Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Uitgangspunten

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen
Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek
Mei 2004
Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen
De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof en de keuzeonderwerpen omschreven in het “Eindrapport Commissie Instellingspakket Lineaire Algebra” (12 januari
2001). In dit rapport is ook een paragraaf opgenomen met een aanbeveling over de toetsvorm.
Daarin wordt geadviseerd om een tentamen te laten bestaan uit een deel met acht korte antwoordvragen (goed voor 4 punten), en een deel met open vragen (goed voor 5 punten). In de
praktijk blijken de tentamina echter qua opzet, moeilijkheidsgraad en type opgaven nogal uiteen
te lopen.
Om de tentamens – op een verantwoorde manier – meer te laten overeenkomen, pleiten we
er voor om de verantwoordelijke docenten binnen de groepen Design, Construction en Science
bij het opstellen van tentamens te laten samenwerken. Van belang is hierbij dat men bij deze
tentamens aan de hieronder omschreven (aanbevolen) uitgangspunten probeert te voldoen. Deze
zijn opgesteld met betrekking tot
A. De opzet van een tentamen Lineaire Algebra
B. De organisatie rond het opstellen van een tentamen
C. Een databank van tentamenopgaven met uitwerkingen.
Aanbevelingen met betrekking tot de opzet van een tentamen Lineaire Algebra
Om de uniformiteit te waarborgen bevelen wij de volgende punten aan:
• In elk tentamen een opgave opnemen waarin naar drie definities gevraagd wordt.
Tip: Bij uitwerkingen van een tentamen (op Blackboard) de volledige definitie tonen om
te laten zien wat er van de studenten verwacht wordt en niet volstaan met een verwijzing
naar het boek.
• In elk tentamen een opgave opnemen waarin van drie beweringen gevraagd wordt ze te
bewijzen dan wel te weerleggen.
In het werkschema en bij behandeling tijdens colstructie aandacht geven aan dit soort
opgaven. Doel ervan is dat studenten vaardig met begrippen en eigenschappen kunnen
omgaan en exacte (logische) afleidingen kunnen geven.
• Bovenstaande twee opgaven (met in totaal zes onderdelen) bepalen 25% van het eindcijfer.
1
• Wat betreft de rest van het tentamen. Uitgangspunt is dat het tentamen opgaven bevat van
dezelfde aard en moeilijkheidsgraad als de opgaven uit het werkschema waarmee studenten
tijdens de cursus aan de slag gaan.
Suggesties:
1. Om het genoemde uitgangspunt handen en voeten te geven: bij de meeste opgaven
moet in principe expliciet een verwijzing gegeven kunnen worden naar vraagstukken
uit het werkschema die vergelijkbaar zijn met de gestelde opgave.
2. Een opgave liefst focussen op één of twee te toetsen onderdelen.
3. Zoveel mogelijk vermijden dat identieke rekenvaardigheden meerdere keren voorkomen.
4. Aandeel aan rekenwerk behoorlijk beperkt houden [in weinig stappen tot gereduceerde
echelonvorm, kleine matrices], handigheidjes vermijden (bijvoorbeeld bij bepaling van
determinanten, nulpunten van karakteristieke vergelijking). Accent op juiste keuze
en correcte toepassing van rekenmethode.
NB. Rekenwerk betreft in wezen niet veel meer dan: vegen tot gereduceerde echelonmatrix; eigenwaarden en eigenvectoren bepalen; determinant uitrekenen; inproduct;
Gram Schmidt; matrixproduct uitrekenen.
Simpel voorbeeld: Een opgave waarin het toepassen van rijbewerkingen wordt getoetst,
een andere opgave waarin het bepalen van de basis voor een kolom- of nulruimte wordt
getoetst waarbij de echelonvorm, waarmee de matrix rijequivalent is, al is uitgerekend en
wordt aangeboden.
• Tenminste één opgave is duidelijk op toepassing van de lineaire algebra gericht, dat wil
zeggen kleinste-kwadratenmethode, differentievergelijkingen, (differentiaalvergelijkingen,
kwadratische vormen). In dergelijke opgaven kan eventueel de optie worden ingebouwd
om met de grafische rekenmachine onderdelen uit te werken. Ervaringen met en werkwijze
rond het tentamen bij LR (juni 2004) zijn wellicht interessant in deze.
• Normering: Een gelijke normering gebaseerd op 50 punten voor een tentamen.
Aanbevelingen met betrekking tot de organisatie rond het opstellen van een
tentamen
Uitgaan van drie groepen [zie ook Analyse] die voor wat betreft de basisstof vergelijkbare tentamens opstellen:
• Design-groep (Bk, IO, TB, TI)
• Construction-groep (CT, LR, ST, TA, WbMT)
• Science-groep (ET, TNW, TW)
Elke groep op zich probeert voor wat betreft de basis (kern)stof tentamenopgaven op te stellen
van hetzelfde niveau dan wel uit eenzelfde “voorraad” aan opgaven te putten. Wij hebben
hiertoe voorbeelden bij elkaar gebracht van ons inziens geschikte tentamenopgaven (die aan
bovenstaande uitgangspunten voldoen). Tevens hebben we een voorbeeldtentamen opgesteld
(groep Design).
2
Suggestie: Bij de uitkomsten/uitwerkingen ten behoeve van de studenten, per opgave verwijzen
naar een overeenkomstige opgave uit het werkschema meegeven.
Kanttekeningen:
• Door uiteenlopende tentamenformats, met name: 2 uurs voor aparte delen [kwartalen]
dan wel 3 uurs tentamina [semester], wel/geen multiple choice of kort antwoordvragen,
wel/geen bonus/quizz systemen, zal in de praktijk het laten samen vallen van tentamina
niet zo eenvoudig realiseerbaar zijn.
• Wij vermoeden dat het verschil in moeilijkheidsgraad en type van opgaven tussen de
Construction- en Science-groep wel eens duidelijk groter zou kunnen zijn, dan tussen de
Design- en Construction-groep [nog eens versterkt door de accenten op keuze-onderwerpen
die een aparte behandeling krijgen (eigen dictaat ed)].
Databank met tentamenopgaven en uitwerkingen
Suggestie: Laat een databank ontstaan met tentamenopgaven, in LATEX ingevoerd en volgens
een format die het mogelijk maakt om naar believen een tentamen op te stellen door uit de
databank opgaven (met bijbehorende uitwerkingen/uitkomsten) [stukjes LATEX] te plukken - en
daar eventueel wat kleine variaties in aan te brengen. Joost geeft aan dat er vrij snel een format
voor een LATEX-document in elkaar is te zetten waarmee relatief eenvoudig tentamens samen
te stellen zijn, door middel van verwijzingen naar opgaven uit de databank. Hij kan dit idee
desgewenst verder toelichten.
Tentamenvoorbeeld
Op de volgende bladzijden geven we een voorbeeld van een twee-uurstentamen voor de designgroep over de stof van één kwartaal.
3
Technische Universiteit Delft
Faculteit voor Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
Mekelweg 4, Delft
Voorbeeldtentamen Lineaire Algebra voor de Design groep, deel 1
tijdsduur: twee uur.
ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD.
1. Vul de volgende definities aan:
(2)
(a) S = {v1 , . . . , vp } is een verzameling vectoren uit Rn . Onder Span(S) verstaat men . . .
(2)
(b) Onder een basis voor een deelruimte H van Rn verstaat men . . .
(2)
(c) Matrix A is orthogonaal als . . .
2. Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet waar is. Beargumenteer
uw antwoord.
(2)
(2)
(2)
(a) Als de rang van een m × n matrix A gelijk is aan m, dan is Ax = b oplosbaar voor iedere
b uit Rn .
(b) {u, u + v, 2u + v} is een lineair onafhankelijke verzameling.
(c) Als A en B vierkante matrices van gelijke afmetingen zijn, dan geldt algemeen: (A − B)2 =
A2 − 2A B + B 2 .
3. Gegeven is het volgende stelsel vergelijkingen
⎧
⎨
−2x1 + 4x2 −
⎩
− 2x2 +
x1
in de onbekenden x1 , x2 , x3 en x4 :
2x3 + 7x4 = −2
7x3
=
1 .
3x3 − x4 =
0
(2)
(a) Veeg de bij dit stelsel behorende aangevulde coëfficiëntenmatrix tot gereduceerde echelonvorm.
(2)
(b) Geef de algemene oplossing van dit (consistente) stelsel.
(1)
(c) Hoeveel oplossingen heeft het bijbehorende homogene stelsel vergelijkingen?
(1)
(2)
4. De matrix A is rijequivalent met matrix F
⎡
⎤
⎡
⎤
2 −4 0 2 1
1 −2 0 1 1/2
2 1 2 3 ⎦ ∼ ⎣ 0
0 1 3 7/2 ⎦ = F.
A = ⎣ −1
1 −2 1 4 4
0
0 0 0
0
⎡
⎤
1
⎢ 1 ⎥
⎥
(a) Behoort de vector ⎢
⎣ −3 ⎦ tot Nul A?
1
(b) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A.
(1)
(c) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A.
(2)
(d) Heeft Ax = b voor elke b uit R3 een oplossing?
4
(1)
(5)
(2)
5. (a) Welke vector in R3 heeft homogene coördinaten ( 12 , −2, 23 , 14 )?
(b)
(i) Bepaal de 3 × 3 matrix die gebruik makend van homogene coördinaten de 2D transformatie beschrijft die roteert over 60◦ (tegen de klok in) met (6, 8) als rotatiecentrum.
(ii) Bepaal het beeld van punt (1, 2) onder de bovengenoemde 2D transformatie.
6. Gegeven zijn de volgende vectoren
⎡ ⎤
⎡
1
0
⎢ 1 ⎥
⎢ 4
⎥
⎢
a1 = ⎢
⎣ 0 ⎦ , a2 = ⎣ 1
1
−1
⎤
⎡
⎥
⎥,
⎦
⎤
1
⎢ 5 ⎥
⎥
a3 = ⎢
⎣ 1 ⎦,
0
⎡
⎤
5
⎢ −3 ⎥
⎥
b=⎢
⎣ 7 ⎦
4
(2)
(a) Toon aan dat {a1 , a2 } een basis is van W = Span{a1 , a2 , a3 }.
(2)
(b) Bepaal, met behulp van Gram-Schmidt, een orthogonale basis voor W .
(2)
(c) Bepaal een orthogonale projectie van de vector b op W .
(2)
(d) Is de kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b uniek? (dit is te beantwoorden zonder de
kleinste-kwadratenoplossing te bepalen).
7. [GR] Een zeker fysisch probleem wordt gemodelleerd door de vergelijking y = Ae3t + Be−t .
Verder zijn gegeven de (x, y)-data (−1, 0.6), (1, 16) en (2, 322). A en B worden bepaald met
behulp van de kleinste kwadraten methode.
(3)
(a) Geef de design-matrix, de parameter -vector en de observatie-vector.
(3)
(b) Bereken met je grafische rekenmachine A en B.
• Zonder GR
Bereken (door toepassing van de kleinste kwadraten methode) β0 en β1 zo dat de grafiek
van y = β0 + β1 x zo goed mogelijk aansluit bij de punten (−1, 0), (0, 1), (1, 2) en (2, 4).
Opgave 1 2 3 4 5 6 7
Punten 6 6 5 6 8 8 6 (+5 = 50)
5
Voorbeelden van tentamenopgaven
In de nu volgende verzameling zijn voorbeeldopgaven opgenomen over de basisstof zoals die omschreven is in het “Eindrapport Commissie Instellingspakket Lineaire Algebra” van 12 januari
2001 en die voldoen aan de uitgangspunten zoals die geformuleerd zijn in het rapportje ”Tentamina Lineaire Algebra Cursussen”. Tevens zijn enkele voorbeeldopgaven opgenomen over keuzeonderwerpen (lineaire afbeeldingen, algemene vectorruimten, inwendig productruimten, kwadratische vormen en definiete matrices), die bij veel opleidingen worden gekozen. Voorbeeldopgaven
over keuzeonderwerpen (zoals numerieke methoden, stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen,
de singuliere-waardendecompositie en de vectorruimte Cn ) die minder vaak worden gekozen zijn
achterwege gelaten.
Bij de opgaven is steeds aangegeven voor welk niveau (Design-, Construction- en/of Sciencegroep) deze geschikt zijn.
Sommige opgaven zijn alleen geschikt als bepaalde accenten zijn aangebracht tijdens de cursus, zoals bijvoorbeeld opgaven over de toepassing van determinanten bij oppervlakte- en volumeberekeningen of over het maximum/minimum van een kwadratische vorm onder bepaalde
voorwaarden.
Kort antwoord vragen
1. 3 definitie-vragen. Op basis van 50 punten 2 punten per onderdeel. Voorbeelden.
Vul de volgende definities aan:
()
Als S = {v1 , . . . , vp } een verzameling vectoren uit Rn is, dan geldt Span(S) = . . .
()
De verzameling vectoren {v1 , . . . , vp } is lineair onafhankelijk als . . .
()
Een afbeelding T : Rn → Rm is een lineaire afbeelding (transformatie) als . . . .
()
Een deelruimte van Rn is een verzameling H van vectoren uit Rn waarbij aan de volgende
eigenschappen wordt voldaan: . . .
()
Zij U een deelruimte van de vectorruimte V (van Rn ). De verzameling {b1 , . . . , bn } is een
basis voor U als . . . .
()
Laat B = {b1 , . . . , bn } een basis zijn voor Rn en x ∈ Rn . De B-coördinaten van x zijn . . .
()
De dimensie van een deelruimte H van Rn (met H = { 0}), is . . .
()
De kolomruimte van een matrix A is . . .
()
De nulruimte van een matrix A is . . .
()
De rang van een matrix A is per definitie gelijk aan . . .
()
Twee vectoren u en v uit Rn zijn orthogonaal als . . .
()
Laat W een verzameling vectoren uit Rn zijn. W ⊥ , het orthogonaal complement van W , is
dan . . .
()
Een matrix A is orthogonaal als . . .
()
Zij A een m × n-matrix en b ∈ Rm . Een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b is . . .
()
Een eigenvector van een (vierkante) matrix A is . . .
()
Een getal λ is een eigenwaarde van een matrix A als . . .
()
Een (vierkante) matrix A is diagonaliseerbaar als . . .
()
Een (vierkante) matrix A is orthogonaal diagonaliseeerbaar als . . .
()
Een kwadratische vorm Q op Rn is indefiniet als . . .
6
2. 3 onderdelen. 2 punten per onderdeel. Uitspraken waarvan waarheid dan wel onwaarheid moet
worden aangegeven, met korte beargumentatie. Voorbeelden.
Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet waar is. Beargumenteer
je antwoord.
Design, Construction, Science
()
Als de rang van een m × n-matrix A gelijk is aan m, dan is Ax = b oplosbaar voor iedere
b uit Rn .
()
Een stelsel lineaire vergelijkingen met twee verschillende oplossingen heeft oneindig veel
oplossingen.
()
Als p een oplossing is van Ax = b en q een oplossing is van Ax = 0, dan is p + αq voor
elke α ∈ R een oplossing van Ax = 0.
()
Als A en B vierkante matrices zijn, dan geldt algemeen: (A − B)2 = A2 − 2A B + B 2 .
()
Als A en B inverteerbare matrices van gelijke afmetingen zijn, dan is A + B ook inverteerbaar.
()
{u, u + v, 2u + v} is een lineair onafhankelijke verzameling.
()
Als {u, v, w, z} lineair onafhankelijk is, dan zijn u, v, w en z geen vectoren in R3 .
()
w is een vector van Span{u, u + v, u + v + w}.
()
Gegeven is dat {v1 , . . . , vp } een lineair onafhankelijke verzameling vectoren is (p > 1). Dan
is {v1 , . . . , vp−1 } ook lineair onafhankelijk.
()
Gegeven is dat W = Span{v1 , . . . , vp }. Dan geldt ook W = Span{v1 , . . . , vp+1 }.
x
De verzameling van vectoren
uit R2 met de eigenschap x y > 0 is een deelruimte van
y
R2 .
()
()
De verzameling {(x, y) | x ≥ 0 en y ≥ 0} is een lineaire deelruimte van R2 .
⎡ ⎤
x
⎣
De verzameling van vectoren y ⎦ uit R3 met de eigenschap x+3y−z = 0 is een deelruimte
z
3
van R .
()
Als A een 6 × 5-matrix is, dan is Col(A) een deelruimte van R5 .
()
Als W = Span{v1 , . . . , v3 } en v4 ∈ W , dan is {v1 , . . . , v4 } lineair afhankelijk.
()
Als T : Rn → Rm een surjectieve (dus “onto”) lineaire afbeelding is, dan moet gelden:
m > n.
()
Als A een m × n-matrix is en de rang van A is m, dan is de lineaire afbeelding x → Ax
injectief (dus “one-to-one”).
x1
x1 − 3x2
2
2
=
is een lineaire afbeelding.
De afbeelding T : R → R met T
x2
x1 x2
Gegeven is dat A en B inverteerbare matrices zijn. Als A C B = D, dan geldt C =
A−1 B −1 D.
()
()
()
()
Als twee vectoren orthogonaal zijn, dan vormen ze een lineair onafhankelijk tweetal vectoren.
()
Als u − v2 = u2 + v2 , dan u ⊥ v.
()
Als x ∈ W en ook x ∈ W ⊥ , dan x = 0.
()
Als U orthonormale kolommen heeft, dan geldt U U T = I.
7
()
()
Als A vierkant is en orthonormale kolommen heeft, dan heeft A ook orthonormale rijen.
⎡
⎤
1
1 −1
De matrix ⎣ 1 −1
1 ⎦ is een orthogonale matrix.
0
2
1
()
Als U een vierkante matrix is met det U U T = 1, dan geldt det U = ±1.
()
det AT A ≥ 0.
()
Als det A = 2 en det B = 3, dan geldt det(A + B) = 5.
()
Als v1 en v2 twee lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn van matrix A, dan horen ze bij
verschillende eigenwaarden.
()
Als de n × n-matrix A n verschillende eigenwaarden heeft, dan is A diagonaliseerbaar.
()
Matrix A is niet inverteerbaar dan en slechts dan als 0 een eigenwaarde is van A.
()
Als λ = 0 een eigenwaarde is van een inverteerbare matrix A, dan is λ−1 eigenwaarde van
A−1 .
()
Als n × n-matrix A diagonaliseerbaar is, dan heeft A n verschillende eigenwaarden.
()
Als 6 × 6-matrix A precies twee verschillende eigenwaarden heeft en elke eigenruimte is
3-dimensionaal, dan is A diagonaliseerbaar.
()
Elke eigenwaarde van A is ook eigenwaarde van A2 .
()
Gelijkvormige matrices hebben precies dezelfde eigenwaarden.
()
De som van twee eigenvectoren van matrix A is ook een eigenvector van A.
()
Als A en B inverteerbaar zijn, dan is AB gelijkvormig met BA.
Construction, Science
()
Als A2 inverteerbaar is, dan is A ook inverteerbaar
()
Als de vierkante matrices A en B rij-equivalent zijn, dan zijn hun determinanten gelijk.
()
Voor elke matrix A geldt rang(A) = rang(AT ).
()
{1 + 2t, −3 + 2t2 , 2 − t2 } is een basis voor P2 .
()
Als P een inverteerbare projectiematrix is, dan P = I.
()
Als A en B positief definiete symmetrische matrices zijn, dan is A + B ook een positief
definiete symmetrische matrix.
Science
()
Als voor de matrices A en B geldt dat AB inverteerbaar is, dan zijn A en B inverteerbaar.
()
In de vectorruimte van reëelwaardige functies met domein R nemen we de deelruimte
W = Span{1, cos2 x, sin2 x, cos 2x, sin 2x, sin x cos x}.
Dan geldt dim W = 3.
()
De afbeelding T : M3×3
⎡
⎤
1
→ R3 gedefinieerd door T (A) = A ⎣ 1 ⎦ is lineair.
1
8
()
⎡
⎤⎡
⎤⎡
1 1
1
2 0 0
1 1
1
⎣ 1 0 −1 ⎦ ⎣ 0 2 0 ⎦ ⎣ 1 0 −1
2 1
1
0 0 5
2 1
1
⎡
⎤⎡
−1 1 0
5 0 0
⎣ 1 0 1 ⎦⎣ 0 2 0
−1 1 1
0 0 2
⎤−1
⎦
=
⎤⎡
⎤−1
−1 1 0
⎦⎣ 1 0 1 ⎦ .
−1 1 1
()
Elke vierkante reële matrix heeft tenminste één reële eigenwaarde.
()
De uitdrukking
x, y
= 2x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 − x1 y3 − x3 y1
definieert een inwendig product op R3 .
()
De kwadratische vorm Q : R3 → R wordt gedefinieerd door
Q(x) = −2x21 − 2x22 − 13x23 + 2x1 x2 + 6x1 x3 + 4x2 x3 .
Er bestaat een x zo dat Q(x) = 1.
9
Stelsels
Design, Construction, Science
3. Gegeven is het volgende stelsel vergelijkingen
⎧
⎨
−2x1 + 4x2 −
⎩
− 2x2 +
x1
in de onbekenden x1 , x2 , x3 en x4 :
2x3 + 7x4 = −2
7x3
=
1 .
3x3 − x4 =
0
(a) Geef de algemene oplossing van dit stelsel.
(b) Hoeveel oplossingen heeft het bijbehorende homogene stelsel vergelijkingen?
(c) Kan men de getallen -2, 1, 0 rechts van de gelijktekens zodanig wijzigen dat het resulterende
stelsel strijdig is?
(d) Men voegt de vergelijking x3 = x4 toe aan het hierboven gegeven stelsel. Hoeveel oplossingen heeft dit nieuwe stelsel van 4 vergelijkingen?
4. Beschouw het stelsel vergelijkingen
⎧
⎨ x1 − 2x2 + 5x3 = 0
3x1 − x2 + 7x3 = β .
⎩
5x2 + αx3 = 12
(a) Veeg de aangevulde matrix die bij dit stelsel hoort tot echelonvorm.
(b) Voor welke waarde(n) van α en β is het stelsel strijdig?
(c) Voor welke waarde(n) van α en β heeft het stelsel oneindig veel oplossingen?
(d) Voor welke waarde(n) van α en β heeft het stelsel precies één oplossing?
(e) Bepaal de oplossing in het geval dat α = β = 2.
Construction, Science
5. Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen:
⎧
x2 −
x3 = −1
⎨ x1 +
2x3 =
2
x1 + αx2 +
⎩
β
x1 + αx2 + (α + 6)x3 =
(α, β ∈ R).
(a) Voor welke α heeft dit stelsel precies één oplossing?
(b) Voor welke α heeft dit stelsel geen oplossing?
(c) Voor welke α heeft dit stelsel oneindig veel oplossingen?
(d) Los dit stelsel op voor α = −4 en β = 2.
6. Gegeven zijn de volgende matrix en vector:
⎤
⎡
1 3
1
1
A = ⎣ 2 3α 2 −1 ⎦
4 6α α2 α
⎡
en
10
⎤
0
b=⎣ 3 ⎦
β
(α, β ∈ R).
(a) Voor welke waarden van α en β heeft Ax = b géén oplossingen?
(b) Los het stelsel Ax = b op voor α = 2 en β = 2.
11
Vectoren
Construction, Science
7. Gegeven zijn vier vectoren t, u, v en w in R3 , waarbij t zowel in Span{u, v} als in Span{v, w}
ligt. Verder is {u, v, w} lineair onafhankelijk.
Laat zien dat t een scalair veelvoud is van v.
8. Gegeven is de matrix
⎤
1 3
1
1
A = ⎣ 2 3α 2 −1 ⎦ .
4 6α α2 α
⎡
Leg uit zonder te rekenen: Voor iedere α ∈ R zijn de kolommen van de matrix A afhankelijk.
12
Matrixalgebra
Design, Construction, Science
9. Gegeven zijn de matrices
A=
1 −1
2
0
1 −1
,
B=
5
5
−1 −1
⎡
en
⎤
1 1 0
C = ⎣ 3 1 2 ⎦.
5 1 4
(a) Bereken (zo mogelijk) de matrices AAT , AB en BA + C.
(b) Bepaal alle matrices X zodanig dat AX = B.
(c) Bepaal alle matrices Y zodanig dat Y A = C.
(d) Is C inverteerbaar?
Construction, Science
10. Gegeven is de matrix:
⎤
3
1
−1
A=⎣ 6
a
−a ⎦ .
−12 −2a a2
⎡
Voor welke waarden van a is A inverteerbaar?
Science
11. Zij A een m × n-matrix waarbij matrices B en C bestaan zo dat AB = I en CA = I.
(a) Wat zijn de afmetingen van B en van C?
(b) Toon aan: Ax = 0 heeft precies één oplossing.
[Aanwijzing: Gebruik de gegevens; een pivotargument werkt niet!]
(c) Toon aan: Ax = b heeft voor elke b ∈ Rm tenminste één oplossing.
[Aanwijzing: Gebruik de gegevens; een pivotargument werkt niet!]
(d) Toon aan: A is vierkant.
[Aanwijzing: Gebruik (b) en (c) en een pivotargument.]
13
Lineaire afbeeldingen (behoort niet tot basisstof)
Design, Construction, Science
12. Gegeven is de matrix
⎤
1 3
1
1
A = ⎣ 2 3α 2 −1 ⎦ .
4 6α α2 α
⎡
Voor welke waarden van α is de afbeelding T : R4 → R3 gedefinieerd door T (x) = Ax surjectief
(dus “onto”)?
13. De lineaire afbeelding T : R2 → R2 spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het
resultaat daarna in de x-as. Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding.
14. Is de afbeelding T : R3 → R2 gedefinieerd door T (x1 , x2 , x3 ) = (π 2 x1 + 3x2 , x22 + x3 ) een lineaire
afbeelding?
15. Is de lineaire afbeelding T : R4 → R3 gedefinieerd door T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 + x4 , x3 +
x4 , x1 + x2 + x3 + 2x4 ) injectief (dus “one-to-one”)? En surjectief (dus “onto”)?
14
Deelruimten van Rn
Design, Construction, Science
16. De matrix A is rijequivalent met matrix F
⎡
⎤
⎡
⎤
2 −4 0 2 1
1 −2 0 1 1/2
2 1 2 3 ⎦ ∼ ⎣ 0
0 1 3 7/2 ⎦ = F.
A = ⎣ −1
1 −2 1 4 4
0
0 0 0
0
(a) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A.
(b) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A.
(c) Heeft Ax = b voor elke b uit R3 een oplossing?
Alternatieven voor (c) kunnen zijn:
• Laat zien dat Ax = b géén oplossing heeft als b = [2 0 3]T . Toon dit aan zonder de
matrixvergelijking op te lossen.
• Er is gegeven dat b = −2a3 + a5 (waarbij A = [a1 a2 . . . a5 ]). Geef alle oplossingen van de
matrixvergelijking Ax = b.
• Er geldt dat de dimensie van de kolomruimte van A gelijk is aan de dimensie van de
kolomruimte van AT . Wat is de dimensie van de nulruimte van AT ?
17. Beschouw het vlak V gegeven door de vergelijking 2x1 + 3x2 − x3 = 0. Toon aan dat V een
deelruimte van R3 is.
18. Gegeven is de n × n-matrix A en de verzameling W = {x ∈ Rn |Ax = −3x}. Bewijs dat W een
lineaire deelruimte is van Rn .
Construction, Science
19. Gegeven zijn de matrix A en de vectoren v1 en v2 :
⎡ ⎤
⎡
⎤
1
1
0
3
⎣
⎣
⎦
A = −1
1 −1 , v1 = 0 ⎦
1
2 −1
4
⎡
en
⎤
2
v2 = ⎣ −1 ⎦ .
3
(a) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A.
(b) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A.
(c) Is {v1 , v2 } een basis voor Col A?
Alternatieven voor (c) kunnen zijn:
• Laat zien dat (−1, 4, −5) tot Col A behoort en bepaal de coördinaten t.o.v. de basis B =
{v1 , v2 } voor Col A;
• Laat zien dat de kolomruimte van A en Span {v1 , v2 } gelijk zijn?
•
Science Zijn de kolomruimte van A en Span {v1 , v2 } hetzelfde?
15
Algemene vectorruimten (geen basisstof)
Design, Construction, Science
20. Laat B = {b1 , b2 } de basis voor R2 zijn, waarbij
−1
1
en b2 =
.
b1 =
8
−5
2
.
(a) Bepaal y als gegeven is dat [y]B =
−1
1
.
(b) Bepaal [x]B als gegeven is dat x =
1
(c) Geef de overgangsmatrix PB .
21. Gegeven is dat B = {b1 , b2 } en C = {c1 , c2 } basis zijn voor R2 , waarbij
−1
1
1
1
, b2 =
, c1 =
en c2 =
.
b1 =
8
−5
4
1
(a) Bepaal de overgangsmatrix P van de basis B naar de basis C.
C←B
(b) Bepaal de overgangangsmatrix P van C naar B.
B←C
(c) Bepaal [x]C als x = −3b1 + 4b2 .
22. De lineaire afbeelding T : R2 → R2 spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het
resultaat daarna in de x-as.
(a) Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding.
1
1
Neem nu B =
,
als basis voor R2 .
1
0
(b) Bepaal de matrix [T ]B van T ten opzichte van de basis B.
Construction, Science
⎡
23. Neem
⎡
⎢
⎢
b1 = ⎢
⎢
⎣
1
−4
0
1
1
⎤
⎥
⎥
⎥,
⎥
⎦
⎤
0 0 −1
2 −2
A=⎣ 3 1
4 −1
2 ⎦,
1 1
1
1
2
⎡
⎤
⎡
⎤
−1
−2
⎢ −5 ⎥
⎢ −1 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥ en
b2 = ⎢ 2 ⎥ , c1 = ⎢
2
⎢
⎥
⎣ 2 ⎦
⎣ 1 ⎦
1
0
⎡
⎢
⎢
c2 = ⎢
⎢
⎣
(a) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A.
(b) Laat zien dat B = {b1 , b2 } een basis voor de nulruimte van A is.
16
3
−3
−2
0
1
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎦
Een tweede basis voor de nulruimte van A is C = {c1 , c2 }.
(c) Bepaal de overgangsmatrix P van de basis B naar de basis C.
C←B
(d) Bepaal de coördinaten van v = (19, −13, −14, −2, 5) ten opzichte van de basis B (dus bepaal
[v]B ) en bepaal daarna [v]C met behulp van de bij (c) gevonden matrix.
24. In R3 zijn de bases B = {b1 , b2 , b3 } en C = {c1 , c2 , c3 } gegeven, waarbij b1 = c1 − c2 , b2 =
−c1 + c2 + c3 en b3 = c2 − 2c3 . Bepaal [x]B als x = 3c1 + 4c2 + c3 .
25. Gegeven is een onafhankelijk stelsel vectoren {b1 , . . . , bk } in Rn . Toon aan dat als x ∈ Rn een
lineaire combinatie is van de vectoren uit stelsel {b1 , . . . , bk }, zeg x = c1 b1 + . . . + ck bk , dat
dan de gewichten c1 , . . . , ck uniek zijn bepaald.
26. Voor i = 1, 2, 3 definiëren we de functies fi : R → R door f1 (x) = 1 (voor alle x), f2 (x) = cos2 x
en f3 (x) = sin x cos x. Definieer verder V = Span{f1 , f2 , f3 }. Gegeven is dat B = {f1 , f2 , f3 }
een basis voor V is (dit hoef je dus niet te bewijzen).
De functie g : R → R wordt gedefinieerd door g(x) = cos 2x en de lineaire afbeelding T : V → V
door T (f ) = f + f .
(a) Laat zien dat g element van V is en bepaal de coördinaten van g t.o.v. de basis B (dus
bepaal [g]B ).
[Aanwijzing: cos 2x = cos2 x − sin2 x.]
(b) Bepaal de matrix [T ]B van T t.o.v. de basis B.
(c) Bepaal [T (g)]B .
17
Orthogonale projecties
Design, Construction, Science
27. Gegeven zijn de volgende vectoren
⎡ ⎤
⎡
1
0
⎢ 1 ⎥
⎢ 4
⎥
⎢
a1 = ⎢
⎣ 0 ⎦ , a2 = ⎣ 1
1
−1
⎤
⎡
⎥
⎥,
⎦
⎤
1
⎢ 5 ⎥
⎥
a3 = ⎢
⎣ 1 ⎦,
0
⎡
⎤
5
⎢ −3 ⎥
⎥
b=⎢
⎣ 7 ⎦.
4
(a) Toon aan dat {a1 , a2 } een basis is van W = Span{a1 , a2 , a3 }.
(b) Bepaal, met behulp van Gram-Schmidt, een orthogonale basis voor W .
(c) Bepaal een orthogonale projectie van de vector b op W .
Laat A = [ a1 a2 a3 ].
(d) Is de kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b uniek? (dit is te beantwoorden zonder de
kleinste-kwadratenoplossing te bepalen).
Alternatieven voor (d) kunnen zijn:
• Bereken b − Ae1 en b − Ae2 en laat zien dat e2 geen kleinste-kwadratenoplossing kan
zijn van Ax = b.
• Bepaal een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b. Dit kan hier met weinig rekenwerk
door gebruik te maken van onderdeel (c).
28. Gegeven zijn de volgende deelruimte van R4 en vectoren:
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤⎫
⎡
⎤
1
1
1 ⎪
−3
⎪
⎪
⎪
⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎬
⎢
⎥
3 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎥ , b=⎢ 1 ⎥
V = Span ⎢
,
,
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
1
1
1 ⎪
−1 ⎦
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
0
1
−1
6
⎡
en
⎤
1
⎢ −1 ⎥
⎥
p=⎢
⎣ 1 ⎦.
2
(a) Laat zien dat p de orthogonale projectie van b op V is.
(b) Geef een vector z die loodrecht op V staat.
(c) Geef twee verschillende vectoren ongelijk aan b waarvan de orthogonale projectie gelijk is
aan p.
29. Gegeven zijn de volgende matrix en vector:
⎡
⎤ ⎡
1 2 3
5
1
⎢ 2 2 4
⎥ ⎢ 0
2
⎥∼⎢
B=⎢
⎣ 2 2 4
6 ⎦ ⎣ 0
1 0 1 −1
0
2
1
0
0
3
1
0
0
⎤
5
4 ⎥
⎥
1 ⎦
0
⎡
en
⎤
5
⎢ 8 ⎥
⎥
b=⎢
⎣ 0 ⎦.
9
(a) Bepaal een basis voor Col(B) en geef, door toepassing van Gram-Schmidt op deze basis,
een orthogonale basis voor Col(B).
18
(b) Geef een matrix U met orthonormale kolommen waarvan de kolomruimte gelijk is aan de
kolomruimte van B. Is U een orthogonale matrix?
(c) Bepaal die vector w in Col(B) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze
afstand.
(d) Geef een vector, ongelijk aan b en ongelijk aan w, waarvan de orthogonale projectie op
Col(B) gelijk is aan w.
(e) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(B).
30. Hoeveel kleinste-kwadratenoplossingen heeft het stelsel Ax = b als
⎡
⎤
1 1 2
A = ⎣ 1 0 1 ⎦?
2 1 3
31. Bereken (door toepassing van de kleinste-kwadratenmethode) β0 en β1 zo dat de grafiek van de
functie y = β0 + β1 2x zo goed mogelijk aansluit bij de punten (0, 0), (1, 6) en (2, 4).
32. Gegeven zijn de volgende matrix en vectoren
⎡
⎤
⎡ ⎤
1 −1 2
0
⎣
⎦
⎣
A=
3 −2 4 , b = 1 ⎦ ,
−2 −1 2
1
⎡
⎤
−1
p=⎣ 1 ⎦
1
⎡
en
⎤
1
q = ⎣ 1 ⎦.
0
Bereken Ap en Aq en beredeneer vervolgens, zonder de kleinste-kwadratenmethode te gebruiken,
welke van de vectoren p en q onmogelijk een kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b
kan zijn.
33. Beschouw de ’puntenwolk’ : (0, 1), (1, 6), (4, 3) en (9, 12) in het (x, y)-vlak.
√
(a) Bepaal de kleinste-kwadratenkromme van de vorm y = γ1 + γ2 x die deze ’puntenwolk’
het best benadert.
Gegeven is dat y = 2 + x de kleinste-kwadratenlijn is die deze ’puntenwolk’ het best benadert.
(b) Welke van deze benaderingen is beter en waarom?
[Aanwijzing: denk aan de kleinste-kwadratenfout.]
Construction, Science
⎡
1
⎣
34. Neem A = 0
1
(a) Bepaal een
⎤
⎡ ⎤
1 2
1
⎦
⎣
1 1 en b = 1 ⎦.
1 2
5
kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b.
(b) Bepaal de orthogonale projectie van b op de kolomruimte van A.
(c)
(i ) Leg uit hoe de matrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A gevonden kan worden (je hoeft P dus niet uit te rekenen!).
(ii) Wat is de meetkundige betekenis van P x voor x ∈ R3 ?
35. Beschouw de punten P = (6, −1, 2), Q = (4, −1, 0) en R = (1, −2, 1) in de ruimte en het vlak V
gegeven door de vergelijking 2x1 + 3x2 − x3 = 0.
19
(a) Bereken de oppervlakte van driehoek P QR.
(b) Bepaal een orthogonale basis voor V .
(c) Bepaal de afstand van het punt P tot het vlak V .
36. Gegeven zijn
⎛
⎞
1 0
A=⎝ 0 1 ⎠
1 1
⎛
⎞
2
en b = ⎝ 3 ⎠ .
2
(a) Bereken een QR-ontbinding van de matrix A.
(b) Bepaal een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b.
(c) Bepaal de (orthogonale) projectie van b op Col A, de kolomruimte van A.
Science
37. Laat B = {b1 , b2 , b3 } een orthogonale basis voor een inwendig productruimte V zijn met b1 =
b2 = 2 en b√
3 = 3. Laat verder x een vector in V zijn met [x]B = (−1, 1, 2). Bewijs of
weerleg: x = 6.
20
Determinanten
Design, Construction, Science
38. Gegeven de n × n-matrices A en B met det A = 3 en det B = −2.
(a) Bepaal det(B −1 A).
T
(b) Bepaal det(3B ).
(c) Hoeveel oplossingen heeft A25 x = 0?
39. Beschouw de vectoren
⎡
⎤
2
a = ⎣ 1 ⎦,
−1
⎡
⎤
3
b = ⎣ −3 ⎦
5
⎡
en
⎤
−4
c = ⎣ −2 ⎦ .
p
(a) Bepaal die waarde(n) van p waarvoor het volume van het parallellepipedum opgespannen
door de drie vectoren a, b en c gelijk is aan 27.
(b) Voor welke waarde(n) van p is de matrix A = [ a b c ] inverteerbaar?
40. Beschouw de punten P = (−2, 3), Q = (1, 5), R = (5, 4) en S = (3, −1) in het platte vlak.
Bereken de oppervlakte van vierhoek P QRS met behulp van determinanten.
41. Gegeven is de matrix
⎤
1 a b+c
A = ⎣ 1 b a +c ⎦.
1 c a+b
⎡
Laat met behulp van veegoperaties zien dat det(A) = 0.
Construction, Science
42. Gegeven zijn 4 × 4-matrices A en B met det(A) = 3 en det(−A−1 B) = 2. Bepaal det(B).
43. De n × n-matrix U heeft de eigenschap dat U T U = I en dat det(U −1 ) < 0. Bepaal det(U ) en
det(2U ).
44. Gegeven zijn de punten A = (−1, −1), B = (2, −4) en C = (1, 5) in het platte vlak. Bepaal met
behulp van determinanten alle punten D = (0, y) op de y-as zodanig dat de oppervlakte van
driehoek ABD gelijk is aan de oppervlakte van driehoek BCD.
21
Eigenvectoren en eigenwaarden
Design, Construction, Science
⎡
⎤
4 −1 6
45. Beschouw de matrix A = ⎣ 2
1 6 ⎦. Gegeven is dat 2 en 9 eigenwaarden zijn van A.
2 −1 8
(a) Bepaal bases voor de eigenruimten behorende bij de eigenwaarden 2 en 9.
(b) Heeft matrix A nog andere eigenwaarden? Leg uit.
(c) Waarom is A diagonaliseerbaar? Is A orthogonaal diagonaliseerbaar?
(d) Diagonaliseer matrix A (d.w.z. geef een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat A =
P DP −1 ).
(e) Beschouw de lineaire afbeelding T : R3 → R3 met T (x) = Ax. Geef een basis B voor R3
waarbij de B-matrix voor de transformatie T een diagonaalmatrix is. Wat is de bijbehorende
matrix [T ]B ?
46. Gegeven een 8 × 8-matrix A met eigenwaarden -1, 3 en 7. Voor de eigenruimten E−1 en E3
geldt: dim E−1 = 5 en dim E3 = 2.
(a) Wat is dim E7 ?
(b) Geef de (algebraı̈sche) multipliciteit van elke eigenwaarde.
(c) Waarom is A gelijkvormig met een diagonaalmatrix D?
(d) Toon aan dat det A = det D en bereken hiermee det A.
(e) Laten v en w eigenvectoren zijn van A bij respectievelijk eigenwaarden -1 en 3. Toon aan
dat v + w geen eigenvector kan zijn van A bij eigenwaarde 7.
47. Gegeven zijn de volgende symmetrische matrix B en drie vectoren v1 , v2 en v3 :
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
−2
−1
−1
1 −1
4
B = ⎣ −1
1 −4 ⎦ , v1 = ⎣ 2 ⎦ , v2 = ⎣ 3 ⎦ en v3 = ⎣ 1 ⎦ .
1
1
−4
4 −4 16
(a) Toon aan dat de drie vectoren v1 , v2 en v3 eigenvectoren van B zijn en bepaal de bijbehorende eigenwaarden.
(b) Waarom is A diagonaliseerbaar?
(c) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat B = P DP −1 .
(d) Bepaal een orthogonale diagonalisering van de matrix B.
48. Gegeven zijn de volgende matrix en vectoren:
⎡
⎤
⎡ ⎤
−4 −1
3
1
A = ⎣ 1 −2 −3 ⎦ , b = ⎣ 2 ⎦
−1 −1
0
1
⎡
en
⎤
1
c = ⎣ −1 ⎦ .
1
(a) Welke van de vectoren b en c is (zijn) eigenvector(en) van de matrix A en welke niet?
Waarom?
22
(b) Laat zien dat 0 en −3 de enige eigenwaarden van A zijn. Geef ook de algebraı̈sche multipliciteit van deze eigenwaarden.
(c) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte.
(d) Is A diagonaliseerbaar? Zo ja, bepaal een diagonalisering van A (d.w.z. geef een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D zo dat A = P DP −1 ). Zo nee, waarom niet?
(e) Bepaal de oplossing van de differentievergelijking xk+1 = Axk als x0 = b.
23
Construction, Science
49. Gegeven zijn de volgende matrices:
⎡
⎤
1
1
1
P =⎣ 1
2 −2 ⎦
1 −3
1
⎡
en
⎤
0
0
0
D = ⎣ 0 −2
0 ⎦.
0
0 −2
Verder is A = P DP −1 . Beantwoord de volgende vragen zonder A uit te rekenen! Geef argumenten!
(a) Wat zijn de eigenwaarden van A? Geef ook de algebraı̈sche multipliciteiten.
(b) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte.
(c) Waarom is A symmetrisch?
(d) Welke van de volgende eigenschappen heeft A wel en welke niet: positief definiet, positief
semidefiniet, negatief definiet, negatief semidefiniet, indefiniet? Beargumenteer!
(e) Is A een projectiematrix?
(f) Is A gelijk aan RCR−1 als
⎡
⎤
1 −1
0
R = ⎣ 2 −1
1 ⎦
−3 −1 −3
50. De matrix A is gefactoriseerd in de
⎡
4
⎣
P = −3
0
⎡
en
⎤
−2 0
0
C=⎣ 0 0
0 ⎦?
0 0 −2
vorm P DP −1 met
⎤
⎡
⎤
3 0
5
0 0
4 0 ⎦ en D = ⎣ 0 −1 0 ⎦ .
0 2
0
0 2
(a) Bepaal de eigenwaarden van A en bepaal de eigenruimten van A.
(b) Laat, zonder A uit te rekenen, zien dat de matrix A symmetrisch is.
(c) Geef een spectraalontbinding van de matrix A.
(d) Is de matrix A inverteerbaar? Zo ja, geef een diagonalisering van A−1 .
Science
51. Gegeven is dat A een symmetrische 3 × 3-matrix is met
⎧⎡
⎤ ⎡ ⎤⎫
1
1 ⎬
⎨
Nul(A − I) = Span ⎣ −1 ⎦ , ⎣ 2 ⎦ .
⎩
⎭
1
4
Verder is gegeven dat det(A) = 0.
(a) Leg uit dat A de eigenwaarden 0 en 1 heeft. Geef ook de algebraı̈sche multipliciteiten.
(b) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte.
(c) Bestaat er een symmetrische matrix B zo dat A = B T B? Zo ja, geef aan hoe B gevonden
kan worden. Zo nee, waarom niet?
[Aanwijzing: Probeer de diagonaalmatrix D van een orthogonale diagonalisering van A te schrijven als
D = C 2 = C T C]
24
52. Zij A een nilpotente n × n-matrix (d.w.z. er is een k zo dat Ak = 0).
(a) Toon aan: A heeft slechts de eigenwaarde nul.
(b) Toon aan: Als A = 0 dan is A niet diagonaliseerbaar.
(c) Geef een voorbeeld van een nilpotente matrix ongelijk aan de nulmatrix.
53. Laat u ∈ Rn een vector met lengte 1 zijn. Definieer H = In − 2uuT .
(a) Toon aan: u is een eigenvector van H bij de eigenwaarde −1.
(b) Toon aan: Als x ⊥ u dan is x een eigenvector van H bij de eigenwaarde 1.
(c) Toon aan: 1 en −1 zijn de enige eigenwaarden van H.
25
Inwendig product ruimten (geen basisstof)
Science
54. Op de vectorruimte van alle continue functies op het interval [0, 1] nemen we het inwendig
product
1
f (x)g(x) dx.
f, g
=
0
(a) Bepaal de afstand tussen de functies p(x) = x en q(x) = x2 .
(b) Bepaal een orthogonale basis voor Span{p, q}.
(c) Bepaal de functie g(x) = ax + bx2 (a, b ∈ R) die de functie f (x) = x3 op het interval [0, 1]
(met betrekking tot dit inwendig product) het best benadert.
55. (a) Op P2 , de vectorruimte van polynomen met graad 2 of minder, definiëren we
p, q
= p(0)q(0) + p(1)q(1).
Waarom is dit geen inwendig product op P2 ?
De uitdrukking
p, q
= p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
definieert wel een inwendig product op P2 (dit hoef je niet aan te tonen!). We beschouwen de
polynomen
p1 (x) = x2 − 2x, p2 (x) = 2x − 3 en p(x) = 3x2 − 4x − 3.
(b) Bepaal een orthogonale basis voor Span{p1 , p2 }.
(c) Bereken de orthogonale projectie van p op Span{p1 , p2 }.
26
Kwadratische vormen en definiete matrices
Zie ook opgave 49
Design, Construction, Science
56. Gegeven zijn de volgende kwadratische vormen op R3 :
Q1 (x) = x21 + x22 + 2x1 x3 + 2x2 x3
en
Q2 (x) = −(x1 + 2x2 )2 − 3(x2 − 4x3 )2 .
(a) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q1 : positief definiet, negatief definiet, positief
semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet?
(b) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q2 : positief definiet, negatief definiet, positief
semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet?
(c) Bepaal het maximum M van Q1 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal een
eenheidsvector x zo dat Q1 (x) = M .
(d) Bepaal het minimum m van Q1 (x) onder de voorwaarde dat xT x = 1 en bepaal een eenheidsvector x zo dat Q1 (x) = m.
57. Gegeven is de matrix
A=
3 −1
−1
3
en de kwadratische vorm Q(x) = xT Ax.
(a) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q: positief definiet, negatief definiet, positief
semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet?
(b) Geef een orthogonale matrix P , zo dat voor de verandering van variabele x = P u geldt dat
de kwadratische vorm Q geen kruisproducten meer bevat. Geef de vorm zonder kruisproducten.
(c)
Construction, Science Schets de niveaukromme Q(x) = 1. Van welke coördinatentransformatie heb je hierbij gebruik gemaakt? Hoe ziet de kwadratische vorm eruit in de
nieuwe coördinaten? Teken in de schets de nieuwe assen.
(d)
Science Bestaat er een inverteerbare matrix W zo dat A = W T W ? Zo ja, geef zo’n
matrix W . Zo nee, waarom niet?
[Aanwijzing: Probeer de diagonaalmatrix D van een orthogonale diagonalisering van A te schrijven als
D = C 2 = C T C]
27