3 - Babylonische Wiskunde sche Wiskunde (C-1)

3 - Babylonische Wiskunde (C-1)
De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende:
C1 - Maak uit de hoofdstukken 0 t/m 6 van het Zebra-boekje
Zebra boekje “Babylonische Wiskunde” 15 van de 62
opgaven. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 15 verspreid over de 62.
C2 - Maak een praktische opdracht
cht voor bijvoorbeeld een 3H/V klas over Babylonische Wiskunde. De
praktische opdracht moeten ze in twee klokuren kunnen maken. Maak er ook een beoordelingsbeoordelings
model bij, zodat de uitvoering van de opdracht door de leerlingen uitmondt in een cijfer.
Algemene info vooraf:
Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een
sexagesimaal getallenstelsel. Dit kunnen wij in onze getalsnotatie herkennen. Denk aan het schrijven
van uren: één uur heeft 60 minuten, één minuut
minuut 60 seconden, dus één uur heeft 60 a-rá
a (=
maal/keer) 60 seconden is 3600 seconden.
Met dit sexagesimaal getallenstelsel drukten zij hun getallen uit in een zestigtallig positiestelsel.Dat
houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het symbool.
Hoe het spijkerschrift eruit ziet zien we in bijgevoegde foto en scan. Aan de hand van deze foto/scan
gaan we een aantal opdrachten uitvoeren.
Geschiedenis van de Wiskunde
27
Schrijfwijze van getallen
Voor een goede uitvoering is het van belang dat we weten dat de Babyloniërs maar twee symbolen
kenden, namelijk het symbool voor 1 (een spijker) en het symbool voor 10 (een “wig”). Het symbool
voor 1 wordt ook gebruikt voor 60, 602, 603, enzovoort.
Ook wordt dit symbool gebruikt voor getallen als 1/60 1/602, 1/603, etc.
Het symbool voor 10 stelt 10 keer het symbool voor 1 voor.
De Babyloniërs maken geen gebruik van een komma en van het getal 0. Uit de context moet duidelijk
worden welk getal bedoeld wordt.
3.1 – Opgaven
3.1.1 – Opdracht 2
a) Gebruik de tablet. Vertaal de getallen die achteraan in de eerste kolom staan. Welke
regelmaat vertonen die?
Dit zijn de getallen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55. Ofwel de tafel van 5, waarbij de
sprongen een regelmaat van 5 vertonen.
b) Welk getal zou je op grond van de regelmaat in de eerste elf regels van de kleitablet,
achteraan de twaalfde regel (dus bovenaan de tweede kolom van de tekening) verwachten?
Het getal 60, want 55 + 5 = 60.
c) Hoe zit het met de volgende regels? Wat kun je op grond hiervan zeggen over de
Babylonische wijze van noteren van getallen?
Als je doortelt krijg je de volgende getallen: 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 90. 95. 100. 150, 200,
250. In de Babylonische getalsnotatie staat de spijker waarschijnlijk voor zowel het getal één
als het getal 60. Dit is denk ik ook de reden dat het Babylonische getalstelsel ook wel een
sexagesimaal stelsel genoemd.
3.1.2 – Opdracht 6
Schrijf (in transcriptie) de drieëntwintig uitkomsten van de Babylonische tafel van 7.
7
1:03
1:59
14
1:10
2:06
21
1:17
2:13
Geschiedenis van de Wiskunde
28
1:24
2:20
35
1:31
3:30
42
1:38
4:40
49
1:45
5:50
56
1:52
28
3.1.3 – Opdracht 8
Schrijf de volgende decimaal genoteerde getallen in sexagesimale vorm:
1651
: 27 x 60 + 31 = 27:31
75868
: 21 X 60² + 4 X60 + 21 = 21:04:28
758680 : 3 X 60³ + 30 X 60² + 44 X 60 +40 = 3:30:44:40
3.1.4 – Opdracht 13
De regelmaat in de toename van de kwadraten heb je vermoedelijk al eens eerder gezien.
Onderstaand wordt het algebraïsch bewijs gegeven dat dit altijd zo blijft doorgaan.
² ² ² ² Geschiedenis van de Wiskunde
29
3.1.5 – Opdracht 16
Verklaar de rekenwijze van de Babyloniërs aan de hand van de bijgevoegde figuur:
Voor het oplossen van een vermenigvuldiging van twee
ongelijke getallen werd door de Babyloniërs een
kwadratentabel gebruikt. Aan de hand van zowel het
vierkant hiernaast als de kwadratentabel hieronder
wordt dit verduidelijkt.
n
n
2
n
n
2
n
n
2
1
1
11
2:01
51
43:21
2
4
12
2:24
52
45:04
3
9
13
2:49
53
46:49
4
16
14
3:16
54
48:36
5
25
15
3:45
55
50:25
6
36
16
4:16
56
52:16
7
49
17
4:49
57
54:09
8
1:04
18
5:24
58
56:04
9
1:21
19
6:01
59
58:01
10
1:40
20
6:40
Als je bijvoorbeeld 18 x 23 wilt uitrekenen, zoek je de kwadraten van 18, 23 en hun som 41
op in de tabel. Vervolgens trek je de kleinste twee kwadraten af van de grootste en neemt
de helft van de uitkomst. Dit is gelijk aan het product van 18 en 23.
Geschiedenis van de Wiskunde
30
We rekenen dit op de Babylonische manier na: 6:54 = 6x60+54= 360 + 54=414/18 =23.
Gevraagd: 18⋅23
Oplossing: 18 + 23 = 41
41 ⋅ 41 = 28:01
18 ⋅ 18 = 5:24
23 ⋅ 23 = 8:49
5: 24 + 8:49 = 14:13
28: 01 - 14:13 = 13:48
de helft van 13:48 = 6:54
dit is de uitkomst van 18⋅23
Laten we dit zien dmv een vierkant met daarin rechthoeken, komen we, als we voor de getallen 18
en 23 de onbekenden a en b nemen, uit op het product ax b (een grijze rechthoek) wat gelijk is aan
de helft van het grote vierkant (a + b)² min de beide kleine vierkanten (a2 en b2). Dit levert de
algebraïsche vergelijking op:
a
2 2 2
( a + b) – a – b
a ⋅ b=--------------------------------2
b
a
b
Ook kunnen we dit als volgt uitrekenen:
De grijze rechthoek keer twee = het grote vierkant min de twee witte vierkanten. Of, anders gezegd:
2ab = .
Willen we het product ab krijgen dienen we de uitkomst nog door 2 te delen(=halveren). En ook
hieruit volgt: ab =
.
Hiermee zien we dus dat de Babyloniërs gebruik maakten van meetkundige termen: een kwadraat
was een vierkant (a x a = a²), een (willekeurig) product een rechthoek (a x b = ab). Hierdoor kunnen
we dus de meetkunde gebruiken om de bijzondere regels (denk aan de zogenaamde merkwaardige
producten uit de algebra) aanschouwelijk maken.
Geschiedenis van de Wiskunde
31
3.1.6 – Opdracht 17
Op deze wijze berekenen we 33 x 26;
3.1.7 – Opdracht 23
Welke repeterende decimale breuk hoort bij
Dat is: 0.142857142857142857142857…….
3.1.8 – Opdracht 27
a. Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde 30 in vier decimalen
nauwkeurig.
b. Laat zien dat het onderste getal dat bij de diagonaal is gegrift, omgerekend in decimalen,
dezelfde benadering in 4 decimalen heeft.
a. De lengte van de diagonaal is gelijk aan:
b. In de onderste regel op de tablet staan in spijkerschrift:
spijkerschrift: vier tientallen, gevolgd door twee
eenheden, (=42), daarna 2 tientallen gevolgd door 5 eenheden (=25) en sluit af met 3
tientallen en 5 eenheden (=35).
Omgezet naar nu is dat 42 + 25 + 35 = 42,4264.
Geschiedenis van de Wiskunde
32
3.1.9 – Opdracht 30
Bestudeer het algoritme en voer “stap 3” uit voor het geval √2. Als je dat correct hebt gedaan, vindt
je dat (a3)² slechts 2 .
De derde stap van het algoritme voor het geval √2 gaat als volgt:
Deel a2 op A;
√% ligt tussen a2 en A/a2.
1
)
&
2
12 24
7
2!
1 .
2
17 17
17
(
' √2 ' 1 .
&
(
Neem het gemiddelde van a2 en *.
A3 = ! +1
Deze benadering is wat te groot
(a3)² =+ , /.
Q.E.D.
&(.
&(
(
1 ,
(
0
+/. /., 1 /.
&(( 1100
·
2
.
In de laatste regel van de tabel zien we dat a3 slechts (=0,00006007) verschilt van 2.
Geschiedenis van de Wiskunde
33
3.1.10 – Opdracht 35
Stel dat √2 wel gelijk is aan de verhouding van twee gehele getallen. Dus √2 =
2
3
waarbij de teller t
en de noemer n gehele getallen zijn. Veronderstel nu ook dat die breuk niet verder te
vereenvoudigen is, dus t en n zijn de kleinste gehele getallen waarvoor de gelijkheid geldt. Bekijk nu
het onderstaande vierkant met zijde n; de diagonaal zou volgens de veronderstelling de lengte t
hebben.
a) Er volgt nu dat ² en dus ook t een even getal moet zijn. Leg uit waarom dit zo is.
b) Uit de bewering is a volgt dat de halve diagonaal (=s) ook een geheel getal is. Er volgt echter
3
ook: √2 = 4 . Waarom is dat zo en waarom is dat in tegenspraak met de veronderstelling die
aan het begin is gemaakt?
Uitwerking:
a)
² ² ². Dus t² is even. Omdat een even getal maal een even getal altijd weer even is, is
dus ook t even. Immers een even getal maal een even getal levert nooit een oneven getal o,
maar altijd een even.
567 7
8 , 7
: ;67
8 2
.
567 7
< , 7
: ;67
< 2.
Dan geldt dus : 8 < 2
2 2
. Dus is er een getal z, namelijk (a+b) zodat
x + y =2z. Dus x + y is even. Ook geldt dat een oneven getal maal een oneven getal een
oneven getal oplevert.
b) Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, geldt dat ² ² ². En dit is n = s√2.
3
Delen we beide zijden door s, dan levert dit op: √2 = 4 . Dit is echter in tegenspraak met de
eerste veronderstelling dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is. Bij een breuk van de
waarde n/s is dit wel zo, en hebben we dus een tegenspraak met onze veronderstelling dat
de eerste breuk niet verder te vereenvoudigen is.
Geschiedenis van de Wiskunde
34
3.1.11 – Opdracht 37
Van twee getallen is de som 58 en het product is 741. Bereken die getallen met de Babylonische
methode.
Voor de oplossing gaan we eerst een vierhoek maximaliseren, dit wordt het een vierkant met zijden
&.
29. (want de som van 29 + 29 = 58). Daarnaast moet gelden dat het product van de
vermenigvuldiging van de zijden 741 is.
Uit deze twee gegevens gaan we nu de vergelijking volgens de Babylonische manier oplossen.
We stellen daarbij: 8 29 7 < 29 7, (met d>0). Het product 8< 741.
Hieruit volgt dan: 29² - d² = 741 841-d²= 741 d² = 841 – 741 d² = 100 en
d= √100 10.
Het grootste getal is nu dus: 29 + 10 = 39 en het kleinste getal is 29 – 10 = 19.
3.1.12 – Opdracht 43
Los 8 op zijn Babylonisch op uit:
a) 88 12 925 @: < 8 12.
b) 8 208 1056.
Uitwerking:
a) 8 12 <. CD 6: < 8 12. < : 6 8 : 6.
Hieruit volgt: g² - 36 = 925 g² = 925 + 36 g² = 961 g = 31 (immers 31² = 961).
En dus: 8 31 6, ;67
8 25.
b) 8 208 1056. F
: 88 20 1056.
10 10 1056.
8 10 :G : 10 10 20 1056,
² 10 10 100 1056, H ² 100 1056 ' ² 1156 ' 34.
Nu volgt nog: 8 34 10, 8 24.
Geschiedenis van de Wiskunde
35
3.1.13 – Opdracht 52
Vat 8² 8 op als een vergelijking met onbekende 8. De ‘constanten’ a,b en c stellen positieve
getallen voor.
a) Druk de oplossing van deze vergelijking uit in a,b en c. Gebruik hierbij dezelfde Babylonische
methode als in de vorige twee opgaven.
b) Vergelijk het resultaat met de bekende a,b,c-formule voor de algemene oplossing van de
tweede-graadsvergelijking. Waarin verschilt het resultaat van vraag a met die formule? Hoe
verklaar je dat?
Uitwerking:
a) Als we beide kanten vermenigvuldigen krijgen we: (ax)² +b(ax) =ac. We stellen nu: < 8.
De vergelijking wordt dan: < < . ' << . Neem vervolgens voor
< I , J
D 6: 7
< I , 7
IK: J:
I² ² H I L ² .
F :G : y = 8 =L ² , (middels invullen in: < I .
Beide zijden delen door a geeft: 8 M
N
M
Q
L O²*P O
*
. Indien we vervolgens de teller en noemer
nog vermenigvuldigen met 2 en onder de wordtel met 4, dan krijgen we:
8
O√OQ *P
.
*
b) Bij de Babylonische oplossing krijgen we een oplossing omdat de negatieve getallen
ontbreken. In de door ons gebruikte abc-formule wordt onder het wortelteken gerekend
met: b² - 4ac. Dit moet ook wel, want de abc-formule geeft de oplossing van de
tweedegraadsvergelijking waarvan de algemene formule luidt: ax² + bx + c = 0. In ons
voorbeeld wordt de vergelijking: ax² + bx – c = 0 opgelost!.
Het verschil met de Babylonische formule is daarom het –teken.
Geschiedenis van de Wiskunde
36
3.1.14 – Opdracht 53
Los dit bovenstaande Oud-Babylonische
Babylonische vraagstuk op.
Als de hoogte met 6 afneemt,en de lengte van de balk blijft gelijk, dan is deze balk over een afstand
van verschoven. We krijgen dan dus de vergelijking:
Geschiedenis van de Wiskunde
37
3.1.15 – Opdracht 56
De bovenstaande tekst behandelt de berekening van de oppervlakte van een (gelijkbenig) trapezium.
Ga nauwkeurig de (meetkundige) betekenis na van elke stap en controleer de berekening.
berekeni Hoe zou jij
deze oplossing opgeschreven hebben?
Stappencontrole:
30 maal 30 = 900 ( =10 * 60 + 5*60= 15:00)
Verschil evenwijdige zijden is : 50-14
50 14 =30, verdeeld over twee driehoeken is per driehoek 18. 18 maal
18 =324 ( 5*60=300+24 = 324 (dus 5:24 klopt).
15:00 – 5:24 = 9:36. (9*60 =540 + 36 = 576.
50 + 14 = 64 (= 1:04)
64/2 = 32. Dit vermenigvuldigen met de hoogte (24) geeft een oppervlakte van 768. (=
12*60+48=12:48)
Het trapezium wordt verdeeld in een
een rechthoek, waarvan de breedte 14 is en twee congruente
rechthoekige driehoeken. De horizontale zijden van de driehoeken zijn samen 50 – 14 = 36. Per
driehoek dus een zijde van 18. Toepassing van Pythagoras geeft de hoogte van het trapezium:
De oppervlakte van het trapezium berekenen we als volgt: helft van de
hoogte maal de som van de evenwijdige zijden.
Dat is:
Geschiedenis van de Wiskunde
38
Mijn oplossing zou zijn geweest:
50 – 14 = 36/2 = 18.Vervolgens de linkerdriehoek onder de rechterdriehoek plaatsen, waardoor de
lengte van de evenwijdige boven en onderkant worden: 50 – 18 = 14 + 18 = 32.
Voor de oorspronkelijke driehoek zou ik nog met Pythagoras de derde zijde uitgerekend hebben: a² +
b² = c², met de gegevens: 18² + b² = 30² b² = 900-324 b² = 576 b =√576 24.
Oppervlakte van de rechthoek is dan 24 x 32 = 768.
3.1.16 – Opdracht 59
Voor een gelijkbenig trapezium met evenwijdige zijden a en b en met basishoeken van 45° is de
Babylonische stelling vrij eenvoudig te bewijzen. Denk je in dat je zo’n trapezium maakt door een
rechthoekige plank aan twee kanten verstek te zagen. Van vier congruente planken die op die manier
gezaagd zijn kun je dan een lijst maken voor een vierkant schilderij. Maak een tekening van zo’n lijst
en teken daarin ook de vier lijnen R die de trapeziumvormige onderdelen ‘eerlijk’ verdelen. Er zijn
dan drie vierkanten in je tekening te zien.
Gebruik deze vierkanten om te bewijzen
dat:
R² S T.
Uitwerking:
8 8 28² ² ²
1
8² 2
Geschiedenis van de Wiskunde
39
3.2 – Praktische opdracht
Praktische opdracht : 3H/V: BABYLONISCHE WISKUNDE
De komende twee klokuren gaan jullie in groepjes van drie aan de slag met een opdracht over de
Babylonische wiskunde. Je krijgt hiervoor ook een cijfer.
Beschikbare middelen:
Boeken uit de mediatheek;
Je i-pad, waarmee je dingen op internet kunt opzoeken;
Algemene info vooraf:
Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een
ander getallenstelsel dan die wij kennen. Toch is er een link met een specifieke getalsnotatie die wij
ook gebruiken. Met het door de Babyloniërs gehanteerde getallenstelsel drukten zij hun getallen uit
in positiestelsel.Dat houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het
symbool.
Hoe het spijkerschrift eruit ziet gaan jullie zelf uitzoeken. Ook gaan jullie een aantal opdrachten
uitvoeren, die je met behulp van dit spijkerschrift gaat maken.
Resultaat:
Van deze opdracht maak een je verslag (in Word), waaraan de volgende eisen worden gesteld:
•
•
Het verslag heeft een inleiding, waarin je een relatie legt tussen de Babylonische wiskunde
en de hedendaagse wiskunde.
Ook geef je een uitwerking van de volgende (deel)opdrachten:
Opdracht 1:
Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift.
a. Geef mbt foto’s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de
eerste 59 getallen;
b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: 95 + 63 en ook in de transcriptie
(als sexagesimaal getal).
c. Bereken de volgende sexagesimale getallen:
1:35
1:03+
2:38
1:22+
10:34
5:59+
10:34
5:59-
………
………
…………
…………
Geschiedenis van de Wiskunde
40
Opdracht 2:
Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld,
waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse
wiskundetaal.
Opdracht 3:
De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse
filosoof/wiskundige werd genoemd.
a. Wie was deze Griekse wiskundige;
b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar
beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand.
Bronvermelding;
Hier vermeldt je welke bronnen je hebt gebruikt. Let op: alleen www.wikipeadia.nl volstaat niet.
Kopieer de volledige url.
Beoordeling:
Deze opdracht wordt beoordeeld op:
•
•
•
•
•
•
Onderzoeksvaardigheden tijdens de les;
Vakinhoudelijke vaardigheden (vaardigheid om wiskundige berekeningen uit te voeren);
Verzorging van de verslaglegging;
samenwerking;
uitvoering van de opdrachten;
Bronvermelding en gebruik.
We wensen jullie veel succes en plezier met deze praktische opdracht!
Mevrouw B. van der Dussen, en de heren P.A. Oosterhuis en H.J. Polman,
Docenten Wiskunde van het
G-10 College
G-10 College
Zernikeplein 10
9747 AS GRONINGEN
Geschiedenis van de Wiskunde
41
G-10
10 College
G-10
10 College
Zernikeplein 10
9747 AS GRONINGEN
Beoordelingsmodel praktische opdracht Babylonische
wiskunde:
Opdracht 1:
Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift.
a. Geef mbt foto’s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de
eerste 59 getallen:
eerste 59 getallen;
b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: 95 + 63 en ook in de transcriptie
(als sexagesimaal getal (zie c 1))
1)
+
1:35
.
+ 1:03
Geschiedenis van de Wiskunde
=
()
=
2:38
()
42
c. Bereken de volgende sexagesimale getallen:
1:35
1:03+
2:38 ( )
2:38
1:22+
4:00( )
10:34
5:59+
16:33 ( )
10:34
5:594:35 (
)
Opdracht 2:
Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld,
waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse
wiskundetaal.
Bijvoorbeeld:
() of
of
waarbij de berekening (algebraïsch) wordt weergegeven.() (zie de uitwerkingen van de opdrachten
16, 27 & 59 van C1).
Opdracht 3:
De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse
filosoof/wiskundige werd genoemd.
a. Wie was deze Griekse wiskundige; Antw: Pythagoras (van Samos)
b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar
beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand.
Stel de lengte van het riet op 8. F
6: : 8 3 9² 8² 7D: 8 15.
Verduidelijking met tekening.
Geschiedenis van de Wiskunde
43
Cijfermatige beoordeling van deze praktische opdracht:
Uitvoering van de opdrachten;
20 punten:
13 OB
IT
Berekening (deelcijfer): Aantal punten/20 x 9 +1.
Verslaglegging en samenwerking: (O = 4; V=6; G=8)
O / V/ G: Onderzoeksvaardigheden tijdens de les;
O / V/ G: Verzorging van de verslaglegging;
O / V/ G: samenwerking;
O/ V/ G: Bronvermelding en gebruik.
Berekening deelcijfer: (O + V+G+V)/4 deelcijfer verslag
Bijvoorbeeld: 4 + 6 + 8 + 6 = 24/4 = 6
Berekening eindcijfer:
(deelcijfer Uitvoering opdrachten + deelcijfer Verslaglegging)/2 = Eindcijfer
Geschiedenis van de Wiskunde
44