Oefeningen Toegepaste Algebra en Differentiaalvergelijkingen

Oefeningen Toegepaste Algebra en Differentiaalvergelijkingen
Oefenzitting 1:
Academiejaar 2008-2009
Bart Vandewoestyne
Lineaire vergelijkingen in Lineaire Algebra
Vraag 1 (5 min.)
(Oefening 1.2.17 pagina 26)
Bepaal de waarden van h waarvoor de matrix
·
¸
2 3 h
4 6 7
de uitgebreide matrix is van een consistent ( = niet strijdig) lineair stelsel.
Vraag 2 (10 min.)
Oefening 1.3.25 pag. 38 (EXTRA)
Stel

1 0
A= 0 3
−2 6
en

−4
−2
3

4
b= 1 
−4

Noteer de kolommen van A als a1 , a2 , a3 , en stel W = Span{a1 , a2 , a3 }.
(a) Zit b in {a1 , a2 , a3 }? Hoeveel vectoren zitten in {a1 , a2 , a3 }?
(b) Zit b in W ? Hoeveel vectoren zitten in W ?
(c) Toon aan dat a1 in W zit. (Hint: rijoperaties zijn niet nodig)
Vraag 3 (5 min.)
(Oefening 1.4.25 pag. 48)
Bemerk dat

   
4 −3 1
−3
−7
 5 −2 5  −1 = −3
−6 2 −3
2
10
Gebruik dit (en gebruik geen rij-operaties!) om getallen c1 , c2 , c3 te vinden zodat
 
 
 
 
−7
4
−3
1
−3 = c1  5  + c2 −2 + c3  5 
10
−6
2
−3
1
Vraag 4 (10 min.)
(Oefening 1.7.9 pag. 71) (EXTRA)
Gegeven zijn
 
 

5
−3
1
v1 = −3 , v2 =  9  , v3 = −7
h
−6
2

(a) voor welke waarden van h zit v3 in Span{v1 , v2 }
(b) voor welke waarden van h is {v1 , v2 , v3 } lineair afhankelijk ?
Vraag 5 (5 min.)
(Oefening 1.8.33 pag. 81)
Toon aan dat de transformatie T gedefinieerd via T (x1 , x2 ) = (2x1 − 3x2 , x1 + 4, 5x2 ) niet
lineair is. Wat kan je doen om deze transformatie wel lineair te maken? Wat is dan de matrix
die bij de aangepaste (en wel lineaire) transformatie hoort?
Matrix Algebra
Vraag 6 (10 min.)
(Oefening 2.4.10 pag. 139)
De inverse van
is

I
C
A
0
I
B

0
0
I

0
I
Y

0
0 .
I
0
0
2
0
0
0
0
0
7
5
I
Z
X
Vind X, Y en Z.
Vraag 7 (10 min.)
Oefening 2.4.25 pag. 141 (EXTRA)
Zoek de inverse van

1
3

0

0
0
2
5
0
0
0
zonder gebruik te maken van rij-reductie.
2

0
0

0

8
6
Vraag 8 (15 min.)
(Oefening 2.5.13 pag. 149)
Vind een LU factorizatie van de matrix

1
3 −5
−1 −5 8

4
2 −5
−2 −4 7

−3
4
.
−7
5
Vraag 9 (5 min.)
(Oefening 2.9.19 pag. 182)
Als de deelruimte bestaande uit alle oplossingen van Ax = 0 een basis heeft die bestaat uit
drie vectoren en als A een 5 × 7 matrix is, wat is dan de rang van A?
Determinanten
Vraag 10 (5 min.)
(Oefening 3.2.35 pag. 200)
Stel U is een vierkante matrix waarvoor geldt dat U T U = I. Toon dan aan dat det U = ±1
Vraag 11 (5 min.)
(Oefening 3.3.23 pag. 210)
Zoek het volume van een parallellepipedum met een hoekpunt in de oorsprong en met andere
aanliggende hoekpunten in (1, 0, -2), (1, 2, 4), (7, 1, 0).
Vraag 12 (5 min.)
(Oefening 3.3.25 pag. 210)
Gebruik het concept van volume om uit te leggen waarom de determinant van een 3 × 3
matrix A nul is als en slechts als A niet inverteerbaar is. Maak geen gebruik van Theorem 4 in
Section 3.2 pag. 194. [Hint: Denk na over de kolommen van A.]
Vraag 13 (15 min.)
(Oefening 3.S.14 pag. 212)
Stel A, B, C, D en I n×n matrices. Gebruik de definitie of eigenschappen van een determinant
om de volgende formules op hun juistheid te controleren. Deel (c) kan nuttig zijn voor de
oefeningen op eigenwaarden (Hoofdstuk 5).
3
(a)
·
¸
A 0
det
= det A
0 I
(b)
det
·
¸
0
= det D
D
I
C
(c)
·
A
det
C
¸
¸
·
A B
0
= det
0 D
D
Vraag 14 (10 min.)
(Oefening 3.S.15 pag. 212) (EXTRA)
Stel dat A, B, C en D n × n matrices zijn en dat A inverteerbaar is.
(a) Bepaal de matrices X en Y uit de ‘blok LU -ontbinding’
·
¸ ·
¸·
¸
A B
I 0 A B
=
C D
X I 0 Y
en toon dan aan dat
·
A
det
C
¸
B
= (det A) · det(D − CA−1 B)
D
(b) Als AC = CA, toon dan aan dat
·
A
det
C
¸
B
= det(AD − CB)
D
Vectorruimten
Vraag 15 (5 min.)
(Oefening 4.1.21 pag. 224)
Bepaal of de verzameling H bestaande uit alle matrices van de vorm
·
¸
a b
0 d
een deelruimte van M2×2 is.
Vraag 16 (15 min.)
(Oefening 4.1.33 pag. 225)
4
Gegeven zijn de deelruimtes H en K van een vectorruimte V , de som van H en K, geschreven
als H + K, is de set van alle vectoren in V die geschreven kunnen worden als de som van twee
vectoren, één in H en de andere in K; dus,
H + K = {w : w = u + v voor een bepaalde u in H en een bepaalde v in K}
(a) Toon aan dat H + K een deelruimte van V is.
(b) Toon aan dat H een deelruimte is van H + K en dat K een deelruimte is van H + K.
Vraag 17 (5 min.)
(Oefening 4.2.17 pag. 235)
Gegeven is een matrix


2 −6
−1 3 

A=
−4 12 
3 −9
(a) vind k zodanig dat Nul A een deelruimte is van IRk .
(b) vind k zodanig dat Col A een deelruimte is van IRk .
Vraag 18 (5 min.)
(Oefening 4.2.21 pag. 235)
Met A zoals in oefening 4.2.17, vind een niet-nul vector in Nul A en een niet-nul vector in
Col A.
Vraag 19 (15 min.)
(Oefening 4.2.33 pag. 235)
Stel M2×2 de vectorruimte van alle 2 × 2 matrices, en definieer T : M2×2 → M2×2 met
T (A) = A + AT , waar
¸
·
a b
A=
c d
(a) Toon aan dat T een lineaire transformatie is
(b) Stel B eender welk element uit M2×2 waarvoor geldt B T = B. Vind een A in M2×2 zodanig
dat T (A) = B.
(c) Toon aan dat het bereik van T de verzameling is van alle matrices B uit M2×2 die de
eigenschap hebben dat B T = B.
(d) Beschrijf de kern van T .
5