Hfstk 1

De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijn.
algemene vergelijking : y = ax + b
a=
hellingsgetal of richtingscoëfficient
altijd 1 naar rechts a omhoog
b=
“begingetal” of snijpunt met de verticale as
1.1
Voor een rechte lijn
heb je maar 2 punten
nodig.
Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2
y
1) Gebruik het snijpunt
met de verticale as en de
r.c.
snijpunt (0, -2)
2
·
1
0
1
2
3
4
5
3
x
r.c. = ¾
-1
-2
Teken de rechte
lijn.
·
4
-3
noemer altijd naar rechts
teller naar boven of beneden
1.1
Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2
2) Maak een tabel met
2 coordinaten.
Voor een rechte lijn
heb je maar 2
punten nodig.
y
2
x
y
0
-2
4
1
·
1
0
Teken de grafiek
m.b.v. de tabel.
1
2
3
4
5
x
-1
-2
·
-3
1.1
Formules van lijnen
Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen:
1 de formule volgt uit de tekst
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en
de r.c. af te lezen
3 een punt en de r.c. zijn gegeven
4 twee punten zijn gegeven
1.1
opgave 6
Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6
a y
0
1
2
snijpunt = (3, 0)
·
3
4
-1
1 naar rechts
2 omhoog
dus
r.c. = a = 2
-2
-3
-4
-5
·
-6
Snijpunt met de
verticale as (0, -6)
5
x
b y = 3x – 1
Evenwijdige lijnen hebben dezelfde
r.c..
y = ax – 6
dus a = 3
c y = ax – 6
Snijpunt met de y-as is altijd (0, -6)
dus er is geen a waarvoor de lijn
door (0, 0) gaat.
y=0
opgave 11
a k en l evenwijdig
dus rck = rcl
dus a = -½
b m : y = 1½x + b
door (2, -3)
-3 = 1½ · 2 + b
-3 = 3 + b
-6 = b
dus b = -6
snijpunt met de x-as  y = 0
snijpunt met de y-as  x = 0
c k snijden met de x-as
0 = -½x – 2
½x = -2
x = -4
dus snijpunt met de
x-as is (-4, 0)
l : y = ax + 1
door (-4, 0)
0 = a · -4 + 1
4a = 1
a=¼
d l : y = ax + 1
B(4, -4) op l
-4 = a · 4 + 1
-4 = 4a + 1
-4a = 5
a = 5/-4
a = -1¼
m : y = 1½x + b
B(4, -4) op m
-4 = 1½ · 4 + b
-4 = 6 + b
-10 = b
b = -10
3,6 km/u = 1 m/s
km/u  m/s
: 3,6
opgave 13a
Eerste 10 seconden alleen snelheid
van de band 3,6 km/u
dus 3,6 : 3,6 = 1 m/s
In de eerste 10 seconden legt
Bram per seconde 1 meter af,
dus op t = 10  A = 10 m.
totale snelheid = 3,6 + 5,4 = 9 km/u
9 : 3,6 = 2,5 m/s
daarna is elke seconde 2,5 m.
dus op t = 20
A = 10 + 10 · 2,5 = 35 m.
A
80
60
40
·
(20, 35)
20
·
(10, 10)
10
20
30
40
t
opgave 13b
1e deel  rc = 1
A = 1t + b door (0, 0)
0=1·0+b
b=0
dus A = t
2e deel  rc = 2,5
A = 2,5t + b door (10, 10)
10 = 2,5 · 10 + b
10 = 25 + b
-15 = b  b = -15
dus A = 2,5t - 15
A
80
60
40
·
(20, 35)
20
·
(10, 10)
10
20
30
40
t
opgave 13
c De band is 80 m lang.
80 = 2,5t – 15
95 = 2,5t
2,5t = 95
t = 95/2,5
t = 38
Na 38 sec is Bram aan het einde.
d Als bram niet meeloopt dan
80 m  80 sec
heeft hij 80 sec nodig
Bram wint 80 – 38 = 42 sec.
e 80 m  38 sec
De snelheid is dan
80/38 m/s
= 80/38 · 3,6 ≈ 7,6 km/u
m/s  km/u
x 3,6
A
80
60
40
·
(20, 35)
20
·
(10, 10)
10
20
30
40
t
Algemeen
dus r.c. = ∆y : ∆x
rechts
∆x
omhoog
∆y
y
·
B
yB
yB – yA = ∆y
∆y
·
A
yA
∆x
0
xA
xB
x
xB – xA = ∆x
1.2
voorbeeld
Gegeven zijn de punten A(1, 4) en
B(5, 1).
Stel de formule op van de lijn m
door de punten A en B.
rechts
∆x
4
omhoog
∆y
-3
r.c. = ∆y : ∆x
rc = -3/4 = -¾
y = ax + b
y = -¾x + b door A(1 ,4)
4 = -¾ · 1 + b
4 = -¾ + b
4¾ = b  b = 4¾
m : y = -¾x + 4¾
y
4
·
A
4
yB – yA = 1 4
-3
xB – xA = 5 1
·
B
1
0
1
Staan er bij de assen andere letters dan
gebruik je deze letters in de formule, de
manier blijft hetzelfde.
5
x
1.2
opgave 19
R is een lineaire functie van t
dus de punten (35, 10) en (60, 35)
rechts
∆t
25
omhoog
∆R
25
r.c. = ∆R : ∆t
rc = 25/25 = 1
R = at + b
R = 1t + b door (35, 10)
10 = 1 · 35 + b
10 = 35 + b
-25 = b  b = -25
R = t - 25
R
35
·
∆R = 35 - 10
25
10
·
25
0
35
60
t
∆t = 60 - 35
opgave 21
13.12 u.  18,2 km verwijderd
13.17 u.  7,2 km verwijderd
afstand is x
a x = at + b
a = ∆x/∆t
13.00 u.  t = 0
13.12 u.  t = 12  x = 18,2 km.
13.17 u.  t = 17  x = 7,2 km.
a = (7,2-18,2) / (17-12)
a = -11/5 = -2,2
x = -2,2t + b door (17; 7,2)
7,2 = -2,2 · 17 + b
7,2 = -37,4 + b
44,6 = b  b = 44,6
x = -2,2t + 44,6
b 13.19 u.  t = 19  x = ?
invullen in x = -2,2t + 44,6
x = -2,2 · 19 + 44,6
x = 2,8 km.
c x=0  t=?
x = -2,2t + 44,6
0 = -2,2t + 44,6
1 min. = 60 sec
2,2t = 44,6
0,1 min. = 6 sec
t = 44,6/2,2
t ≈ 20,27 min.
0,27 min. = 0,27 × 60
≈ 16 seconden
dus om 13.20 u. en 16 seconden
Algemene formule : y = ax² + bx + c
a≠0
de grafiek is een parabool
a › 0  dalparabool
a ‹ 0  bergparabool
Om een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR.
1.3
De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn:
PLOT DE GRAFIEK
laat de grafiek op het
scherm van de GR tekenen
kies het venster zo, dat alle
bijzonderheden van de
grafiek op het scherm te
zien zijn
SCHETS DE GRAFIEK
teken in je schrift een schets
van de grafiek
het gaat niet om precieze
punten maar alleen om de
vorm van de grafiek en de
ligging t.o.v. de assen
gebruik eventueel de GR
TEKEN DE GRAFIEK
teken in je schrift
nauwkeurig de grafiek met
getallen bij de assen
maak eerst een tabel
gebruik daarbij de GR
1.3
Nulpunten
Je kunt de coördinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halen.
Dit kan wel makkelijk met de GR.
Ook de coördinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn
zijn snel met de GR te berekenen.
Bijzonder geval  f(x) = 0
De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 ).
De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f.
bij GR :
-welke formule(s)
-welke optie(s)
1.3
opgave 35
f(x) = -0,4x² + 2,4x + 6
a Schets mbv GR.
b optie maximum
top (3; 9,6 )
c optie zero
nulpunten -1,90 en 7,90
d optie tabel
Voor welke x-waarden is de afstand 5 ?
f(0,5) = f(5,5) = 7,1
dus c > 7,1
De kleinste gehele waarde van c = 8.
(3; 9,6)
y
f
0
-1,90
7,90
x
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
f(x)
6
7,1
8
8,7
9,2
9,5
9,6
9,5
9,2
8,7
8
7,1
7
opgave 36
h = -5t² + 30t
a Voer in y1 = -5x² + 30x
optie zero
nulpunten x = 0 en x = 6
Dus na 6 seconden is de bal op de grond.
b optie maximum
top (3, 45)
De grootste hoogte is dus 45 m.
c Voer in y2 = 35.
optie intersect
x ≈ 1,586 en x ≈ 4,414
Dus na 1,6 en 4,4 seconde komt
de bal op een hoogte van 35 m.
d Voer in y2 = 20.
optie intersect
x ≈ 0,764 en x ≈ 5,236
Dus 5,236 – 0,764 ≈
4,5 seconde boven de 20 m.
h
(3, 45)
35
20
0
0
0,764
1,586
4,414
5,236 6
t
opgave 42
y = ax² + bx + c
top (-3, 4)
y = a ( x + 3 )² + 4
door (-1, 0)
0 = a ( -1 + 3 )² + 4
0 = a · 2² + 4
0 = 4a + 4
-4a = 4
a = 4/-4
a = -1
y = - ( x + 3 )² + 4
y = - ( x² + 6x + 9 ) + 4
y = -x² - 6x – 9 + 4
y = -x² - 6x - 5
y
(-3, 4)
-5
-1
0
x
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen.
hoogste punt  maximum
max.  grootste functiewaarde
max. is een y-coördinaat
laagste punt  minimum
max. en min. heten uiterste waarden of extremen
1.5
Opg. 47
Opg. 41
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR
1 Voer de formule in bij y1
2 Schets de grafiek
3 Gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen
van de extreme waarden.
4 Zet in je schets de coördinaten van de toppen.
5 Noteer de extreme waarden in de vorm:
min. is f(…) = … of
max. is f(…) = …
1.5
Voorbeeld
Er staat GEEN
exact of algebraïsch
dus je mag de GR
gebruiken
opgave 44a
y1 = -x³ - 1,5x² + 36x + 25
optie max. en min.
geven de toppen
min. is f(-4) = -79
(-4, -79)
max. is f(3) = 92,5
(3; 92,5)
opgave 44b
y1 = 0,2x4 + x³ - 10x² - 50x + 75
optie max. en min.
geven de toppen
max. is g(-2,20) ≈ 130,64
(-2,20; 130,64)
(-6,16; 57,77)
min. is g(-6,16) ≈ 57,77
min. is g(4,61) ≈ -179,72
(4,61; -179,72)
Gegeven h = - 0.005x2 + 4x
Opg. 45
a) Max => x- coördinaat bij –b / 2a
of optie maximum op GR
b) y = 0
=> -0.005x(x-80)= 0
of optie zero op GR
x = 40 => y = 8
x= 0 (afslag) v x = 80
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden
met de verschillende elementen uit het schema modelvorming.
praktisch
probleem met
gegevens en
tabellen
wiskundig
model
voorspellingen
en conclusies
gegevens en
tabellen
1.5
opgave 50
T = 80 · 0,97t + 20
In hoeveel minuten koelt het water af van 85 °C tot 55 °C ?
voer in y1 = 80 · 0,97x + 20
y2 = 85
T
y3 = 55
optie intersect met y1 en y2
85
x ≈ 6,8
optie intersect met y1 en y3
x ≈ 27,1
De daling van 85 °C naar 55 °C duurt
55
27,1 – 6,8 ≈
20 minuten
0
6,8
t
27,1
Oud boek 35a Oefenopgave 1
y = 2x² + bx + 7 door (5, 17)
Bereken b
17 = 2 · 5² + b · 5 + 7
17 = 50 + 5b + 7
17 = 57 + 5b
-40 = 5b
5b = -40
b = -40/5
b = -8
formule
y = ax² + bx + c
opgave 37
h = -0,02x² + bx
De bal komt 60 m. verder weer op de grond.
a Bereken b.
x = 60
-0,02 · 60² + b · 60 = 0
-72 + 60b = 0
Vanwege symmetrie
top
ligt tussen x = 0 en x =
60b = 72
60.
b = 72/60
b = 1,2
b Vul x = 30 in.
y = 18  maximale hoogte is 18 m.
of
voer in y1 = -0,02x² + 1,2x
optie maximum
top (30, 18)  maximale hoogte is 18 m.
Formule y = a ( x – p )² + q
xtop bereken je door
wat tussen haakjes
staat 0 te maken.
y
y = x²
top (0, 0)
y = ( x – 4 )²
4 naar rechts
top (4, 0)
y = ( x – 4 )² + 3
3 omhoog
top (4, 3)
y = 2 ( x – 4 )² + 3
O
x
parabool smaller
top hetzelfde
top (4, 3)
y = a ( x - p )² + q
top (p, q)
1.4
Opg. 40
Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c
opgave 45 oud boek
h = ax² + bx
top (15, 9)
h = a ( x – 15 )² + 9
door (0, 0)
0 = a ( 0 – 15 )² + 9
0 = a · (-15)² + 9
0 = 225a + 9
-225a = 9
a = 9/-225
a = -0,04
h = -0,04 ( x – 15 )² + 9
h = -0,04 ( x² - 30x + 225 ) + 9
h = -0,04x² + 1,2x – 9 + 9
h = -0,04x² + 1,2x
a = -0,04 en b = 1,2
h
9
0
(15, 9)
15
30
x
opgave 53 oud boek
N = 480t² - 40t³
t = 0 om 9.00 uur
Het pretpark sluit om 21.00 uur.
a Voer in y1 = 480x² - 40x³
12.50 uur  3.50 uur later
t = 3⅚  N = 4800
dus 4800 mensen
b het drukst  maximum
optie maximum  top (8, 10240)
8 uur later dus om 17.00 uur
dan zijn er 10240 bezoekers
c voer in y2 = 8000
optie intersect
x ≈ 5,58 v x = 10
0,58 uur = 0,58 × 60
≈ 35 minuten
5 uur en 35 min. later  14.35 uur
10 uur later
 19.00 uur
dus om 14.35 uur of 19.00 uur
N
(8, 10240)
8000
0
t
5,58
Je moet de uitkomsten van een
model ‘terugvertalen’ naar de
gegeven situatie.
10