Machten met rationale exponenten

Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
Hoofdstuk 6:
Machten met rationale exponenten
6.1 n-de machtswortels - boek p.190-192
1.
definitie van de n-de machtswortel van een reëel getal
Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1,
dan geldt: w is een n-de machtswortel uit a  ………………………
a) n is oneven (derdemachtswortel, vijfdemachtswortel, …)
voorbeelden:
3
82
want 2  8
3
 8  ...
want ……………
5
32  ...
want ……………
5
 32  ... want ……………
3
Besluit: als n oneven is (derdemachtswortel, vijfdemachtswortel, …)
 dan kunnen we van positieve / negatieve reële getallen
de n-de machtswortel berekenen
 dan heeft elk reëel getal a ………… n-de machtswortel:
n
a
b) n is even (vierkantswortel, vierdemachtswortel, …)
voorbeelden:
6
64  2
want 2  64
6
 64  ...
want ……………
4
81  ...
want ……………
4
 81  ...
want ……………
6
Besluit: als n even is (vierkantswortel, vierdemachtswortel, …)
 dan kunnen we van strikt positieve / strikt negatieve reële
getallen de n-de machtswortel berekenen
 dan heeft elk strikt positief getal a ………… n-de machtswortel:
de positieve wortel ……… en de negatieve wortel ………
2.
klassikale oefening: p.191 oefening 2
1
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
voorbeeldoefening:
8
3.
0,000 000 01  8 10 8  8 10 1.8 


8

8
10 1   10 1  0,1

klassikale oefening: p.192 oefening 4 (4,5,6)
voorbeeldoefening:
x 5  3,75  x  5  3,75
 1,302585542...  1,303
de vijfdemachtswortel
5
voer je in je GRM als volgt in: 5-[MATH]-5
zelfstandige oefeningen voor thuis (in het oefeningenschrift):
o
o
p.201 oef.11
p.201 oef.13
antwoorden: p.347
6.2 n-de machtswortelfunctis - boek p.193-197
4.
vergelijking van de functie f met voorschrift y=x³ en g met voorschrift y= 3
x
vul deze tabellen aan van de twee functies f en g:
x
0
1
2
3
4
5
0
1
8
27
64
125
f: y=x³
x
g: y= 3



x
Je merkt dat de originelen (x-waarden) en de functiewaarden (y-waarden) in beide
tabellen omgewisseld zijn.
Dit is te verklaren: “de derdemachtswortel berekenen uit een getal” is de
inverse (omgekeerde) bewerking van “de derde macht berekenen van een getal.
We vinden het voorschrift van g door in het voorschrift van f de letters x en y te
verwisselen:
voorschrift van f:
y=x³
verwissel x en y:
druk y uit in functie van x:
We noemen de functie g de inverse functie van de functie f: g=f-1

grafiek van de functie f en de inverse functie g: zie boek p.194
2
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
5.
we zoeken de inverse functie g van de functie f met voorschrift y=x4
 vul deze tabel aan van f:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
f: y=x4

verwissel nu x en y:
x
y

-3
We merken: bij één waarde van x, bijv. x=81, horen 2 y-waarden: …… en …
 We hebben dus geen functie meer.
De definitie van een functie luidt: een functie is een verband tussen twee veranderlijken zodat bij elk origineel (x-waarde) hoogstens één functiewaarde (y-waarde) hoort.
 We zeggen dat de functie f met voorschrift y=x4 niet inverteerbaar is.

Opmerking: de functie f is niet inverteerbaar aangezien bij twee verschillende xwaarden dezelfde y-waarde hoort (bijv. bij x=-3 en x=3 hoort de y-waarde 81).
Als je bij deze functie f de x- en y-waarden verwisselt, dan horen bij 1 x-waarde
(x=81) twee y-waarden (-3 en 3), wat ingaat tegen de definitie van een functie.
De omgekeerde relatie van f is dus geen functie meer: f is niet inverteerbaar.

We kunnen de inverse functie van de functie f met voorschrift y= x4 wel vinden als
we het domein van f beperken tot positieve x-waarden
We vinden het voorschrift van g door in het voorschrift van f de letters x en y te
verwisselen:

voorschrift van f:

verwissel x en y:

druk y uit in functie van x:
y=x4
en
x0
en
3
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
6.
theorie: inverteerbaarheid van een functie – inverse functie
een functie f is inverteerbaar

bij twee verschillende x-waarden hoort maximaal één y-waarde

als f inverteerbaar is, dan verwisselen we x en y
we bekomen dan de inverse functie van f: g = f-1

de grafiek van f-1 is het spiegelbeeld van de grafiek van f ten opzichte van de
rechte y=x (zie onderste grafiek in boek p.195)

de inverse functie van de machtsfunctie
y  xn
 n is oneven (3, 5, 7, …):
de functie
f x   x n is inverteerbaar; de inverse functie is g x   f
bijvoorbeeld: de inverse functie van

f x   x 9
is
f
1
x   9
1
x   n
x
x
n is even (2, 4, 6, …):
de functie
f x   x n is niet inverteerbaar
Als we het domein beperken tot positieve x-waarden, dan is de functie
f x   x n wél inverteerbaar (zie uitwerking in punt 5).
7.
De inverse functie is dan g  x   f
1
x   n
bijvoorbeeld: de inverse functie van
f x   x 12
x.
voor
x0
is
f
1
x   12 x
klassikale oefening: p.202 oefening 16 (2,4)
zelfstandige oefening: p.202 oefening 18
denkoefening: p.202 oef.19
Zo ja, verklaar. Zo neen, geef twee tegenvoorbeelden.
4
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
6.3 machten met rationale exponenten - boek p.198-200
a) machten met gehele exponenten
8.
definitie van een macht met gehele exponenten:
een macht
an is een getal
 met a het grondtal (a is een reëel getal: positieve getallen, negatieve getallen,
breuken, decimale getallen, …
 en n de exponent (n is een natuurlijk getal)
voorbeelden:

algemene definities:
4³ = 4.4.4 = 64
85 = 8.8.8.8.8 = 32768

an = …………………………
n factoren
met a een reëel getal
en n een natuurlijk getal ≠ 0


70 = 1
a0 = ……………
met a een reëel getal /

3 1 
1 1

3 31
2
1.2
3
3

 
 3
1 2
 
3  4  3 1.4  3
9.
1 4
a0
a n  …………
met a een reëel getal
2
1
1 1
1
   2 

3.3 9
3
 3
a  0 want …………………………
……………………………………………
4
1
1
1
1
   4 

3.3.3.3 81
3
 3
en n een natuurlijk getal
eigenschappen van machten met gehele exponenten:
voorbeelden:
algemene definities:
de grondtallen a en b zijn reële getallen  0
de exponenten m en n: gehele getallen (…,-2,-1,0,1,2,…)

a m .a n  a ..........
opgelet:

35
 3..........  3.........
2
3

am
 a ..........
an
deze rekenregels
gelden voor machten
met hetzelfde
grondtal a

4 

a 
 a ..........

5.36  5..... .3.....

a.b m
 ..................

2 3.2 5  2..........  2......
2 3
 4..........  4.......
m
3

7 ......
7
   ......
4
4
m n

a
   ...............
b
5
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
b) machten met rationale exponenten
9.
definitie van een macht met rationale exponenten:
m
een macht a n is een getal
 met het grondtal a een strikt positief reëel getal (a>0)
m
 en de exponent n een rationaal getal = een breuk
met m een geheel getal (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)
en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 (n = 2, 3, 4, 5, …)
voorbeelden:
34  81  9  32

of
3 4  3 2 want 3 2   3 2.2  3 4
2
we kunnen ook schrijven:
4
34  3 2  32

4
algemeen:
712  7 3 want 7 3   7 3.4  712
4

12

712  7 4  7 3
of omgekeerd: de macht met
rationale exponent 7

of omgekeerd: de macht met
rationale exponent a
12
4
kunnen we schrijven als
a m  ……………
met a een reëel getal >0
m een geheel getal
n een natuurlijk getal ≠ 0, ≠ 1
we kunnen ook schrijven:
4
n
4
7
12
m
n
kunnen we schrijven als
n
am
 we onthouden:
Waarom moet het grondtal a van een macht met rationale exponenten
strikt positief zijn?
6
Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten
10.
eigenschappen van machten met rationale exponenten:
de eigenschappen van machten met gehele exponenten gelden ook
voor machten met rationale exponenten: zie kader boek p.200
voorbeeld: 16
11.

3
4
 

 24
3
4
2
 
1
27 3  33
 16 
 
 81 
1 1

23 8
1
3
3
3.
1
3
 31  3
0, 75
3
4
3
4
4.
3
4
2 
2
23
8
 16 
     4   3  3 
4.
27
3
 81 
3 
3 4
4
klassikale oefening: p.203 oefening 21 (2,3,4)
2
voorbeeldoefening:  
7
14.
 2 3 
klassikale oefening: p.203 oefening 23 (5,6,7,8)
voorbeeldoefening:
13.
3
4
klassikale oefening: p.203 oefening 20
voorbeeldoefening:
12.
4.

8
5
tik je in je GRM als volgt in: (2/7)^(-8/5)
klassikale oefening: p.200 oefening 10
4
4
 7 74


7
7
6
6
6
  
 

voorbeeldoefening: 5 x  6  x    x 4    
 x1   




5
5
5
 

7
4
7
4
reken dit uit met je GRM
het resultaat is: x=1,109804359… of x  1,11
15.
klassikale oefening: p.204 oefening 24
denkoefening voor de vrijwilligers: p.204 oef.25
+ leg je antwoord uit door een berekening!
zelfstandige oefening voor thuis (in oefeningenschrift):
o p.206 oefening 29
o p.206 oefening 32
7