Meetkunde groep 2

Meetkunde groep 2
Trainingsweekend 14-16 november 2008
Deel I: Congruentie en gelijkvormigheid
Opgave 1 Gegeven is een driehoek 4ACP met een punt B op het inwendige van AC, Q
op het inwendige van CP en R op het uitwendige van P A aan de kant van A. We nemen
aan dat R, B en Q op een lijn liggen en bovendien geldt dat |RA| = |AP | = |BP | en
|BQ| = |QC|. Bewijs dat B het midden is van AC.
Opgave 2 Bekijk de vierhoek ABCP met AB k P C en |CA| = |CB|. Verder is D het
punt op BC voorbij C zodat bovendien voldaan wordt aan |DC| = |CB|. Bewijs dat
∠DP C = ∠AP C.
Opgave 3 De zeshoek ABQCDP heeft als extra eigenschap dat ABCD een parallelogram
is. Laat E, F , G en H de middens zijn van respectievelijk AP , DP , BQ en CQ. Bewijs
dat |EG| = |F H|.
Opgave 4 Zij ABCD een vierhoek met rechte hoeken bij B en C. Zij S het snijpunt van
de diagonalen en T de projectie van S op BC. Bewijs dat ∠BT A = ∠CT D.
Opgave 5 Laat 4ABC een driehoek zijn met een rechte hoek bij A. Verder snijdt de
bissectrice van hoek C de overstaande zijde, AB, in D. De projectie van D op BC noemen
we E. Het punt F ligt op het inwendige van AC en voldoet aan |AF | = |BE|. Bewijs dat
∠ADF = ∠EDB.
Opgave 6 In een rechthoekige driehoek 4ABC, met rechte hoek C, liggen D en E op het
inwendige van AB, met D dichter bij A dan E (bij A). De projectie van D op AC noemen
we G en de projectie van E op BC noemen we F . Verder nemen we aan dat |BD| = |BC|
en |AE| = |AC|. Bewijs dat |DE| = |EF | + |DG|.
1
Opgave 7 Tweede Ronde 2000
Laat ABCD een parallellogram zijn. Aan de buitenkant van het parallellogram wordt op
zijde AB een gelijkzijdige driehoek ABP gezet, en op zijde AD een gelijkzijdige driehoek
ADQ. Bewijs dat driehoek 4CP Q gelijkzijdig is.
Opgave 8 Beschouw een driehoek 4P CD met de punten A, B en R op respectievelijk
P C, P D en CD, zodat AB k CD en P R⊥CD. Verder is O het snijpunt van P R met
AB. Als T nu een punt op P R is zodat geldt dat ∠AT O = ∠RT C bewijs dat dan geldt dat
∠BT O = ∠RT D.
Opgave 9 Laat 4ABC een driehoek zijn met M het midden van zijde AB. Zij ` een
willekeurige lijn door C. De projecties van A en B op ` zijn respectievelijk P en Q. Bewijs
dat |M P | = |M Q|.
Opgave 10 In driehoek 4ABC is M het midden van BC, zodat 2∠BAM = ∠M AC.
Het punt D ligt zo op (het verlengde van) AM dat de hoek ∠ABD recht is. Bewijs dat
|AC| = 21 |AD|.
Opgave 11 - IMO Shortlist 1998, BONUS
Zij ABCDEF een convexe zeshoek met ∠B + ∠D + ∠F = 360◦ en
|AB| |CD| |EF |
·
·
= 1.
|BC| |DE| |F A|
Bewijs dat
|BC| |AE| |F D|
·
·
= 1.
|CA| |EF | |DB|
Deel II: Omtrekshoek- en koordenvierhoekstelling
Opgave 12 In driehoek 4ABC is de hoek bij C recht en zijn de punten D, E en F op
AB zodat CD, CE en CF achtereenvolgens een hoogtelijn, een deellijn en een zwaartelijn
zijn. Bewijs dat CE ook een deellijn is in 4CDF .
2
Opgave 13 Bekijk twee cirkels met gelijke straal die twee gemeenschappelijke punten P
en Q hebben. Een lijn door P snijdt de ene cirkel nog een keer in A en de andere cirkel
nog een keer in B. Bewijs dat |QA| = |QB|.
Opgave 14 - Stelling van Julian
Gegeven is een koordenvierhoek ABCD. Bewijs dat AB k CD dan en slechts dan als
|AD| = |BC|.
Opgave 15 Bekijk de 5 punten B, A, P , C en D die in deze volgorde op een cirkel liggen
zodat geldt |AB| = |AP | en |CP | = |CD|. Definieer S en T als de snijpunten van P B en
P D met AC. Bewijs dat 4P ST gelijkbenig is.
Opgave 16 Zij 4ABC een gelijkbenige driehoek met tophoek C. Verder is D het punt op
AB, zodat A tussen B en D ligt, en ∠DCA = ∠BCA. Zij E het punt op het uitwendige
van AC aan de kant van A zodat |CD| = |CE|. Bewijs dat ∠ABE = ∠ACB.
Opgave 17 Gegeven zijn A, Q, B, D, P en C in deze volgorde op een cirkel, waarbij
AB k CD. Bewijs dat CP k BQ als gegeven is dat |DP | = |AQ|.
Opgave 18 Laat Γ1 en Γ2 twee cirkels zijn met twee snijpunten P en Q. Een lijn door
P snijdt Γ1 in A en Γ2 in C. Een lijn door Q snijdt Γ1 en Γ2 in respectievelijk B en D.
Bewijs dat AB k CD.
Opgave 19 Gegeven is een koordenvierhoek ABCD met het snijpunt der diagonalen S.
Bewijs dat de raaklijn in S aan de cirkel door de punten A, B en S evenwijdig is met CD.
3
Opgave 20 Bekijk drie punten A, B en C op een cirkel. De lijn door C loodrecht op AB
snijdt AB in D en de cirkel in E. De lijn door E loodrecht op AC snijdt AC in F en AB
in S. Bewijs dat |SD| = |DB|.
Opgave 21 Gegeven zijn vijf punten A, B, Q, P en R op een cirkel in deze volgorde,
zodat |AP | = |BP | en BR k P Q. Bewijs dat |AR| = |P Q|.
Opgave 22 Twee cirkels met gelijke straal raken elkaar uitwendig in T . De koorde T M
van de ene cirkel met middelpunt O staat loodrecht op een koorde T N van de andere cirkel
met middelpunt O0 . Bewijs dat |M N | = |OO0 |.
Opgave 23 Laat A, B, C, D, E en F zes punten op een cirkel zijn in deze volgorde. Er
is gegeven dat |AB| = |DE|. De snijpunten van AF met BC en CE met DF noemen we
S. Bewijs dat ∠F SE = ∠AT B.
Opgave 24 In driehoek 4ABC zijn P en Q De projecties van C op de deellijnen uit
respectievelijk A en B. Bewijs dat P Q evenwijdig is met AB.
Opgave 25 - Stelling van Brahmagupta Zij ABCD een koordenvierhoek met loodrechte diagonalen die elkaar snijden in S. Bewijs dat een lijn door S loodrecht op AB staat
dan en slechts dan als de lijn door het midden van CD gaat.
Opgave 26 Zij ABCD een parallelogram een P een punt daarbuiten met ∠P BC = ∠CDP .
Bewijs dat ∠AP B = ∠DP C.
NB: Alle hoeken in deze opgave zijn gericht, dus de lijnstukken P B, P C en P D liggen
helemaal buiten het parallellogram.
4