verbetersleutel
advertisement
2 Gehele getallen: optelling en aftrekking Dit kun je al natuurlijke getallen optellen natuurlijke getallen aftrekken gehele getallen herkennen voorbeelden uit het dagelijkse leven geven waarin je gehele getallen gebruikt 5 de absolute waarde van een geheel getal bepalen 6 het tegengestelde van een geheel getal bepalen 1 2 3 4 Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. A B C Verder oefenen? 1 Bereken zonder rekenmachine. 107 + 69 = … 176 177 167 oef. 32 2 Bereken zonder rekenmachine. 765 – 567 = … 202 198 232 oef. 32 3 Welk getal is geen geheel getal? –3 0 3,2 oef. 125 4 Negatieve getallen komen nooit voor op een … menukaart thermometer tijdlijn oef. 56 5 |–3| = … –3 +3 3 oef. 60 Het tegengestelde van –3 is … –3 –(–3) 0 oef. 57 6 Dit heb je nodig Inhoud • • • • • • G13 G14 G15 G16 G17 leerwerkboek p. 53–72 oefenboek p. 47–72 kladblok meetlat rekenmachine potlood en stiften Gehele getallen optellen en aftrekken Eigenschappen van het optellen in ℤ Handig rekenen met eigenschappen Negatieve getallen in een assenstelsel Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen p. 54 p. 58 p. 62 p. 64 p. 68 53 G13 Gehele getallen optellen en aftrekken Op verkenning Noi en Marco bezoeken de Taipei in Taiwan. Deze wolkenkrabber is één van de hoogste gebouwen ter wereld. Hij heeft 101 bovengrondse verdiepingen en vijf kelderverdiepingen. a Rekenen met positieve en negatieve getallen • Op welke verdiepingen stappen Noi en Marco uit de lift? Antwoord telkens met een volzin. • b Noteer de bewerking. –3 + 8 = 5 Hij stapt uit op de vijfde verdieping. ................................................................................... ....... 5 + 84 = 89 ................................................................................... ....... Het observatiecentrum ligt op. . .89. ................................................................................... .... – Noi parkeert de auto in de parkeergarage op niveau –3. Hij stijgt acht verdiepingen en stapt de lift uit. – De gids neemt Noi mee naar het observatiecentrum. Hiervoor moet hij met de lift nog 84 verdiepingen hoger. – Marco bevindt zich in de parkeergarage op niveau –1 en daalt nog vier verdiepingen. – Marco neemt daarna de lift en stapt drie niveaus hoger uit. ................................................................................... . . . . . . . –1 – 4 = –5 Hij gaat naar de 5de kelderverdieping. ................................................................................... ....... –5 + 3 = –2 ................................................................................... ....... de Hij gaat naar de 2 kelderverdieping. ................................................................................... ....... ................................................................................... . . . . . . . Een optelling van gehele getallen noteren Willem speelt samen met zijn ouders en zijn jongere zus Nele met de kaarten. Vader noteert de punten per spel. vader moeder Willem Nele Punten Totaal Punten Totaal Punten Totaal Punten Totaal per spel per spel per spel per spel +5 +5 +5 +5 –5 –5 –5 –5 spel 2 +4 –3 spel 5 +4 –1 +1 –2 –6 –4 spel 4 +1 +3 +12 +8 +4 spel 3 +9 +3 0 +4 –4 –6 –9 –7 –10 –6 spel 1 +2 +9 –4 +2 –3 –4 +2 –3 +4 • Vader berekent zijn tussenstand na het tweede spelletje. Vul op dezelfde manier de bewerkingen van de andere spelers aan in onderstaande tabel. • Onderstreep de positieve getallen groen en de negatieve getallen rood. vader +5 + (+4) = +9 moeder +5 + (–4) = +1 Nele –5 + (–4) = –9 Willem –5 + (+4) = –1 Wiskundetaal – symbool Als er twee tekens op elkaar volgen, gebruik je haakjes om verwarring te vermijden. c 54 +5 + (–3) Twee gehele getallen met dezelfde tekens optellen • Bij welke spelers heb je twee gehele getallen met dezelfde tekens opgeteld? • Hoe bereken je de absolute waarde van de som? • Vergelijk het teken van de termen met het teken van de som. Wat zie je? Gehele getallen: optelling en aftrekking Bij vader en bij Nele.. . . . . ...................................................... Je telt de absolute waarden ...................................................... ..... van de termen op. . . . . . . ...................................................... De som heeft het teken ...................................................... ...... van de twee termen.. . . . . . . ...................................................... d Twee gehele getallen met verschillende tekens optellen Bij moeder en Willem. ...................................................... ....... Je trekt de kleinste absolute waarde af . . . . . . . .................................................................................................................. • Bij welke spelers heb je twee gehele getallen met verschillende tekens opgeteld? • Hoe bereken je de absolute waarde van de som? • van grootste absolute waarde. . . . . . . . . . . . .de . ......................................................................................................................................................................................................... ....... De som heeft het teken . . . . . . . Vergelijk het teken van de termen met het teken van de som. Wat zie je? .................................................................. van getal met de grootste absolute waarde. . . . . . . . . . . . het . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... Rekenregel – twee gehele getallen optellen Twee gehele getallen met hetzelfde teken optellen: • Behoud het teken. • Tel de absolute waarden van de termen op. +12 + (+5) = +17 –3 + (–5) = –8 Twee gehele getallen met een verschillend teken optellen: • Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde. • Trek de absolute waarden van de termen van elkaar af. +12 + (–5) = +7 –8 + (+3) = –5 CONTROLE 19 Bereken de totalen van elke speler na elk spel en vul die aan in de tabel op de vorige bladzijde. Handig rekenen – haakjes waar een plusteken voor staat weglaten Staat er een plusteken voor de haakjes, dan mag je het plusteken en de haakjes weglaten. ..... + (+. . . . . ) wordt . . . . . + . . . . . –5 + (+3) = –5 + 3 ..... + (–. . . . . ) wordt . . . . . – . . . . . –5 + (–3) = –5 – 3 CONTROLE 20 Schrijf zonder haakjes en reken uit. –8 = 9 17 + (–8) = 17 .............................................. e –3 + (–7) = –3 – 7 = –10 ............................................. –3 + (+9) = –3 + 9 = 6 ....................................... . . . . . . Gehele getallen aftrekken Na het vijfde spel merkt Willem dat zijn zus vals heeft gespeeld. Nele bekent en vader trekt de punten van het vijfde spel af van het eindtotaal. • Vul in de eerste kolom de bewerkingen van de andere spelers aan. • Bereken de optellingen in de tweede kolom. vader moeder Willem Nele • 0 +8 – (–4) = +12 +8 + (+4) = +12 ..... –6 – (–4) = –2 –6 + (+4) = . .–2 ... –6 – (+4) = –10 –6 + (–4) = –10 ..... +4 – (+4) = 0 +4 + (–4) = ..... Vergelijk de resultaten van beide kolommen en vul aan: +4 aftrekken geeft dezelfde uitkomst als . . .–4 . . . . . . . . . optellen. –4 aftrekken geeft dezelfde uitkomst als . . .+4 . . . . . . . . . optellen. Rekenregel – twee gehele getallen aftrekken Een geheel getal aftrekken van een ander geheel getal is hetzelfde als zijn tegenge- +8 – (+3) = +8 + (–3) = +5 stelde erbij optellen. –2 – (–8) = –2 + (+8) = +6 55 G13 Gehele getallen optellen en aftrekken (vervolg) CONTROLE 21 Maak van elke aftrekking een optelling en reken uit. –8 – (–12) = –8 + (+12) = 4 ......................................... 15 – (+7) = 15 + (–7) = 8 ............................................. –16 – (+9) = –16 + (–9) = –25 ..................................... . . . . . Handig rekenen – haakjes waar een minteken voor staat weglaten Je mag haakjes waar een minteken voor staat en het minteken weglaten als je de term tussen de haakjes van teken verandert. – (+ . . . . . ) wordt . . . . . – . . . . . – (– . . . . . ) wordt . . . . . + . . . . . ..... ..... –5 – (+3) = –5 – 3 –5 – (–3) = –5 + 3 CONTROLE 22 Schrijf zonder haakjes en reken uit. +17 – (–8) = 17 + 8 = 25 ............................................ –3 – (–7) = –3 + 7 = 4 .............................................. – 9 = 3 ...... (+12) – (+9) = 12 ................................... Gebruik van de rekenmachine Welke toetsen gebruik je voor: • het bewerkingsteken + • de haakjes • het bewerkingsteken – • het gelijkheidsteken • het toestandsteken – Welke toetsen moet je indrukken om deze bewerking te berekenen? –3 – (–9) Oefeningen WeeR? 128 129 1 MeeR? 130 131 WeeR? 139 140 2 MeeR? 159 160 56 Vertaal deze oefeningen naar een wiskundige bewerking. Reken uit. a De zichtrekening van Miel staat 20 euro in het rood. Gelukkig schrijft zijn tante voor zijn verjaardag 50 euro over naar zijn rekening. b Het is –3 °C en de temperatuur daalt nog zes graden. –20 + 50 = 30 –3 – 6 = –9 ............................... ....... c Een duiker zwemt op een diepte van drie meter en duikt vier meter dieper om de bodem van het meer te bereiken. ............................... . . . . . . . d Je bent in een flatgebouw op de zevende verdieping. Met de lift daal je acht verdiepingen. e Je levert voor € 0,75 leeggoed in en je koopt voor € 2,5 frisdrank. Reken uit. d 44 ..................................... –25 – 5 = –30 ..................................... 44 + 38 = 82 ..................................... –32 – 29 = –61 ..................................... • • Schrijf zonder haakjes. Reken uit. a 5 + (–8) = a b MeeR? 149 151 WeeR? 153 154 • • c 3 b 19 + 25 = 5.................................... – 8 = –3 +6 = 2 –4 + (+6) = –4 .................................... Gehele getallen: optelling en aftrekking h 7..................................... 8 – 17 = –9 ..................................... –23 + 31 = 8 ..................................... 36 – 54 = –18 ..................................... c –5 + 6 = 1 –5 – (–6) = .................................... e d –8 + (–1) = –8 – 1 = –9 f e f g 12 – 5 = .................................... ............................... . . . . . . . –3 – 4 = –7 7 – 8 = –1. . . . . . . ............................... –0,75 + 2,5. . . . . . . ............................... = 1,75 ............................... ....... 15 ................................ . . . . . –7 ............................... . . . . . . 7................................ . . . . . –15 ............................... . . . . . . i 11 + 4 = j –11 + 4 = k 11 – 4 = l –11 – 4 = 14 + (–36) = 14 – 36 = –22 + 15 . .=. . . . –15 –30 – (–15) = –30 .......................... ............................. . . . . . 4 A 2 29 8 27 9 12 –2 –21 Is de uitspraak waar of niet waar? Geef telkens een voorbeeld. a Als je bij 5 een geheel getal optelt, dan is de som altijd groter dan 5. WAAR x NIET WAAR b Als je bij een geheel getal 7 optelt, dan is de som altijd groter dan 7. WAAR x NIET WAAR Als je van 3 een geheel getal aftrekt, dan is het verschil altijd groter dan 3. WAAR x NIET WAAR Als twee gehele getallen positief zijn, dan is hun som ook altijd positief. x WAAR NIET WAAR Als twee gehele getallen negatief zijn, dan is hun verschil ook altijd negatief. WAAR x NIET WAAR d e 6 –9 –5 8 WeeR? 167 • • c 6 –15 MeeR? 163 164 –44 –16 –28 1 –17 –11 4 –3 –14 3 B –13 15 12 –7 –6 21 –9 5 WeeR? 161 162 Vul de lege vakjes in de piramides aan. • Op elke steen staat de som van de getallen van de twee stenen eronder. • Controleer met je rekenmachine. MeeR? 170 171 5 + (–8) = –3 en –3 < 5 . . . . . . . ...................................................................................... –10 + 7 = –3 en –3 < 7 ...................................................................................... . . . . . . . 3 – 8 = –5 en –5 < 3 ...................................................................................... . . . . . . . 6 + 8 = 14 ...................................................................................... . . . . . . . –5 – (–10) = 5 ...................................................................................... . . . . . . . Op een wereldkaart met tijdzones kun je aflezen in welke tijdzone een plaats ligt en wat het uurverschil is met de plaats waar jij je bevindt. -11 -10 - 9 - 8 -7 - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 +5 + 6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 -11 -10 - 9 - 8 -7 - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 +5 + 6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 WeeR? 172 a Wat betekent –5 bij New York en +10 bij Sydney? b Hoe laat is het in Brussel als het in New York 13 uur is? 5................................................................................... uur vroeger dan de universele . . . . tijd en 10 uur later dan de universele ................................................................................... . . . . tijd. 19 uur (13 uur – 5 uur + 1 uur) . . . . ................................................................................... c Marie, de vriendin van Anke, is verhuisd naar Los Angeles. Ze hebben afgesproken dat ze geregeld zullen chatten. Zaterdagmiddag rond 12 uur kijkt Anke of Marie online is. Is de kans groot? Waarom (niet)? Nee, want bij Marie is het nog . .maar ................................................................................... .. 2................................................................................... uur ‘s morgens. (12 – 9 – 1 = .2) ... MeeR? 173 Wat moet je kunnen? τ gehele getallen optellen τ gehele getallen aftrekken τ termen in een optelling met gehele getallen zonder haakjes schrijven τ een optelling met een rekenmachine berekenen 57 G14 eigenschappen van het optellen in ℤ Op verkenning Op verkenning De meisjes van een jeugdbeweging verkopen wafels om geld in te zamelen voor hun zomerkamp. Per twee proberen zij zoveel mogelijk wafels te verkopen. Na het afsluiten van de actie verzamelt de leiding de bestelbonnen. Ze beloven één pak wafels aan diegene die het snelst kan berekenen hoeveel pakken er in totaal zijn verkocht. De aantallen, die moeten worden opgeteld, zijn: 17, 45, 23, 52 en 15. Maartje en Julie beginnen snel te rekenen. 1 tje 2+ Maar + 23 + 5 5 45 15 2+ 17 + 5 + + 23 = 62 + 15 2 5 + = 85 15 7+ 3 1 = 2 =15 a Julie 17 + 45 + 23 + 5 2 + 15 =(45 + 1 5)+(17 + 23)+52 = 60 + 4 0 + 52 = 100 + 52 = 152 De commutatieve eigenschap onderzoeken voor het optellen van gehele getallen • Vergelijk de berekeningen van Maartje en Julie. Wat heeft Julie gedaan om sneller te rekenen? Julie heeft termen geschakeld en gewisseld. ........................................................................................................... ...... • Kies twee positieve gehele getallen. Bereken de som van deze getallen. ........................................................................................................... . . . . . . Verwissel de getallen van plaats en bereken de som opnieuw. ........................................................................................................... . . . . . . • 8 + 5 = 13 • Doe hetzelfde met twee negatieve gehele getallen. 5 + 8 = 13 –6 + (–9) = –15 –9 + (–6) = –15. . . . . . ........................................................................................................... • Doe hetzelfde met een positief en een negatief geheel getal. ........................................................................................................... . . . . . . • Wat kun je uit deze voorbeelden besluiten? –5 + 7 = 2 7 + (–5) = 2 Als je de termen van plaats wisselt . . . . . . ........................................................................................................... blijft de som gelijk. ........................................................................................................... ...... • Komen al je klasgenoten tot hetzelfde besluit? ........................................................................................................... . . . . . • Kun je een voorbeeld vinden waarbij deze uitspraak niet waar is? ........................................................................................................... . . . . . Ja. Neen. Wiskundetaal – begrippen Een eigenschap is een uitspraak in de wiskunde die altijd waar is. Je mag een eigenschap niet uit een voorbeeld afleiden. Je kunt ook onmogelijk alle voorbeelden controleren. Als je een tegenvoorbeeld vindt, is de uitspraak niet waar en kun je dus niet spreken van een eigenschap. 58 Gehele getallen: optelling en aftrekking b Een eigenschap in wiskundetaal noteren Omdat je niet alle voorbeelden met getallen kunt noteren om een eigenschap voor te stellen, vervang je de getallen door letters. • Vervang in het volgende voorbeeld het getal 7 door de letter a en vervang 5 door de letter b. Gelijke getallen worden door gelijke letters vervangen. a+b = b+a ........................................................................................................... ....... 7+5=5+7 • Door welke getallen kun je a en b nog vervangen in deze gelijkheid? Door elk geheel getal. Weetje ........................................................................................................... . . . . . . . eigenschap – het optellen is commutatief in ℤ Je mag termen van plaats wisselen als je gehele getallen optelt. Het resultaat blijft hetzelfde. a en b zijn gehele getallen a+b=b+a Het optellen is commutatief in ℤ . C o m mu tati het Latij ef komt uit n . Comm utare beteken tv verwisse eranderen, len. 5 + (–8) = –8 + 5 De volgorde waarin de producten worden gescand is niet belangrijk. Het eindtotaal is in beide gevallen hetzelfde. c De commutatieve eigenschap onderzoeken voor het aftrekken van gehele getallen • • • • • d 4 en (–6) 4 – (–6) = 4 + 6 = 10 Bereken het verschil van die twee getallen. ........................................................................................................... ....... –6 – 4 = –10 Verwissel de getallen van plaats en bereken het verschil opnieuw. .................................................................................... ....... Het verschil blijft niet gelijk als je Wat kun je besluiten uit dit voorbeeld? ........................................................................................................... ....... gehele getallen van plaats wisselt. . . . . . . . ........................................................................................................... Het aftrekken is niet commutatief Is het aftrekken commutatief in ℤ? Waarom (niet)? ........................................................................................................... ....... in ℤ. ........................................................................................................... ....... Kies een positief en een negatief getal. ........................................................................................................... . . . . . . . De associatieve eigenschap onderzoeken voor het optellen van gehele getallen In de tabel wordt de som van –2, 5 en 8 op drie verschillende manieren berekend. Er worden telkens andere getallen samengenomen door ze tussen haakjes te plaatsen. De volgorde van de getallen blijft steeds dezelfde. In de laatste kolom wordt de som van links naar rechts berekend. voorbeeld 1 –2, 5 en 8 voorbeeld 2 1612 . . . . . , . . . . . en–7 ..... (–2 + 5) + 8 =3+8 = 11 ( . 16 . . . . . . . + . 12 . . . . . . . ) + (–7) ........ –2 + (5 + 8) = –2 + 13 = 11 .16 . . . . . . . + ( 12 . . . . . . . . +(–7) . . . . . . . .) = = 28 +(–7) ........ = .21 ....... ........ 16 + . . 5. . . . . . = .21 ....... ........ –2 + 5 + 8 = 11 16 + .12 . . . . . . . +(–7) ........ = .21 ....... ........ 59 eigenschappen van het optellen in ℤ (vervolg) • Kies drie andere gehele getallen en bereken de som zoals in voorbeeld 1. • Wat kun je uit deze voorbeelden besluiten? • Vervang in het onderstaande voorbeeld de getallen door letters. Gelijke getallen worden door gelijke letters vervangen. (–3 + 2) + 8 = –3 + (2 + 8) = –3 + 2 + 8 De som van gehele getallen blijft gelijk als je haakjes verplaatst, weglaat of toevoegt. .................................................................................................................... ..... .................................................................................................................... . . . . . (a + b) + c = a + (b + c) .................................................................................................................... . . . . . Weetje G14 G13 eigenschap – het optellen is associatief in ℤ Associati ef Latijn. A komt uit het d beteke nt sociare b etekent bij en verbind en. Je mag de haakjes rond de termen verplaatsen, weglaten of toevoegen a, b en c zijn gehele getallen als je gehele getallen optelt. Het (12 + 4) + 6 = 12 + (4 + 6) = 12 + 4 + 6 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c resultaat blijft hetzelfde. Het optellen is associatief in ℤ . Of je de producten samenneemt of niet, het eindtotaal blijft hetzelfde. e f De associatieve eigenschap onderzoeken voor het aftrekken van gehele getallen • Kies drie positieve gehele getallen. • Vul de getallen in op de puntjes en bereken het resultaat. • Reken eerst uit wat tussen haakjes staat. • Houd in elke oefening dezelfde volgorde van de getallen! Wat kun je besluiten? .................................................................................................................... . . . . . Haakjes waar een minteken voor staat weglaten • Vul de tabel verder aan. a b c 5 3 2 7 –2 4 –3 4 –3 –2 –8 –6 a – (b + c) a–b–c a+b–c 5–3–2 = 0 5+3–2 = 6 7 – (–2) – 4 7 + (–2) – 4 7 – (–2 + 4) 7 – (–2) + 4 = 7+2–4 = 5 = 1 = 7–2 = 5 = 13 –3 – (4 + (–3)) –3 – 4 + (–3) –3 – 4 – (–3) –3 + 4 – (–3) = –3 – 1 = –4 = –10 = –4 =4 –2 – [(–8) + (–6)] –2 – (–8) + (–6) –2 – (–8) – (–6) –2 + (–8) – (–6) = –2 – (–14) = 12 = 0 = 12 = –4 Kun je de haakjes gewoon weglaten? • Vergelijk de opgaven in de tabel. • a–b+c 5 – (3 + 2) = 0 5 – 3 + 2 = 4 • Wat kun je besluiten? Neen. ........................................................................................................... . . . . . . . a–b–c a – (b + c) = .......................................................................................................... ....... Vergelijk het teken van de termen binnen de haakjes met het teken van de getallen nadat de haakjes zijn weggelaten. Wat merk je op? 60 6, 8 en 3 ( .6 . . . . . – . .8 . . . .) – .3 . . . . . . . .6 . . . . . – (. . .8 . . . . – .3 . . . . . . . ) . .6 . . . . – . .8 . . . . . – .3 ..... –2 – 3 . . . . . . . .–2 . . . . . . . .– . . . .3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . .– . . . . .5 . . . . . . . . . . . . ........................................ ....... –5 . . . . . . . . . . . . . –5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ ....... Het aftrekken is niet associatief. .................................................................................................................... ..... .................................................................................................................... . . . . . Gehele getallen: optelling en aftrekking Elke term binnen de haakjes is van teken veranderd. ................................................................................................................................... ....... Rekenregel – haakjes waar een minteken voor staat weglaten Als er een minteken voor de haakjes staat mag je het minteken en de haakjes weglaten, maar dan moet je elke term binnen de haakjes van teken veranderen. a – (b + c) = a – b – c 7 – (5 + 8) = 7 – 5 – 8 7 – 13 = –6 11 – (4 – 8 + 3) = 11 – 4 + 8 – 3 11 – (–1) = 12 Oefeningen 7 8 Formuleer de eigenschap die in de oefeningen wordt toegepast. Het optellen is associatief in ℤ. a –12 + (3 + 7) = (–12 + 3) + 7 ....................................................................................................................................... . . . . b 23 + ( –15) = –15 + 23 ....................................................................................................................................... . . . . c –12 + (–3 + 8) = –12 + (8 – 3) ....................................................................................................................................... . . . . Het optellen is commutatief in ℤ. MeeR? 175 Het optellen is commutatief in ℤ. Noteer bij elke gelijkheid die is aangeduid de eigenschap die wordt toegepast. 8 + 17 + (–3) + 23 + (–12) + 3 WeeR? 174 Het optellen is associatief in ℤ. ............................................................................................................................... . . . . ............................................................................................................................... . . . . ............................................................................................................................... . . . . WeeR? 176 MeeR? 177 178 8 + 17 + (–3 + 23) + (–12 + 3) Het optellen is commutatief in ℤ. 8 + 17 + [ 23 + (–3) ] + [ 3 + (–12) ] Het optellen is associatief in ℤ. 8 + (17 + 23) + [ (–3) + 3 ] + (–12) 8 + 40+ (–12) 9 Formuleer telkens de eigenschap die wordt toegepast. De letters stellen gehele getallen voor. Het optellen is commutatief in ℤ. a d+e=e+d ....................................................................................................................................... . . . . . . b a + (b + c) + d = (a + b) + (c + d) ....................................................................................................................................... . . . . . . c r + (s + t) = (s + t) + r ....................................................................................................................................... . . . . . . 10 • • WeeR? 179 Het optellen is associatief in ℤ. Het optellen is commutatief in ℤ. WeeR? 180 Werk eerst de haakjes weg. Reken uit. 14 + 6 + 7 = 20 + 7 = 27 a 14 + (6 + 7) = ....................................................................................................................................... . . . . . b –3 + (5 – 8) = ....................................................................................................................................... . . . . . c 25 – (4 – 17) = ....................................................................................................................................... . . . . . d –33 – (–7 + 5 – 3) = ....................................................................................................................................... . . . . . MeeR? 181 182 –3 + 5 – 8 = 2 – 8 = –6 25 – 4 + 17 = 21 + 17 = 38 –33 + 7 – 5 + 3 = –26 – 5 + 3 = –31 + 3 = –28 Wat moet je kunnen? τ de eigenschappen van het optellen in woorden formuleren τ de eigenschappen van het optellen in symbolen formuleren τ de eigenschappen van het optellen herkennen in berekeningen τ haakjes wegwerken waar een plus- of minteken voor staat 61 G15 Handig rekenen met eigenschappen Op verkenning De zwarte kaarten stellen positieve getallen voor, de rode kaarten staan voor negatieve getallen. Gerrit, Lieve en Rilke berekenen de som van deze getallen op hun eigen manier. Gerrit –7+ 8 – 10 + = 1 – 10 + = –9 + 1 – = –8 – 8 + = –16 + 5 – = –11 – 1 = –12 1 1 8 5 1 – – + – 8 + 5 – 1 8 + 5 – 1 5 – 1 1 Rilke Lieve –7 + 8 – 10 + 1 – 8 + 5 – 1 = 8 + 1 + 5 – 7 – 10 – 8 – 1 = 14 – 26 = –12 De som van de getallen is –12. –7 + 8 – 10 + 1 – 8 + 5 – 1 = 5 – 7 – 10 = 5 – 17 =–12 De som is –12 . De oplossing is –12. a Schakelen, wisselen en schrappen • Beschrijf de werkwijze onder elke berekening. • Welke werkwijze vind jij het handigst? Waarom? ........................................................................................................... . . . . . . . ........................................................................................................... . . . . . . . Rekenregel – meerdere gehele getallen optellen en aftrekken Om meerdere gehele getallen op te tellen, mag je: • tegengestelde getallen schrappen • • –6 + 7 + 12 + 8 – 7 – 9 = –6 + 12 + 8 – 9 = –6 – 9 + 12 + 8 de termen van plaats wisselen (de commutatieve eigenschap toepassen) = (–6 – 9) + (12 + 8) = –15 + 20 termen schakelen (de associatieve eigenschap toepassen) =5 CONTROLE 23 Schrijf zonder haakjes. Reken handig uit. 5 + (–3) + (–8) + 10 + 3 = 5 – 3 – 8 + 10 + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................... 15 – 8 = .7 . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................... = b Eigenschappen toepassen • • • 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................... Waarom mag je tegengestelde getallen in een som schrappen? Welke eigenschap pas je toe wanneer je gehele getallen van plaats wisselt in een optelling? Welke eigenschap pas je toe wanneer je gehele getallen samenneemt in een optelling? Gehele getallen: optelling en aftrekking 17 + (–10) + 22 + 14 = 17 – 10 + 22 + 14 ..................................................................................................... . . . . . . 53 – 10 43 = ..................................................................................................... ...... = ..................................................................................................... . . . . . . De som van 2 tegengestelde getallen is. . . . . . . ........................................................................................................... gelijk aan 0. ........................................................................................................... ....... Het optellen is commutatief in ℤ. ........................................................................................................... ....... Het optellen is associatief in ℤ. ........................................................................................................... ....... Oefeningen WeeR? 185 11 Reken handig uit. a b –9 + 5 – 3 + 9 + 6 12 – 4 – 7 + 5 + 7 –3+9+6 = . .–9 . . . . . . .+ . . . . .5 . ............................................................. .............. 12 – 4 – 7 + 5 + 7 = ............................................................................................. ..... = . .11 . . . . . . .– . . . .3 . . ............................................................. .............. 17 – 4 = ............................................................................................. ..... = . .8 . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. ..... 13 12 • • a WeeR? 186 Schrijf zonder haakjes Reken handig uit. –9 + 5 – (3 + 9) + 6 c –5 + (–5 – 7) – (8 – 13) + 15 –3–9+6 = .–9 . . . . . . . .+ . . . . .5 . ............................................................. .............. –5 – 5 – 7 – 8 + 13 + 15 = ............................................................................................. ..... = .11 . . . . . . .– . . . . 21 . . . ............................................................. .............. 15 – 12 = ............................................................................................. ..... = .–10 . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. ..... 3 = . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. . . . . . b d –25 + (–13) –(–17) –(–25) + 30 69 – (16 – 7) + 25 + (–14 + 3) 13 + 17 + 25 + 30 = .–25 ..........– . . . . ............................................................. .............. 69 – 16 + 7 + 25 – 14 + 3 = ............................................................................................. ..... = .47 . . . . . . .– . . . . .13 . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. ..... 104 – 30 = .34 . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. ..... 74 = . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. = ............................................................................................. . . . . . 13 Bereken het eindsaldo van deze rekeninguittreksels. Beginsaldo op 09–10–2009 Aankoop Metropolis Beginsaldo op 21–09–2009 28 Storting van rekeningnr. 987–6543210–98 40 Aankoop in Record–collector Storting van rekeningnr. 123–4567890–12 –16 20 –19 Aankoop in Twice as nice Op 26–09–2009 MeeR? 189 190 –26 Op 14–10–2009 Eindsaldo op 27–09–2009 33 Eindsaldo op 21–10–2009 .............. –30 .............. WeeR? 192 14 Vul het tovervierkant in. Zorg ervoor dat de som horizontaal, verticaal en diagonaal dezelfde is. a WeeR? 188 Op 11–10–2009 Mededeling : zakgeld Op 26–09–2009 Aankoop in Oxfam Wereldwinkel –16 –8 op 10–10–2009 Op 24–09–2009 Mededeling : gelukkige verjaardag, oma MeeR? 187 –16 17 –25 –3 –17 –8 1 –6 9 –33 0 –10 1 –15 –13 –8 –1 –17 b 15 Vervang de letters door de gegeven getallen. Schrijf de opgave zonder haakjes. Reken uit. a a+b+c+d b a + (–b) – (–c) + d c –a – b – c – d MeeR? 193 WeeR? 194 MeeR? a = –3 195 b=2 196 4 c= d = –1 + 4 + (–1) = .–3 .......+ . . . . . .2 . . ........................................... + 4 –1 = .–3 .......+ . . . . . .2 . . ........................................... = .2 . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... + (–2) – (–4) + (–1) = –3 ........................................................... –2+4–1 = –3 ........................................................... = –2 ........................................................... –(–3) – 2 – 4 – (–1) = ............................................... 3–2–4+1 = ................................................. –2 = .................................................. = . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... = ........................................................... = ..................................................... . . Wat moet je kunnen? τ optellingen en aftrekkingen van meerdere gehele getallen op een handige manier berekenen 63 G16 Negatieve getallen in een assenstelsel Op verkenning a Coördinaten met negatieve getallen vader spel 1 spel 2 spel 3 spel 4 moeder Willem score Nele 0 0 0 0 +5 +9 +3 0 +5 +1 +3 +12 –5 –1 +1 –2 –5 –9 –7 –10 10 (1,5) 5 (3,3) Je kunt het verloop van het kaartspel uit les G13 voorstellen in een grafiek. De tussenstand van elke speler na elk spel kun je aanduiden op het assenstelsel. • (2,9) 1 (0,0) Duid met een blauwe kleur de tussenstanden van vader aan in (3,1) (0,0) 0 1 het assenstelsel. • Noteer bij elk punt de coördinaat in het blauw. • Doe hetzelfde voor Willem. Gebruik een groene kleur. • Vergelijk van elk spel de coördinaatgetallen van de coördinaten van vader met die van Willem. Wat valt je op? De x-coördinaat is steeds gelijk, de y-coördinaat is verschillend. . . . . . . . . . . . ................................................................................................... • –5 2 (2,–1) (4,0) 3 4 spel (4,–2) (1,–5) –10 Hoe kun je aan de coördinaten bij een spel zien dat een speler een hogere tussenstand heeft? Bij een hogere tussenstand is de y-coördinaat groter. . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . • Kunnen in dit assenstelsel ook punten met een negatieve x–coördinaat voorkomen? Verklaar je antwoord. Neen, want dat zou betekenen dat er een ‘spel –1’ is. . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . b Kwadranten • • y (–3, 2) Wat is de coördinaat van het punt A? ..................................................... Kleur het gebied in het assenstelsel waar beide coördinaatgetallen negatief zijn. • Plaats het punt B(3,–4) op de juiste plaats in het assenstelsel. • Welk coördinaatgetal verandert wanneer je in het assenstelsel A 1 0 x 1 y-coördinaat een punt naar boven of naar beneden verschuift? ............................ • Wat gebeurt er met dat getal als het punt naar boven Het getal wordt groter. gaat in het assenstelsel? ............................................................................... B . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................. • Verschuif punt B vier ruitjes naar rechts en noem het B’. Wat is de coördinaat van B’? B’(5,–4) . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . • Vergelijk deze coördinaat met de coördinaat van B. Wat merk je op? De blijft gelijk, de x-coördinaat verandert (wordt groter). . . . . . . . . .y-coördinaat . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ..... • Wat gebeurt er als je het punt naar links verschuift? De wordt kleiner. . . . . . . . . .x-coördinaat . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ..... 64 Gehele getallen: optelling en aftrekking B’ Wiskundetaal – begrippen Als je de x–as naar links verlengt en de y–as naar onder, dan verdeel je het vlak in vier kwadranten. tweede kwadrant eerste kwadrant y B(–3,2) A(3,2) 1 0 1 x C(–4,–3) D(4,–3) derde kwadrant vierde kwadrant Oefeningen 16 • Noteer de coördinaat van elk punt. A (. . . . .–2 . . . . . . . . . . ,. . . . .–1 . . . . . . . . . .) • B (. . . . . . 4 . . . . . . . . . ,. . . . . . 2 . . . . . . . . .) C (. . . . . . 0 . . . . . . . . . ,. . . . .–2 . . . . . . . . . .) D (. . . . .–3 . . . . . . . . . . ,. . . . . . 3 . . . . . . . . .) Plaats deze punten in het assenstelsel. E (–2,1) F (4,–4) G (–2,0) WeeR? 198 MeeR? 199 200 H (–2,–2) y D B E G 1 0 1 x A H C F 65 G16 WeeR? 202 Negatieve getallen in een assenstelsel (vervolg) 17 Deze grafiek geeft de eb- en vloedbeweging aan de zuidkust van Portugal weer. Het tijdstip 0 is 14 maart 0.00 uur. 15 maart om 12 u. . . . . . . . ...................................................... a Welke datum en welke tijd horen bij 36 op de horizontale as? b Wat betekent –7 op de horizontale as? c Hoeveel tijd verstrijkt er tussen –7 en 32? 39 uur. ...................................................... ....... d Wat is de waterstand op 14 maart om 12 uur? Welke coördinaat heeft dit punt? 2...................................................... m. Coördinaat is (12,2) ....... e Schrijf bij twee plaatsen op de grafiek ‘eb’. 7...................................................... uur voor 14 maart. . .0.00 u .... (dus 13 maart om 17.00 u). ...................................................... ....... waterhoogte in meter 2 1 -6 6 12 18 24 -1 eb WeeR? 203 MeeR? 204 -2 eb eb 30 36 tijd in uren eb 18 Deze grafiek geeft de temperatuur weer in Ulm (Duitsland). a Hoe worden de minimum- en maximumtemperaturen weergegeven? De min. temp. staat in een blauwe lijn en ........................................................................................................... . . . . . . . de max. temp. in een bruine lijn. ........................................................................................................... ....... b Wat waren de minimum- en de maximumtemperatuur op 18 februari? De min. temp. was –1 °C en de max. . . . . . . . ........................................................................................................... temp. 1 °C. ........................................................................................................... ....... c Op welke dag is het verschil tussen de minimum- en de maximumtemperatuur het grootst? Noteer de bewerking die je moet uitvoeren. d Wat was de warmste dag tussen 15 februari en 29 februari? Op 28 februari was het verschil tussen mini........................................................................................................... ....... mumen maximumtemperatuur 12 °C. . . . . . . . ........................................................................................................... 0........................................................................................................... – (–12) = 12 ....... 22 februari was de warmste dag. ........................................................................................................... ....... ........................................................................................................... . . . . . . . temperatuur (°C) 10 5 0 15 02 -5 -10 66 Gehele getallen: optelling en aftrekking 22 02 29 02 datum 19 Teken een grafiek met het verloop van de stand van de bankrekening van Jolien op haar verjaardag. Op haar veertiende verjaardag krijgt Jolien van haar ouders een eigen bankrekening met een bankkaart en een startbedrag van 100 euro. Jolien besluit haar spaarpot leeg te maken en de gespaarde 45 euro op haar rekening te storten. Ze doet dit om 10 uur ’s ochtends. Om zichzelf te trakteren voor haar verjaardag gaat ze met een vriendin winkelen. Ze koopt om 11 uur een jeansbroek van 34 euro en een topje van 27 euro. Dit betaalt ze met haar bankkaart. Ze trakteert haar vriendin en zichzelf op een ijsje en een cola. Daarom haalt ze aan een automaat 20 euro van haar bankrekening. Het is op dat ogenblik half twaalf. Om 15 uur koopt ze in de Wereldwinkel een fles wijn van zes euro voor haar vader. a Bedenk eerst hoe je beide assen moet verdelen. Je moet weten welke rekeningstanden je moet voorstellen en welke tijd. b Op welke rekeningstand eindigt Jolien haar verjaardag? c Hoe verloopt de grafiek wanneer er geld van de rekening gaat? d Hoe verloopt de grafiek wanneer er geld op de rekening wordt gestort? e Vergelijk de beginstand van de bankrekening met de stand om 15 uur. Vind je dat Jolien verantwoord omgaat met haar geld? WeeR? 205 MeeR? 206 207 58 euro De grafiek daalt. .................................................................... ..... De grafiek stijgt. .................................................................... ..... Op het einde van de dag. . .staat er .................................................................... .. 42 euro minder op haar rekening .................................................................... ..... dan ‘s morgens. Jolien heeft .................................................................... . . . . . . . op haar verjaardag veel geld uitgegeven. .................................................................... ..... .................................................................... . . . . . 160 140 120 100 80 60 40 20 0 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 Wat moet je kunnen? τ punten met negatieve coördinaatgetallen in een assenstelsel plaatsen 67 G17 Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen Op verkenning a Een vraagstuk oplossen met een schema Lucas heeft momenteel 25 euro op zijn bankrekening. Hij heeft net 75 euro gestort. Wat was de rekeningstand vóór de storting? • Welke bewerking moet je uitvoeren om terug te rekenen naar de vorige rekeningstand? • Noteer deze bewerking bij de onderste pijl. + 75 VORIGE REKENINGSTAND –75 ..... –50 euro . . . . . . . . . ............................................ b HUIDIGE REKENINGSTAND 25 euro Een vraagstuk vertalen in wiskundetaal (een vergelijking) Je kunt elk vraagstuk vertalen in wiskundetaal. • Lees het vraagstuk eerst aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. Lucas heeft momenteel 25 euro op zijn bankrekening. Hij heeft net 75 euro gestort. Wat was de rekeningstand vóór de storting? • In een vraagstuk ga je op zoek naar een onbekende. Wat is de onbekende in dit vraagstuk? De vorige rekeningstand. ...................................................................................... . . . . . . De vorige rekeningstand vermeerderd met 75 = 25 ...................................................................................... ...... • Lees het vraagstuk opnieuw en verwoord het verband tussen de bekende en de onbekende gegevens in wiskundetaal. ...................................................................................... . . . . . . • Je bekomt een gelijkheid. ...................................................................................... . . . . . . x + 75 = 25 ...................................................................................... . . . . . . . Wiskundetaal – begrippen Een vergelijking is een gelijkheid waarin een onbekend getal door een letter wordt voorgesteld, meestal de letter x. Het linkerlid is wat voor het gelijkheidsteken staat in een vergelijking. linkerlid rechterlid Het rechterlid is wat achter het gelijkheidsteken staat. Je mag het linker- en het rechterlid van plaats wisselen. De oplossing van de vergelijking is het getal dat je op de plaats van x kunt invullen zodat je een gelijkheid bekomt. c x + 34 = –65 5+ x = 8 als x – 14 = 3 want 17 – 14 = 3 en dan 8 = 5+x x = 17 Een vergelijking van de vorm x + a = b oplossen Als je het getal zoekt dat op de plaats van de onbekende moet staan, dan los je de vergelijking op. • Welke bewerking moet je uitvoeren in het linkerlid om x af te zonderen? Noteer deze bewerking naast de pijl in het linkerlid. • Welke bewerking moet je in het rechterlid uitvoeren om de gelijkheid te bewaren? Noteer deze bewerking naast de pijl in het rechterlid. • Bereken de waarde van x. ∙ x + 75 = 25 x = 25 . . . . . . .– . . . .75 .. x = . . –50 ........... 68 Gehele getallen: optelling en aftrekking –75 ∙ –75 ........ ........ • Controleer de oplossing van de vergelijking door ze op de plaats van de onbekende in te vullen in de vergelijking. –50 . . . . . . . . + 75 = 25 Stappenplan – een vergelijking van de vorm x + a = b oplossen Noteer elke stap op een nieuwe regel en schrijf de gelijkheidstekens netjes onder elkaar. a en b zijn gehele getallen ∙ –a x+ 5 = 4 –a –5 x=b–a ∙ In het linker- en het rechterlid dezelfde term aftrekken. • In het linker- en het rechterlid dezelfde term optellen. Bereken de waarde van x. • x+a=b ∙ bewerking uit te voeren. ∙ Zonder x af door in beide leden dezelfde –5 x = 4 – 5 x = –1 Controleer de oplossing door het getal in te vul- controle: –1 + 5 = 4 len in de vergelijking op de plaats van x. CONTROLE 24 Los deze vergelijking op met het pijlenschema. ∙ x – 3 = 25 x = 25 . . . . . . .+ . . . . .3 . x = 28 ............. Vraagstukken oplossen met een vergelijking De temperatuur is sinds vanmorgen 7° gestegen. Nu is het 2 °C. Hoe koud was het vanmorgen? • Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. • Wat is de onbekende in het vraagstuk? • Lees het vraagstuk opnieuw en schrijf het verband tussen de onbekende en de bekende gegevens in wiskundetaal. x is de temperatuur van vanmorgen. ........................................................................................................... . . . . . . . temperatuur van vanmorgen +7 = 2 . . . . . . ........................................................................................................... ........................................................................................................... . . . . . . x........................................................................................................... +7 = 2 ...... • Schrijf deze uitspraak als een vergelijking. • Los de vergelijking op (met behulp van een pijlenschema). ........ x ........ + . . .7 . . . . . = . . .2 ..... x = 2. . . . .–. . 7 ........ x ........ –7 ∙ –7 ∙ d +3 ........ ∙ +3 ........ ........ = . .–5 ..... • Controleer of de oplossing van de vergelijking gelijk is aan het antwoord op het vraagstuk. • Formuleer een antwoordzin. –5 + 7 = 2 Vanmorgen was het –5 °C. . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 69 G17 Vergelijken van de vorm x + a = b oplossen (vervolg) Stappenplan – een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking Lees het vraagstuk aandachtig en 45 meer dan een getal is –515. Over welk getal gaat het? onderstreep de bekende gegevens. Wat is de onbekende in het vraagstuk? het getal De onbekende stel je voor met de letter x. x + 45 = –515 ∙ –45 de bekende gegevens als een vergelijking. x = –515 – 45 Los de vergelijking op. ∙ Schrijf het verband tussen de onbekende en –45 x = –560 Controleer je antwoord door het in –560 + 45 = –515 de vergelijking in te vullen op de plaats van x. Formuleer een antwoordzin. het getal is –560 Oefeningen WeeR? 209 MeeR? 210 20 Los de vergelijkingen op. a x + 17 = 8 x = 8 – 17 = –9 .............x . . . . . . ........................................................................... x + 125 = 125 x = 125 – 125 x = 0 ............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................... ............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................... ............................................................................................. . b e 4+x=2 x = 2–4 –2 ...........x . . . . . . .= . ............................................................. .............. x – 7 = 24 x = 24 + 7 x = 31 ............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. ............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. ............................................................................................. . c f x – 16 = –9 –9 + 16 . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= ............................................................. .............. 7 . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= ............................................................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. WeeR? 211 d 25 + x = –17 x = –17 – 25 x = –42 ............................................................................................. . ............................................................................................. . ............................................................................................. . 21 Los de vergelijkingen op. a 12 = x – 7 x. . .–. . . . .7. . . . . .= 12 . . . . . ........................................................................... 12 + 7 . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . ............................................................................ 19 . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . ........................................................................... b –154 + x = 29 x = 29 + 154 = 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . ............................................................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. c x – (–5) = 16 d –3 + x = –51 x = –51 + 3 x = –48 ............................................................................................. . ............................................................................................. . ............................................................................................. . e –3 = 7 + x 7............................................................................................. + x = –3 . x = –3 – 7 ............................................................................................. . x = –10 ............................................................................................. . f 5 = –2 + x x + 5 = 16 –2 +............................................................................................. x = 5 . = 16 – 5 x = 5+2 . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . ............................................................. .............. ............................................................................................. . = 11 x = 7 ............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . ............................................................. .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .............. 70 Gehele getallen: optelling en aftrekking 22 • • a Schrijf als een vergelijking. Los de vergelijking op. Als je 35 van een getal aftrekt, dan krijg je 70. Wat is dat getal? x. . . .–. . . . 35 70 . . . . . . . . .= . . ..................................................................................................................................................................................... ...... 70 + 35 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ..................................................................................................................................................................................... ...... 105 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ..................................................................................................................................................................................... ...... Het is 105. . . . . . . . . . .getal . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... ...... WeeR? 212 MeeR? 213 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . . b Mijn grootvader werd geboren in 1906. Hoe oud zou hij dit jaar geworden zijn? 1906 = 2009 (jaartal invullen) . . . . . . . . . . . . . .+ . . . . .x ..................................................................................................................................................................................... ...... = 2009 – 1906 . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . ..................................................................................................................................................................................... ...... = 103 . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . ..................................................................................................................................................................................... ...... Mijn zou dit jaar (in 2009) 103 geworden zijn. . . . . . . . . . . . . .opa . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . . . c Bij een spelletje Monopoly heb je 1870 euro nadat je tegenspeler 34 euro aan jou moest betalen omdat hij op jouw grond terecht kwam. Hoeveel geld had je vóór je tegenspeler aan de beurt was? x. . . .+ 1870 . . . . .34 . . . . . . . .= . . ........................................................................... 1870 – 34 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ........................................................................... 1836 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ........................................................................... Voor beurt van mijn tegenspeler . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . ........................................................................... had euro. . . . . . . . . . . . ik . . . . . .1836 . . ........................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................... d Bas heeft een boekenbon van vijf euro gekregen voor zijn verjaardag. Hij koopt in de boekhandel twee stripboeken. Die kosten samen 6,40 euro. Hoeveel moet hij nog bijbetalen? 5 + x = 6,40 6,40 – 5 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . 1,40 . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Bas nog 1,40 euro bijbetalen. . . . . . . . . . .moet . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . e Mijn bankrekening staat 172 euro in het rood. Hoeveel moet ik overschrijven om een nieuwe stand van 210 euro te krijgen? –172 = 210 . . . . . . . . . . . . .+ . . . . .x . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . = 210 + 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . = 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Je nog 382 euro overschrijven om een nieuwe rekeningstand van 210 euro. .te . . . . . . moet . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ .... krijgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Wat moet je kunnen? τ vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen τ vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking van de vorm x + a = b 71 G13 Problemsolving 23 Als je in een magisch vierkant de getallen in een rij, een kolom of een diagonaal optelt, dan is de uitkomst iedere keer hetzelfde. Welke getallen moet je invullen om een magisch vierkant te maken? 11 1 15 13 9 5 Op rij is de som 27 (3 + 17 + 7 = 27). . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .derde . . . ................................................................................................................................................................... 3 17 7 Op rij heb je al 26 (11 + 15 = 26). . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .eerste . . . ................................................................................................................................................................... Je 1 nodig (27 – 26 = 1). . . . . . . . .hebt . . . . . . . . . . . . . .nog ................................................................................................................................................................... In kolom: 11 + 13 + 3 = 27 . . . . . . .de . . . . . . . . eerste . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . 24 Silke heeft haar oma een sms gestuurd: “Het is hier 35 °C in de schaduw”. Haar oma stuurt een sms terug: “Als je mij 9 graden stuurt, dan hebben we het even warm.” Hoe warm is het bij oma? Als negen graden stuurt, heeft . . . . . . . . . .Silke . . . . . . . . . . . . ................................................................................... ze °C – 9 °C = 26 °C over. . . . . . . . .nog . . . . . . . . . . . . 35 . . ................................................................................... Als negen graden ontvangt . . . . . . . . . .oma . . . . . . . . . . . . ................................................................................... heeft 26 °C. . . . . . . . . . . . . . . . . ze . . . . . . ................................................................................... Het oma 26 °C – 9 °C = 17 °C. . . . . . . . . . . . .is . . . . .bij . . . . . ................................................................................... 25 Harry telt de getallen 2, 4, 6 tot en met 2000 op. Hermelien telt de getallen 1, 3, 5 tot en met 1999 op. Hoeveel is het verschil tussen hun antwoorden? A B 1 C 200 500 D e 1000 2000 Alle getallen van Harry zijn 1 groter dan de ........................................................................................................................................... ...... overeenkomstige getallen van Hermelien. (2 is 1 . . . . . . ........................................................................................................................................... groter dan 1, 4 is 1 groter dan 3, …) Harry telt 1000. . . . . . ........................................................................................................................................... getallen op die elk één groter zijn dan de getallen . . . . . . ........................................................................................................................................... van Hermelien. Het antwoord van Harry is bijgevolg ........................................................................................................................................... ...... 1000 groter dan het antwoord van Hermelien. . . . . . . ........................................................................................................................................... 26 Het percentage meisjes in een groep schoolkinderen is meer dan 45 %, maar minder dan 50 %. Hoeveel meisjes zijn er minstens in deze groep? A 3 B 4 C D 5 e 6 7 schoolmeisjes gedeeld door het aantal schoolkinderen geeft het per-. . . . . . . .Het . . . . . . . . . . .aantal . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... schoolmeisjes. Deze breuk moet iets kleiner zijn dan de helft (50 %). Bekijk .centage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 1 de breuken die iets kleiner zijn dan __ en hun overeenkomstig percentage. .daarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . 5 = 45,45 % 3 ≈ 43 % 2 = 40 % 4 ≈ 44 % 1 __ __ __ ___ __ % . . . . . . . .≈ . . . . . . . .33,333 . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 3 5 7 9 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . 5. De breuk die je tegen komt met een percentage tussen 45 en 50 is ___ . . . . . . . . . .eerste . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 11 72 problemsolving
