Toets Natuurkunde 1 - science.uu.nl project csg

Toets Moderne Natuurkunde
Succes!
Opgave 1 De buckybal
Naast diamant en grafiet als zuivere vorm van koolstof is er in 1985
een derde vorm ontdekt: het koolstofmolecuul C60. Dit molecuul
heeft dankzij zijn aparte vorm al snel de naam voetbalmolecuul
gekregen, zie figuur 1. De officiële naam is buckminsterfullereen,
genoemd naar de architect Buckminster die in de bouwkunst werkte
met dezelfde structuren, maar vrijwel iedereen spreekt over de
buckybal. Sindsdien wordt er door wetenschappers allerlei onderzoek
gedaan naar de eigenschappen en toepassingen van dit bijzondere
molecuul.
Zo is ondermeer bepaald dat de diameter van een buckybal 7,0·10-10 m
is.
3p
1□
Figuur 1
Toon met behulp van een berekening aan dat de massa van een buckybal 1,20·10-24 kg
bedraagt.
Buckminsterfullereen is een uiterst stabiel molecuul en heeft in verhouding met andere
moleculen een grote bindingsenergie, te weten 422 eV.
Een interessant experiment waarover in oktober 1999 in het toonaangevende tijdschrift voor
natuurwetenschappen Nature wordt gerapporteerd, is een interferentieproef met de
buckyballen. Dit molecuul is tot dan toe het meest massieve en complexe materiële object
waarvan het golfkarakter is waargenomen.
De opstelling waarmee de proef werd uitgevoerd is in figuur 2 getekend. De bundel
moleculen gaat eerst door een enkele spleet met een breedte van 10 μm, na 1,04 m weer door
eenzelfde spleet, waarachter een tralie is opgesteld met een tralieconstante van 100 nm. De
spleetbreedte van de tralie bedraagt 50 nm. Op 1,25 m achter het tralie wordt het
interferentiepatroon gedetecteerd.
De meest voorkomende snelheid waarmee de moleculen bewegen is 220 m/s.
Figuur 2
Volgens de regels van de wereldvoetbalbond behoort een standaard voetbal een diameter van
22 cm en het doel een breedte van 732 cm te hebben.
3p
2□
Laat zien dat de verhouding van de objecten uit de voetbalwereld in orde van grootte goed
overeenkomt met de verhouding van de relevante onderdelen uit het natuurkunde experiment.
3p
3□
Licht toe waarom we tijdens voetbalwedstrijden geen
rekening hoeven te houden met het golfkarakter van de
voetbal.
3p
4□
Bereken de De Broglie golflengte van de
buckyballen.
Het interferentiepatroon dat ontstaat is afgebeeld in het
bovenste diagram in figuur 3. Het 0e orde maximum en
beide 1e orde maxima zijn duidelijk waarneembaar.
5p
5□
Bepaal de De Broglie golflengte van de buckyballen
nogmaals, maar nu met behulp van deze resultaten.
Figuur 3
Wat betreft de toepassingen van de buckyballen kijken we naar eigenschappen op
macroscopisch niveau. Deze worden bepaald door de structuur van de buckyballen op
microscopisch niveau.
In een artikel in De Volkskrant van 8 juni 1991 wordt een overzicht gegeven van structuur
van de stoffen diamant, grafiet en buckyballen. Deze staan in die volgorde naast elkaar in
figuur 4.
Figuur 4
In diamant is elk koolstof atoom in een regelmatige ruimtelijke structuur verbonden met zijn
naburen. Hieraan ontleent diamant zijn hardheid en is zodoende bijzonder geschikt om boren
van te maken, de diamantboor. In grafiet daarentegen zijn de koolstof atomen in de vorm van
honingraten in vlakken aan elkaar gekoppeld. Deze vlakken zijn laagsgewijs gestapeld en
glijden gemakkelijk over elkaar heen. Grafiet is daardoor uitstekend als smeermiddel te
gebruiken.
4p
6□
Verklaar met behulp van de structuur van de buckyballen of ze:
1. harder of zachter zijn dan diamant
2. slechter of beter geschikt zijn als smeermiddel.
Opgave 2 Het spectrum van langgerekte moleculen
In bepaalde typen organische kleurstoffen kunnen sommige elektronen over een groot deel
van de lengte van het molecuul vrij bewegen. Het spectrum van dergelijke stoffen kan met
enig succes voorspeld worden met behulp van het model van een quantumdeeltje in een
ééndimensionale doos. Dit is eigenaardig, omdat de beweging van de elektronen in feite
natuurlijk is beperkt tot een weliswaar langgerekte, maar toch zeker driedimensionale
ruimte. Daarom moet onderzocht worden waaraan het eendimensionale model zijn
bruikbaarheid ontleent.
Rekening houdend met drie dimensies kan de kinetische energie van een deeltje is
geschreven worden als
E = ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m
Een quantumdeeltje wordt nu opgesloten in een
driedimensionale kubus met ribben L.
3p
1□
Leg uit dat de kinetische energie nu gegeven wordt
door de formule:
E = ( nx2 + ny2 + nz2 ) h2 / 8mL2
Voor het gemak wordt verder aangenomen dat de
factor h2 / 8mL2 een waarde heeft van 1,00 eV.
3p
2□
Maak een energieniveau-schema van de vijf laagste (verschillende) energieniveaus voor dit
systeem.
2p
3□
Leg uit dat het spectrum van het deeltje dat is opgesloten in een driedimensionale kubus
duidelijk verschilt van het spectrum van een deeltje in een eendimensionale doos.
Een langgerekte doos heeft energieniveaus die duidelijk verschillen van die van een kubus.
De doos die nu beschouwd wordt heeft in de x-richting nog steeds dezelfde lengte L, maar in
de y- en de z-richting een lengte van 0,100 L.
3p
4□
Leg uit dat de energieniveaus voor deze doos worden gegeven door:
E = ( nx2 + 100 ny2 + 100 nz2 ) h2 / 8mL2
3p
5□
Maak ook voor dit systeem een energieniveau-schema van de vijf laagste (verschillende)
energieniveaus.
4p
6□
Leg uit hoe het mogelijk is, dat het model van een quantumdeeltje in een ééndimensionale
doos goede voorspellingen geeft voor het berekenen van het spectrum van sommige
langgerekte moleculen.