Is Incompressibility een Model voor Vrije Wil Definities De

Is Incompressibility een Model voor Vrije Wil
Definities
De Kolmogorov-complexiteit van een string is de lengte van de kortste beschrijving van deze string
in enige gegeven universele beschrijvingstaal1.
In zijn Tractatus, stelt Ludwig Wittgenstein2: Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit. Der Satz ist ein
Modell der Wirklichkeit, so wie wir sie uns denken. Dit modelbegrip kan vervolgens worden
geformaliseerd met behulp van elementen uit de (formele) model theorie (wiskunde). Iedere string
wordt opgevat als een Satz en dus als een theorie3, en iets is een model van deze theorie indien de
theorie waar is in dat model4.
Percolatie theorie beschrijft het gedrag van “connected clusters in a random graph”5.
Interpretatie
De Kolmogorov-complexiteit (Kc) beschrijft een model (van een theorie) in wiskundige
(algoritmische) termen op basis van het beginsel van de minimale beschrijvingslengte, te weten de
lengte van het kortste computerprogramma (i.c., een turing machine6) om het model (van die
theorie) te genereren.
In de percolatie theorie kan, model theoretisch, het gedrag (P) van “connected clusters in a random
graph” worden opgevat als een string en dus als een (model van een) theorie. Vervolgens kan dan de
vraag worden gesteld naar de Kc van P: Kc(P). Deze wordt bepaald door de (kortste) turing machine
die P geneert. De lengte van deze turing machine (aangeduid met |Kc(P)|) geeft dan de Kolmogorovcomplexiteit van P.
Opmerking: omdat Kc afhangt van de beschrijvingstaal en Kc zelf geen berekenbare functie
is, is de Kc -theorie een Baron van Münchhausen jezelf aan je eigen pruik uit het moeras
trekken. Door deze impredicativiteit kan de Kc -theorie vacuously true7 worden (en daarmee
zinledig).
Opmerking: er is hier gekozen voor een Turing (finite state) Machine formulering in plaats
van het binary lambda calculus (BLC) formalisme.
1
2
3
4
5
6
http://nl.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov-complexiteit
Tractatus logico-philosophicus – 4.01
A theory is a set of sentences – zie: W. Hodges; A shorter model theory; p. 30
M is een model van L indien M |= L (L is waar in M) – zie: W. Hodges; A shorter model theory; p. 12-13
http://en.wikipedia.org/wiki/Percolation_theory
We could alternatively choose an encoding for Turing machines, where an encoding is a function which associates to
each Turing Machine M a bitstring <M>. If M is a Turing Machine which on input w outputs string x, then the
concatenated string <M> w is a description of x. For theoretical analysis, this approach is more suited for
constructing detailed formal proofs and is generally preferred in the research literature.
http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity
7 http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth
Uitgaande van het bovenstaande, worden de volgende drie postulaten geponeerd, te weten:
(1) het brein kan worden opgevat (gemodelleerd) als “connected clusters in a random graph”8;
(2) het gedrag van “connected clusters in a random graph” kan worden beschreven
(gemodelleerd) met behulp van de percolatie theorie; en
(3) de Kolmogorov-complexiteit geeft een zinvolle (betekenisvolle) maat voor dit gedrag.
Zij nu gegeven:
•
•
brein B, met ({ clusters } ; random graph )
zodanig dat ieder “brein gedrag” bi overeenkomt met (adequaat gemodelleerd wordt door)
percolatie proces pi
Dan representeert Kc(pi) de (kortste) turing machine die pi genereert, met |Kc(pi)| = li
Hypotheses
Gegeven: |Kc(pi)| = li
Hypothese 1: ∃pi (|pi| = li ) i.e., pi is incompressible9 (ergo random);
Hypothese 2: ∀pi (|pi| > li ) i.e., pi is compressible (ergo nooit random)
Er kunnen grofweg twee paradigmata worden onderscheiden.
De Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica (lees Bohr cs10) gaat uit van een
non-deterministische werkelijkheid. In deze interpretatie spreekt men van “genuinely
random” want de werkelijkheid is “completely unpredictable” en concludeert men tot
“fundamental randomness” en “lack of causality in nature”, om tenslotte te stellen dat
“randomness and indeterminism11 are a fundamental property of nature”12.
De tegenhanger hiervan (lees Einstein cs) gaat uit van causale geslotenheid en postuleert een
deterministische13 werkelijkheid, een werkelijkheid waarin geen “genuinely random” kan
bestaan want alles is immers principieel “predictable”. Men gaat (meestal) uit14 van (de
mogelijkheid tot) grand reductionism (“To reduce the world of physical phenomena to a
finite set of fundamental equations (or principles)” – Freeman Dyson15).
8 Zie slide 51 handout Brein college 1 Lourens Waldorp
9 Zie: An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications – Ming Li and Paul Vitanyi; Third Edition –
hoofdstuk 6 (zie ook pagina 3; example 1.1.1)
10 The Copenhagen interpretation, due largely to the Danish theoretical physicist Niels Bohr, is the interpretation of the
quantum mechanical formalism most widely accepted amongst physicists. According to it, the probabilistic nature of
quantum mechanics is not a temporary feature which will eventually be replaced by a deterministic theory, but
instead must be considered to be a final renunciation of the classical ideal of causality.
11 Quantum mechanics is widely thought to be a strongly non-deterministic theory.
Zie: 4.4 in http://plato.stanford.edu/entries/determinism-causal/#QuaMec
12 Zie A. Rae – Quantum Physics; pagina 179-180
13 Het causaal (oorzakelijk of nomologisch) determinisme is de hypothese die stelt dat toekomstige gebeurtenissen
bepaald zijn door voorafgaande en huidige gebeurtenissen in combinatie met de natuurwetten.
Zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Vrije_wil#cite_note-2
14 Deze stellingname is theoretisch en niet noodzakelijkerwijs praktisch. In principe kan het maar het is niet gezegd dat
het ook lukt (de werkelijkheid is mogelijk onbekend maar niet onbepaald).
15 Zie Reductionism Redux – Steven Weinberg; http://pespmc1.vub.ac.be/AFOS/Debate.html
De hypotheses 1 en 2 kunnen nu worden verfijnd tot het volgende.
Notatie:
◇
□
/\
het is mogelijk dat
het is noodzakelijk dat
(logische) en
∃
∀
→
||=
kan afgeleid worden uit (x |- y leest als: y kan syntactisch worden afgeleid uit x)
is waar in (x |= y leest als: y is semantisch waar in x, en derhalve als: x is een model van y)
er is tenminste 1
voor alle
als … dan (x → y leest als: als x dan y)
Hypothese 1 in de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica geldt:
Gegeven:
Dan:
|Kc(pi)| = li
◇∃pi (|pi| = li ) |= “pi is een model voor vrije wil”
Lees: in het model [◇∃pi (|pi| = li ) ] is de theorie “pi is een model voor vrije wil” waar.
Hypothese 2 in het deterministische (grand reductionism) paradigma geldt:
Gegeven:
Dan:
|Kc(pi)| = li
□∀pi (|pi| > li ) |= “pi kan geen model zijn voor vrije wil”
Lees: in het model [□∀pi (|pi| > li ) ] is de theorie “pi kan geen model zijn voor vrije wil” waar.
Opmerking: wiskundig geldt dat in de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica de
verzameling { li } gesloten16 is, terwijl deze in een grand reductionism interpretatie open17 is.
Opmerking: de notie van vrije wil is hier, min of meer informeel, ontleent aan elementen uit V.
Lamme18, de Mind Papers19 en de Determinism and Freedom Philosophy Website20.
16 http://nl.wikipedia.org/wiki/Gesloten_verzameling
17 http://nl.wikipedia.org/wiki/Open_verzameling
18 Zie: De Vrije Wil Bestaat Niet; Zie verder:
http://collegerama.tudelft.nl/mediasite/SilverlightPlayer/Default.aspx?peid=ebf91fda-a025-472f-9d3aee0d15c899f3)
19 http://consc.net/mindpapers/
20 http://www.ucl.ac.uk/~uctytho/dfwIntroIndex.htm
Uitwerking
Met behulp van het begrippenkader uit de Kolmogorov-complexiteit theorie, de model theorie en de
percolatie theorie kan een redelijk precieze (operationaliseerbare) formulering worden gegeven wat
er cognitief neurowetenschappenlijk (eventueel) onder vrije wil wordt verstaan. Het spreekt dat
deze uitspraak geldt onder een aantal belangrijke beperkende voorwaarden:
•
•
•
de Kc -theorie gaat op ondanks haar (significante) kwetsbaarheid dat zij slechts vacuously
true is;
het brein wordt gemodelleerd als “connected clusters in a random graph” waarvan het
gedrag (voldoende adequaat) wordt beschreven met behulp van de percolatie theorie; en
Kc (pi) modelleert de vrije wil indien en voor zover |pi| = li
Het ligt voor de hand dat, op zijn best, het brein slechts partieel kan worden gemodelleerd met
behulp van het artefact “connected clusters in a random graph”. Ook zal het gedrag van een
dergelijk artefact (uiteindelijk) niet (voldoende) adequaat kunnen worden beschreven met behulp
van de (huidige inzichten in de) percolatie theorie. Dit probleem wordt hier verder niet nader
beschouwd, en richt de focus zich op de derde voorwaarde.
De vraag of Kc (pi), respectievelijk |pi| = li de vrije wil modelleert veronderstelt dat vrijheid enkel
kan bestaan in situaties die onbepaald zijn, en ontologisch postuleert de Kopenhaagse interpretatie
inderdaad dat de werkelijkheid niet alleen onbekend is (daarover zijn Einstein cs het wel met Bohr
cs eens) maar ook onbepaald (en dus onbepaalbaar, iets waar Einstein cs het helemaal niet mee eens
zijn). De argumenten ter ondersteuning van de bewering dat |pi| = li de vrije wil modelleert volgen
nu, met een rekkelijke gebruikmaking van default-logica21, uit het ongerijmde.
Als:
in het deterministische paradigma geldt: ∃pi (|Kc(pi)| = li /\ |pi| = li)
Dan:
aangezien in het deterministische paradigma de vrije wil niet bestaat
(immers in dit paradigma valt alles onder de causale geslotenheid) en aangezien alle
pi compressible moeten zijn (random bestaat eveneens niet en er kan dus geen pi
voorkomen die incompressible is), geldt er dus dat: □∀pi (|Kc(pi)| = li → |pi| > li )
Ergo:
∃pi (|pi| = li) /\ □∀pi (|pi| > li ) |- tegenspraak
Als:
in de Kopenhaagse interpretatie geldt: ∀pi (|Kc(pi)| = li /\ |pi| > li )
Dan:
aangezien in de Kopenhaagse interpretatie volgens de onzekerheidsrelatie
van Heisenberg “randomness” en niet-gedetermineerdheid fundamentele disposities
zijn van de werkelijkheid moeten er pi kunnen voorkomen die incompressible zijn:
◇∃pi (|Kc(pi)| = li → |pi| = li )
Ergo:
∀pi (|pi| > li ) /\ ◇∃pi (|pi| = li) |- tegenspraak
21 “... in the absence of evidence to the contrary, assume ….” R. Reiter
Uit deze twee duaal-samenhangende tegenspraken kan, informeel22, worden afgeleid dat als in een
grand reductionism context het niet bestaan van de vrije wil samenhangt met de noodzakelijkheid
van compressibilty, dat dan de mogelijkheid tot vrije wil bepaald wordt door het wel mogelijk zijn
van incompressibilty in een Kopenhaagse interpretatie.
Anders geformuleerd:
•
•
omdat in het deterministische paradigma { li } open is en er in dit paradigma geen vrije wil
bestaat, kan een pi die de vrije wil (zo deze al bestaat) modelleert enkel in het complement
van deze { li } zitten;
het complement is gedefinieerd als de verzameling pi die incompressible zijn en daarmee
randomness modelleren
{ (|Kc(pi)| = li /\ |pi| = li ) }
•
•
dit complement is een deelverzameling van de { li } uit de Kopenhaagse interpretatie;
“if at all” dan is randomness dus een model voor vrije wil.
Nabeschouwing
Strikt genomen impliceert de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat uiteindelijk voor alle pi geldt
dat gereduceerd tot op quantum niveau |pi| = | li| en dat in de Kopenhaagse interpretatie derhalve alle
“brein gedrag” randomness vertoont en derhalve als vrij zou kunnen worden aangemerkt.
In het grand reductionism paradigma daarentegen gaat men uit van “a finite set of fundamental
equations”. De vraag is derhalve gerechtvaardigd naar de Kc van deze (verzameling van)
vergelijkingen {ei}. Aangezien het om fundamentele vergelijkingen gaat, kunnen deze niet verder
worden gereduceerd tot nog meer fundamentele vergelijkingen. Dit betekent dat iedere ei
incompressible moet zijn. De stelling dat □∀si (|Kc(si)| = li → |si| > li ), waarbij si staat voor een
willekeurige string (lees theorie) uit het grand reductionism paradigma, gaat derhalve niet op voor
elementen uit {ei}.
Beide paradigmata convergeren (in de limiet: si → ei) als het ware tot □∀si (|Kc(si)| = li → |si| = li ),
maar geven daar een totaal tegenovergestelde ontologische duiding aan:
•
•
in de Kopenhaagse interpretatie is uiteindelijk alles onbepaald en onbepaalbaar en daarmee
random; en
in het grand reductionism paradigma is uiteindelijk alles bepaald en bepaalbaar en daarmee
precies het tegenovergestelde van random.
Het lijkt er dus op dat in de Kolmogorov-complexiteit theorie het spreekwoordelijke “les extrêmes
se touchent” zich voordoet23, met als kanttekening dat de randomness van de Kopenhaagse
interpretatie een object niveau random is en dat de {ei} in het grand reductionism paradigma met
goed recht een randomness op meta niveau kan worden genoemd.
22 [ x ↔ y ] |- [ niet-y ↔ niet-x ]
23 Mogelijk als gevolg van het slechts vacuously true zijn van de hele theorie.
In het grand reductionism paradigma zou een herformulering van de (axioma's van de)
Kolmogorov-complexiteit theorie deze – academisch – geschikter maken voor het hier beschreven
discours (vertoog), te weten:
de grp_Kolmogorov-complexiteit (grp_Kc) van een string (lees: model van een theorie) is de
kortste beschrijving van de afleiding (theorem prover) van deze string uit {ei} in enige
gegeven universele beschrijvingstaal, waarbij:
|grp_Kc(ei)| = |ei|
∀si ∉{ei} ( |grp_Kc(si)| < |si| )
Het idee van onbepaaldheid uit de Kopenhaagse interpretatie sluit goed aan bij Heideggers Sein und
Zeit (1926). Heidegger stelt (informeel geformuleerd) dat de mens vrij is (kan zijn) omdat in het
heden de toekomst niet alleen onbekend maar ook principieel onbepaald is. In het heden wordt de
lineaire tijd24 van verleden en toekomst als het ware horizontaal25 (lees symmetrisch). In die
horizontale tijdelijkheid valt26 dan de “vrije” beslissing27.
Het is duidelijk dat het begrip vrijheid lastiger in positieve zin te duiden is in een volledig
deterministische wereld, waar absolute causale geslotenheid heerst (en er dus geen vrije wil kan
bestaan). Toch biedt het door Dennett28 geformuleerde compatibilisme29 hier een mogelijke uitweg
als het stelt dat de werkelijkheid (mogelijk) deterministisch is maar dat de principiële onbekendheid
ervan desalniettemin goed kan worden opgevat als vrijheid30.
24 De onzekerheidsrelatie van Heisenberg (1927) postuleert dat van plaats en impuls, of energie en tijd, de waarden
niet (nooit) tegelijkertijd exact kunnen vastliggen (worden vastgesteld). Bij tijd en energie betekent de
onzekerheidsrelatie dat de hoeveelheid energie in een systeem onzekerder is naarmate de tijdschaal waarop het
systeem varieert kleiner is. Hierdoor kan er ook als het ware energie 'geleend' worden, wat onder meer aanleiding
geeft tot het bestaan van virtuele deeltjes en het tunneleffect. Het gevolg van de onzekerheidsrelatie is dat van een
object (fenomeen) noch het verleden, noch het toekomstige gedrag met zekerheid voorspeld kan worden.
25 Zie Victor Kal – WB7819D4
http://studiegids.uva.nl/web/uva/sgs/nl/c/12076.html
26 Men denke hierbij aan de ''collapse'' uit de quantum mechnica.
27 NB: vrijheid veronderstelt een (kunnen) kiezen, maar realiseert geen keuzevrijheid.
28 Dennett was phd student van Ryle, auteur van Concept of Mind (1949). Ryle wordt wel beschouwd als een synthese
van Heidegger en Wittgenstein. Zie ook: http://collegerama.tudelft.nl/mediasite/SilverlightPlayer/Default.aspx?
peid=ae1d24e377de4a258a5a73378d2fe79d
29 Determinism is a claim about the laws of nature: very roughly, it is the claim that everything that happens is
determined by antecedent conditions together with the natural laws. Incompatibilism is a philosophical thesis about
the relevance of determinism to free will: that the truth of determinism rules out the existence of free will. The
incompatibilist believes that if determinism turned out to be true, it would also be true that we don't have, and have
never had, free will. The compatibilist denies that determinism has the consequences the incompatibilist thinks it
has. According to the compatibilist, the truth of determinism does not preclude the existence of free will. (Even if we
learned tomorrow that determinism is true, it might still be true that we have free will.) The philosophical problem
of free will and determinism is the problem of understanding, how, if at all, the truth of determinism might be
compatible with the truth of our belief that we have free will. That is, it's the problem of deciding who is right: the
compatibilist or the incompatibilist. Zie: http://plato.stanford.edu/entries/incompatibilism-arguments/
30 Dit onder een methodische verwerping van grand reductionism, ook wel greedy reductionism genoemd.
Tenslotte, al het bovenstaande brengt de oplossing van het probleem van de vrije wil an-sich
inhoudelijk geen stap dichterbij, of om met Ludwig Wittgenstein te spreken:
[6.53]: Wir fühlen, dass, selbst wenn alle möglichen wissenschaftlichen Fragen beantwortet
sind, unsere Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind.
[6.54] Meine Sätze erläutern dadurch, dass sie der, welcher mich versteht, am Ende als
unsinnig erkennt, wenn er durch sie - auf ihnen - über sie hinausgestiegen ist. (Er muss
sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.) Er muss diese
Sätze überwinden, dann sieht er die Welt richtig.
Disclaimer
Ondanks een grote sympathie voor Heidegger (en Sartre) en met een oprechte fascinatie voor de
vaak vreemde, onbegrijpelijke uitspraken van de quantum mechanica31, reken ik mijzelf tot een
incompatibilist in het grand reductionism (determinisme) paradigma, zij het met een afwijking naar
Feyerabends “anything goes”, zodat ik met goed recht ook een libertair kan worden genoemd.
31 "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics." Richard Feynman - The Character of
Physical Law (1965) Ch. 6