Achilles en de schildpad (1/3)

Achilles en de schildpad (1/3)
naam: ……………..
In de Griekse Oudheid vinden we een probleem dat pas een paar honderd jaar geleden
werkelijk opgelost is. Het probleem is bedacht door Zeno van Elea (5e eeuw voor Christus).
Hij stelt het volgende:
Achilles, een dappere Griekse held die heel hard kan rennen, doet een
hardloopwedstrijd met de schildpad. Omdat de schildpad veel langzamer loopt dan
Achilles, krijgt de schildpad een voorsprong. Op een bepaald moment gaan ze allebei
tegelijk rennen. Achilles rent naar de plaats waar de schildpad begon, maar als hij daar
aangekomen is, is de schildpad inmiddels een stukje verder. Dus rent Achilles verder
naar de plaats waar de schildpad naartoe gerend was, maar daar aangekomen is de
schildpad opnieuw een stukje verder. Zo kun je eindeloos lang doorgaan: Achilles rent
telkens naar de plaats waar de schildpad was, maar daar aangekomen is de schildpad
net weer ietsje verder gekomen.
Conclusie: Achilles zal de schildpad nooit inhalen.
1) Lever commentaar op deze conclusie. Ben je het ermee eens of niet? Schrijf je
overwegingen hieronder op.
z.o.z.
Wie was Zeno?
Zeno was een volgeling van de Griekse filosoof Parmenides (540 – 480 v. Chr.). Over diens
leer vinden we het volgende: “Het ware weten wordt verkregen door zuiver redelijke kennis.
Deze leert dat er alleen Zijn bestaat en dat er geen niet-zijnde kan bestaan. Alleen het Zijnde
is, het niet-zijnde is niet en kan niet worden gedacht. Onder zijnde wordt verstaan dat wat
ruimte vult; de mogelijkheid van een lege ruimte wordt dus ontkend. Beweging veronderstelt
altijd een niet-zijnde, want wil een lichaam zich kunnen bewegen naar een bepaalde plaats,
dan moet daar tevoren lege ruimte en dus niets geweest zijn. (…) Hieruit trekt Parmenides de
gewaagde conclusie dat er in werkelijkheid geen beweging kan bestaan. (…)
Zeno, die ongeveer 490 v. Chr. geboren werd, (…) beschouwde het als zijn voornaamste taak
de leer van zijn meester tegen alle kritische bedenkingen te verdedigen.
Uit: Hans Joachim Störig, Geschiedenis van de filosofie, blz. 110 en 111.
“Parmenides beseft natuurlijk dat de natuur ons voortdurend veranderingen laat zien. Met zijn
zintuigen registreerde hij hoe de dingen veranderden. Maar dat klopte niet met wat zijn
verstand hem vertelde. Toen hij op die manier werd gedwongen om tussen zijn zintuigen en
zijn verstand te kiezen, koos hij voor zijn verstand.
We kennen de uitdrukking: “Ik geloof pas als ik het zie”. Maar Parmenides geloofde het zelfs
dan niet. Volgens hem geven de zintuigen ons een verkeerd beeld van de wereld, een beeld
dat niet klopt met het menselijke verstand. Als filosoof vond hij het zijn taak om alle vormen
van ‘zintuiglijk bedrog’ te ontmaskeren.
Dit sterke geloof in het menselijk verstand wordt rationalisme genoemd. Een rationalist is
iemand die in het menselijk verstand gelooft als bron van onze kennis van de wereld.
Uit: Jostein Gaarder, De wereld van Sofie, blz 44.
Achilles en de schildpad (2/3)
naam: ..……………
We zullen eens wat gaan rekenen aan het probleem. Daartoe nemen we wat getallen als
voorbeeld. Laten we ervan uitgaan dat de schildpad een voorsprong van 10 meter krijgt, dat
de Achilles met een snelheid van 5 meter per seconde loopt en de schildpad met een snelheid
van 2,5 meter per seconde. Deze getallen zijn niet erg realistisch, maar ze geven wel een beeld
van de situatie.
2) Leg uit dat de berekening die Zeno maakt om uit te rekenen hoe lang het duurt voordat
Achilles bij de schildpad is (en hem op dat moment zou gaan inhalen), er als volgt uitziet:
tijd in seconden = 2 + 1 + ½ + ¼ +…
3) Maak de berekening die we in onze tijd zouden maken:
a) Laat zien dat de formule voor de schildpad is: W = 2,5t + 10. Hierin is W de afgelegde
weg in meter en t de tijd in seconden.
b) Stel de formule op voor de afgelegde weg van Achilles.
c) Bereken na hoeveel tijd Achilles de schildpad in zal halen (gesteld dat dat zou
gebeuren!) door de formules aan elkaar gelijk te stellen.
z.o.z.
4) Maak nog twee berekeningen zoals in opgave 2 en 3, maar nu met andere snelheden. De
voorsprong die de schildpad krijgt aan het begin van de wedstrijd blijft 10 meter. Kies uit:
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Snelheid
Achilles
in m/s
10
10
10
10
10
10
5
5
5
5
5
5
Snelheid
schildpad in
m/s
3
2,5
2
1
0,5
0,1
0,1
0,5
1,5
2
2,5
4
Gekozen letter: A / B / C / D / E / F
Berekening 1:
Tijd die Zeno berekent (geef minimaal vier termen):
Tijd volgens moderne methode:
Berekening 2:
Tijd die Zeno berekent (geef minimaal vier termen):
Tijd volgens moderne methode:
Achilles en de schildpad (3/3)
naam: ……………..
We gaan de gegevens van de klas ordenen en onderzoeken of we een verband kunnen
ontdekken.
Omcirkel de
juiste letter:
Voorbeeld
Snelheid
Achilles
in m/s
5
Snelheid Tijd die Zeno berekent (in sec):
schildpad
in m/s
2,5
2+1+½+¼+…
Tijd volgens
moderne methode
(in sec):
4
A/B/C/D/E/F 10
A/B/C/D/E/F 5
Zeno maakt een oneindig lange berekening. Maar m.b.v. de moderne methode kom je toch op
een antwoord. Blijkbaar heeft de oneindige berekening van Zeno een getal als uitkomst!
Het lijkt er dus op dat de conclusie van Zeno niet klopt. We zullen eerst naar de getallen
kijken en proberen verbanden te ontdekken.
5) Bij het voorbeeld ontstaat in de berekening van Zeno een rij getallen, nl. 2 1 ½ ¼ …
a) Wat is dit voor een soort rij?
b) Stel de recursieve formule op van deze rij en geef u1 aan.
c) Stel de directe formule op van deze rij.
6) Beantwoord dezelfde vragen voor de rij getallen van de voorbeelden die je uitgewerkt
hebt. Geef aan om welke berekeningen het gaat: A / B / C / D / E / F.
Eerste voorbeeld:
a) Wat is dit voor een soort rij?
b) Stel de recursieve formule op van deze rij en geef u1 aan.
c) Stel de directe formule op van deze rij.
Tweede voorbeeld:
d) Wat is dit voor een soort rij?
e) Stel de recursieve formule op van deze rij en geef u1 aan.
f) Stel de directe formule op van deze rij.
Het voert te ver om na te gaan hoe de rij getallen van Zeno verband houdt met de uitkomst in
de laatste kolom. Dat is geen wa1-stof.
In deze tijd weten we dat het verhaal van Zeno niet opgaat. We hebben dat ook berekend:
iedere keer konden we uitrekenen op welk tijdstip Achilles de schildpad inhaalt.
Zeno zat er dus naast met zijn conclusie. Maar dan is de vraag: waar zat zijn redeneerfout?
Nog even Zeno’s redenering op een rijtje:











Achilles loopt naar de plaats waar de schildpad is. Die tijd kun je uitrekenen.
De schildpad is dan een stukje verder gekomen.
Achilles loopt dan verder naar de plaats waar de schildpad was gekomen. Dat is weer een
tijd die uit kunt rekenen.
Maar de schildpad is dan alweer ietsje verder.
Achilles loopt dan verder naar de plaats waar de schildpad was gekomen. Dat is nog weer
een tijd die uit kunt rekenen.
Maar de schildpad is inmiddels weer ietsje verder.
Enzovoorts.
Zo krijg je een oneindig aantal tijden die je bij elkaar op moet tellen.
Dat wordt dus in totaal een oneindige tijd.
Dus zal het oneindig lang duren voordat Achilles de schildpad inhaalt.
Dus haalt hij hem nooit in.
7) Probeer uit te leggen waar Zeno verkeerd redeneert en weerleg zijn redenering.
EINDE