werkbladen

In welke zin draaien de wielen?
In je speldoos vind je tandwielen met respectievelijk 6, 8, 10 en 14 tanden. Beantwoord de volgende
vragen door gebruik te maken van je speelgoed.
1. Leg een tandwiel met 10 tanden naast een tandwiel met 6 tanden zoals in de onderstaande
figuur. Draai het grootste tandwiel in wijzerzin. In welke zin beweegt het kleine tandwiel
dan?
2. Leg drie tandwielen naast elkaar en draai één van de wielen. Welke wielen draaien in
dezelfde zin?
3. Kunnen drie tandwielen die elkaar twee aan twee raken ronddraaien? Waarom wel / niet?
4. Ken je situaties waarin tandwielen (op een andere manier) gebruikt worden en waarbij de
draaizin niet omdraait?
In de volgende werkteksten spreken we over het aandrijfwiel (het wiel waarmee je draait) en de
volgwielen.
Uitwiskeling Live
1
20 november 2004
Aantal tanden bij volledige omwentelingen
1. Neem opnieuw een tandwiel met 10 tanden en een tandwiel met 6 tanden. Zorg er voor dat ze
mekaar raken. Draai het grootste tandwiel over drie tanden. Over hoeveel tanden beweegt het
volgwiel dan?
2. Doe dit ook voor enkele andere aantallen dan drie. Wat kan je hieruit besluiten?
3. Hoeveel volledige omwentelingen moet het aandrijfwiel draaien opdat het volgwiel ook een
aantal volledige omwentelingen maakt? Geef verschillende mogelijkheden.
4. Over hoeveel tanden zijn beide wielen dan gedraaid?
5. Wat valt er op als je deze getallen vergelijkt met het aantal tanden van beide wielen, 10 en 6?
6. Vergelijk 30 met de andere antwoorden op vraag 4. Zijn die andere getallen groter of kleiner?
0 is een veelvoud van elk getal. Omdat 30 het eerstvolgende gemeenschappelijke veelvoud is van 10 en 6,
noemen we 30 het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 10 en 6.
7. Neem twee andere tandwielen met verschillende afmetingen. Maak een constructie waarbij de
tandwielen elkaar raken. Noteer het minimale aantal tanden waarover beide wielen moeten
draaien totdat ze allebei een aantal volledige omwentelingen maken. Vind je opnieuw het
kleinste gemeenschappelijke veelvoud?
8. Experimenteer ook eens met drie naast elkaar liggende, rakende tandwielen. Zorg er voor dat
alledrie de tandwielen een geheel aantal omwentelingen maken. Tel opnieuw het minimale
aantal tanden waarover gedraaid is en vergelijk dit met het aantal tanden van de verschillende
wielen. Kom je weer het kleinste gemeenschappelijke veelvoud tegen?
Uitwiskeling Live
2
20 november 2004
Hoe snel draaien de wielen rond?
We onderzoeken het aantal omwentelingen van het volgwiel als het aandrijfwiel een aantal volledige
omwentelingen maakt. Met het materiaal uit de speldoos kan je constructies maken om de antwoorden op
de vragen te vinden.
Vertrek van een aandrijfwiel met 6 tanden en een volgwiel met 10 tanden.
1. Laat het aandrijfwiel één volledige omwenteling maken. Over welk deel van een hele
omwenteling draait het volgwiel dan?
2. Hoeveel omwentelingen maakt het volgwiel als het aandrijfwiel twee keer ronddraait?
Hoeveel bij drie, vier, honderd keer?
3. Hoeveel omwentelingen maakt het volgwiel dus als het aandrijfwiel n omwentelingen
uitvoert?
4. Hoe is de breuk uit de bovenstaande formule opgebouwd: waar komt de teller vandaan, wat
betekent de noemer?
5. Zoek een soortgelijke formule als bij vraag 3 voor een aandrijfwiel met 14 tanden en een
volgwiel met 8 tanden.
6. Hoeveel omwentelingen maakt in het algemeen een volgwiel met v tanden als een
aandrijfwiel met a tanden n keer ronddraait?
De breuk die je verkrijgt voor één omwenteling van het aandrijfwiel, noemen we de
overbrengingsverhouding van het tandwielsysteem.
7. Wanneer is de overbrengingsverhouding kleiner dan 1, wanneer groter dan 1, wanneer precies
1?
8. Als de overbrengingsverhouding gelijk is aan drie, hoeveel keer draait het volgwiel dan
sneller /trager dan het aandrijfwiel?
De formule uit vraag 6 laat ons toe om te berekenen hoeveel omwentelingen het volgwiel maakt voor een
geheel aantal omwentelingen van het aandrijfwiel. We willen deze formule nu veralgemenen voor niet2
gehele omwentelingen van het aandrijfwiel, bijvoorbeeld
van een omwenteling.
3
Gegeven zijn twee rakende tandwielen met 10, respectievelijk 6 tanden. Het grootste wiel is het
aandrijfwiel.
9. Stel dat het aandrijfwiel over 3 tanden draait. Beredeneer welk deel van een volledige
omwenteling dit wiel dan maakt.
Uitwiskeling Live
3
20 november 2004
10. Over welk deel van een volledige omwenteling draait het volgwiel dan?
11. De eerste factor uit de formule die we zoeken wijst op het aantal omwentelingen van het
aandrijfwiel. Hoe groot is dit getal hier?
12. Wat wordt de tweede factor? Waarom?
13. Ga na dat het aantal omwentelingen van het volgwiel inderdaad het product is van deze
factoren.
We onderzoeken nog een geval.
14. Laat het aandrijfwiel
13
omwenteling maken. Beredeneer hoeveel omwentelingen het
10
volgwiel dan maakt.
15. Controleer of dit getal het product is van het aantal omwentelingen van het aandrijfwiel en de
overbrengingsverhouding.
16. Hoeveel omwentelingen maakt een volgwiel met v tanden als een aandrijfwiel met a tanden
over m tanden beweegt?
17. Hoeveel omwentelingen maakt in het algemeen een volgwiel met v tanden als een
aandrijfwiel met a tanden p omwentelingen maakt, waarbij p een willekeurige breuk
voorstelt?
Als je het voorgaande goed begrepen hebt, mogen de volgende oefeningen geen probleem vormen.
18. Stel dat je drie rakende tandwielen hebt: een aandrijfwiel met 11 tanden, een eerste volgwiel
met 8 tanden en een tweede volgwiel met 6 tanden. Bereken het aantal omwentelingen van
het laatste wiel als het aandrijfwiel over 13 tanden beweegt.
19. Zorgt het tussenwiel hier voor een andere overbrengingsverhouding? Waarom (niet)?
20. Waarom zou men dan een tussenwiel gebruiken? Welk effect heeft een tussenwiel?
Uitwiskeling Live
4
20 november 2004
Gesmeerd fietsen
Hedendaagse fietsen hebben heel wat versnellingen. Deze versnellingen worden gevormd door
tandwielen. Een fiets met 21 versnellingen bijvoorbeeld heeft 3 tandwielen vooraan (aandrijfwielen,
verbonden met de trappers) en 7 tandwielen achteraan (volgwielen, verbonden met het achterwiel).
1. Waarom gebeurt de aandrijving van een fiets met een ketting, en niet met tussenliggende
tandwielen?
Bij de trappers van een fiets kiest men vaak voor tandwielen met respectievelijk 26, 36 en 46 tanden, bij
het achterwiel wordt de combinatie tandwielen met 13, 15, 17, 19, 21, 23 en 25 tanden veel gebruikt.
2. Stel dat de ketting vooraan op een tandwiel met 26 tanden ligt en achteraan op een tandwiel
met 13 tanden. Wat is dan de overbrengingsverhouding van deze tandwielcombinatie?
3. Hoeveel omwentelingen maakt het achterwiel van de fiets dan als de trappers één keer
rondgaan?
4. Waaraan is de verhouding tussen de draaisnelheid van het achterwiel en de draaisnelheid van
de trappers dan gelijk?
5. Bij welke tandwielcombinatie is deze verhouding het grootst?
6. Hoeveel keer draait het achterwiel in dit geval sneller dan de trappers?
7. Noemt men dit in de volksmond een groot verzet of een klein verzet? Waarom?
8. Wat is de kleinst mogelijke overbrengingsverhouding?
9. In vraag 2 vonden we als overbrengingsverhouding 2. Is er nog een andere manier om
dezelfde overbrengingsverhouding te krijgen?
Je merkt dus dat deze fiets niet 21 verschillende versnellingen heeft. We gaan na of er nog meer
overbodige versnellingen zijn. Hiervoor berekenen we de weg die de fiets aflegt als de trappers één keer
rond gaan. We veronderstellen dat de wielen van de fiets een diameter van 69 cm hebben.
10. Stel dat je de ketting vooraan op het tandwiel met 36 tanden legt en achteraan op het tandwiel
met 21 tanden. Hoeveel centimeter leg je dan af als je de trappers één keer laat rondgaan?
Uitwiskeling Live
5
20 november 2004
In onderstaande tabel vind je de afstanden terug (in cm) die je aflegt bij de verschillende versnellingen:
tandwielen achteraan
13
15
17
19
21
23
25
tandwielen
26
433,5
375,7
331,5
296,6
268,4
245,0
225,4
vooraan
36
600,3
520,2
459,0
410,7
371,6
339,3
312,1
46
767,0
664,7
586,5
524,8
474,8
433,5
398,8
11. In de vakliteratuur noemt men twee versnellingen gelijkwaardig als het verschil van de
fietsafstanden bij één omwenteling van de trappers kleiner is dan 20 cm. Hoeveel
versnellingen houd je dan eigenlijk over als je gelijkwaardige versnellingen schrapt uit
bovenstaande tabel?
Uitwiskeling Live
6
20 november 2004
Tandwielen in een klok
In een klok staan de grote en de kleine wijzer op eenzelfde as. Beide wijzers worden aangedreven door
eenzelfde tandwielsysteem, dat er voor zorgt dat de wijzers elk met een verschillende snelheid draaien.
1. Als de grote wijzer (minutenwijzer) van een klok draait over een hoek van 360°, over hoeveel
graden draait de kleine wijzer (urenwijzer) dan?
2. Bij een klok is de minutenwijzer verbonden met het aandrijfwiel en de urenwijzer met een
volgwiel. Veronderstel even dat deze wielen elkaar raken. Welk van beide wielen zou dan het
meeste tanden moeten hebben?
3. Als het aandrijfwiel 10 tanden bevat, hoeveel tanden moet het volgwiel dan hebben?
4. Hoeveel keer zou de omtrek van het aandrijfwiel dan ongeveer groter / kleiner moeten zijn
dan de omtrek van het volgwiel?
5. Een polshorloge heeft een diameter van 3 cm. Welke diameter kan het aandrijfwiel dan
hoogstens hebben?
Je merkt dat dit geen realistische waarde is. In de praktijk gebruikt men enkel overbrengingen met
tandwielen die niet al te veel verschillen in diameter. Ook met zulke tandwielen kan je er voor zorgen dat
de urenwijzer (verbonden met volgwiel) 12 keer trager draait dan de minutenwijzer (verbonden met
aandrijfwiel).
6. Welke overbrengingsverhouding moet dit tandwielsysteem dan hebben?
Met Kaleidogears proberen we te vinden hoe we tot zo’n kleine overbrengingsverhouding kunnen komen.
We zoeken een systeem om het aantal omwentelingen van het laatste volgwiel veel kleiner te maken dan
het aantal omwentelingen van het aandrijfwiel, en dit zonder al te groot verschil in diameter van de
gebruikte tandwielen.
7. Vertrek van een tandwiel met 6 tanden, dat een wiel met 10 tanden aandrijft. Bouw op het
wiel met tien tanden een as, met bovenaan een tandwiel met 8 tanden. Zo maakt dit tandwiel
evenveel omwentelingen als het vorige. Het volgwiel met 8 tanden laten we een wiel met 14
tanden aandrijven.
Uitwiskeling Live
7
20 november 2004
8. Als het eerste tandwiel één omwenteling maakt, hoeveel omwentelingen maakt het laatste
volgwiel dan?
9. Hoe vaak moet het aandrijfwiel dus ronddraaien voordat het laatste volgwiel één volledige
omwenteling maakt?
We hebben zonet geleerd hoe je met enkele tussenstappen de draaisnelheid van tandwielen sterk kan
verminderen, iets wat bij een klok zeker moet gebeuren. Bovendien zijn bij een klok de wijzers verbonden
met eenzelfde as en hebben ze dezelfde draaizin.
Hieronder zie je het tandwielsysteem van een mechanische klok. Het minuutrad brengt de grote wijzer
rechtstreeks in beweging, de kleine wijzer wordt aangedreven door het uurrad. We kunnen nu duidelijk
maken hoe dit tandwielsysteem de klok op een juiste manier laat werken.
10. Ga na dat kleine wijzer en grote wijzer in dezelfde zin draaien.
11. Over welke hoek moet het minuutrad op één uur tijd draaien?
12. Bereken over welke hoek het uurrad dan draait. Komt dit overeen met de werkelijke situatie?
13. Het aandrijfrad bevat 36 tanden. Het is rechtstreeks verbonden met de veer die je moet
opwinden om de klok te laten werken. Hoeveel tijd heeft het aandrijfrad nodig om één
volledige omwenteling te maken?
Uitwiskeling Live
8
20 november 2004