Rinse Poortinga Lineaire Algebra en Voortgezette Analyse 5

Rinse Poortinga
Lineaire Algebra en
Voortgezette Analyse
5 Analyse in hogere dimensies
Inhoud:
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
Convergente rijen.
Cauchy-rij.
Intervallen.
Heine-Borel.
Continuïteit.
Lipschitzcontinuïteit en uniforme continuïteit.
Maximum en minimum.
Limieten van afbeeldingen.
 n - -functies .
Krommen.
De lengte van een kromme
Samenhangende verzamelingen.
Gebieden.
Samenstellen van afbeeldingen.
Elementaire opbouw van functies en afbeeldingen.
Trefwoorden:
5.1
Convergente rijen, open of gesloten r-omgeving van een punt,
cirkelomgeving, begrensde verzameling, begrensde afbeelding,
inwendig punt, omgeving, uitwendig punt, open verzameling,
gereduceerde omgeving, verdichtingspunt, gesloten, afsluiting,
geïsoleerd punt, randpunt, rand, limietpunt van een rij, BolzanoWeierstrass.
5.2 Cauchyrij, Cauchycriterium voor convergentie.
5.3 Intervallen, n-dimensionaal interval, ribben van een interval, inhoud,
open interval, intervallennesteigenschap.
5.4 Heine-Borel, compacte verzameling, overdekkingscompact,
rijcompact.
5.5 Continuïteit, componenten van een afbeelding.
5.6 Lipschitzcontinuïteit, uniforme continuïteit.
5.7 Maximum, minimum, de afstand van een punt tot een verzameling.
5.8 Limieten van afbeeldingen.
5.9
 n - -functies, identieke afbeelding, projectiefuncties,
coördinaatfuncties, veeltermfuncties.
5.10 Krommen, parameter, parametrisering, parameterinterval, het spoor
van een kromme, de doorloopzin van een kromme, beginpunt,
eindpunt, gesloten kromme, geparametriseerde lijn of lijnstuk,
herparametrisering, equivalente parametriseringen, kromme met
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
tegengestelde doorlooprichting, aaneenschakelen van krommen,
keten, lijnstukkenweg, geparametriseerde veelhoek,
parametervoorstelling, raaklijn, regulier, continu differentieerbare
kromme, gladde kromme, stuksgewijs.
De lengte van een kromme, rectificeerbaar, gegeneraliseerde
Riemannsom, functie met begrensde variatie, de variatie van f op
[ a, b] .
Samenhangende verzameling, convexe verzameling, stervormige
verzameling, tussenwaardestelling.
Gebied, randpunt, rand, traplijn, samenhangscomponent.
Samenstellen van afbeeldingen.
Elementaire opbouw van functies en afbeeldingen, inductie langs de
opbouw van een functie.
5 Limieten en continuïteit
5.1 Convergente rijen in  n .
5.1.1 Definitie. Is X1 , X 2 , X 3 ,... een rij punten in  n , dan
lim X k  P  lim | X k  P |  0 .
k 
k 
Als lim X k  P , dan zeggen we dat de rij X1 , X 2 , X 3 ,... naar P convergeert .
k 
Opmerking. De rij d1 , d 2 , d3 , ... met d k  | X k  P | is een rij reële getallen.
We zeggen dat lim X k   , als lim | X k |   . [In  onderscheiden we tussen
k 
k 
convergeren naar  en convergeren naar   . Dat is niet mogelijk in  n , als
n  1 .]
5.1.2 Is X1 , X 2 , X 3 ,... een rij punten in  2 met X k  ( xk , yk ) en P  ( p, q ) , dan
lim X k  P  lim xk  p en lim xk  q .
k 
k 
k 
Bewijs. Stel X k  ( xk , yk ) en P  ( p, q ) . Dan | X k  P |  ( xk  p )2  ( yk  q )2 .
Dus | X k  P |  | xk  p | en ook | X k  P |  | yk  q | . Hieruit volgt
lim X k  P  lim xk  p en lim xk  q .
k 
k 
k 
Dat ook het omgekeerde geldt volgt uit | X k  P |  | xk  p |  | yk  q | . Bewijs de
laatste ongelijkheid door beide kanten te kwadrateren.
Op dezelfde manier kunnen we bewijzen:
5.1.3 Is X1 , X 2 , X 3 ,... een rij punten in  n met X k  ( x1k , x2 k ,..., xn k ) en
P  ( p1 , p2 ,..., pn ) , dan lim X k  P  lim xi k  pi , voor i  1,..., n .
k 
k 
Opmerking. Een punt A is  n is een geordend n-tal (a1 , a2 ,..., an ) reële getallen.
De coördinaten van de k-de term X k in de rij X1 , X 2 , X 3 ,... moeten we voorzien
van een extra index k om het rangnummer van X k in de rij aan te geven,
X k  ( x1k , x2 k ,..., xn k ) . In  2 kunnen we dat vermijden door ( x, y ) i.p.v. ( x1 , x2 )
te schrijven. In 3 schrijven we vaak ( x, y, z ) i.p.v. ( x1 , x2 , x3 ) .
Als r  0 en P   n , dan noemen we de verzameling { X   n | | X  P |  r} de
open r-omgeving van P en { X   n | | X  P |  r} de bijbehorende r-omgeving van
P. In  2 resp. 3 noemen we een r-omgeving van P ook een cirkelomgeving resp.
bolomgeving van P.
104
Analyse in  n
Een verzameling V   n heet begrensd, als er een r  0 is zo dat | X |  r voor
ieder punt X in V, m.a.w. V is begrensd precies dan, wanneer V binnen een romgeving van O ligt. Een afbeelding (i.h.b. een rij) heet begrensd, als zijn bereik
begrensd is.
Een 'deelverzameling van een begrensde verzameling is begrensd. De vereniging
van een eindig aantal begrensde verzamelingen is begrensd.
We noemen P een inwendig punt van V   n , als er een r-omgeving van P is, die
geheel binnen V ligt. We noemen dan V een omgeving van P. Dus: P een inwendig
punt van V  V is een omgeving van P. Heeft P een omgeving die geen enkel
punt van V bevat, dan is P een uitwendig punt van V. Een omgeving van P hoeft
niet beslist 'klein' te zijn. Ga na: is V een omgeving van P en V  W , dan is ook W
een omgeving van P. Zijn V en W omgevingen van eenzelfde punt P, dan is ook hun
doorsnede V  W een omgeving van P. Een open verzameling is een verzameling
waarvan ieder punt een inwendig punt is. Anders gezegd: een open verzameling is
een omgeving van elk van zijn punten. Is V een omgeving van P, dan noemen we
V \ {P} een gereduceerde omgeving van P. P is een randpunt van V, als in iedere
omgeving van P punten liggen die tot V behoren (mogelijk alleen P zelf) en ook
punten die niet V behoren. De verzameling van alle randpunten van V heet de rand
van V. De rand van V noteren we als rand(V ) . Het inwendige van V, de verzameling van de inwendige punten van V, noteren we als inw(V ) , en uitw(V ) bestaat uit
de uitwendige punten van V.
We noemen P een verdichtingspunt van V   n , als binnen iedere omgeving van P
oneindig veel punten van V liggen. P is een verdichtingspunt van V   n  er is
een rij punten X1 , X 2 , X 3 ,... in V \ {P} die naar P convergeert. Een verzameling
die al zijn verdichtingspunten bevat heet gesloten. Is V  de verzameling van de
verdichtingspunten van V, dan heet V  V  V  de afsluiting van V. Ga na dat V
gesloten is. Ga na: P  V  er is een rij X1 , X 2 , X 3 ,... in V die naar P convergeert.
Een geïsoleerd punt P van V behoort tot V en heeft een omgeving, waarin geen
andere punten van V liggen. Een randpunt van V is òf een geïsoleerd punt van V òf
een verdichtingspunt van V. Er geldt V  V  rand(V ) . Toon aan:
(i) inw(V ) , rand(V ) en uitw(V ) zijn twee aan twee disjunct,
(ii) inw(V )  rand(V )  uitw(V )   n .
Merk op dat inw(V ) en uitw(V ) open verzamelingen zijn.
Opgave. De doorsnede van een eindig of oneindig aantal gesloten deelverzamelingen van  n is een gesloten verzameling. De afsluiting van V   n is de
doorsnede van alle gesloten deelverzamelingen van  n die V omvatten. Toon dit
aan. De vereniging van een eindig aantal gesloten deelverzamelingen van  n is een
gesloten verzameling. Laat met een voorbeeld zien dat dit laatste niet hoeft te gelden voor de vereniging van een oneindig aantal gesloten verzamelingen.
5 Limieten en continuïteit
105
NB: 'Open' is niet de ontkenning van 'gesloten'. Er zijn verzamelingen die noch
open noch gesloten zijn [geef een voorbeeld]. Ga na dat  n en  zowel open als
gesloten deelverzamelingen van  n zijn. Er geldt:
V   n is open  het complement  n \ V is gesloten.
Voorbeeld. rand(V ) is het complement van inw(V )  uitw(V ) , dus rand(V ) is gesloten.
Opgave. V     . Bepaal inw(V ), uitw(V ) en rand(V ) .
Opgave. Schrijf het complement  n \ V van V   n korter als V c . Toon aan:
W  V c  W  V  , W  V   .
Ook:
uitw(V )  inw(V c ) , inw(V )  uitw(V c ) ,
inw(V )  V \ rand(V ) , rand(V )  rand(V c ) .
Verder
(V  W )c  V c  W c , (V  W )c  V c  W c
en algemener

V
aA a
 
c
V c en
aA a

V
aA a
 
c
Vc
aA a
.
Opgave. De vereniging van een eindig of oneindig aantal open deelverzamelingen
van  n is een open verzameling. Het inwendige van V   n is de vereniging van
alle open deelverzamelingen van V. Toon dit rechtstreeks of met behulp van de vorige opgave aan. De doorsnede van een eindig aantal open deelverzamelingen van
 n is een open verzameling. Laat met een voorbeeld zien dat dit laatste niet hoeft
te gelden voor de doorsnede van een oneindig aantal open verzamelingen.
Toon aan:
5.1.4
(i) lim X k  P  voor iedere   0 geldt | X k  P |   voor bijna alle indices k.
k 
(ii) lim X k  P  binnen iedere omgeving van P ligt een staart van de rij
k 
X1 , X 2 , X 3 ,... .
Opmerking. "bijna alle indices" heeft hier, zoals gebruikelijk, de exacte betekenis
"uitgezonderd een hooguit eindig aantal indices". Onder een "staart" van de rij
X1 , X 2 , X 3 ,... verstaan we een rij X m 1 , X m  2 , X m 3 ,... met zekere m   .
Analyse in  n
106
5.1.5 Iedere convergente rij in  n is begrensd.
Bewijs. Stel lim X k  P . Neem een willekeurige r-omgeving V van P. De punten
k 
van de rij die buiten V vallen vormen een eindige verzameling U. U en V zijn beide begrensd, dus ook U  V is begrensd.
Definitie. Een punt P is een limietpunt van een rij X1 , X 2 , X 3 ,... , als een deelrij van
X1 , X 2 , X 3 ,... naar P convergeert.
Een limietpunt van de rij X1 , X 2 , X 3 ,... hoeft geen verdichtingspunt van de verzameling { X1 , X 2 , X 3 ,...} te zijn [waarom niet?].
5.1.6 Bolzano-Weierstrass.
Iedere begrensde rij in  n heeft een convergente deelrij.
Anders gezegd: een begrensde rij heeft een limietpunt. Uiteraard hebben we het hier
over oneindige rijen.
Bewijs. We weten al dat de stelling geldt voor het geval n  1 . [Zie bijv. 3.2.2.] We
bewijzen de stelling dan ook geldt voor rijen in  2 . Stel X1 , X 2 , X 3 ,... is een be-
grensde rij met X k  ( xk , yk ) . Dan is x1 , x2 , x3 ,... een begrensde rij reële getallen
en heeft een convergente deelrij xk1 , xk2 , xk3 ,... . Bekijk nu de bijbehorende rij
yk1 , yk2 , yk3 ,... . Ook deze rij is begrensd en heeft dus een convergente deelrij
ym1 , ym 2 , ym 3 ,... . De bijhorende rij xm1 , xm 2 , xm 3 ,... is dan een deelrij van de con-
vergente rij xk1 , xk2 , xk3 ,... en dus convergent. Dat betekent dat X m1 , X m 2 , X m 3 ,...
een convergente deelrij van X1 , X 2 , X 3 ,... is. Door inductie kunnen we dit bewijs
eenvoudig uitbreiden naar een bewijs voor rijen X1 , X 2 , X 3 ,... in  n met n  3 .
Neem hiertoe als inductiehypothese aan dat de stelling juist is voor rijen in  n1 .
Schrijf X k   n als ( xk , Yk ) met Yk   n 1 . Volg daarna het bewijs voor  2 met
hoofdletter Y i.p.v. kleine y.
Gevolg:
5.1.7 Iedere oneindige en begrensde verzameling V   n heeft een verdichtingspunt.
Bewijs. V is oneindig, dus er is een rij punten X1 , X 2 , X 3 ,... in V, waarvan de termen allemaal verschillend zijn. Deze rij is begrensd en heeft dus een limietpunt P .
Ga na dat P een verdichtingspunt van V is.
5.1.8 Stel V   n . Dan:
V gesloten en begrensd  iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in V heeft een limietpunt in V.
Bewijs. () Stel V is gesloten en begrensd. Iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in V heeft dan
een convergente deelrij en de limiet van deze deelrij behoort tot V.
5 Limieten en continuïteit
107
() Omgekeerd: Als V niet gesloten of niet begrensd is, dan is het eenvoudig om
een rij X1 , X 2 , X 3 ,... is V te vinden zo dat geen enkele deelrij convergeert naar een
punt in V. Als V niet begrensd is, neem dan een rij X1 , X 2 , X 3 ,... in V zo dat
lim X k   . Als V niet gesloten is, dan is er een convergente rij X1 , X 2 , X 3 ,... in
k 
V zo dat lim X k  P  V en dan convergeert ook iedere deelrij van X1 , X 2 , X 3 ,...
k 
naar P. Dus X1 , X 2 , X 3 ,... bevat geen enkele deelrij die naar een punt in V convergeert.
5.2 Intervallen. Zijn I1 ,..., I n intervallen van  , dan noemen we het cartesisch
product I  I1    I n een interval van  n . Het interval I is open (gesloten resp.
begrensd), als I1 ,..., I n open (gesloten resp. begrensde) intervallen van  zijn. Zo
is R  [a, b]  [c, d ]  {( x, y )   2 | a  x  b, c  y  d } een gesloten en begrensd
interval van  2 . Als a  b, c  d , dan bestaat R uit het binnengebied plus de zijden van een rechthoek. De zijden van R zijn evenwijdig met de assen. De afstand
van twee punten in R is hoogstens gelijk aan
(a  b)2  (c  d ) 2 . [Dit is de lengte
van een diagonaal van de rechthoek]. We noemen
(a1  b1 ) 2    (an  bn )2 de
diameter van het interval [a1 , b1 ]    [an , bn ] . De getallen | a1  b1 | , ...,| an  bn |
zijn de lengten van de ribben van dit interval en het product van de lengten van de
ribben geeft het volume van het interval. Als M  max{| a1  b1 | , ...,| an  bn |} , dan
M  (a1  b1 ) 2    (an  bn )2  M  n .
Als ai  bi voor zekere i  {1,..., n} dan heeft het interval [a1 , b1 ]    [an , bn ] geen
inwendige punten. De inwendige punten van het interval I  [a1 , b1 ]    [an , bn ]
vormen het open interval J   a1 , b1      an , bn  [J is mogelijk leeg].
Ga na:
P is een inwendig punt van V   n  P is een inwendig punt van een interval I
zo dat I  V .
Opgave. In  geldt de intervallennesteigenschap: is I1  I 2  I3   een rij gesloten en begrensde intervallen van  , dan is hun doorsnede niet leeg. Toon met
behulp van 5.1.3 aan, dat ook in  n een nest I1  I 2  I3   van gesloten en begrensde intervallen een niet lege doorsnede heeft. Deze doorsnede bevat precies één
punt, als de lengte van de intervallen I1 , I 2 , I 3 ,... naar 0 convergeert.
Definiëren we de diameter van een niet-lege en begrensde verzameling W   n ,
notatie diam(W ) , d.m.v. diam(W )  sup{PQ | P, Q  W } , dan is de intervallennesteigenschap uit de laatste opgave een speciaal geval van de volgende stelling.
Analyse in  n
108
5.2.1 De doorsnede van een nest W1  W2  W3   van gesloten en begrensde
niet-lege deelverzamelingen van  n is niet leeg. Deze doorsnede bevat precies één
punt, wanneer lim diam(Wk )  0 .
k 
Bewijs. Voor iedere k    kies X k  Wk . Dan is de rij X1 , X 2 , X 3 ,... begrensd en
heeft volgens 5.1.6 een deelrij Y1 , Y2 , Y3 ,... die naar een punt P   n convergeert.
Bijna alle punten van de rij Y1 , Y2 , Y3 ,... liggen in Wk , dus P  Wk . Dit geldt voor
iedere Wk , dus P   k  Wk . Het is duidelijk dat P het enige punt van deze doorsnede is, als lim diam(Wk )  0 .
k 
Een rij verzamelingen V1 ,V2 ,V3 ,... zo dat V1  V2  V3   noemen we een stijgende rij verzamelingen. Als V1  V2  V3   , dan is V1 ,V2 ,V3 ,... een dalende
rij verzamelingen.
5.3 Cauchy-rij. Bij een convergente rij in  komen de termen van de rij bij toenemende index steeds dichter bij de limiet van de rij te liggen en dus steeds dichter
bij elkaar. Ook het omgekeerde is waar. Hierdoor laten convergente rijen in 
zich, zonder de limiet van de rij te noemen, karakteriseren als Cauchy-rijen. Uit
5.1.3 volgt dat dit ook geldt voor rijen in  n .
5.3.1 Definitie. Een rij X1 , X 2 , X 3 ,... in  n heet een Cauchy-rij als voor iedere
  0 geldt dat | X k  X m |   , voor bijna alle indexparen (k , m) .
Opmerking. Ga na dat " | X k  X m |   , voor bijna alle indexparen (k , m) " betekent dat er een index N is zo dat voor alle indices k , m  N geldt | X k  X m |   .
Toon aan:
5.3.2. Een rij punten X1 , X 2 , X 3 ,... met X k  ( x1k , x2 k ,..., xn k ) in  n is precies
dan een Cauchy-rij, wanneer voor iedere i  {1,..., n} de rij xi1, xi 2 , xi 3 ,... een Cauchy-rij is.
Gevolg:
5.3.3 Cauchy-criterium. De convergente rijen in  n zijn precies de Cauchy-rijen.
5.4 Heine-Borel. Stel dat Va   n voor iedere a  A . Dan is C  {Va | a  A} een
collectie deelverzamelingen van  n met indexverzameling A. Wat voor soort elementen A bevat is in principe onbelangrijk, voor de elementen van A hoeft geen
volgorde gedefinieerd te zijn. De afbeelding a  Va heet een indexering van C en
C wordt wel een geïndexeerde familie verzamelingen genoemd. De vereniging van
de verzamelingen Va in C schrijven we als  C en ook als  a AVa .
5 Limieten en continuïteit
 a AVa
109
bevat de punten van  n die tot minstens één van de verzamelingen in
{Va | a  A} behoren.
We zeggen dat C  {Va | a  A} de verzameling W overdekt, als W   a AVa .
Als C een overdekking van W is en alle verzamelingen in C zijn open, dan noemen
we C een open overdekking van W.
De begrensde en gesloten deelverzamelingen van  n worden gekenmerkt door de
volgende belangrijke eigenschap:
5.4.1 Overdekkingstelling van Heine-Borel. Stel W   n . Dan:
W is begrensd en gesloten  iedere open overdekking {Va | a  A} van W bevat
een eindige deelcollectie {Va1 ,...,Vam } die W overdekt.
Bewijs. W   n . () Laat W een begrensde en gesloten deelverzameling van  n
zijn en {Va | a  A} een open overdekking van W. Stel nu dat W niet door een eindige deelcollectie van {Va | a  A} wordt overdekt. We laten zien dat dit onmogelijk
is. Neem een n-kubus K  [a, b]    [a, b] met ribbe b  a zo dat W  K en stel
W1  W . Verdeel de kubus in 2n even grote kleinere kubussen (binnengebied +
rand) met ribbe
1
2
 (b  a ) . Hierdoor wordt ook W1  W in gesloten en begrensde
verzamelingen opgesplitst. Een punt van W, dat niet tot het binnengebied van zo'n
deelkubus behoort ligt, kan op de rand van meerdere deelkubussen liggen, sommige
van de deelkubussen bevatten misschien geen enkel punt van W. Minstens één van
de delen waarin W1 op deze manier opgesplitst is, laat zich niet door een eindige
deelcollectie van {Va | a  A} overdekken. Laat W2 zo'n deel van W1 zijn met bijbehorend kubusdeel K 2 van kubus K1  K . Dan is W2  W1  K 2 weer gesloten en
begrensd met W2  K 2 . We herhalen met K 2 en W2 wat we eerder deden met
K1 en W1 . Gaan we op deze manier door, dan krijgen we een rij verzamelingen
W  W1  W2  W3   , die allemaal gesloten en begrensd zijn en waarvan geen
enkele zich laat overdekken door eindig aantal verzamelingen uit {Va | a  A} . De
ribbe van kubus K k 1 is de helft van de ribbe van kubus K k . Dus het is duidelijk
dat lim diam(Wk )  0 . Er is een punt P van W dat tot alle verzamelingen Wk bek 
hoort. {Va | a  A} is een open overdekking van W, dus P  Va1 voor zekere
a1  A . Uit lim diam(Wk )  0 en P  Wk voor alle k    volgt Wk  Va1 voor
k 
bijna iedere k    . Dit laatste is in strijd met de veronderstelling dat het onmogelijk is Wk te overdekken door een eindig aantal verzamelingen uit {Va | a  A} .
Deze veronderstelling blijkt dus niet houdbaar.
110
Analyse in  n
() Wat betreft de omkering: Stel W is niet begrensd of niet gesloten, dan is het
eenvoudig een open overdekking {Va | a  A} van W te vinden die geen eindige
deelcollectie bevat die W overdekt. Als W niet begrensd is, dan nemen we A   
en Va  { X   n | | X |  a} . Als W niet gesloten is, dan is er een puntenrij
X1 , X 2 , X 3 ,... in W die naar een punt P  W convergeert. We nemen dan
{Va | a  A} met A    en Va  { X   n | | X  P |  a} .
Definitie. Het voorgaande maakt duidelijk dat een gesloten en begrensde verzameling W   n bijzondere eigenschappen heeft. W is overdekkingscompact, d.w.z.
iedere open overdekking {Va | a  A} van V bevat een eindige deelcollectie
{Va1 ,...,Vam } die W overdekt. Verzameling W is ook rijcompact. Dit laatste bete-
kent dat iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in W een limietpunt heeft in W. W   n is
overdekkingscompact precies dan, wanneer W rijcompact is. We noemen een gesloten en begrensde verzameling W   n daarom kortweg compact.
Ga na:
5.4.2 De productverzameling V  W van twee compacte verzamelingen
V   n , W   m is een compacte deelverzameling van  n  m .
Opmerking. We identificeren (( x1 ,..., xn ), ( y1 ,..., ym ))   n   m met
( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym )   n  m .
Ook:
5.4.3 Is V   n is een begrensde verzameling, dan is de rand van V een compacte
verzameling en ook V  V  rand(V ) is dan compact.
Opmerking. V is gesloten  V  V .
5.4.4 Is C  {Va | a  A} een collectie compacte deelverzamelingen van  n en
 C   , dan bevat C een eindige deelcollectie {Va1 ,...,Vam } zo dat
Va1    Vam   .
Bewijs. Stel C  {Va | a  A} is een collectie compacte deelverzamelingen van  n
en
 C   . Kies een willekeurige Va
0
uit C. Dan wordt Va 0 overdekt door de
open verzamelingen  \ Va met a  A en dus volgens Heine-Borel reeds door een
eindig aantal van deze verzamelingen. M.a.w. er zijn a1 ,..., am  A zo dat
Va1    Vam   .
5 Limieten en continuïteit
111
5.4.5 Lemma van Lebesgue. Stel V   n is compact en {Wa | a  A} is een open
overdekking van V. Dan is er getal r  0 zo dat voor ieder punt P  V de open romgeving { X   n | X  P |  r} van P deelverzameling is van Wa voor een
a A .
Bewijs. Laat {Wa | a  A} een open overdekking zijn van de compacte verzameling
V. De open r-omgeving van een punt P noteren we als als C ( P, r ) . Bij iedere
P  V is er dan een getal rP  0 zo dat, voor zekere a  A , C ( P, 2rP )  Wa en
dus ook C ( P, rP )  Wa . Het getal rP hangt af van P. De collectie {C ( P, rP ) | P  V }
is een open overdekking van V. Volgens Heine-Borel wordt V dus al overdekt door
een eindig aantal verzamelingen C ( P1 , rP1 ) ,…, C ( Pm , rPm ) . Neem nu
r  min{rP1 ,..., rPn } . Een punt P  V behoort tot C ( Pi , rPi ) voor zekere
i  {1,..., m} en dan C ( P, r )  C ( Pi , rP  rPi )  C ( Pi , 2rPi )  Va voor een a  A .
5.5 Continuïteit. Continuïteit van een  n - m -afbeelding in een punt P wordt op
precies dezelfde manier gedefinieerd als bij een - -afbeelding:
5.5.1 Een  n - m -afbeelding F met domein D is continu in P precies dan, wanneer
(i) P  D en
(ii) iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in D die convergeert naar P, wordt door F afgebeeld op
een rij punten Y1 , Y2 , Y3 ,... in  m die convergeert naar punt F ( P) .
F is continu zonder meer, wanneer F continu is in iedere X  D . We noemen F
continu op A  D , wanneer F | A (de beperking van F tot A) continu is.
F is dus continu in P  D , wanneer voor iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in D geldt
lim X k  P  lim F ( X k )  F ( lim X k )  F ( P) .
k 
k 
k 
De definitie van continuïteit bij - -afbeeldingen is een speciaal geval van bovenstaande definitie.
Als F continu is, dan is ook de beperking van F tot een deelverzameling van zijn
domein continu.
Is F een  n - m -afbeelding met domein D , dan zijn er  n - -functies f1 ,..., f m zo
dat F ( X )  ( f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f m ( X )) voor X  D . De functies f1 , f 2 ,..., f m zijn de
componenten van F, fi is de i-de component van F.
Uit het bovenstaande is duidelijk:
5.5.2 Een  n - m -afbeelding F is continu in P precies dan, wanneer elk van zijn
componenten f1 , f 2 ,..., f m continu is in P.
112
Analyse in  n
Voorbeeld. De afbeelding F  ((t 3 ,1  t 2 ) | t  ) is continu, want elk van zijn
componenten f1  (t 3 | t  ) resp. f 2  (1  t 2 | t  ) is continu.. Hetzelfde geldt
voor de afbeelding t  (cos t ,sin t ) met domein  . Het bereik van de laatste afbeelding bestaat uit de punten van de eenheidscirkel  .
Voorbeeld. Een affiene  n - m -afbeelding is continu. Een component f van zo'n
afbeelding heeft de vorm f ( x1 ,..., xn )  a1 x    an xn  c .
Het op passende wijze samenstellen van continue afbeeldingen levert weer een continue afbeelding op. Het bewijs van deze beweringen krijgen we door kleine
aanpassingen in de bewijzen voor de corresponderende stellingen m.b.t. - functies.
De volgende eigenschap wordt vaak als alternatieve definitie van continuïteit van F
in P gebruikt.
5.5.3 Een  n - m -afbeelding F met domein D is continu in P  D precies dan,
wanneer er bij iedere omgeving U van F ( P) een omgeving V van P bestaat zo dat
F (D  V )  U .
Bewijs. Stel F is een  n - m -afbeelding F met domein D en P  D
(1) Stel F is continu in P. Neem een omgeving U   m van Q  F ( P) . Laat   0
een getal zijn zo dat de  -omgeving van Q binnen U ligt. Stel nu dat er bij U niet
een omgeving V van P bestaat zodat F ( D  V )  U . Dan kunnen we binnen iedere
1
k
-omgeving V van P een punt X k  D vinden zo dat F ( X k )  U en dus
| F ( X k )  Q |   . We nemen k    . Dan lim X k  P , terwijl lim F ( X k )  Q .
k 
k 
Maar dat is onmogelijk, want we veronderstelden dat F continu is in P. We concluderen dat er bij iedere U een V te vinden is zo dat F ( D  V )  U .
(2) Wat betreft de omkering: Stel dat er bij iedere omgeving U van F ( P) een omgeving V van P bestaat zo dat F ( D  V )  U . Laat X1 , X 2 , X 3 ,... een rij in D zijn,
die convergeert naar P, en F ( X1 ), F ( X 2 ), F ( X 3 ),... in  m is de rij van de beelden
onder F. Is U een omgeving van Q en V een bijbehorende omgeving van P zo dat
F ( D  V )  U , dan liggen bijna alle punten in de rij X1 , X 2 , X 3 ,... in D  V . Dan
liggen dus ook bijna alle beeldpunten F ( X1 ), F ( X 2 ), F ( X 3 ),... in U. Dit geldt voor
iedere omgeving U van Q, dus lim F ( X k )  Q . Dit geldt voor iedere rij punten
k 
X1 , X 2 , X 3 ,... in D, die convergeert naar P. Conclusie: F is continu in P.
Zijn f en g  n - -functies met gemeenschappelijk domein D en c   , dan
c  f  (c  f ( X ) | X  D ) ,
f  g  ( f ( X )  g ( X ) | X  D) ,
f  g  ( f ( X )  g ( X ) | X  D) .
5 Limieten en continuïteit
113
Als g ( X )  0 voor X  D , dan
f / g  ( f ( X ) / g ( X ) | X  D) .
Voor deze functies geldt: Als f en g continu zijn en c   , dan zijn ook
c  f , f  g , f  g en f / g continu (mits niet gedeeld wordt door 0 uiteraard).
Soortgelijk voor  n - m -afbeeldingen F en G met gemeenschappelijk domein D:
c  F  (c  F ( X ) | X  D ) ,
F  G  ( F ( X )  G ( X ) | X  D) .
Opmerking. Met punt ( x, y )   2 correspondeert het getal x  i  y in  . Met be-
hulp van deze 1-1 -correspondentie kunnen we in  2 een complexe vermenigvuldiging en deling van punten in  2 definiëren. Voor  n - 2 -afbeeldingen F en
G met gemeenschappelijk domein D kunnen we dan de complexe vermenigvuldiging en deling F  G en F / G net als hierboven definiëren. I.h.b. kunnen we dan
F n voor n   definiëren. Voor X  D stellen we F 0 ( X )  E1 . Idem bij  n -  afbeeldingen.
Ga na: Een  n - m -afbeelding F is begrensd precies dan wanneer elk van zijn
componenten f1 , f 2 ,..., f m begrensd is.
5.6 Lipschitzcontinuïteit en uniforme continuïteit.
Lipschitzcontinuïteit van  n - m -afbeeldingen wordt op voor de hand liggende
wijze gedefinieerd:
5.6.2 Definitie. Is V een deelverzameling van het domein van de  n - m -afbeelding
F, dan zeggen we dat F Lipschitzcontinu is op V, wanneer er een getal M is zo dat
| F ( X )  F (Y ) |  M  | X  Y | , als X , Y  V .
Is V het domein van F, dan noemen we F Lipschitzcontinu zonder meer.
Uit 5.5.3 volgt dat een  n - m -afbeelding F met domein D continu is in een punt
P  D precies dan, wanneer er bij iedere   0 een   0 is zo dat
| F ( X )  F ( P) |   , als X  D en | X  P |   . Hoe klein we  bij gegeven
  0 moeten kiezen hangt normaal gesproken niet alleen van  maar ook van het
punt P af. Er hoeft niet één  te zijn, die bij gegeven  voldoet voor iedere P  D .
Is dat wel het geval dan noemen we F uniform continu op D.
5.6.3 Definitie. Is V een deelverzameling van het domein van de  n - m -afbeelding
F, dan zeggen we dat F uniform continu is op V, als er bij iedere   0 een   0 is
zo dat voor iedere X , Y  V geldt
| X  Y |    | F ( X )  F (Y ) |   .
Is V het domein van F, dan noemen we F uniform continu zonder meer.
114
Analyse in  n
Ga na:
(1) Lipschitzcontinuïteit  uniforme continuïteit  continuïteit.
(2) F is Lipschitzcontinu  de componenten van F zijn Lipschitzcontinu.
(3) F is uniform continu  de componenten van F zijn uniform continu.
Opgave. Stel F is Lipschitzcontinu en 1-1 op V en G is de omkeerafbeelding van
F | V . Toon aan dat G Lipschitzcontinu is op W  F (V ) .
Opgave. De  n - m -afbeelding F is Lipschitzcontinu (uniform continu) op V precies dan, wanneer elk van zijn componenten Lipschitzcontinu (resp. uniform
continu) is op V . Toon dit aan.
Continuïteit op een compacte verzameling impliceert uniforme continuïteit:
5.6.4 Is de  n - m -afbeelding F continu op een compacte verzameling V , dan is F
uniform continu op V.
Bewijs. Stel F is continu op de compacte verzameling V   n en   0 . Uit 5.5.3
volgt dat er bij iedere P  V een  P  0 bestaat zo dat | F ( X )  F ( P ) |  12  , als
| X  P |   P en X  V . Kies bij elke P  V zo'n getal  P .
We moeten nu aantonen dat er een getal   0 bestaat zo dat voor iedere X , Y  V :
| X  Y |    | F ( X )  F (Y ) |   .
De verzamelingen C ( P, 12  P )  { X   n | | X  P |  12  P } met P  V vormen een
open overdekking van V. Volgens de overdekkingsstelling wordt V al door een eindig aantal C ( P1 , 12  P1 ) , ... , C ( Pm , 12  Pm ) van deze verzamelingen overdekt. Neem
nu X , Y  V , | X  Y |   en stel dat X  C ( Pk , 12  Pk ) voor zekere k  {1,..., m} .
Dan | X  Pk |   Pk en ook | Y  Pk |   Pk . Daaruit volgt dat | F ( X )  F ( Pk ) |  12 
en ook | F (Y )  F ( Pk ) |  12  . Dus | F ( X )  F (Y ) |   .
[Alternatief met behulp van het lemma van Lebesgue. De open verzamelingen
C ( P, 12  P ) met P  V vormen een overdekking van V. Er is volgens het lemma
van Lebesgue een   0 zodat voor iedere X  V geldt C ( X ,  )  C ( P, 12  P ) voor
zekere P  V . Met ditzelfde punt P geldt dan C (Y ,  )  C ( P,  P ) voor Y  V zo
dat | X  Y |   . Uit de wijze waarop  P bij P gekozen is volgt
| F ( X )  F ( P) |  12  , | F (Y )  F ( P) |  12  en dus | F ( X )  F (Y ) |   .]
nu
5 Limieten en continuïteit
115
5.7 Maximum en minimum. Door een continue afbeelding worden compacte verzamelingen op compacte verzamelingen afgebeeld:
5.7.1 Is de  n - m -afbeelding F continu op de compacte verzameling V   n ,
dan
(i) F (V ) is een compacte deelverzameling van  m ,
(ii) Is F 1-1 op V en is G de omkeerafbeelding van F | V , dan is G continu op
F (V ) .
Bewijs. Stel F is continu op de compacte verzameling V. Laat Y1 , Y2 , Y3 ,... een rij in
het bereik F (V ) zijn. Dan is er een rij X1 , X 2 , X 3 ,... in V zo dat f ( X k )  Yk voor
iedere k    . V is compact, dus er is een deelrij X 1 , X 2 , X 3 ,... van X1 , X 2 , X 3 ,...
die convergeert naar P  V . Uit de continuïteit van F volgt dat de corresponderende
deelrij Y1 , Y2 , Y3 ,... van Y1 , Y2 , Y3 ,... convergeert naar Q  F ( P).
Hiermee is aangetoond dat F (V ) rij-compact en dus compact is: iedere rij
Y1 , Y2 , Y3 ,... in F (V ) heeft een deelrij die convergeert naar een punt Q  F (V ).
Hiermee is (i) bewezen.
Wat betreft onderdeel (ii): Stel F is 1-1 op V , G is de omkeerafbeelding van
F | V en W  F (V ) . Laat Y1 , Y2 , Y3 ,... een rij punten in W zijn, die convergeert
naar Q in W, en X1 , X 2 , X 3 ,... is de corresponderende rij in V. Er is een deelrij
X 1 , X 2 , X 3 ,... van X1 , X 2 , X 3 ,... die convergeert naar een punt P  V . F is continu, dus de corresponderende deelrij Y , Y , Y ,... van Y , Y , Y ,... convergeert naar
1
2
3
1
2
3
F ( P). Dat betekent dat F ( P)  Q en G (Q)  P , want iedere deelrij van
Y1 , Y2 , Y3 ,... heeft dezelfde limiet Q. We moeten aantonen dat P het enige limietpunt
van de rij X1 , X 2 , X 3 ,... . is. Stel dat X1, X 2 , X 3 ,... een andere deelrij van
X1 , X 2 , X 3 ,... is, die convergeert naar P . Dan ook F ( P)  Q . Maar F is 1-1 op V,
dus P  P . M.a.w. X1 , X 2 , X 3 ,... convergeert naar P  G (Q) . Hiermee is aangetoond dat G continu is op W  F (V ) .
Voorbeeld. De eis dat V compact is kan in 5.7.1 niet gemist worden. We laten dit
zien met n  m  1 . Neem V  [2, 1  [1, 2] en definieer f op V d.m.v.
f ( x)  x  1 voor x  [2, 1 en f ( x)  x  1 voor x  [1, 2] . Dan is f continu en
1-1 op V, maar de omkeerfunctie g is niet continu op F (V )  [1,1] . Zie ook de
volgende opgave.
Opgave. De - 2 -afbeelding F : t  (cos t ,sin t ) beeldt zijn domein [0, 2  continu en 1-1 op de eenheidscirkel   {( x, y )   2 | x 2  y 2  1} . Ga na dat de
omkeerafbeelding G  F 1 niet continu is in E1 (1, 0) . Beperken we F tot een compact interval [a, b]  [0, 2  , dan is de inverse van deze beperking continu op
F ([a, b]) .
116
Analyse in  n
Opgave. Is de  n - m -afbeelding F continu op de gesloten verzameling V   n ,
dan is F (V ) een gesloten deelverzameling van  m . Toon dit aan.
Een - -functie die continu is op een interval [a, b] bereikt daar zijn maximum en
minimum. Dit is eenvoudig te generaliseren tot een  n - -functie die continu is op
een compacte en niet-lege verzameling V.
5.7.2 Is de  n - -functie f continu op de compacte verzameling V   , dan bereikt f op V zijn minimum en maximum, d.w.z. er zijn P, Q  V zo dat
f ( P)  f ( X )  f (Q) voor iedere X  V .
Bewijs. Stel de  n - -functie f is continu op de compacte verzameling V   .
Dan is f (V ) compact, dus gesloten en begrensd, en niet leeg. Stel q  sup f (V ) ,
dan is er een rij Y1 , Y2 , Y3 ,... in f (V ) zo dat lim Yk  q . Dan q  f (V ) , want f (V )
k 
is gesloten, dus er is een Q  V zo dat f (Q )  q  sup f (V ) . Op dezelfde manier is
er een P  V zo dat f ( P)  p  inf f (V ) . Dan f ( P)  f ( X )  f (Q) voor iedere
X V .
.
De afstand d( P,V ) van een punt P in  n tot een niet-lege verzameling V   n
wordt gedefinieerd d.m.v. d( P,V )  inf {PX | X  V } . Deze afstand kan 0 zijn, ook
als P niet tot V behoort. Geef een voorbeeld. Is V echter compact en P  V , dan is
de beperking van de  n - -functie X  | X  P | tot V continu en bereikt zijn minimum in een punt Q op V en dit minimum is  0 , want P  Q .
Zijn V en W niet lege deelverzamelingen van  n , dan stellen we de afstand van V
en W gelijk aan
d(V ,W )  inf { XY | X  V , Y  W } .
Zijn V en W beide compact en V  W   , dan is deze afstand positief. [Dan is
( X , Y )  | X  Y | continu op de compacte productverzameling V  W .]
5.7.3 Afstand. Stel V en W zijn compacte, niet-lege deelverzamelingen van  n .
(1) Als P  V , dan d( P,V )  0 .
(2) Als V  W   , dan d(V ,W )  0 .
5 Limieten en continuïteit
117
5.8 Limieten van afbeeldingen.
5.8.1 Definitie. Stel F is een  n - m -afbeelding met domein D.
Dan lim F ( X )  Q , wanneer:
X P
(i) P is een verdichtingspunt van D en
(ii) iedere rij X1 , X 2 , X 3 ,... in D \ {P} die naar P convergeert, wordt door F afgebeeld op een rij F ( X1 ), F ( X 2 ), F ( X 3 ),... in  m die convergeert naar Q.
Opmerking. P hoeft niet in D te liggen. Als P  D , dan D \ {P}  D .
Ga na:
5.8.2 Is F een  n - m -afbeelding met domein D en componenten f1 ,..., f m , dan:
lim F ( X )  Q  lim f k ( X )  qk , voor k  1,..., m .
X P
X P
We veronderstellen hierbij dat P een verdichtingspunt is van D.
Op voor de hand liggende wijze kunnen we hier ook lim F ( X )  Q met P   of
XP
Q   (of beide) definiëren. Zie de definitie van lim X n   in 5.1.
n 
Als lim f ( X )  p, lim g ( X )  q en a   , dan
X C
X C
lim (a  f ( X ))  a  p , lim ( f ( X )  g ( X ))  p  q ,
X C
X C
lim ( f ( X )  g ( X ))  p  q , lim ( f ( X ) / g ( X ))  p / q (q  0) .
X C
X C
Is F een  n - k -afbeelding en G een  k - m -afbeelding zo dat lim F ( X )  Q
X P
en lim G (Y )  R , dan geldt onder voor de hand liggende voorwaarden dat
Y Q
lim G ( F ( X ))  R . Limieten gedragen zich bij het samenstellen van afbeeldingen
X P
zoals verwacht mag worden.
Voorbeeld. Stel f ( x, y ) 
x2  y 2
x2  y 2

met domein  2 \ {O} . Bereken



lim  lim f ( x, y )  en lim lim f ( x, y ) . Ga na dat lim f ( X ) niet bestaat.
y 0 x  0
X O



Merk op dat lim f ( X ) niet hetzelfde is als lim  lim f ( x, y )  of
x 0  y 0
X O

x  0  y 0


lim lim f ( x, y ) . De beide laatste limieten bestaan en zijn niet gelijk.
y 0 x  0
118
Analyse in  n
Opgave. Is P een verdichtingspunt van het domein D van een  n - m -afbeelding
F, dan is F continu in P  P  D en lim F ( X )  F ( P) . Toon dit aan. Als
X P
lim F ( X )  Q en P hoort niet tot het het domein D van F, dan kunnen we F uit-
X P
breiden tot F met domein D  D  {P} . Door dan F ( P )  Q te stellen wordt F
continu in P.
5.9  n - -functies. Uit het voorgaande blijkt dat de eigenschappen van een
 n - m -afbeelding F volledig bepaald zijn door de eigenschappen van zijn componenten f1 , f 2 ,..., f m . Deze componenten zijn  n - -functies.
Van speciaal belang zijn de componenten van de identieke afbeelding X  X , die
ieder punt van  n op zichzelf afbeeldt. We kunnen X  X in coördinaten schrijven als ( x1 ,..., xn )  ( x1 ,..., xn ) . De componenten van deze afbeelding zijn de n
afbeeldingen  i : ( x1 ,..., xn )  xi , i  1,..., n , die ieder punt X in  n op zijn i-de
coördinaat projecteren [de letter  staat hier voor 'projectie']. De identieke afbeelding op  n is een continue afbeelding, dus hetzelfde geldt voor zijn componenten
1 ,...,  n .
Het kan geen kwaad om voor de coördinaatfuncties 1 ,...,  n de Griekse letter 
met een index te gebruiken. Verwarring met het getal  , dat nooit met een index
wordt geschreven, zal niet optreden. Is F een  n - m -afbeelding, dan is  i  F de
i-de component van F voor i  1,..., m .
Merk op dat de coördinaatfuncties op  n en de coördinaatfuncties op  m niet dezelfde functies zijn, wanneer n  m . Uit de context moet blijken wat het domein
van een functie  k is.
Opgave. Een coördinaatfunctie  k op  n is een lineaire functie. Wat is de kern van
deze functie? De lineaire  n - -functies vormen een lineaire ruimte met dimensie
n en basis 1 ,...,  n .
Voorbeeld. Als n  2 , dan X  ( x, y ) en dus 1 ( X )  x en  2 ( X )  y . Met behulp
van algebraïsche bewerkingen krijgen we hieruit afbeeldingen als
3 2  51 2   23
312  51 2   23 en 13
ofwel
1  21 2  1
( x, y )  3x 2  5 xy  y 3 resp. ( x, y ) 
3x 2  5 xy  y3
x3  2 xy  1
.
5 Limieten en continuïteit
119
Als n  3 , dan X  ( x, y , z ) en dus 1 ( X )  x ,  2 ( X )  y en  3 ( X )  z .
Met behulp van algebraïsche bewerkingen krijgen we hieruit functies als
3x 2 y  5 xyz  y 3 z 5
( x, y, z )  3x 2 y  5 xyz  y 3 z 5 of ( x, y, z ) 
.
1  xyz
Dit type functies is continu op zijn domein.
Een uitdrukking als ' 2 x 2  7 xy  y 3 ' of ' x5 y 2  2 x3 y  8 x  3 y  5 ' heet een veelterm in de variabelen x en y en  2 - -functies als
( x, y )  2 x 2  7 xy  y 3 en ( x, y )  x5 y 2  2 x3 y  8 x  3 y  5 ,
die door middel van zulke uitdrukkingen gedefinieerd worden, heten veeltermfuncties of polynomen 'in twee variabelen' [hoewel 'in twee variabelen' eigenlijk niet
slaat op de functie, maar op de definiërende uitdrukking].
Voorbeeld. De functie X  | X | met domein  2 is samengesteld uit de continue
functies ( x, y )  x 2  y 2 en x  x en dus zelf ook continu.
In  2 bestaat ook nog een ander soort veeltermafbeeldingen. Dat zijn geen  2 - functies, maar  2 - 2 -afbeeldingen. In  2 beschikken we over het complexe product P  Q  ( p1q1  p2 q2 , p1q2  p2 q1 ) . Met
P  rP  (cos  P ,sin  P ) en Q  rQ  (cos Q ,sin Q )
geldt
P  Q  rP  rQ  (cos( P  Q ),sin( P  Q )) en
P n  rP n  (cos(n   P ),sin(n   P )) .
Met de optelling en de complexe vermenigvuldiging is ( 2 , ,  ) een lichaam dat
isomorf is met het lichaam (, ,  ) van de complexe getallen. Het punt ( x, y ) in
 2 correspondeert met het complexe getal x  i  y in  . Is L een lichaam, dan he-
ten de afbeeldingen x  a0  a1  x    an 1  x n 1  an  x n , met domein L en
coëfficiënten a0 , a1 ,..., an uit L , de veeltermafbeeldingen (polynomen) van L.. De
veeltermafbeeldingen X  A0  A1  X    An 1  X n 1  An  X n zijn continu op
2 .
Op de getallenlijn kunnen we onderscheiden tussen 'naderen van links' en 'naderen
van rechts', tussen linkerlimiet en rechterlimiet. In het platte vlak zijn er meer mogelijkheden. Een punt P in  n kan vanuit alle richtingen benaderd worden en dat
kan verschillende limieten opleveren. Punt P hoeft hierbij niet via een rechte lijn
benaderd te worden, we kunnen P via een willekeurige verzameling V  R 2 benaderen.
Analyse in  n
120
Als F : D   m met D   n en V  D , dan definiëren we we de limiet
lim F ( X ) als lim G ( X ) , waarin G de beperking van F tot V  D is.
X  P , X V
X P
Als lim F ( X ) bestaat en P is een verdichtingspunt van V  D , dan bestaat ook
X P
lim
F ( X ) en beide limieten zijn gelijk. Het is echter mogelijk dat
lim
F ( X ) bestaat, terwijl lim F ( X ) niet bestaat.
X  P , X V
X  P , X V
X P
Voorbeeld. Stel f  ( xy / ( x 2  y 2 ) | ( x, y )   2 \ {O}) en
c
Vc  {( x, y )   2 | y  cx} . Dan
.
lim
f (X ) 
X O , X Vc
1  c2
c
[Ga na dat f ( x, y ) 
voor ( x, y )  Vc \ {O} .]
1  c2
Functie f is niet continu in O, alleen al niet omdat O niet tot het domein van f behoort. Maar deze discontinuïteit in O is ook niet ophefbaar, lim f ( X ) bestaat niet.
X O
5.10 Krommen in  n . Een kromme in  n is een continue - n -afbeelding
F  (( f1 (t ),..., f n (t )) | t  I ) met een interval I   als domein. We beschouwen F
als een parametrisering van zijn beeldverzameling F *  Im( F ) . Bij iedere t  I
hoort een punt P  F * en we noemen t dan een parameter van punt P  F (t ) . Het
interval I heet het parameterinterval en de elementen van I zijn de parameters van
F. De parametrisering F geeft aan zijn beeldverzameling F * een oriëntatie of
doorloopzin, de punten van F * worden doorlopen in de richting van toenemende
parameters. We noemen F * het spoor van F. We kunnen t interpreteren als de tijd
en F (t ) als de positie van een bewegend punt op tijdstip t.
In het volgende gebruiken we voor een kromme in  n bij voorkeur de letter K en
zijn componenten duiden we aan met x1 ,..., xn . Zo'n kromme schrijven we dan in de
vorm K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) . Is I  [a, b] het parameterinterval van kromme
K, dan noemen we K (a) het beginpunt en K (b) het eindpunt van de kromme en
zeggen dat K het beginpunt K (a) en het eindpunt K (b) met elkaar verbindt. Vallen begin- en eindpunt samen, dan noemen we de kromme gesloten.
We zeggen dat een punt P op de kromme K ligt, als P op K * ligt. Kromme K ligt
in A   n , als K *  A . En zo zijn er meer voor de hand liggende uitdrukkingen
waarin over K gesproken wordt als K * bedoeld is en omgekeerd. K hoeft niet 1-1 te
zijn, bij eenzelfde punt van K * kunnen meerdere parameters horen.
5 Limieten en continuïteit
121
Opmerking. We zijn misschien eerder geneigd het spoor K * van kromme K een
kromme te noemen, maar de doorloopzin die door de afbeelding K aan zijn spoor
K * gegeven wordt, speelt in veel toepassingen een belangrijke rol. Wel kan eenzelfde verzameling K * meestal ook nog op oneindig veel andere manieren
geparametriseerd worden.
Is K *  {( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I } een kromme in  n en beeldt de continue - functie  : J  I het interval J strikt monotoon af op het interval I, dan noemen we
 een parametertransformatie van K. Is  strikt stijgend, dan noemen we K en
K  K    ( K ( (u )) | u  J ) equivalent. Voor veel doeleinden is K net zo geschikt als K en vatten we K en K  K   op als in wezen dezelfde kromme. K en
K hebben hetzelfde spoor en geven aan dit spoor dezelfde oriëntatie. Vaak stellen
we nog nadere eisen aan een parametertransformatie. Of we K en K  K   als
'dezelfde' kromme beschouwen hangt af van de eisen die we aan  stellen.
Kromme K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) is differentieerbaar, als al zijn componenten
differentieerbaar zijn en in dat geval K   (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) . Voor t  I geldt
K (t  h)  K (t )
.
h 0
h
Is  : J  I een differentieerbare parametertransformatie, dan is ook K  K  
differentieerbaar en voor u  J geldt K (u )  K ( (u ))   (u ) [kettingregel]. Bij
K (t )  lim
een differentieerbare kromme eisen we dat ook een parametertransformatie differentieerbaar is.
Is K  ( K (t ) | t  [a, b]) een kromme met beginpunt A  K (a ) en eindpunt
B  K (b) , dan is K   ( K (t ) | t  [b, a ]) een kromme die het spoor van K in
tegengestelde richting doorloopt. B is het beginpunt van K  en A het eindpunt. K
en K  zijn tegengesteld georiënteerd.
Valt het eindpunt van kromme K1  ( K1 (t ) | t  [a1 , b1 ]) samen met het beginpunt
van kromme K 2  ( K 2 (t ) | t  [a2 , b2 ]) , dan kunnen we K1 en K 2 aaneenschakelen


tot één kromme K  K1 K 2  ( K (t ) | t  [a1 , b1  (b2  a2 )]) . K  K1 K 2 wordt voor
t  [a1 , b1 ]
gedefinieerd door K (t )  K1 (t ) . Voor t  [b1 , b1  (b2  a2 )] wordt K
gedefinieerd door K (t )  K 2 (t  b1  a1 ) .
Op soortgelijke wijze kunnen we een rij K1 ,..., K n aaneensluitende krommen scha  
kelen tot één kromme K  K1 K 2  K n . Als K n weer aansluit op K1 dan is K een
gesloten kromme. Bij een gesloten kromme doet het er niet veel toe welk punt we
   
als het beginpunt (= eindpunt) beschouwen, K 2 K3  K n K1 is dan in wezen dezelfde kromme als K.
122
Analyse in  n
Het spoor van een kromme hoeft niet in letterlijke zin 'krom' te zijn. Als P  Q ,
dan is L  ( P  t  (Q  P) | t   ) de geparametriseerde lijn PQ. Lijnstuk PQ is het
spoor van de kromme K  ( P  t  (Q  P) | t  [0,1]) , K is een parametrisering van
lijnstuk PQ met beginpunt P en eindpunt Q. We zeggen dat een punt R tussen P en
Q ligt, als er een getal t is zo dat R  P  t  (Q  P) en 0  t  1 . K wordt ook genoteerd als [ P  Q] . Zijn K1 ,..., K n parametriseringen van aaneensluitende
  
lijnstukken, dan noemen we K  K1 K 2  K n een lijnstukkenweg. Zijn spoor
wordt wel een gebroken lijn genoemd. Een veelhoek is een lijnstukkenweg waarvan
het eindpunt samenvalt met het beginpunt. Ook het spoor van een gesloten lijnstukkenweg wordt een veelhoek genoemd.
  
Is P0 , P1 ,..., Pn een rij punten in  n , dan is K  K1 K 2  K n met
Ki  ( Pi 1  (t  i  1)  ( Pi  Pi 1 ) | t  [i  1, i ])
een parametrisering van de gebroken lijn P0 P1...Pn met parameterinterval [0, n] .
Deze parametrisering K van P0 P1...Pn wordt ook genoteerd als
K  [ P0  P1    Pn ] .
  
Als Pn  P0 , dan is K gesloten en K  K1 K 2  K n is een parametrisering van de
n-hoek P0 P1...Pn 1 met hoekpunten P0 , P1 ,..., Pn 1 en zijden P0 P1 , P1 P2 ,..., Pn 1 P0 . De
hoekpunten en zijden van de n-hoek P0 P1...Pn 1 worden door K in de genoemde
volgorde doorlopen. De parametrisering K geeft daarmee een oriëntatie aan de nhoek P0 P1...Pn 1 .
De parametrisering K   [ Pn  Pn 1    P0 ] met Pn  P0 geeft aan P0 P1...Pn 1
de tegengestelde oriëntatie.

Opmerking. Sommigen schrijven K1  K 2 i.p.v. K1 K 2 , maar bedenk wel dat de
notatie K1  K 2 voor krommen K1 , K 2 met gemeenschappelijk parameterinterval I
al een andere betekenis heeft, namelijk ( K1 (t )  K 2 (t ) | t  I ) .
Als K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) en P is een punt in  n , dan is K  K  P het

translatiebeeld van kromme K bij translatie over vector OP , K  ( K (t )  P | t  I )
 (( x1 (t )  p1 ,..., xn (t )  pn ) | t  I ) .
5 Limieten en continuïteit
123
Raaklijn aan een kromme. Stel K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) is een differentieerbare
kromme in  n en P  K ( p) is het punt op kromme K [d.w.z. op K * ] dat bij parameter t  p hoort. Q  K ( p  h) is een ander punt op K. Als R  Q  P , dan is R
 

het punt zodat OR  PQ . De vector OR is dan een richtingsvector van lijn PQ en
1 
hetzelfde geldt voor  OR . Convergeert h naar 0, dan nadert punt Q over de
h
kromme naar punt P en lijn PQ nadert tot een raaklijn in punt P aan de kromme.
1 
1 
Verder nadert  OR tot een richtingsvector van deze raaklijn. Vector  OR heeft
h
h
K ( p  h)  K ( p )
als eindpunt en dit eindpunt convergeert naar K ( p) , als h  0 .
h
Dit motiveert de volgende definitie.
5.10.1 Definitie raaklijn aan een kromme. Is K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  I ) een differentieerbare kromme in  n en K ( p )  O , dan is de lijn door punt P  K ( p) met

richtingsvector OK ( p ) de raaklijn in punt P aan kromme die hoort bij parameter p.
Opmerking. De toevoeging '...die hoort bij parameter p' is niet overbodig. Een
kromme kan zichzelf doorsnijden, een punt P op de kromme kan bij meerdere parameters horen. Door punt P kunnen meerdere raaklijnen aan de kromme gaan. Als
K ( p )  O , dan is door definitie 5.10.1 geen raaklijn bepaald die bij parameter p
hoort.
We noemen een differentieerbare kromme K regulier voor een parameter t, als
K (t )  O . K is regulier zonder meer, als K (t )  O voor iedere parameter t.
Kromme K heet continu differentieerbaar als zijn afgeleide K  continu is op het parameterinterval van K.
Bestaat er een partitie a  t0  t1    tn  b van het parameterinterval [a, b] van
kromme K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) zo dat Ki  K | [ti 1 , ti ] differentieerbaar is
voor i  1,..., n , dan noemen we K stuksgewijs differentieerbaar. Op soortgelijke
wijze definiëren we K is stuksgewijs regulier of K is stuksgewijs continu differentieerbaar. In de deelpunten t1 ,..., tn 1 van de partitie kan de linkerafgeleide K  (ti )
verschillen van de rechter afgeleide K  (ti ) . Bij deelpunt ti kunnen twee verschillende raaklijnen aan K horen. In t0  a is de afgeleide K (a ) gelijk aan de
rechterafgeleide K  (a) en in tn  b is de afgeleide K (b) gelijk aan de linkerafgeleide K  (b) . Is K gesloten, dan K (a )  K (b) , maar mogelijk K (a )  K (b) .
Voorbeeld. De reguliere kromme K  ((cos t ,sin t ) | t  [0, 2 ]) heeft de eenheidscirkel als spoor. De raaklijn in punt P  K ( p )  (cos p,sin p ) aan de cirkel bij

parameter t  p heeft OK ( p ) met K ( p )  ( sin p, cos p ) als richtingsvector. Er
 
geldt OK ( p )  OK ( p) .
Analyse in  n
124
5.11 De lengte van een kromme.
Definitie. Voor een kromme K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) in  n definiëren we
nu de lengte van K. Laat P : a  t0  t1    tn  b een partitie van [a, b] zijn en
X 0 , X1 ,..., X n de bijbehorende punten op K, X i  K (ti ) met i  0,1,..., n . We stel-
len lP  X 0 X1  X1 X 2    X n 1 X n en L  {lP | P is een partitie van [a, b]} . Dan
is L niet leeg. Is L bovendien naar boven begrensd, dan bestaat sup( L) . In dat geval
noemen we K rectificeerbaar en definiëren we de lengte  van K d.m.v.
   ( K )  sup L .
Opmerking. K hoeft geen 1-1 afbeelding te zijn, het is mogelijk dat bepaalde delen
van het spoor van K meer dan één keer worden doorlopen als t het parameterinterval doorloopt. Een deel van K * dat meer dan één keer wordt doorlopen telt
meerdere malen mee bij het bepalen van  ( K ) . Als het slechts een eindig aantal
losse punten betreft die meerdere malen worden aangedaan, dan heeft dit voor
 ( K ) geen effect.
Toon aan:
5.11.1 (i) Als F rectificeerbaar is en F is equivalent met F, dan is ook F rectificeerbaar en  ( F )   ( F ) . (ii) Zijn F1 , F2 ,..., Fn rectificeerbaar, dan is ook
  
F  F1 F2  Fn rectificeerbaar en  ( F )   ( F1 )     ( Fn ) . (iii) Als kromme F
rectificeerbaar is, dan is ook F  rectificeerbaar en  ( F  )   ( F ) .
Een Lipschitzcontinue kromme is rectificeerbaar:
5.11.2 Is kromme K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) Lipschitzcontinu met Lipschitzconstante M, dan is K rectificeerbaar en  ( K )  M  (b  a ) .
Bewijs. Stel K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) is Lipschitzcontinu met Lipschitzconstante M. Dan geldt
| K (u )  K (v) |  M  | u  v | voor u , v  [a, b] .
Is P : a  t0  t1    tn 1  tn  b een partitie van [a, b] , dan stellen we
K (ti )  X i , lP  X 0 X1  X1 X 2    X n 1 X n en
L  {lP | P is een partitie van [a, b]} .
L is niet leeg en
X i 1 X i  | K (ti )  K (ti 1 ) |  M  (ti  ti 1 ) .
Hieruit volgt
n
n
i 1
i 1
lP   X i 1 X i  M   (ti  ti 1 )  M  (b  a ) .
Dit geldt voor iedere partitie P van [a, b] , dus M  (b  a) is een bovengrens van L .
Dat betekent dat L een kleinste bovengrens    ( K ) heeft. K is rectificeerbaar en
 is de lengte van K .
5 Limieten en continuïteit
125
5.11.3 Is K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) continu differentieerbaar, dan is K Lipschitzcontinu op [a, b] en dus rectificeerbaar.
Bewijs. Is K continu differentieerbaar, dan zijn de componenten x1 ,..., xn continu
differentieerbaar en dus Lipschitzcontinu op [a, b] . Ga na dat hieruit volgt dat ook
K Lipschitzcontinu is op [a,b].
We kunnen de lengte van een continu differentieerbare kromme met een compact
parameterinterval als een integraal schrijven:
5.11.4 Is K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) continu differentieerbaar, dan is K rectificeerbaar en  (K )  
b
a
b
b
a
a
( x1 (t )) 2    ( xn (t )) 2 dt   | K (t ) | dt   | K  | .
Bewijs. We geven het bewijs voor het geval n  2 . Dit geval is voldoende representatief om aan te geven hoe een algemeen bewijs dient te verlopen.
Stel K  (( x(t ), y (t )) | t  [a, b]) is continu differentieerbaar. Dan is K Lipschitzcontinu op [a, b] en dus rectificeerbaar. De integraal
b
a
( x(t ))2  ( y (t ))2 dt bestaat
in ieder geval, want de integrand is continu op [a, b] .
Is P : a  t0  t1    tn 1  tn  b een partitie van [a, b] , dan
n
n
i 1
i 1
lP   X i 1 X i   (( x(ti )  x(ti 1 )) 2  ( y (ti )  y (ti 1 ))2
n
  ( x(ci )) 2  ( y (d i )) 2  ti met ci , di  [ti 1 , ti ] voor i  1,..., n .
i 1
We hebben hier te maken met een 'Riemann-achtige som', die geen echte Riemannsom is, als ci  di voor sommige waarde van i.
We vergelijken nu
Afbeelding F 

( x(ci )) 2  ( y (di ))2 met
( x(ti 1 )) 2  ( y (ti 1 ))2 .
( x(u )) 2  ( y (v)) 2 | (u , v)  [a, b]  [a, b]
 is uniform continu op
het tweedimensionale interval [a, b]  [a, b] ( [a, b]2 ) . Dus bij iedere   0 is er
een   0 zo dat
| ( x(u1 )) 2  ( y (v1 )) 2  ( x(u2 ))2  ( y (v2 ))2 |   ,
wanneer | (u1 , v1 )  (u2 , u2 ) |   . De afstand van de punten (ti 1 , ti 1 ) en (ci , di ) uit
[ti 1 , ti ]  [ti 1 , ti ] is hoogstens
2  ti . Is de norm van een partitie P kleiner dan
 / 2 , dan
| ( x(ti 1 ))2  ( y (ti 1 )) 2  ( x(ci ))2  ( y (di ))2 |   .
Stel bij zo'n partitie is rP 
n

i 1
( x(ti 1 )) 2  ( y (ti 1 )) 2  ti een Riemannsom van
de functie t  ( x(t )) 2  ( y (t ))2 . [I.p.v. ti 1 hadden we net zo goed een ander
punt uit [ti 1 , ti ] mogen nemen.]
Analyse in  n
126
Dan
n
| r P  lP |  
i 1
( x(ti 1 ))2  ( y (ti 1 )) 2  ( x(ci ))2  ( y (di ))2  ti
n
    ti    (b  a) .
i 1
Dus | r P  lP | kunnen we zo klein maken als we maar willen door de norm van de
partitie P klein genoeg te nemen. Is P1 , P2 , P3 ,... een convergente rij partities van
[a, b] , dan convergeert een rij bijbehorende Riemannsommen r1 , r2 , r3 ,... naar de
integraal
b
a
( x(t ))2  ( y (t ))2 dt . Er geldt rP  lP  0 , als P de rij P1 , P2 , P3 ,...
doorloopt, en dan dus ook lP  
b
( x(t )) 2  ( y (t ))2 dt .
a
Opmerking. Het in dit bewijs gebruikte recept kunnen we vaker toepassen. Stel
K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) is een kromme in  n en f is een  n - -functie zo
dat functie F  ( f ( x1 (u1 )),..., f ( xn (un )) | u1 ,..., un  [a, b]) continu is. Dan is F uniform continu op [a, b]n  [a, b]    [a, b] . Verder is ook f  K continu op [a, b] ,
dus de integraal
b
a
b
f  K   f ( x1 (t ),..., xn (t )) dt bestaat. Is P1 , P2 , P3 ,... een con-
vergente rij partities van
a
[a, b] , dan convergeert een rij bijbehorende
Riemannsommen r1 , r2 , r3 ,... naar
b
a
f  K . Hetzelfde geldt dan ook voor een bijho-
rende rij sommen s1 , s2 , s3 ,... waarin we i.p.v. Riemannsom
n
rp   f ( x1 (ci ),..., xn (ci ))  ti met ci  [ti 1 , ti ]
i 1
de som
n
s p   f ( x1 (di ,1 ),..., xn (di ,n ))  ti met di ,1 ,..., di ,n  [ti 1 , ti ]
i 1
nemen.
Voorbeeld. K  ((r  cos t , r  sin t ) | t  [0, 2 ]) parametriseert de cirkel met middelpunt O en straal r . De omtrek van deze cirkel is
2
0
( x(t )) 2  ( y (t ))2 dt  
2
0
 r
2
0
(r  sin t  dt ) 2  (r  cos t  dt ) 2
sin 2 t  cos 2 t dt  r  
2
0
dt  2 r .
  
Als K  K1 K 2  K n met Ki continu differentieerbaar voor i  1,..., n , dan geldt
 ( K )   ( K1 )   ( K 2 )     ( K n ) . Is [a, b] het parameterinterval van K, dan
schrijven we ook in dit geval  (K )  
b
a
( x1 (t )) 2    ( xn (t )) 2 dt , ook al is K
mogelijk voor een eindig aantal parameters niet differentieerbaar.
5 Limieten en continuïteit
127
Opgave. Een lijnstukkenweg K  [ X 0  X1    X n ] is stuksgewijs continu
differentieerbaar. Toon aan  ( K )  X 0 X1  X1 X 2    X n 1 X n .
Is het spoor van kromme K de grafiek van een - -functie f , dan geldt:
5.11.5 Is functie f :[a, b]   continu differentieerbaar, dan is de lengte van
kromme K  (( x, f ( x)) | x  [a, b]) gelijk aan
b
a
1  ( f ( x))2 dx .
[Maar dat wisten we al.]
Opmerking. De aan het begin van deze paragraaf gegeven definitie van de lengte
van kromme K  (( x1 (t ),..., xn (t )) | t  [a, b]) geldt ook voor het speciale geval
n  1 . In dat geval is K een - -functie met het interval [a, b] als domein. Dat is
wat anders dan grafiek van deze functie! De grafiek van een - -functie f met het
interval [a, b] als domein is de kromme K  (( x, f ( x)) | x  [a, b]) in  2 . Maar
functie f zelf is de 'kromme' f  ( f (t ) | t  [a, b]) in  . In het laatste geval spreekt
men niet van de lengte van f maar van de variatie van f op [a, b] . In plaats van rectificeerbaar wordt f een functie met begrensde variatie genoemd. Bij een partitie
P : a  t0  t1    tn 1  tn  b van [a, b] hoort de som
lP  | f (t1 )  f (t0 ) |  | f (t2 )  f (t1 ) |    | f (tn )  f (tn 1 ) | .
Is L  {lP | P is een partitie van [a, b]} naar boven begrensd, dan is f op [a, b] een
functie met begrensde variatie en sup L is de variatie van f op [a, b] .
5.12 Samenhangende verzamelingen.
5.12.1 Definitie. Een verzameling V   n heet samenhangend, als ieder tweetal
punten in V verbonden kan worden d.m.v. een kromme die geheel in V ligt.
Voorbeeld. H  {( x, y )   2 | xy  1} is een hyperbool die bestaat uit twee takken
H1  {( x, y )       | y  1 / x} en H 2  {( x, y )       | y  1 / x} . Iedere tak
van de hyperbool is een samenhangend deel van H, maar H zelf is niet samenhangend.
Een convexe verzameling V   n is een verzameling waarvan ieder tweetal punten
verbonden kan worden door een lijnstuk dat geheel in V ligt. Een convexe verzameling V is samenhangend. 'Kromme' K  ( P  t  (Q  P) | t  [0,1]) ], met lijnstuk
PQ als spoor, verbindt P, Q  V . Een zichzelf niet doorsnijdende veelhoek heet
convex, als zijn binnengebied convex is.
Een verzameling V   n is stervormig t.o.v. P  V , als voor iedere X  V het
lijnstuk XP geheel in V ligt. Een stervormige verzameling is samenhangend. Iedere
convexe verzameling is stervormig.
De samenhangende deelverzamelingen van  zijn de intervallen.
128
Analyse in  n
Voor een functie f : I   die continu is op het interval I   geldt de tussenwaardestelling. Dit laat zich generaliseren tot:
5.12.2 Tussenwaardestelling. Is de  n - -functie f continu op een samenhangend
domein D, dan geldt voor P, Q  D dat f op D iedere waarde tussen
f ( P) en f (Q ) aanneemt. Het bereik f ( D) is dan een interval van  .
Bewijs. Stel de  n - -functie f is continu op D , D is samenhangend en P, Q  D .
Laat K een kromme in D zijn die P en Q verbindt met parameterinterval
I  [ p, q ] , K ( p )  P, K (q)  Q . Dan is g  f  K een - afbeelding met het
interval I als domein. Functie g is continu op I en neemt alle waarden tussen
g ( p )  f ( P) en g (q )  f (Q) aan. Dat betekent dat f op K *  D ook deze waarden aanneemt. Dus f ( D) is een interval van  .
Gevolg:
5.12.3 Neemt de continue  n - -functie f alleen rationale waarden aan op een
samenhangend domein D, dan is f constant op D.
5.13 Gebieden.
5.13.1 Definitie. Is V   n open en samenhangend, dan noemen we V een gebied.
Voorbeelden van gebieden zijn het binnengebied van een cirkel of het binnengebied
van een rechthoek, de randpunten van deze gebieden zijn de punten op de cirkel
resp. de punten op de zijden van de rechthoek. De binnengebieden van cirkels en
driehoeken zijn voorbeelden van convexe gebieden. Een n-dimensionaal interval
dat het cartesisch product is van n open intervallen van  is een gebied in  n .
Ook de lege verzameling en  n zelf zijn gebieden. Een open verzameling, i.h.b.
een gebied, bevat geen van zijn randpunten. Is G een gebied, dan wordt
G  G  rand(G ) wel een 'gesloten gebied' genoemd. Dat kan verwarring opleveren, want G is geen gebied in de zin van definitie 5.12.1. Wel is V samenhangend.
5.13.2 Twee punten A en B in een open verzameling U   n die verbonden kunnen
worden door kromme K in U, kunnen ook verbonden worden door een lijnstukkenweg die geheel in U ligt. Het is zelfs mogelijk A en B te verbinden d.m.v.
traplijn in U, d.w.z. door een lijnstukkenweg X 0 X1... X n 1 X n met A  X 0 , B  X n ,
waarin ieder lijnstuk X k 1 X k evenwijdig is met één van de coördinaatassen van
 n en die zichzelf niet doorsnijdt.
Bewijs. We beperken ons in dit bewijs tot n  2 , het bewijs voor n  2 gaat net zo.
Stel A en B liggen in het gebied V   2 . A en B kunnen we volgens de definitie
van gebied verbinden door een kromme K die geheel in V ligt. De punten van K *
zijn inwendige punten van V. Bij ieder punt van P  K * hoort dus een open cirkelomgeving van P die uitsluitend punten van V bevat. Deze cirkelomgevingen
vormen een open overdekking van K * . K * is compact [ K * is het beeld van een
compact interval [a, b] onder een continue afbeelding].
5 Limieten en continuïteit
129
Dus K * wordt volgens Heine-Borel reeds overdekt door een eindig aantal van deze
cirkelomgevingen. Met behulp van deze cirkelomgevingen is het eenvoudig om een
traplijn van A naar B te construeren, die zichzelf niet doorsnijdt.
In een verzameling V   n is de relatie X ~ Y gedefinieerd door
X ~ Y  er is een kromme K in V die X en Y verbindt,
een equivalentierelatie. De equivalentieklassen van deze relatie zijn samenhangende
deelverzamelingen van V, die we de samenhangscomponenten van V noemen.
5.13.3 Iedere open verzameling heeft een hoogstens aftelbaar aantal samenhangscomponenten.
Bewijs. Stel U is een open verzameling. De samenhangscomponenten van U zijn
equivalentieklassen, dus ieder punt P van U ligt in precies één samenhangscomponent van U. In iedere samenhangscomponent van U liggen punten met rationale
coördinaten. Kies uit iedere samenhangscomponent één punt met rationale coördinaten. De gekozen punten vormen een hoogstens aftelbare verzameling, dus ook het
aantal samenhangscomponenten van U is hoogstens aftelbaar.
Voorbeeld. Een gebied is een open verzameling met precies één samenhangscomponent.
Opmerking. Is het G een gebied, dan kunnen twee punten A, B  G verbonden worden door een traplijn in G, die zichzelf niet doorsnijdt.
5.14 Samenstellen van afbeeldingen. Een  n - p -afbeelding F en een  p - m afbeelding G kunnen we samenstellen tot de  n - m -afbeelding G  F , als het bereik van F binnen het domein van G valt. In het voorgaande hebben we al
vastgesteld dat het samenstellen van continue afbeeldingen weer een continue afbeelding oplevert.
Zijn f en g passende - -functies, dan schrijven we g  f ook als g ( f ) . We weten dat f geen functie als origineel kan hebben, dus als het goed is levert dit geen
misverstand op. We schrijven bijv. f of ln f voor de functies x  f ( x) resp.
x  ln f ( x) . We gebruiken deze schrijfwijze ook als g een - -functie is en f
een passende  n - functie . In dat geval is g ( f ) de functie X  g ( f ( X )) op
een geschikt domein. Soortgelijke notaties zullen we gebruiken bij de samenstelling
van een  p - -functie g met het p-tal  n - -functies f1 ,..., f p die leidt tot de
functie
X  g ( f1 ( X ),..., f p ( X )) .
De laatste functie noteren we als g ( f1 ,..., f p ) . De functies f1 ,..., f p vormen de
componenten van de  n - p afbeelding F  ( f1 ,..., f p ) en de notatie g ( f1 ,..., f p )
staat voor g  F . Er geldt
g ( f1 ,..., f n )( X )  ( g  F )( X )  g ( F ( X ))  g ( f1 ( X ),..., f p ( X )) .
130
Analyse in  n
5.15 Functies en afbeeldingen met elementaire opbouw.
Veel  n - -functies, die wij in de praktijk tegenkomen, zijn op de volgende manier
opgebouwd:
(i)
We beschouwen de  n - -coördinaatfuncties 1 ,...,  n als gegeven. Er geldt
 i ( x1 ,..., xi ,..., xn )  xi voor i  1,..., n .
(ii)
(iii)
Uit  n - -functies f en g met een gemeenschappelijk domein kunnen we de
 n - -functies f  g , f  g en f / g vormen [delen door 0 is uiteraard niet
toegestaan].
Is g een - -functie en f een  n - -functie waarvan het bereik binnen het
domein van g valt, dan is ook de samenstelling g  f weer een  n - functie.
 n - -functies die we door herhaald toepassen van (i), (ii) en (iii) kunnen vormen
noemen we  n - -functies met een elementaire opbouw.
Tot de  2 - -functies met een elementaire opbouw behoren functies als
( x, y )  ln( x 2  y 2  1) , ( x, y )  sin( x  y )  cos( x  y ) en ( x, y, z ) 
2x  3
y2  z2
.
Is f een  n - -functie met elementaire opbouw en domein  n en g is de constante
- -functie x  c , dan is g  f de constante  n - -functie X  c met domein
 n . Dus ook de constante functies horen tot de  n - -functies met een elementaire opbouw.
Opgave. Ga na dat volgens bovenstaande definitie alle - -functies tot de - functies met elementaire opbouw behoren.
Voor de verzameling V van de veeltermfuncties op  n geldt:
(1) De constante functies en de coördinaatfuncties van  n behoren tot V,
(2) Als f , g  V , dan ook f  g , f  g  V .
(3) V is de kleinste verzameling  n - -functies met de eigenschappen (1) en (2).
(1), (2) en (3) hierboven kunnen als een definitie van de verzameling V opgevat
worden. Veeltermfuncties zijn functies met een elementaire opbouw. Eigenschap
(3) houdt in dat V  W , wanneer W een andere verzameling  n - -functies is met
de eigenschappen (1) en (2).
5 Limieten en continuïteit
131
ga
Opgave. Toon aan: een  n - -functie g is een veeltermfunctie precies dan, wanneer er een eindige rij  n - -functies f1 , f 2 ,..., f p is zo dat f p  g en voor iedere
f k uit de rij geldt: (a) f k is een van de coördinaatfuncties 1 ,...,  n op  n of (b)
f k is een constante functie op  n of (c) f k  fi  f j , waarin fi en f j voorgan-
rtin
gers van f k in de rij zijn, of (d) f k  fi  f j , waarin fi en f j voorgangers van f k
in de rij zijn.
eP
oo
Op de gebruikte stappen bij de elementaire opbouw van een functie kunnen we nog
wat bezuinigen: van de stappen in (ii) hebben we alleen de stap van f en g naar
f  g nodig, de andere stappen krijgen we via (iii). De stap van f en g naar f / g
gaat als volgt: 1 / g is de samenstelling van de functie g gevolgd door de - functie x  1 / x en f / g  f  (1 / g ) . Voor de stap van f en g naar f  g gebruiken we
f  g  12  (( f  g ) 2  f 2  g 2 ) .
Dus f  g kunnen we maken uit f, g en f  g met behulp van de - -functies
x  x 2 en x  12 x . Verder f  g  f  ( g ) en  g is de samenstelling van g
en x   x . Zo komen we uiteindelijk tot:
ins
5.15.1 Definitie. Een  n - -functie h heeft een elementaire opbouw, wanneer er
een rij  n - -functies f1 , f 2 ,..., f p is zo dat f p  h en voor iedere f k uit de rij
geldt: (i) f k is een van de coördinaatfuncties 1 ,...,  n of (ii) f k  fi  f j , waarin
fi en f j voorgangers van f k in de rij zijn, of (iii) f k  g  f i , waarin fi een
ht
R
voorganger van f k in de rij is en g een - -functie. We zeggen dat een  n - m afbeelding een elementaire opbouw heeft, wanneer dit geldt voor al zijn componenten.
rig
Willen we aantonen dat  n - m -afbeeldingen met elementaire opbouw een bepaalde eigenschap hebben, dan kunnen we 'inductie langs de opbouw van de functie'
toepassen. We laten dan zien dat de coördinaatfuncties de eigenschap hebben en dat
de eigenschap behouden blijft bij de constructiestappen in (ii) en (iii).
Co
py
Opgave. Als we in (iii) alleen continue - -functies g toelaten, dan is het eindresultaat ook continu. Toon dit aan.
Opmerking. Volgens definitie 5.15.1 heeft iedere - m -afbeelding een elementaire
opbouw.
Opmerking. Het valt niet eens mee om spontaan een  n - -functie te bedenken die
niet een elementaire opbouw heeft. Toch zijn er ook nog andere, meer ingewikkelde
manieren om  n - -functies te definiëren, bijv. met behulp van limieten of integralen. Of zie het voorbeeld hieronder.
Analyse in  n
132
Voorbeeld. De functie f : ( x, y ) 
xy
2
2
met domein  2 \ {O} heeft een ele-
rtin
ga
x y
mentaire opbouw waarbij in stap (iii) alleen continue - -functies zijn gebruikt en
is dus continu op  2 \ {O} . Proberen we f uit te breiden tot de functie f met domein  2 gedefinieerd door f ( X )  f ( X ) , als X  O en f (O )  0 , dan is f niet
continu in O [Bekijk een rij punten X1 , X 2 , X 3 ,... in  2 \ {O} die naar O convergeert via de x-as, en bekijk ook een rij punten Y1 , Y2 , Y3 ,... in  2 \ {O} die naar O
convergeert via de lijn y  x . Dan lim f ( X n )  0 , maar lim f (Yn )  12 .]. Functie
n 
X O
lim
x2  y 2
 2 .
Co
py
rig
ht
R
ins
X O
cos 2 x  cos 2 y
sin( x  y )
sin( x  y )
 1, lim
 1 en
X O
x y
x y
eP
Opgave. Toon aan dat lim
n 
oo
f heeft op zijn domein  2 niet een elementaire opbouw.