.
Versie 1.0
blz. 19 van 30
Uittreksel Analyse D
Levensverzekeringswiskunde
Voorwoord
Levensverzekeringswiskunde, ook wel actuariële wiskunde, geeft antwoorden op
vragen als:
 Wat kost het vrijmaken van een hypotheek met een daaraan gekoppelde
levensverzekering?
 Wat is het verschil tussen pensioenverzekeringen op basis van een eindloon- of
middelloonregeling?
Doel van het boek van Van As e.a. is om een introductie te geven van aantal
veelvoorkomende soorten levensverzekeringen en van pensioenen.
Hoofdstuk 1: Financiële rekenkunde
§ 1.1 Inleiding
Onder rente wordt in de financiële rekenkunde verstaan: een serie betalingen of
ontvangsten. Deze definitie wijkt af van wat wij er in het dagelijks leven onder verstaan.
§ 1.2 Rekenkundige Rijen (RR)
Een rij is een serie getallen. Ieder getal in zo’n rij heet een term. Termen worden
genummerd met rangnummers, te beginnen bij 1. t1 wordt de aanvangsterm genoemd.
Bij oneindige rijen zijn de termen vastgelegd in de vorm van een formule.
Bij Rekenkundige Rijen (RR) geldt dat iedere term ontstaat door bij de voorgaande term
een vast getal op te tellen: het verschil (v).
tn  tn1  v
 v  tn  tn1
De recursieve formule van een RR is:
De directe formule van een RR is:
tn   n  1 v
De som van de eerste n termen van een RR: sn 
n  t1  tn 
2
.
§ 1.3 Meetkundige Rijen (MR)
Bij Meetkundige Rijen (MR) geldt dat iedere term ontstaat door de voorgaande met een
vast getal te vermenigvuldigen: de reden (r).
De recursieve formule van een MR is:
De directe formule van een MR is:
tn  r  tn1
tn  t1  r
 r
Versie 1.0
tn 1
n 1
1  r   t  r
n
De som van de eerste n termen van een MR: sn  t1
tn
1 r
1
n
.
1
r 1
blz. 20 van 30
Uittreksel Analyse D
§ 1.4 Eindwaarde van een kapitaal
Een startkapitaal K (0) staat gedurende een aantal jaren op een bankrekening tegen
een bepaald intrestpercentage p . K (n) , het kapitaal na n jaar, ook wel
K (n)  K (0)  1  i  .
n
Eindwaarde (EW) of slotwaarde is te berekenen met
Hierin is i het intrestperunage, ook wel groeivoet genoemd.
Het intrestpercentage is p = 100 i .
1  i 
is de groeifactor.
n is de looptijd in jaren.
1  i 
n
wordt in de financiële rekenkunde aangegeven met
Sn
p
, met
n het aantal perioden en p het intrestpercentage 100 i .
Periodieke vergoeding voor
het gebruik van geleend geld
Een serie periodiek vervallen
geldbedragen
Dagelijks leven
Rente
Financiële rekenkunde
Interest
Vrijgevallen bedragen
Rente
§ 1.5 Contante waarde van een kapitaal
De Contante Waarde (CW) is het kapitaal K is het startkapitaal K (0) dat nodig is om
op basis van samengestelde intrest over een zekere looptijd het bedrag K als
eindwaarde te verkrijgen.
K (0) 
1  i 
n
K
1  i 
n
 K  1  i 
n
wordt in de financiële rekenkunde aangegeven met
In het algemeen geldt dat
Versie 1.0
An
p

1
Sn
An
p
.
.
p
blz. 21 van 30
Uittreksel Analyse D
§ 1.6 Eindwaarde van een rente
Een periodiek vervallen geldbedrag wordt een termijn genoemd.
Een serie periodiek vervallen geldbedragen noemen we rente.
Bij termijnen die vervallen aan het begin van een periode spreken we van
prenumerando rente.
Als de termijnen aan het eind van een periode vervallen, spreken we van
postnumerando rente.
1.6.1 Eindwaarde van een prenumerando rente
Het bereken van de eindwaarden van de termijnen wordt ook wel het oprenten van die
termijnen genoemd.
Als iemand n periodes lang een vast bedrag T stort tegen intrestpercentage p , dan is
de eindwaarde het startkapitaal vermenigvuldigd met de som van een meetkundige rij.
In financiële rekenkunde:
..
EW  T  s n
n
..
p
met s n
p
  Sk
k 1
1.6.2
n
p
  1  i   1  i 
k
1  i 

n
1
i
k 1
 1  i  
Sn
Sn
1
p
1
i
Eindwaarde van een postnumerando rente
n 1
EW  T  sn
p met
..
Conclusie:
sn
p
sn
  Sk
p
k 0
 1  i   sn
n 1
p
  1  i 
k
1  i 

n
1
i
k 0

p
i
p
§ 1.7 Contante waarde van een rente
1.7.1 Contante waarde van een prenumerando rente
Iemand wil in plaats van maandelijkse termijnen, die vooraf betaald worden, één
jaarlijkse termijn vooraf betalen. Dit wordt ook wel het afrenten van de betreffende
termijnen genoemd.
..
CW  T  a n
n 1
..
p
met a n
p
  Ak
k 0
1.7.2
n 1
p
  1  i 
k
 1  i  
1  1  i 
n
i
k 0
 1  i  
1  An
i
Contante waarde van een postnumerando rente
n
CW  T  an
p met
..
Conclusie:
Versie 1.0
an
p
an
p
 1  i   an
  Ak
k 1
n
p
  1  i 
k 1
k

1  1  i 
i
n

1  An
i
p
blz. 22 van 30
p
p
Uittreksel Analyse D
Hoofdstuk 2: Verzekeringen met uitkeringen bij leven
§ 2.1 Inleiding
Een levensverzekering is een geldelijke uitkering in verband met het leven of de dood
van een mens. Uitkeringen door ongevallenverzekering bij overlijden worden niet als
levensverzekering beschouwd.
Er zijn verschillende soorten levensverzekering:
 Uitkering bij leven, die uitkeert als de verzekerde aan het eind van de looptijd
nog in leven is;
 Overlijdensverzekering, ook wel kapitaalverzekering bij overlijden, die uitkeert
als de verzekerde tijdens de looptijd van de verzekering komt te overlijden.
Zie hoofdstuk 3.
De koopsom van een verzekering = de gemiddelde contante waarde van de uitkering(en)
is van belang om de kans te bepalen dat de verzekeringsmaatschappij daadwerkelijk tot
uitkering zal moeten overgaan. Hierbij wordt meestal rekening gehouden met 4%
samengestelde intrest per jaar voor dekking van de nominale verplichtingen. Deze
rekenrente (4%) wordt ook wel disconteringsfactor (1,04) of disconteringsvoet (0,04)
genoemd. In de opgaven uitgegaan van dit percentage, tenzij anders vermeld.
§ 2.2 Partijen bij een levensverzekering
I.
II.
III.
IV.
Levensverzekeringsmaatschappijen, kortweg levensverzekeraar
Verzekeringnemer = degene die de overeenkomst sluit met de verzekeraar
Verzekerde = degene op wiens leven de levensverzekering wordt afgesloten
De begunstigde = persoon die de uitkering zal ontvangen.
De overeenkomst wordt in een akte, de polis, vastgelegd. Verzekeringnemer en
begunstigde kunnen gedurende de looptijd worden gewijzigd. De persoon op wiens
leven de verzekering is afgesloten ligt in principe vast. Wijziging hierin betekent een
conversie van de verzekering.
§ 2.3 Sterftetafels / overlevingstafels
Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert ieder jaar sterftequotiënten.
De sterftekans
q x = kans dat een x -jarige binnen 1 jaar overlijdt.
De overlevingskans px = kans dat een x -jarige na 1 jaar nog leeft = 1  qx .
In een overlevingstabel (vroeger sterftetabel) wordt uitgegaan van een fictieve groep
levenden van 0 jaar = l0 = radix van de sterftetafel. Er geldt nu dat:
l1  l0  1  q0   l0  p0
l2  l1  1  q1   l1  p1
...
lx 1  lx  1  qx   lx  px
Iedere 5 jaar berekent het Actuarieel Genootschap (AG) de gemiddelde sterftekansen q x
voor de verschillende leeftijdsklassen x en verwerkt die in 3 typen overlevingstafels:
 Gehele Bevolking Mannen (GBM);
 Gehele Bevolking Vrouwen (GBV);
 Gehele Bevolking (GB).
Versie 1.0
blz. 23 van 30
Uittreksel Analyse D
p40 is de kans dan iemand van 40 nog 25 jaar in leven blijft.
25 q40 is de kans dan iemand van 40 binnen 25 jaar komt te overlijden.
25
§ 2.4 Sterfteverlies en sterftewinst
Sterfteverlies is als een verzekeringsmaatschappij op een bepaald moment meer moet
uitbetalen dan was verwacht. Bij sterftewinst hoeft de maatschappij minder uit te keren
dan verwacht. Meestal wordt alleen van de GBM-tabel gebruik gemaakt. Bij vrouwen
wordt een leeftijdsterugstelling toegepast van 5 à 6 jaar.
§ 2.5 Kapitaalverzekering bij leven
Deze verzekering keert uit als de verzekerde aan het eind van de looptijd nog in leven
is. Deze datum heet de expiratiedatum. Het te betalen bedrag per verzekerde noemen
we de koopsom van de verzekering, kortweg Ks . Uitgegaan wordt van het
equivalentieprincipe, namelijk dat de verplichtingen van verzekeringnemer en
verzekeraar aan elkaar gelijk zijn.
De koopsom is dan gelijk aan het product van de contante waarde van de uitkering per
persoon en de overlevingskans van ieder van de verzekerden. De koopsom is daarmee
op te vatten als de verwachte contante waarde van de uitkering. De koopsom voor een
kapitaalverzekering bij leven voor een 40 jarige vrouw met een uitgestelde betaling van
25 jaar wordt dan: Ks  U  A25

4
l65
 U  A40 251 . Hier staat een 1 boven de looptijd
l40
van de verzekering om aan te geven dat het om een uitkering bij leven gaat.
§ 2.6 Lijfrenten
Als de uitkeringen alleen betaalbaar zijn bij het in leven zijn van één of meer personen, is
er sprake van een lijfrente. De betaling kan in (jaarlijkse) termijnen plaatsvinden, zodat de
koopsom van deze lijfrente gelijk is aan de som van de afzonderlijke koopsommen.
Voorbeeld: 40-jarige man, uitkering bij leven in 5 jaarlijkse termijnen vanaf zijn 60 e,
prenumerando rente
..

l
l
l 
Ks  U   A20 4  60  A21 4  61  ...  A24 4  64   U   A40 201  A40 211  ...  A40 241   U  20| a 40 5


l40
l40
l40 

postnumerando rente:

l
l 
Ks  U   A21 4  61  ...  A25 4  65   U   A40 211  ...  A40 251   U  20| a40 5


l40
l40 

§ 2.7 Commutatietekens D en N
Omdat het rekenen met l -waarden uit overlevingstafels tamelijk omslachtig is, zijn er
commutatietekens ingevoerd.
Bij eenmalige uitkeringen gebruiken we Dx  Ax
 lx  1, 04   lx .
x
4
Bij rentes (periodieke uitkeringen) gebruiken we N x 

D
kx
k
, waarbij  de hoogste
leeftijd in de overlevingstabel is.
Tabellen met D -waarden en N -waarden zijn gedeeld door 100 en afgerond op helen.
Versie 1.0
blz. 24 van 30
Uittreksel Analyse D
Hoofdstuk 3: Overlijdensverzekeringen
§ 3.1 Inleiding
Dit hoofdstuk gaat over kapitaalverzekeringen bij overlijden. Deze overlijdensverzekeringen worden vaak als risicoverzekering gebruikt in combinatie met een
hypotheek en ook ter dekking van extra uitgaven bij overlijden. Er bestaan tijdelijke en
levenslange overlijdensverzekeringen. Daarnaast bestaan er gemengde tijdelijke
verzekeringen die uitkeren bij overlijden en uitkeren bij in leven zijn.
§ 3.2 Sterftekansen
De kans dat iemand wel 30 maar niet 31 jaar wordt, is:
l30  l31
l
 1  31  1  p30  q30 .
l30
l30
Hierin is q30 de kans dat iemand op 30 jarige leeftijd sterft.
Evenzo geldt dat de kans dat iemand van 30 wel 32 maar niet 33 wordt =
l32  l33
.
l30
We voeren een nieuw symbool in: d x  lx  lx 1 , waarbij d x het aantal x -jarigen is dat
volgens verwachting niet ( x +1) jaar oud zal worden.
De kans dat iemand van 30 wel 65 maar geen 66 zal worden is dan
l65  l66 d 65

.
l30
l30
Met andere woorden: dit is de kans dat iemand van 30 jaar oud op zijn 65e overlijdt.
De sterftekans voor iemand van 30 jaar oud is grafisch weer te geven met q ( x ) 
De algemene eenjarige sterftekans is weer te geven met q ( x ) 
dx
.
l30
dx
. Deze eenjarige
lx
sterftekans blijkt bij mannen en vrouwen te verschillen.
§ 3.3 Overlijdens(risico)verzekering
Ook wel: kapitaalverzekering met uitkering bij overlijden. De koopsom van zo’n polis
voor een 30 jarige met een looptijd van 25 jaar is te berekenen bij prenumerando rente:

d
d
d
d 
1
.
Ks  U   A1 4  30  A2 4  31  ...  A54 4  54  A25 4  55   U  A30
25
l30
l30
l30
l30 

Hier staat de 1 boven de leeftijd, om aan te geven dat het om een koopsom bij
overlijden gaat.
§ 3.4 Commutatietekens C en M
Voor het berekenen van de koopsom zijn opnieuw enkele commutatietekens ingevoerd,
te weten:
Cx  d x  Ax 1
 A31
Ks  U  
 A30
Versie 1.0
 1, 04 
4
4
4
 x 1

 d x en M x   Ck
Toegepast op het voorbeeld hierboven:
kx

A35
d30
 ... 
l30
A30
4
4

C
d54 
C 
M  M 54
.
  U   30  ...  54   U  30
l30 
D30
D30 
D30


blz. 25 van 30
Uittreksel Analyse D
§ 3.5 Uitkeringen direct na overlijden
In praktijk zal de uitkering direct na overlijden plaatsvinden en niet, zoals gebruikelijk,
aan het eind van de looptijd van de verzekering. Men gaat er van uit dat de
overlijdensdatum gemiddeld precies in het midden van een verzekeringsjaar zal liggen.
Dit betekent dat een eventuele uitkering een half jaar eerder plaats vindt. Om dit te
compenseren berekent men: Ksdirect  Kseind  S 1 p  Kseind  A1 p .
2
2
Hierbij horen de commutatietekens:
C x  d x  Ax  1
2
4
 1, 04 
 x  1 2 

 d x en M x   C k
kx
Een tijdelijke overlijdensverzekering met een uitkering direct na overlijden is dan
1
Ax n 
M x  M xn
Mx
en voor een levenslange overlijdensverzekering A x n 
.
Dx
Dx
Tussen M en M bestaat het volgende verband: M x  M x  1, 04  2 .
1
§ 3.6 Gemengde verzekering
Een tijdelijke kapitaalverzekering bij overlijden komt vaak in combinatie voor met een
kapitaalverzekering bij leven. We noemen dit een gemengde verzekering.
Hoofdstuk 4: Verzekeringen op twee levens
§ 4.1 Inleiding
In dit hoofdstuk worden verzekeringen behandeld die in principe afhankelijk zijn van het
al of niet in leven zijn van twee personen. Een bekend voorbeeld is het
weduwepensioen, dat samen met weduwnaarspensioen en wezenpensioen het
nabestaandenpensioen wordt genoemd.
§ 4.2 Verzekeringen met uitkeringen indien beide personen leven
4.2.1 Kapitaalverzekeringen indien beide personen leven
Dit is een tijdelijke kapitaalverzekering die uitkeert aan twee personen, op voorwaarde
dat beide personen nog in leven zijn op de expiratiedatum.
lx  n l y  n

, waarbij x de leeftijd van
lx l y
de ene partner, y de leeftijd van de andere partner en n de looptijd in jaren. Dit wordt
Dx  n y  n
wel geschreven als Ks  U 
, waarbij commutatieteken Dx y  Ax 4  lx  l y .
Dx y
De koopsom van zo’n verzekering is Ks  U  An
Evenzo geldt dat
Versie 1.0
Nx y 
4



k  x; l  y
Dk l
. Hieruit volgt dat Dx
y
 N x y  N x 1
y 1 .
blz. 26 van 30
Uittreksel Analyse D
4.2.2 Lijfrente indien beide personen leven
De koopsom van een direct ingaande, levenslange prenumerando lijfrente indien beide
personen leven is Ks  U 
Nx y
Dx y
.
§ 4.3 Verzekeringen op de langstlevende
Bij een levenslange uitkering op de langstlevende worden de termijnenbedragen
uitgekeerd zolang ten minste één van beide personen leeft. De koopsom is dan
N
N y Nx y
Ks  U   x 

 Dx Dy Dx y


 .

§ 4.4 Overlevingsverzekeringen
4.4.1
Weduwepensioen
 N y Nx y 
voor een doorlopende en

 Dy Dx y 


N x y  N xn y n 

 voor een tijdelijke uitkering.
Dx y

Hiervan is de koopsom Ks  U  
 N y  N yn
Ks  U  

Dy

4.4.2
Weduwnaarpensioen
 Nx Nx y

 Dx Dx y

Analoog is hiervan de koopsom Ks  U  
 N  N xn N x y  N xn
Ks  U   x


Dx
Dx y

y n

 voor een doorlopende en


 voor een tijdelijke uitkering.

De koopsom op de langstlevende = koopsom indien beide leven + koopsom
weduwepensioen + koopsom weduwnaarpensioen.
4.4.3
Wezenpensioen en erfrente
Een wezenpensioen, eigenlijk halfwezenpensioen, wordt afgesloten op het leven van
één ouder ten behoeve van het kind. Deze verzekering loopt tot een bepaalde leeftijd
van het kind. Vanaf het tijdstip van overlijden van de verzekerde ouder krijgt het kind
(pre- of postnumerando), bij in leven zijn, periodiek het verzekerde bedrag uitbetaalt.
Omdat de kans dat een kind op jonge leeftijd overlijdt erg klein is, wordt dit in de
berekening buiten beschouwing gelaten. Verder wordt meestal gekozen voor
postnumerando rente, omdat die 1 keer vaker uitkeert dan prenumerando rente.
Tenslotte kiest men ook vaak voor een combinatie van een kapitaalverzekering en een
erfrente, de zogenaamde ideaalverzekering.
Berekening van een koopsom voor vader, postnumerando erfrente, looptijd van n jaar:
 1  1, 04 n N x  N x  n 
Ks  U  

.
Dx
 0, 04

Versie 1.0
blz. 27 van 30
Uittreksel Analyse D
Samenvatting belangrijke Maclaurinreeksen
Zie kader blz. 803.
1
1 x

=
x
n
e
voor 1, 1
x x 2 x3
= 1 
  ...
1! 2! 3!
voor alle x
x3 x5 x 7
= x
   ...
3! 5! 7!
voor alle x
n 0

x
= 1  x  x 2  x 3  x 4  ...
=
xn

n 0 n !
x 2 n 1
 1

 2n  1!
n 0

sin x =

cos x =
  1
n
n
n 0
tan 1 x =

  1
n 0
Versie 1.0
n
x2n
 2n  !
= 1
x 2 x 4 x6
   ...
2! 4! 6!
voor alle x
x 2 n 1
2n  1
= x
x3 x5 x 7
   ...
3 5 7
voor  1,1
blz. 28 van 30
Uittreksel Analyse D
Gebruik van de TI-89 bij Analyse D
12.1 Invoeren rijen op de GR
Zet de Graph-mode op SEQUENCE met MODE, optie 4.
Bij Y= kun je 99 verschillende rijen definiëren, genummerd u1 t/m u99.
Als je een recursieve formule invoert, bijvoorbeeld bij u1, voer dan tevens een
beginwaarde in bij ui1.
Voorbeeld 1: u1 = u1(n-1) + 5 en ui1 = 0.
Voorbeeld 2: u2 = u2(n-2) + u2(n-1) met ui2 = {1,1}
De tafel van 5.
De rij van Fibonacci.
Merk op dat de index op de TI-89 begint met n = 0 in plaats van n = 1, zoals in het boek!
Raadpleeg dus de tabel met waarden met tblStart = 0 en  tbl = 1.
12.2 Somrij of reeks
De formule van een rij kun je eenvoudig omzetten in zijn bijbehorende somrij (reeks).
Voorbeeld:
Rij:
u1 = n(n+1)/2
Bijbehorende somrij of reeks:
u1 = n(n+1)/2 + u1(n-1)
Als je bij u1 de formule van een rij hebt ingevoerd, bijvoorbeeld, kun je die eenvoudig
omzetten naar de bijbehorende somrij door er steeds de voorgaande term u1(n-1) bij op
te tellen.
12.2 Sommeren van rijen
Je kunt de som van een rij ook direct uitrekenen met behulp van de optie

.
Deze vind je in het menu Calc (F3).
De syntax is als volgt:
( formule van de rij, index, ondergrens, bovengrens).

Je mag bij de onder- en bovengrens ook  invullen.
Voorbeeld:
1/ 2 ^ i, i, 1,  = 1.

12.2 Limietberekeningen
In hetzelfde menu Calc (F3) zit ook optie limit. Hiermee kun je limietberekeningen
controleren. Daarbij kun je handig gebruik maken van het feit dat limietberekeningen
naar het oneindige binnen de reële analyse gelijk zijn aan die binnen de discrete
wiskunde.


Voorbeeld: lim 1 
n 
Versie 1.0
n
1
  e voer je in als limit((1+1/x)^x,x,  ).
n
blz. 29 van 30
Uittreksel Analyse D
12.10 Taylorreeksen
In menu Calc (F3) vind je een optie 9:Taylor. De syntax is als volgt:
Taylor(uitdrukking, var, orde van de polynoom)
Voorbeeld: Taylor(sin(x), x, 6) geeft als antwoord
x5 x3
 x.
120 6
Sla eventueel het antwoord op met STO-> y1(x).
Plotten van zowel de functie als de polynoom kan met: GRAPH SIN(X) : GRAPH Y1(X).
(Graph vind je bij F4, de dubbele punt staat boven de 4).
Als het antwoord gelijk is aan de invoer, kan het zijn dat de polynoom geen gehele
exponenten bevat. In zo’n geval is het alternatief om een substitutie te gebruiken:
Voorbeeld: Taylor( e x , x, 2) werkt niet, maar Taylor( e t , t, 4) | t =
Let op het verschil in de parameters.
x werkt wel.
Soms is ook een tijdelijke vermenigvuldiging nodig. Voorbeeld:
Taylor(
1
x
, x, 3) werkt niet, maar Expand(Taylor(
, x, 4) / x, x) werkt wel.
x(1  x)
x(1  x)
Let weer op het verschil in de parameters.
Nuttige links
http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma2001/notes/notes.html
http://nl.wikipedia.org/wiki/Reeks
http://nl.wikipedia.org/wiki/Machtreeks
Versie 1.0
blz. 30 van 30