Statistiek MAW/PSY, theorie les 1

MTO-B. Theorie Normale Verdeling.
De normale verdeling.
X is een normale verdeling met gemiddelde μ en afwijking van gemiddelde σ
68,3% binnen 1σ van het gemiddelde.
95,4% binnen 2σ van het gemiddelde.
99,7% binnen 3σ van het gemiddelde.
De normale verdeling is symmetrisch rond μ.
De normale verdeling is unimodaal, dwz. er is 1 top.
De normale verdeling heeft gemiddelde µ= mediaan.
De normale verdeling is asymptotisch, dwz. raakt nooit helemaal de x-as.
De z-verdeling.
De standaard normale verdeling Z is symmetrisch rond 0 met σ=1.
Elke ruwe score van normale verdeling X kan worden omgeschreven naar z:
ruwe score X - μX
z=
σX
Lezen van Tabel C.1.
Area between
Area beyond
0,4772
0,50
0,0228
0
2
0
2
Voorbeeld:
p(z < +2)= area between + 0,50= 0,4772 + 0,5= 0,9772
p(z > +2)= area beyond 2= 0,0228
Berekenen van percentiles in normale verdeling X.
Xp - μX
= zp ->
σX
Percentiel-waarde Xp= σX . percentiel zp + gemiddelde populatie μX
_
Steekproevenverdeling van X.
Je doet een steekproef uit populatie waarvan gemiddelde  en  bekend zijn.
Het gemiddelde van de steekproef is niet bekend en de steekproevenverdeling
geeft de kansverdeling van de mogelijke uitkomsten van het gemiddelde van
de steekproef.
_
Steekproevenverdeling X heeft gemiddelde µ en Standard Error Mean= σX=σX/√n
Als n groter wordt, wordt de verdeling steeds normaler en de Standard Error
Mean steeds kleiner.
_
Rekenen met X.
_
getal – μ0
p(X < getal) -> p(Z <
)
σX
Centrale limietstelling:
_
Als populatie normaal is kansverdeling X altijd normaal verdeeld.
Als n > 30 kan je het gemiddelde normaal benaderen, ook als populatie niet
normaal verdeeld is.
MTO-B. Opgaven Normale Verdeling.
Opgave 1.
Bereken met tabel C.1:
a. p(Z < 1)
b. p(Z < -1)
c. p(Z > -1)
Antwoord.
a. p(Z < 1)
-> 0,50 + 0,3413= 0,8413
0,50
0,3413
0
b. P(Z < -1) ->
1
p(Z > 1)= 0,1587
0,1587
0,1587
-1
0
c. p(Z > -1)
->
0,8413
-1
0
0
1
p(Z < 1)= 0,8413
0,8413
0
1
Opgave 2.
a.
Tabel C.1:
Between
0,84
0,2995
Beyond
0,2005
a1. Maak van deze gegevens een tekening.
a2. Geef de percentielwaarden van -0,84 0
en
0,84
en
0,39
b.
Between
0,1517
0,39
Beyond
0,3483
b1. Maak van deze gegevens een tekening.
b2. Geef de percentielwaarden van -0,39 0
c. Bereken z10 en z25
Antwoord:
a1.
20%
30%
-0,84
a2.
z20=-0,84
30% 20%
0
z50=0
0,84
en
z80=0,84
b1.
35%
-0,39
b2.
z35=-0,39
c.
z90=1,28
z75=0,67
->
->
15 15
35%
0
0,39
z50=0
en
z65=0,39
en z10=-1,28
en z25=-0,67
25%
10%
-1,28
25%
10%
0
1,28
-0,67
0
0,67
Opgave 3.
Je doet onderzoek naar het IQ van peuters.
Het IQ X is normaal verdeeld met µ=60 en σ=12.
a. Wat zijn de z-waarden die horen bij X-waarden 76, 38 en 50
b. Hoe groot is de kans op een score tussen de 48 en 80.
c. Hoe groot is de kans op een score groter dan 80.
d. Hoe groot is de kans op een score kleiner dan 35.
e. De laagste 35% en de beste 20% wil je wat extra aandacht geven.
Bereken X35 en X80
Antwoord:
a.
z= (76-60)/12=
1,33
●
76
60
0
●
1,33
z= (38-60)/12= -1,83
●
38
●
-1,83
60
0
z= (50-60)/12= -0,83
●
50
●
-0,83 0
60
b.
(48-60)/12=-1 en (80-60)/12=1,67
p(-1 < Z < 1,67) ->
p(-1 < Z < 0) + p(0 < Z < 1,67)= 0,3413 + 0,4525= 0,7938
0,34
48
0,45
60
80
-1
0
1,67
c.
z= (80-60)/12= 1,67
p(Z > 1,67)= 0,0475
0,0475
60
0,0475
80
0
1,67
d.
z= (35-60)/12= -2,08
p(Z < -2,08)= p(Z > 2,08)= 0,0188
0,0188
35
0,0188
60
-2,08
e.
z35= -0,39 (zie opgave 2).
x35 - 60
= -0,39 -> x35= 12 . -0,39 + 60= 55,3
12
0,35
55,3 60
z80=0,84
12 . 0,84 + 60= 70,1
0,80
60
70,1
0
Opgave 4.
X is normaal
a. Wat is de
b. Wat is de
c. Wat is de
verdeeld met µ=120 en σ=25
kans op een score kleiner dan 100.
kans op een score groter dan 150.
kans op een score tussen de 110 en 125.
Antwoord:
a.
z= (100-120)/25= -0,8
p(Z < -0,8)= p(Z > 0,8)= 0,2119
0,2119
0,2119
100
120
-0,8
0
b.
z= (150-120)/25= 1,2
p(Z > 1,2)= 0,1151
0,1151
120
0,1151
150
0
1,2
c.
z= (110-120)/25= -0,4
z= (125-120)/25= 0,2
p(-0,4 < Z < 0,2)=
p(-0,4 < Z < 0) + p(0 < Z < 0,2)= 0,1554 + 0,0793= 0,2347
0,08
0,155
110 120 125
0,08
0,155
-0,4
0
0,2
Opgave 5.
Een student doet een onderzoek naar het jaarinkomen van advocaten.
a. Wat kan je zeggen van een advocaat met een z-score=3,1
b. Wat kan je zeggen van een advocaat met een z-score=-2,5
Antwoord.
a. 3,1 Beyond= 0,001 -> slecht 0,1% van de advocaten heeft een inkomen
gelijk of hoger dan deze advocaat. Je kan ook zeggen dat het inkomen van
deze advocaat een 99,9 percentiel-rang heeft.
b. kleiner dan -2,5= 2,5 Beyond= 0,0062 -> 0,6% van de advocaten heeft
een inkomen lager of gelijk dan deze advocaat.
Opgave 6.
Gemiddelde µ=130 en σ=13.
Wat is kans dat groter dan 140.
Antwoord:
0,22
140 - 130
z=
= 0,77
130
140
13
p(X > 140)= p(z > 0,77)= 0,22
0,22
0,77
Opgave 7.
Wat is de kans op een uitkomst
tussen de z-waarden -1,2 en 0,56.
Antwoord:
p(-1,2 < z < 0,56)=
p(-1,2 < z < 0) + p(0 < z < 0,56)=
0,3849 + 0,2123= 0,5972
0,3849
-1,2
0,21
0
0,56
Opgave 8.
X is normaal verdeeld met µ=70 en σ=7
Bereken het 10%-percentiel en het 90%-percentiel.
Antwoord:
z10=-1,28 en
z90=1,28
(zie opgave 2).
10%-punt= 7 . -1,28 + 70= 61,04
90%-punt= 7 . 1,28 + 70= 78,96
10%
10%
61,04
78,96
->
->
10% lager dan 61,04
10% hoger dan 78,96
Opgave 9.
Hoogleraar Engel geeft examen met µ=56 en σ=5
a. Hoeveel kans op onvoldoende als lager dan 38 een onvoldoende is.
b. De C-categorie heeft de midden 30% van de cijfers.
Waar liggen de grenzen?
c. Wat is de grenswaarde voor de beste 10% van de studenten.
Antwoord:
a.
38 - 56
Z=
= -3,6
5
->
p(z < -3,6)= 0,0002
0,0002
0,0002
38
56
-3,6
0
b.
z35=-0,39 en z65=0,39
Ondergrens= 5 . - 0,39 + 56= 54,05
Bovengrens= 5 .
0,39 + 56= 57,95
35%
c.
z90= 1,28
5 . 1,28 + 56= 62,4
90%
56
10%
62,4
30%
35%
-0,39
0,39
54,05
57,95
Opgave 10.
=120, =25 en n=400 ->
_
a. Bereken p(X > 121,4)
_
b. Bereken p(X < 118,2)
σX= 25/√400= 1,25
Antwoord.
a.
z= (121,4 - 120)/1,25= 1,12
p(Z > 1,12)= 0,1314
0,1314
120
121,4
In woorden: als n=400 13,1% kans dat het gemiddelde van de steekproef
groter is dan 121,4.
b.
z= (118,2 - 120)/1,25= -1,44
p(Z < -1,44)= p(Z > 1,44)= 0,0749
0,0749
118,2
120
In woorden: als n=400 7,5% kans dat het gemiddelde van de steekproef
kleiner is dan 118,2.
NB:
Bij kans op 1 uitkomst: delen door σ
Bij kans op gemiddelde: delen door σ/√n
Logica:
Bij 1 uitkomst veel spreiding rond het gemiddelde, want
misschien net een hele grote of hele kleine uitkomst.
Bij gemiddelde vallen grote en kleine uitkomsten tegen elkaar weg
en kom je altijd uit in de buurt van het gemiddelde van de populatie.
De spreiding tussen steekproefgemiddelden is dus veel kleiner dan de
spreiding tussen losse uitkomsten.
Examenopgaven 1-11.
Opgave 1.
533 proefpersonen worden onder hypnose gebracht.
Personen met een score hoger dan 12 zijn zeer makkelijk te hypnotiseren.
De scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde µ=7 en σ=2,3.
Hoeveel proefpersonen zijn zeer toegankelijk voor hypnose.
a.
b.
c.
d.
Ongeveer
Ongeveer
Ongeveer
Ongeveer
8 proefpersonen.
15 proefpersonen.
23 proefpersonen.
533 proefpersonen.
Opgave 2.
700 studenten doen examen met 16 vragen.
Vraag is goed of fout.
Berekend wordt het gemiddeld aantal goede vragen.
Welke verdeling is bij benadering normaal?
a.
b.
c.
d.
De verdeling van de scores per vraag.
De verdeling van het gemiddelde.
Allebei.
Geen van beide.
Opgave 3.
Bij 500 proefpersonen wordt de culturele kennis bepaald.
gemiddelde= 8,36 en variantie= 2,07
Van de 500 proefpersonen hebben 408 een lagere score dan Henk.
Bereken de ruwe score van de culturele kennis van Henk.
a.
b.
c.
d.
6,50
9,28
9,46
9,68
Opgave 4.
Bij 1232 proefpersonen wordt een persoonlijkheidstest afgenomen.
De verdeling is linksscheef.
µ=10 en σ=2
I. De meeste proefpersonen hebben een score groter dan 10.
II. De percentielwaarden kan je berekenen met tabel C.1.
a.
b.
c.
d.
I
I
I
I
is
is
is
is
waar
waar
niet
niet
en II is waar.
en II is niet waar.
waar en II is waar.
waar en II is niet waar.
Opgave 5.
Stanines zijn scores van 1 tot 9 die worden toegekend aan de gevonden
uitkomsten om die makkelijker te kunnen interpreteren.
De middelste 20% van de uitkomsten krijgt een Stanine=5.
Als µ=100 en σ=15, welke scores krijgen dan een Stanine=5.
a.
b.
c.
d.
96,25-103,75
92,5 -107,5
90
-110
85
-115
Opgave 6.
Welke van deze stellingen is niet van toepassing op de steekproeven
verdeling van het gemiddelde.
a. Het gemiddelde van deze verdeling is gelijk aan µ.
b. De standaardfout is een functie van zowel de spreiding
van de scores in de populatie en de steekproefomvang.
c. Voor deze verdeling heb je altijd meerdere steekproeven nodig.
d. Als steekproef groter, benadert deze beter de normale verdeling.
Opgave 7.
De verdeling van het aantal geweldsdelicten per dag in een grote stad
is normaal van vorm met µ=1,3 en σ=1,7.
Er wordt een steekproef gedaan van 50 dagen.
I. Het gemiddelde van de steekproevenverdeling is 1,3.
II. Variantie populatie=2,89 en σX=1,7/√50
a. I is waar en II is waar.
b. I is waar en II is niet waar.
c. I is niet waar en II is waar.
d. I is niet waar en II is niet waar.
Opgave 8.
Uit populatie van 5000 personen worden 2 steekproeven gedaan om het
gemiddelde te bepalen. n1=400 en n2=1600.
Welke stelling is juist.
a. Bij steekproef 2 is de standaarddeviatie van het gemiddelde groter
dan de standaarddeviatie van de populatiekansverdeling.
b. Bij steekproef 1 is de standaarddeviatie van het gemiddelde groter
dan de standaarddeviatie van de populatiekansverdeling.
c. De standaarddeviatie van het gemiddelde is bij steekproef 2 kleiner
dan bij steekproef 1.
d. Bij steekproef 1 is de standaarddeviatie van het gemiddelde gemiddeld
4x zo groot als bij steekproef 2.
Opgave 9.
In een steekproevenverdeling:
a. zijn de uitkomsten de scores van alle mensen in de populatie.
b. zijn de uitkomsten de scores van alle mensen in de steekproef.
c. is de spreiding van de uitkomsten groter dan in de populatie.
d. is de spreiding van de uitkomsten kleiner dan in de populatie.
Opgave 10.
Temperatuur is augustus is normaal verdeeld met µ=17 en σ=4.
Wat is de kans dat een steekproef van 30 augustusdagen een
gemiddelde temperatuur heeft van meer dan 19 graden.
a. 0,0031
b. 0,0093
c. 0,4969
d. 0,5031
Opgave 11.
IQ normaal verdeeld met =100 en =15.
Een andere IQ-test normaal verdeeld met =-4 en =1.
Lies scoort –2 op die andere IQ-test.
Wat is haar score op die oorspronkelijke IQ-test.
a. 130
b. 103
c. 97
d. 70
Antwoorden examenopgaven 1-11.
1.
12 - 7
Z=
= 2,17 -> p(z > 2,17)= 0,015
2,3
0,015 . 553= ongeveer 8 proefpersonen.
2.
Normaal verdeeld is symmetrisch rond gemiddelde met zwaartepunt in het midden.
Vraag alleen Goed of Fout (1 of 0) en dus niet normaal.
Gemiddelde wel normaal verdeeld. Meeste studenten scoren rond het gemiddelde.
b. is juist.
3.
408/500= 0,82
Henk heeft dus 82% percentiel-punt.
z82= 0,92
√2,07 . 0,92 + 8,36= 9,68
4.
I. Linksscheef trekt het gemiddelde naar beneden met veel mensen boven het gemiddelde.
II. Niet normaal verdeeld dus niet tabel C.1.
b. is juist.
5.
z40=-0,25 en z60=0,25
Ondergrens= 15 . -0,25 + 100= 96,25
Bovengrens= 15 . 0,25 + 100= 103,75
6.
a.
b.
c.
d.
Het gemiddelde van de steekproefverdeling is het gemiddelde van de populatie μ
sX= sX/√n
Nee, verdeling is gebaseerd op info over populatie en grootte steekproef (zie ook altijd).
Als n>30, mag je normale verdeling aannemen voor x-gemiddeld.
Als n nog groter, wordt de verdeling ook steeds normaler.
c. is juist.
7. a. is juist.
8.
a.
b.
c.
d.
c.
sX altijd kleiner dan sX.
Idem als a.
Als n groter, sX kleiner.
√400=20 en √1600=40. In steekproef 1 is sX factor 2 groter.
is juist.
9.
a. De steekproevenverdeling is gebaseerd op µ, σ en n.
b. De verdeling geeft de mogenlijke uitkomsten van het gemiddelde van de steekproef.
c./d. In de hele populatie zijn grote en kleine uitkomsten mogelijk.
In de steekproef neem je een gemiddelde en vallen uitschieters tegen elkaar weg.
Spreiding wordt dus steeds kleiner als n groter wordt.
d. is juist.
10.
19 - 17
Z=
= 2,74
4/√30
->
p(z > 2,74)= 0,0031
11.
z-score Lies op nieuwe test.
-2 - -4
= 2
1
Omrekenen naar oorspronkelijke test:
X - 
IQ - 100
z=
-> 2=
-> IQ= 100 + 2 . 15= 130

15