Opgaven - VTK Gent

HOOFDSTUK 2.
VERZAMELINGEN, RELATIES EN
FUNCTIES
Opgaven
verzamelingen, relaties en functies
1.
2.
3.
Toon aan :
a)
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
b)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
c)
(A È B)c = Ac Ç Bc
d)
A Ì B Û Bc Ì Ac
Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties,
surjecties zijn :
a)
f : Z ® Z : z a z+2
b)
f : N ® N : n a n+2
c)
f : N ® N : n a n3 – 3n2 – n
d)
f : R ® R : r a r3 – 3r2 – r
e)
f : Q ® Q : q a q2 – 1
Waar of niet waar ? Motiveer.
a)
Als twee verzamelingen A en B eindig zijn, dan is ook A Ç B eindig.
b)
Als twee verzamelingen A en B eindig zijn, dan is ook A È B eindig.
c)
Als twee verzamelingen A en B oneindig zijn, dan is ook A Ç B oneindig.
d)
Als twee verzamelingen A en B oneindig zijn, dan is ook A È B oneindig.
e)
Als twee verzamelingen A en B aftelbaar zijn, dan is ook A Ç B aftelbaar.
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.1
4.
f)
Als twee verzamelingen A en B aftelbaar zijn, dan is ook A È B aftelbaar.
g)
Als twee verzamelingen A en B aftelbaar zijn, dan is ook A \ B aftelbaar.
h)
Als twee verzamelingen A en B overaftelbaar zijn, dan is ook A Ç B overaftelbaar.
i)
Als twee verzamelingen A en B overaftelbaar zijn, dan is ook A È B overaftelbaar.
j)
Als twee verzamelingen A en B overaftelbaar zijn, dan is ook A \ B overaftelbaar.
Beschouw twee concentrische schijven in het vlak
C1 = { (x,y) Î R2 | x2+y2 £ 1 }
C2 = { (x,y) Î R2 | x2+y2 £ 2 }
Is het mogelijk om via een bijectie de ene schijf op de andere af te beelden ? Indien ja, geef
een voorbeeld van zo’n bijectie. Indien niet, motiveer.
Indien de randen van de schijven worden weggelaten (‘<’ i.p.v. ‘£’), is dit dan nog steeds
mogelijk ? Motiveer.
5.
*Toon aan dat Q een aftelbare verzameling is. [Hint : Schrijf alle rationale getallen op in een
tweedimensionale tabelvorm (met oneindig veel rijen en kolommen) en doorloop deze tabel op
zo’n manier dat er een bijectie tussen N en Q ontstaat.]
6.
Is Q2 een aftelbare verzameling ? Motiveer.
7.
Beschouw de verzameling van alle complexe getallen die een nde machtswortel zijn van 1 :
V = { c Î C : $ n Î N 0 : cn = 1 }
Is deze verzameling eindig, aftelbaar of overaftelbaar ?
8.
*Toon aan dat de volgende verzamelingen aftelbaar zijn :
a)
de verzamelingen van alle binaire bestanden (i.e. computerbestanden, waarvan de inhoud
enkel bestaat uit 0en en 1en)
b) de verzameling van alle computerprogramma’s die men kan schrijven in JAVA
9.
Stel dat R een symmetrische relatie is in een verzameling A. Toon aan dat Rn (i.e. R o R o …
o R, de samenstelling van n keer de relatie R) ook symmetrisch is ("nÎN).
10.
Hoeveel transitieve relaties zijn er in een verzameling met n elementen bij n=1, n=2, n=3 ?
11.
Beschouw de verzameling van alle woorden in het Nederlands (geschreven met enkel de 26
kleine letters van het alfabet, dus zonder hoofdletters en speciale karakters). Welk type relatie
is de relatie “… komt alfabetisch voor …” in deze verzameling ?
getaltheorie en modulorekening
12.
Bepaal het aantal priemgetallen kleiner dan 100 m.b.v. de zeef van Eratosthenes.
13.
Hoeveel nullen staan er op het einde van 1000! (=1000×999×998×…×2×1) ?
14.
Stel dat men alle natuurlijke getallen van 1 t.e.m. 1000000 opschrijft, hoeveel nullen heeft men
dan geschreven ?
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.2
15.
*Toon aan dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. [Hint: stel dat het aantal priemgetallen
eindig zou zijn, bekijk dan het product van alle priemgetallen ® in die buurt is er ander
priemgetal)
16.
Bepaal :
17.
a)
ggd(22×33×55, 25×33×52)
b)
ggd(22×33×44, 24×33×42)
c)
ggd(14921492×14931493, 14921493×14931492)
Om te bepalen of een jaar al dan niet een schrikkeljaar is, wordt de volgende regel gehanteerd :
§
Regel 1 : een jaartal dat een 4-voud is, is een schrikkeljaar.
§
Regel 2 (uitzondering op regel 1) : een jaartal dat een 100-voud is, is geen schrikkeljaar.
§
Regel 3 (uitzondering op regel 2) : een jaartal dat een 400-voud is, is wel een
schrikkeljaar.
Formuleer deze regels als congruenties. Hoeveel schrikkeljaren waren er volgens deze regel in
totaal van het jaar 1 t.e.m. 2000. Wat is de gemiddelde lengte van een jaar (omwenteling
aarde rond zon) uitgedrukt in dagen (omwenteling aarde om as) ?
18.
*
Toon aan :
m
m’
" a,b,c,mÎZ (met m>1) : a×c = b×c Þ a = b waarbij m’ =
19.
20.
m
.
ggd (m, c)
Zoek de oplossingen van de volgende lineaire congruenties (x Î Z) :
17
a)
3x = 4
b)
3x = 4
c)
3x = 9
d)
13x = 9
e)
207x = 6
f)
259x = 5
g)
0x = 2
h)
7x = 5
i)
7x = 2
j)
222x = 12
15
15
25
18
11
11
256
1
18
Zoek de oplossingen van volgende diophantische vergelijkingen ((x,y) Î Z´Z):
a)
9x+16y = 35
b)
13x-5y = 12
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.3
21.
c)
56x-91y = 23
d)
56x-91y = 21
e)
13x-78y = 11
Zoek de oplossingen van volgende stelsels van lineaire congruenties (x Î Z) :
a)
b)
ì
ïx
ï
ïï
íx
ï
ï
ïx
îï
3
=1
5
=2
7
=3
ì
ï3x
ï
ïï
í3x
ï
ï
ï2 x
îï
9
=6
5
=2
7
=3
ì 2
ïx 6
ï
5
ïï
í 2x 1
ï
ï 7
ï2 x 3
îï
=
c)
=
=
d)
22.
ì
ï3x
ï
ïï
í3x
ï
ï
ï2 x
îï
9
=2
5
=2
4
=0
*Beschouw het stelsel
ì m1
ïx = a1
ïï m 2
íx = a 2
ï ...
ï mn
îï x = a n
(*)
waarbij m1, m2, …, mn echter niet noodzakelijk onderling ondeelbaar zijn (in tegenstelling tot
de Chinese reststelling uit de theoriecursus). De oplossingen van een dergelijk stelsel worden
als volgt gevonden.
a)
m
Een vergelijking zoals x = a is equivalent met een stelsel vergelijkingen van de vorm
n
x =i a, 1 £ i £ t,
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.4
waarbij
ni = p i e i
en
m = p1e1 × ... × p t e t
de priemfactorontbinding is van m en t het aantal verschillende priemfactoren is van m.
Bewijs dit !
b) Op de in a) beschreven manier kan elke vergelijking van het stelsel (*) omgevormd
worden, zodat we een stelsel bekomen waarbij alle moduli priemgetallen of machten van
priemgetallen zijn. Het is evenwel nog mogelijk dat sommige priemgetallen in meerdere
vergelijkingen als modulus-priemdeler voorkomen, bv.
ì p e1
ï x = a1
í p e2
ïx = a
2
î
Vind een manier om dit stelsel van 2 (of algemeen 2 of meer) congruenties om te vormen
tot één congruentie (of een contradictie te detecteren).
Na b) is het stelsel omgevormd tot een stelsel van congruenties waarbij alle moduli onderling
ondeelbaar zijn, zodat via de Chinese reststelling alle oplossingen kunnen bepaald worden.
23.
Zoek de oplossingen van volgende stelsels van lineaire congruenties (x Î Z) :
ì 9
ï2x 10
ï
3
ïï
í 2x 1
ï
7
ï
ï 2x 3
ïî
=
a)
=
=
ì 3
ï2 x 2
ï
ïï 2
íx 1
ï
ï 6
ï2 x 2
îï
=
b)
=
=
ì 3
ï2 x 2
ï
ïï 2
íx 1
ï
ï 6
ïx 1
îï
=
c)
=
=
24.
m
Hoeveel gehele oplossingen m heeft de lineaire congruentie 140701 = 107041 ?
25.
Voor welke priemgetallen p heeft onderstaande vergelijking in x een oplossing ?
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.5
p2
(p+2)×x = 15
26.
*Zoek een positief natuurlijk getal waarvoor de helft een kwadraat is, een derde is een derde
macht en een vijfde is een vijfde macht. Bepaal tevens een algemene gedaante voor alle
getallen die aan deze eigenschap voldoen.
27.
Bereken (zonder rekenmachine!) de rest na deling van 21492 door 15.
28.
Bepaal de periode van de pseudorandom generator xn+1 = 5×xn + 3 mod 10 met x0 = 0. Hangt
deze periode af van de keuze van x0 Î N ? Wat zou je veranderen aan de gekozen parameters
(a = 5, c = 3, m = 10, x0 = 0) om de periode te verhogen (zonder m = 10 te wijzigen) ?
29.
Bepaal de gedaante van de getallen a = 123456 en b = 654321 in het residu-talstelsel met
moduli 99, 97, 95 en 94. Bepaal in dit talstelsel a+b en a×b.
30.
Wat wordt de boodschap ‘om negen uur in het park’ indien men gebruik maakt van Caesar’s
encryptiemethode waarbij k=2 ? Welke k werd gebruikt bij de terugkerende boodschap
‘gpshfu ju’ ?
31.
*(IBM-wedstrijd) Een groep van 7 rovers heeft een enorme schat aan parels buitgemaakt.
Terwijl de rovers slapen, wordt één van hen ongerust. Hij verdeelt de parels in 7 gelijke
stapeltjes, waarbij 1 parel overblijft. Hij neemt 1 van de zeven stapels mee, voegt de andere 6
terug samen, legt de overblijvende parel bij de slapende kameeldrijver en verdwijnt in de
nacht. Even later wordt een volgende rover wakker en doet net hetzelfde : hij verdeelt de
(overblijvende) parels in 7 stapeltjes waarbij 1 parel overblijft, neemt 1 van de zeven stapels,
enz… Dit verloop herhaalt zich : de rovers worden één voor één wakker, ze hebben geen weet
van elkaar en elk neemt het in zijn ogen rechtmatig deel. Tot slot wordt de kameeldrijver
wakker, ziet dat alle rovers verdwenen zijn en neemt de overblijvende buit mee. Hoeveel
parels bevat deze overblijvende buit, als je weet dat de oorspronkelijke buit minder dan één
miljoen parels bevatte ?
HOOFDSTUK 2
VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES
2.6