Pythagoras ±600

0
Procedure van de Pythagoreeërs om de grootste
gemeenschappelijke deler te vinden
•
•
•
•
•
•
Neem beide getallen.
Trek het kleinste getal af van het grootste getal
Ga verder met het antwoord en het kleinste
Trek weer het kleinste getal af van het grootste
ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt.
Dat is de ggd
1
• Elk paar gehele getallen heeft een ggd
• 25 en 20
• 4 en 3
• 127 en 126
• Je kan dus altijd de ggd vinden van een paar
gehele getallen.
2
Conclusie
• Met gehele getallen en breuken hebben we
oneindig veel getallen op de positieve
getallenlijn
•
Daarmee hebben we alle positieve getallen
die er zijn.
toch?
3
4
Hints bij opdracht 5
• Kies bijvoorbeeld |AB| = 1 en |BE|=x en druk
andere zijden uit in x.
• Gebruik ∆BEA ~∆ABD’
• Gebruik de congruentie van driehoeken.
Daardoor zijn veel zijdes even lang.
5
Mona Lisa 1503-1506 Leonardo da Vinci
6
Mens van Vitruvius van Leonardo da Vinci omstreeks 1490
7
Pentagram-man van Agrippa 1533
8
Def 6:
Een even getal is deelbaar in twee gelijke delen
Def 7a: Een oneven getal is niet deelbaar in twee gelijke delen
Def 7:
Een oneven getal verschilt 1 van een even getal
Def 15: A maal B is de som van A getallen B (dus is B+B+B+ …. )
9
Bewijs stelling 23
De som van een oneven aantal oneven getallen =
De som van (een even aantal +1) oneven getallen (def.7b) =
De som van een even aantal oneven getallen plus een oneven getal =
De som van een even aantal oneven getallen plus een even getal + 1 (def 7b) =
Een
even getal (stelling 22)
plus een even getal + 1 =
Een
even getal (stelling 21)
+ 1=
Een oneven getal (def 7b)
10
Bewijs stelling 29
Oneven maal oneven =
De som van een oneven aantal oneven getallen (def 15) =
Oneven (stelling 23)
11