Uitwerkingen Werkblad 2 Opdracht 6 a. Bewijs van stelling 23

Werkblad 2
Bewijzen
De Pythagoreeërs definieerden even en oneven getallen.
Hier staan een aantal definities, (te vinden in boek 7 van de Elementen van Euclides)
Def 6:
Een even getal is deelbaar in twee gelijke delen
Def 7a: Een oneven getal is niet deelbaar in twee gelijke delen
Def 7:
Een oneven getal verschilt 1 van een even getal
Def 15: A maal B is de som van A getallen B (dus is B+B+B+ …. )
Uit de definities en logisch redeneren bewezen de Pythagoreeërs stellingen
over even en oneven getallen. Hieronder staan een aantal van die stellingen (te
vinden in boek 7 van de Elementen van Euclides).
Als een stelling bewezen is, kan deze gebruikt worden om een volgende stelling
te bewijzen. Voor het bewijzen van stelling 23 en stelling 29 heb je alleen de
gegeven definities en stellingen nodig.
Opdracht 6
a. Bewijs stelling 23.
b. Bewijs stelling 29
Opdracht 7
a
a
b
Beschouw de gelijkbenige rechthoekige driehoek hierboven.
De lengten van de zijden zijn a en b.
De eenheid is zo gekozen dat a en b gehele getallen zijn en dat de verhouding
b/a een vereenvoudigde breuk is.
a. Waarom kunnen b en a niet beiden even zijn?
b. Gebruik de stelling van Pythagoras en druk b2 uit in a
c. Uit welke definities of stellingen volgt dat b2 is even?
d. Uit: b2 is even en stelling 29 volgt dat b is even.
Geef het bewijs
De manier waarop je dit bewijst heet een bewijs
uit het ongerijmde. Je stelt in zo’n bewijs dat het
geen je wilt bewijzen niet waar is. Dan toon je
aan dat je hiermee in strijd komt met wat er
gegeven is. Dit betekent dat je veronderstelling
niet juist is.
Je kan van b dus de helft nemen (def 6). Noem dit p. Er geldt dus: b= 2p
e. Vul dit in, in de uitdrukking die je hierboven bij onderdeel b hebt gevonden
en leidt daarmee af dat a is even.
f. Vergelijk je antwoord bij onderdeel met je antwoorden bij onderdeel d en e.
Wat kan je hieruit concluderen over de verhouding tussen de lengten van de
zijden van de driehoek?
Opdracht 8
De pythagoreeërs kenden de gehele getallen en de breuken. Hebben we
daarmee alle getallen?
Formuleer met je groepje een antwoord op deze vraag. Onderbouw je
antwoord met verwijzingen naar de voorgaande opdrachten.
Uitwerkingen Werkblad 2
Opdracht 6
a. Bewijs van stelling 23
De som van een oneven aantal oneven getallen =
De som van (een even aantal +1) oneven getallen (def7b) =
De som van een even aantal oneven getallen plus een oneven getal =
De som van een even aantal oneven getallen plus een even getal + 1 (def 7b) =
Een
even getal (stelling 22)
plus een even getal + 1 =
Een
even getal (stelling 21)
+ 1=
Een oneven getal (def 7b)
b. Bewijs van stelling 29
Oneven maal oneven =
De som van een oneven aantal oneven getallen (def 15) =
Oneven (stelling 23)
Opdracht 7
a. Als a en b even zijn, dan zijn ze allebei deelbaar door 2. De breuk b/a kan dan
nog vereenvoudigd worden, maar we hadden aangenomen dat b/a al
vereenvoudigd was.
b. b2 = a2+a2 (stelling van Pythagoras) => b2 = 2a2
c. Uit def 6 plus def. 7a.
d. Stel dat b oneven is. Dan is b2 oneven (stelling29). Maar gegeven was dat b2
is even. Het is dus in strijd met wat er gegeven was. Dus de veronderstelling is
onjuist. b is niet oneven. Dus b is even.
e. b2 = 2a2 = (2p)2= 4p2 => a2 = 2p2 Uit def. 6 volgt dat a2 is even. Uit a2 is
even volgt op de manier zoals bij onderdeel d, dat a is even.
f. We zijn er vanuit gegaan dat a en b gehele getallen zijn, die niet allebei even
zijn. In onderdeel d en e vonden we dat a en b wel even zijn. Dit is in
tegenspraak met elkaar. Dus de aanname was fout. Kennelijk kan je niet
aannemen dat a en b gehele getallen zijn die niet allebei even zijn. De
verhouding tussen de zijden van de driehoek kan dus niet een vereenvoudigde
breuk zijn. De verhouding tussen de zijden kan dus helemaal geen breuk zijn.
De verhouding tussen de zijden is √2 . √2 kan je dus niet schrijven als een
breuk.
En: er is dus geen enkele eenheid te vinden (hoe klein ook), zodanig dat a en b
gehele getallen zijn!
Opdracht 8:
Zijden van een driehoek hebben een lengte.
Een lengte geef je aan met een getal bij een bepaalde eenheid (bijvoorbeeld
meter of cm of mm of de lengte van een stokje).
Als getallen altijd gehele getallen of breuken zijn, dan zijn lengten (hoe je de
eenheid ook kiest) altijd gehele getallen of breuken. We kunnen dan altijd een
eenheid zo klein kiezen dat de lengten van de zijden van een driehoek
weergegeven worden in gehele getallen.
In opdracht 3 hebben we de eenheid zo gekozen dat |BE| en |AB| gehele
getallen zijn. Vervolgens hebben we geprobeerd de ggd te vinden van |BE| en
|AB|.
We kwamen tot de conclusie dat ze geen ggd hebben.
Maar twee gehele getallen hebben altijd een ggd! (de kleinste is 1)
We komen dus tot een tegenspraak.
Kennelijk hebben we ergens een verkeerde aanname gedaan.
We hebben aangenomen dat we een eenheid konden vinden zodanig dat |AB|
en |BE| gehele getallen zijn.
Dat moet dus fout zijn. Er is geen eenheid te vinden, hoe klein ook, waarmee je
zowel |AB| als |BE| kan ‘meten’.
Als |BE| en |AB| niet als gehele getallen geschreven kunnen worden, dan kan
|𝐵𝐸|
de verhouding
ook niet als een breuk geschreven worden. Toch is het een
|𝐴𝐵|
getal. In opdracht 4 hebben we gezien dat
|BE|
|AB|
1
1
2
2
= +
√5 . Dit is dus een getal
dat niet als breuk te schrijven is.
In opdracht 7 hebben we gezien dat ook √2 niet als breuk te schrijven is.
Dus er zijn meer getallen dan alleen gehele getallen en breuken. We noemen
deze getallen irrationale getallen.
De Pythagoreeërs noemden deze getallen ‘onmeetbaar’. Je kan van de
driehoeken uit opdracht 3 en opdracht 7 wel de lengte van één zijde meten,
maar dan niet ook de lengte van de andere zijde. Die lengte is geen getal,
zeiden de Pythagoreeërs. Dit was schokkend, want de Pythagoreeërs waren
ervan overtuigt dat: Alles is getal. God had de wereld volgens
getalsverhoudingen geschapen.
Het was (waarschijnlijk) de Pythagoreeër Hippasos die tot de schokkende
ontdekking kwam dat niet alle lengten in ‘getallen’ konden worden gemeten.
Hippasos heeft het waarschijnlijk ontdekt op de manier zoals wij het ook
hebben ontdekt op de werkbladen. Hippasos is omgekomen op zee. Er wordt
gezegd dat de Pythagoreeërs zo boos waren op Hippasos dat ze hem overboord
hebben gegooid. De schokkende ontdekking heeft een grote invloed gehad op
de verdere ontwikkeling van de wiskunde. Getallen werden gemeden. In de
Elementen van Euclides komen geen getallen voor.