Tim Van der Hoeven Roger Van Nieuwenhuyze

fex
em
pla
ar
ICT PRACTICUMBOEK (3e JAAR / ONDERBOUW)
GeoGebra
Dit leerwerkboekje is bruikbaar in
3 ASO (leerweg 4 en 5)
3 TSO-KSO (leerplan A - B - C)
Derde jaar van het GO!
Meetkunde en analytische meetkunde
vraagstukken en stelsels
en
creatieve opdrachten
Pr
oe
in het derde jaar
met GeoGebra
Tim Van der Hoeven
Roger Van Nieuwenhuyze
fex
em
pla
ar
3
ICT practicumboek > inhoud
1
2
Het pakket GeoGebra
2.2
Samenhang congruentie, gelijkvormigheid en
transformaties, 16
2.2.1
Practicum 5: Omtrek, oppervlakte en inhoud van
gelijkvormige figuren > 16
Meetkunde
2.1
Gelijkvormigheid van vlakke figuren en de
stelling van Thales, 7
2.1.1
Practicum 1: De stelling van Thales en
Toepassing 1: Een rechthoekige weide > 16
Toepassing 2: Een figuur vergroten of verkleinen > 17
Toepassing 3: Een ruimtefiguur vergroten of
verkleinen > 19
2.2.2
de coördinaten van een punt en zijn beeld > 20
Toepassing 1: De stelling van Thales in een driehoek > 8
Toepassing 1: Spiegelingen en coördinaten van
Toepassing 2: Een lijnstuk verdelen in vijf gelijke delen > 9
een punt en zijn beeld > 20
Toepassing 3: De vierde evenredige construeren van
Toepassing 2: Verschuivingen en coördinaten van
drie gegeven lijnstukken > 10
2.1.2
een punt en zijn beeld > 21
Practicum 2: Gelijkvormigheidskenmerken van
Toepassing 3: Homothetieën en coördinaten van
driehoeken > 10
Toepassing 1: Gelijkvormigheidskenmerk 1 > 10
een punt en zijn beeld > 22
2.2.3
Toepassing 2: Gelijkvormigheidskenmerk 2 > 11
evenwijdige assen > 23
Practicum 3: Toepassingen op gelijkvormigheden
Toepassing 2: Samenstelling van twee spiegelingen met
en op de stelling van Thales deel 1 > 13
oe
Practicum 7: Isometrieën > 23
Toepassing 1: Samenstelling van twee spiegelingen met
Toepassing 3: Gelijkvormigheidskenmerk 3 > 12
2.1.3
Practicum 6: Samenhang tussen transformaties en
toepassingen op de stelling van Thales > 7
snijdende assen > 23
Toepassing 1: De stelling van de middenparallel > 13
Toepassing 2: Omgekeerde stelling van de
middenparallel > 14
Toepassing 3: De bissectrice-eigenschap in een
2.3
2.3.1
driehoek > 14
Practicum 8: De stelling van Pythagoras > 24
Toepassing 1: Pythagoras zonder woorden > 24
Practicum 4: Toepassingen op gelijkvormigheden
Toepassing 2: Pythagoras volgens Henry Perigal > 25
en op de stelling van Thales deel 2 > 15
Toepassing 3: De stelling van Pythagoras zelf
Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt
in een driehoek > 15
Pr
2.1.4
De stelling van Pythagoras, 24
controleren > 26
2.3.2
Toepassing 2: Metrische betrekkingen in een
Pythagoras > 27
rechthoekige driehoek > 15
Toepassing 1: Vraagstuk van Leonardo van Pisa > 27
Toepassing 3: Metrische betrekkingen in een
rechthoekige driehoek > 16
Practicum 9: Toepassingen op de stelling van
Toepassing 2: Eigenschap in een rechthoek > 29
2.3.3
Practicum 10: Toepassingen op de stelling van
Pythagoras > 30
Toepassing 1: Een afgeknakte boom > 30
Toepassing 2: Berekening van afstanden > 31
Toepassing 3: Een Pythagorasboom tekenen > 32
fex
em
pla
ar
ICT practicumboek > inhoud
2.4
2.4.1
Driehoeksmeting in een rechthoekige
driehoek, 32
2.5.4
Practicum 18: Meetkundige eigenschappen
verklaren met vectoren > 45
Toepassing 1: Eigenschap in een driehoek > 45
Practicum 11: Sinus, cosinus en tangens van een
Toepassing 2: Eigenschap in een parallellogram > 46
scherpe hoek in een rechthoekige driehoek > 32
Toepassing 3: Collineaire punten > 46
Toepassing 1: Definities sin, cos en tan van een scherpe
hoek in een rechthoekige driehoek > 32
Toepassing 2: SOSCASTOA > 33
Toepassing 3: Constructievraagstuk > 33
2.4.2
Practicum 12: Oplossen van rechthoekige driehoeken > 34
Toepassing 1: Schuine zijde en scherpe hoek gegeven > 34
Toepassing 2: Rechthoekszijde en scherpe hoek
3
3.1
Reële functies, 47
3.1.1
Practicum 1: Domein, beeld, nulpunt(en) en
waardentabel van een functie > 47
gegeven > 34
2.4.3
Practicum 13: Oplossen van rechthoekige driehoeken > 35
Toepassing 1: Bepalen van het domein, het beeld
Toepassing 1: Schuine zijde en rechthoekszijde
en de nulpunten van een gegeven functie > 48
gegeven > 35
Toepassing 2: Opmaken van de waardentabel van
Toepassing 2: Twee rechthoekszijden gegeven > 36
2.4.4
een gegeven functie > 50
Practicum 14: Oplossen van vraagstukken
(rechthoekige driehoeken) > 36
Toepassing 1: Hoe hoog is de boom? > 36
3.2
Functies van de eerste graad, 51
Toepassing 2: Hoe hoog staat de zon boven
3.2.1
Practicum 2: Richtingscoëfficiënt van een rechte > 52
de horizon? > 37
Toepassing 1: De betekenis van de richtingscoëfficiënt
oe
Toepassing 3: Hoe breed is de straat? > 38
2.5
Vectoren, 39
2.5.1
Practicum 15: Het begrip vector > 39
van een rechte > 52
Toepassing 2: Verband tussen de richtingscoëfficiënt van
een rechte en de tangens van de hoek die
deze rechte maakt met de positieve x-as > 54
Toepassing 3: De richtingscoëfficiënt bepalen van
Toepassing 1: Gelijke vectoren > 39
Toepassing 2: Som van vectoren > 40
Toepassing 3: Scalaire vermenigvuldiging > 41
2.5.2
enkele bijzondere rechten > 57
3.2.2
Practicum 3: Vergelijkingen van rechten bepalen
Toepassing 4: Regel van het parallellogram > 41
die aan bepaalde voorwaarden voldoen > 58
Practicum 16: Toepassingen op vectoren > 42
Toepassing 1: Vergelijking van een rechte
Pr
Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt
van een driehoek > 42
Toepassing 2: Eigenschap in een parallellogram > 43
2.5.3
Analytische meetkunde
Practicum 17: Vector en coördinaat > 44
Toepassing 1: Coördinaat van een puntvector > 44
Toepassing 2: Parametervergelijkingen
van een rechte > 44
door de oorsprong > 58
Toepassing 2: Vergelijking van een rechte niet door de
oorsprong en niet-evenwijdig aan de
y-as > 59
Toepassing 3: Vergelijking van een rechte
evenwijdig aan de x-as > 61
Toepassing 4: Vergelijking van een rechte
evenwijdig aan de y-as > 62
fex
em
pla
ar
3.2.3
Toepassing 1: Verband tussen vergelijkingen van de eerste
Practicum 4: Studie van de functie met als voorschrift
graad en eerstegraadsfuncties > 82
f(x) = m  x + q > 63
Toepassing 2: Een ongelijkheid van de eerste
Toepassing 1: Invloed van de parameters m en q op de
graad grafisch oplossen > 83
functie f met als voorschrift
f(x) = m  x + q > 63
Toepassing 2: Tekenonderzoek van f(x) = m  x + q > 66
Toepassing 3: Het functievoorschrift van een
functie bepalen > 66
3.2.4
Practicum 5: Grafieken van functies tekenen met
4
4.1
Practicum 1: Vraagstukken oplossen > 86
een meervoudig functievoorschrift > 68
Toepassing 1: Een vastgebonden geit > 86
Toepassing 1: Grafieken van functies tekenen met een
Toepassing 2: De zijden van een rechthoek > 87
Toepassing 3: Een ladder tegen een muur > 89
meervoudig functievoorschrift 1 > 68
Toepassing 4: De zijden van een driehoek > 90
Toepassing 2: Grafieken van functies tekenen met een
meervoudig functievoorschrift 2 > 69
4.2
Practicum 2: Stelsels van vergelijkingen oplossen > 91
Toepassing 1: Stelsels van twee vergelijkingen van de
Toepassing 3: Vraagstukken oplossen met behulp van
eerste graad met twee onbekenden > 91
een meervoudig fucntievoorschrift > 70
3.2.5
Vraagstukken en stelsels oplossen
Toepassing 2: Stelsels van drie vergelijkingen van de
Practicum 6: Meetkundige problemen
eerste graad met twee onbekenden > 92
analytisch oplossen deel 1 > 72
Toepassing 3: Oplossen van een stelsel met
Toepassing 1: De zwaartelijn in een rechthoekige
parameters > 93
driehoek op de schuine zijde > 72
Toepassing 4: Een vijver in de vorm van een
Toepassing 2: Verband tussen de diagonalen en de
rechthoek > 94
zijden van een parallellogram > 74
oe
Toepassing 3: Gelijkheid in een willekeurige driehoek > 75
Toepassing 4: De stelling van Pythagoras > 75
3.2.6
Practicum 7: Meetkundige problemen
analytisch oplossen deel 2 > 76
Toepassing 1: Zwaartepunt van een driehoek > 76
3.2.7
Creatieve opdrachten
5.1
Practicum 1: Laat je creativiteit werken … > 95
Toepassing 2: Gelijkheid in een willekeurige driehoek > 77
Toepassing 1: Zeef van Sierpienski > 95
Toepassing 3: Gelijkheid in een trapezium > 78
Toepassing 2: Driehoek in driehoek > 96
Practicum 8: Algemene vergelijking van een rechte > 79
Toepassing 3: Heb je hiervoor een verklaring? > 96
Pr
Toepassing 1: Bespreking van de vergelijking
ax + by + c = 0 > 79
Toepassing 2: Opstellen van de vergelijking van een rechte
als één punt en de rico gegeven zijn > 80
Toepassing 3: Opstellen van de vergelijking van een
rechte door twee punten > 81
3.2.8
5
Practicum 9: Vergelijkingen en ongelijkheden
oplossen > 82
fex
em
pla
ar
6
1 > Het pakket GeoGebra
GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde en algebra en analyse combineert en ontwikkeld werd door Markus Hohenwarter, een Oostenrijker die momenteel in Amerika werkt.
De huidige versie van GeoGebra is GeoGebra 3.0.
De vertaling naar het Nederlands gebeurde door Bea Versichel, Pedro Tytgat en Ivan Dewinne.
GeoGebra is een open-sourcepakket en mag dus gratis gedownload worden.
Dit kan heel eenvoudig gebeuren door op Google, GeoGebra in te typen of rechtstreeks te
surfen naar: http://www.geogebra.org/.
Klik op download en het volgende scherm opent zich dan:
oe
Kies voor GeoGebra Webstart, want dan zul je steeds met de meest recente versie werken.
Er is ook een gebruikersforum:
en een soort materialenbank:
www.geogebra.org/forum
www.geogebra.org/en/wiki
Iemand die de basistechnieken van GeoGebra nog niet onder de knie heeft kan best het ICT Practicumboek voor de 1e graad
doornemen. Een strikte noodzaak is dit niet, want het boekje voor het derde jaar is zo opgevat dat er heel vaak een stappenplan voorzien is om de nodige constructies uit te voeren.
Pr
Dit boekje bestaat uit 30 practicums. Elk practicum kan in principe in één les uitgewerkt worden. Als dat niet lukt, dan
kunnen de resterende toepassingen als persoonlijk werk meegegeven worden.
Als sommige practica niet voorkomen op het leerplan van een bepaald onderwijstype, dan kunnen deze uiteraard weggelaten
worden.
Bij dit boekje horen meer dan 150 bestanden.
7
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Basisbegrippen van de meetkunde l
2 > Meetkunde
2.1 Gelijkvormigheid van vlakke figuren en de stelling van Thales
2.1.1 Practicum 1: De stelling van Thales en toepassingen op de stelling van Thales
Open in de map Thales het bestand Stelling van Thales.
Versleep het punt A.
oe
•
•
Versleep A of B of C.
•
Blijft de verhouding
•
Versleep M. Krijg je dan een andere snijlijn?
AB
MN
=
?
Blijft de verhouding
BC
NP
•
AB
BC
=
MN
NP
?
Ja / Neen
Ja / Neen
Ja / Neen
Pr
Formuleer de stelling van Thales in woorden:
De lijnstukken die evenwijdige rechten van een snijlijn afsnijden, zijn evenredig met de overeenkomstige lijnstukken
8
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Meetkunde
Toepassing 1: De stelling van Thales in een driehoek
Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek verdeelt de andere zijden in evenredige lijnstukken.
Gegeven is driehoek ABC en MN // BC
Toon aan dat
Stappenplan:
|AM|
|MC|
=
|AN|
|NB|
•
Klik op Bestand en kies voor Nieuw venster. Klik op Beeld en vink de assen uit.
•
Teken een driehoek ABC. Klik hiervoor op
en kies voor Veelhoek. Vergeet niet als laatste punt nog eens op het
beginpunt te klikken.
•
Klik op
en kies voor Nieuw punt. Teken een punt M op [AC] (pas dus de naam aan), klik op
Evenwijdige rechte en teken door M de evenwijdige met BC. Klik op
en kies nadien voor
en kies voor Snijpunt(en) van twee objecten en
klik op [AB] en op de getekende evenwijdige aan BC. Noem het snijpunt N.
•
Klik op
en kies voor Lijnstuk tussen twee punten en teken de lijnstukken [AM], [MC] ... en geef ze een passende
kleur. Klik hiervoor met de rechtermuisknop op een lijnstuk en ga naar Eigenschappen. In het venster dat zich dan opent,
klik je eerst op het lijnstuk en kies je nadien een passende kleur.
•
Verberg de labels a, b en c (zijden van de driehoek ABC).
•
Bereken de gevraagde verhoudingen.
•
Om een mooie lay-out te krijgen volg je volgende methode:
en kies nadien voor Tekst invoegen en klik ergens in het tekenvenster.
o
Klik op het icoontje
o
Volgend scherm opent zich (nadat je LaTeX formule hebt aangevinkt en bovendien in het bijhorende rolmenu hebt
Pr
oe
gekozen voor a / b).
Op de plaatsen tussen de accolades moet je nu de gepaste tekst
invoegen (zie hieronder). Om een verticaal streepje | in te typen, druk je
terzelfdertijd op de AltGr-toets en op de 1-toets, uiterst links bovenaan.
De “ vooraan hoef je niet te typen, de computer zal deze automatisch
bijplaatsen als je een tweede keer een breuk hebt ingevoerd en nadien
op e en op f in het algebravenster of in het tekenvenster hebt geklikt.
Uiteindelijk zou dit in je tekstvenster moeten staan:
“ \frac{ |AM| }{|MC|}= \frac{ “ + e + “ }{“ + f + “ }= “+(e/f)
+(e/f) moet je op het einde bijplaatsen. Dit zorgt voor het uiteindelijke resultaat.
Bijkomende opdracht:
Leg een punt D op [AM] (dit lijnstuk heeft de naam e).
Teken de lijnstukken [AD] en [DC].
Bereken de verhouding
|AD|
|DC|
.
Is
|AD|
|DC|
=
fex
em
pla
ar
9
|AM|
|MC|
Is ND // BC?
?
Ja / Neen
Ja / Neen
Versleep D en zoek een gepaste plaats voor D zodat bovenstaande verhoudingen toch aan elkaar gelijk zijn.
Waar moet D dan liggen?
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je steeds in de map Thales het bestand Thales in een driehoek openen.
Toepassing 2: Een lijnstuk verdelen in vijf gelijke delen.
Stappenplan:
•
Klik op Bestand en kies voor Nieuw.
•
Klik op
•
Klik op
•
Teken op deze hulplijn vijf cirkels met vaste straal. Kies hiervoor
oe
en kies voor Lijnstuk tussen twee punten en teken een lijnstuk [AB].
en teken een hulprechte b door A (zie onderstaande figuur).
als straal steeds 3.
•
Als middelpunt van de eerste cirkel kies je A,
de andere middelpunten zijn de snijpunten van
Pr
de getekende cirkels met de getekende rechte.
•
Verbind H met B en teken door D, E, F en G de
evenwijdigen met HB.
•
Duid de snijpunten van deze evenwijdigen met [AB] aan.
Sla het bestand op onder
een passende naam.
Ter controle kun je in de map Thales
het bestand Oplossing toepassing 2 openen.
en nadien Cirkel met middelpunt en straal. Kies
10
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Meetkunde
Toepassing 3: De vierde evenredige construeren van drie gegeven lijnstukken
Gegeven zijn drie lijnstukken [AB] (lengte a), [CD] (lengte b) en [EF] (lengte c).
Construeer een vierde lijnstuk [PQ] zodat
Stappenplan:
|AB|
|CD|
=
|EF|
|PQ|
.
•
Klik op Bestand en kies voor Nieuw.
•
Teken drie lijnstukken. Een lijnstuk [AB] (lengte a), een lijnstuk [CD] (lengte b) en een lijnstuk [EF] (lengte c).
•
Klik op
en kies nadien voor Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte.
(Klik ergens in het vlak en neem als lengte a). Er wordt een lijnstuk [GH] getekend.
•
Teken opnieuw een lijnstuk met beginpunt (neem het eindpunt van het vorig getekende lijnstuk als beginpunt) en gegeven
lengte (neem als lengte b).
•
Teken een hulplijn door het beginpunt G van het eerst getekende lijnstuk.
•
Teken een cirkel met middelpunt G en gegeven straal (neem als straal c).
•
Werk verder zelf af.
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Thales het bestand Vierde evenredige openen.
2.1.2 Practicum 2: Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken
Toepassing 1: Gelijkvormigheidskenmerk 1
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de eerste driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van de tweede driehoek.
Pr
oe
Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 1.
Er is een driehoek ABC getekend.
ˆ = A
ˆ getekend en D
ˆ =B
ˆ. De gelijke hoeken zijn met een markering aangeduid (hiervoor werd met de
Nadien hebben we E
rechtermuisknop op één van de hoeken geklikt en dan naar Eigenschappen gegaan. Bij Markering werd een passende
markering uitgekozen).
De lengte van [ED] mocht vrij gekozen worden.
Vervolgens hebben we driehoek EDF getekend.
Als je deze constructie wil overdoen, selecteer dan een gebied (met de linkermuisknop ingedrukt) rond driehoek DEF, druk op
de delete toets van je klavier en herbegin.
fex
em
pla
ar
11
Onderzoek nu zelf dat:
•
ˆ = Fˆ en dat |AB| = |BC| = |AC|
C
|DE| |FD| |EF|
Om Ĉ te meten, klik je op
, dan klik je eerst op B, dan op C en ten slotte op A (het tweede punt dat je aanklikt moet steeds
het hoekpunt zijn). Om F̂ te meten, werk je analoog maar je klikt eerst op E, nadien op F en ten slotte op D.
(Voor het berekenen van de verhoudingen en voor het weergeven van een mooie lay-out: zie practicum 1).
ˆ =
C
AB
DE
Besluit:
Fˆ =
BC
=
FD
=
AC
EF
=
Om de hoeken weer te geven in graden, minuten en seconden, open je in de map Macro’s de macro gradenminsec en duid je
alle hoeken nog eens aan.
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Oplossing kenmerk 1 openen.
Toepassing 2: Gelijkvormigheidskenmerk 2
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredigheid vormen en de ingesloten hoek even groot is.
Gegeven is de driehoek ABC met |AB| = 8 cm en |AC| = 12 cm en  = 40°.
Teken nu een driehoek A’B’C’ zo dat |A’B’| = 4 cm en |A’C’| = 6 cm en Â’ = 40°.
Meet de andere hoeken en de verhouding
Stappenplan:
|B'C'|
.
|BC|
Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 2. Hier is al een driehoek ABC getekend die aan de
nodige voorwaarden voldoet.
•
en kies nadien voor Lijnstuk
Teken een lijnstuk [A’B’] met beginpunt A’ en gegeven lengte: 4 cm. Klik hiervoor op
met beginpunt en gegeven lengte. Vul in het geopende venster 4 in. Teken de hoek Â’ = 40°. Hiervoor kies je voor Hoek
met gegeven grootte, klik je eerst op B’ en nadien op A’. Vul dan 40° in en kies voor Tegenwijzerzin. Teken nadien ook
nog de nodige halfrechte.
•
en kies dan voor Cirkel met middelpunt en straal. Neem als middelpunt A’ en als straal 6.
Klik nu op het icoontje
Het snijpunt met de getekende halfrechte noem je C’.
oe
•
•
Teken de driehoek A’B’C’.
•
Meet de hoeken (om de hoeken weer te geven in graden minuten en seconden open je in de map Macro’s de macro
gradenminsec).
ˆ' =
B
ˆ =
C
ˆ' =
C
|A'B'|
|AB|
=
|A'C'|
|AC|
=
Pr
•
ˆ =
B
•
Bereken de verhouding
|B'C'|
|BC|
|B'C'|
|BC|
.
=
Zijn de twee getekende driehoeken gelijkvormig? Ja / Neen
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Oplossing kenmerk 2 openen.
l deel 2 > Meetkunde
fex
em
pla
ar
12
Toepassing 3: Gelijkvormigheidskenmerk 3
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.
Open in de map Gelijkvormigheidskenmerken het bestand Kenmerk 3.
Er zijn drie schuifknoppen getekend en een driehoek ABC.
Versleep de schuifknoppen.
Wat gebeurt er als je de schuifknop m versleept?
________________________________________________________________________
Wat gebeurt er als je de schuifknop n versleept?
________________________________________________________________________
Teken nu een nieuwe driehoek A’B’C’ zodat |A’B’| = 2|AB| en |A’C’| = 2|AC| en |B’C’| = 2|BC|.
Teken hiervoor eerst een lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte. Geef het lijnstuk de naam [A’B’]. Kies als lengte 2*m.
Teken nadien cirkels met middelpunt en straal. Kies als eerste middelpunt A’ en neem als straal 2*n en neem nadien B’ als
middelpunt en als straal kies je 2*p.
Meet nu alle hoeken van beide driehoeken.
ˆ' =
A
ˆ =
B
ˆ' =
B
ˆ =
C
ˆ' =
C
oe
ˆ =
A
Pr
Zijn de corresponderende hoeken aan elkaar gelijk?
Zijn de getekende driehoeken gelijkvormig?
Versleep m (of n of p). Blijven de driehoeken gelijkvormig?
Verklaring:
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ja / Neen
Ja / Neen
Ja / Neen
fex
em
pla
ar
13
Ter controle kun je in de map
Gelijkvormigheidskenmerken
het bestand Oplossing kenmerk 3
openen.
2.1.3 Practicum 3: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 1
Toepassing 1: De stelling van de middenparallel
Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt (een middenparallel) is evenwijdig met de derde
zijde en de lengte ervan is de helft van de lengte van de derde zijde.
Stappenplan:
Verberg de assen.
•
Teken een driehoek ABC. Verberg de labels a, b en c.
•
Neem de middens van [AC] en [AB]. Noem deze middens M en N.
•
Teken [MN].
•
Teken eveneens de rechte MN en de rechte BC.
•
Onderzoek via het commandovenster of MN // BC door het volgende in te typen: d // e . Het symbool // moet met het
eerste rolmenu ingevoerd worden. In het algebravenster verschijnt er dan true. Dus is MN // BC.
•
(een andere mogelijkheid is
oe
•
om te klikken op
kiezen voor Relatie tussen
2 objecten en dan te klikken
op d en op e).
|BC|
Controleer dat |MN| =
.
2
Sla het bestand op onder een
passende naam.
Pr
•
, nadien te
Ter controle kun je in de map
Toepassingen gelijkvormigheden
en stelling van Thales deel 1 het
bestand Stelling middenparallel
openen.
14
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Meetkunde
Toepassing 2: Omgekeerde stelling van de middenparallel
De rechte door het midden van een zijde van een driehoek en evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden
van de derde zijde.
Onderzoek dit volledig zelf.
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 1 het bestand Omgekeerde
stelling middenparallel openen.
Toepassing 3: De bissectrice-eigenschap in een driehoek
De deellijn van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken die evenredig zijn met de aangrenzende zijden van
de driehoek.
Stappenplan:
• Klik op Bestand en kies voor Nieuw.
•
Teken een driehoek ABC.
•
Klik op
getekend.
•
Zoek het snijpunt D van deze deellijn met [BC].
•
Duid nu de twee hoeken aan die in A worden gevormd. Klik nu met de rechtermuisknop op één van de hoeken en ga naar
Eigenschappen. Klik nadien op Markering en kies een passende markering. Pas in Stijl ook de Afmeting aan.
•
Teken de lijnstukken [CD] en [DB]
en druk alle lengtes af op het
scherm. Selecteer hiervoor met de
rechtermuisknop één van de lijnstukken, ga naar Eigenschappen
en klik in het nieuwe venster
links bij Objecten op het woordje
Lijnstuk (alle lijnstukken worden
dan geselecteerd). Vink dan bij
Basis Label tonen aan en kies
voor Naam & waarde.
oe
en kies nadien voor Bissectrices. Klik eerst op C, nadien op A en tenslotte op B. De deellijn van  wordt
•
Bereken de gevraagde verhoudingen:
|CD|
Pr
|AC|
=
•
|DB|
|AB|
=
Zijn de verhoudingen aan elkaar gelijk?
Ja / Neen
Versleep A of een ander hoekpunt van de driehoek ABC.
Blijven de verhoudingen aan elkaar gelijk?
Ja / Neen
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 1 het bestand De bissectriceeigenschap in een driehoek openen.
fex
em
pla
ar
15
2.1.4 Practicum 4: Toepassingen op gelijkvormigheden en op de stelling van Thales deel 2
Toepassing 1: Eigenschap van het zwaartepunt in een driehoek
Het zwaartepunt van een driehoek verdeelt elke zwaartelijn in twee stukken, waarvan het ene deel dubbel zo lang is als
het andere deel.
Stappenplan:
•
Verberg de assen.
•
Teken een driehoek ABC. Verberg de labels a, b en c.
•
Noem M het midden van [AB], N het midden van [BC] en P het midden van [AC].
•
Teken de drie zwaartelijnen in de driehoek.
•
Teken het zwaartepunt Z (als je via het commandovenster de instructie Z=zwaartepunt[poly1] ingeeft, dan wordt het
zwaartepunt onmiddellijk getekend).
•
Teken alle nodige lijnstukken zoals [AZ], [ZN], [CZ] ...
•
Doe volgende berekeningen:
|ZA|
|ZN|
=
|ZB|
|ZP|
=
|ZC|
|ZM|
=
•
Besluit: al deze verhoudingen zijn gelijk aan:
•
Versleep nu A of B of C.
•
Veranderen deze verhoudingen?
Ja / Neen
•
Zijn de besluiten algemeen geldig?
Ja / Neen
Sla het bestand op onder een passende naam.
Pr
oe
Ter controle kun je in de map
Toepassingen gelijkvormigheden
en stelling van Thales deel 2 het
bestand Eigenschap zwaartepunt
driehoek openen.
Toepassing 2: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde met
haar loodrechte projectie op de schuine zijde.
16
Stappenplan:
fex
em
pla
ar
l deel 2 > Meetkunde
•
Klik op Bestand en kies voor Nieuw.
•
Om snel een rechthoekige driehoek te tekenen, open je in de map Macro’s de macro rechthoekige driehoek.
•
Projecteer een rechthoekszijde loodrecht op de schuine zijde.
•
Zorg ervoor dat je deze tekening krijgt:
•
Bereken nu:
|AC| 2 =
|AB| 2 =
|DC| . |BC| =
|DB| . |BC| =
Typ als tekst het volgende in: “|AC|2 = “ + (b2) en
•
“|DC|.|BC|=” + (f * a)
Versleep B. Blijven de uitdrukkingen aan elkaar gelijk?
Ja / Neen
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 2 het bestand Metrische betrekkingen 1 openen.
Toepassing 3: Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken
waarin ze de schuine zijde verdeelt.
Werk dit volledig zelfstandig uit.
Sla het bestand op onder een passende naam.
oe
Ter controle kun je in de map Toepassingen gelijkvormigheden en stelling van Thales deel 2 het bestand Metrische
betrekkingen 2 openen.
2.2 Samenhang congruentie, gelijkvormigheid en transformaties
2.2.1 Practicum 5: Omtrek, oppervlakte en inhoud van gelijkvormige figuren
Toepassing 1: Een rechthoekige weide
Pr
Boer Cyriel bewerkt een groot driehoekig stuk grond in
de vorm van een rechthoekige driehoek. De basis van die
driehoek meet 800 m en de hoogte 500 m.
Boer Cyriel wil hierop een rechthoekig stuk weide
afbakenen (zie figuur):
Hoe groot is de omtrek en de oppervlakte van deze rechthoekige weide?
Stappenplan:
fex
em
pla
ar
17
•
Verberg de assen.
•
We gaan een tekening maken op schaal 1: 10 000.
•
Met hoeveel cm op schaal komt 100 m dan in werkelijkheid overeen?
•
Teken de driehoek ABC op schaal.
•
Teken een cirkel met als middelpunt A en als straal 5 cm.
•
Laat de nodige loodlijnen neer en teken de rechthoekige weide die boer Cyriel wil afbakenen.
•
Om de omtrek van deze weide te bepalen, klik je op het icoontje
keurig ergens binnen de rechthoek. De omtrek wordt afgedrukt.
•
Om de oppervlakte van deze weide te bepalen, klik je op hetzelfde icoontje. Je kiest nu voor Oppervlakte en klikt dan
binnen de rechthoek. De oppervlakte wordt afgedrukt.
•
Om de omtrek weer te geven in cm, klik je met de rechtermuisknop op de tekst en je kiest voor Bewerken Je voegt dan
achteraan + “ cm” toe. Voor de oppervlakte voeg je dan + “ cm2” toe (laat steeds een blanco voor cm en voor cm2, zo is de
lay-out beter).
en kies je voor Afstand of lengte. Dan klik je wille-
Hoe bepaal je nu de werkelijke omtrek en oppervlakte van de rechthoekige weide?
De werkelijke omtrek van de weide van boer Cyriel is:
De werkelijke oppervlakte van de weide van boer Cyriel is:
Bereken nu volgende verhoudingen:
Omtrek vande weide op schaal
Omtrek vande weidein we
erkelijkheid
=
Oppervlakte vande weide op schaal
Oppervlakte vande weidein werkelijkheid
=
Is de figuur die op schaal getekend is gelijkvormig met de figuur in werkelijkheid?
Ja / Neen
De verhouding tussen de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan
oe
De verhouding tussen de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan
Sla het bestand op onder een passende naam.
Ter controle kun je in de map Congruentie gelijkvormigheid transformaties het bestand weide openen.
Pr
Toepassing 2: Een figuur vergroten of verkleinen
Stappenplan:
•
Klik op Bestand en kies voor Nieuw.
•
Teken een trapezium ABCD. Gebruik hiervoor in de map Macro’s de macro speciale vierhoeken.
•
Vergroot dit trapezium met factor 2. Verklein het trapezium ABCD met factor 0,5. Teken hiervoor eerst een punt E dat je
als centrum zult gebruiken en kies nadien voor het icoontje
en daarna voor Homothetie.