Zelfstudie: Enkele begrippen uit de graaftheorie - TELIN

Didactisch materiaal bij de cursus
Optimalisatietechnieken
http://telin.UGent.be/~philips/optimalisatie/
Academiejaar 2010-2011
Prof. dr. ir. W. Philips
[email protected]
Tel: 09/264.33.85 Fax: 09/264.42.95
UNIVERSITEIT
GENT
Telecommunicatie en
Informatieverwerking
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Copyright notice
This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the
University of Gent, Belgium as of 1998.
This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and
distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical
storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed:
1. If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit
Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide;
2. You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction
derived from such a file);
3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation;
4. You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or
your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation;
5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author.
In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the
presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections
when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the
distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every
part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it).
“Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture,
distributing it to students or employees for self-teaching purposes, ...
Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without
the author’s consent. A fee may be charged for such use.
Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic
documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software
are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer.
If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by email. I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover.
Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures.
Prof. dr. ir. W. Philips
Department of Telecommunications and Information Processing
University of Gent
St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium
E-mail: [email protected]
Fax: 32-9-264.42.95
Tel: 32-9-264.33.85
02a.2
Zelfstudie: Enkele begrippen uit
de graaftheorie
versie:
21/2/2011
gewijzigd
op: 6/10/2003
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Grafen
Graaf: een verzameling knopen (vertices)
verbonden door takken (edges)
Dezelfde graaf kan op veel manieren
worden getekend!
Bepaald door: V, de verzameling van alle
knopen en E, de verzameling van alle takken
Gerichte graaf (directed graph): een
graaf met éénrichtingstakken: bestaat uit
knopen (nodes) en pijlen (arcs)
Elke knoop heeft nul of meer opvolgers
(successors) en nul of meer voorgangers
(predecessors)
02a.4
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Definities en notaties
a
a
b
w
Tak (a,b),(b,a) of w
b
w
Pijl: (a,b) of w
Opmerking: soms is w niet de naam van de tak maar een
waarde geassocieerd aan tak
a
(a,b)1 b
Lus
(a,b)2
w1
x1
w2
x2
wn-1
...
xn
Pad: een aaneensluitende sequentie
takken wi=(xi , xi+1), i=1,…n-1
Notatie (x1…xn) of w1,w2,…
02a.5
versie:
21/2/2011
gewijzigd
op: 6/10/2003
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Paden en circuits
w1
w4
w6
Circuit: gesloten pad (beginknoop=eindknoop)
w3
w5
w2
w1
w4
a
w3
w2
Pad b
Enkelvoudig (“simple”) pad: aan elke
knoop (behalve begin- en eindknoop)
hangen juist twee takken
Symbolische voorstelling:
•tak: rechte lijn of lijn met 1 bocht
•pad: kronkelende lijn
02a.6
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Circuits en paden in gerichte graaf
In een gerichte graaf moet men duidelijk afspreken of men in
de definities van “pad” en “circuit” eist dat het pad of het
circuit gericht is, d.w.z. de zin van de pijlen volgt
In de literatuur zijn er verschillende strekkingen
•strekking 1: de zin van de pijlen heeft geen belang, tenzij
men het expliciet heeft over gerichte paden en circuits
•strekking 2: paden moeten de zin van de pijlen volgen
tenzij men het expliciet heeft over niet-gerichte paden
-een gericht pad noemt men dus een pad
-een niet gericht pad noemt men hier ook een ketting
-circuits moeten hier wel de zin van de pijlen volgen (!)
Wij zullen steeds veronderstellen dat paden en circuits de
zin van de pijlen volgen; als dat niet zo is zullen we het
expliciet hebben over niet-gerichte paden en circuits
02a.7
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Geconnecteerdheid (connectedness)
geconnecteerd,
niet volledig,
1 component
niet-geconnecteerd,
niet volledig
2 componenten
geconnecteerd,
volledig
1 component
Geconnecteerde graaf: bevat een pad tussen elke twee knopen
Volledig geconnecteerde graaf: er ligt een tak tussen elke twee
knopen
Een niet-geconnecteerde graaf bestaat uit componenten die zelf
geconnecteerd zijn
Hoeveel takken bevat een volledig geconn. graaf met v knopen?
02a.8
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Geconnecteerdheid in gerichte graaf
geconnecteerde graaf, maar niet
sterk geconnecteerd
s
t
sterk-geconnecteerde graaf
s
t
Definities: •een graaf met pijlen is geconnecteerd  de
corresponderende graaf zonder pijlpunten is geconnecteerd
•een gerichte graaf is sterk geconnecteerd  er
bestaat een pad dat de pijlen respecteert van elke knoop naar
elke andere knoop
Als er geen pad van s naar t bestaat zijn er daarvoor twee
mogelijke oorzaken: s en t behoren tot 2 verschillende
componenten of er bestaat geen gericht pad van s naar t
02a.9
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Sub-graaf
G
G’ gegenereerd door G’ gegenereerd door
rode knopen
blauwe takken
Subgraaf G’ van G: wordt verkregen door het verwijderen van
een aantal takken en de corresponderende knopen:
 E’ E en V’ V
Subgraaf gegenereerd door verzameling V’ van knopen:
bestaat uit deze knopen en uit enkel de takken die twee
knopen uit V’ verbinden
Subgraaf gegenereerd door verzameling E’ van takken:
bestaat uit deze takken en uit enkel die knopen die uiteinden
van takken uit E’ zijn
02a.10
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Planaire grafen
Planair
4 (!) mazen
Planair
2 mazen
Planair (!)
Planair?
Een graaf is planair als men hem kan tekenen zonder dat
twee takken elkaar snijden (tenzij in een knoop)
Als een planaire graaf zo wordt getekend, dan verdeelt hij
het vlak in mazen (=gebieden begrensd door de takken)
02a.11
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Duale van een planaire graaf
duaal
In dit voorbeeld is de
duale graaf (toevallig)
gelijk aan zichzelf!
Constructie van de duale graaf:
1. plaats één knoop in elke “maas”
2. voor elke tak in de gegeven graaf
- noem de mazen aan weerszijden van die tak A en B
(soms is A=B; geef hier van een voorbeeld)
- teken een tak tussen de knopen A en B in de duale graaf
De duale graaf is ook planair
De duale van de duale graaf is dikwijls gelijk aan de originele
graaf; wanneer wel en wanneer niet?
02a.12
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Het vierkleurenprobleem
Men wenst de landen op een landkaart zo te kleuren dat
• landen die in meer dan één punt grenzen steeds een
verschillende kleur hebben
• men zo weinig mogelijk kleuren nodig heeft
Vierkleurenstelling:
• men heeft nooit meer dan 4 kleuren nodig
• een van de meest complexe bewijzen uit de wiskunde!
Het vinden van een optimale kleuring is niet gemakkelijk
Het vinden van een kleuring met 5 kleuren is wel een stuk
gemakkelijker
02a.13
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Graad van een knoop…
De graad van een knoop is het aantal takken aan deze knoop
Bij een gerichte graaf kan men een onderscheid maken tussen
•het aantal takken dat uit een knoop vertrekt: de uit-graad
•het aantal takken dat in een knoop toekomt: de in-graad
graad:
4
in-graad: 1
uit-graad: 3
02a.14
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
… Graad van een knoop
Opmerking: bij gerichte grafen tekent men soms ook takken
zonder pijlen; men moet duidelijk definiëren wat men met
dergelijke takken bedoelt
•men kan deze takken beschouwen als twee parallelle pijlen in
tegengestelde zin  graad= in-graad + uit-graad
•men kan ze ook beschouwen als tweerichtingstakken 
graad  in-graad + uit-graad
Meest logische
interpretatie
in-graad: 1
uit-graad: 3
graad: 4
graad: 3
02a.15
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Bomen en bossen
Een boom
Een bos
Een boom is een geconnecteerde graaf zonder
(niet-gerichte) circuits
Een bos is een niet-noodzakelijk geconnecteerde graaf zonder
(niet-gerichte) circuits (een verzameling bomen)
Eigenschappen (Bewijs dit zelf):
•In een boom is er een uniek pad tussen elke twee knopen
•Een boom met m knopen heeft m-1 takken
Let op: een boom is een bijzonder geval van een bos
02a.16
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Opspannende boom: voorbeelden
boom 1
boom 2
Opspannende bomen
Opspannend bos
Een opspannende boom van een graaf G: een boom die alle
knopen van G bevat (en waarvan de takken tot G behoren)
Een koorde van een graaf G voor een bepaalde
opspannende boom B: een tak van G die niet tot B behoort
Een opspannend bos van een graaf G: een bos dat alle
knopen van G bevat (en waarvan de takken tot G behoren)
Opspannende bomen en bossen zijn dus deelgrafen van G
en zijn niet uniek!
02a.17
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Een snede
K: blauwe knopen
S: blauwe takken
1 extra component
 enkelvoudig
Bij een verzameling knopen K hoort een snede S: de
verzameling takken met 1 uiteinde in K en 1 uiteinde niet in K
De snede S is ook de minimale verzameling van takken die men
moet doorsnijden om K volledig af te snijden van de
“buitenwereld”
De snede is enkelvoudig als het wegnemen van de
snedetakken het aantal componenten van de graaf met niet
meer dan 1 doet toenemen; zoniet is ze meervoudig
02a.18
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Voorbeeld: snede in een boom...
“Echte” subsneden:
1 2 1,2 
S
K
1
3
2
4
S is een meervoudige snede: 1 component voor het wegnemen
van S en 5 componenten na het wegnemen van S
Alternatieve definitie: een snede is meervoudig als ze als
“echte” deelverzameling een andere snede bevat
02a.19
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
...Voorbeeld: snede in een boom
Een snede S verdeelt een graaf in minstens twee “eilanden”
(gescheiden subgrafen)
02a.20
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Disconnecterende verzameling takken
disconnecterende verzamelling
takken en (enkelvoudige) snede
disconnecterende verzameling
takken maar geen snede
Een disconnecterende verzameling takken is een
verzameling takken, die als men ze wegneemt de graaf doet
uiteenvallen in meerdere componenten
Elke snede is een disconnecterende verzameling takken,
maar het omgekeerde geldt niet
02a.21
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Bi-partite graaf
gelijk!
niet bi-partite
bi-partite
bi-partite
Een graaf is bi-partite
• als men zijn knopen kan kleuren met twee kleuren zodat
geen enkele tak knopen met dezelfde kleur verbindt
• d.w.z. als men zijn verzameling V van knopen kan
partitioneren in gescheiden V1 en V2 zodat geen enkele tak
twee knopen van V1 verbindt noch twee knopen van V2
02a.22
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Een stroom...
Een stroom beschrijft het transport van voorwerpen
(elektronen, auto's, personen) in een netwerk
6
10
5
5
3
3
Bronknoop: genereert stroom
Afvoerknoop: neemt stroom op
Distributieknoop
4
5
Capaciteit van een tak: maximaal mogelijke stroom door die tak
Een stroom is mogelijk als hij voldoet aan
•de capaciteitsbeperkingen in iedere tak
•de wet van het behoud van stroom in ieder knooppunt
02a.23
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Stroombehoud: voorbeeld
6
10
5 I2
I1
5
3
I4
3
I5
I3 4
Bronkoop: genereert stroom
Afvoerknoop: neemt stroom op
Distributieknoop
Capaciteit
Stroombehoud: Generatie van stroom+Inkomende stromen
=Verbruik van stroom+Uitgaande stromen
Voorbeeld stroombehoud:
I1+I2=10
I2=I3
I1+I4=I5+5 ...
Capaciteitsbeperkingen:
I1  6
I2  5
I3  4
...
02a.24
versie: 21/2/2011
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2011
Literatuur
Evans, blzn. 1-18
N. Hartsfield and G. Ringel. Pearls in Graph Theory. A
comprehensive introduction. Academic Press, 1994. ISBN:
0-12-328553-4.
Peterson software
•windows-programma
•http://www.utc.edu/~cpmavata/petersen/
•Mogelijkheden:
-grafen tekenen, analyseren
-Prim en Kruskal (optimale bomen)
-Dijkstra (optimale paden)
-...
02a.25