Functies en symmetrie - Praktijk Natura Sanat

lesbrief
Functies en symmetrie
(even en oneven functies)
7N5p 2013
gghm
Symmetrie
Bij grafieken van functies hebben we te maken met twee soorten symmetrie: lijnsymmetrie en
puntsymmetrie. In deze lesbrief gaan we kijken hoe je symmetrie ten opzichte van een punt of
een lijn aan kunt tonen met behulp van het functievoorschrift.
Lijnsymmetrie
Bij lijnsymmetrie kun je de grafiek van een functie spiegelen ten opzichte van een verticale
lijn; dus de lijn x = p. Een functie kan immers nooit symmetrisch zijn ten opzichte van een
horizontale lijn (waarom niet?). Ook symmetrie ten opzichte van een schuine lijn is om
dezelfde reden onmogelijk.
We bekijken een (algemeen) voorbeeld.
Zie de figuur hiernaast.
De as van symmetrie is de lijn x = p
Voor elk punt op een afstand a van deze
lijn is de functiewaarde hetzelfde.
Er geldt dus:
f ( p − a) = f ( p + a)
Voorbeeld
Gegeven is f ( x) = x 2 − 6 x + 3 , toon aan dat f(x) symmetrisch is ten opzichte van de lijn x = 3
Volgens de regel moet gelden:
f (3 − a ) = f (3 + a )
en
f (3 − a) = (3 − a)2 − 6(3 − a) + 3 = 9 − 6a + a 2 − 18 + 6a + 3 = a 2 − 6
f (3 + a) = (3 + a)2 − 6(3 + a) + 3 = 9 + 6a + a 2 − 18 − 6a + 3 = a 2 − 6
Dus f (3 − a ) = f (3 + a ) voor elke waarde van a en de grafiek is symmetrisch in de lijn x = 3.
Oefening 1
Toon aan dat de grafiek van f ( x) = 4 x 2 − 24 x + 8 symmetrisch is in de lijn x = 3.
Even functies
Voor het speciale geval dat een grafiek van een functie symmetrisch is in de Y-as (x = 0),
noemen we de functie even.
Voor een even functie geldt dus:
f (a ) = f (− a )
(ook vaak aangegeven met f ( x ) = f ( − x ) )
Puntsymmetrie
In de afbeelding hiernaast is een grafiek getekend
van een functie die symmetrisch is ten opzichte van
het punt (p , q).
Dit betekent dat als je vanuit x = p een stapje ter grootte van
a naar links gaat en een stapje van a naar rechts, dan liggen
de bijbehorende y-waarden (functiewaarden) even ver van q
af; de functiewaarden f(p – a) en f(p + a) liggen even ver van
q af.
In formulevorm geeft dit:
f ( p − a) + f ( p + a)
= q = f ( p)
2
Voorbeeld:
3x − 5
symmetrisch is ten opzichte van het punt (2 , 3).
x−2
f (2 − a ) + f (2 + a )
Er moet gelden:
=3
2
3(2 − a) − 5 1 − 3a 3a − 1
f (2 − a) =
=
=
(2 − a) − 2
−a
a
3(2 + a) − 5 1 + 3a 3a + 1
f (2 + a) =
=
=
en
(2 + a) − 2
a
a
3a − 1 3a + 1 6a
+
f (2 − a ) + f (2 + a )
a = a = 6 =3
zodat
= a
2
2
2
2
en dit klopt, er moest 3 uitkomen!
Toon aan dat de grafiek van f ( x) =
Oefening 2
x2 − 2 x
.
2x − 2
Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt (1 , 0)
Gegeven is f ( x) =
Oneven functies
Een functie noemen we oneven als de grafiek symmetrisch is t.o.v. het punt (0 , 0).
Er geldt dus: f (− a) = − f (a )
(ook vaak aangegeven met f (− x) = − f ( x) )
Oefening 3
Gegeven is g ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 x
Bewijs dat g(x) symmetrisch is t.o.v. het punt (1 , 1).
Even en oneven functies nader bekeken
Zoals we hiervoor gezien hebben kunnen niet alleen getallen even en oneven zijn maar
functies ook! De benaming ‘even’ en ‘oneven’ komt bij de machtsfuncties vandaan:
- alle functies van de vorm f ( x) = x n zijn even functies als n even is
- alle functies van de vorm f ( x) = x n zijn oneven als n oneven is.
Een even functie kun je aan zijn grafiek herkennen aan het feit dat de Y-as de symmetrie-as
van de grafiek.
Een oneven functie herken je aan de grafiek doordat de oorsprong het symmetrie-punt is.
Functies optellen en aftrekken
Niet alleen machtsfuncties kunnen even of oneven zijn, er zijn vele andere functies die even
of oneven kunnen zijn; goniometrische functies, gebroken functies, functies met een absolute
waarde erin en allerlei combinaties van verschillende functies.
Algemeen geldt dat bij het optellen (of van elkaar aftrekken) van functies die allen even zijn
weer een even functie ontstaat en bij het optellen (of aftrekken) van functies die allen oneven
zijn een oneven functie ontstaat. Hieronder enkele voorbeelden:
even
even
even
even
oneven
oneven
oneven
oneven
Het optellen of aftrekken van even en oneven functies geeft echter geen eenduidig resultaat:
???
???
Functies vermenigvuldigen
We kunnen ook functies met elkaar vermenigvuldigen.
Aan de hand van een paar voorbeelden
oneven · even
concluderen we:
oneven · oneven
even · even
even · even = even
even · oneven = oneven
oneven · even = oneven
oneven · oneven = even
Dit blijkt algemeen te gelden. Het bewijs hiervoor, hoewel niet zo moeilijk, laten we buiten
beschouwing.
Functie van een functie
Als laatste kijken we nog even (  ) naar kettingfuncties.
Als je een functie toepast op een functie, wat gebeurt er dan met de ontstane functie?
We kijken weer naar een paar voorbeelden:
f ( x ) = sin( x )
g ( x) = x
f ( x) = x
f ( x) = x
2
g ( x ) = 1 − sin( x )
2
f ( g ( x )) = sin( x )
2
f ( g ( x )) = (1 − sin( x ))
2
g ( x ) = 1 + cos( x )
2
f ( g ( x )) = (1 + cos( x ))
2
Als e( x) een even functie is en o( x) is een oneven functie dan geldt:
e(o(x)) = even
o(o(x)) = oneven
o(e(x)) = even
e(e(x)) = even
De laatste twee regels kunnen nog algemener gesteld worden:
- Elke functie toegepast op een even functie geeft weer een even functie!
dus: f (e( x)) is even als e(x) even is, aan f(x) wordt geen eis gesteld!
Zodoende zijn f ( x) = 2− x , g ( x) = ( x 4 + cos( x) , h( x) = 2 log(cos( x)) en ga zo maar door,
allemaal even functies!
2
Overzicht van de regels
Hieronder een samenvatting van de regels die we ontdekt hebben voor het combineren van
even en oneven functies:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
even + even = even
oneven + oneven = oneven
even + oneven = ???
even · even = even
even · oneven = oneven (en uiteraard oneven · even = oneven)
oneven · oneven = even
even ( oneven ) = even
oneven ( oneven ) = oneven
oneven ( even ) = even
even ( even ) even
Oefening 4
Geef van de volgende functies aan of ze even, oneven of geen van beide zijn, zonder de
grafiek te plotten of functiewaarden uit te rekenen!
1
f ( x) = 2 + 12 − 3x 4
a
e
f ( x) = (2 x + x 3 ) 2
x
b
f ( x) = 2 x cos( x)
f
f ( x) = (2 x 2 + x 4 )3
c
f ( x) = 4 x sin( x) cos( x)
g
f ( x) = ( x 2 + 1)(4 x 4 − 5)
1
f ( x) =
d
f ( x) = sin 3 ( x)
h
sin( x) + x
Oefening 5
Bewijs algebraïsch dat f ( x) =
2
symmetrisch is t.o.v. het punt (0 , 1)
1 + ex
Oefening 6
Gegeven is f ( x) = 2 x 3 − px 2 + 25 x − 17
Bepaal voor welke waarde van p de functie symmetrisch is t.o.v. het punt (2 , 1).
Oefening 7
Ga van de volgende functies na of ze even, oneven of geen van beide zijn, doe dit algebraïsch,
dus door middel van een berekening en niet door de regels te gebruiken of te plotten:
a
b
f ( x) = 3x 2 − 2 x
c
f ( x) = x 2 + 4
d
2 x2 + 1
f ( x) =
3x 2
f ( x) = 3 x − x3
Oefening 8
Onderzoek of de volgende functies even, oneven of geen van beide zijn:
a
b
c
d
e
f ( x) = 1+ | x |
f ( x) = cos(3x)
f ( x) = 1 − x3
f ( x) = 1 − x 2
f ( x) = ( x 2 − 4)( x 2 + 4)
Oefening 9
Onderzoek, algebraïsch, of de functie g ( x) = x ln | x | −2 x met x ≠ 0 en g (0) = 0 , even,
oneven of geen van beide is.